2010년 8월 9일 월요일

헬름홀츠의 정리(Helmholtz' Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헬름홀츠의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 좌표계 기반 벡터
2. 구배의 의미
3. 발산의 의미
4. 회전의 의미
5. 벡터 항등식
6. 그린 항등식


벡터 미적분학(vector calculus)을 소개하면서 새로운 벡터 연산자인 구배(勾配, gradient)발산(發散, divergence)회전(回轉, curl)을 도입했다. 우리가 배운 구배, 발산, 회전 외에 또다른 벡터 연산자가 필요한가? 이 의문에 대해 명쾌한 답을 제시한 결과가 헬름홀츠의 정리(Helmholtz' Theorem)이다. 헬름홀츠의 정리는 벡터 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of vector calculus)라고도 한다. 이 정리가 표현하는 핵심은 발산과 회전이 정의되고 경계 조건이 정해지면 그 벡터 함수는 유일하게 정의됨이다. 즉, 벡터 함수를 유일하게 정의하기 위해서는 발산과 회전만 있으면 충분하다는 사실을 헬름홀츠의 정리가 보장한다.

[그림 1] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

[헬름홀츠의 정리]
벡터의 발산과 회전이 하나로 정의되고 닫힌 표면적의 경계 조건이 정해지면, 그 벡터 함수는 유일하게 정의된다.

[증명]
먼저 아래 식 (1)을 꼼꼼하게 본다.

                              (1)

여기서 $a_d$는 벡터 함수 $\bar F$의 발산, $\bar F_c$는 $\bar F$의 회전이다. [그림 1]의 왼쪽에 나온 어떤 체적을 둘러싸는 닫힌 표면적($s$)에 형성된 경계 조건은 벡터 $\bar F_s$로 명확히 정해진다고 가정한다. 다음으로 식 (1)과 경계 조건 $\bar F_s$를 만족하는 또 다른 벡터 함수 $\bar G$를 생각한다.

                              (2)

식 (1)과 (2)를 서로 빼주어 새로운 벡터 함수 $\bar H$ = $\bar F - \bar G$라고 정의한다.

                              (3)

여기서 벡터 함수 $\bar F$와 $\bar G$의 경계 조건은 서로 같기 때문에, $\bar H$ = $\bar F - \bar G$가 되어 닫힌 표면적에서 함수값은 0[∵ $\bar H$ = $\bar F_s - \bar F_s$ = $0$]이 된다. 식 (3)에서 벡터 함수 $\bar H$의 회전이 0이므로, 회전 연산자의 영인자 특성에 의해 식 (4)로 벡터 함수 $\bar H$를 표현할 수 있다.

                              (4)

식 (4)의 결과와 식 (5)의 제1 그린 항등식을 서로 비교한다.

                         (5)

식 (5)에서 $f$ = $f$, $g$ = $f^*$[$f$의 켤레 복소수]라고 두고 식 (4)의 결과를 적용하면 다음과 같다.

                            (6)

여기서 닫힌 표면적의 함수값은 0이라서 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며, 식 (4)에 의해 함수 $f$ 혹은 $f$의 켤레 복소수 $g$[= $f^*$]가 만드는 라플라시안도 0이 된다. 따라서 $\bar H$ = $\bar F - \bar G$ = $0$이므로 벡터 함수 $\bar F$와 $\bar G$는 동일한 함수이다.
______________________________

헬름홀츠의 정리를 증명할 때 사용한 닫힌 표면적의 경계 조건은 우리가 고려하는 체적을 무한대로 보내면 약화될 수 있다. 즉, 체적이 무한대로 갈 때 그 체적 적분이 유한해서 의미가 있으려면 닫힌 표면적[체적이 무한대로 가는 그 표면적]상에서 벡터 함수값[= $\bar \nabla f$]은 당연히 0으로 가야 한다. 이를 고려하면 체적이 무한대로 갈 때 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 0으로 수렴해야 한다.[표면 적분이 무한히 모여 체적 적분이 되므로 무한 급수(infinite series)의 부분 합(部分合, partial sum) 개념으로 생각하면 쉽게 이해된다.] 헬름홀츠의 정리는 일견 복잡해보이지만 벡터로 생각하면 단순하다. 경계 조건 관점에서 벡터의 회전을 정의하면, 벡터의 접선 경계 조건이 정확히 정해진다. 마찬가지로 벡터의 발산은 법선 경계 조건을 확정한다. 따라서 벡터의 회전과 발산을 각각 정의해서 벡터의 접선과 법선, 즉 모든 벡터 성분을 결정한다. 이로써 벡터 함수는 임의가 아닌 딱 하나로 결정된다.

[헬름홀츠의 분해 정리(Helmholtz' decomposition theorem)]
닫힌 표면적에서의 경계 조건이 정해진 벡터 함수 $\bar F$는 반드시 아래처럼 분해된다.

