자기장(磁氣場, Magnetic Field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전류

[자기력선(magnetic lines of force)]

[그림 1] 자석이 만드는 자기장(출처: wikipedia.org)

[수치 해석: 자석과 전자석(출처: phet.colorado.edu)]

1785년쿨롱 49세, 조선 정조 시절에 전기력(electric force)을 정량적으로 설명한 쿨롱Charles-Augustin de Coulomb(1736–1806)은 자기력(magnetic force)에 대해서도 동일한 실험을 수행했다. 놀랍게도 식 (1)에 소개한 자기력 $F_m$은 전기력과 매우 유사했다.

                           (1)

여기서 $k_m$는 자기력을 위한 상수이며 $m$과 $M$은 자석(磁石, magnet)의 세기, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$은 자석이 서로 떨어진 거리이다. 쿨롱의 자기력에 대한 실험 결과를 전기력과 유사하게 식 (1)로 표현한 과학자는 푸아송Siméon Denis Poisson(1781–1840)이다. 푸아송은 1824년푸아송 43세, 조선 순조 시절까지도 $m$과 $M$을 전하(electric charge)와 비슷한 자하(磁荷, magnetic charge)로 생각했다. 하지만 이미 1820년외르스테드 43세, 조선 순조 시절 4월 21일에 나온 외르스테드Hans Christian Ørsted(1777–1851)의 실험[배터리에서 나오는 전류를 개폐(開閉)하면 근처의 나침반이 움직임]에 의해 자기력은 자하가 아닌 전류(electric current)로부터 나온다는 사실이 분명해졌다[2]. 별로 유명하지 않은 덴마크의 교수 외르스테드가 전자기학의 시작을 알렸다. 또한 전자기학(電磁氣學, electromagnetism)이란 용어도 외르스테드가 처음으로 제안했다.

[전류가 흐르는 도선 둘레의 자기장(magnetic field around current carrying conductors)]

외르스테드의 발견으로 인해 자하 기반의 식 (1)이 아닌 전류가 원천인 자기력 관계식이 꼭 필요하게 되었다. 전광석화처럼 외르스테드의 실험과 전류 원천을 포함한 새로운 자기력 공식[배터리가 만드는 전류가 자기력을 생성]을 유도해낸 학자는 암페어André-Marie Ampère(1775–1836)[프랑스어 발음으로는 앙페르이지만, 전류 단위의 명칭이기도 해서 암페어로 표기], 비오Jean-Baptiste Biot(1774–1862), 사바르Félix Savart(1791–1841)이다. 1820년암페어 45세, 조선 순조 시절에 암페어는 두 개의 평행한 직선 도선 사이에 작용하는 힘(force)의 관계를 실험하고 공식화했다. 동일한 해인 1820년비오 46세, 조선 순조 시절에 비오와 사바르는 자석과 직선 도선을 이용하여 자기력을 실험하고 새로운 수학식을 구체적으로 제안했다. 비오와 사바르가 제안한 단순한 수학식을 다시 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)가 수정하고 일반화했다. 이렇게 해서 생겨난 비오–사바르 법칙(Biot–Savart's law)은 식 (2)와 같다.

[그림 2] 비오–사바르 법칙의 방향(출처: wikipedia.org)

                           (2)

여기서 $\mu_0$는 진공중의 투자율(透磁率, permeability)이며 단위 벡터[크기가 1인 벡터] $\hat R$[= $(\bar r - \bar r')/R$]은 $I$와 $I'$를 연결하는 단위 벡터이다. 2019년 이전에 $\mu_0$은 $4 \pi \times 10^{-7}$ H/m로 정확히 정의했지만, 2019년 5월 20일부터는 측정해야 하는 양으로 바뀌어서 $\mu_0$ $\approx$ 1.25663706212$\cdots \times 10^{-6}$ H/m로 사용한다. 원천점(source point) $(x', y', z')$과 관측점(observation point) $(x, y, z)$은 $I'$와 $I$처럼 $(\cdot)'$를 이용하여 표현한다. 즉, 힘의 범위를 만드는 원천 전류 $I'$이 위치 $(x', y', z')$에 있는 경우가 원천점이다. 비슷하게 관측점 $(x,y,z)$는 $I'$가 만든 힘의 범위가 관측 전류 $I$에 자기력을 미치는 위치이다. 식 (2)는 전기를 자기로 바꾸는 방법을 표현한다. 즉, 배터리[전기]로부터 생겨난 전류가 자기력을 생성하는 수학적 공식을 보여주고 있다. 그 후 1826년암페어 51세, , 조선 순조 시절에 암페어는 수학적으로 일반화된 암페어 주회 적분 법칙(周回積分 法則, Ampere's circuital law)을 발표했다. 전기장과 유사하게 자기력이 표현하는 원격 작용을 설명하기 위해 자기장(磁氣場, magnetic field) 혹은 자속 밀도(磁束密度, magnetic flux density)를 도입한다.

