정전장과 정자장(Electrostatics and Magnetostatics)

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1. 맥스웰 방정식

2. 전기장

3. 자기장

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(a) 커패시터에 생기는 전기장

(b) 인덕터에 생기는 자기장

[그림 1] 정전장과 정자장의 예시(출처: wikipedia.org)

전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 시간 변화가 없는 경우는 정전장(靜電場, electrostatics or static electric field)[7]과 정자장(靜磁場, magnetostatics or static magnetic field)으로 이름 붙인다. 정전장과 정자장은 모두 정역학(靜力學, statics)에 속하며, 이 두 장을 합쳐서 정적장(靜的場, static field)으로 부른다. 이때 시간 미분은 $\partial / \partial t$ = $0$이 되기 때문에, 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에서 전기장 $\bar E$와 자기장 $\bar H$는 완전히 분리되고 전자기파(electromagnetic wave)는 발생하지 않는다.

                          (1: 정전장)

                          (2: 정자장)

여기서 $\bar D$ = $\epsilon \bar E$, $\bar B$ = $\mu \bar H$, $\bar \nabla \cdot \bar J$ = $0$이다. 따라서 전기장은 정전장으로, 자기장은 정자장으로 간략화하며 이 둘을 따로 해석할 수 있다. 회로 이론(circuit theory) 관점에서 정전장과 정자장은 직류(直流, direct current, DC) 조건이며, 직류 회로 이론(DC circuit theory)의 근원이 된다.

도선을 구성하는 물질의 전기 전도도(electrical conductivity) $\sigma$가 유한한 경우는 정전장과 정자장이 옴의 법칙(Ohm's law)으로 서로 연결된다.

                          (3: 정전장과 정자장)

여기서 $\bar J$ = $\sigma \bar E$이다. 다만 $\sigma$를 사용할 때는 맥스웰 방정식에 어긋나지 않도록 $\bar J$와 $\bar E$의 조건을 면밀히 따져야 한다. 만약 $\sigma$가 무한대로 가면, 전류 밀도 $\bar J$가 발산하지 않도록 전기장은 $\bar E$ = $0$이 되어야 한다. 식 (1)로 인해 전하 밀도도 $\rho$ = $\bar \nabla \cdot (\epsilon \bar E)$ = $0$이다. 전기 전도도를 유한하게 제한한 경우는 매질 내부에 전기장이 존재할 수 있다. 하지만 전류 밀도의 발산은 0이기 때문에 $\bar \nabla \cdot \bar J$ = $\sigma/\epsilon (\bar \nabla \cdot \bar D)$ = $\sigma/\epsilon \cdot \rho$ = $0$이다. 즉, 매질에 전기 전도도가 조금이라도 있으면, 매질 내부에 남아있는 전하 밀도 $\rho$는 항상 0이다. 이는 시간에 대해 불변인 정전장 조건에 기인한다. 전하가 움직이는 상태는 정전장이 아니며, 전하가 다 움직여서 정지한 때가 바로 정전장의 조건이다. 하지만 전하가 이미 다 움직였다면 매질 내부에는 전하가 남아있지 않아서, 앞선 결과처럼 매질 내부에는 어떠한 전하도 없다.

정전장과 정자장은 시간 변화가 없고 서로 독립이라는 개념은 전자파에서 주파수를 0으로 만드는 조건과 분명하게 구별된다. 왜냐하면 전자파는 전기장과 자기장의 비율인 파동 임피던스(wave impedance) $\eta$가 요구하는 관계가 있기 때문에, 주파수를 낮추더라도 전기장과 자기장은 $\eta$ 비율을 항상 충족한다. 하지만 정전장과 정자장은 독립된 특성이므로, 정전장과 정자장은 어떤 관련도 가질 필요가 없다.

   1. 정전장(electrostatics or static electric field)   

정전장은 벡터장(vector field)이라 다루기 어려워서 전압(voltage), 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential), 혹은 정전 포텐셜(voltage or electrostatic potential) $\phi$를 도입해서 스칼라(scalar)로 처리한다.

                          (1.1: 푸아송 방정식)

여기서 $\rho_e$는 전하 밀도(electric charge density)이다. 이 푸아송 방정식을 풀면 어떤 전하 분포 $\rho$와 유전체 구성 $\epsilon$을 가지든지 정전 포텐셜의 배치를 알 수 있다. 이 정전 포텐셜의 구배(gradient)를 취해서 전기장도 $\bar E$ = $-\bar \nabla \phi$처럼 유도한다. 만약 2차원 문제인 경우는 맥스웰 방정식을 직접 풀지 않고 등각 사상(conformal mapping)으로 좌표 변환(coordinate transformation)을 해서 해석적으로 해결한다.

