2011년 3월 22일 화요일

포인팅의 정리(Poynting's Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포인팅의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 대칭적인 맥스웰 방정식
3. 정말 유용한 페이저 개념
4. 저항
5. 전기장의 에너지
6. 자기장의 에너지

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[그림 1] 쌍극자에서 복사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

전자파(electromagnetic wave) 특성 계산에서 흔히 사용하는 포인팅의 정리(Poynting's theorem)는 전자파의 전력 전달 특성을 설명한다. 전기장(電氣場, electric field)자기장(磁氣場, magnetic field)으로 구성된 전자파는 전력(電力, power)을 어떻게 전달할까? 이름에서도 알 수 있듯이 포인팅 정리의 공식적인 증명은 1884년포인팅 32세, 조선 고종 시절에 포인팅John Henry Poynting(1852–1914)이 하였다[1, 3].[포인팅에게는 억울한 일이지만, 포인팅 벡터의 최초 증명[2, 4]은 은둔의 과학자인 헤비사이드가 먼저 했다.] 포인팅은 포인팅의 정리를 증명하기 위해 시간 편미분을 이용해 이론 전개를 했다. 우리는 시간 편미분 대신 페이저(phasor)를 이용해서 더 쉽게 접근한다. 이에 따라 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)을 먼저 고려한다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (2)와 (4)의 켤레 복소수(complex conjugate)에 자기장의 켤레 $\bar H^*$와 전기장 $\bar E$를 각각 곱하여 빼주면 식 (5)의 벡터 항등식 형태로 만들수 있다.

                         (5)

그러면 아래 식 (6)을 얻을 수 있다.

                         (6)

여기서 $\epsilon$과 $\mu$는 실수(real number)로 가정한다. 식 (6)에서 자기장에 켤레 복소수를 적용한 이유는 평균 전력(average power)을 적용하기 위해서이다. 이 부분은 아래 식 (13)에서 자세하게 설명한다. 별생각 없이 보면, 현재까지 유도한 식이 공식 놀음이라 생각할 수도 있다. 그래서 포인팅 정리는 다음 단계가 더 중요하다.

[그림 2] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

식 (6)을 [그림 2]의 $V$에 대해 체적 적분해서 좌변에 발산 정리(divergence theorem)를 적용해 포인팅 정리의 물리적 의미를 파악한다.

          (7a: $e^{-i \omega t}$)

          (7b: $e^{j \omega t}$)

여기서 표면 $s$를 만드는 $d\bar a$는 체적 $v$를 뚫고 바깥으로 나가는 방향을 가진다. 식 (7)에 존재하는 항목을 차례로 살펴본다.
  • : 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector)로서 전자파가 이송하는 전력 밀도[W/㎡]를 나타내며, 벡터 $\bar S$의 방향은 전자파의 에너지 전달 방향; 전자장 계량기(EMF(electromagnetic field) meter)에서 mW/㎠ 단위를 쓰기도 하며, 1 mW/㎠ = 10 W/㎡로 환산됨
  • : 전류(electric current)가 생산[음의 양]하거나 소비[양의 양]하는 전력 밀도[W/㎥]이며, 전력의 생산과 소비는 전기장(electric field)에 대한 전류의 방향이 결정
  • : 자류(magnetic current)가 생산[음의 양]하거나 소비[양의 양]하는 전력 밀도[W/㎥]이며, 전력의 생산과 소비는 자기장(magnetic field)에 대한 자류의 방향이 결정
  • : 전기장이 가진 에너지 밀도[J/㎥]이며, 전기장이 커지면 에너지도 커짐
  • 자기장이 가진 에너지 밀도[J/㎥]이며, 자기장이 커지면 에너지도 커짐
새로운 벡터 $\bar S$는 페이저를 사용해서 필연적으로 복소수가 포함되어 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector)라 부른다. 만약 포인팅을 따라 시간 편미분으로 유도하면 $\bar S$ = $\bar E \times \bar H$라 쓰고 그냥 포인팅 벡터(Poynting vector)라 한다. 이런 포인팅 벡터의 정의는 전자파가 전달하는 전력 밀도의 유일한 공식화라는 관찰을 거부하는 논문도 다수 있다[2, 5]. 예를 들어 포텐셜 관점에서 $\bar E$ = $i \omega \bar A - \bar \nabla \phi_e$, $\bar H$ = $i \omega \bar F - \bar \nabla \phi_m$으로 둔다면, 식 (6)에 $\bar S$ = $\bar E \times \bar H^*$ 대신 $(\bar E \pm \bar \nabla \phi_e) \times \bar H^*$, $\bar E \times (\bar H \pm \bar \nabla \phi_m)^*$ 등을 쓴다고 왜 문제가 되느냐는 주장이다. 혹은 $\bar S$는 발산 연산자 속에 있으므로, $\bar S + \bar \nabla \times \bar F$를 식 (6)의 좌변에 넣어도 관계식이 성립해서 $\bar S$는 유일하지 않다고 증명한다. 여기서 $\bar F$는 임의의 벡터이다. 그래서 포인팅 벡터의 정의가 유일하지 않으며 응용에 따라 선별해서 써도 된다는 의견을 펼치고 있다[5]. 이에 대한 반론으로 전자기력에 대한 국소성의 원리(principle of locality)를 도입한다[6]. 힘이 순간적으로 물체에 영향을 준다는 원격 작용(action at a distance)의 반대 개념인 국소성의 원리는 멀리 떨어진 물체에 힘을 미치려면 장(場, field)과 전달 시간이 필요하다는 뜻이다. 국소성의 원리에 따라 전기력과 자기력을 미치는 근원은 전기장과 자기장이며, 이 전자기장은 맥스웰 방정식에 따라 전달되어 전하나 자석에 힘을 전달한다. 전자기장 표현식은 다양한 포텐셜의 합으로 설명할 수 있지만 힘의 전달은 오직 전자기장에 의해서 이루어지므로, 전력 밀도는 전기장과 자기장을 이용해서 전개해야 국소성의 원리를 만족하게 된다. 이로 인해 전자파의 전력 밀도는 $\bar S$ = $\bar E \times \bar H^*$로 유일하다[6].
위에 제시한 설명을 바탕으로 식 (7)을 다시 표현할 수 있다. 식 (7)의 좌변은 포인팅 벡터를 포함하고 있다. 식 (7)의 좌변 앞에 ($-$) 부호가 있으므로 포인팅 벡터는 특정한 닫힌 면적을 뚫고 들어가는 방향[그림 2에서 $-n$ 방향]이다. 이 특성은 식 (7)의 우변과 같아야 한다. 식 (7)의 우변은 전류의 소비 전력, 자류의 소비 전력, 전기장의 저장 전력, 자기장의 저장 전력과 같다. 즉, 식 (7)의 우변은 모두 전력과 관계된다. 따라서, 식 (7)의 우변에 있는 포인팅 벡터는 전력 밀도를 의미해야 하고 특정 체적 $V$를 뚫고 들어가는 포인팅 벡터는 그 체적 $V$의 입력으로 작용해서 체적에서 사용하는 전력[소비 혹은 저장]과 같아야 한다. 이러므로 포인팅 벡터를 전자기파가 이송하는 전력 밀도로 정의함이 타당하다. 식 (7)의 우변에 있는 소비 전력을 이해하기 위해 식 (8)과 (9)를 고려한다.

