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2023년 7월 9일 일요일

라플라스 방정식용 등각 사상(Conformal Mapping for Laplace's Equation)

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전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi$에 대한 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 다음과 같은 형태를 가진다.

              (1)

식 (1)에 등장한 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$의 한 성분이 일정하면[$\partial/\partial n$ = $0$이면], 식 (1)은 3차원이 아닌 2차원의 헬름홀츠 방정식으로 간략화된다.

              (2)

여기서 $\partial \phi/\partial n$ = $0$, $(u, v, n)$은 직교하는 좌표(coordinates)이다. 좌표 $(u, v, n)$을 새로운 좌표 $(\alpha, \beta, n)$으로 바꿈으로써 2차원 헬름홀츠 방정식을 새로운 좌표계인 $(\alpha, \beta)$에서 표현할 수 있다. 이를 위해 2차원 라플라시안을 연산자 관점에서 인수 분해한다.

              (3)

완전 미분(exact differential)에 따라 식 (3)의 우변에 나온 인수를 $(\alpha, \beta)$ 좌표계의 편미분으로 바꾼다.

              (4)

여기서 $\alpha$ = $\alpha(u, v)$, $\beta$ = $\beta(u, v)$, 복소 함수 $\gamma$ = $\alpha + i \beta$는 $w$ = $u+iv$에 대한 해석 함수여서 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)인 $\partial \alpha / \partial u$ = $\partial \beta / \partial v$, $\partial \beta / \partial u$ = $-\partial \alpha / \partial v$를 만족한다. 식 (4)를 식 (3)의 우변에 대입한 후 정리해서 두 좌표계에 대한 2차원 라플라시안의 관계식을 도출한다.

              (5)

              (6)

식 (6)을 식 (2)에 넣어서 좌표 변환한 2차원 헬름홀츠 방정식을 구한다.

              (7)

원래 문제인 식 (2)를 있는 그대로 풀지 않고, 계산이 더 쉬운 $(\alpha, \beta)$ 좌표계로 문제 영역을 옮겨서 해결할 수 있는 방안이 바로 식 (7)이다. 3차원인 경우는 더욱 어려워서 보통 텐서 미적분학(tensor calculus)을 사용해서 문제 영역을 옮긴다.
또한 좌표 변환을 하면 매질 특성이 $k$에서 $k/|d\gamma/dw|$로 바뀌는 어려움이 생겨서, 등각 사상을 쓸 때는 $f$ = $0$인 정전장과 $\rho$ = $0$인 원천이 없는 조건을 적용한 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 유도해 푼다.

              (8)

식 (8)과 같은 라플라스 방정식은 다양한 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance)을 구할 때 빈번하게 사용된다[1].

[참고문헌]
[1] P. K. Kythe, Handbook of Conformal Mappings and Applications, New York: CRC Press, 2019.
[2] R. Herman, 8.6: Laplace’s Equation in 2D, Revisited, Introduction to Partial Differential Equations, The LibreTexts, USA.

2022년 11월 6일 일요일

평행판 커패시터(Parallel-plate Capacitor)

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[그림 1] 평행판 커패시터의 구조(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에 보인 평행판 커패시터(parallel-plate capacitor)는 전기 혹은 전하(electric charge)를 저장할 수 있는 가장 간단한 구조이다. 이 커패시터는 같은 극성을 가진 전하가 척력에 의해 자유롭게 퍼질 수 있도록 평평한 판을 위와 아래에 두고, 위와 아래 판에 있는 다른 극성의 전하를 모아서 위와 아래의 전하가 서로 잡아당기는 전기력(electric force)을 만들어서 각 판에 전하가 흩어지지 않게 저장한다.

[그림 2] 다층 커패시터의 구조

평행판 구조를 [그림 2]와 같은 다층 커패시터(multilayer capacitor)로 일반화해서, 내부에 존재하는 전기장을 상세하게 구해본다. 내부를 채운 유전체가 세라믹(도자기, 陶磁器, ceramic)인 경우는 다층 세라믹 커패시터(multilayer ceramic capacitor, MLCC)라고 특정해서 부른다. 가우스 정리(Gauss' theorem)를 쓰기 위해 위쪽 판에 단면적 $S$를 가진 가상의 원통이 있다고 생각한다. 단면적 $S$에 모인 전하를 $Q$라 놓고 전속 밀도(electric flux density) $\bar D$를 구한다.

