완전 미분(完全微分, Exact Differential)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "완전 미분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분법의 의미

2. 편미분 방정식의 의미

[그림 1] 완전 미분의 기하학적 의미

미분적분학에 필수적으로 등장하는 완전 미분(完全微分, exact differential)이라는 개념은 미적분 입문자에게는 이해하기 생소한 개념이다. 여기서 함수 $f$의 미분소(微分素, differential) $df$가 존재할 때를 완전 미분이라 하고 $df$가 존재하지 않으면 불완전 미분(inexact differential)이라 한다. 굳이 완전이라는 표현을 쓴 이유는 함수 미분소 $df$를 식 (1)과 같이 선 적분(線積分, line integral)하는 경우, 경로에 관계없이[혹은 경로를 마음대로 택하더라도] 시작점($\bar r_{\rm begin}$)과 끝점($\bar r_{\rm end}$)의 함수값에만 전체 적분값이 영향을 받기 때문이다. 이런 특성은 수학자가 좋아하는 완전한 특성이다.

                         (1)

이 완전 미분 개념은 전기장(電氣場, electric field)을 이용하여 전압(電壓, voltage)을 정의할 때 유용하게 쓰인다. 독립 변수가 하나인 경우는 $df$ = $A(x)dx$라 할 때, $A(x)$ = $df/dx$가 성립하여 당연히 완전 미분이 된다. 그래서 일변수 함수의 모든 미분은 필연적으로 완전 미분이다. 하지만 독립 변수가 $x, y$처럼 두 개인 경우는 생각을 좀더 해야 한다. 먼저 쉽게 생각하기 위해 차분(差分, difference) $\Delta f$를 생각한다. 그러면 식 (2)가 간단하게 성립한다.

           (2)

식 (2)의 공식을 기하학적으로 표현하면 [그림 1]이 된다. 갈색은 $x$에 대한 변화이며 녹색은 $y$에 대한 변화이다. $f(x, y)$에서 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$로 가는 변화율 $\Delta f$는 $x$와 $y$ 변화율로 표현할 수 있음을 [그림 1]에서 확인할 수 있다. 즉, $f(x, y)$는 그림상 원점에 위치해 있고 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$는 대각선 위치에 있으므로 원점에서 대각선점으로 가는 방법은 갈색[$x$축 변화율]을 거쳐 녹색[$y$축 변화율]으로 가는 방법과 녹색[$y$축 변화율]을 거쳐 갈색[$x$축 변화율]으로 가는 방법이 있다. 이 두 가지 방법은 동일한 점 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$로 연결되어 있다. 또한, [그림 1]과 식 (2)처럼 $x$축 변화율과 $y$축 변화율의 합으로 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$를 표현할 수 있다. 식 (2)에서 차분값 $\Delta x, \Delta y$가 0으로 가는 극한을 취한다.

                         (3)

여기서 $\partial$는 편미분(偏微分, partial differentiation)을 나타내는 기호이며 $d$를 둥글게 쓴다고 해서 둥근(round)이라고 읽는다. 편미분은 다변수 함수를 특정 변수에 대해서만 편파적으로 미분하는 경우를 뜻한다. 예를 들어, 2변수 함수 $f(x, y)$를 $x$에 대해서만 미분하면 $\partial f(x, y)/\partial x$가 된다. 비슷하게 $y$에 대한 편미분은 $\partial f(x, y)/\partial y$이다. 식 (3)을 고려하면 $A(x, y)$와 $B(x, y)$는 다음 조건식 (4)를 만족해야 한다.

                         (4)

예를 들어, $A(x, y)$ = $y$, $B(x, y)$ = $x$는 완전 미분 조건을 만족하므로 $f(x, y)$ = $xy + C$로 쓸 수 있다. 반면 $A(x, y)$ = $y^2$, $B(x, y)$ = $x^2$라면 단일 $f(x, y)$로 표현하는 건 불가능하므로, $df$가 존재하지 않아서 불완전 미분이 된다.

식 (4) 조건은 식 (3)과 같은 완전 미분이 되기 위한 조건임을 다음처럼 증명할 수 있다.

[완전 미분의 조건]

함수 $A(x, y)$와 $B(x, y)$가 완전 미분을 만족할 조건은 다음과 같다.

                 (5)

[증명]

식 (5)의 좌변이 우변이 되기 위한 충분 조건임은 쉽게 증명 가능하므로, 필요 조건 부분을 유도한다. 함수 $A(x, y)$는 임의로 설정 가능하므로, 다음처럼 함수 $B(x, y)$를 구한다.

