맥스웰 방정식(Maxwell's Equations)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전기장

2. 자기장

3. 패러데이의 전자기 유도 법칙

4. 발산의 의미

5. 회전의 의미

[그림 1] 전자기파의 주파수 특성(출처: wikipedia.org)

[전자기파의 주파수 대역(electromagnetic spectrum)]

실험적으로 성립된 전자기학을 이용하여 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)은 1864년맥스웰 33세, 조선 고종 시절에 전자기장에 대한 일반적인 방정식인 맥스웰 방정식을 런던 왕립학회(The Royal Society of London for the Improvement of Natural Knowledge) 발표에서 제안하였다. 이 제안을 토대로 1865년에 맥스웰 방정식에 대한 논문이 발표되었다[1].[맥스웰 방정식과 관계된 정확한 날짜[6]: 논문 투고 1864년 10월 27일, 논문 공개 1864년 12월 8일, 논문 출판 1865년 1월] 1865년 논문에서 맥스웰은 전자기장에 대한 파동 방정식(波動方程式, wave equation)을 제안하였다. 이 파동 방정식으로 인해 빛도 전자기파의 일종이라고 주장하게 된다. 전기와 자기를 수학적으로 이해하기 위해 노력하던 맥스웰이 24세[2]와 30세[3]때 논문을 차례로 발표하고 기나긴 고민을 하면서 이룬 성과였다. 이 개념을 더욱 발전시켜 1873년맥스웰 42세, 조선 고종 시절에는 포텐셜(potential)을 기반으로 한 파동 방정식을 제시할 수 있었다[4]. 원래의 맥스웰 방정식은 20개의 변수로 이루어졌으나, 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)의 1884년헤비사이드 34세, 조선 고종 시절 기여로 아래 식 (9)에서 (12)와 같은 4개의 미분 방정식으로 간편하게 정리되었다. 실험을 바탕으로 맥스웰 방정식을 구성하면 아래와 같다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

                       (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오–사바르의 법칙)

                             (4: 암페어의 법칙)

비오–사바르 법칙으로 패러데이 법칙 증명에서 제안한 대로 식 (2)와 (3)은 서로 종속적인 관계에 있다. 이 관계는 아래와 같은 벡터 항등식을 써서 증명할 수 있다. 식 (2)에 발산 연산자를 적용하면 아래와 같다.

                        (5)

식 (5)가 성립하기 때문에 자속 밀도($\bar B$)의 발산은 시간적으로 고정되어야 한다. 이 고정값을 $0$이라 두면 식 (3)이 증명된다. 혹은 시간적으로 변동이 없기 때문에, 현재 자속 밀도의 발산을 측정한 결과는 태초의 자속 밀도 발산과 동일하다. 현재까지 자속 밀도 발산의 측정값은 $0$이므로 자속 밀도의 발산은 항상 없어야 한다. 마찬가지로 식 (4)에 발산 연산자를 적용하면 아래 식이 얻어진다.

                        (6)

식 (6)에 의하면 전류 밀도($\bar J$)의 발산은 $0$이 되어야 한다. 발산이 $0$이므로 흘러 들어온 전류는 반드시 흘러나가야 한다. 이 결과는 DC(직류, 直流, Direct Current)에서는 맞으나 AC(교류, 交流, Alternating Current)에서는 틀린다. 왜냐하면 DC에서는 전류가 흐르든지 흐르지 않는지[$\bar \nabla \cdot \bar J$ = $0$] 둘 중 하나이지만, AC에서는 커패시터(capacitor) 때문에 전류가 쌓일 수도 있다. 들어온 전류가 나가지 않고 쌓이면 발산은 $0$이 아니다.[$\bar \nabla \cdot \bar J$ $\ne$ $0$] 따라서 식 (7)처럼 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)을 이용해 식 (6)을 수정해야 한다.