        (8)

        (9)

여기서 전류 $I_e$와 자류 $I_m$은 일정하다고 가정하며, $V_e, V_m$은 전기와 자기 포텐셜(potential)을 나타낸다. 쉽게 말해 전기력[= 전하 × 전기장]이 작용할 수 있는 공간에서 전류가 전기력과 같은 방향으로 흐르면 전력이 소비된다는 의미이다. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다. 자기력[= 자하 × 자기장]하에서 자류가 힘의 방향과 같은 방향으로 흐르면 전력은 소비된다. 이 부분이 잘 이해가 안 되면 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 상기한다. 다만, 식 (8)과 (9)처럼 전기장과 자기장이 전기 포텐셜[전압]과 자기 포텐셜[자압]로만 표현되지 않고 전기와 자기 벡터 포텐셜(vector potential)까지 고려해야 정확한 계산이 된다. 식 (8)과 (9)에서 최종식이 포텐셜로만 표현되지만, 소비 전력의 의미 이해에는 큰 지장이 없다. 왜냐하면 전기장은 전기력과 연계되고 전기력을 거리에 대해 적분하면 전기 에너지가 되는 관계때문이다. 이를 이해하기 위해 다음 식 (10)을 본다. 이 경우 전기 포텐셜을 전기장의 거리 적분으로 생각하면 쉽다.

                (10)

식 (10)의 유도에서 $q_e$ = $0$ 조건을 가정한다. 저항(resistor)이나 도선에서는 전류가 계속 해서 흐르기 때문에 이 가정은 타당하다. $q_e \ne 0$인 경우는 전하가 축적되는 현상이므로 커패시터(capacitor)와 관계있으며 이는 전기장의 에너지 밀도인 식 (11)로 유도된다. 만약 $\bar M$ = $0$이면 소비 전력은 식 (8)로만 표현된다. 하지만 힘을 생성하는 원천은 전기력과 자기력인데 식 (8)에는 전기장만이 나타나 있다. 무엇이 문제일까? 사실 문제가 되는 부분은 전혀 없다. 자기력이 있지만 항상 전류가 흐르는 방향과 수직인 방향으로 생기므로 식 (8) 입장에서는 전력 기여가 없다. 이상의 논의를 고려하면 식 (8)과 (9)가 소비 전력을 의미함은 분명하다. 마지막으로 식 (7)의 마지막 두 항이 저장 전력 밀도가 되는 이유를 살펴본다. 이를 위해 페이저(phasor)를 쓰지 않고 시간 영역에서 두 항을 유도한다.

                         (11)

                         (12)

식 (11)과 (12)의 우변을 보면, 에너지 밀도는 시간에 대해 미분된다. 에너지의 시간 미분은 전력이 되므로 식 (11)과 (12)의 좌변은 전력 밀도가 됨을 쉽게 알 수 있다.
식 (7)의 포인팅 정리는 수학적 관계이므로, 시간 변화가 없는 직류(DC) 경우에도 성립한다. 이 경우 포인팅 벡터는 전자파가 아닌, 순수 전기장과 자기장이 이송하는 전력 밀도를 의미한다.[$\because$ 시간 변화가 없으면 통상적으로 전자파는 발생하지 않는다.]
페이저(phasor) 정의를 이용해서 전자기파의 평균 전력(average power) 특성을 살펴본다.