                           (3)

여기서 벡터 $\bar B$는 자속 밀도이고, 자기장 벡터는 $\bar H$ = $\bar B / \mu_0$이다. 자속(磁束)은 한자어로 자기 묶음이며, 영어로는 플럭스(flux)가 흐름(flow)이라 자속(magnetic flux)의 영어 뜻은 자기 흐름이 된다. 그래서 묶음과 흐름을 같이 볼 수 있지만, 어감으로는 약간 다른 느낌이 있다. 전기장과 동일하게 현대적인 의미로 자기장을 정의하면 자기력이 전달되는 범위[마당]가 된다. 자기장[혹은 자속 밀도]이 전달되어야만 자기력이 식 (2)와 같이 생성된다. 자기장이 전달되지 않으면 관찰자 입장에서는 아무런 일도 일어나지 않는다. 이 개념이 자기장 개념의 핵심이다.

자기장은 더 간단하게 자장(磁場)이나 자계(磁界)로 쓰기도 한다. 자계란 표현은 일본 공학계에서 자기장을 대신해 쓰던 용어라서 일본에서도 요즘은 많이 쓰이지 않는다. 자속 밀도는 비오–사바르 법칙에 따라 자기력과 직접 연결되는 개념이므로 아주 오래전부터 연구되었다. 그래서 자석과 페라이트(ferrite)를 다루는 분야에서는 자기장과 자속 밀도의 MKS(meter–kilogram–second) 단위인 H/m와 T 대신 오래된 CGS(centimeter–gram–second) 단위인 Oe와 G를 주로 활용한다. 

[비오–사바르 법칙의 미분형(Biot–Savart's law in differential form): 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                           (4)

[증명]

먼저 식 (3)과 (5)를 비교한다.

                         (5)

즉, 자속 밀도는 식 (6)으로 표현될 수 있다.

                         (6)

벡터 항등식인 식 (7)을 식 (6)에 적용하면 식 (8)이 얻어진다.

                         (7)

        (8)

따라서 자속 밀도는 식 (9)와 같이 회전 연산자로 표현된다. 발산 연산자의 영인자 특성으로 인해 당연히 자속 밀도의 발산은 0이다.

                         (9)
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비오–사바르 법칙의 미분형은 자기에 대한 가우스 법칙(Gauss' law for magnetism)이라고도 한다. 또한 식 (4)가 항상 성립하므로 발산 연산자의 영인자 특성에 의해 자속 밀도는 어떤 함수의 회전으로 표현할 수 있다.

                         (10)

식 (10)에 제시한 벡터 $\bar A$는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) 혹은 간략히 벡터 포텐셜이라 부른다. 식 (10)의 벡터 포텐셜 $\bar A$는 1845년노이만 47세, 조선 헌종 시절 노이만Franz Ernst Neumann(1798–1895)에 의해 발견되었다[1]. 헬름홀츠의 정리에 의해 벡터 포텐셜 $\bar A$를 정확히 정의하려면 발산과 회전을 구해야 한다. 벡터 포텐셜 A의 회전은 자속 밀도이므로 $\bar A$의 발산을 정의해야 한다. 식 (10)에 있는 전류와 선 미분소는 식 (11)로 표현할 수 있다.

                         (11)

여기서 선 미분소의 방향과 전류 밀도의 방향은 동일하게 잡았다.[∵ 전류가 흐르는 방향이 전류 밀도의 방향이 되니 당연하다.] 식 (11)을 식 (10)에 대입하면 새로운 체적 적분으로 벡터 포텐셜을 정의할 수 있다.

                         (12)

[자기 벡터 포텐셜의 발산: 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)]

                         (13)

[증명]

자기 벡터 포텐셜의 발산은 임의로 정할 수 있기 때문에[∵ 벡터 포텐셜의 회전이 자속 밀도가 됨만 정해졌다.] 식 (13)의 증명은 의미가 없지만 식 (12)는 특정 조건에서 식 (13)을 만족한다. 먼저 벡터 항등식인 식 (14)를 고려한다.

                         (14)

식 (14)와 (12)를 고려하면 식 (15)와 (16)을 얻을 수 있다.

                         (15)

                         (16)

식 (15)와 (16)을 결합하면 최종 결과인 식 (17)이 얻어진다.

                         (17)

그러면 벡터 포텐셜의 발산은 아래로 바뀌게 된다.

