발산(發散, Divergence)의 의미

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "발산의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분법의 의미
2. 좌표계 기반 벡터
3. 적분법의 의미

4. 벡터 미적분학

구배(勾配, gradient) 연산자는 미분 개념만 익히고 있으면 쉽게 이해가 되나 발산 연산자는 다소 난해하다. 처음에는 이해가 잘 안되더라도 겸손한 마음으로 아래 내용을 읽어본다.

讀書百遍義自見 (독서백편의자현: 정사 삼국지에서 나온 말로, 잘 모르는 책도 100번을 읽으면 자연히 뜻을 알게 된다는 뜻이다.)

식 (1)에 제시한 발산(divergence) 연산자는 폭탄이 터지거나 샘물이 솟거나 하는 현상을 정량적으로 표현하기 위해 도입한 벡터 연산자이다.

                        (1)

여기서 벡터 $\bar A$ = $(A_x, A_y, A_z)$로 정의한다.

[그림 1] 폭탄의 폭발 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1]은 폭탄의 폭발 모습을 보여준다. 갑자기 없던 폭발이 생긴 경우 이를 수학적으로 기술하려면 식 (1)의 발산 연산자를 사용하면 된다. 식 (1)은 미분 연산이므로 저게 폭탄 폭발과 무슨 관계가 있을까 처음에는 잘 이해가 되지 않는다. [그림 1]을 설명하는 좀 더 쉬운 [그림 2]를 본다.

[그림 2] 폭발을 발산 연산자로 설명

[그림 1]의 상황을 편의상 2차원[$xy$평면]으로 가정하여 이를  발산 연산자로 설명하면 [그림 2]가 된다. $x$축 방향을 따라 $A_x$ 성분의 변화를 조사하면 식 (2) 관점에서는 $x$축 방향 발산을 측정함과 같다. [그림 2]의 $x$축 변화를 벡터적으로 보면 $x$ = $a$보다 작을 때는 $-\Delta A_x$, $x$ = $a$보다 크면 $+\Delta A_x$가 된다.[녹색 화살표 하나를 $\Delta A_x$로 간주] 그러면 $x$축에 대한 $A_x$의 변화는 $\Delta A_x - (-\Delta A_x)$ = $2 \Delta A_x$가 된다. 이 값을 x축의 변화인 $\Delta x$로 나누면 식 (1)과 비슷하게 $2\Delta A_x / \Delta x$가 된다. 마찬가지로 $y$축 방향 $A_y$의 변화율도 계산한다. [그림 2]에서 $y$ = $b$보다 작으면 값이 없고 $y$ = $b$보다 크면 $3 \Delta A_y$가 된다.[빨간색 화살표를 $\Delta A_y$로 취급] 이때 $A_y$의 변화는 $3 \Delta A_y - 0$ = $3 \Delta A_y$이다. 이 값을 $\Delta y$로 나누면 $3 \Delta A_y/ \Delta y$가 된다. $x, y$축에 대한 변화율을 모두 합치면 $(x, y)$ = $(a, b)$에서의 총발산은 $2 \Delta A_x/ \Delta x + 3 \Delta A_y/ \Delta y$이 된다. 총발산값이 $0$보다 크기 때문에 발산이 있다. 이런 이유로 발산 연산자는 원천 검출기(source detector)로 생각할 수 있다. 여기서 원천은 [그림 1]의 폭발처럼 무언가가 없던 것이 방사선 형태로 출현함이다. 음의 원천도 생각할 수 있다. 음의 원천은 양의 원천의 반대이므로 무언가 있던 것이 방사선 형태로 사라짐이다. 예를 들면 흐르던 물이 하수구로 빠지던가 씽크대에 담겨있던 물이 배수구로 빠지는 현상을 음의 원천으로 설명할 수 있다.

     

[그림 3] 양전하(+)와 음전하(-)(출처: wikipedia.org)

[그림 3]처럼 전하(電荷, electric charge) 입장에서 보면 양의 원천과 음의 원천은 분명하다. 양전하의 전기력선은 폭발이나 샘물이 터지는 것처럼 원점에서 방사선 형태로 뻗어나온다. 음전하의 전기력선은 물이 하수구로 빠지는 것처럼 방사선이 원점으로 사라지는 모양을 가진다. 이런 벡터들의 생성과 소멸을 방사선 형태로 분석하는 도구가 발산 연산자이다. 벡터 함수에 발산 연산자를 적용하면 원천 검출기로 동작하여 [그림 3]과 같은 방사선 형태의 생성[양의 원천]과 소멸[음의 원천]을 계산할 수 있다.

