2011년 9월 21일 수요일

유전체의 비밀(secret of dielectric)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "유전체"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압
3. 전기 쌍극자 모멘트


처음 전기장(electric field)의 특성을 정의할 때 주변에 아무런 물질이 없는 진공 상태를 가정하였다. 이렇게 진공 중에 정의하는 게 전기장 정의를 매우 단순화한다. 하지만 이런 가정은 현실 세계와는 매우 동떨어져 있다. 왜냐하면 현실에는 다양한 물질들이 존재하고 있기 때문이다. 현실에 존재하는 이런 물질들을 일반적인 전기장 관점에서 어떻게 모형화하여야 하나?

[그림 1] 유전체의 모형화(출처: wikipedia.org)

전자기학에서는 [그림 1]처럼 모든 물질들이 분극(分極, polarization)을 가진다고 가정한다. 이것은 당연하다. 물질들은 양성자(陽性子, proton)와 전자(電子, electron)로 구성되어 있기 때문에 [그림 1]처럼 전기장을 걸어주면 분극이 일어난다. [그림 1]처럼 (+)와 (-)로 극성이 분리되는 특성은 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)라 한다.
하지만, 모든 물질들이 분극을 가진다는 가정은 양성자와 전자가 발견되기 이전에 나온 개념이라는 것을 기억할 필요가 있다. 옛날에 도입된 분극이란 개념은 당시 실험 결과를 너무나 잘 설명했기 때문에 도입된 것이다. 물질의 하부 구조를 이해해서 만든 것은 아니다. 하지만 이것을 거꾸로 보면 양성자와 전자의 존재성은 물질에 전기장을 걸어줌으로써 증명할 수도 있는 것이다. 이와 같이 분극을 일으키는 물질은 유전체라 한다. 말 그대로 유전체(誘電體, dielectric)는 전기를 유도하는 물체라는 것이다.
분극은 원자들 각각이 일으키는 것이기 때문에 이산적(discrete)으로 접근해야 하지만 수학적으로 표현하기가 무척 어려우므로 연속 함수(continuous function)를 이용해 모형화한다. (∵ 적분(연속 함수)보다 덧셈(이산 함수)이 쉽기는 하지만 무한 급수를 생각하면 적분이 더 쉽다.) 그래서, 식 (1)의 전하 밀도(electric charge density) $\rho$ 개념을 기준으로 식 (2)의 분극 밀도(polarization density) $\bar P$를 정의하자. 분극 밀도는 전기 분극(electrical polarization), 분극도(polarization) 등으로도 부른다.

                       (1)

                       (2)

여기서 $V$는 체적(volume), $N$은 물질 구성 요소의 전체 숫자, $q$와 $Q$는 전하(electric charge), $\bar p$는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole mement)이다. 전하 밀도와 분극 밀도를 정의하기 위해서는 식 (1)과 (2)의 체적을 0으로 보내야 한다. 식 (2)를 이용하면 식 (3)에 있는 하나의 전기 쌍극자 모멘트가 만드는 전 $V(r)$을 식 (4)의 일반적인 물질에 대한 전압(voltage)으로 확장할 수 있다.

                         (3)

                  (4)

식 (4)를 이용해서 유전체의 성질을 탐구하기는 어려우므로 진공중의 전압인 아래 식을 고려해보자.

                           (5)

다음으로 아래 벡터 항등식(vector identity)도 생각하자.

                         (6)

                         (7)

                         (8)

식 (6), (7), (8)을 식 (4)에 대입해 정리하면 유전체에 대해서도 식 (5)와 유사한 형태를 얻을 수 있다.

                       (9)

식 (9)의 마지막줄 증명에는 발산 정리(divergence theorem)를 이용하였다. 이렇게 복잡한 과정을 따라온 이유는 식 (5)처럼 만들기 위해서다. 식 (5)와 (9)를 비교하면 새로운 전하 밀도를 정의할 수 있다.

                       (10)

여기서 $\rho_{bs}'$는 표면 전하 밀도(surface charge density)이며 $\rho_{b}'$는 체적 전하 밀도(volume charge density)이다. 그러면 분극을 일으키는 전기 쌍극자 모멘트를 마치 전하처럼 취급할 수 있다. 분극에 의한 전하는 구속 전하(拘束電荷, bound charge) 혹은 분극 전하(polarization charge)라 하고, 자유롭게 움직일 수 있는 전하는 자유 전하(自由電荷, free charge)라 한다. 구속 전하는 분극에 의한 것이기 때문에 자유 전하와는 성질이 다르다[1]. 예를 들면 자유 전하의 총전하량은 (+) 혹은 (-)가 될 수 있지만 구속 전하의 총전하량은 항상 0이다.

                       (11)

식 (10)의 체적 전하 밀도 $\rho'_b$만을 이용해서 표면 전하 밀도 $\rho'_{bs}$를 구할 수 있다. 체적 전하 밀도는 [그림 1]처럼 어떤 물질 내부에 있는 전하 밀도이다. 이 전하 밀도를 구성하는 것은  분극 밀도 $\bar P$이다. 물질의 끝부분으로 가면 분극 밀도는 불연속이 되기 때문에 표면 전하 밀도를 형성한다. 예를 들면 $x' \le x_0$이면 분극 밀도가 존재하고 $x' = x_0$부터는 분극 밀도가 잘려서 불연속이 된다고 가정한다. 그러면 $x' = x_0$ 근방에서 분극 밀도는 $\bar P(\bar r') = \bar P_0(\bar r') u(x_0 - x')$로 생각할 수 있다. 여기서 $u(\cdot)$는 단위 계단 함수(unit step function)이다. 이 결과를 식 (10)의 둘째식에 넣으면 다음을 얻을 수 있다.

           (12)

식 (12)의 둘째줄 마지막항이 표면 전하 밀도를 나타낸다. 이를 이해하기 위해 다음 식을 관찰하자.

                                 (13)

여기서 체적을 뚫고 나오는 법선 벡터는 $\hat n' = \hat x$이다.

이 개념을 이용해서 유전체가 있는 경우의 전기장을 구해보자. 유전체라는 게 진공 중에 구속 전하가 있는 경우이므로 구속 전하를 계산하면 유전체 내부의 전기장을 계산할 수 있다. 먼저 진공 중의 전기장은 아래와 같이 표현된다.

                                 (14)

유전체가 있으면 자유 전하 $\rho_f$와 구속 전하 $\rho_b'$가 함께 있으므로 식 (14)를 아래처럼 바꾸어야 한다.

                                 (15)

여기서 $\bar D$는 전속 밀도(電束密度, electric flux density)이다. 전속 밀도는 전기 묶음(or 전속)의 밀도이다. 발산 연산자의 의미에 의하면 전속 밀도의 원천은 자유 전하이다. 반면에 전기장의 원천은 자유 전하 및 구속 전하와 관련된다. 만약 자유 전하는 없고 구속 전하만 있다면 $\bar D = 0$이 될 것인가? 아니다. 식 (15)를 보자. 전속 밀도의 발산이 0이지(∵ 자유 전하가 없으므로) 전속 밀도가 0인 것은 아니다. 이 점은 주의해야 한다. 또한, 식 (10)에 있던 표면 전하 밀도는 식 (15)의 체적 전하 밀도에 포함되어 있다고 생각해야 한다. (∵ 체적 전하 밀도의 특별한 경우가 표면 전하 밀도이다. 식 (13)을 다시 보자.)
식 (15)의 마지막식은 유전체까지 적용될 수 있는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 일반형이다. 식 (15)에 의하면 분극 밀도를 알 경우 유전체가 있는 문제도 쉽게 해결할 수 있다. 그런데, 분극 밀도를 정확히 아는 것은 쉬운 문제가 아니다. (∵ 식 (2)에 의해 물질내에 있는 모든 전기 쌍극자 모멘트를 계산해서 벡터적으로 더해야 한다.) 그래서, 근사이기는 하지만 분극 밀도는 전기장과 선형 비례한다고 가정하자. (∵ 전기장이 커지면 전기력이 커지기 때문에 분극을 더 많이 만들 것이다.)

                                 (16)

여기서 $\chi_e$는 전기 감수율(electric susceptibility)이며 $\epsilon_r$은 비유전율(relative permittivity) 혹은 유전 상수(dielectric constant)라 한다. 식 (16)의 둘째식은 전기장과 전속 밀도의 구성 관계식(constitutional relation)이라 부른다.

[그림 2] 대전 가능한 속이 빈 두 개의 금속 구(출처: wikimedia.org)

단순하게 보면 식 (16)은 너무 작위적이란 느낌이 든다. 전기장($\bar E$)만으로도 유전체를 설명할 수 있는데 귀찮게 전속 밀도($\bar D$)까지 정의하니 너무 번거롭다. 하지만 이런 정의의 이면을 볼 필요가 있다. 우리의 영웅 패러데이(Michael Faraday)가 1837년에 했던 유전체에 대한 패러데이 실험(Faraday experiment on dielectric)을 기억해보자[2]. 이 당시 패러데이는 유전체(or 절연체)와 전기장의 관계가 궁금했다. 그래서 [그림 2]처럼 대전시킬 수 있는 속이 빈 두 개의 금속 구(metallic sphere) 사이에 절연체를 채워 전기장을 발생시켰다. ([그림 2]의 빨간구에 (+) 전하를 넣었다.) 전기장을 발생했던 금속 구의 전하량을 정밀하게 측정한 결과 이 전하량은 유전체의 종류에 관계없이 일정했다. 그래서 패러데이는 변하지 않는 전하량을 전속(electric flux)이라고 불렀다. 패러데이 실험으로 인해 유전체 특성과 관계없는 전기장($\bar E$)과 유사한 양이 현실에서 분명 존재하므로, 이 결과를 이론적으로 표현하기 위해 식 (15)와 (16)에 있는 전속 밀도($\bar D$)를 도입했다고 이해할 수 있다.
유전체 내부에 생기는 전기장도 식 (16)으로 계산할 수 있다. 물질 내부를 생각하면 식 (16)은 약간의 오류가 있지만 거시적 특성을 잘 설명한다. 왜냐하면 식 (9)의 유전체에 대한 전압 관계식은 전기 쌍극자 모멘트 근처($R \approx 0$)에서는 맞지 않지만 주변에 워낙 많은 원자들이 있기 때문에 $R = 0$에 있는 하나의 전기 쌍극자 모멘트에 의한 기여는 무시할 수 있다고 가정하기 때문이다. (or 식 (9)에서 체적을 0으로 가져가면 체적 적분도 0으로 간다.)