                         (18)

식 (18)을 유도할 때 발산 정리를 사용한다. 식 (18)에 정의된 체적을 무한대로 가져가면[∵ 체적은 우리 마음대로 잡을 수 있다.] 식 (18)의 우변에 있는 표면 적분은 0으로 수렴해야 한다. 이는 식 (12)로 표현되는 체적 적분[체적이 무한대로 진행]이 유한하다고 가정하면 그 표면 적분[표면 적분이 무한히 모여 체적 적분이 되므로 부분 합(部分合, partial sum) 개념으로 생각하면 쉽게 이해된다.]은 반드시 수렴해야 한다. 따라서 식 (18)은 식 (19)로 간편하게 표현된다.

                         (19)

식 (19)에 있는 전류 밀도의 발산[$\bar \nabla \cdot \bar J$ = $0$]은 전하 보존 법칙에 의해 DC(직류, 直流, Direct Current) 조건에서는 0이 되어야 하므로 식 (13)이 증명된다.

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식 (13)의 의미를 쉽게 생각하려면 KCL(키르히호프 전류 법칙, Kirchhoff Current Law)을 보면 된다. 자기 벡터 포텐셜은 식 (12)처럼 전류 밀도(electric current density)가 만든다. DC에서 전류는 들어온 만큼 나가기 때문에 전류 밀도의 발산은 항상 0이다. 그래서 자기 벡터 포텐셜을 이루는 전류 밀도의 발산이 0이므로 자기 벡터 포텐셜의 발산도 0이 된다. 쉽게 말해 자기 벡터 포텐셜도 들어온 선속만큼 반드시 같은 양이 나간다. 그런데 벡터 포텐셜의 발산은 왜 게이지(gauge)라는 표현을 붙일까? 게이지라는 단어는 잣대라는 의미이다. 기준이기 때문에 게이지는 우리 마음대로 선택할 수 있다. 예를 들면, 우리가 길이를 잴 때 미터로 잴 수도 있고 인치로 잴 수도 있는 것처럼 게이지도 자유롭게 선택 가능하다. 쉽게 생각하기 위해 게이지는 방정식의 청소부라고 생각한다. 청소부의 능력에 따라 깔끔한 정도가 차이나듯이 게이지 선택에 따라 최종 방정식이 예뻐지기도 하고 지저분해지기도 한다. 이 예를 보려면 자기 벡터 포텐셜에 대한 파동 방정식(wave equation) 유도를 보면 된다. 파동 방정식 유도를 위해 방정식의 항을 잘 모은 후 게이지를 이용해 깨끗하게 0으로 만들어 버린다.

벡터 포텐셜의 발산은 임의로 택할 수 있기 때문에 식 (19)에 DC 조건을 붙여 인위적으로 식 (13)을 증명한다. DC 조건은 정전장(靜電場, static electric field or electrostatics) 조건과 비슷하므로, 쿨롱의 잣대로 식 (13)을 정의한다고 이해하면 된다. 게이지 표현을 수학적으로 이해하려면 식 (10)을 보면 된다. 벡터 포텐셜의 회전을 자속 밀도로 정의하지만 수학적으로 보면 회전 연산자이다. 회전 연산자의 영인자는 구배 연산자이므로 벡터 포텐셜을 아래로 새롭게 정의할 수 있다.

                         (20)

식 (20)에 발산을 취해본다.

                         (21)

여기서 벡터 $\bar A$는 식 (13)을 만족하며 스칼라 $a_d$는 벡터 포텐셜의 발산을 정의하기 위한 임의의 값이다. 식 (21)의 우변은 푸아송 방정식이므로 스칼라 $a_d$를 만족하는 스칼라 $g$는 구해질 수 있다. 벡터 포텐셜 $\bar A$의 정의와 유사하게 자속 밀도 $\bar B$를 정확히 정의하려면 자속 밀도의 회전을 계산해야 한다. 이를 증명하기는 매우 어려우므로 아래 글을 읽을 때 마음을 단단히 먹자.

[암페어의 법칙(Ampere's law): 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                         (22)

[증명: 벡터 포텐셜]

번거로운 벡터 포텐셜의 발산을 식 (13)처럼 간단히 선택하므로, 자속 밀도의 발산을 벡터 포텐셜로 다시 만들어본다.

                         (23)

그래서 자속 밀도의 회전은 벡터 포텐셜의 라플라시안(Laplacian)과 관계있다. 식 (23)의 우변을 계산하기 위해 벡터 항등식인 식 (24)를 생각한다.

                         (24)

여기서 벡터 $\bar A_0$는 미분에 대한 상수벡터이다. 식 (23)에 식 (12)를 대입하고 식 (24)의 관계를 사용하면 식 (25)를 얻는다.

                         (25)

구 좌표계에 대해 발산을 적용하면 식 (26)처럼 $R \ne 0$인 경우는 0이 된다.