                          (13)

여기서 $\epsilon, \mu$는 실수(real number)로 가정한다.[∵ 전자파가 공기 중으로 전파될 때는 손실이 거의 없으므로 실수로 가정해도 된다.] 식 (8)과 (9)의 논의를 통해 식 (13)의 의미를 헤아린다. 식 (13)의 우변이 ($+$)이면 주어진 체적에서 소비되는 전력이다. 전자파는 전력 보존 법칙(conservation of power)이 성립해야 하므로, 식 (13)의 좌변은 반드시 체적내로 유입되는 전자파의 평균 전력이 되어야 한다. 이런 특성 때문에 식 (6)과 (7)에서 포인팅 벡터를 정의할 때, 자기장에 켤레 복소수를 취한다. 이와 비슷한 관계는 평균 AC 전력(average AC power)을 정의할 때도 쓰인다. 예를 들어, 전류의 켤레 복소수로 평균 AC 전력을 정의한 것처럼 전자파의 평균 전력은 자기장[자기장과 전류는 밀접한 관계]의 켤레 복소수를 사용한다. 식 (13)을 보면 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변]에 영향을 줄 수 있는 부분은 전류 혹은 자류가 만들거나 소비하는 전력이다. 원천(source) 역할을 하는 전류와 자류는 보통 유한한 체적[식 (13)의 우변에 있는 $v$]내에만 존재하므로 식 (13)의 좌변에 있는 표면적($s$)을 어떻게 잡더라도 식 (13)의 우변은 일정하다. 즉, 유입된 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변]은 전류와 자류의 전력 소비분[식 (13)의 우변]과 항상 일정하다. 혹은 전류와 자류의 전력 생산분[식 (13)의 우변에 ($-$)을 취함]은 방출된 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변에 ($-$)를 취함]과 같다. 그래서, 식 (13)은 수학적으로 재미있는 결론을 낸다. 전자파 전력을 계산하기 위한 표면적($s$)은 전류와 자류를 포함하게만 잡는다면 어떠한 표면적이라도[혹은 무한대로 잡아도] 관계없다.[혹은 전류와 자류를 포함하도록 어떤 표면적($s$)을 잡더라도 평균 전력은 항상 보존되어 어느 위치에서나 같다.] 우리에게 자유를 부여하기 때문에, 이와 같은 특성은 수학자들이 매우 좋아하는 관계이다.
발산 정리(divergence theorem)를 이용해 식 (13)을 미분형(differential form)으로 표현하면 아래와 같다.

                          (14)

즉, 평균 포인팅 벡터(average Poynting vector)의 발산은 전류와 자류 전력 밀도의 실수부(real part)가 된다.[여기서 평균은 시간 평균(time average)이다.]

                         (15)

예를 들어, 식 (13)과 (14)에 $\bar J$ = $\bar M$ = $0$ 조건[원천 없음]을 부여하면 식 (15)를 얻는다. 원천이 없기 때문에 표면 적분이 0이 되어 전자파의 평균 전력은 0이 된다. 이 뜻은 특정 영역에 유입된 전자파 전력은 반드시 다른 영역으로 방출된다는 뜻이다.
포인팅 벡터가 가진 다른 측면을 보려고 원역장(far field)에서 $\bar S$의 허수부(imaginary part)에 집중한다. 원역장이란 의미는 원천에서 매우 멀어진 영역을 의미한다.[이론적으로는 원천에서 무한대 만큼 멀어져야 원역장이 된다.] 원역장에서는 전기장과 자기장의 관계가 균일 평면파(uniform plane wave)가 되므로 포인팅 벡터의 허수부는 항상 0이 된다. 따라서, 원역장에서 다음 관계가 성립한다.

                       (16)

식 (16)을 예쁘게 모으면 전류와 자류 전력 밀도의 허수부는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

                        (17)

그래서 복사되지 못하는 전류와 자류의 전력 생산분은 전기장과 자기장의 에너지로 축적된다. 그리고 원천 위치에 몰려있는 전류와 자류의 전력 생산분이 유한하면 전공간에 퍼지는 전기장과 자기장의 에너지 차이도 반드시 유한하다.

[그림 3] 원천을 포함하는 가상의 구

이제까지 논의한 개념을 바탕으로 포인팅 정리를 원천 $\bar J, \bar M$ 없이 표현한다. 먼저 식 (7a)를 아래처럼 원천 관점에서 다시 쓴다.

                        (18)

여기서 문제 영역은 [그림 3]처럼 반지름이 $r$ = $r_1$인 가상 구[그림 3의 초록색 ]이며, 이 가상 구는 모든 원천을 포함한다. 식 (13)과 (17)을 살펴보면, 원천이 만드는 실수 전력(real power)은 복사 전력($P_r$)이며, 원천의 허수 전력(imaginary power)은 해당 체적이 포함하는 전기장과 자기장 에너지의 차이와 관련된다. 회로 측면에서 실수와 허수 전력은 각각 유효 전력(effective or available power) 및 무효 전력(reactive power)을 의미한다. 따라서 식 (18)에서 체적 반지름을 $r \to \infty$로 설정한 경우, 다음처럼 원천에 대한 체적 적분 관계식을 새롭게 얻을 수 있다.

                       (19)

여기서 $P_r$은 실수이며 전자파의 복사 전력(radiated power)을 나타낸다. 식 (19)를 식 (18)에 대입하면 임의 위치의 포인팅 벡터는 다음을 반드시 만족한다.

                        (20)

여기서 $r \le r_1$ 안에 모든 원천이 위치한다.