[그림 3] 유전체 기판(출처: wikimedia.org)

[그림 4] 헬륨의 원자 구조(출처: wikipedia.org)

이상의 논의를 통해서도 약간의 의문은 남는다. 실제 물질은 원자로 구성되어 있는데 연속 전하를 뜻하는 전하 밀도로 유전체 이론을 전개하는 것은 문제가 아닐까? 정확하게 하려면 적분이 아닌 이산적 덧셈을 뜻하는 급수를 써야 하지 않을까? 엄밀한 측면에서는 맞는 말이다. 하지만 실제로 계산하는 경우 수많은 원자들의 전기장 기여를 모두 계산해서 유전체 내부의 전기장 특성을 논하는 것은 불가능이다. 그래서 다루기 편리한 적분을 이용하는 전하 밀도 기반의 유전체 이론을 쓰는 것이다. 다행인 것은 이렇게 만든 전하 밀도 기반 유전체 이론이 거시적 실험을 매우 잘 설명한다. (∵ 그만큼 원자가 매우 작고 매우 많다는 뜻이기도 하다. 적분(integration)의 의미를 생각해보면 이 의미를 이해할 수 있다.)

[참고문헌]
[1] H. Föll, Polarization and Dielectric Constant, Electronic Materials, University of Kiel.
[2] k10blogger, "The Faraday experiment (overview)," iiteeeestudents: Class Room notes and materials, 2011.

[다음 읽을거리]
1. 유전 상수 재는 방법

댓글 83개 :

  1. (1),(2)의 체적을 0으로 본낸다는 뜻이 무엇인지 ㅜㅜ
    0으로된다면 나누어지는게 아닌게 아닌지. 궁금합니다.

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    1. 체적을 0으로 보내는 이유는 정확한 밀도를 구하기 위해서입니다.
      수학적으로는 미분과 적분 관계를 생각하면 됩니다.

      0으로는 나눌 수가 없지요. ^^ 0으로 나누는 것이 아니라 체적이 0으로 접근할 때의 기울기(or 미분)입니다.
      0으로 가는 극한의 의미를 보려면 아래를 참고할 수 있습니다.

      코쉬(Augustin-Louis Cauchy)가 극한을 고민한 이유는?
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/augustin-louis-cauchy.html

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  2. 전속밀도 발산이 '0'이라는 말씀은, 만약 전속밀도가 유전체의 한쪽만을 먼저 통과 했을 경우를 생각한다면 구속전하에 의하여 전속밀도에 변화가 생긴다는 말씀이신지 궁금합니다..

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  3. 이것은또 perfect dielectic 과 lossy dielectric과 무슨 관련이 있는지... 궁금합니다...ㅠㅠ

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    1. 전속 밀도는 자유 전하와만 관계됩니다. 구속 전하는 고려할 필요가 없습니다.

      전속 밀도가 0이면 그 부피 내부에 전하가 없다는 뜻입니다. 혹은 그 부피에 들어온 전속과 나간 전속이 동일하다는 의미입니다.

      완전 유전체(perfect dielectric)와 손실 유전체(lossy dielectric)을 구분하는 기준은 말 그대로 손실입니다. 유전체의 손실은 전도도 $\sigma$로 정의합니다. $\sigma = 0$이면 완전 유전체입니다.

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    2. 자료와 답변 모두 감사드립니다 ㅎㅎㅎ

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  4. 전파가 좋은 공돌이~2013년 8월 24일 오후 5:36

    음...궁금한게 있습니다.
    설명중에 이해가 안되는게 있는데 위 식에서 나오는 상황은 '진공에 퍼져나가는 자유전하를 가진 유전체의 전기장'에 관한 설명이 맞는건가요?

    이글 첫머리에 주변에 아무것도 없는 진공의 상황을 가정하였는데....현실에 맞지 않다라는 부분은
    주변(전기장이 퍼져나가는 공간)이 유전체인 경우를 말하는 듯해서 헷갈립니다. ㅠㅠ

    즉 전기장을 만드는 소스가 자유전하와 구속전하를 가질때 진공으로 퍼져나갈때의 전기장에 관한 설명인지 아니면 전기장이 퍼져나가는 경로가 자유공간이 아닌 유전체 일때의 전기장인지 궁금합니다. ㅠㅠ


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    1. 초반부가 애매하게 적혀 있어 조금 수정했습니다. ^^
      여기 말하는 부분은 진공 중에 구속 전하가 있는 경우(이게 바로 유전체)의 전기장입니다.

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  5. 전파가좋은공돌이~2013년 8월 28일 오후 8:53

    아 감사합니다~

    글로만 배워서 이걸 '이해'하려고 하니 너무너무 어렵습니다.

    의문이 꼬리에 꼬리를 무네요. 우선 전기장에 대한 기본적인 이해가 어렵습니다.;;
    우리가 보통 전속밀도의 발산을 공부할때 이는 체적전하밀도(단 진공중에서....)라고 배웠습니다. 이해가 가긴 하는데 정확한 개념이 궁금합니다. 이 체적전하밀도라 함은 자유전자(free charge)
    그중에서도 잉여전하(excess charge)가 맞는건지요?

    그리고 보통 가우스의 법칙으로 이해할때 진공중에서 특정점전하가 몰려있는 곳에서 r만큼 거리가 떨어진 진공중의 특정지점에서의 전기장을 구했었는데 전자장중 전파쪽으로 넘어오게 되면 균일매질상에서 전기장을 구하게 됩니다. 그때 전속밀도의 발산은 식(13)에서와 같이 체적전하밀도와 바운드된전하의 분극으로 인한 구속전하밀도(?)의 합으로 구성이 됩니다. 이 부분이 이해가 가질 않습니다. 식 자체는 물론 이해가 갑니다. 하지만 '개념적으로 이해'가 가질 않아요. ㅠㅠ

    저 말의 의미인 즉슨 체적전하밀도와 구속전하밀도가 '전기장을 발생(?)' 시킨다는 의미가 아닌가요?
    억지로 개념적으로 이해한 즉슨........균일매질에 일정한 잉여전하들이 분포되어 있는데 그 잉여전하들이 우선 전기장을 발생시킨다(이 부분도 이해가 가질 않습니다. 균일한 매질에서 균일하게 잉여전하들이 분포되어 있다고 하면 전기장이 어떻게 발생이 된다는 말인지....특정점에 특정전하들이 몰려 있을때 그곳에서 얼마떨어진 지점 진공에서의 전기장은 이해가 갑니다만 균일매질상에서 어떻게 전기장이 '발생(?)하는지 개념적으로 이해가 가질 않아요.

    여차여차 해서 그렇다고 쳤을때 그렇다면 그렇게 잉여전하에 발생된 전하들이 구속된 전하들을 분극시켜서 구속전하밀도를 발생시키게 되지 않나요? 그리고 그렇게 발생된 구속전하 밀도들이 또 전기장에 영향을 미치기 때문에 그런 식(13)이 나오게 된게 아닌가요?

    근데 만약에 잉여전하가 없어서 아예 전기장이 발생자체가 되지 않는다면 이 구속전하밀도들은 결국엔 분극을 이루지 못하는거고 그렇게 되면 결국 잉여전하가 없으면 구속전하밀도도 존재할수 없게 되는것 아닌지요?

    아 질문이 이상해서 죄송합니다. 미리 감사드려요.;;

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    1. 전하가 있으면 필연적으로 전기장이 생깁니다, 자유 전하든 구속 전하든 상관 없습니다. 식 (13)도 이 관점으로 기술된 것입니다.

      전속 밀도는 유전체(구속 전하)가 있더라도 변하지 않기 때문에 정의된 것입니다. 이건 패러데이가 실험적으로 증명한 것을 바탕으로 정의한 양입니다. 식 (13)의 최종 결과를 보면 전속 밀도의 발산(원천)은 자유 전하만으로 구성된 것을 볼 수 있습니다.

      유전체라는 개념을 쓰는 이유는 계산이 쉽기 때문입니다. 유전체 내부도 들여다 보면 진공 중에 간간이 원자들이 배치된 것이지만 이걸 정확히 계산하기는 어렵기 때문에 위의 기법을 쓰는 것입니다.

      마지막에 이야기하신 부분은 식 (14)가 의미하는 것입니다. 전기장(E)이 없으면 분극(P)도 없습니다.