                          (7)

식 (7)을 고려하면 식 (4)는 무언가 잘못되었다. 전자기학에서 원천(source)을 전하(電荷, electric charge)와 전류(電流, electric current)로 명확히 구별해서 전기장과 자기장에 대한 이론을 성공적으로 전개했다. 하지만 전기와 자기를 동시에 고려해서 같은 맥락의 방정식으로 정리하니까 피하고 싶은 심각한 문제인 식 (6)과 같은 오류가 생겼다. 전하 보존 법칙이 맞다면, 전하와 전류를 서로 다른 원천으로 엄격히 구별해서 사용할 수 없고 식 (7)처럼 연결되어야 한다. 더불어 식 (4)에 제시한 암페어의 법칙도 수정되어야 한다. 마치 자기장이 전기장의 회전 원천이 되는 현상[식 (2)에 제시한 패러데이의 법칙]처럼, 전기장이 자기장의 회전 원천이 될 수도 있어야 한다. 이 문제를 최초로 지적하고 수학적으로 명쾌하게 해결한 사람이 맥스웰이다[3]. 이런 오류 지적과 새로운 개념 제안은 맥스웰이 30세일 때의 업적이다. 맥스웰이 변위 전류를 주장했을 때, 학계의 반응은 그다지 좋지 않았다. 변위 전류 개념이 수학적으로는 명쾌하지만 물리적 실체는 없다고 생각했다. 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 1887년헤르츠 30세, 조선 고종 시절에 전자기파의 존재를 실험적으로 증명하기 전까지 전자기장에 대한 맥스웰의 이론은 학계에서 맹렬한 비판을 받았다. 변위 전류를 포함함으로써 전자기장 파동 방정식(electromagnetic wave equation)이 성공적으로 유도되지만, 전자기파에 대한 실험적 증거가 없었기 때문에 당시에는 대부분의 물리학자들이 맥스웰 이론에 비판적이었다. 하지만 이전 물리학자들이 전기와 자기의 통합에 실패한 원인도 변위 전류의 부재 때문이었을 정도로 변위 전류는 혁명적이었다. 전자기학상의 오류를 충분히 이해했기 때문에, 어떻게든 해결해야 한다. 맥스웰은 전하 보존 법칙을 지키기 위해 식 (4)의 우변에 변위 전류(變位電流, displacement current) 항인 $\bar J_d$를 강제적으로 포함시켰다. 그러면,

                          (8)

식 (8)의 마지막 결과식을 얻기 위해 식 (1)을 사용하였다. 지금 현재 시점에서 전하 보존 법칙을 고려함은 당연하지만, 맥스웰이 변위 전류를 제안했던 1861년맥스웰 30세, 조선 철종 시절은 전자(電子, electron)와 양성자(陽性子, proton)가 발견되기 훨씬 전이라서, 주변 물리학자들이 변위 전류에 대해 가졌던 의심은 일견 타당했다. 하지만 모든 요소가 완벽하게 준비되지 않았더라도 물리학이 가야할 길을 제시할 수 있는 사람이 진짜 전문가이지 않을까? 맥스웰은 겨우 30세였지만 그 누구보다도 물리학을 잘 이해하고 있었다. 맥스웰이 제안한 변위 전류는 이름에서도 알 수 있듯이, 전자파를 전달하는 매개체[지금은 거부된 개념인 에테르(ether)]의 특정 부분이 움직이면서[변위를 일으키면서] 변위 전류가 흐른다는 가정을 생각해 작명했다. 물론 이런 개념은 그 다음 세대의 영웅인 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955)이 만든 특수 상대성 이론(special theory of relativity)으로 인해 폐기되었다. 이 변위 전류 결과를 식 (4)에 대입하면 최종적으로 수정된 맥스웰 방정식이 얻어진다.

                       (9: 쿨롱의 법칙)

                       (10: 패러데이의 법칙)

                                (11: 비오–사바르의 법칙)

                  (12: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (9)에서 (12)에 소개한 맥스웰 방정식은 완벽하기 때문에 모든 전기자기학 문제를 명확하게 해결할 수 있다. 이 명제는 특수 상대성 이론(special theory of relativity)이 제시하는 세계를 제외한다면 언제나 맞다.