[그림 4] 태양빛의 복사 압력을 이용한 우주 탐사선(출처: wikipedia.org)

포인팅 벡터는 전자파의 에너지 전달을 표현하고 있다. 에너지(energy)(force)과 관계되므로, 전자파는 에너지 전달 방향으로 운동량(momentum)을 만들고[전자파를 포함한 파동은 운동량을 만든다. 해변에 생기는 파도에 물체가 밀리는 이유는 파동의 운동량 때문이다.] 압력(pressure)을 가하고 있다. 이 현상은 복사 압력(radiation pressure)이라 부른다. 복사 압력 관계식을 구하기 위해 먼저 전력과 힘 관계식을 고려한다. 

                       (21)

파동의 경우는 속도가 일정하므로 식 (21)에서 $\bar v$는 상수이다. 또한 압력은 힘을 면적으로 나눈 값이므로, 전자파에 대해 다음 관계가 성립한다.

                       (22)

여기서 $\mathfrak{\bar f}$는 단위 면적당 힘[혹은 복사 압력]이다. 식 (22)에서 면적 적분의 방향을 포인팅 벡터 방향으로 잡으면, 포인팅 벡터를 이용해 복사 압력 $\mathfrak{\bar f}$를 정의할 수 있다.

                        (23)

따라서 전자파의 전력 밀도 $\bar S$는 복사 압력 $\mathfrak{\bar f}$와 파동 속도 $\bar v$로 쉽게 설명된다.

[참고문헌]
[1] J. H. Poynting, "On the transfer of energy in the electromagnetic field," Proc. Roy. Soc. London, vol. 175, pp. 343–361, Jan. 1884.
[2] A. E. Emanuel, "About the rejection of Poynting vector in power systems analysis," Journal of Electrical Power Quality and Utilisation, vol. 13, no. 1, 2007.
[3] G. Pelosi and S. Selleri, "[Historical Corner] Energy in electromagnetism: The Poynting vector," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 59, no. 6, pp. 148–153, Dec. 2017.
[4] O. Heaviside, "The induction of currents in cores," Electrician, vol. 13, pp. 133–134, Jun. 1884.
[5] C. O. Hines. "Electromagnetic energy density and flux," Can. J. Phys., vol. 30, no. 2, pp. 123–129, Mar. 1952.
[6] A. Bossavit, "A note on the uniqueness of the Poynting vector and of the Maxwell tensor," Int. J. Numer. Model.: Electron. Netw. Devices Fields, vol. 31, no. 2, pp. 1–6, Mar./Apr. 2018.

[다음 읽을거리]
1. 전자기파에 대한 유일성 정리
2. 로렌츠 상반 정리
3. 전자파의 운동량

댓글 54개 :

  1. 7번 적분식에서 우변에 전자장 에너지밀도 부호가 다른게 특별한 뜻이 있는건가요?

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  2. 시간약속을 어떻게 하는가에 따라 달라집니다. 본문에서는 exp(-iωt)를 사용하고 있습니다.
    만약 exp(jωt)를 쓴다면 식 (7)에 켤레복소수를 적용하면 됩니다. 즉, 전자장 에너지밀도의 부호가 바뀌게 됩니다.

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  3. 6번식으로 만들어줄때 자기장에 complex conjugate를 꼭 해줘야 하는 이유가 있나요?

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    답글
    1. 평균전력을 만들기 위해서 반드시 자기장에 켤레복소수를 취해야 합니다. 비슷한 것이 평균 AC 전력 정의입니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/phasor.html

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    2. 감사합니다.~! 시원하게 해결되었네요 ㅎㅎ

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  4. 포인팅 벡터의 의미에 대해 헷갈리는 점이 있어서 질문합니다.

    포인팅 벡터의 폐면적에 대한 적분에 -를 취한 것은 폐적분 내부에서 일어난

    1. ohmic power dissipation
    2. 전기장이 증가함에 따라 폐면적이 받은 power
    3. 자기장이 증가함에 따라 폐면적이 받은 power

    로 정의가 되잖아요?

    질문 (a)

    2, 3에선 전기장, 자기장이 시간에 따라 증가하게 되면 폐면적 내부로 power를 공급하는 것으로 보는 거잖아요?

    근데 1처럼 ohmic power dissipation이 발생할 땐 폐면적 내부에서 소비되는 전력이 존재한다는 건데 이 때 소비되는 전력도 폐면적 내부로 공급되는 power로 보는 것이 맞나요? 즉 폐면적 내부에 전류가 존재할 때 ohmic power dissipation에 의해 발생하는 열로 인해 온도가 증가한다는 등 에너지가 소비된다는 것인데..

    만약 폐면적에서 ohmic power dissipation이 발생한다면 이 때 소비되는 전력을 폐면적 내부로 공급되는 power로 보는 것이 맞는 생각인가요?

    질문 (b)

    em wave가 conductivity가 존재하는 유전체를 통해 전파한다고 할 때 conductivity 때문에 em wave가 전파함에 따라 감쇠가 일어나잖아요? 즉 전기장, 자기장의 크기가 em wave가 전파함에 따라 점점 작아진다는 소리인데..

    그러면 이 때 전기장, 자기장이 감쇠한만큼 ohmic power dissipation이 일어난 것으로 보는 것이 맞나요?

    질문 (c)

    포인팅 벡터를 "임의의 점에서 전달되는 면적당 power의 크기와 전달되는 방향을 성분으로 갖는 벡터"로 보는 게 맞나요?

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    답글
    1. (a) 전자파는 맥스웰 방정식에 의해 전력 보존 법칙이 자동적으로 성립합니다. 내부 부피에 저항 손실이 생기면 필연적으로 입력 전력이 존재해야 합니다.

      (b) 맞습니다.