[그림 4] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

발산 연산자를 체적 적분(體積積分, volume integral)에 적용하면 발산 정리(divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss' theorem)를 얻을 수 있다. 가우스 정리는 이름 그대로 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)가 1813년가우스 36세, 조선 순조 시절에 재발견했다[1]. 재발견이라 하면 최초 발견자가 있다는 뜻인데, 누구일까? 원래 가우스 정리는 라그랑주Joseph-Louis Lagrange(1736–1813)가 1762년라그랑주 26세, 조선 영조 시절에 발견했고, 이후에 많은 수학자들이 재발견했다. 재발견자 중에서 독보적인 수학자 및 물리학자가 가우스이어서 가우스 정리라 부른다. 가우스는 발산 정리를 이용해 중력을 설명할 수 있는 포텐셜 이론[1]을 세련되게 제안했다.

[발산 정리]

                        (2)

여기서 $dv$[= $dxdydz$]는 체적 미분소(differential volume), 벡터 $d \bar a$는 면적 미분소(differential surface)이다. 벡터 $d \bar a$의 방향은 [그림 4]와 같이 체적을 뚫고 나가는 방향으로 잡는다. 식 (2)에서 적분 기호에 동그라미가 있는 표기는 [그림 7] 왼쪽의 닫힌 표면적[체적을 모두 포함하는 표면적]을 의미한다.

[증명]

식 (2)를 증명하기 위해 [그림 5]와 같은 체적 차분 $\Delta V$[= $\Delta x \Delta y \Delta z$]를 고려한다. 당연히 차분 $\Delta V$의 극한은 미분소 $dv$가 된다.

[그림 5] 데카르트 좌표계상의 체적 차분

먼저 식 (2)의 우변을 차분 관점으로 $\Delta y \Delta z$ 평면에 대해 기술하면 식 (3)과 같다.

                        (3)

여기서 $\Delta y \Delta z$ 면적만 고려하기 때문에 벡터 성분은 $A_x$만 대입한다. 식 (3)의 극한을 취하면 식 (4)와 같은 미분소를 정의할 수 있다.

                        (4)

식 (3)은 면적 적분(surface integral) 관점으로 봐야 한다. 면적 적분에서 벡터가 향하는 방향은 항상 바깥쪽이다.[벡터 방향은 $x$축 왼쪽에서는 $-x$방향, $x$축 오른쪽에서는 $+x$방향으로 정한다.] 왜 이렇게 정하냐고? 수학자들이 한 약속이다. 그래서 면적 미분소 $d \bar a$의 방향은 항상 중심에서 바깥을 향하도록 정한다.

                          (5)

또한 면적 미분소는 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 방향이므로, 당연히 면적 미분소의 크기는 $yz$평면의 크기인 $\Delta y \Delta z$가 된다. 이 다음에 미분의 정의를 아래와 같이 도입한다.

                            (6) 

                            (7)

또한 아래처럼 $A_x$를 테일러 급수(Taylor series)로 전개해서 식 (4)를 유도할 수도 있다. 하지만 식 (3)의 차분으로 충분한 증명이 되므로, 굳이 직관성이 떨어지는 테일러 급수 개념까지 쓸 필요는 없다.

        (8)

차분 면적인 $\Delta z \Delta x$, $\Delta x \Delta y$에 대해서도 동일하게 적용하면 식 (9)를 얻을 수 있다.

                        (9)

식 (9)를 모든 체적에 대해 모두 모으면 적분이 되므로 식 (2)가 증명된다. 수학적으로 엄밀히 정의하려면 식 (3)에 대해 리만 적분을 적용해서 식 (4)를 거치지 않고 식 (10)과 같은 적분을 만들어야 한다.

                        (10)

식 (3)의 우변을 체적 적분하면 식 (10)이 얻어지므로 식 (2)의 좌변은 쉽게 증명된다. 하지만, [그림 4]와 같은 주어진 체적에 대한 표면 적분은 한 번 더 생각해야 한다. 이를 이해하기 위해 [그림 6]을 본다. 두 개의 체적 미분소를 합치면 그림에서처럼 체적이 두배가 된다. 하지만, 표면적은 원래 체적 미분소 표면적의 두 배가 되면 안되고[식 (2)의 우변은 체적 $v$를 둘러싼 전체 표면적 $s$에 대한 표면 적분이다.] 체적 미분소를 합친 [그림 6]의 우측에 그린 큰 직육면체의 표면적이 되어야 한다. 예를 들어 [그림 6]의 좌측 직육면체가 정육면체이고 한 면의 면적을 $1$이라 하면 좌측의 두 정육면체의 표면적은 $2 \times 6$ = $12$가 된다. 하지만, 우측의 직육면체의 표면적은 $10$이 되어야 한다. 즉, 단순히 표면적을 합치기만 해서는 이 문제를 해결할 수 없다. 그러면, 어떻게 해야 이런 표면적을 정의할 수 있을까?

