2011년 3월 22일 화요일

포인팅의 정리(Poynting's theorem)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포인팅의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 대칭적인 맥스웰 방정식
3. 정말 유용한 페이저 개념
4. 저항
5. 전기장의 에너지
6. 자기장의 에너지

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[그림 1] 쌍극자에서 방사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

전자파(electromagnetic wave) 특성 계산에서 흔히 사용하는 포인팅 정리는 전자파의 전력 전달 특성을 설명한다. 전기장(電氣場, electric field)과 자기장(磁氣場, magnetic field)으로 구성된 전자파는 전력(電力, power)을 어떻게 전달할까? 이름에서도 알 수 있듯이 포인팅 정리의 공식적인 증명은 1884년에 포인팅(John Henry Poynting)이 하였다[1]. (포인팅에게는 억울한 일이겠지만, 포인팅 벡터의 최초 증명은 은둔의 과학자, 헤비사이드(Oliver Heaviside)가 했다[2].) 이를 증명하기 위해 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)을 먼저 고려하자.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (2)와 (4)의 켤레 복소수(complex conjugate)에 자기장의 켤레 $\bar H^*$와 전기장 $\bar E$를 각각 곱하여 빼주면 식 (5)의 벡터 항등식 형태로 만들수 있다.

                         (5)

그러면 아래 식 (6)을 얻을 수 있다.

                         (6)

식 (6)에서 자기장에 켤레 복소수를 적용한 이유는 평균 전력(average power)의 의미를 도출하기 위해서이다. 아래 식 (13)에서 자세하게 설명한다.
어쨌건 여기까지는 숫자 놀음이라 생각할 수 있다. 그래서 포인팅 정리는 이 다음이 더 중요하다.
[그림 2] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

식 (6)을 [그림 2]의 $V$에 대해 체적 적분해서 좌변에 발산 정리(divergence theorem)를 적용해 포인팅 정리의 물리적 의미를 파악해 보자.

          (7-1: $e^{-i \omega t}$)

          (7-2: $e^{j \omega t}$)

식 (7)에 존재하는 항목들을 차례로 살펴보자.
위의 관찰을 바탕으로 식 (7)을 설명할 수 있다. 식 (7)의 좌변은 포인팅 벡터를 포함하고 있다. 식 (7)의 좌변 앞에 (-) 부호가 있으므로 포인팅 벡터는 특정한 닫힌 면적을 뚫고 들어가는 방향([그림 2]에서 $-n$ 방향)이다. 이 특성은 식 (7)의 우변과 같아야 한다. 식 (7)의 우변은 전류의 소비 전력, 자류의 소비 전력, 전기장의 저장 전력, 자기장의 저장 전력과 같다. 즉, 식 (7)의 우변은 모두 전력과 관계된다. 따라서, 식 (7)의 우변에 있는 포인팅 벡터는 전력 밀도를 의미해야 하고 특정 체적 $V$를 뚫고 들어가는 포인팅 벡터는 그 체적 $V$의 입력으로 작용해서 체적에서 사용하는 전력(소비 혹은 저장)과 같아야 한다. 이러므로 포인팅 벡터를 전자기파가 이송하는 전력 밀도로 정의하는 것은 타당하다.
식 (7)의 우변에 있는 소비 전력을 이해하기 위해 식 (8)과 (9)를 고려하자.

        (8)

        (9)

여기서 전류 $I_e$와 자류 $I_m$은 일정하다고 가정했으며 $V_e, V_m$은 전기와 자기 포텐셜(potential)을 나타낸다. 쉽게 말해 전기력(= 전하 × 전기장)이 작용할 수 있는 공간에서 전류가 전기력과 같은 방향으로 흐르면 전력이 소비된다는 의미이다. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다. 자기력(= 자하 × 자기장)하에서 자류가 힘의 방향과 같은 방향으로 흐르면 전력은 소비된다. 이 부분이 잘 이해가 안 되면 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 상기하자.
다만, 식 (8)과 (9)에 제시한 것처럼 전기장과 자기장이 전기 포텐셜(전압)과 자기 포텐셜(자압)로만 표현되는 것이 아니라 전기와 자기 벡터 포텐셜(vector potential)까지 고려해야 정확한 계산이 된다. 식 (8)과 (9)에서 최종식을 포텐셜로만 표현했지만 소비 전력의 의미 이해에는 큰 지장은 없을 것이다. 왜냐하면 전기장은 전기력과 연계되고 전기력을 거리에 대해 적분하면 전기에너지가 되는 관계때문이다. 이를 이해하기 위해 식 (10)을 보자. 이 경우 전기 포텐셜을 전기장의 거리 적분으로 생각하면 쉽다.