      (c) 맞습니다. 포인팅 벡터의 방향은 전자파 전력의 전달 방향이 됩니다.

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  5. 안녕하세요 전파거북이님!
    일단 감사합니다.
    이 블로그의 있는 방대한 내용과 자세한 설명이 저에게 큰 도움이 되고 있습니다.

    capacitor를 공부하던 중에 질문이 생겼는데요. 포인팅 벡터와 관련된 질문도 있고 아닌것도 있지만 여기에 질문드리겠습니다.

    1) capacitor를 DC전원을 공급했을 때, 그 에너지를 양 기판사이의 전기장의 에너지로 저장하고 있다고 이해하고 있습니다.

    그러면 capacitor가 다 충전된 상태에서 E-field는 constant한데, 그러면 E-field에 대한 B-field는 생성되지 않는 게 맞나요?

    2) capacitor에 높은 주파수의 AC를 걸어주면 capacitor에 기판의 걸리는 전하가 약간의 딜레이를 가지고 +와 -전하로 바뀌어 가며 충전이 될텐데요(매우 적은양의 전하라도)(실질적으로 short처럼 행동하지만 적은 양의 전하는 조금씩 charge될 거라 생각합니다.)

    그러면 그 때마다 전기장의 방향이 달라지고 전기장의 시간적 변화는 맥스웰방정식에 의해 B-field를 생성하게 되는데요.

    E-field와 B-field가 모두 존재하여 포인팅 벡터(에너지의 흐름)가 형성이 될 것 같습니다.

    하지만 고주파에서 capacitor는 임피던스가 작아 short처럼 행동하여 전압강하가 없는 데요. 어떻게 포인팅 벡터는 존재할 수 있는 것이죠? 포인팅 벡터의 존재는 에너지의 전달을 의미하는 것 아닌가요?

    아니면 전압강하(실질적 에너지 소모)는 없어도 에너지의 전달하는 방향만 나타낸다고 볼 수 있는 건가요?

    항상 눈팅만 하다가 처음으로 질문 남겨 보아요.

    P.S 텐서 너무 어려워서 잠깐 쉬고 있습니다.

    Meta-material에 대해서 공부하는 학생입니다!

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    답글
    1. 방문과 칭찬, 항상 감사드립니다, 익명님. ^^

      1. 말씀하신 전기장은 정전장이기 때문 자기장은 생길 수 없습니다.

      2. 커패시터의 정전 용량이 0이 되는 경우는 주파수가 무한대일 때입니다. 하지만, 물리적으로 주파수는 무한대일 수 없기 때문에 전제부터가 성립되지 않습니다.

      포인팅 벡터는 전기장과 자기장이 모두 있어야 합니다. 또한, 포인팅 벡터의 방향은 전자파의 전력 전달 방향이 맞습니다.

      3. 텐서가 쉽다는 사람은 없습니다. 힘내서 계속 공부하세요. ^^
      메타물질(metamaterial)은 우리나라 미래를 위해서 매우 중요한 분야입니다. 소신을 가지고 연구하세요. 좋은 결과가 있을 것입니다.

      삭제
    2. 답변이 많은 도움이 되었습니다

      정말 감사합니다^^

      삭제
  6. 안녕하세요? 포인팅정리 공부를 하다가 궁금한게 생겨서 질문 올립니다.

    제가 잘못 알고 있을수도 있는데, 15번 식을 보면, 14번 식에서 양 변에 da에 대해서 적분을 한 것이 15번 식 아닌가요?

    그렇다면 발산정리에 따르면 15번 식에서 좌변은 dl에 대한 선전분이 되고, 우변은 da에 대한 적분이 되는 걸로 알고있습니다.

    혹시 14번에서 비롯되는게 아니라 다른 곳에서 유도되는 것인가요? 아니면 제가 잘못알고 있다면 고쳐주시길 바랍니다.

    항상 잘 보고 있습니다. 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 아 우변은 EJ+HM에 대한 식이 아니네요ㅠ 그럼 둘다 dl에 대한 선적분이 되어야 할거 같은데...

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    2. 헷갈리게해서 죄송합니다ㅠㅠ 부피에 대한 적분이란걸 깜빡했어요ㅠㅠ
      혼자서 북치고 장구치고...ㅋㅋ
      와 정말 어렵네요ㅠ 열심히 공부하겠습니다!!

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    3. 혼자서 답을 찾는 공부법이 가장 좋습니다, 익명님. 계속 열공하시길!

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  7. 안녕하세요? 광학공부하는 학생인데 질문이 있습니다. 식(18)과 식(19)사이에 식(13)과 식(17)을 이용하면 r→∞일 때 원천에 대한 체적 적분 관계식을 얻을 수 있다고 하셨는 데 어떻게 유도하는 지 알수있을까요?

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    1. 식 (19)는 식 (18)의 체적 반지름($r$)을 무한대로 보내면 됩니다. 다만 이 경우 복사 전력에 대한 고려가 필요하므로, 식 (13)을 사용하였습니다. 또한 식 (13)과 (17)에 의해, 원천에 대한 체적 적분의 실수부와 허수부가 정확히 분리됩니다.

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    2. 빠른 답글 감사합니다. 식(20)이 유도되는 과정은 이해됬는 데 식(20)을 정확하게 어떻게 해석해야 할까요? r=r1인 지점에서 어떤 물리적현상이 일어나는 지 알 수 있을 까요?

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    3. 오늘은 연말이라 시간이 많아요.