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  6. (∵ 체적 전하 밀도의 특별한 경우가 표면 전하 밀도이다.)
    체적전하밀도와 표면전하 밀도 사이의 관계를 델타함수를 이용해서 증명하고싶은데..
    알려주실수있나요

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    1. 본문을 수정했습니다. 식 (12)와 (13)을 다시 보세요. ^^

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  7. 안녕하세요. 유전체에 대해 공부 하면서 궁금 한게 있는데요. 균일한 전하밀도p를 가지는 유전상수e인 구가 있는데요. 여기서 궁금한것이 가우스의 법칙으로 외.내부 전기장을 구하는것 알겠는데 연속 전하분포식으로 외.내부전기장을 구할때 외부와 내부(e)으로 구분 해서 계산 해야 하는 것인거요? 그리고 전위에 대한 연속 전하 분포식으로 내부,외부 전위를 구하고자 할 때 어떻게 해야 하나요? 반지름r에서는 외부와 내부의 전위는 같아야 할 텐데 어떻게 식을 써야 할지 모르겠습니다 ㅠ.ㅠ

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  8. 구조물이 대칭이므로 가우스 정리를 이용해 전기장을 구하는 것이 쉽습니다.

    - 가우스 정리에서는 닫힌 표면적 내부에 있는 전하를 구해야 하므로 내부, 외부를 구분하는 것이 좋겠지요.
    - 전기장이 구해지면 선적분을 해서 전압(or 전위)를 구할 수 있습니다.

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  9. 가우스의 법칙으로 구하는것 알겠는데 연속전하부피적분으로 구하고 싶은데 어떻게 적분 해야 할지 모르겠습니다. 전위와 전기장이요

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    1. 대부분의 전자기학책에 보면 나옵니다.

      예를 들면, 대칭인 경우 구내부에 존재하는 전하는 $\frac{4}{3} \pi \rho r^3$입니다, 여기서 $\rho$는 체적 전하 밀도. $r$이 반지름을 넘어가면 전체 전하는 변동이 없기 때문에 전체 전하는 그냥 $Q$입니다. 전기장($E$)의 표면 적분은 구내부, 외부 관계 없이 $E 4 \pi r^2$입니다.

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  10. 구 반지름(a)이고전하밀도(p) 내부 유전상수(e) 인데 내부,외부 전기장을 이용하여 내부반지름r에서 전위를 구하면 [p(a^3)/6e_0*e](2e+1) 이 나옵니다.

    제가 궁금 한것은 전하분포식을 이용하여 내부r에서 전위를 구하는 식이 (1/r)인테그랄[0,r] (p/e_0*e)(r^2) dr+ 인테그랄[r,a] (p/e_0)r dr 이 맞는지 궁금합니다. 내부구가 e=1이면 저 적분식이 성립되는데, 내부구가 e인 유전상수를 가지고 내부전위를 구하면 전기장에서 적분한 전위와 답이 다릅니다. 식을 어떻게 설정 해야하나요? 이게 궁금합니다.

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    1. 1. 전압은 실제 측정 가능한 양이 아닙니다. 항상 전기장으로 봐야 합니다. 그래서, 전압 정의의 기준을 어디에 두는가는 중요하지 않습니다.

      2. 계산한 전압이 맞는지 확인하려면 구배(gradient) 연산자로 전압을 미분해 보면 됩니다. 미분해서 그 결과를 비교해서 허점을 찾아보세요.

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  11. 음.. 혹시 이 문제 해답좀 알려주실수 있으신가요?ㅠㅠ

    한 변의 길이가 l인 정육면체 유전체의 내부에 전하 q가 고르게 분포되어 있다.
    이 유전체의 전기쌍극자모멘트 p를 구하라.

    여기서 쌍극자 모멘트는 M=Qd라고 생각했고
    분극의 세기 p=델타 M/델타 v(체적)이라고 생각했는데
    그뒤로는 못풀겠습니다 ㅠ...

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    1. 문제 의도따라 다르겠지만 다음처럼 풀면 전기 쌍극자 모멘트를 구할 수 있습니다.

      1) 전하를 적분하여 내부 전기장을 구한다.
      2) 식 (15) 혹은 (16)을 이용해 분극도를 구한다.
      3) 분극도에서 전기 쌍극자 모멘트를 구한다.

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    2. 감사합니다 ^^

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  12. 문제를 풀다가 의문점이 생겼습니다.

    어떤 서로 다른 두 매질이 붙어있고 매질의 경계에서 표면 전하 밀도를 구하는 문제입니다.

    이 두 매질은 무한하게 긴 원통모양에 안쪽 매질을 다른 바깥쪽 매질이 둘러싸고 있는 모양입니다.

    그런데 이 두 매질에서의 분극벡터?분극밀도벡터? 아무튼 P벡터의 값이 다릅니다.

    표면 전하 밀도는 이 분극벡터를 단위수직벡터로 내적해서 구한다고 되어있는데 이런경우에는 어떤 분극벡터를 이용해서 표면 전하 밀도를 구해야 합니까?

    안쪽 매질의 분극벡터인가요 바깥 매질의 분극벡터인가요?

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    1. 둘 다 구해서 더해야 합니다.
      만약 두 매질의 유전율이 같으면 같은 양이 빼지므로 표면 전하 밀도는 0이 됩니다.

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    2. 정말 감사합니다~^^

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  13. lossy dielectric에서 complex permittivity를 갖는 경우에 대해 질문입니다.

    complex permittivity는 페이저에서 conductivity와 permittivity를 간단하게 나타낸 것에 불과한 것으로 알고 있거든요?



    1. curl of H=sigma*E+epsilon*dE/dt에 페이저를 취해
    2. curl of H=sigma*E+epsilon*jwE의 우변을 jw로 묶어서
    3. curl of H=jw(epsilon-jsigma/w)E이므로
    4. complex permmitivity=epsilon-jsigma/w로 생각하여 lossy dielectric을 마치 complex permmitivity를 갖는 perfect dielectric처럼 생각하여 접근하자

    라는 취지로 complex permmitivity를 정의한 것으로 알고 있거든요?

    그러면 lossy dielectric이라고 해도 e field와 d field는 epsilon의 관계를 갖고 있는 게 맞지 않나요? 즉 둘이 in phase이지 않나요? complex permmitivity가 주어지면 실수부인 epsilon이 e field와 d field의 관계를 정의한다고 생각을 하는데..

    교수님께 여쭤봤는데 complex permmitivity가 주어지면 complex permmitivity 자체가 e field와 d field의 관계를 정의하기 때문에 e field와 d field가 out of phase라고 하셨는데..

    lossy dielectric이라고 해도 e field와 d field는 위에서 말한 이유 때문에 in phase가 맞지 않나요? complex permittivity는 e field와 d field의 관계를 나타내는 것이 아니라 단지 epsilon과 sigma를 간편하게 나타낸 것이라 생각하는데..

    도움 부탁드립니다.

    언제나 이 블로그를 통해 많은 것을 배워갑니다.

    언제나 궁금한 걸 질문할 때마다 친절히 답변을 주시는 것에 대해 정말 감사하고 있습니다.

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    1. 궁금한 것 있으면 계속 질문하세요. 바로 답변은 못해도 시간나면 꼭 합니다. ^^

      1. 옴 법칙의 미분형인 $\bar J = \sigma \bar E$ 때문에 혼란이 생깁니다. 전류와 전기장이 관계가 없다면 편하게 전기장과 전속 밀도는 상수배만 차이난다고 할 수 있습니다. 전류를 고려한다면?

      2. 이 경우는 맥스웰 방정식으로 돌아가야 합니다. 복소 유전율은 어디까지나 편하게 계산하기 위한 방책일 뿐입니다. 맥스웰 방정식 관점에서는 전기장과 전속 밀도는 상수배만 차이납니다, 전류 밀도 존재 여부와 관계없이.

      3. 복소 유전율을 쓰면 전원항을 없앨 수 있기 때문에 맥스웰 방정식 풀이가 쉬워집니다. 이때 복소 유전율과 전기장을 곱한 값을 새로운 전속 밀도로 정의할 수 있지만, 큰 의미는 없습니다.

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    2. 정말 이해가 깔끔하게 된 것 같습니다. 깔끔한 답변 감사합니다.

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  14. D와 E의 차이점에 대해 궁금한게 있습니다. 식(15)에서 D=입실론E+P에서 전체전하부분을(입실론E) 예를들어 D(total)이나 D를 이용하여 표현하지 않고 굳이 왜 입실론E로 표현하셨는지 궁금합니다. E값이 자유전하와 속박전하에 모두 영향을 받기 때문에 그렇게 하신건지 궁금합니다. 그렇다면 전속밀도D는 자유전하에만 영향을 받고 맥스웰 방정식형태를 맞추기 위해 D를 사용하신건지 궁금합니다.

    Q(free charge) = Q(total charge) - Q(bound charge)
    D = 입실론E - (-P)
    D = 입실론E + P

    D는 자유전하에 영향을 받으므로 E대신 D로 표현했고, E는 전체전하에 영향을 받기 때문에 D대신 E로 표현한 것인지 궁금합니다.. 갑자기 엉뚱한 질문을 드려 죄송합니다..

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    1. E는 물질의 영향까지 고려한 것이고, D는 물질 영향 없는 특성을 찾기 위해 정의한 것입니다. 위 질문에서 설명하신 것처럼, 더 깊이 들어가면 D는 자유 전하만 관계되고 E는 물질이 만드는 구속 전하까지 포함하여 정의합니다. 이걸 수학식으로 표현한 것이 식 (15)입니다.