[그림 2] 커패시터 내부에 흐르는 변위 전류(출처: wikipedia.org)

맥스웰이 변위 전류의 필연성을 설명하기 위해 커패시터(capacitor)에 흐르는 전류를 고려했다[4]. 커패시터에 시간적으로 변동하는 전류를 흘리면 도선 자체는 끊겨있기 때문에 식 (7)에 의해 전하가 충전되거나 방전된다. 또한 식 (1)에 의해 전하는 필연적으로 전속 밀도(電束密度, electric flux density)를 만들므로 전속 밀도의 시간적 변동이 반드시 존재한다. 전속 밀도의 시간적 변동은 변위 전류이므로, [그림 2]처럼 커패시터 내부에 변위 전류가 반드시 존재한다. 즉, 도선을 흐르는 전류가 커패시터 내부에서 없어지지 않고 변위 전류로 바뀜을 개념적으로 확실히 이해할 수 있다. 맥스웰의 천재성을 볼 수 있는 부분은 변위 전류를 이용해 전자기파는 반드시 존재함을 주장한 부분이다. 예를 들어, [그림 2]의 회로는 맥스웰이 살던 시대에도 실험적으로 증명가능했다. 따라서, 커패시터의 간격을 계속 늘려가더라도 전류는 작아지겠지만 계속 흐른다. 커패시터는 간격이 매우 크더라도 전류를 흘릴 수 있기 때문에, 수신부에서는 송신부에서 보낸 신호를 감지할 수 있다. 이 부분은 안테나(antenna)라고 생각해도 된다. 그런데, 이런 현상이 아무런 매개체 없이 갑자기 일어남은 이상하다. 그래서, 변위 전류, 즉 전기장과 식 (2)에 의해 전기장이 만드는 자기장이 반드시 공간에 존재해서 전기장과 자기장을 매개로 정보전달이 일어나야한다. 식 (12)에 있는 변위 전류 특성은 벡터 포텐셜($\bar A$)을 이용해서도 증명할 수 있다. 자속 밀도의 회전은 벡터 포텐셜 정의를 이용하면 식 (13)으로 표현할 수 있다.

                          (13)

쿨롱 게이지 증명에서 식 (14)가 성립했다.

                         (14)

식 (14)에 DC 조건을 적용하면 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)가 되지만 식 (7)에 있는 전하 보존 법칙을 적용하면 식 (15)와 같은 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)가 된다. 로렌츠Ludvig Lorenz(1829–1891)는 쿨롱 게이지에 지연 효과(retardation effect)를 추가하여 맥스웰도 놓치고 있던 새로운 게이지를 1867년로렌츠 38세, 조선 고종 시절에 발표하였다[8].

                         (15)

여기서 범용 물질을 가정하기 위해 $\mu, \epsilon$을 사용하고, DC 조건으로 유도한 전압의 정의도 도입한다. 다만 식 (15)는 괜찮은 결과이기는 하지만 파동에 대한 고려가 없으므로, 엄밀한 AC 조건이 아닌 준정적(準靜的, quasi-static) 조건으로 유도한 결과가 식 (15)임을 꼭 기억해야 한다. 또한 일반화를 위해 전압 $V$ 대신 스칼라 포텐셜(scalar potential) $\phi$를 이용해서 벡터 포텐셜(vector potential) $\bar A$의 발산을 새롭게 정의한다. 추가적으로 방정식의 청소부인 게이지는 임의로 선택할 수 있기 때문에, 식 (15) 대신 쿨롱 게이지인 $\bar \nabla \cdot \bar A$ = $0$을 써도 된다.[이런 선택은 방정식을 지저분하게 만들기 때문에, 식 (15)가 더 낫다.] 즉, 미분 방정식의 게이지는 우리가 마음대로 선택하거나 바꿀 수 있는 편리한 도구이다.

로렌츠 게이지를 Lorenz 게이지라고 쓴 부분은 오타가 아니다. 이 게이지의 발견자는 헨드릭 로렌츠Hendrik Antoon Lorentz(1853–1928)가 아니라 루드비히 로렌츠Ludvig Lorenz(1829–1891)이기 때문이다[5], [8]. Lorenz의 이름이 유명 물리학자 Lorentz와 매우 비슷해서, 틀린 표현이지만 책에서도 보통 Lorentz 게이지라고 표시한다. 너무 유명한 사람과 이름이 비슷하면 자기 업적까지 남의 업적으로 오해될 수 있다. 식 (15)를 식 (13)에 대입하고 벡터 포텐셜의 라플라시안 및 스칼라와 벡터 포텐셜의 전기장 정의를 사용하면 식 (16)이 얻어진다.