      식 (20)은 유용한 관계식입니다. 만약 현재 표면의 포인팅 벡터(전력 밀도)를 모두 안다면, 현재 표면 반지름($r_1$)보다 큰 임의 영역은 식 (20)의 우변과 같은 관계를 반드시 가져야 합니다.
      안테나처럼 복사 전력과 축적 에너지 특성이 중요한 소자의 일반적 특성을 예측할 때 식 (20)을 많이 사용합니다.

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    4. 항상 좋은 글 감사합니다. jason이 쓴 책 설명은 수학이 어려워서 헤메고있었는 데 덕분에 이해됬습니다. 새해 복 많이받으세요.

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  8. "특정 공간 내에서 일률이 어떻게 되는가 보니 이러이러한 것들이 있는데 식 (7)에 있는 항목들이 있더라. 그걸 패키지처럼 묶어서 파동의 방향성을 얹어 놨더니, 포인팅 벡터로 이쁘게 표현 되더라."

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    1. 포인팅 벡터를 이렇게 해석해도 될까요 ㅎㅎ.. 그리고 저번에 올렸던거.. inverse del부터 엉망으로 가는 길이었더라구요ㅠ

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    2. 비슷합니다, 이재님. ^^
      포인팅 벡터는 전자파 이론 분야에서는 해묵은 논쟁 거리입니다. 맥스웰 방정식에 의해 수학적으로 정의한 포인팅 벡터가 이론 바깥의 현실에 존재하는가? 실험적으로 그렇다는 것이 증명되었지만, 의심하는 연구자도 가끔 있어요.

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    3. 감사합니다 전파거북이님 :-)

      음, 선후관계가 살짝 헷갈리네요ㅠ. 포인팅 벡터가 물리적으로 실재하기 때문에, 전력밀도나 에너지 밀도가 전달이 되는 건지.

      아니면 앞서 자기장과 전기장의 에너지, 전류와 자류의 전력밀도를 개별적으로 구했는데, 귀납적 추리로 (물론 원인은 전자기파기 때문에 방향은 파동의 진행방향일테고, 앞서 구한 것들을 합쳐놓았더니) 포인팅 벡터라는 표현을 쓰게 됐는지. 전자는 포인팅 벡터가 근본적으로 실재한다는 의미일테고, 후자는 표현상 편의를 위해 여러 물리현상을 하나로 합쳐 설명해놓은 건데. 어느 쪽이 맞을까요?

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    4. 포인팅은 수학식을 이용해 포인팅 벡터를 정의했습니다. 이게 실제로 유용하다는 것은 후대에 발견된 것입니다.
      그리고 포인팅 벡터에 쓰인 전기장과 자기장은 동일 원천을 가져야 합니다. 아무거나 곱하면 안 됩니다.

      서로 다른 원천의 전자장을 사용한 일반화된 포인팅 벡터의 의미는 로렌츠 상반 정리로 증명합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/05/lorentz-reciprocity-theorem.html

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  9. 전파거북이님 발라니스 전자장이론을 공부하는 학생입니다.

    현재 전자장이론에 대해서 공부하고있는데 혹시 괜찮으시다면 phycal optic equivalent에 대해서도 설명해주실수 있으신지요

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    1. 물리 광학 근사(physical optics approximation)를 말씀하시는 건가요?
      원래는 전자장 방정식을 풀어서 답을 구해야 하지만, 대형 구조물(주로 금속)인 경우는 계산 시간이 너무 많이 걸리기 때문에 구조물에 유기되는 전류 밀도를 입사 자기장으로 근사화하는 기법입니다. 생각보다는 꽤 정확합니다.

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    2. 감사합니다. 도움이 되었습니다. 저도 전파거북이님 처럼 되기위해 노력하겠습니다.

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  10. 포인팅벡터는 무존것 전자기파로 나타낼수 있나요?

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    1. 아닙니다. DC인 경우에도 식 (7)은 성립합니다.

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    2. dc에서 포인팅벡터는 물리적인 실체가 무엇인가요? ac에서는 전자기파같은데... 맞나요?

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    3. 전자파라고 표현할 수 없기 때문에, 전기장과 자기장이 이송하는 전력 밀도라 생각하면 됩니다.

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  11. 전파거북이님 블로그를 자주보며 도움을 얻고 있습니다. 매우감사드립니다.....
    다름이 아니고 포인팅벡터 이해를 위해 전파거북이님블로그와 파인만 강의록을 보고있는데 궁금한 점이 생겨 질문드립니다.

    (a)포인팅벡터 S의 방향은 E와 H의 방향에 수직입니다. 여기에 전압을 공급해주는 송전선로를 생각해봤습니다. 여기서 저항이 있는 선로를 예로 전기장 자기장을 생각하면 저항에 의해 전압강하가 생기고 이에 전기장의 방향은 전류와 같은 방향(위에서 설명하신 E와 J의 내적에서 방향이 같을 때 포인팅벡터가 커지구요....) 그리고 자기장은 도선 외부를 회전하는 방향, 따라서 포인팅벡터 S는 선로의 방향으로 들어오거나 나가는게 아니고 선로 외부에서 수직방향으로 들어온다라고 수식은 말해주고 있는데요.또한 교류라도 전기장에 의한 자기장의 부호가 동시에 바뀌기때문에 S의 방향은 일정하구요

    이말은 송전선로는 외부의 전기장 자기장에 의해 에너지를 공급받는 다는 말인데...
    이해한게 맞나요?



    (b)그렇다면 송전선로의 차폐를 하는 것은 이 포인팅벡터와 아무 상관이 없을까요? 전자기장과 포인팅벡터는 수직이라 전자기장의 차폐는 포인팅 벡터(에너지의 흐름)에 아무 영향을 미치지 않는건가요??