                (10)

식 (10)의 유도에서 $q_e = 0$ 조건을 가정했다. 저항(resistor)이나 도선에서는 전류가 계속 해서 흐르기 때문에 이 가정은 타당하다. $q_e \ne 0$인 경우는 전하가 축적되는 현상이므로 커패시터(capacitor)와 관계있으며 이는 전기장의 에너지 밀도인 식 (11)로 유도된다.
만약 $\bar M = 0$이면 소비 전력은 식 (8)로만 표현된다. 하지만 힘을 구성하는 것은 전기력과 자기력인데 식 (8)에는 전기장만이 나타나 있다. 무엇이 문제일까? 사실 문제가 되는 것은 하나도 없다. 자기력이 있지만 항상 전류가 흐르는 방향과 수직인 방향으로 생기므로 식 (8) 입장에서는 전력 기여가 없는 것이다. 이상의 논의를 고려하면 식 (8)과 (9)가 소비 전력을 의미하는 것은 분명하다.
마지막으로 식 (7)의 마지막 두 항이 저장 전력 밀도가 되는 이유를 살펴보자. 이를 위해 페이저(phasor)를 쓰지 않고 시간영역에서 두 항을 유도해 보자.

                         (11)

                         (12)

식 (11)과 (12)의 우변을 보면 에너지 밀도를 시간에 대해 미분하고 있는 것을 볼 수 있다. 에너지의 시간미분은 전력이 되므로 식 (11)과 (12)의 좌변은 전력 밀도가 되는 것을 쉽게 알 수 있다.
식 (7)의 포인팅 정리는 수학적 관계이므로, 시간 변화가 없는 직류(DC) 경우에도 성립한다. 이 경우 포인팅 벡터는 전자파가 아닌, 순수 전기장과 자기장이 이송하는 전력 밀도를 의미한다. ($\because$ 시간 변화가 없으면 통상적으로 전자파는 발생하지 않는다.)

페이저(phasor) 정의를 이용해서 전자기파의 평균 전력(average power) 특성을 살펴보자.

                         (13)

여기서 $\epsilon, \mu$는 실수(real number)로 가정했다. (∵ 전자파가 공기중으로 전파될 때는 손실이 거의 없으므로 실수로 가정해도 된다.)
식 (8)과 (9)의 논의를 통해 식 (13)의 의미를 살펴보자. 식 (13)의 우변이 (+)이면 주어진 체적에서 소비되는 전력이다. 전자파는 전력 보존 법칙(conservation of power)이 성립해야 하므로 식 (13)의 좌변은 반드시 체적내로 유입되는 전자파의 평균 전력이 되어야 한다. 이런 특성 때문에 식 (6)과 (7)에서 포인팅 벡터를 정의할 때 자기장에 켤레 복소수를 취했다. 비슷한 관계가 평균 AC 전력(average AC power)을 정의할 때도 쓰였다.
식 (13)을 보면 전자기파의 평균 전력(식 (13)의 좌변)에 영향을 줄 수 있는 것은 전류 혹은 자류가 만들거나 소비하는 전력이다. 원천(source) 역할을 하는 전류와 자류는 보통 유한한 체적(식 (13)의 우변에 있는 $v$)내에만 존재하므로 식 (13)의 좌변에 있는 표면적($s$)을 어떻게 잡더라도 식 (13)의 우변은 일정하다. 즉, 유입된 전자기파의 평균 전력(식 (13)의 좌변)은 전류와 자류의 전력 소비분(식 (13)의 우변)과 항상 일정하다. 혹은 전류와 자류의 전력 생산분(식 (13)의 우변에 (-) 취함)은 방출된 전자기파의 평균 전력(식 (13)의 좌변에 (-) 취함)과 같다.
그래서, 식 (13)은 수학적으로 재미있는 결론을 낸다. 전자파 전력을 계산하기 위한 표면적($s$)은 전류와 자류를 포함하게만 잡는다면 어떠한 표면적이라도(or 무한대로 잡아도) 관계없다. (or 전류와 자류를 포함하게끔 어떤 표면적($s$)을 잡더라도 평균 전력은 항상 보존되어 어느 위치에서나 같다.) 이와 같은 특성은 수학자들이 매우 좋아하는 관계이다. 우리에게 자유를 부여하기 때문에.
발산 정리(divergence theorem)를 이용해 식 (13)을 미분형(differential form)으로 표현하면 아래와 같다.