[그림 6] 면적 적분의 영역 합성

이 고민을 해결하려 도입한 개념이 [그림 4]와 같이 표면적을 뚫고 나가는 면적 벡터이다. [그림 6]의 좌측에 있는 두 개의 체적 미분소는 화살표로 표시한 부분에서 서로 만나고 있다. 이 부분이 서로 상쇄가 되면 식 (2)의 우변이 증명된다. 위의 예시처럼 좌측 표면적 $12$가 우측 표면적 $10$[= $12 - 2$]이 되기 위해서는 서로 만나는 표면적 크기인 2가 없어지면 된다. 체적 미분소가 만나는 지점에서는 벡터 A의 크기와 방향이 같지만, 면적 벡터[녹색 화살표와 빨간색 화살표] 정의에 의해 그 벡터의 크기는 같고 방향은 서로 반대가 된다.[$\because$ 임의의 물체를 반으로 쪼개면 양쪽 단면적은 서로 같아야 한다.] 이 두 표면적을 서로 더하면 벡터적으로 상쇄가 되어 표면적에 기여하지 않으므로 식 (2)의 우변이 증명된다.

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발산 연산자(divergence operator) $\bar \nabla \cdot \bar A$는 기본적으로 미분 연산이라서, 벡터 함수 $\bar A$가 상수인 경우는 발산이 당연히 $0$이 된다. 하지만 상수 벡터의 발산이 $0$이라는 명제가 모든 좌표계에서 성립하지는 않는다. 왜냐하면 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서는 위치에 따라 단위 벡터 $\hat x, \hat y, \hat z$의 방향이 고정되지만, 다른 좌표계의 단위 벡터는 크기가 항상 $1$이지만 방향이 바뀌기 때문이다. 예를 들어, 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)의 $\hat \rho$를 이용해 $\bar A$ = $\hat \rho$ = $(1, 0, 0)$라고 둔다. 그러면 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $1/\rho \cdot \partial (\rho \cdot 1) / \partial \rho$ = $1/\rho$가 되어서 $0$이 되지 않는다. 이 개념은 발산의 기하학적 의미인 [그림 2]를 보면 당연하다. 단위 벡터 $\hat \rho$는 중심 $(0, 0, z)$에서 바깥으로 퍼져나가는 단위 벡터이므로, 내부에 존재하는 원천으로 인해 발산이 꼭 있어야 한다. 구 좌표계(spherical coordinate system)에도 같은 현상이 생긴다. 벡터 함수 $\bar A$ = $\hat r$ = $(1, 0, 0)$인 경우에 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $1/r^2 \cdot \partial (r^2 \cdot 1) / \partial r$ = $2/r$로 계산된다. 극고도각(polar angle)의 단위 벡터 $\hat \theta$를 $\bar A$ = $\hat \theta$ = $(0, 1, 0)$로 가정해도 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $1/(r \sin \theta) \cdot \partial (\sin \theta \cdot 1) / \partial \theta$ = $1/(r \tan \theta)$가 나온다. 즉, 단위 벡터의 방향에 따라서 상수 벡터의 발산이 $0$이 아닌 경우가 필연적으로 생긴다.

[그림 7] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

식 (2)의 발산 연산자의 적분을 정의할 때는 [그림 7] 왼쪽의 닫힌 표면적(closed surface)을 사용하고 회전 연산자의 적분을 정의할 때는 [그림 7] 오른쪽의 열린 표면적(open surface)을 사용한다.

발산 연산자가 $0$이 되는 벡터 함수 $\bar A$은 어떤 형태를 가질까? 아래에 이 의문에 대한 명쾌한 답이 있다. 아래 내용은 회전 연산자를 이해하지 못하면 따라갈 수 없으므로 회전의 의미를 먼저 읽어보아야 한다.

[발산 연산자의 영인자(零因子, nullity) ≡ 회전 연산자]

발산이 $0$인 벡터 함수는 반드시 회전 연산자로만 표현된다.

                         (11)

[증명]

발산 연산자의 영인자 특성에 의해 벡터 함수 $\bar A$가 어떤 벡터 함수 $\bar B$의 회전으로만 표현되면 당연히 $\bar A$의 발산은 $0$이 된다. 예를 들면 다음 식은 항상 참이다.

                       (12)

거꾸로 발산이 $0$이라면 이 벡터 함수는 회전 연산자로만 표현될까? 이 질문에 답하기 위해 먼저 문제를 단순화한다.

                         (13)

여기서 $\bar A$ = $(A_x, A_y, A_z)$, $\bar C$ = $(C_x, 0, 0)$, $\bar D$ = $(D_x, D_y, 0)$이다.