[그림 1.1] 개구면(aperture)을 통한 전기장의 침투(그림 출처: [2])

복잡한 전기장의 변화를 단순한 정전장으로 어림잡는 정전 근사(electrostatic approximation)는 전자기 간섭(electromagnetic interference, EMI)의 분석에 많이 사용된다. [그림 1.1]처럼 복사원에서 방출한 전기장이 금속 막(metallic screen)에 뚫린 개구면(aperture)으로 침투(penetration)하는 환경을 가정한다. 개구면이 뚫린 면의 법선 벡터는 $\hat z$이다. 이 현상을 공식화하기 위해 $z$방향으로 전기장만 있는 TM${}^z$ 모드(transverse magnetic mode for the $z$-axis)[$E_z \ne 0$, $H_z$ = $0$]를 가정하고 MNL 벡터 파동 함수(vector wave functions)를 도입한다.

                  (1.1)

여기서 $\bar e_n^E(\bar r)$ = $\bar N^E$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar M^E$, $\bar h_n^E(\bar r)$ = $\bar M^E$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar N^E$; $\bar e_n^E(\bar r)$과 $\bar h_n^E(\bar r)$는 개구면에 존재하는 $n$번 모드 함수(mode function), 위첨자 $E$는 전기장 경계 조건과 $z$방향으로 TM 모드를 의미, $E_n, H_n$은 각각 전자기장의 $n$번 모드 계수(modal coefficient), $k_0$은 자유 공간(free space)의 파수(wavenumber)이다. 물리학자 베테Hans Bethe(1906–2005)가 제안한 작은 구멍에 의한 회절 이론(theory of diffraction by small holes)[1]을 시작점으로 금속 막을 넘어 침투하는 전기장의 결합 계수 $C_n^E(z)$를 정의한다[3]. 금속 막에서 표면에 존재하는 접선 전기장은 0이 되어야 하므로, 아래 결합 계수 정의는 개구면에서만 정의되어서 유용하다.

                  (1.2)

여기서 $s$는 개구면의 면적, $d \bar a$ = $da \hat n$, $\hat n$ = $\hat z$; 결합 계수를 만들 때 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 써서 $z$방향 전력을 만들 수 있는 전기장만 고려하며, 개구면의 둘레에서 접선 전기장은 0이다. 개구면이 파장에 비해 작다고 생각해서 자기장의 모드 함수 $\bar h_n^E(\bar r)$을 다변수 테일러 급수(multivariate Taylor series)로 근사한다.

                  (1.3)

여기서 $z$ = $0$에 개구면 끝단이 위치하고 이 개구면의 기준점은 $\bar r$ = $\bar 0$이다. 식 (1.3)을 식 (1.2)에 대입함으로써 $z$ = $0$에서 $C_n^E(z)$의 근사식을 얻는다.

                  (1.4a)

                  (1.4b)

                  (1.4c)

식 (1.4)에 정전 근사인 $\bar E$ $\approx$ $- \bar \nabla \phi$를 적용해 정리한다.[정확하게는 $-\partial \bar A / \partial t$가 추가로 필요하다.]

                  (1.5a)

                  (1.5b)

                  (1.5c)

                  (1.5d)

여기서 $\partial_x h_{n,y}^E(\bar 0) - \partial_y h_{n,x}^E(\bar 0)$ = $k_0 e_{n,z}^E(\bar 0)$; $c$는 개구면 면적 $s$의 둘레를 따라 돈다. 최종적으로 TM${}^z$ 모드의 결합 계수 $C_n^E(0)$는 $E_z$ 전기장에 영향을 받고 [그림 1.1]처럼 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)에 의한 전기장과 비슷한 모양을 만든다. 따라서 투과 전기장 $\bar E_t$를 분극도(polarization) $\bar P$로 어림잡아서 전기 감수율(electric susceptibility) $\chi_e(z)$와 함께 표현한다.

                  (1.6a)

식 (1.5d)와 (1.6a)를 활용해서 평균 전기 감수율(mean electric susceptibility) $\langle \chi_e(z) \rangle$를 최대한 간단하게 공식화한다[4].