                         (14)

즉, 평균 포인팅 벡터(average Poynting vector)의 발산은 전류와 자류 전력 밀도의 실수부(real part)가 된다.

                         (15)

예를 들어 식 (13)과 (14)에 $\bar J = \bar M = 0$ 조건(원천 없음)을 부여하면 식 (15)를 얻는다. 원천이 없기 때문에 표면 적분이 0이 되어 전자파의 평균 전력은 0이 된다. 이 뜻은 특정영역에 유입된 전자파 전력은 반드시 다른 영역으로 방출된다는 뜻이다.
원역장(far field)에서 포인팅 벡터의 허수부(imaginary part)를 살펴보자. 원역장이란 의미는 원천에서 매우 멀어진 영역을 의미한다. 이론적으로는 원천에서 무한대 만큼 멀어져야 원역장이 된다. 원역장에서는 전기장과 자기장의 관계가 균일 평면파(uniform plane wave)가 되므로 포인팅 벡터의 허수부는 항상 0이 된다. 따라서, 원역장에서 다음 관계가 성립한다.

                       (16)

식 (16)을 예쁘게 모으면 전류와 자류 전력 밀도의 허수부는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

                       (17)

즉, 복사되지 못하는 전류와 자류의 전력 생산분은 전기장과 자기장의 에너지로 축적된다는 것이다. 그리고, 원천 위치에 몰려있는 전류와 자류의 전력 생산분이 유한하면 전공간에 퍼지는 전기장과 자기장의 에너지도 반드시 유한하다.


[그림 3] 원천을 포함하는 가상의 구


이제까지 논의한 개념을 바탕으로 포인팅 정리를 원천 $\bar J, \bar M$ 없이 표현해보자. 먼저 식 (7-1)을 아래처럼 원천 관점에서 써보자.

                       (18)

여기서 문제 영역은 [그림 3]처럼 반지름이 $r = r_1$인 가상구([그림 3]의 초록색 구)이며, 이 가상구는 모든 원천을 포함하고 있다. 식 (13)과 (17)을 살펴보면, 원천이 만드는 실수 전력(real power)이 복사 전력($P_r$)이며 원천의 허수 전력(imaginary power)은 해당 체적이 포함하는 전기장과 자기장 에너지의 차이와 관련된다. 따라서 식 (18)에서 체적 반지름을 $r \to \infty$로 설정한 경우, 다음처럼 원천에 대한 체적 적분 관계식을 새롭게 얻을 수 있다.

                       (19)

여기서 $P_r$은 실수이며 전자파의 복사 전력(radiated power)을 나타낸다. 식 (19)를 식 (18)에 대입하면 임의 위치의 포인팅 벡터는 다음을 반드시 만족한다.

                       (20)


[그림 4] 태양빛의 복사 압력을 이용한 우주 탐사선(출처: wikipedia.org)

포인팅 벡터는 전자파의 에너지 전달을 표현하고 있다. 에너지(energy)는 (force)과 관계되므로 전자파가 에너지 전달 방향으로 압력(pressure)을 가하고 있다. 이것을 복사 압력(radiation pressure)이라 부른다. 복사 압력 관계식을 구하기 위해 먼저 전력과 힘 관계식을 고려하자. 

                       (21)

파동의 경우는 속도가 일정하므로 식 (21)에서 $\bar v$는 상수이다. 또한, 압력은 힘을 면적으로 나눈 값이므로 전자파에 대해 다음 관계가 성립한다.

                       (22)

여기서 $\mathfrak{\bar f}$는 단위 면적당 힘(or 복사 압력)이다. 식 (22)에서 면적 적분의 방향을 포인팅 벡터 방향으로 잡으면 복사 압력을 포인팅 벡터로 정의할 수 있다.

                       (23)

[참고문헌]
[1] J. H. Poynting, "On the transfer of energy in the electromagnetic field," Proc. Roy. Soc. London, vol. 175, pp. 343-361, Jan. 1884.
[2] A. E. Emanuel, "About the rejection of Poynting vector in power systems analysis,"
Journal of Electrical Power Quality and Utilisation, vol. 13, no. 1, 2007.