                        (16)

자기장과 자속 밀도 관계를 이용하면 식 (16)은 식 (12)가 된다.

(a) 쿨롱의 법칙

(b) 패러데이의 법칙

(c) 비오–사바르의 법칙

(d) 변위 전류 포함 암페어의 법칙

[그림 3] 적분형 맥스웰 방정식의 시각화(출처: universaldenker.org)

발산과 회전의 의미를 기하학적으로 이해하고 있으면 맥스웰 방정식을 수식이 아닌 말로 표현할 수 있다. 이 수준이 되어야 전기장과 자기장에 대한 시각적인 그림을 마음속으로 그릴 수 있다.

• 쿨롱의 법칙: 전속 밀도(electric flux density)의 원천을 검출하면 그 값은 전하 밀도(electric charge density)가 된다.
• 패러데이의 법칙: 전기장(electric field)의 회전을 검출하면 그 값은 자속 밀도(magnetic flux density)의 시간적 감소와 같다.
• 비오–사바르의 법칙: 자속 밀도의 원천을 검출하면 그 값은 항상 $0$이 된다.
• 암페어의 법칙: 자기장(magnetic field)의 회전을 검출하면 그 값은 전류 밀도(electric current density) 그 자체 혹은 전속 밀도의 시간적 증가와 같다.

발산(divergence)과 회전(curl) 연산자를 이용하면 미분형 맥스웰 방정식(Maxwell's equations in differential form)인 식 (1)–(4)를 다음과 같은 적분형 맥스웰 방정식(Maxwell's equations in integral form)으로 쉽게 변경할 수 있다.

                                (17: 쿨롱의 법칙)

                       (18: 패러데이의 법칙)

                                (19: 비오–사바르의 법칙)

             (20: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

맥스웰 방정식을 이용해 문제를 푼다고 할 때 사용하는 식은 미분형 맥스웰 방정식이다. 미분형은 기본적으로 미분 방정식이기 때문에, 경계 조건만 정확히 주어지면 모든 전자파 문제를 해결할 수 있다. 적분형 맥스웰 방정식은 적분을 포함하고 있어 식 (17)–(20)을 바로 실제 문제에 적용하기는 어렵다. 문제 영역을 좀 세분화하여 면적과 선 적분이 적용 가능하게 한 후 적분형 맥스웰 방정식을 쓰면 된다. 이렇게 하면 전자파 공식화에 적분이 포함되어 해당 영역에 평균을 취한 효과가 필연적으로 들어가기 때문에, 수치 계산 결과의 안정성이 미분형에 비해 높아진다.

[참고문헌]

[1] J. C. Maxwell, "A dynamical theory of the electromagnetic field," Phil. Trans. R. Soc. Lond., vol. 155, pp. 459–512, 1865.

[2] J. C. Maxwell, "On Faraday's lines of force," Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 10, 1855.

[3] J. C. Maxwell, "On physical lines of force," Philosophical Magazine and Journal of Science, 1861.

[4] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, vol. 1 and vol. 2, 1873.

[5] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70–71, June 2001.

[6] G. Pelosi, "A tribute to James Clerk Maxwell on the 150th anniversary of his equations (1864-2014)," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 56, no. 6, pp. 295–298, Dec. 2014.

[7] L. Campbell and W. Garnett, The Life of James Clerk Maxwell with a Selection from his Correspondence and Occasional Writings and a Sketch of his Contributions to Science, Macmillan and Co., 1882.
[8] L. Lorenz, "On the identity of the vibrations of light with electrical currents," Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 34, pp. 287–301, Jul.–Dec. 1867. (Annalen der Physik und Chemie, June 1867에서 번역) 

[다음 읽을거리]

1. 전자기장 파동 방정식

2. 포텐셜 기반 파동 방정식

3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식

4. 대칭적인 맥스웰 방정식

5. 텐서를 이용한 맥스웰 방정식

6. 침투 깊이의 이해

7. 균일 평면파

8. 자기 단극자