                            (7)

[증명]
닫힌 표면적의 경계 조건[$\bar F$가 정의된 체적을 둘러싸는 표면에서 $\bar F$가 가지는 값]을 포함하는 벡터 함수 $\bar F$의 발산과 회전을 식 (1)로 선택해서, $\bar F$를 $\bar G_c, \bar G_d$로 분해할 수 있다. 왜냐하면 주어진 $\bar F$의 발산과 회전은 각 연산자를 적용해서 $a_d$, $\bar F_c$처럼 정할 수 있기 때문이다.

                            (8)

여기서 $\bar G_c$는 회전이 0인 벡터 함수[비회전 벡터 함수(irrotational vector function) 혹은 박판 벡터 함수(lamellar vector function)], $\bar G_d$는 발산이 0인 벡터 함수[솔레노이드 벡터 함수(solenoidal vector function)]이다. 그러면 이미 증명한 헬름홀츠의 정리에 따라 닫힌 표면적의 경계 조건이 $\bar F_s$로 고정된 벡터 함수 $\bar F$는 유일하게 정의된다. 이 상태에서 발산회전 연산자의 영인자 특성에 의해 벡터 함수 $\bar G_c$와 $\bar G_d$는 반드시 식 (9)로 표현되어야 한다.

                            (9)
______________________________

헬름홀츠의 분해 정리에 의해, 모든 벡터 함수는 스칼라 함수의 구배와 벡터 함수의 회전을 선형 결합해서 표현할 수 있다.


[다음 읽을거리]
1. 전압
2. 금속의 성질
3. 전자기파에 대한 유일성 정리

댓글 42개 :

  1. 마지막 줄에서 왜 저렇게 필드를 분해가능한가요? 바운더리 컨디션만 만족하면 저렇게 분해가 가능한건지.. 궁금합니다. 이 증명이 다른 수리물리학 책에 나와있는 증명보다 훨씬 쉬워서 말입니다.

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    1. 식 (9)를 말씀하신 것이면 발산과 회전 쪽을 읽어 보셔야 합니다. 이 부분은 영인자와 관련 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/divergence.html
      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/curl.html

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    2. 식(8)을 말씀하신 것으로 보입니다. 분해가능한 이유가 설명이 안 되어 있어서 저도 궁금합니다.

      "경계 조건 관점에서 벡터의 회전을 정의하면, 벡터의 접선 경계 조건이 정확히 정해진다." 이 부분도 좀 더 자세히 설명해주실 수 있나요?

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    3. 글을 좀 바꾸었어요. 다시 한 번 보세요 ^^

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  2. 다행이다.
    공부할거 줄여주시니, 헬름홀즈 너무 고마운 분이네요.ㅋㅋㅋ
    _____
    전파곰

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    1. 그래서, 수학이 필요한 것이지요. 물리학만으로는 부족합니다. ^^

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  3. 식 (1)과 (2)가 가정이라고 하셨지만, 무작정 가정한 것은 아니실거 같은데요.
    혹시 이런 것이 있나요?
    경계조건이 같으면, 발산과 회전의 결과는 같다.
    _____
    전파곰

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    1. 쓰고나니 뜻이 발산과 회전이 같다는 거 같아 좀 그렇네요. 다시 문의 드리면,
      경계조건이 같으면, 발산의 결과는 같고, 회전의 결과가 각각 같다.
      혹시 이런 물리법칙이 있어서 가정을 식 (1)과 (2)와같이 하는 건가요?

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    2. 서로 종속 관계가 아니고 독립입니다. 경계 조건, 발산, 회전이 각각 같다는 것이 조건입니다. 그러면 벡터 함수를 유일하게 결정할 수 있다는 것이 헬름홀츠 정리입니다.

      주어진 경계 조건에서 전기장과 자기장을 결정할 때도 헬름홀츠 정리가 유용하게 쓰입니다.

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    3. 아~
      같은 이야기 다시 여쭙으면요.
      F와 G가 같은 vector 함수라고 할때, 경계 조건이 다르면, F와 G의 각각의 발산과 회전은 모두 다른 결과가 나오게되는건가요?

      이걸 이렇게 이해 해도 될까요? <-- 좀 무리가 있어 보이긴 한대요.
      F와 G를 맥스월 방정식이라고 하면, 경계조건은 해석 대상이라 볼때,
      해석 대상이 다르면, F와 G의 발산이 각각 다른 결과가 나오며, 회전도 각각 다른 결과가 나온다.

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    4. 쩝 해석대상 자체를 경계조건으로 본다는 건 좀 너무 무리같네요.
      죄송합니다.

      메리추석 되십시오.