[다음 읽을거리]
1. 전자기파에 대한 유일성 정리
2. 로렌츠 상반 정리
3. 전자파의 운동량

댓글 31개 :

  1. 7번 적분식에서 우변에 전자장 에너지밀도 부호가 다른게 특별한 뜻이 있는건가요?

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  2. 시간약속을 어떻게 하는가에 따라 달라집니다. 본문에서는 exp(-iωt)를 사용하고 있습니다.
    만약 exp(jωt)를 쓴다면 식 (7)에 켤레복소수를 적용하면 됩니다. 즉, 전자장 에너지밀도의 부호가 바뀌게 됩니다.

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  3. 6번식으로 만들어줄때 자기장에 complex conjugate를 꼭 해줘야 하는 이유가 있나요?

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    1. 평균전력을 만들기 위해서 반드시 자기장에 켤레복소수를 취해야 합니다. 비슷한 것이 평균 AC 전력 정의입니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/phasor.html

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    2. 감사합니다.~! 시원하게 해결되었네요 ㅎㅎ

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  4. 포인팅 벡터의 의미에 대해 헷갈리는 점이 있어서 질문합니다.

    포인팅 벡터의 폐면적에 대한 적분에 -를 취한 것은 폐적분 내부에서 일어난

    1. ohmic power dissipation
    2. 전기장이 증가함에 따라 폐면적이 받은 power
    3. 자기장이 증가함에 따라 폐면적이 받은 power

    로 정의가 되잖아요?

    질문 (a)

    2, 3에선 전기장, 자기장이 시간에 따라 증가하게 되면 폐면적 내부로 power를 공급하는 것으로 보는 거잖아요?

    근데 1처럼 ohmic power dissipation이 발생할 땐 폐면적 내부에서 소비되는 전력이 존재한다는 건데 이 때 소비되는 전력도 폐면적 내부로 공급되는 power로 보는 것이 맞나요? 즉 폐면적 내부에 전류가 존재할 때 ohmic power dissipation에 의해 발생하는 열로 인해 온도가 증가한다는 등 에너지가 소비된다는 것인데..

    만약 폐면적에서 ohmic power dissipation이 발생한다면 이 때 소비되는 전력을 폐면적 내부로 공급되는 power로 보는 것이 맞는 생각인가요?

    질문 (b)

    em wave가 conductivity가 존재하는 유전체를 통해 전파한다고 할 때 conductivity 때문에 em wave가 전파함에 따라 감쇠가 일어나잖아요? 즉 전기장, 자기장의 크기가 em wave가 전파함에 따라 점점 작아진다는 소리인데..

    그러면 이 때 전기장, 자기장이 감쇠한만큼 ohmic power dissipation이 일어난 것으로 보는 것이 맞나요?

    질문 (c)

    포인팅 벡터를 "임의의 점에서 전달되는 면적당 power의 크기와 전달되는 방향을 성분으로 갖는 벡터"로 보는 게 맞나요?

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    1. (a) 전자파는 맥스웰 방정식에 의해 전력 보존 법칙이 자동적으로 성립합니다. 내부 부피에 저항 손실이 생기면 필연적으로 입력 전력이 존재해야 합니다.

      (b) 맞습니다.

      (c) 맞습니다. 포인팅 벡터의 방향은 전자파 전력의 전달 방향이 됩니다.

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  5. 안녕하세요 전파거북이님!
    일단 감사합니다.
    이 블로그의 있는 방대한 내용과 자세한 설명이 저에게 큰 도움이 되고 있습니다.

    capacitor를 공부하던 중에 질문이 생겼는데요. 포인팅 벡터와 관련된 질문도 있고 아닌것도 있지만 여기에 질문드리겠습니다.

    1) capacitor를 DC전원을 공급했을 때, 그 에너지를 양 기판사이의 전기장의 에너지로 저장하고 있다고 이해하고 있습니다.

    그러면 capacitor가 다 충전된 상태에서 E-field는 constant한데, 그러면 E-field에 대한 B-field는 생성되지 않는 게 맞나요?