발산 연산자의 특성으로 인해 임의의 3차원 벡터 함수 $\bar A$는 2차원 벡터 함수 $\bar D$로 언제나 변경 가능하다. 그래서, 증명의 초점을 2차원 벡터 함수 $\bar D$로 한정한다.

                         (14)

여기서 $h(z, x)$는 편미분에 대한 적분 상수이다. 식 (14)에서 $D_x$ = $\partial g / \partial y$라 가정한다.

                         (15)

여기서 $g$ = $g(x, y, z)$이며 식 (14)의 적분 상수 $h(z, x)$는 고려하지 않는다. 다음으로 고려하지 않은 적분 상수 $h(z, x)$를 생각한다. $h(z, x)$는 어떤 벡터 함수 $\bar E$의 회전으로 표현할 수 있는가? 먼저 회전 연산자 정의인 식 (16)을 도입한다.

             (16)

식 (16)에서 $\bar E$ = $(f, 0, 0)$이며 $f(z, x)$는 $z, x$의 함수라고 가정하면 $h(z, x)$ = $\partial f(z, x)/ \partial z$를 얻을 수 있다. 그러므로 식 (17)이 성립해서 발산이 $0$인 임의의 벡터 함수는 회전 연산자로만 표현할 수 있다.

                         (17)

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벡터 함수의 발산이 항상 0인 함수는 솔레노이드 벡터 함수(solenoidal vector function)라고 한다.

   1. 기본(basics)   

[발산 정리의 변형: 회전 연산자]

                          (1.1)

[증명]

임의 벡터 $\bar A$와 상수 벡터 $\bar C$에 대해 다음 발산 정리가 성립한다.

                         (1.2)

식 (1.1)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용한다.

                         (1.3)

                         (1.4)

그러면 아래 식이 항상 성립한다.

                         (1.5)

식 (1.5)의 셋째줄에서 임의의 상수 벡터와 내적(inner product)한 값이 항상 $0$이 되는 벡터는 영 벡터이므로 식 (1.1)이 반드시 성립해야 한다.

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식 (2)에 제시한 벡터의 발산 정리는 다이애드(dyad)로 확장될 수 있다. 먼저 다이애드의 발산을 다음처럼 정의한다.

[다이애드 발산 연산자]

                         (1.6)

                         (1.7)

전자파 분야에서 사용하는 다이애드는 두 벡터를 나열해 쓰기보다 다음과 같은 단일 표기법으로 주로 정의한다.

                         (1.8)

식 (1.8)의 성분으로 식 (1.6)을 다시 정의하면 다음과 같다.

                          (1.9)

여기서 $\bar D^{(i)}$ = $\bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$이다. 식 (2)의 좌변을 다이애드로 바꾸어 식 (1.9)를 대입하면 다이애드에 대한 발산 정리를 새롭게 증명할 수 있다.

[다이애드 발산 정리]

                         (1.10)

[발산 정리의 변형: 구배 연산자]

                         (1.11)

여기서 $\hat n$은 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 단위 벡터이다.

[증명]

식 (1.1)과 유사하게 증명을 진행한다. 상수 벡터 $\bar C$와 스칼라 함수 $f$에 대해 발산 정리를 적용하면 다음과 같다.

                         (1.12)

식 (1.12)를 $\bar C$에 대해 정리한다.

                         (1.13)

임의의 상수 벡터와 내적한 값이 항상 $0$이 되는 벡터는 영 벡터이므로 식 (1.11)이 성립한다.

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[발산 정리의 변형: 다이애드 구배 연산자]

                          (1.14)

여기서 $\bar \nabla \bar \nabla$는 다이애드를 생성하는 다이애드 구배(dyadic gradient)이다.

[증명]

상수 벡터 $\bar C$를 대입해 $\bar{\bar{D{}}}$ = $\bar C \bar \nabla f$라 두면 식 (1.10)은 다음과 같이 변환된다.

                         (1.15)

식 (1.15)를 $\bar C$에 대해 정리한다.

                         (1.16)

임의의 상수 벡터와 내적한 값이 항상 $0$이 되는 다이애드는 영 다이애드이므로 식 (1.14)가 성립한다.
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식 (1.10), (1.14)에 나온 다이애드는 부차적인 표기법이라 생각할 수도 있지만, 벡터 미적분의 연산 공식을 간단하게 만들어주는 매우 고마운 개념이다. 

[참고문헌]

[1] C. F. Gauss, Theoria Attractionis Corporum Sphaeroidicorum Ellipticorum Homogeneorum Methodo Nova Tractata (The Theory of Attraction of Homogeneous Spherical and Elliptical Bodies: A New Method Treated), 1813.

[다음 읽을거리]

1. 회전의 의미

2. 벡터 항등식

3. 헬름홀츠의 정리

4. 텐서 미적분학