                          (1.6b)

여기서 $C_n^E(z)$ $\propto$ $\int_s \phi\,dxdy$ $\propto$ $E_{t,z}(\bar r)$; $A$는 개구면의 면적, 단위를 맞추기 위해 입사 전기장 $\bar E_i$ 대신 입사 정전 포텐셜 $\phi_i$를 사용한다.

평균 전기 감수율의 유도가 약간 엉성하다고 생각할 수 있다. 하지만 개구면의 모양과 금속 막의 두께 영향을 상대적으로 비교하기 위한 기법이라서 난처함은 없다. 우리가 이론을 일관되게 적용하고 있으며 DC에서 실험하기가 좋기 때문에 식 (1.6b)는 나무랄 곳이 없는 결과물이다. 또한 전자파의 투과를 다룰 때 DC인 정전 근사를 쓰는 방식은 문제가 있다고 생각할지도 모른다. 그러나 전송선 이론(transmission line theory)에서 정적 근사(static approximation)를 써서 단위 길이당 유도 용량(inductance, L)과 전기 용량(capacitance, C)을 구하는 방식을 기억해야 한다. DC에서 구한 $L, C$이지만 전압파와 전류파를 다루는 전송선에 충분히 쓸 수 있다. 마찬가지로 정전 근사로 유도한 식 (1.6b)는 분명한 근사이지만, 혼란스러운 전자파 침투를 분석하는 훌륭한 기준이 된다.

[그림 1.2] 무한히 긴 도선을 흐르는 전류(출처: wikipedia.org)

[그림 1.2]의 구조처럼 무한히 긴 도선을 흐르는 전류 $I$는 옴의 법칙에 따라 도선 내부에 $E_0$ = $J / \sigma$ = $I \mathbin{/} (\sigma A)$인 전기장을 만든다. 하지만 무한히 긴 도선이라서 도선 내부에 전하가 쌓일 공간은 없어서 전하 밀도는 항상 0다. [그림 1.2]의 정전장 해는 다음과 같다.

                  (1.7)

여기서 $a$와 $A$는 각각 도선의 반지름과 단면적, 전류는 $z$방향으로 흐른다. 식 (1.7)에 가우스 정리(Gauss' theorem)를 쓰면 $\oint_s \bar E \cdot d \bar a$ = $0$이 되기 때문에, 도선의 모든 영역에서 전하는 없다.

[그림 1.3] 직류 회로에 발생하는 전기장 분포(출처: wikipedia.org)

하지만 [그림 1.3]처럼 도선이 유한해서 휘어지면 [그림 1.2]에서는 없던 표면 전하 밀도(surface charge density) $\rho_s$가 출현한다. 왜냐하면 도선은 전기 전도도가 무한대라서 전기장은 없고 저항 내부에는 식 (1.7)과 같은 전기장 $E_0$이 있는 전기장의 불균일성이 생기기 때문이다. 이 경우 발생하는 표면 전하 밀도는 $\rho_s$ = $Q/A$ = $E_0 - 0$이다. 간단한 막대형 저항인 경우는 $\rho_s$가 $V$ = $IR$로 쉽게 연결된다.

                  (1.8)

여기서 $l$은 저항의 길이이다. 또한 전류가 저항 내부를 균일하게 흘러서 전류 밀도가 일정하고 전기장의 변동도 없으면, 저항 내부에는 전하가 만들어지지 않는다. 대신 도선과 저항이 만나는 지점에만 표면 전하 밀도가 나타난다. 다른 관점으로 저항이 복잡한 모양과 다른 전기 전도도를 가지면 직류 회로의 전하 분포는 [그림 1.3]보다 더욱 복잡하게 발생한다[6]. 식 (3)의 맥스웰 방정식을 풀어서 전하 분포를 계산할 수도 있지만, 저항의 직렬과 병렬 근사를 활용할 여지도 존재한다. 

   2. 정자장(magnetostatics or static magnetic field)   

[그림 2.1] 두 개의 자석이 만드는 자기 쌍극자의 자기장(출처: wikipedia.org)

정전 포텐셜 $\phi$에 대응하는 개념으로 자기장 $\bar H$를 위한 자기 스칼라 포텐셜(magnetic scalar potential) 혹은 정자 포텐셜(magnetostatic potential) $\psi$가 존재한다. 선 적분 $c$의 내부에 전류가 없다면, 자기장은 정자 포텐셜의 구배(gradient)로 정의될 수 있다.