    2) capacitor에 높은 주파수의 AC를 걸어주면 capacitor에 기판의 걸리는 전하가 약간의 딜레이를 가지고 +와 -전하로 바뀌어 가며 충전이 될텐데요(매우 적은양의 전하라도)(실질적으로 short처럼 행동하지만 적은 양의 전하는 조금씩 charge될 거라 생각합니다.)

    그러면 그 때마다 전기장의 방향이 달라지고 전기장의 시간적 변화는 맥스웰방정식에 의해 B-field를 생성하게 되는데요.

    E-field와 B-field가 모두 존재하여 포인팅 벡터(에너지의 흐름)가 형성이 될 것 같습니다.

    하지만 고주파에서 capacitor는 임피던스가 작아 short처럼 행동하여 전압강하가 없는 데요. 어떻게 포인팅 벡터는 존재할 수 있는 것이죠? 포인팅 벡터의 존재는 에너지의 전달을 의미하는 것 아닌가요?

    아니면 전압강하(실질적 에너지 소모)는 없어도 에너지의 전달하는 방향만 나타낸다고 볼 수 있는 건가요?

    항상 눈팅만 하다가 처음으로 질문 남겨 보아요.

    P.S 텐서 너무 어려워서 잠깐 쉬고 있습니다.

    Meta-material에 대해서 공부하는 학생입니다!

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    1. 방문과 칭찬, 항상 감사드립니다, 익명님. ^^

      1. 말씀하신 전기장은 정전장이기 때문 자기장은 생길 수 없습니다.

      2. 커패시터의 정전 용량이 0이 되는 경우는 주파수가 무한대일 때입니다. 하지만, 물리적으로 주파수는 무한대일 수 없기 때문에 전제부터가 성립되지 않습니다.

      포인팅 벡터는 전기장과 자기장이 모두 있어야 합니다. 또한, 포인팅 벡터의 방향은 전자파의 전력 전달 방향이 맞습니다.

      3. 텐서가 쉽다는 사람은 없습니다. 힘내서 계속 공부하세요. ^^
      메타물질(metamaterial)은 우리나라 미래를 위해서 매우 중요한 분야입니다. 소신을 가지고 연구하세요. 좋은 결과가 있을 것입니다.

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    2. 답변이 많은 도움이 되었습니다

      정말 감사합니다^^

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  6. 안녕하세요? 포인팅정리 공부를 하다가 궁금한게 생겨서 질문 올립니다.

    제가 잘못 알고 있을수도 있는데, 15번 식을 보면, 14번 식에서 양 변에 da에 대해서 적분을 한 것이 15번 식 아닌가요?

    그렇다면 발산정리에 따르면 15번 식에서 좌변은 dl에 대한 선전분이 되고, 우변은 da에 대한 적분이 되는 걸로 알고있습니다.

    혹시 14번에서 비롯되는게 아니라 다른 곳에서 유도되는 것인가요? 아니면 제가 잘못알고 있다면 고쳐주시길 바랍니다.

    항상 잘 보고 있습니다. 감사합니다.

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    1. 아 우변은 EJ+HM에 대한 식이 아니네요ㅠ 그럼 둘다 dl에 대한 선적분이 되어야 할거 같은데...

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    2. 헷갈리게해서 죄송합니다ㅠㅠ 부피에 대한 적분이란걸 깜빡했어요ㅠㅠ
      혼자서 북치고 장구치고...ㅋㅋ
      와 정말 어렵네요ㅠ 열심히 공부하겠습니다!!

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    3. 혼자서 답을 찾는 공부법이 가장 좋습니다, 익명님. 계속 열공하시길!

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  7. 안녕하세요? 광학공부하는 학생인데 질문이 있습니다. 식(18)과 식(19)사이에 식(13)과 식(17)을 이용하면 r→∞일 때 원천에 대한 체적 적분 관계식을 얻을 수 있다고 하셨는 데 어떻게 유도하는 지 알수있을까요?

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    1. 식 (19)는 식 (18)의 체적 반지름($r$)을 무한대로 보내면 됩니다. 다만 이 경우 복사 전력에 대한 고려가 필요하므로, 식 (13)을 사용하였습니다. 또한 식 (13)과 (17)에 의해, 원천에 대한 체적 적분의 실수부와 허수부가 정확히 분리됩니다.

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    2. 빠른 답글 감사합니다. 식(20)이 유도되는 과정은 이해됬는 데 식(20)을 정확하게 어떻게 해석해야 할까요? r=r1인 지점에서 어떤 물리적현상이 일어나는 지 알 수 있을 까요?