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    2. 유진: 전파거북님의 감동적인 글 정말 고맙습니다. 오랫동안 생각하던 문제의 답을 많이 찾았습니다. 같은 생각을 하는 분이 있는것이 정말 기쁘네요. 정전기학에서 가장 어려운 것중의 하나가 D와 E의 차이점인것 같습니다. 이 질문에 대해 아래와 같이 제 생각을 정리했습니다. 오류나 다른 의견있으면 알려주시면 고맙겠습니다.
      전속밀도의 발산이 자유전하밀도와 같으므로 전속밀도는 속박전하의 영향의 받지 않을 것라고 생각하기 쉬운데 그렇지 않습니다.
      선형매질을 예로 들면 D는 E에 비례합니다. 위 두 동심구예에서 자유전하는 변화시키지 않고 속박전하(혹은 전기분극)만 약간 비대칭적으로 변화하시키면 E는 당연히 속박전하 분포에 따라 변하고 D 도 E에 비례해서 변화합니다. 또한 E가 비대칭이기 때문에 D도 비대칭적이어서 가우스 적분으로 D구할수 없으며 따라서 E도 구할수 없습니다. 그러므로, 자유전하뿐만 아니라 속박전하도 D를 변화시키며 D를 구하기 위해서는 속박전하의 분포를 반드시 알아야 합니다. 그런데 왜 D의 발산은 자유전하밀도만 나타나는 걸까요?
      속박전하의 영향은 Curl D에 들어 있습니다. Curl D= Curl (ep0 E + P)= Curl P ( 정전기장에서는 Curl E=0) 이므로 D는 curl P의 영향을 받습니다.
      Vector field는 발산과 회전을 모두 알아야 합니다. 물질내 분극벡터 P가 균일하다고 가정하면 물질내부와 외부의 경계면에서는 Curl P가 0이 아닙니다. 분극벡터 P는 curl 과 div가 모두 0이 아닌 일반적인 vector field 입니다. 분극벡터 P의 Div P ( 속박전하) 에 의한 vector field 가 E, curl P (아직 물리적인 이름이 없음) 에 의한 vector field가 D입니다. 분극벡터 P를 Helmholz Decomposition에 의해 Curl-free vector E와 Div-free vector D로 분해한 것입니다. 막대자석처럼 생긴 물체의 양 끝에 양과 음의 속박전하를 분포시키면 D는 막대자석의 B와 모양이 같으며, E는 막대자석의 H, P는 자기분극벡터 M과 그모양이 정확히 일치합니다. 특히 D는 B처럼 완전 폐곡선을 만듭니다 (Div-free field). 반대로 전계 H는 E와 같은 벡터라는 것도 쉽게 알수 있습니다. 정전자기학의 핵심은 Helmholz Decomposition입니다. 전자기학이 사람의 경험과 상식을 넘어갈 때가 많으므로 수학적 유도를 한뒤 물리적 의미를 입히는것도 전자기학을 더 쉽게 이해하는 방법중의 하나입니다. 더 자세한 증명이 필요하면 첨가하겠습니다.

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    3. Eugene님, 방문 감사합니다. ^^

      1. 저는 의견이 좀 다릅니다. [그림 2] 밑의 글에도 있는 것처럼 물질이 있으면 전기장 현상은 복잡하게 표현됩니다. 패러데이 실험에 의해 물질에 관계없이 자유 전하가 보존되는 것이 증명되었으므로, 이에 해당하는 양을 정한 것이 D입니다. 만약 물질이 있으면 P가 생기고 그 양을 상쇄하도록 E가 생겨, 결국 D는 변동되지 않습니다.

      2. 말씀하신 대로 헬름홀츠 분해 정리는 매우 유용합니다. E, D의 특성은 쿨롱의 법칙(전속 밀도의 발산)과 패러데이의 법칙(전기장의 회전)에 의해 명확히 정의됩니다. E와 D를 연결하는 관계식은 식 (16)의 구성 관계식(constitutional relation)입니다. 즉, 구성 관계식이 있기 때문에 D의 회전을 따로 정의할 필요는 없습니다.

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    4. 의견 감사합니다.
      1. [그림2] 의 2개 동심구 나 [무한 평행판]의 경우처럼 속박전하에 의한 전계가 물체밖으로 빠져 나갈수 없는 경우만 속박전하에 의한 E가 P 를 완전히 상쇄시켜 외부 자속밀도와 내부 자속밀도가 같아 집니다. 그러나 무한 평행판이 아니고 유한 평행판 ( 직사각형 형태)의 경우는 가장자리에서 속박전하에 의한 전계가 진공중으로 빠져나오게 되고 P는 물질 안에서만 존재해므로 속박전자에 의해 만들어진 물질밖의 전계를 상쇄시킬수 없습니다. D와 E의 구성관계식에 의해 D가 E에 비레하므로 D역시 E와 같은 모양의 벡터필드를 만듭니다. 구성관계식을 보아도 물질밖에서는 D=ep0 E이므로 P가 전계나 전속밀도를 상쇄시킬수 없습니다.
      패러데이의 실험은 일정량의 전하량을 도체에 대전시키면 같은양의 반대부호의 전하량이 다른 도체에 유도 된다는 것입니다. 이건 전기력선이나 전속선이 끊어지지 않는다는 뜻이며 전속밀도를 폐곡면 적분하면 내부 자유전하와 같다는 말입니다. 즉 가우스 법칙을 설명한것이므로 curl D 가 curl P와 같아져도 Div D= 자유전하밀도 로 변하지 않으므로 여전히 가우스 법식은 성립합니다.(div D = div (ep0 E)+ div P= (자유전하밀도+속박전하밀도)- 속박전하밀도=자유전하밀도)
      2. D의 회전을 따로 정의하는 것이 아니고 D=ep0 E+P의 구성관계식에서 D의 회전이 반드시 P의 회전과 같아야 합니다. 이것은 분극vector P 를 변화시키면 D역시 따라 변한다는 뜻입니다.
      특히 D는 E와 비슷하게 생겼지만 D의 회전이 0이 아니므로 쿨롱법칙으로 D를 구할수 없습니다. (쿨롱법칙의 회전은 0입니다). 그러므로 D를 결정하기 위해서는 반드시 P가 있어야 합니다. 혹은 선형물질에서는 E와 유전율이 있어야 합니다.
      Griffith 전자기학 원서 3rd edition p178 4.3.2 A deceptive Parallel 에서 D 가 자유전하밀도만으로 결정되지 않는다고 설명이 잘되어 있습니다. 매우 착각하기 쉬운 부문이라 Griffith 저자도 강조해서 설명해 두었습니다. 구글에 pdf 로 다운받을 수 있네요.
      해당 부분을 인용하면 다음과 같습니다.
      "To solve the problems involving dielectrics, you just forget all about the bound charge-calculate the field as you ordinarily would, only call the anser D instead of E". This reasoning is seductive, but the conclusion is false; In particular, there is NO Coulomb's law for D
      "Because Curl D is not 0, moreover, D cannot be expressed as the gradient of a scalar- there is no POTENTIAL of D"
      "If the problem exhibits spherical, cylindrcal, or plane symmetry, then you can get D directly from Eq. 4.23 by the usual Gauss's law methods. If the requisite symmetry is absent, you'll have to think of another approach and, in particular, you must NOT assume that D is determined exclusively by the free charge."

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    5. 원서에 D 는 쿨롱법칙이 없다라고만 이야기 하고, 어떻게 D를 구해야 하는 지는 설명이 없습니다.
      전속밀도의 근원 (source)는 자유전하와 분극벡터의 회전값(curl P)입니다.
      그래서 D를 구하는 방법은 쿨롱법칙과 비오사바르 법칙을 모두 사용해야 합니다.
      자유전하밀도와 분극벡터 P가 주어졌을때
      div D= 자유전하밀도 , curl D= curl P 이므로
      1. 자유전하밀도에 쿨롱법칙을 적용해 vector field를 구하고 (D1)
      2. 비오사바르 법칙의 전류밀도 J 자리에 curl P를 넣어 vector field 를 구합니다 (D2)
      D1과 D2를 더하면 전체 D를 구할수있습니다.
      전속밀도를 구하는데 비오사바르 법칙을 사용하는 것이 낯설게 보일수 있으나 D는 수학적으로 B와 같은 개념임을 생각하면 타당하게 이해될수 있습니다. 자유전하가 없고 속박전하만 있는 경우에 D를 simulation tool 로 그려보면 놀랍게도 B와 똑같이 폐곡선을 만듭니다.
      주의: 절대 curl P가 전류밀도 J 라는 뜻이 아닙니다. 비오사바르 공식의 전류밀도 자리에 대입하는 것 뿐입니다. curl P 는 아직 물리적 의미가 없습니다. 바로 이것 때문에 D를 이해하기가 어려운 것입니다. magnetic monople 이 있었으면 magentic current 도 존재하므로 D는 B처럼 실제 힘을 만드는 물리적인 양이 될수 있었을 텐데 magnetic monople 이 없으므로 D 는 B 처럼 Lorenz force 를 만들어 내지 못합니다. 그래서 D는 그냥 수학적인 값이며 E 보조해주며 경계조건과 변위전류를 설명하는 역할을 하고 있습니다. 그러므로 물리적 의미는 변위전류를 만드는 벡터로 생각하면 될것 같네요.