                  (1)

여기서 $\bar D$ = $D (-\hat z)$, $\rho_s$는 표면 전하 밀도이다. 식 (1)에 따라 제$n$번 층에 생기는 전기장은 $\bar E_n$ = $\bar D / \epsilon_n$으로 정의한다. 전체 전압 $V_0$과 $E_n$의 관계를 만들려고 $z$축을 따라 선 적분도 수행한다.

                  (2)

여기서 평행판이 무한하므로 각 층 내부에서 전기장은 항상 동일하다.

[그림 3] 직렬로 된 커패시터(출처: wikipedia.org)

식 (2)를 제$n$번 층에 대한 전기 용량(capacitance) $C_n$ = $\epsilon_n A \mathbin{/} d_n$으로 표현할 수도 있다.

                  (3)

여기서 $A$는 평행판의 전체 면적, $Q_0$는 $A$에 저장된 총전하이다. 그런데 [그림 2]에는 층 사이에 금속이 없고 [그림 3]은 커패시터 중간에 금속이 있어서 모양이 달라 보인다. 진짜 그럴까? 아니다. [그림 3]은 회로라서 커패시터 사이의 도선 길이를 0으로 작게 만들 수 있다. 그러면 도선 양끝에 저장된 ($+$)와 ($-$) 전하가 합쳐져서 상쇄되므로, [그림 3]을 [그림 2]로 그려도 상관없게 된다. 실무에서는 전하 대신 전압을 사용하기 때문에, 전기장 $E_n$을 전체 전압 $V_0$으로 표현해야 더 쉽다.

                  (4)

여기서 $V_n$은 $C_n$에 걸린 전압, $\delta_n$ = $d_n / d$, $\epsilon_{rn}$은 제$n$층의 비유전율이다. 식 (4)에 따라 제$n$층에 걸리는 전기장 $E_n$은 $y$ = $a/x$처럼 $\epsilon_{rn}$에 정확히 반비례한다.
꼼꼼하게 커패시터 층의 전기장을 살펴보는 이유는 절연 파괴(絶緣破壞, dielectric breakdown or electrical breakdown) 때문이다. 유전체에 특정 한도를 넘어서는 전기장이 가해질 때에 부도체인 유전체가 전류를 매우 심하게 흘리는 절연 파괴 현상이 나타난다. 여기서 절연 파괴를 일으키는 한계점의 전기장 $E_\text{br}$을 절연 내력(絶緣耐力, dielectric strength) 혹은 유전 강도(誘電強度)라 부른다. 절연 내력은 물체의 고유한 성질이다. 물체의 구조가 주어져서 절연 내력을 전기장이 아닌 전압 관점으로 바라본 경우는 파괴 전압 혹은 항복 전압(降伏電壓, breakdown voltage)이라 이름 붙인다.

[표 1] 물질별 절연 내력(출처: wikipedia.org)
물질
(Substance)
절연 내력, $E_\text{br}$ (MV/m)
(Dielectric strength)
비절연 내력, $p_\text{air}$
(Relative dielectric strength)
기타 사항
(Other detail)
공기(air)$E_\text{air}$ = 31-
유리(glass)9.8–13.83.3–4.6-
종이(paper)165.3-
페라이트(ferrite)16.45.5-
테플론(Teflon, PTFE)19.76.6-
증류수(distilled water)65–7021.7–23.3-
운모(mica)11839.3-
다이아몬드(diamond)2,000667-

커패시터를 유전체 없이 그냥 두면 절연 내력은 3 MV/m 밖에 안되지만, 테플론으로 철저하게 채우면 절연 내력이 19.7 MV/m로 매우 좋아진다. 이와 같이 공기와 현재 물질의 절연 내력을 비교하기 위해, 공기 대비 절연 내력인 비절연 내력(relative dielectric strength) $p_\text{air}$를 정의해서 사용한다. 식 (4)에 따라 절연 파괴가 일어나지 않는 조건은 다음과 같다.

                  (5)

대부분의 경우에 문제가 되는 영역은 공기층이기 때문에, 유전체층을 고려할 필요 없이 공기층에서 $E_0 \le E_\text{air}$를 만족하면 된다. 여기서 $E_0$은 공기층의 전기장, $E_\text{air}$는 공기의 절연 내력이다. 그러면 다른 층에서는 다음 관계식이 자동으로 성립해서 절연 파괴가 일어나지 않는다.