                             (26)

여기서 델 연산자($\bar \nabla$)는 간편성을 위해 $R$에 대한 미분으로 정의한다. 즉, 우리가 식 (25)를 체적 적분할 때 모든 체적을 고려할 필요없이 $R$ = $0$인 근방만 고려하면 된다. 거리 $R$ = $0$ 근방에서 전류 밀도는 상수로 취급할 수 있으므로[혹은 전류 밀도가 발산하지 않는다면] 식 (27)이 성립하여 식 (22)가 증명된다.

        (27)

식 (27)의 유도에서 전류 밀도는 원천점이 아닌 관측점을 나타내므로[∵ $R \to 0$] $\bar J' \to \bar J$로 변경한다.

[증명: 자속 밀도]

벡터 포텐셜은 부수적인 개념이기 때문에 [증명: 벡터 포텐셜]과는 다르게 자속 밀도만을 고려해서도 증명 가능하다. 먼저 식 (3)에 있는 자속 밀도의 회전을 고려한다. 벡터 항등식인 식 (28)을 이용하면 식 (29)의 관계를 얻을 수 있다.

                         (28)

      (29)

식 (29)의 우변 미분식은 완전 미분에 의해 식 (30)으로 표현할 수 있다.

                         (30)

또한, 식 (29)의 우변에 있는 발산은 식 (26)과 동일하다. 따라서 식 (26), (29), (30)을 자속 밀도의 회전에 집어넣고 식 (27)의 유도 과정을 고려하면 식 (31)을 얻을 수 있다.

                         (31)
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[그림 3] 암페어 주회 적분 법칙(출처: wikipedia.org)

[암페어 주회 적분 법칙(Ampere's circuital law)]

                         (32)

[증명]

식 (22)에 제시한 암페어의 법칙을 면적 적분하고 스토크스 정리를 적용하면 식 (32)가 증명된다.

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암페어 주회 적분 법칙이 의미하는 바는 [그림 3]에 제시되어 있다. 즉, 자기장 방향으로 선적분을 하면 그 선적분이 만드는 평면을 뚫고 가는 방향의 전류를 구할 수 있다. 암페어 주회 적분 법칙 적용시 주의할 점이 하나 있다. 식 (13)을 이용해 식 (32)를 증명하므로 도선 상을 흐르는 식 (32)의 전류 $I$는 반드시 $\bar \nabla \cdot \bar J$ = $0$을 만족해야 한다. 정상적인 DC 전류는 당연히 이 조건을 만족하지만 유한 도선처럼 전류가 흐르고 있지만 처음과 끝이 연결되지 않는 경우는 $\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$이므로 식 (32)를 사용해 자기장을 구할 수 없다. $\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$인 경우에도 식 (32)가 적용되게 만들려면 변위 전류(displacement current) 개념을 도입해야 한다. 하지만 변위 전류가 들어오면 더이상 정자장(靜磁場, magnetostatics) 문제가 아닌 전자파 문제가 된다.

자속 밀도와 자기 벡터 포텐셜의 관계를 식 (10)과는 다르게 표현해본다. 먼저 식 (12)에 식 (22)를 대입해 정리한다.

        (33)

식 (33)에서 체적 적분이 모든 원천을 포함한다면 적분 영역은 임의로 택할 수 있다. 따라서 체적 적분 영역을 무한대로 보내면 식 (33) 마지막식에 있는 표면 적분은 0으로 수렴한다. 이 경우 식 (33)는 다음처럼 간략화된다.

                         (34)

조금 더 어렵게 풀려면 식 (22) 유도에 사용한 식 (29)를 고려한다. 그러면 다음 관계식이 성립한다.

                         (35)

여기서 관측점 $\bar r$에서 편미분하는 $\bar \nabla$에 대해 원천점인 $\bar r'$에서 정의된 $\bar B'$은 상수로 취급한다. 모든 원천점에 대해 식 (35)를 체적 적분하면 다음을 얻는다.

                         (36)

식 (36) 유도에 다음의 다이애드(dyad) 포함 벡터 항등식(vector identity)을 사용한다.

                         (37)

식 (36)에 있는 체적 적분 영역을 무한대로 보내면 표면 적분은 0이 된다. 그러면 다음 결과식이 항상 성립한다.

                         (38)

따라서 자속 밀도로 표현한 자기 벡터 포텐셜은 식 (34)와 동일하다.

[참고문헌]

[1] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70–71, June 2001.

[2] O. M. Bucci, "Electromagnetism without fields: from Ørsted through Ampère to Weber," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 62, no. 4, pp. 128–137, Aug. 2020.

[3] 김세윤, 전자기학, 제3판, 퍼스트북, 2020.

[다음 읽을거리]
1. 로렌츠 힘
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4. 자기 쌍극자 모멘트
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