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    5. 맥스웰 방정식에서 원천이 같으면 전기장과 자기장의 발산과 회전이 동일해야 합니다. 하지만 하나 더 필요한 것이 경계 조건입니다. 회전과 발산만으로는 해결되지 않습니다.
      아래 전자기파의 유일성 정리도 확인해 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/05/uniqueness-theorem-for-electromagnetic.html

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    6. 절 너무 과대 평가하셨군요. ㅋㅋ
      아직 거기까지 진도를 빼지 못하였습니다. 이미 서핑하다가 보았는데, 보면서 음~ 하다가 잠이 들어 버립니다. ㅋㅋㅋ 웃을 일이 아닌데, T.T

      9월까지는 기초적인 부분만 좀더 강화 하려고 합니다. 보고 또보고, 생각하고, 이해 안가는거 또보고, 물어 보고 생각하고 맨붕~

      암튼 고맙습니다.

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    7. 쉽게 이해되는 내용은 아니지요! 모든 전자기학 책에 유일성 정리가 나오지만 제대로 핵심을 이해한 경우는 거의 없어요. 헬름홀츠 정리는 아래 안 나오는 책들도 많고요.

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    8. 어럽네요. T.T. [헬름홀츠 정리]의 증명에서 잘 모르겠는 부분이 있는데요.

      1. 이 명제는 이것을 증명을 하겠다는 게 아닌가요?
      "여기서 벡터 함수 F¯와 G¯의 경계 조건은 서로 같기 때문에 H¯=F¯−G¯가 되어 닫힌 표면적에서는 함수값이 0 (∵ H¯=F¯s−F¯s=0)이 된다."

      질문이 좀 거시기 하조?

      2. 같은 지문 인지는 모르겠으나. 이게 왜 0이 되어야 하는가요?
      "여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 0이기 때문에 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며"
      _____
      전파곰

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    9. 맞게 이해하고 있습니다. 경계 조건을 정의한 그 위치에서의 함수값이 같기 때문에 그 차이에 해당하는 $\bar F - \bar G$ = 0이 됩니다.

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    10. 헉 아닙니다. 정의를 문의 드린게 아니라, 증명과정에서 이해가 안가는 부분이 있어서요.

      여기서 벡터 함수 F ¯ 와 G ¯ 의 경계 조건은 서로 같기 때문에 H ¯ =F ¯ −G ¯ 가 되어 닫힌 표면적에서는 함수값이 0 (∵ H ¯ =F ¯ s −F ¯ s =0 )이 된다.

      이것을 증명을 하겠다고 한다고 하더라도,

      H가 아직 0이라는 것이 증명이 되지않은 상태에서
      "여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 0이기 때문에 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며"
      가 이해가 안가서요?

      혹시
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/curl.html 에서
      [그림7]와 식(10)에서와 같이 단힌 표면적에서의 면적 적분이 0이 되는 것과 관련이 있는 건가요?

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    11. 너무 어렵게 생각하신 것 같네요. 조건에서 닫힌 표면적의 경계 조건이 같다고 했습니다. 그러면 닫힌 표면적에서 $\bar F = \bar G$가 되어 닫힌 표면적 상에서 $\bar H = 0$이 됩니다.

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  4. 표면적분이 무한히 모여 체적적분이 된다는 말이 이상하게 잘 이해되지 않네요...오히려 괄호 이전에 있는 문장이 더 쉬운 거 같아요.
    이런 비슷한 증명을 자기장 쪽에서 본 거 같은데 기억이 안 나네요. 계속 글들 읽어가야겠군요

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  5. del operator을 복소함수에 적용하면 복소수로 이루어진 벡터가 나오나요?이 벡터가 어떻게 생긴 벡터인지 잘 와닿지가 않네요...

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    1. 복소수와 벡터 개념은 별개입니다. 현재 쓰는 벡터 개념은 스칼라를 여러 개 나열한 것입니다.
      만약 벡터에 복소수를 썼다면 전자파 분야에서는 페이저(phasor)를 쓴 것일 뿐입니다. (시간 미분을 복소수로 바꾸기 위해)

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    2. 아 그렇군요!실제로 의미있는 벡터는 그 복소수 벡터에서 real을 취한 벡터가 되겠네요.
      공부를 너무 오래 안 하다 보니 감이 많이 떨어지네요..

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  6. 좋은 게시물 같은데, 아직은 내용이 이해가 가지 않네요. 다시 오겠습니다.