                  (6)

왜냐하면 일반적인 물질에서 $\epsilon_{rn} > 1$, $p_{\text{air},n} > 1$이 성립하기 때문이다. 거꾸로 말해서, 다층 커패시터에 절연 파괴가 일어난 경우는 공기 영역이 항상 문제라는 뜻이다.
제$n$층 전기장 $E_n$을 커패시터에 저장되는 전체 에너지 $W_e$로 기술하기도 한다.

                  (7)

                  (8)

임의의 평행판 커패시터의 절연 내력을 에너지 관점으로 탐구하기 위해, 유전체가 없는 커패시터에 공기의 절연 내력까지 전기장의 에너지를 채운 $W_\text{air}$를 도입한다. 식 (8)에서 $W_e$ = $W_\text{air}$를 대입해서 정리한 결과는 다음과 같다.

                  (9)

여기서 $W_\text{air}$ = $\frac{1}{2} \epsilon_0 E_\text{air}^2 A d$이다. 만약 유전체 층의 $\epsilon_{rn}$과 $d_n$이 정해진다면, 커패시터의 파괴 전압 $V_\text{br}$은 간단히 공식화된다.

                  (10)

식 (10)을 이용해서 커패시터에 저장되는 공기 대비 최대 에너지 비율 $W_\text{max} / W_\text{air}$도 얻어진다. 다만 $E_{\text{br}, n}$에 맞게 $C_n$이 구성된다는 보장은 없으므로 현실과는 약간 차이가 나는 공식이다.

                  (11)

[그림 2]에서 제1번 층만 유전체이고 나머지는 공기로 채워진 경우에는 식 (11)이 아래와 같이 단순히 표현된다.

                  (12)

두께 비율 $\delta_1$ = $0$이 되면 식 (12)는 1이 되고, $\delta_1$이 증가할수록 $W_\text{max} / W_\text{air}$이 점점 커지며 $\delta_1$ = $1$에서 최대값 $\epsilon_{r1} p_{\text{air},1}^2$이 된다.

[참고문헌]
[1] E. Yariv, "Edge corrections for parallel-plate capacitors," Eur. J. Appl. Math., vol. 32, no. 2, pp. 226–241, Apr. 2021.
[2] J. R. Nagel, "Solving the generalized Poisson equation with the finite-difference method," James R. Nagel, PhD, Mar. 2012. (방문일 2022-11-06)
[3] I. Campos-Flores, J.-L. Jiménez-Ramírez, and J.-A.-E. Roa-Neri, "How does arise the force on a dielectric slab in a parallel plate capacitor?," J. Electromagn. Anal. Appl., vol. 10, no. 7, pp. 131–142, Jul. 2018.

안테나의 입력 임피던스(Input Impedance of Antenna)

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[그림 1] 다이폴 안테나의 반사도 특성

안테나(antenna)는 전류 혹은 전압을 전자기파(electromagnetic wave)로 바꾸는 변환기(transducer) 특성이 중심이므로, 다른 어떤 규격보다 복사 패턴(radiation pattern)이 중요하다. 다만 안테나에 들어가는 전류나 전압이 줄어들면, 복사 패턴은 그대로이지만 복사 전력(radiated power)은 더 빠르게 줄어든다. 그래서 전자파 복사를 정상적으로 하는 안테나는 무엇보다 [그림 1]처럼 전류파 혹은 전압파가 반사 없이 안테나 부하에 입력되어야 한다. 이때 안테나의 입력부에서 일어나는 반사파 특성을 정량적으로 평가할 때에는 안테나의 입력 임피던스(input impedance of antenna)를 사용한다. 안테나의 입력 임피던스 $Z_a$는 안테나가 만드는 전자기파의 특성을 회로적으로 환산한 값이다. 안테나가 공간에 만드는 전력은 유효 전력(effective or available power)과 무효 전력(reactive power), 두 가지가 있다. 안테나의 유효 전력은 복사 조건(radiation condition)에 따라 전자기파 전력을 원천에서 공간으로 퍼지게 해서 안테나의 복사 저항(radiation resistance of antenna) $R_r$로 모형화한다. 복사 저항에 복사라는 용어가 붙어있지만 진짜 저항처럼 사용할 수 있다. 대신 $R_r$은 열로 에너지를 손실하지 않고 전자파 복사로 에너지를 잃는다. 반면에 무효 전력은 전자파가 복사되지 않고 공간에 갇히는 모양이라서 에너지 저장과 관계된 안테나 리액턴스(antenna reactance) $X_a$로 표현한다.