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    6. 1. 고전적인 모든 문제는 맥스웰 방정식으로 풀이 가능합니다. 전기장의 회전(접선 경계 조건), 전속 밀도의 발산(법선 경계 조건), 관련된 구성 관계식을 쓰면 전기장과 전속 밀도가 유일하게 얻어집니다. 매질이 선형이라면 전속 밀도의 회전을 다시 정의할 수 있겠지만, 물리적인 의미가 더 복잡해지기 때문에 회전 연산자는 전기장에 적용하는 것이 정석입니다.
      전기장과 전속 밀도가 얻어지면 분극도는 부수적으로 얻을 수 있습니다.

      2. 언급하신 그리피쓰(Griffith) 책은 문맥을 살펴야겠지만, D의 회전이 0이 아니라는 것은 D의 발산이 전하 밀도이기 때문인 것으로 판단되며 특별한 내용은 아닙니다.

      3. 전속 밀도의 회전을 고려하여 문제를 풀 수 있겠지만, 오히려 문제를 더 어렵게 만들 가능성이 있습니다. 정전장인 경우 전기장의 회전이 0이라는 단순한 관계가 있는데, 전속 밀도와 분극도까지 회전 연산자를 고려할 필요는 없어 보입니다. (물론 유일성 정리에 의해 어떤 방식으로 구하든지 답은 같습니다.)

      4. 유전체를 미시적으로 보면 분극까지 고려해야겠지만(예를 들면 랑제벵 방정식(Langevin equation) 유도처럼), 거시적 매질이면 거의 필요가 없습니다.

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    7. 같이 논의할수 있어 고맙습니다.
      아래와 같이 다시 정리해 보았습니다.
      1. 경계에서 두물체의 유전율을 알고 있다는 가정하에서, 전기장의 회전(접선 경계 조건), 전속 밀도의 발산(법선 경계 조건), 관련된 구성 관계식으로 전기장과 전속 밀도가 유일하게 얻어질 수 있습니다. 유전율은 분극벡터의 분포와 선형성을 알려주는 상수입니다. 그러므로 D와 E의 값을 위방식으로 구할때 유전율을 사용한것은 분극벡터를 사용한것과 같습니다. 그래서 D와 E를 구할때 분극벡터를 알아야만 구할 수 있다는 것이며 속박전하 역시 D를 만들어 낸다는 것입니다
      2. D의 발산이 자유전하밀도이기 때문에 쿨롱법칙을 써서 D를 구하면 D의 회전은 항상 0입니다. 쿨롱법칙으로 만든 모든 벡터필드의 회전은 항상 0입니다. 그러나 위 글에서 D의 회전이 일반적으로 0이 아니라고 했습니다. 왜 D의 회전이 0이 아닌지 정확히 설명해 주시겠어요?
      3. 선형매질의 경우 유전율이 주어지면 간단히 E와 D를 구할수 있겠지만 비선형매질의 경우는 P의 값을 알아야지만 E를 구할수 있고 또한 D도 구할 수있습니다. D의 회전(=P의 회전) 없이 D를 구할수 있으면 얼마나 좋겠어요? 자유전하가 없는 막대형태에 속박면전하가 양끝에 분포한 물체의 D는 물체내부에서 E와 완전히 다릅니다. 서로 거의 반대방향이지요.
      4. 분극벡터는 미시적 거시적 관계없이 E와 D를 구할때 반드시 알아야 하는 벡터입니다. 다만 선형물질인 경우는 유전율로 대치해서 분극벡터를 사용하지 않은것 처럼 보일뿐입니다.

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    8. 1. 구속 전하도 D를 만들어 낸다고 생각하지 않습니다. 구속 전하의 영향을 배제하고 정의한 것이 D입니다.
      엄밀하게 문제 풀 때는 분극도를 고려해야겠지만, 선형 매질이 아닌 경우는 쉽게 풀리지 않습니다. 반드시 분극도와 관련된 적분 방정식이 출현하기 때문입니다.

      2. 제가 답글을 헷갈리게 달았네요. 아래처럼 고칠게요. ^^
      "D가 어떤 스칼라 함수의 구배가 아니라는 것은 D의 발산이 전하 밀도이기 때문인 것으로 판단되며 특별한 내용은 아닙니다."
      정전장에서 회전이 0인 것은 전기장입니다. 전기장의 접선 경계 조건을 만족시킨 후 구성 관계식으로 계산하는 것이 전속 밀도입니다.

      3. 비선형 매질에서 분극도를 근사적으로 정해서 풀 수 있겠지만, 어디까지나 근사해입니다. 분극도는 전기장과 연관을 가져서, 대부분 풀 수 없는 적분 방정식으로 나옵니다. 이게 대표적인 역산란(inverse scattering) 해법의 어려움입니다.

      4. 거시적으로 계산할 때는 분극도까지 생각할 필요는 없습니다. 이게 귀찮고 어려워서 유전율을 정의한 것입니다.

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    9. 답변 감사합니다.
      1. 구속전하가 D를 만들지 않는다면 자유전하가 없고 구속전하만 있는 경우에는 D가 0이 된다는 건가요? 이경우 D가 0이 아니라면 왜 그러한지 정확히 설명 해주시겠어요?
      2. 여전히 혼란스럽네요. D의 gradient 가 존재하지 않는것과 D의 발산이 전하밀도 인것과 무슨 관계가 있지요? D의 발산이 전하밀도 이어도 D는 scalar potential 를 가질수도 있고 갖지 않을 수 있습니다. 그래서 D는 D의 발산과 상관없이 스칼라 구배가 될수도 있고 되지 않을 수도 있습니다. curl D 가 0 일때 D가 scalar potential 을 가지며 0이 아니면 scalar potential 을 정의할수 없습니다. 미안하지 만 좀더 명확히 설명 부탁합니다.

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    10. Eugene님, 계속 고민하는 모습이 보기 좋습니다. ^^

      1. 맥스웰 방정식이 말하는 것은 D의 발산과 E의 회전입니다. D, E를 직접 정의하고 있지 않습니다. 분명한 것은 D의 발산이 자유 전하 밀도라는 것입니다.

      2. 좀 더 수학적으로 생각해보죠.
      1) 헬름홀츠 분해 정리에 의해 경계 조건이 정해지면 임의의 벡터 함수(D)는 어떤 벡터 함수(F)의 회전과 어떤 스칼라 함수(V)의 구배의 합으로 정할 수 있습니다.
      2) 일반적인 경우, 맥스웰 방정식에서 D의 발산과 회전이 0이 아니기 때문에(Eugene님이 언급하신 대로 E의 회전이 0이므로 D의 회전은 0이 아닙니다.) D는 F의 회전과 V의 구배로 표기되어야 합니다. F, V 둘 다 필요합니다.
      3) 이걸 그리피쓰는 좀 어렵게 설명한 듯 합니다.

      이 부분에 대한 포텐셜 적용 방식은 아래 링크 참고하세요.
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/symmetric-maxwells-equations.html

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    11. 답변고맙습니다.
      2. 1)과 2)의 말씀은 옳습니다. D= gradient (scalar potential V) + curl(vector potential F) 로 표현된다는 것이지요. 그래서 D의 회전과 발산을 모두 알아야 D를 알수 있는거죠.
      제 질문은 아래와 같습니다.
      "D가 어떤 스칼라 함수의 구배가 아니라는 것은 D의 발산이 전하 밀도이기 때문인 것"
      = "D의 회전이 0이 아니라는 것은 D의 발산이 전하 밀도이기 때문인 것."

      제 질문은, D의 발산이 자유전하밀도라는 사실과 D의 회전과 무슨 관계가 있는가? 입니다.
      D의 회전값은 D의 발산값에 관계없이 자유롭게 정할수 있기 때문에 아무런 상관이 없다는 것입니다. 어떻게 자유전하밀도가 D의 회전이 0이 아니도록 만들수 있는지 설명바랍니다.

      1." 구속 전하도 D를 만들어 낸다고 생각하지 않습니다. 구속 전하의 영향을 배제하고 정의한 것이 D입니다.'
      그렇다면 구속전하가 있을 때와 없을때 관계없이 D는 같다는 것인가요?
      매질이 동심구나 무한평면이 아닌 비대칭인경우도 아무리 많은 속박전하가 만들어져도 D는 변하지 않나요?
      구속전하가 있을 때는 구속전하를 없애고 자유전하만으로 D 를 구하면 되는 건가요?
      위 문장에 대해 명확히 설명부탁드립니다.

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    12. 저는 오랫만에 전자기학에 대해 깊이 생각하고 그 생각을 나눌수 있어 매우 즐겁습니다. 전파거북님에게 방해 된다면 더 이상 질문 하지 않겠습니다. 하지만 제 질문이 이 블로거를 보시는 다른 분들에게도 도움이 될거라고 생각합니다. D와 E의 개념을 완전히 이해하는 분들이 거의 없는것 같아요. 많은 교수님들도 오개념을 가지고 강의를 해서 학생들이 더욱 혼란스럽게 생각하는 것 같습니다. 모쪼록 여기 대화내용이 다른분들에게도 정확한 D와 E의 개념을 갖도록 가급적 정확하게 표현하도록 노력하고 있습니다.

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    13. 질문은 언제든 환영합니다, Eugene님. ^^

      1. 자유 전하가 영향을 주는 것은 국소적으로 보면 D의 법선 방향 성분입니다. 나머지 접선 방향 성분은 전기장 회전으로 구해야 되서 매질이 달라지면 D의 전체 특성은 바뀌게 됩니다.