                          (2.1)

여기서 $\oint_c \bar H \cdot d \bar l$ = $0$이다. 식 (1.1)처럼 자기장의 푸아송 방정식도 만든다.

                          (2.2)

여기서 $\bar \nabla \cdot \bar B$ = $0$; $\rho_m$은 자하 밀도(magnetic charge density), 전하처럼 자하(magnetic charge)에 의해 자기장이 생긴다고 생각해서 $\bar \nabla \cdot (\mu_0 \bar H)$ = $\rho_m$으로 설정한다.

[그림 2.2] 동축선의 단면 구조(그림 출처: wikipedia.org)

자기장의 선 적분 내부에 전류가 없는 경우는 정전 포텐셜과 정자 포텐셜의 특성은 같다. 그러나 내부에 전류가 생기면 정자 포텐셜은 보존적이지 않아서 선 적분의 회전 회수에 따라 값이 달라진다[5]. 예를 들어, [그림 2.2]와 같은 동축선의 자기장을 관찰한다. 암페어 주회 적분 법칙(Ampere's circuital law)으로 자기장 $\bar H$를 구한 후, $\phi$에 대해 적분해서 $\psi$를 결정한다.

                          (2.3)

여기서 $I$는 내부 도체를 흐르는 전류이다. 방위각 $\phi$에 따라 정자 포텐셜 $\psi$는 계속 커질 수 있지만, 같은 각도인 $\phi$와 $\phi + 2 \pi$에서 $\psi$가 달라지는 결함이 있다. 이는 선 적분 $\oint_c \bar H \cdot d \bar l$ 안에 전류 $I$가 존재하기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 적당한 방위각 위치에 가지 자름(branch cut)을 정의한다. 예시로서 $\phi$ = $0$을 가지 자름으로 선언하고 $\phi$의 범위를 $0 \le \phi < 2 \pi$로 제한한다. 그러면 식 (2.3)은 $\phi$의 정의역에서 일가성(single-valuedness)을 만족한다. 대신 가지 자름을 지날 때는 $2 \pi$를 더하거나 빼야 한다. 즉, 가지 자름인 $\phi$ = $0$에서는 가지 상수(branch constant) $B_0$ = $2 \pi$만큼 불연속이 필연적으로 생긴다.

[그림 2.2] 금속 막에 만들어진 2개의 개구면(그림 출처: [5])

정자 포텐셜의 일가성을 형성하는 가지 자름은 3차원 구조에도 필요하다[5]. [그림 2.2]에 나온 2개의 개구면을 통과하는 빨간색 폐경로 $c$ 내부에는 금속이 있어서, 이 경로 안에 전류가 있을 수 있다. 이때는 식 (2.3)처럼 다가성이 생기기 때문에, 문제를 풀 때 중첩 원리(superposition principle)로 도출하는 두 영역에 가지 상수 $B_0, B_1$을 각각 도입한다. 가지 상수 $B_0, B_1$은 두 영역의 어떤 경계면에서 $B_1 - B_0$인 불연속성을 만들지만, $\psi$는 일가성을 가지도록 도운다.

[그림 2.3] 개구면(aperture)을 통한 자기장의 침투(그림 출처: [2])

접선 전기장이 개구면을 제외한 금속 막에서 0이 되는 경계 조건을 활용하기 위해, $z$방향으로 전기장이 없는 TE${}^z$ 모드[$H_z \ne 0$, $E_z$ = $0$]에 대해 식 (1.2)와 유사한 결합 계수 $C_n^H(z)$를 정의한다.

                          (2.4)

여기서 $\bar e_n^H(\bar r)$ = $\bar M^H$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar N^H$, $\bar h_n^H(\bar r)$ = $\bar N^H$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar M^H$이다. 식 (1.4)와 (1.5)를 TE${}^z$ 모드에 적용하면, 개구면의 끝인 $z$ = $0$에서 식 (2.4)가 간략화된다[3].

                          (2.5a)

                          (2.5b)

여기서 $z$방향 전기장이 없어서 $P_n^H$ = $0$, $H_z$는 TE${}^z$ 모드의 $z$방향 자기장이다. 식 (2.5b)는 물리적 설명이 추가로 필요하다. 자기장 $H_z$가 개구면으로 입사한 경우, 투과된 자기장은 [그림 2.3]처럼 생기며 그 벡터 방향은 $x, y$축이 된다. 그래서 투과 자기장 $\bar H_t$는 금속 막에 평행한 $x, y$방향을 모두 고려해야 한다. 이 특성은 자화도(magnetization) $\bar M$을 잣대로 벡터량인 자기 감수율(magnetic susceptibility) $\bar \chi_m (z)$로 근사된다.