                      (1)

여기서 $X_a$는 안테나 종류에 따라 등가적인 전기 용량(capacitance) 혹은 인덕턴스(inductance)가 만드는 회로 관점의 리액턴스이다.
맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이 규정하는 전자기장은 매우 일반적이라서 거의 모든 안테나 현상을 설명할 수 있는데도 회로 이론에 나오는 입력 임피던스를 정의하는 이유는 무엇일까? 바로 생각의 효율성 때문이다. 전자장은 일반적이라 좋지만 상상하고 다루기가 어렵다. 우리 직관에 가까운 물리량은 전압이나 전류이다. 안테나에 나타나는 복잡한 전자기 특성을 전압과 전류로 치환해서 생각할 수 있으면 얼마나 좋을까! 이를 가능하게 해주는 개념이 바로 안테나의 입력 임피던스이다. 포인팅의 정리를 이용해서 복사 저항과 안테나 리액턴스를 정의한다.

[참고문헌]
[1] L. J. Chu , "Physical limitations of omni‐directional antennas,", J. Appl. Phys., vol. 19, pp. 1163–1175, Dec. 1948.
[2] R. C. Hansen, "Fundamental limitations in antennas," Proc. IEEE, vol. 69, no. 2, pp. 170–182, Feb. 1981

[다음 읽을거리]

전자파의 편파(偏波, Polarization of EM Wave)

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[참고문헌]
[1] A. Ludwig, “The definition of cross polarization,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 21, no. 1, pp. 116–119, Jan. 1973.
[2] I. Naito, "A note on representation of electromagnetic plane wave polarization state," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 70, no. 7, pp. 6066–6071, Jul. 2022.

[다음 읽을거리]

2022년 10월 16일 일요일

레이다 방정식(Radar Equation)

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(a) 연속파(continuous wave, CW)

(b) 펄스 혹은 맥파(pulse)
[그림 1] 레이다를 이용한 물체 탐지 원리(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에 보인 레이다(radar: 무선 탐지와 거리 측정, radio detection and ranging)는 어원처럼 무선(radio)으로 물체를 탐지하고 거리를 측정하기 위해 사용한다. 레이다에 사용하는 신호는 연속적으로 파동을 쏘는 연속파(continuous wave, CW)와 간간이 맥박처럼 발사하는 펄스 혹은 맥파(脈派, pulse or pulse wave)가 있다. 요즘 민수 영역으로 응용을 확대하고 있는 레이다 기술은 국방 부문에서도 여전 맹렬하게 연구되고 있다. 다만 레이다 기술의 시작은 원래 민수 분야였다. 독일 카를스루에 대학교(Universität Karlsruhe)의 교수였던 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 1887년헤르츠 30세, 조선 고종 시절전자파의 존재를 실증한 이후에, 또 다른 독일인인 휠스마이어Christian Hülsmeyer(1881–1957)가 1904년휠스마이어 23세, 대한제국 시절에 짙은 안개 속에 있는 배를 전자파로 탐지할 수 있는 원리를 특허로 출원했다. 이 방법이 바로 레이다의 직접적인 조상이 된다. 그후에 국방 분야의 응용을 찾기 위해 영국, 미국, 독일, 일본 등이 비밀리에 독자 연구를 계속 했다. 1935년왓슨-와트 43세, 일제 식민지 시절에는 영국 과학자 왓슨-와트Robert Watson-Watt(1892–1973)가 BBC 방송국의 송신기로 항공기를 탐지했고, 현재와 같은 원리를 가진 레이다 발명까지 이어졌다. 결국 제1차 및 제2차 세계대전을 거치면서 함정과 비행기를 가장 먼 거리에서 탐지할 수있는 레이다 방식은 확고한 국방 기술로 자리매김한다. 특히 효율적인 레이다 시스템을 설계하기 위해 미국 MIT(매사추세츠 공과대학교, Massachusetts Institute of Technology) 방사 연구실(Radiation Laboratory)에 모인 최고 전문가들이 정립한 전자파 이론은 우리가 배우는 전파 공학의 뿌리가 되었다.