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    1. Hogeol님, 보고 또 보고 하시면 충분히 이해가 될 것입니다. ^^

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  7. 안녕하세요. 혹시 식 (6)의 삼중적분이 왜 0이 나오는지 알려주실 수 있으실까요 ㅠㅠ

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    1. 경계 조건(표면 적분 영역)에서의 값이 0이기 때문입니다. 식 (6) 약간 위의 문장을 참고해주세요. ^^

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    2. 항상 감사합니다. ㅎㅎ

      하나 확인하고 싶은게 있는데요, 식 5에서 f는 어떤 상수든 상관 없으니, del g가 0이 되어야 하는데, 켤레복소수 함수들은 주어진 초기조건에서 원래 복소수 함수와 꼭 같은 값을 가지진 않나요? 이 경우는 원 복수수 함수가 0이라서 직관적으로 del of 켤레 복소수 함수가 0이 되는 것 같은데..

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    3. 아, 식 5에서는 아직 H=G라는 결론이 안나왔으므로 그냥 임의의 상수로 둬야 한다고 생각했어요 ㅠㅠ

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    4. 스스로 답을 찾으셨네요, 이재님. 축하드립니다. ^^

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  8. 막혔던 부분이 시원하게 해결되었습니다.
    좋은 게시물들이 많네요. 정말 감사합니다.

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    1. 시원하겠네요, 익명님. 칭찬 감사합니다. ^^

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  9. 궁금한 점이 생겨서 질문합니다. 틀린점이 있는지 봐주시면 감사합니다
    조화함수 f가 유계이면 리우빌 정리에 의해 f는 항상 상수함수인 걸로 알고 있습니다.
    식 (4)에서 함수 f의 라플라시안이 0이면 f가 조화함수이고, H가 유계이니까 f를 상수함수로 둘수있다고 생각했습니다
    상수함수의 그래디언트인 H는 영벡터니까 식(4)뒤의 과정을 거치지 않고 F와 G가 같다고 생각해도 되나요??
    만약 된다면 F와 G의 경계조건이 같아야한다는 조건은 반드시 필요한가요??(유계라는 조건만 있어도 되나요?)

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    1. 1. 조화 함수 이전에 해석 함수(analytic function)이기 때문에 유계라면 상수가 됩니다.

      2. 식 (4)를 표현할 때 닫힌 표면적이란 조건이 있어요. 특정 영역 안쪽만 생각하기 때문에 리우빌 정리를 쓸 수 없어요.

      3. 경계 조건은 반드시 같아야 합니다.

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  10. 헬름홀츠의 정리 증명 부분에서 질문드립니다.

    식 (5)에서
    1. F와 G의 경계조건이 같으므로 좌변의 면적분이 0이 되고,
    2. 식 (4)에서 f의 라플라시안이 0 이므로 g의 라플라시안이 0.
    따라서, 식 (6)의 삼중적분 = 0 이다.

    이 순서가 맞나요?

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  11. 안녕하세요. 항상 좋은 글 올려주셔서 감사합니다. 헬름홀츠의 정리를 읽고 나서 분해 정리를 보니, 분해 정리에서 각각 발산이 ad이면서 회전이 0, 발산이 0이면서 회전이 Fc인 Gc와 Gd가 존재한다는 것을 보여야 할 것 같은데 헬름홀츠 정리의 증명 부분에서 존재성은 알 수 없는 것 같아서요. 모든 경계 조건과 발산, 회전 조건에서 벡터장이 존재할 수 있나요? 또한 전자기학에서 다루는 벡터장은 모두 미분 가능(?) 한 벡터장인데 발산과 회전 조건에 불연속 함수나 미분 불가능한 함수를 넣으면 어떻게 되나요? 헬름홀츠 정리에 암묵적인 가정이 있는건가요?

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    1. 다시 보니 발산과 회전의 영인자 부분에서 구성적으로 증명이 되어있었네요. 그런데 일반적으로 말하는 벡터장은 각 성분이 미분 가능할 때를 말하는 것인가요? 발산과 회전을 여러 번 적용할 경우 여러 번 미분 가능해야 하는데, 이를 어떻게 나타낼 수 있나요?

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    2. 1. 우리가 다루는 범위는 미분 가능한 벡터장입니다. 그래서 특별한 경우를 빼고는 항상 미분 가능해요.

      2. 예를 들어, 경계면의 모서리(edge)에서는 불연속으로 인해 전자기장이 발산할 수도 있어요. 전자장이 발산하더라도 전력은 무한대로 갈 수 없기 때문에 발산하는 비율이 제한됩니다. 이를 모서리 조건(edge condition)이라 부릅니다.

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  12. 이거 식(8)에서 헬름홀츠 정리 증명하신게 아닙니다. 순환논리가 사용되었네요; 벡터장 G_c, G_d 존재하는지 존재성이 증명안되었습니다. 잘못되었네요.

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    답글
    1. 별 문제 없어 보이는데요.
      헬름홀츠의 분해 정리는 이미 증명한 헬름홀츠의 정리를 사용하며, 헬름홀츠의 정리에는 헬름홀츠의 분해 정리가 쓰이지 않아요.
      이해도를 높이기 위해 문장을 조금 더 다듬었어요.

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