                          (2.6a)

식 (2.5b)에 나온 $H_z$에 정자장을 쓰는 정자 근사(magnetostatic approximation)를 써서 $H_z$ = $-\partial \psi / \partial z$로 둔다.[포텐셜 이론을 쓰면 $\bar H$ = $-\partial \bar F/\partial t - \bar \nabla \psi$이다.] 그러면 식 (1.6b)처럼 $x,y$방향에 대한 평균 자기 감수율 $\langle \chi_{mx}(z) \rangle$과 $\langle \chi_{my}(z) \rangle$가 각각 정의된다.

                          (2.6b)

여기서 $\psi_i$는 입사 정자 포텐셜이다. 정자 포텐셜과 자기장의 관계성을 명확히 하기 위해 식 (2.6b)에 부호 ($-$)를 붙이기도 한다.

[참고문헌]

[1] H. A. Bethe, "Theory of diffraction by small holes," Phys. Rev., vol. 66, no. 7–8, pp. 163–182, Oct. 1944.

[2] F. de Meulenaere and J. van Bladel, "Polarizability of some small apertures," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 25, no. 2, pp. 198–205, Mar. 1977.

[3] R. L. Gluckstern, R. Li, and R. K. Cooper, "Electric polarizability and magnetic susceptibility of small holes in a thin screen," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 38, no. 2, pp. 186–192, Feb. 1990.

[4] J. H. Lee and H. J. Eom, "Electrostatic potential through a circular aperture in a thick conducting plane," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 44, no. 2, pp. 341–343, Feb. 1996.

[5] H. J. Eom, J. W. Zeong, J. S. Seo, and J. G. Lee, "Magnetostatic potential penetration into two circular apertures in a thick conducting plane," IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 43, no. 3, pp. 399–402, Aug. 2001.

[6] 유태훈, "전기 회로에서 저항성 도체의 표면전하 분포와 정상전류 및 에너지 흐름", 전자공학회논문지, 제59권, 제9호, pp. 111–120, 2022년 9월.

[7] F. Olyslager and I. V. Lindell, "Closed form solutions of Maxwell's equations in the computer age," URSI Radio Sci. Bull., vol. 2003, no. 305, pp. 30–37, Jun. 2003.

[다음 읽을거리]

1. 라플라스 방정식용 등각 사상

중첩 원리(Superposition Principle)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "중첩 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 스튀름–리우빌 이론

2. 전자기장 파동 방정식

[그림 1] 두 파동의 다양한 중첩(출처: wikipedia.org)

덧셈과 상수배로 정의하는 선형성(linearity)을 가진 함수를 선형 함수(linear function)라 이름 붙인다.

                          (1)

여기서 $f(x)$는 선형성을 만족해서 선형 함수이다. 식 (1)에 보인 선형성을 시스템 응답(system response) 관점에서 설명하는 개념이 중첩 원리(superposition principle)이다. 이 원리에 따르면 선형 함수 $f(x)$를 입력 혹은 여기(excitation) $x$에 대한 선형 시스템의 출력 혹은 응답 $f(x)$로 이해한다. 그러면 선형 결합(linear combination)으로 들어오는 전체 입력 $ax+ay$의 응답은 선형성에 따라 각각의 입력 $x,y$의 응답을 덧셈으로 중첩한 값과 일치한다. 이런 함수 선형성을 시스템 출력의 중첩성으로 강조한 시각이 바로 중첩 원리이다.

중첩 원리를 미분 방정식(differential equation)에 적용한 예시로 일반해(general solution)와 특수해(particular solution)가 있다.

                          (2)

여기서 $\mathfrak{L}[\cdot]$는 미분 연산자, $y_g$와 $y_p$는 각각 일반해와 특수해이다.

전자기장 파동 방정식(electromagnetic wave equation)은 선형 미분 방정식의 일종이라서, 특정 영역의 매질이 상수라면 중첩 원리를 적용해서 해를 구할 수 있다. 그래서 식 (2)에 제시한 중첩 원리는 다양한 전자파 문제를 효과적으로 해결하는 좋은 도구가 된다.