[그림 2] 패트리어트 시스템(Patriot System)의 레이다(출처: wikipedia.org)

레이다는 워낙 많이 쓰이기 때문에 다양한 방식으로 분류한다. 전파 응용을 기준으로 레이다를 나누는 경우는 다음과 같다.
  • 탐색 레이다(search radar) 혹은 감시 레이다(surveillance radar): 하늘 거의 전체를 하나의 안테나로 감시해서 표적 유무를 관찰하는 레이다; 많은 영역을 빠르게 검색해야 하므로, 안테나의 빔폭(beamwidth)을 넓게 설계해서 안테나 이득은 다소 작음
  • 추적 레이다(tracking radar): 주로 배열 안테나(array antenna)를 사용해서 빔폭을 최대한 좁게 만들어 표적을 정확하게 따라가는 레이다; 빔폭이 작아서 안테나 이득이 크고 안테나의 물리적 크기도 매우 큼; [그림 2]에서 가장 크게 보이는 네모가 추적 레이다이며, 배열 원소의 위상 조정을 통해 탐색 레이다로도 작동함
  • 영상 레이다(imaging radar): 레이다로 표적의 위치와 속도 뿐만 아니라 표적의 모양까지 얻으려는 레이다; 레이다가 쓰는 전자파 신호는 야간이나 기상 악화 상황에서도 수신이 되므로 사진기(camera)보다 영상 획득의 장점이 있음; 언제나 영상을 얻는 특징으로 인해 자율 주행차(self-driving vehicle or car)의 필수 기술이 됨
  • 지표 투과 레이다(ground-penetrating radar, GPR): 땅속에 숨겨진 표적이나 구멍을 찾기 위해 지면 바로 위에서 지하 방향으로 신호를 쏘는 레이다; GPR을 쓰면 땅을 파지 않고도 지하 정보를 획득할 수 있음
  • 수풀 투과 레이다(foliage penetration radar) 혹은 FOPEN 레이다: 수풀 뒤쪽에 가려진 표적을 분석할 수 있도록 수풀에 침투가 가능한 신호를 쓰는 레이다[4]; 주로 초광대역(ultra-wideband, UWB) 신호를 써서 시스템을 구성함
  • 벽 투과 영상 레이다(through-wall imaging radar): 건물 벽 뒤쪽에 있는 표적이나 상황을 알기 위해 넓은 벽면을 전자파로 주사해서 벽 넘어 영상을 획득하는 레이다[5]; 시가전(urban warfare)을 대비해서 군사용으로 다양하게 개발되고 있음
다수의 표적 정보를 수집하는 레이다가 가진 다양한 기능을 아래에 간략히 소개한다.
  • 이동 표적 표시(moving target indication, MTI): 표적에서 산란되는 정보를 지능적으로 처리하여 잡동사니 혹은 클러터(clutter)로부터 이동체를 탐지; 클러터는 표적과 관계없이 저절로 발생하는 불필요한 산란파를 의미; 공중 및 지상 이동체의 탐지는 각각 AMTI(공중 이동 표적 표시, airborne moving target indication), GMTI(지상 이동 표적 표시, ground moving target indication)로 이름 붙임
레이다 시스템의 통신 영역을 만드는 방식에 따라 특별한 이름을 붙여서 구성 요소를 강조하기도 한다.
  • 광자 레이다(photonic radar): 변조와 복조를 RF(radio frequency)로 하지 않고 레이저(laser), 광학 간섭계(optical interferometer), 광검출기(photodetector)를 포함한 광학 기술(optical technology) 혹은 광자 공학(photonics)을 이용해서 통신 변복조기를 구성한 레이다[6]; 광자 레이다는 통상적으로 높은 변조 주파수, 넓은 범위에서 변조 주파수 변경, 초광대역 등의 특성을 가짐
무선 통신 혹은 레이다가 사용하는 다양한 주파수 대역(frequency band) 혹은 무선 스펙트럼(radio spectrum)을 단일 문자로 표기하는 방법은 [표 1]과 같다.