    (c)도파관은 전류의 흐름이 생기는 곳이 아니라 이 포인팅벡터의 이동이라고 생각하면 되나요?

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    1. (a) 송전 선로에 생기는 전기장은 (저항 손실을 무시한다면) 선로에 수직인 방향입니다. 원통 좌표계의 경우, 송전 선로가 $z$ 방향으로 배치된다면 전기장 벡터는 $\rho$ 방향에 있습니다.

      (b) 송전 선로를 차폐하면 전력이 전달되지 않습니다. 도체를 이용한 차폐라면 전기장이 전달되지 않아, 전력이 급격히 감쇄합니다.

      (c) 이건 의도를 잘 모르겠네요. 도파관은 보통 전자파의 비스듬한 반사(oblique reflection)로 설명합니다.

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  12. 전파거북이님 답변 감사합니다. 다시 꼼꼼히 보니 저항에 의한 손실이 아니라면 전기장의 방향은 원통좌표계에서 각도방향이네요... 몇가지 더 질문을 드려도 될까요?

    (a) 그렇다면 저항손실의 에너지는 외부에서(선로의 수직방향으로 들어오는) 오는건가요?

    (b) 이 저항손실이 위 본문의 포인팅벡터 우변의 E와J의 내적부분인가요?

    (c) 두가닥의 송전선로에서 다른 전기장의 방향은 각도방향인데(저항손실이 발생할 때의 전기장은 전선과 평행방향) 만약 1가닥의 송전선로라면 전기장의 방향은 r방향(밖으로 방사하는)이 맞나요?

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    1. 아 (c)에서 안으로 들어오는 방향입니다...

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    2. 보통 전기장 방향은 원통 반지름($\rho$) 방향으로 정합니다.

      (a) 아닙니다. 전류가 흐르는 방향입니다.

      (b) 맞습니다.

      (c) 선로의 개수와는 상관이 없어요. 저항 손실을 무시한다면, 어쨌건 전류가 흐르는 방향이 포인팅 벡터의 방향입니다.

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  13. 답변 감사합니다. ^^; 원통좌표계 ρ가 했갈렸네요
    답변해주신 내용 충분이 이해할거같습니다!

    거북이님 마지막으로 하나만 더 질문드리겠습니다.ㅠㅠ
    만약 전류가 AC라면 전자는 도선을 타고 이동하는 것이 아니라 앞 뒤로 진동이지 않습니까? 그렇다면 이 때 H도 회전방향이 반대로 반대가 될테고 ... 그렇다면 E도 동시에 반대가 되어야 포인팅벡터의 이동방향이 같을텐데 전류가 흐르는 도선에서 전기장의 방향이 반대가 될까요? 항상 밖에서 안으로 들어오는 ρ방향이 아닐까요? 아니면 AC라서 전자가 원래 있던 곳에서 다른곳으로 이동하며 원래 있던 자리의 전하가 없어져 빈곳의 +전하에 의한 전기장이 되는건가요???

    혹시나 질문의 수준이 너무 낮다면 위의 내용을 다시 보라고 하셔도 됩니다!!

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    1. 말씀하신 것처럼 AC라서 전류 방향이 바뀌더라도 포인팅 벡터의 방향은 바뀌지 않습니다.

      전류는 전자가 일정 거리를 지속적으로 움직여 만드는 것이 아니고(등가적으로만 이렇게 설명해요), 전기력이 전자들에 차례차례 전달되어 거의 광속으로 전달됩니다.

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  14. 안녕하세요. 정말 좋은 글 잘 보았습니다.

    그런데 다음 사이트에 따르면

    http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=705-02-09

    포인팅벡터의 정의가 S = E x H 이고

    http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=705-02-10

    복소포인팅 벡터의 정의가 S = (1/2) E x conj(H) 가 아닌가 싶습니다.


    본문에 용어가 조금 잘못되었다고 생각하는데 그렇지 않나요???

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    1. 익명님, 지적 정말 감사합니다. ^^ 용어는 더 정확하게 쓰는 게 좋겠네요. 본문 내용을 조금 수정했어요.

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  15. 안녕하세요. 전파거북이님.
    E X conjH 를 하는 이유가 평균 전력이기 때문이라고 하셨는데, 물리적으로 왜 그렇게 계산해야 하는지 좀 더 알기쉽게 설명해주실수 있으신가요?
    그리고 개인적인 질문을 하고 싶은데 가능한가요?

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    1. 페이저에서 자세히 설명해서 여기서는 생략했어요. 아래 링크의 식 (11)을 보세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/10/phasor.html

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    2. 고맙습니다. 건강 잘 챙기세요.

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  16. 안녕하세요 전파거북이님 글 잘읽고 있습니다~

    다름아니라 제가 공부하며 추가적으로 질문이 생겼는데, 질문 드릴곳이 여기밖에 없네요ㅜㅜ

    제가 궁금한것은 전자기파의 에너지 입니다. 전자기파의 에너지는 보통 포인팅벡터를 면적분해서 구하는걸로 알고있습니다.

    여기서 제가 궁금한것은 진동수에 따른 에너지 차이입니다.

    보통 인터넷을 찾아보면 에너지밀도나 세기만 나올뿐, 전체적인 에너지 값은 잘안나오더라구요

    보통은 그 순간전달되는 에너지양을 구하고 관심이 있어보입니다. 즉, 단위면적당 일률?