[그림 2] 다중 도체 전송선(multiconductor transmission line)의 예시(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 중첩 원리를 이용한 3중 도체 전송선의 전압 분해

예를 들어, [그림 2]와 같은 3중 도체 전송선(triple-conductor transmission line)의 전압 분포를 구해본다. 3곳의 도체에 걸리는 전압은 $V_1, V_2, V_3$로 다를 수 있어서, [그림 3]과 같이 한 곳의 전압만 설정하고 나머지는 접지로 둔 후, 각각의 경우를 계산한다. 이 결과는 식 (2)처럼 중첩 원리를 따르므로, 세 가지 전압 분포를 선형 결합으로 중첩해서 원하는 답을 얻는다.

[그림 4] 공진기 방법에 따라 도파관 T접합을 분해(출처: wikipedia.org)

중첩 원리는 전자파의 도파(waveguiding)와 산란(scattering)에도 다양하게 사용된다. 대표적으로 도파관(waveguide) 문제를 풀 때 중첩 원리는 큰 힘이 된다. 예시로 전자파 전력을 분배하는 [그림 4]의 도파관 T접합(T-junction)을 고려한다. 한쪽이 막힌 초록색 도파관과 양쪽이 열린 파란색 도파관의 전자파 중첩으로 T접합의 전자파 분포를 합성한다. 도파관의 외벽은 PEC(perfect electric conductor)라서 접선 전기장의 경계 조건은 0이 된다. 그러면 중첩 원리에 따라 중첩된 T접합의 접선 전기장은 항상 경계 조건을 만족한다. 하지만 접선 자기장은 PEC에서 불연속이 되므로, [그림 4]에 나온 초록선과 파란선에서 접선 자기장이 연속이라는 조건으로 초록색과 파란색 도파관에 존재하는 자기장의 계수를 맞춘다. 이런 방식으로 경계 조건을 쉽게 결정하는 기법을 공진기 방법(resonator method)이라 부른다[1]. 왜냐하면 [그림 4]의 마지막 도식처럼 두 도파관의 중첩 영역은 모두 PEC로 막혀서 일종의 공진기를 구성하기 때문이다.

[참고문헌]

[1] E. Kühn, "A mode-matching method for solving field problems in waveguide and resonator circuits," Archiv für Elektronik und Übertragungstechnik (International Journal of Electronics and Communications), vol. 27, pp. 511–518, 1973.

포스터의 리액턴스 정리(Foster's Reactance Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포스터의 리액턴스 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 페이저를 이용한 임피던스 정의

2. 포인팅의 정리

[확인] 본 페이지는 exp(jωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

[그림 1] 주파수에 대해 리액턴스가 증가하는 모습(출처: wikipedia.org)

교류 회로(alternating current or AC circuit)에 나오는 임피던스(impedance)의 주파수 응답(frequency response)을 꼼꼼하게 관찰하면 쉽게 이해할 수 있는 단순한 정리로 포스터의 리액턴스 정리(Foster's reactance theorem)가 있다. 매우 간단한 정리이지만, 이 정리의 내면에는 필터(filter) 설계를 위한 거대한 방법론이 자리한다.

[포스터의 리액턴스 정리] [1]

무손실 임미턴스(immitance)의 허수부는 주파수에 대해 항상 단조 증가한다.

                          (1)

여기서 $X, B$는 각각 리액턴스(reactance)와 서셉턴스(susceptance)이다.

[증명: 회로 이론]

임미턴스는 임피던스와 어드미턴스(admittance)를 모두 포함하는 용어이므로, 먼저 임피던스 $Z$의 허수부인 리액턴스(reactance) $X$의 주파수 특성을 관찰한다. 회로 내부에 인덕터나 커패시터가 하나만 있으면, $X$ = $j \omega L$ 혹은 $-j \mathbin{/} (\omega C)$로 표현되어서 $dX/d\omega$는 단조 증가한다. 이 리액턴스가 직렬(series)로 연결된 경우는 $jX_s$ = $jX_1 + jX_2$가 되며 두 단조 증가 함수를 합친 함수도 단조 증가한다. 그래서 직렬 회로는 항상 주파수에 대해 리액턴스가 계속 커진다. 병렬(parallel) 회로 $X_p$는 약간 복잡해서 $\omega$에 대한 미분으로 증명한다.