[표 1] 주파수 대역 혹은 무선 스펙트럼(출처: wikipedia.org)
대역 명칭
(Band designation)
주파수 대역
(Frequency band or radio spectrum)
설명
(Explanation)
L1–2 GHz장파(long wave)를 나타내는 L이 쓰임
S2–4 GHz단파(short wave)라서 S를 배정
C4–8 GHzS와 X 사이의 타협(compromise) 대역이라 C를 선택
X8–12 GHz제2차 세계대전 때에 사격 통제의 목표점을 뜻하는 십자가 X에서 유래
Ku12–18 GHzK 대역보다 아래(under)에 있어서 Ku
K18–27 GHz단파에서 짧은을 뜻하는 독일어 Kurz(쿠르츠)의 첫자 K
Ka27–40 GHzK 대역보다 위(above)에 있어서 Ka
V40–75 GHz매우 높은(very high) 주파수라서 V를 채택
E60–90 GHz기간망(backbone network)에 연결하는 RF 백홀(backhaul) 대역 
W75–110 GHz알파벳 V 다음에 나오는 문자 W를 사용
D110–170 GHz5G 및 6G의 차세대 이동 통신 대역

대역 명칭은 원래 제2차 세계대전 때에 쓰던 레이다의 주파수 범위를 명시하는 용어였기 때문에, 알파벳 순서대로 배정하지 않고 거의 무작위처럼 나열된다. 이런 측면에서 임의 숫자와 해괴한 알파벳을 많이 쓰는 군대 느낌이 조금 난다. 그래서 자주 쓰지 않으면 이미 알고 있던 주파수 대역도 까먹고, 대역 이름을 모르는 사람이 들으면 어떤 주파수인지 알 수가 없는 애매함이 있다. [표 1]에 제시한 주파수 대역은 주로 레이다에 사용하고 있으며, 같은 대역 명칭이더라도 상이한 응용에서는 약간 다르게 스펙트럼을 정의하기도 한다. 

[그림 3] 주파수에 대한 금속 구의 레이다 단면적 변화(출처: wikipedia.org)

레이다의 동작 특성을 설명하는 레이다 방정식(radar equation)은 프리스Harald Friis(1893–1976)가 만든 걸작인 프리스 전송 방정식(Friis transmission equation)으로부터 유도한다. 일단 레이다 방정식에 쓰이는 레이다 단면적(radar cross-section, RCS) $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$부터 도입한다[8]. 레이다 단면적 혹은 RCS는 물체에 의해 발생하는 산란 전력(scattered power)의 크기를 면적으로 환산해서 사용한다. RCS 개념과 측정 방식에 대한 고민은 제2차 세계대전에 쓰일 레이다를 연구하던 시절부터 시작되었다[1]. 문헌상 RCS 측정이 최초로 공개된 연도는 1942년일제 식민지 시절이지만, 레이다 기술은 원래부터 기밀 사항이어서 1942년보다 훨씬 이전에 많은 연구가 진행되었을 것이다. 레이다 단면적은 원역장(far field) 현상이라서 산란체와 수신기의 거리 $r$을 무한대로 보내는 정의를 사용한다.

                  (1)

여기서 $\bar r$ = $(r, \theta, \phi)$, $r$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $(\theta_i, \phi_i)$와 $(\theta, \phi)$는 입사 및 산란되는 각도, $\bar E_i (\bar r), \bar E_s (\bar r)$ 및 $S_i(\theta_i, \phi_i), S_s(\theta, \phi)$는 각각 입사와 산란하는 전기장(electric field) 및 전력 밀도(power density)이다. 산란체에 의한 전자파 산란을 강조해서 RCS 대신 산란 단면적(scattering cross-section)이란 용어를 써도 된다. 레이다 단면적을 표현하는 식 (1)을 있는 그대로 보면 이해가 쉽지 않다. 전파 산란을 상상하며 식 (1)을 약간 비틀어서 다르게 살펴본다.

                  (2)

여기서 $P_s(\theta, \phi)$는 $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$에 의해 $(\theta, \phi)$방향으로 산란되는 전력이다. 전력 밀도 $S_i$를 가진 평면파가 산란체에 부딪혀서 $(\theta, \phi)$방향으로 재복사되는 전력이 바로 $P_s$이다. 원래는 산란파의 전력 밀도를 정확히 계산한 후에 원역장으로 보내서 $P_s$를 구해야 하지만, 식 (1)로 $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$를 결정한 상태라서 $\sigma S_i$만 계산하면 $P_s$가 즉시 구해진다.

[그림 4] 양상태 레이다(bistatic radar)의 개념도

강력한 RCS 개념을 바탕으로 [그림 4]와 같은 구조를 가진 양상태 레이다(倆狀態, bistatic radar)를 위한 레이다 방정식을 세밀하게 구한다. 양상태 레이다는 송신기와 수신기를 일정 거리만큼 떨어뜨려서 운영한다.