    이라고 해야할까요 근데 그 순간의 에너지양은 진폭에만 영향을 받는건 이해가 가는데,

    진동수가 높으면 받는 전자기파의 에너지도 높아진다고 직관적으로 생각이 드는데 잘못된 걸까요?

    제 생각에 진동수가 높으면 같은 면적에 특정 시간동안 들어오는 에너지량이 증가할 것 같은데 그와 관련된 식이 있을까요? 오개념이라면 설명 부탁드려요 ㅠㅠ

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    1. 1. 포인팅 벡터를 면적 적분하면, 에너지가 아니고 전력이 나옵니다. 에너지는 전력값에 측정 시간까지 곱해야 합니다.

      2. 주파수가 높을수록 광자의 에너지가 커지는 건($E = h \nu$) 양자 역학 범위입니다. 고전 전자기학에서는 오로지 진폭만 전력에 관계되고(평면파 가정), 맥스웰 방정식으로 광자 에너지(photon energy) 공식을 증명할 수 없습니다.
      전자파의 복사 전력은 주파수 제곱에 비례하기도 합니다. 아래 링크에 있는 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)도 보세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2012/04/smallest-antenna-hertzian-dipole.html

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    2. 정말 감사합니다 ㅠㅠ... 그런거였군요 그럼 고전 전자기학에서 전력값이 나오고 측정시간까지 곱해서 에너지를 구한다면, 주파수가 높으면 측정 에너지값이 증가하지 않을까요? 최대 진폭은 일정하지만 그만큼 많이 진동하기 때문에 삼각함수의 전체적인 진폭값이 증가할 것 같은데 아닐까요?

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    3. 그럼 결국 특정 시간동안 통과하는 전자기파 에너지를 구한다하면 진동수가 증가함에 따라 전자기파의 에너지도 증가하는게 맞는 것인지요? 인터넷에 전자기파의 에너지가 진폭의 제곱과 진동수의 제곱에 비례한다. 라는 문장을보고 이해가안가서 고생중이네요 ㅠㅠ

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    4. 평균 전력을 주로 사용하기 때문에 주파수 영향이 사라져요. 평균 전력에 대비되는 양은 순시 전력인데요, 시간적으로 계속 변해서 잘 안써요. 이 개념에 대한 논의는 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/10/phasor.html

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    5. 에너지가 주파수(정확히는 대역폭)와 연결되는 관계는 파르세발의 정리(Parseval's theorem)를 보셔야 합니다. 이때 피적분 함수는 에너지 스펙트럼 밀도(ESD: energy spectral density)가 됩니다.
      지금까지 제가 설명한 부분은 시간 영역(time domain)이고, 이 시간 영역을 파르세발의 정리를 이용해 주파수 영역 혹은 스펙트럼 영역(spectral domain)으로 보낼 수 있어요. 여기에는 푸리에 변환이 들어가기 때문에 직관적으로 이해가 어려운 구석이 있어요.
      파르세발의 정리는 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2020/10/properties-of-fourier-transform.html

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    6. 와 정말 빠른 댓글 감사해요 !!! 전파거북이님은 사랑이네요..이렇게 친절하셔서..ㅎㅎ

      전자기학에서 중요한건 계속해서 변하는 값이 아닌 쉽게 비교하고 일정하게 구할수있는 평균전력을 주로 사용하는군요 어차피 평균 전력으로 구하게 되면 진동 주기가 짧든 길든간에 한주기의 평균을 구하는 거기 때문에 진동수에 영향이 없겠네요..

      그렇다면 수신하는 안테나가 진폭이같고 진동수가 다른(원래 두개가 완전히 독립적이지 않은걸로 알고있지만 가정으로 진폭은 일정하다고 가정할게요) 두 전자기파를 통해 10초동안 받는 총 에너지를 각각 계산한다면 진동수가 많은쪽이 받는 총 에너지는 크게 되겠죠?

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    7. 달아주신링크 꼭 읽어볼게요 지금!

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    8. 아닙니다, 김지님. 주파수에 관계없이 한 주기 동안 받는 평균 전력이 같아서, 주파수가 달라도 수신 평균 전력은 같고 측정 시간까지 고려한 수신 에너지도 같아요.

      하지만 전자파이기 때문에 안테나의 물리적 면적이 같으면, 주파수가 높을수록 송신 안테나 이득이 제곱 비율로 커져서 수신부는 더 많은 전력을 받을 수 있어요. 관심 있으면 아래 링크도 보세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2022/10/friis-transmission-equation.html

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  17. 맨 마지막에 복사압력을 정의하셨는데, 물론 실제로 복사 압력이 존재해서, 힘을 준다는 사실은 예시로 들어주신 솔라세일같은 예시로 알 수 있겠다는 느낌이 드는데요, 어딘지 모르게 뭔가 수식을 끼워맞춘 느낌이 드는거 같습니다..
    수식의 결과는 차원이 맞아떨어져서 수긍이 가는데요, 파동이 주고있는 전력이 힘을 주고 있다고 보는게 뭔가 껄끄럽게 느껴집니다..
    전자기학에서 힘은 로렌츠 힘 공식으로 배웠는데 이런식으로 힘이 정의된다는게 거부감(?)이 드는 느낌입니다..

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    1. 전자파가 운동량을 가져서 나타나는 현상입니다. 전자파를 포함한 파동은 에너지를 전달하기 때문에 운동량을 가지는 건 자연스러워요.
      아래 링크도 참고해보세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2013/03/momentum-of-electromagnetic-wave.html

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