                  (1)

여기서 $dX_1 / d\omega > 0$, $dX_2 / d\omega > 0$이다. 또한 손실 없는 모든 종류의 전기 회로망(electrical network)은 $L$과 $C$의 직렬이나 병렬 결합이다. 따라서 직렬이든 병렬이든 리액턴스만으로 구성한 회로망의 전체 리액턴스는 주파수에 따라 항상 증가한다.

임피턴스 결과를 이용해서 어드미턴스에 대한 증명도 완성한다. 어드미턴스 $Y$의 허수부인 서셉턴스(susceptance) $B$는 $Y$ = $jB$ = $1 \mathbin{/} ( jX)$ = $-j/X$이다. 리액턴스 $X$는 항상 커지므로, $X$의 역수를 취하고 부호를 바꾼 $B$도 주파수에 대해 단조 증가한다.

[증명: 맥스웰 방정식] [2]

각주파수 $\omega$로 미분한 맥스웰 방정식은 아래와 같다.

                  (2)

여기서 $\bar E, \bar H$의 시간 약속은 $e^{j \omega t}$이다. 포인팅의 정리(Poynting's theorem)와 비슷한 방식으로 식 (2)에 $\bar E, \bar H$를 곱해서 발산(divergence)을 적용한다.

                  (3a)

식 (3a)를 체적 $v$에 대해 적분해서 새로운 전자기장의 에너지 관계를 만든다. 

                  (3b)

여기서 $d \bar a$는 $v$를 뚫고 외부로 나가는 방향으로 계산한다. 로렌츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)을 유전체와 자성체에 적용하면, 식 (3b)의 우변은 각각 전기장과 자기장의 에너지 $W_e, W_m$을 4배한 값이 된다.[∵ $1/2$는 에너지 정의, $1/2$는 평균 전력에서 나온다.] 전기장과 자기장을 전압파와 전류파(voltage and current waves)로 연결하기 위해, 접선 전기장(tangential electric field) $\bar E_t$를 전압파 $V_0 e^{-j \beta z}$로 공식화한다.

                  (4a)

여기서 전력 전달은 $z$방향, $\beta$는 위상 상수(phase constant), $\bar e(x, y)$는 편파(polarization)를 나타내는 실수 벡터이다. 식 (4a)를 맥스웰 방정식에 대입함으로써 접선 자기장(tangential magnetic field) $\bar H_t$도 얻는다.

                  (4b)

여기서 $Z_0$ = $V_0 / I_0$, $\bar e$ = $\bar h \times \hat z$이다. 반사가 없는 전송선 내부에서 평균 전력(average power) $P_\text{av}$는 일정하므로, 편파 벡터 $\bar e(x, y)$의 조건이 정해진다.

                  (4c)

여기서 $\bar e, \bar h$의 단위는 모두 1/m이다. 식 (4)를 식 (3b)의 좌변에 넣어서 전압파와 전류파의 주파수 변화 특성을 생성한다.

                  (5a)

여기서 식 (4b) 조건으로 인해 $\partial \bar e / \partial \omega \times \bar h$ = $\bar e \times \partial \bar h / \partial \omega$ = $\hat z (\bar e \cdot \partial \bar e / \partial \omega)$이다. 리액턴스 $X$만 있다는 가정인 $V_0$ = $j X I_0$을 식 (5a)에 넣어 정리한다.

                  (5b)

여기서 $z < 0$ 영역에서 입사하는 전자파가 $z$ = $0$인 표면에 들어간다고 생각해 $d \bar a$ = $-da \hat z$로 바꾼다.

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포스터의 리액턴스 정리는 필터 설계의 기본 원리를 제공한다. 리액턴스로 만든 무손실 필터(lossless filter)는 인덕터나 커패시터의 조합이므로, 임피던스 $Z(\omega)$는 분자와 분모가 다항식인 유리 함수 $P(\omega) / Q(\omega)$로 표현된다. 여기서 필터 설계법은 필터 규격으로 고차 다항식 $P(\omega), Q(\omega)$를 유일하게 결정하는 수학적 절차이다. [그림 1]처럼 포스터의 리액턴스 정리에 따라 $X$는 계속 커지고 있어서, 주파수 응답에는 영점(zero)과 극점(pole)이 반드시 존재한다. 따라서 필연적으로 존재하는 $Z(\omega)$의 영점과 극점 위치를 필터 규격으로 맞춤으로써, 필터에 항상 원하는 주파수 응답을 만들 수 있다.