                  (3)

식 (3)을 조금 더 정리해서 최종적인 레이다 방정식을 공식화한다.

                  (4)

여기서 $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$는 양상태(bistatic) RCS이다. 단순하게 봐서 송신기에서 산란체, 산란체에서 수신기로 가는 경로에 프리스 전송 방정식을 각각 쓰면 식 (4)의 결과가 바로 나온다. 송신기와 수신기를 공통으로 쓰는 단상태 레이다(狀態, monostatic radar)의 방정식은 더 간략화된다.

                  (5)

여기서 $\sigma(\theta_i, \phi_i)$는 단상태(monostatic) RCS라 부른다. 스텔쓰(stealth) 혹은 잠행(潛行) 항공기의 허를 찌르기 위해, 레이다의 산란 신호를 한 군데가 아닌 여러 군데에서 수신하는 다중 상태 레이다(multistatic radar)도 현재 활발히 연구되고 있다.

[그림 5] 2차원 구조를 3차원으로 확대하는 방법(원본 출처: wikipedia.org)

레이다 단면적 $\sigma$는 당연히 3차원에서 사용되지만, 3차원 공간에서 전자파 산란을 정확히 고려하기는 어려워서 문제 구조를 2차원으로 축약해서 산란파를 계산할 때가 매우 많다. 이 경우는 $\sigma$ 대신 반향폭(反響, echowidth) $\sigma_w$를 사용한다. 반향폭은 산란 전력의 강도를 길이로 환산한 값을 의미한다. 2차원인 $xy$평면상에서 입사하는 전기장 $\bar E_{z}^i(\bar \rho)$ = $E_{i}(\bar \rho) \hat z$는 $z$방향 성분만 있다고 가정해서 반향폭 $\sigma_w$를 유도한다.

                  (6)

여기서 $\bar \rho$ = $(\rho, \phi)$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $\bar E_{z}^s(\bar \rho)$는 $z$방향 성분만 가진 산란 전기장이다. 그러면 원역장 근사(far-field approximation)를 적용한 후에 등가 자류 밀도를 $\phi'$에 대해 적분해서 $\bar E_{z}^s(\bar \rho)$를 구한다.

                  (7)

                  (8)

여기서 $\bar M_s (\bar \rho')$는 선 자류 밀도, $\rho_0$는 산란체를 둘러싸는 원의 반지름, $\rho'$ = $\rho_0$에서 잰 근역 전기장(near electric field)은 $\bar E_z^\text{nf}(\bar \rho')$ = $E_\text{nf}(\bar \rho') \hat z$, $R_2$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$ $\approx$ $\rho - \bar \rho' \cdot \hat \rho$이다.

                  (9)

                  (10)

여기서 $\hat \rho \times \hat \phi'$ = $\cos (\phi - \phi') \hat z$, $\bar s_w(\phi; k)$는 반향폭과 연결된 2차원 산란 벡터(scattering vector)이다. 식 (9)를 식 (6)에 대입해서 반향폭 $\sigma_w$를 간단히 결정한다.

                  (11)

신기하게 2차원 산란 벡터 $\bar s_w(\phi; k)$의 크기 제곱은 정확히 반향폭이 된다. 이번에는 2차원 구조를 3차원으로 확장하기 위해, [그림 5]처럼 동일한 단면이 $z$축으로 $L_z$만큼 증가한다고 생각한다. 이때 생기는 산란 전기장 $\bar E_s(\bar r)$은 식 (9)에 $z$방향 적분을 추가해서 얻는다.

                  (12)

여기서 $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$ $\approx$ $r - \bar r' \cdot \hat r$ = $r - \sin \theta \bar \rho' \cdot \hat \rho - \cos \theta z'$이다. RCS가 커지는 $\theta$ $\approx$ $90^\circ$ 근방만 고려해서 식 (12)를 더 근사화한다.

             (13)

여기서 $\bar E_z^i (\bar r)$ = $E_i (\bar r)\hat z$, $\hat r \times \hat \phi'$ $\approx$ $\sin \theta \cos (\phi - \phi') \hat z$, 3차원 산란 벡터 $\bar s_\sigma(\theta, \phi; k)$는 RCS $\sigma$를 생성한다.