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    3. 오늘은 연말이라 시간이 많아요.

      식 (20)은 유용한 관계식입니다. 만약 현재 표면의 포인팅 벡터(전력 밀도)를 모두 안다면, 현재 표면 반지름($r_1$)보다 큰 임의 영역은 식 (20)의 우변과 같은 관계를 반드시 가져야 합니다.
      안테나처럼 복사 전력과 축적 에너지 특성이 중요한 소자의 일반적 특성을 예측할 때 식 (20)을 많이 사용합니다.

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    4. 항상 좋은 글 감사합니다. jason이 쓴 책 설명은 수학이 어려워서 헤메고있었는 데 덕분에 이해됬습니다. 새해 복 많이받으세요.

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  8. "특정 공간 내에서 일률이 어떻게 되는가 보니 이러이러한 것들이 있는데 식 (7)에 있는 항목들이 있더라. 그걸 패키지처럼 묶어서 파동의 방향성을 얹어 놨더니, 포인팅 벡터로 이쁘게 표현 되더라."

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    답글
    1. 포인팅 벡터를 이렇게 해석해도 될까요 ㅎㅎ.. 그리고 저번에 올렸던거.. inverse del부터 엉망으로 가는 길이었더라구요ㅠ

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    2. 비슷합니다, 이재님. ^^
      포인팅 벡터는 전자파 이론 분야에서는 해묵은 논쟁 거리입니다. 맥스웰 방정식에 의해 수학적으로 정의한 포인팅 벡터가 이론 바깥의 현실에 존재하는가? 실험적으로 그렇다는 것이 증명되었지만, 의심하는 연구자도 가끔 있어요.

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    3. 감사합니다 전파거북이님 :-)

      음, 선후관계가 살짝 헷갈리네요ㅠ. 포인팅 벡터가 물리적으로 실재하기 때문에, 전력밀도나 에너지 밀도가 전달이 되는 건지.

      아니면 앞서 자기장과 전기장의 에너지, 전류와 자류의 전력밀도를 개별적으로 구했는데, 귀납적 추리로 (물론 원인은 전자기파기 때문에 방향은 파동의 진행방향일테고, 앞서 구한 것들을 합쳐놓았더니) 포인팅 벡터라는 표현을 쓰게 됐는지. 전자는 포인팅 벡터가 근본적으로 실재한다는 의미일테고, 후자는 표현상 편의를 위해 여러 물리현상을 하나로 합쳐 설명해놓은 건데. 어느 쪽이 맞을까요?

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    4. 포인팅은 수학식을 이용해 포인팅 벡터를 정의했습니다. 이게 실제로 유용하다는 것은 후대에 발견된 것입니다.
      그리고 포인팅 벡터에 쓰인 전기장과 자기장은 동일 원천을 가져야 합니다. 아무거나 곱하면 안 됩니다.

      서로 다른 원천의 전자장을 사용한 일반화된 포인팅 벡터의 의미는 로렌츠 상반 정리로 증명합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/05/lorentz-reciprocity-theorem.html

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  9. 전파거북이님 발라니스 전자장이론을 공부하는 학생입니다.

    현재 전자장이론에 대해서 공부하고있는데 혹시 괜찮으시다면 phycal optic equivalent에 대해서도 설명해주실수 있으신지요

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    답글
    1. 물리 광학 근사(physical optics approximation)를 말씀하시는 건가요?
      원래는 전자장 방정식을 풀어서 답을 구해야 하지만, 대형 구조물(주로 금속)인 경우는 계산 시간이 너무 많이 걸리기 때문에 구조물에 유기되는 전류 밀도를 입사 자기장으로 근사화하는 기법입니다. 생각보다는 꽤 정확합니다.

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    2. 감사합니다. 도움이 되었습니다. 저도 전파거북이님 처럼 되기위해 노력하겠습니다.

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  10. 포인팅벡터는 무존것 전자기파로 나타낼수 있나요?

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    답글
    1. 아닙니다. DC인 경우에도 식 (7)은 성립합니다.

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    2. dc에서 포인팅벡터는 물리적인 실체가 무엇인가요? ac에서는 전자기파같은데... 맞나요?

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    3. 전자파라고 표현할 수 없기 때문에, 전기장과 자기장이 이송하는 전력 밀도라 생각하면 됩니다.

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