[그림 2] 연산 증폭기의 반전 모드(출처: wikipedia.org)

포스터의 리액턴스 정리가 성립하지 않는 회로는 비포스터 회로망(non-Foster network)이라 부른다. 기존 전기 회로에 비포스터 회로를 추가하면 통상적인 커패시터나 인덕터 효과를 없앨 수 있어서 광대역 특성 설계에 유용하게 사용된다[3]. 비포스터 회로는 유전체나 자성체의 공진(resonance)으로 만들 수 있지만, 공진 주파수가 너무 높고 매질 특성이 들어가서 원하는 성질을 구성하기 어렵다. 그래서 비포스터 회로는 주로 증폭기(amplifier)로 설계한다. 예시적으로 [그림 2]는 저주파에 쓰는 연산 증폭기(operational amplifier, op-amp: 예전 아날로그 컴퓨터(analog computer)를 제작할 때 쓴 방식이라 연산이란 이름이 붙음)의 반전 모드(inverting mode: 입력을 넣으면 출력의 극성이 바뀜)를 이용해 부성 저항이나 임피던스(negative resistance or impedance)를 생성하는 방법을 보여준다. 물론 연산 증폭기 대신 임의 종류의 차동 증폭기(differential amplifier)를 써도 같은 결과가 얻어진다. 연산 증폭기 해석은 가상 접지(virtual ground: 실제 접지는 아니지만 접지와 같은 전압)부터 출발한다. 연산 증폭기는 개회로(開回路, open-loop) 이득 $A_\text{OL}$이 매우 커서 입력 전압 $V_-$는 다른 입력 $V_+$를 그대로 따라간다. [그림 2]에서 $V_+$ = $0$이므로, $V_-$는 가상 접지처럼 0V로 가정한다. 다만 통상적인 접지와 다르게 증폭기의 입력부라서 증폭기로 들어가는 전류는 거의 0이다. 그러면 $V_\text{in}$이 만든 입력 전류 $I_\text{in}$ = $V_\text{in} / R_\text{in}$은 증폭기로 들어가지 않고 모두 피드백 혹은 되먹임 저항(feedback resistor) $R_f$를 거쳐 출력부로 나간다. 결국 출력 전압 $V_\text{out}$은 입력과 피드백 저항의 비율로만 결정된다.

                          (1)

여기서 $V_\text{out}$을 걸어도 전류는 저항에 들어가지 않고 $V_\text{out}$ 쪽으로 나와서 ($-$)를 붙인다.[다른 말로 옴의 법칙에서 전압의 극성과 전류의 방향이 반대이다.] 전압 $V_\text{out}$과 입력 전류 $I_\text{in}$을 기준으로 옴의 법칙(Ohm's law)을 적용하면, 부성 저항 $-R_f$가 정확히 만들어진다. 교류 회로에서는 저항 대신 인덕터와 커패시터를 $R_f$ 위치에 쓸 수 있기 때문에, [그림 2]의 회로로 부성 인덕터(negative inductor)와 부성 커패시터(negative capacitor)를 쉽게 구성할 수 있다. 부성 인덕터와 커패시터로 짜맞춘 회로망은 주파수가 증가할 때 임미턴스의 허수부는 단조 감소해서 비포스터 회로망이 된다. 이를 이용하면 우리가 설계한 회로의 대역폭을 많이 개선할 수 있다. 예를 들어, 회로의 입력 임피던스가 $Z_\text{in}$ = $R_\text{in} + jX_\text{in}$로 측정되면, $-X_\text{in}$ 특성을 가진 비포스터 회로를 부착한다. 그러면 주파수에 따라 커지는 $X_\text{in}$을 넓은 대역에서 $-X_\text{in}$으로 상쇄시킬 수 있다. 대신 증폭기를 쓰고 있어서 회로의 외부에서 지속적인 전력 공급이 있어야 한다.

[참고문헌]

[1] R. M. Foster, "A reactance theorem," Bell Syst. Tech. J., vol. 3, no. 2, pp. 259–267, Nov. 1924.

[2] D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2012.

[3] 이용혁, 정재영, "소형 안테나의 광대역 정합 및 수신전력 개선을 위한 비-포스터 회로 설계", 한국전자파학회논문지, 제30권, 제7호, pp. 533–541, 2019년 5월.

[다음 읽을거리]

1. 로렌츠 진동자 모형