      2. 제시하신 그리피쓰 문장으로 다시 돌아가면, D의 회전이 0이 아니기 때문에 단순하게 V의 구배로 정의할 수 없고 F의 회전을 포함해야 합니다. 하지만, F의 회전은 D의 발산인 자유 전하 밀도를 도출할 수 없기 때문에 V의 구배가 들어가야 합니다. 이로 인해 그리피쓰도 D는 스칼라 함수의 구배로만 정의할 수 없고, 흔히 말하는 스칼라 함수인 포텐셜로는 부족하다고 기술한 것 같습니다.
      하지만 제 관점은, 이렇게 복잡하게 된 이유가 전기장의 회전이 아닌 전속 밀도의 회전을 생각하기 때문이라는겁니다. 전기장을 쓰면 전기장의 회전이 정전장에서 0이므로, V의 구배로 E를 정의하고, D의 발산에 넣어 푸아종 방정식을 풀면 되지요. 이게 간단하고 정전장 해를 구하는 표준적인 방법입니다.

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    14. 답변감사합니다.
      우리의 토론이 다른분들에게 E와 D의 명확한 이해를 도와줄 수 있는 자료가 되었으면 합니다. 그렇게 되기 위해서는 먼저 질문과 답이 분명해야 하며 그 답에 대한 수학적 증명이 반드시 있어야 합니다. 가급적 추측이나 수학적 증명이 되지않은 의견은 게시하지 않거나 별도의 항목에서 제시했으면 합니다.
      그래서 최종적으로 가장 이해하기 쉬운 D와 E의 설명 방법을 찾아내서 전파거북님의 블로거가 더 많은 사람들에게 도움이 되었으면 합니다.
      1. 제 질문은 이렇습니다.
      동심구나 무한평행판내에 매질이 균일하게 분포할때는 D는 속박전하가 있을때와 없을 때에 관계없이 동일하며 자유전하밀도와 유전율만으로 결정됩니다.
      그러나 위와 같은 구조가 아닌 일반적 형태의 비대칭구조의 매질에서 속박전하있을 때와 없을때 D의 값은 변하는가? 예를 들면 자유전하가 존재하지 않고, 막대자석처럼 생긴 형태에 양끝에만 양과 음의 속박전하가 분포하는 경우 매질 외부D는 속박전하가 있을 때와 없을 때 D의 값은 변하는가?
      답을 변한다 혹은 변하지 않는다 중 하나로 해주시고 그 이유를 수학식으로 증명해주시겠어요?

      2. "전기장을 쓰면 전기장의 회전이 정전장에서 0이므로, V의 구배로 E를 정의하고, D의 발산에 넣어 푸아종 방정식을 풀면 되지요"
      위 문장에서 D의 발산에 무엇을 넣는다는 것인가요?
      D의 발산에 E의 발산값을 넣는다는 건가요?
      만약 그렇다면 왜 D의 발산에 E의 발산값을 넣아야 하는 건지 수학적으로 설명 부탁합니다.

      위의 질문에 답변부탁드립니다. 그리고 논의를 계속했으면 합니다.

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    15. 1. 우리가 문제 풀 때 쓰는 것은 D가 아니고 D의 발산(or 법선 경계 조건)입니다. 그리고, 맥스웰 방정식은 매질 구조에 관계없이 성립합니다.
      매질(or 경계 조건)이 바뀌면 D,E가 바뀝니다. 이는 D의 발산이 바뀌어서가 아니고, 구성 관계식 때문입니다. 예를 든 전석(electret) 구조는 구속 전하만 있기 때문에 전영역에서 D의 발산이 0입니다. 하지만, 분극이 외부 전기장과 관계없이 존재하므로 이 분극도가 전기장을 만들어냅니다.

      2. 푸아종 방정식 유도를 말로 설명한 것입니다. 포텐셜을 이용해 D는 $\bar D = -\epsilon \bar \nabla V$로 넣고 계산합니다.

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    16. 답변고맙습니다.
      이 글을 읽는 분들을 위해 정확한 질문과 답변을 만들고 수학으로 완전한 형태의 정리와 증명으로 결론을 냈으면 합니다.
      1. "매질(or 경계 조건)이 바뀌면 D,E가 바뀝니다. 이는 D의 발산이 바뀌어서가 아니고, 구성 관계식 때문입니다. 예를 든 전석(electret) 구조는 구속 전하만 있기 때문에 전영역에서 D의 발산이 0입니다. "
      => 자유전하밀도가 0이므로 D의 발산은 0입니다. 하지만 제 질문은 D의 발산이 아니라 D가 0인가 하는 것입니다.
      매질외부에서 D는 0인가요?
      "하지만, 분극이 외부 전기장과 관계없이 존재하므로 이 분극도가 전기장을 만들어냅니다."
      => 분극벡터 P가 전기장 E를 만드는것은 알고 있습니다. 정확하게는 속박전하가 쿨롱의 법칙에 의해 전기장E를 만듭니다. 하지만 질문은 다음과 같습니다.
      분극벡터 P가 매질외부에서 전속밀도 D를 만드는가?
      분극벡터 P가 전속밀도 D를 만드는것은 속박전하가 전속밀도 D를 만드는것과 같은 문장인가?
      위 세 질문에 대답을 해주시면 이 토론의 결론을 내릴수 있을 것 같습니다.
      결론은 속박전하가 전속밀도를 만든다 혹은 만들지 않는다 중 하나입니다.

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    17. 질문이 계속 빙빙 돌고 있네요, 나머지는 Eugene님이 한 번 고민해보세요. ^^

      1. 제가 계속 강조하는 것은 우리 계산 도구는 D의 발산이라는 것입니다. 만약 자유 전하 밀도가 없다면 D의 발산이 0이고, D의 발산이 0이라 해서 D가 0인 것은 아닙니다.

      2. 분극도는 구속 전하와 관련되기 때문에 D의 발산에 영향을 주지 못합니다.

      3. 구속 전하 밀도를 직접적으로 전속 밀도와 연결하지 마시길. 구속 전하 밀도는 전기장과 관련됩니다. 또한, 우리 도구는 D의 발산과 E의 회전입니다. 이 관계를 만족하면 모두 답이며 답은 유일합니다.

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    18. 네 질문이 계속 돌아서 결론을 내리려고 합니다. 아래 증명에 수학적 오류가 있으면 지적해 주시면 감사하겠습니다.
      위의 전기석 예를 이용해서 설명하겠습니다.
      1. 막대전기석 양끝에 속박전하만 있는 경우 D는 0이 아닙니다.
      (정리) 외부전기장이나 자유전하가 없어도 속박전하가 있는 경우 전속밀도 D 값은 매질 외부에서 0이 아니다.
      (증명) (1단계) 다음 두 식에 의해 속박전하에 의한 전계 E 가 매질 내부와 외부에 발생한다.
      div E = 속박전하밀도, div E= 0
      Helmholz 정리에 의해 위 두 식으로 유일한 E 를 구할 수 있다.
      div E =0 를 만족하는 전계 E는 매질 내부와 외부에서 0이 아니다. 전공간에 div E=0 을 만족시키도록 E가 퍼져서 존재한다.
      (2단계) 막대전기석 내부에만 속박전하가 존재하므로 막대전기석 내부에서만 분극벡터 P가 발생한다. 분극벡터 P는 음의 속박전하에서 양의 속박전하로 향하며 구하는 방법은 아래 2번에서 설명되어 있음. 분극벡터는 매질내부에서만 존재하므로 매질외부에서 P=0이다
      구성방정식 D=ep0 E + P 에서
      매질외부는 D= ep0 E 이다. E가 매질 외부에서 0이 아니므로 D도 매질 외부에서 0이 아니다.
      (증명끝)
      참고로 매질내부에서도 자속밀도 D는 0 이 아닙니다.

      2. 경계조건과 유전율을 이용해서 전기장과 전속밀도를 구하는 방법은 모든 교재에 나와 있으며 잘 알고 있습니다. 저는 경계조건을 이용해 문제를 풀어 답만을 구하려는 것이 아닙니다. 경계조건이 가지고 있는 물리적, 수학적 이유를 알아 내고자 하는 것입니다.
      위 1에서 자유전하 밀도가 0인데 D는 0이 아닙니다. 텅 빈 공간에 속박전하만 있으며 매질 외부와 내부에 D가 존재 합니다. D를 만드는 근원은 그럼 어디에서 왔을까요?
      공간에 존재하는 건 속박전하 밖에 없습니다. 그러므로 답은 속박전하가 D를 만들었습니다. 속박전하가 전속밀도 D를 만드는 방법이 속박전하가 전기장 E를 만드는 것과 다르기 때문에 여기서 잘못된 개념이 발생한 것입니다. 특히 전속밀도D의 발산이 자유전하밀도이며 속박전하밀도를 포함하지 않기 때문에 전속밀도는 속박전하밀도와 상관없는 물리량이라고 생각합니다. 이것이 매우 잘못된 생각입니다.
      (정리) 전속밀도 D는 속박전하밀도에 의존한다.
      (증명1) 위 전기석(electret)의 예를 들어 설명하며 속박전하가 전기석 양단에 균일하게 분포한다고 가정함.
      1-(2)에서 밝혔듯이 막대 전기석 외부에서D= ep0 E 이며 D는 0이 아니다. E는 쿨롱법칙에 의해 균일한 속박전하밀도에 비례한다. 그러므로 D는 속박전하에 비례한다. 즉 전속밀도는 속박전하밀도에 의존한다.
      (증명1끝)
      더 정확하게 표현하자면 전속밀도는 속박전하밀도와 그 분극경로에 의존하는 함수입니다.