                  (14)

                  (15)

                  (16)

RCS가 가장 큰 $\theta$ = $90^\circ$로만 한정한 경우에 식 (16)은 반향폭과 그대로 연결된다[2], [7, p. 584].

                  (17)

결국 최대 RCS는 2차원 반향폭에 완전히 정비례하며, 그 비례 상수는 원역장 거리(far-field distance) 혹은 프라운호퍼 거리(Fraunhofer distance) $r_\text{ff}$가 된다.
식 (13)을 임의 편파(polarization)로 확대하기 위해, 3차원 산란 벡터 $\bar s_\sigma(\theta, \phi; k)$를 대신하는 산란 다이애드(scattering dyad) $\bar{\bar s}_\sigma(\theta, \phi; k)$를 도입한다.

                  (18)

전자파의 편파는 2차원이라서 산란 다이애드는 $2 \times 2$ 행렬과 등가이다.[∵ 진행 방향은 편파에 기여하지 못하므로, 편파는 항상 2차원으로 구성된다.] 예를 들어, 수평 및 수직 편파(horizontal and vertical polarizations)를 사용하는 산란 다이애드는 다음과 같이 표현된다.

                  (19)

여기서 $H, V$는 각각 수평 및 수직 편파를 의미한다. 식 (19)를 식 (18)에 넣어서 행렬 형태로 방정식을 바꾼다.

                  (20)

송수신기의 배치가 [그림 4]와 같고 산란체에 의한 편파간 변화는 없다고 가정하면, 식 (18)의 크기 제곱은 식 (3)에 나온 양상태 레이다 방정식으로 간략화된다.

                  (21)

여기서 $s_{HV}$ = $s_{VH}$ = $0$, $\sigma_H$ = $|s_{HH}|^2$, $\sigma_V$ = $|s_{VV}|^2$, $S_i (\theta_i ,\phi_i)$ = $|\bar E_i(\bar r)|^2 \mathbin{/}(2 \eta)$이다.
식 (6)에서 사용한 전기장은 항상 경계면에 평행하게 입사하므로, 음파의 기준을 빌려서 $\sigma_w$를 연성 반향폭(soft echowidth) $\sigma_s$로 더 구체적인 이름을 붙이기도 한다[7]. 만약 전기장 $\bar E_z^i (\bar \rho)$가 아닌 자기장 $\bar H_z^i (\bar \rho)$의 입사를 가정한 경우에 $\sigma_w$는 경성 반향폭(hard echowidth) $\sigma_h$가 된다. 연성과 경성이란 명칭을 붙이는 이유는 음파의 반사와 PEC에서 전자기장의 반사 특성이 매우 비슷하기 때문이다.

[참고문헌]
[1] P. Blacksmith, R. E. Hiatt, and R. B. Mack, "Introduction to radar cross-section measurements," Proc. IEEE, vol. 53, no. 8, pp. 901–920, Aug. 1965.
[2] E. F. Knott, A. W. Reed, and P. S. P. Wei, "Broadside radar echoes from wires and strings," Microw. J., vol. 42, pp. 102–110, Jan. 1999. (방문일 2022-10-16)
[3] 안병준, "함정 RCS 저감 설계를 위한 최신 분석기법 연구", 한국전자파학회논문지, 제25권, 제3호, pp. 333–338, 2014년 3월.
[4] 박규철, 선선구, 조병래, 이정수, 하종수, "수풀투과를 위한 초 광대역 레이더의 송수신기 설계," 통신위성우주산업연구회논문지, 제7권 제1호, pp. 75–81, 2012.
[5] J. E. Peabody, G. L. Charvat, J. Goodwin, and M. Tobias, "Through-wall imaging radar," Linc. Lab. J., vol. 19, no. 1, pp. 62–72, 2012. (방문일 2022-11-06)
[6] 류성준, 배영석, 이민우, 장성훈, 유준형, 남정빈, 신진우, "고해상도 ISAR 영상을 위한 광자 기반 FMCW 송수신 시스템 설계", 한국전자파학회논문지, 제32권, 제3호, pp. 215–222, 2021년 3월.
[7] C. A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, 2nd ed., New York, USA: Wiley, 2012.
[8] C. Uluisik, G. Cakir, M. Cakir and L. Sevgi, "Radar cross section (RCS) modeling and simulation, Part 1: a tutorial review of definitions, strategies, and canonical examples," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 50, no. 1, pp. 115–126, Feb. 2008.