      분극벡터 P의 물리적,수학적 의미를 이해하기 위해 다른 방식으로 같은 결과를 증명하겠습니다.
      (증명2)전기석 양끝의 속박전하밀도는 스칼라 양이다. 그러나 음의 속박전하밀도에서 양의 속박전하밀도를 이어주는 경로벡터(d)와 양의 속박전하밀도를 곱해서 스칼라양을 벡터로 바꾸어 줄 수 있다. 이것이 분극벡터 P이다. 분극벡터 P는 스칼라 양인 속박전하밀도를 분극된 경로(d)와 곱해서 벡터양으로 바꾸어준 것이므로 속박전하밀도 벡터라고 부를수 있다. 이 벡터 P의 회전값을 비오사바르 법칙에 넣고 벡터필드를 구한 것이 자속밀도 D이다. (왜냐하면 회전연산자의 div-free 역연산이 비오사바르 법칙이기 때문)
      예) 속박면전하 밀도가 σ이고 분극의 길이가 d이면 속박체적전하밀도는σ/d 이며 분극벡터는 P=(σ/d)d = σ (분극방향 단위벡터)이고
      분극벡터의 회전은σ (옆면단위벡터)이다. 이 회전의 값을 비오사바르 법칙으로 벡터필드를 구한 것이 자속밀도 D이다. 속박전하밀도 σ는 상수이므로 D는 속박전하 밀도에 비례한다.
      (증명2 끝)
      결론을 내리면 전속밀도는 속박전하밀도에 따라 변하는 함수입니다.
      전자기학에서 전속밀도는 속박전하의 영향을 받지 않으며 자유전하밀도만으로 결정된다는 오개념이 사라지기를 바라는 마음에서 긴 토론을 만들게 되었습니다.
      (참고: 같은 논리로 전계 H는 속박전류에 의존합니다.)
      위 주장에 수학적 오류가 있다면 부디 수식으로 표현해 주시기 바랍니다.

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    19. 전석에 대한 정전장 해석은 고급 전자기학 교재에서 볼 수 있으니, 여기서 댓글로 쓸 필요는 없을 것 같습니다.

      말씀하신 부분은 식 (15)의 맥스웰 방정식과 어긋납니다. 전속 밀도의 원천은 반드시 자유 전하 밀도가 되어야 합니다. (전기장만으로도 정전장 해석이 되는데, 굳이 왜 전속 밀도를 정의했을까요? 전속 밀도를 사용하면 매질이 있는 경우의 정전장 해석이 매우 편해집니다.) 발산 연산자의 의미를 생각해보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/divergence.html

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    20. 불확실한 용어 때문에 생긴 오해인 것 같습니다.
      div D = 자유전하밀도 이므로 전속밀도의 원천(source)는 자유전하밀도가 맞습니다. 하지만 저는 원천(source)라고 하지 않았습니다. 근원이라고 했죠. 전속밀도의 근원은 전속밀도를 만드는 근본적인 원인을 말하며 수학적으로는 div D와 curl D 두 가지를 지칭합니다. 그러므로 맥스웰방정식(15)에 어긋나지 않습니다.
      예를 들어 자기장 B를 만드는 근원은 무엇인가요? Div B가 0이니 원천은 0이지만 B의 값은 0이 아닙니다. 자기장의 근원은 curl B인 (속박전류밀도+자유전류밀도) 인 것을 우리는 잘 알고 있습니다. 전속밀도 D의 근원도 마찬가지로 div D 와 curl D 이며 curl D가 속박전하밀도의 함수로 나타난다는 것을 위에서 증명하였습니다. 그러므로 전속밀도를 만드는 것은 속박전하밀도입니다. 속박전하가 전속밀도를 만드는 것이 아니라면 전파거북님은 자유전하가 0인 곳에 발생하는 전속밀도의 근원(혹은 원인)이 무엇이라고 생각하십니까?
      구성방정식 D=ep0 E + P 에서 E는 속박전하의 함수이며, P역시 속박전하밀도와 분극경로벡터에 의해 만들어진 벡터임을 위에서 보였습니다. 그러므로 D는 항상 구속전하밀도에 의존하는 함수입니다. 그래서 아래와 같은 주장은 옳지 않습니다.
      “E는 물질의 영향까지 고려한 것이고, D는 물질 영향 없는 특성을 찾기 위해 정의한 것입니다. 위 질문에서 설명하신 것처럼, 더 깊이 들어가면 D는 자유 전하만 관계되고 E는 물질이 만드는 구속 전하까지 포함하여 정의합니다. 이걸 수학식으로 표현한 것이 식 (15)입니다.” => D는 속박전하밀도와 분극경로에 관계됩니다.
      “만약 물질이 있으면 P가 생기고 그 양을 상쇄하도록 E가 생겨, 결국 D는 변동되지 않습니다.” =>막대 전기석내의 E는 P를 완전히 상쇄시키지 못합니다. 그래서 막대 전기석 내부에서도 D는 존재합니다.
      “E, D의 특성은 쿨롱의 법칙(전속 밀도의 발산)과 패러데이의 법칙(전기장의 회전)에 의해 명확히 정의됩니다.” => 분극벡터가 없으면 전속밀도가 명확히 정의 되지 않습니다.

      전파거북님의 블로거는 너무나 훌륭합니다. 이미 많은 전기전자공학도로부터 큰 공신력을 얻고 있습니다. 여기 방문하는 거의 모든 분들이 이 블로거에서 개념을 배우거나 혹은 그냥 외우고 갑니다. 그런데 위의 오개념이 전기전자물리 분야에 너무나 많이 퍼져있어 이를 정확히 알리고자 합니다. 특히 E, D, P의 정의는 전자기학의 가장 기본적인 정의인데 이 수학적,물리적의미가 난해해서 오개념을 가지게 되고 결국 전자기학 전체를 잘못 이해 하는 경우가 너무 많이 발생하고 있습니다. 제 설명이 이런 고질적인 문제를 해결하는데 도움이 되기를 바랍니다.
      제 의견에 잘못된 부분이 있으면 수학적으로 지적해 주시기 바랍니다.

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    21. 이 글을 쭉 읽어봤습니다. 아주 열띤 토론이었네요^^

      제가 생각하는 것은 이렇습니다.

      " D의 발산은 자유전자만 관계 있고 분극전하와는 관련이 없다. "

      " 하지만 Curl D 는 0이 아니기 때문에 (Curl P 가 0이 아니므로 ) D field 자체는 자유전자와 분극전하의 영향을 모두 받는다 "

      이렇게 이해하면 될 거 같습니다.

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    22. 방문과 댓글 모두 감사합니다, 익명님. ^^
      인터넷은 여러 의견을 다양하게 볼 수 있고 서로 토론할 수 있어 매우 좋아합니다. 특히 과학 분야 연구에는 필수적이라 생각합니다.

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    23. 'D의 발산은 자유전하밀도가 있는지 없는지 알려주지만, D의 존재 자체는 다른 무엇인가를 알려주지는 않는다.'
      이렇게 이해해도 되는 걸까요?
      항상 블로그에서 많은 도움 얻고 있습니다. 감사합니다.

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    24. 1. $D$의 발산은 자유 전하 밀도 존재성을 재는 수학적 도구가 맞습니다.

      2. $D$ 자체도 많은 정보를 갖고 있습니다. 국소적으로 보면 $D$의 법선 성분이 발산과 관계되고, $D$의 접선 성분은 회전과 관계됩니다. 다만, 맥스웰 방정식에 의해 $E$의 접선 성분이 매질에 관계없이 잘 정의되므로, $D$의 접선 성분은 $E$에 의해 결정해야 합니다.

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  15. 안녕하십니까 질문을 두가지만 드리고 싶습니다.
    1. susceptibility가 음수인 경우가 있을까요? 현재 읽고있는 논문이 Re(epsilon)<0인데요 아무리 생각해봐도 P = ep_0 * chi_e * E에서 chi_e밖에 음수를 못 갖게 됩니다.

    2. current(density)와 E-field의 direction을 같게 봐도 될까요?

    감사합니다.

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    1. 1. 메타물질인 경우, 당연히 전기 감수율이 음수라고 생각해야 합니다.

      2. 전류 밀도와 전기장 방향은 같을 수도 있고, 다를 수도 있습니다. 문제마다 다르다고 생각하세요.

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  16. 1.유전체 전속밀도를 유도 하실때 구속전하밀도에 표면전하밀도가 포함되는 거라고 하셨는데 유전체니까 구속전하밀도는 0이지 않습니까?....
    제 교재에서는 유전체 내부를 가우스면으로 설정해서 표면전하밀도를 제외하고 유도하던데 내부라는 용어가 항상 애매하게 사용되네요 ㅠ

    2. 교재에서 유전체 내부를 가우스면으로 설정했을 때도 내부 자유전하밀도를 고려하던데 이것도 이해가 안됩니다 유전체엔 자유전하가 없다고 하면서도 있을 때를 가정해서 고려합니다 윗글로도 이해가 잘 안되네요 ㅠ 어떻게 이해해야하나요 ..

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    1. 전속 밀도를 구할 때는 자유 전하 밀도만 고려하고, 전기장을 구할 때는 자유 전하와 구속 전하 밀도를 모두 고려합니다.
      왜 그렇게 해야 하는지는 식 (15)에 제시되어 있습니다.

      계산할 때 표면 전하 밀도를 뺄지 말지는 선택하기 나름입니다. 문제를 잘 보세요. ^^

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    2. 감사합니다! 죄송하지만 더 여쭤볼게요 ㅎ


      식 15에 전기장 발산 식에서 표면전하밀도 P•an은 왜 없는 건가요 


      그리고
      진공중에 유전체가 존재해서
      유전체 내에 자유전자를 고려하는게
      잘 안 와닿습니다
      진공은 진공이고 유전체는 유전체인 거 같아서요..

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    3. 1. 체적 전하 밀도만으로도 충분합니다. 식 (13)을 보시면 체적 전하 밀도의 경계면 특성이 표면 전하 밀도입니다.

      2. 유전체 내부에는 구속 전하가 있다고 생각합니다. 진공 중에 전하가 떠있다고 보시면 됩니다.

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    4. 감사합니다!!선생님
      공부열심히할게요ㅎ

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  17. 선생님 하나더 여쭐게요

    유전체와 다른 유전체 경계에서
    경계면 법선방향 전속밀도는 매질 관계없이 통과하는데
    접선방향은 왜 유전율에 관계해서 변하는지 궁금합니다

    책에선 접선방향의 전기장이 같아서 그렇다는 설명을 하는데
    수식으로는 이해가 가는데 개념적으로 이해가 안되네요

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    답글
    1. 선생님 아닙니다, 홍인표님. 전파거북이입니다. ^^

      접선 전기장이 같다는 것은 병렬인 경우 전압이 동일하게 걸리는 것과 유사합니다. 동일한 두 지점에 건 전압은 같아야지요. 이게 다르면 그 위치에서 순 전압이 계속 생기므로 에너지 보존 법칙에 위배됩니다.

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    2. 감사합니다 ㅋㅋ 전파거북선생님
      근데 전속밀도만으로는 설명할 수 없는 부분인가요

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    3. 접선 방향은 전기장으로 설명해야 합니다. 전속 밀도는 전기장이 얻어진 후 결정 가능합니다.

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  18. 안녕하세요 전파거북이님
    전기공학과 2학년 학생입니다.
    이렇게 댓글 달아주시면서 가르침 주시는 것에 대해 정말 감사드립니다^^

    몇일동안 계속 고민하고있는 내용을 여쭤보고 싶습니다.
    식14 바로 밑줄에 있는 부분입니다.
    유전체라는게 전자가 구속되어 있으므로 내부에는 자유전하가 생길 수 없다고 읽었습니다.
    하지만 식14 밑 Electric Flux Density를 정의할 때 자유 전하와 분극 전하를 둘 다 식에 포함합니다.
    유전체 내에는 자유전하가 있을 수 없는데 어떻게 수식에 포함시키는 것이죠?

    저 혼자 공부를 하며 이렇게도 생각을 해봤습니다.
    식 15의 첫번 째 줄에서
    자유 전하밀도는 외부에 있는 전하이고 이 전하에 의해서 E가 발생된다고 생각했습니다.
    이 외부 E에 의해 분극이 발생하는 정도를 분극밀도 Rho_{b}라고 생각했습니다.
    하지만 그 뒤에 다루는 P와 E의 관계에서
    제가 생각한대로라면 P와 E는 반대방향이 되어야 하는데 아니기 때문에 결국
    자유 전하 밀도는 유전체 내의 자유 전하에 대한 개념임을 알게됐습니다.
    하지만 결국 궁금증은 위에 말씀드린 질문으로 돌아가더라구요.

    유전체 내에 자유 전하가 없는데 어떻게 자유 전하 밀도를 따지는 거죠??

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  19. 그리고 식 15의 네번 째 줄을 해석해보면
    Electric Flux Density의 발산량은 결국 자유 전하 밀도에 의해서 결정된다는 것인데.
    질문은 똑같습니다.

    혼자서 공부하려니 이렇게 이해안되는 한 줄 때문에 몇일을 쓰게되네요;;ㅎ

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    답글
    1. 너무 어렵게 생각하지 마세요, 신윤식님. ^^
      일반적으로 표현하기 위해 자유 전하와 구속 전하를 동시에 기술한 것입니다. "유전체 내부에 절대적으로 자유 전하는 없다", 이런 것은 없습니다. 있어도 되고 없어도 되기 때문에 같이 쓴 것입니다.

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    2. 제가 너무 갇혀서 생각한 것 같네요;;ㅎ
      "일반적"으로 생각하도록 하겠습니다.
      답변 감사합니다^^

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  20. 전파거북이님 안녕하세요. 블로그의 여러 좋은 글 참고하며 공부하고있는 학생입니다. 전속밀도의 정의 중 헷갈리는 부분이 있어서 질문드립니다.
    전속밀도 D를 정의할 때 기존의 전기장의 발산식에 구속전하밀도의 영향까지 포함시켜 정의하는 것을 보았는데요, 그 식에서 구속전하는 유전체의 분극으로 표현된 체적전하밀도만 포함되는 이유가 뭔지 직관적으로 이해가 잘 되지않습니다. 표면전하밀도는 영향을 전혀 미치지않는건가요? 부족한 질문이지만 답변 부탁드립니다.

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    답글
    1. 1. 전속 밀도는 자유 전하만 포함하려고 식 (15)처럼 정의합니다. 전기장 경우는 구속 전하까지 들어갑니다.

      2. 경계면이 있다면 당연히 표면 구속 전하 밀도가 들어갑니다. 하지만 대부분의 경우는 유전체가 있는 영역만 생각하기 때문에 체적 전하 밀도만 들어가도 충분합니다.

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    2. 경계면이 있다는 말이 잘 이해가 되지않습니다.
      제가 나름대로 생각을 정리해보았습니다. 틀린것이 있다면 지적 부탁드립니다.
      1. 유전체의 표면전하분포는 유전체와 진공영역의 경계부분에 있는 것이다.
      2. 우리의 관심영역은 유전체가 있는 영역이므로 진공과 유전체의 경계부분 안쪽의 전하분포만 고려한다.
      3. 따라서 전속밀도D를 정의할때 경계부분의 면적전하밀도를 제외한 유전체 내부에 분포하고있는 체적전하밀도만 기존 식에 추가시킨다.

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    3. 바쁜시간 내어 답변해주셔서 매우 감사드립니다.

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    4. 맞습니다. 쉽게 생각하려면 유전체 영역이 무한하다고 가정하면 됩니다. 이 영역에 대해 전속 밀도를 정의하면 식 (15)처럼 됩니다.

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    5. 정말 감사드립니다. 덕분에 몇일동안 고민하던게 싹 정리가 되었네요. 알고보면 생각보다 단순히 정리되니 허탈하기도 하지만 너무 개운하네요~ 다시 한번 감사드립니다~

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  21. 안녕하세요 전자기학을 공부중인 학생입니다.
    다름이 아니라 그림2 에서
    빨간구에 +전하를 띄게하면 이는 자유전하가되고
    표면구에 생기는 -전하는 속박전하라고 볼 수 있을까요?

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    1. 아닙니다. 전압을 가했을 때, 전하가 자유롭게 움직일 수 있어야 자유 전하입니다. 금속이 대표적인 예입니다. 전하가 매질에 결속되어 움직일 수 없는 경우는 구속 전하입니다.
      어느 경우에 전하가 자유 혹은 구속이 되는지는 오랫동안 풀리지 않는 문제였습니다. 이 문제는 의외의 구조에서 해답을 얻었습니다. 바로 주기 구조입니다. 플로케(Floquet)가 제안한 주기 구조 해석 방법을 블로흐(Bloch)와 같은 물리학자의 기여로 원자 구조에 적용해 에너지 띠(energy band) 개념을 만들었습니다. 이 에너지 띠를 이용해 절연제와 금속을 설명합니다.

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  22. 전파거북이님 유전체에 외부전기장을 가하면 유전체는 표면전하밀도와 체적전하밀도로 표현할 수 있는 데 외부전기장에 의해 유전체 내부는 분극이 되어서 전기장이 감소하고 외부는 표면 전하밀도가 만드는 전기장 그러니깐 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 외부에서 가한 전기장과
    합쳐져서 외부전기장이 재구성되는 것이 맞는 것인가요?

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    답글
    1. 거의 맞습니다. 원론적으로는 구속 전하가 만드는 표면과 체적 전하 밀도가 유전체 내외부 전기장에 모두 영향을 줍니다. 분극 밀도($\bar P$)의 발산이 없다면 체적 전하 밀도는 0이고, 표면 전하 밀도로만 계산하면 됩니다.
      당연히 구속 전하가 만드는 표면 전하 밀도는 유전체 내부와 외부에 모두 영향을 주고요. 이 경우 정확한 결과는 전기장과 전속 밀도의 접선과 법선 성분의 연속 조건을 고려해 계산합니다.

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  23. (5) 번식에 오타가 있네요. grad V 가 아니라 그냥 V 가 되어야 맞는식이 되네요.

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    답글
    1. 지적 정말 감사합니다, Eugene님. ^^ 고쳤어요.

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  24. 2013년 전자과 학부 2학년때 전자기학 수업들었을때 와서 많이 봤는데..
    2017년에 전자과 박사과정 다니면서 Qualifying Exam 준비하느라 다시 보고 있습니다. 예전에는 안보였던 것들이 다시 보니 보이기 시작하네요. 이렇게나 양질의 한글 컨텐츠를 제공해주신 전파거북이님 너무나 감사드립니다.

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    답글
    1. 방문 감사합니다, Dongmin님. ^^ 학위 과정에서 좋은 성과 많이 만드시길 바랍니다.

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