                         (6)

여기서 $C(y)$는 $x$에 대한 적분의 상수 항이며, 일변수이므로 완전 미분이 된다. 따라서, 식 (6)의 결과를 조건에 대입하면 완전 미분이 됨을 알 수 있다.

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식 (3)을 이용하여 독립 변수가 $N$개인 함수에 대한 완전 미분은 아래처럼 정의할 수 있다.

                         (7)

식 (5)의 증명 방법을 발전시키면 좌표 변환(座標變換, coordinate transformation) 관점의 완전 미분 공식을 만들어 낼 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 $(x', y')$에서 $(x, y)$ 혹은 $(x, y)$에서 $(x', y')$로 가는 2차원 좌표 변환을 고려한다.

                      (8)

이 경우 함수 $f$의 편미분은 다음과 같이 표현된다.

                         (9)

식 (9)가 성립하는 이유는 식 (2)와 매우 비슷하다. 예를 들어 식 (9)의 첫번째 편미분을 증명해본다.

                         (10)

식 (8)에서 $x+\Delta x$는 좌표계 $(x', y')$ 관점에서 표현할 수 있다.

                         (11)

식 (9)를 식 (10)에 대입한 후 식 (2)의 개념을 쓰면, 식 (12)를 통해 식 (9)의 첫번째 편미분을 유도한다.

   (12)

식 (9)를 좀더 멋있게 표현하려면 행렬(行列, matrix) 개념을 도입하면 된다.

                         (13)

식 (13)에서 $(x', y')$로 표현된 편미분식을 $(x, y)$에 대한 편미분식으로 바꾸는 행렬 $\bf J$는 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 한다. 식 (13)에 있는 야코비 행렬은 $(x, y)$에서 $(x', y')$로 가는 좌표 변환에 사용한다. 왜냐하면 식 (13)의 야코비 행렬을 만들 때 좌표 성분 $x'$ = $x'(x, y)$와 $y'$ = $y'(x, y)$를 $x$와 $y$에 대해 편미분하기 때문이다. 야코비 행렬의 역행렬이 존재하면,[혹은 행렬식이 $0$이 아니면] 좌표 변환되는 방향이 $(x', y')$에서 $(x, y)$로 바뀔 수 있다. 좌표계에 따라 미분소가 바뀌는 특성도 야코비 행렬 $\bf J$로 공식화할 수 있다.

                         (14)

식 (13)과 (14)에 나온 좌표 변환과 야코비 행렬을 비교해본다. 편미분과 미분소에 대한 좌표 변환은 시작과 종료 좌표계[= $(x, y)$ 혹은 $(x', y')$]가 반대가 되고 야코비 행렬은 전치(transpose) 관계로 나온다. 또한 식 (14)로 미루어 짐작하면, 분명히 야코비 행렬은 미분소에 대한 변환을 정의하기 위해 도입된 개념이다.

사실 완전 미분의 개념은 좌표계에만 국한될 필요는 없다. 함수 $f(x)$를 새로운 변수 $a_1, a_2, \cdots, a_N$으로 치환하면 함수 $f(x)$의 미분은 아래로 정의할 수 있다.

                      (15)

식 (3)의 완전 미분 개념을 이용하여 방정식을 만들면 다음과 같은 완전 미분 방정식(exact differential equation)이 된다.

                  (16)

식 (16)으로 표현된 완전 미분 방정식은 완전 미분 개념을 이용해 해를 매우 쉽게 구할 수 있다.

                      (17)

완전 미분의 기하학적 의미를 보여주는 [그림 1]을 불완전 미분까지 확장한다. 불완전 미분인 경우, 식 (4)에 의해 $A(x, y)$와 $B(x, y)$를 생성하는 원시 함수(primitive function)는 서로 다르다. 서로 다른 원시 함수를 각각 $f(x, y)$, $g(x, y)$라 한다. 그러면 식 (2)를 다음처럼 쓸 수 있다.

                      (18)

함수 $f$와 $g$는 서로 같지 않기 때문에, $(x, y)$에서 $(x + \Delta x, y + \Delta y)$로 가는 적분 경로를 따라 이동할 때 필연적으로 $\epsilon$만큼의 불연속이 생긴다. 이로 인해 [그림 1]처럼 적분 경로가 매끈하게 이어지지 않고 $\epsilon$만큼의 단차(step)가 불연속 미분의 중간 경로에 생긴다.

식 (13)에 도입한 야코비 행렬 $\bf J$에는 다변수 적분을 변환하기 위한 매우 중요한 정보가 숨어있다. 좌표축이 $(x, y)$에서 $(x', y')$으로 변환될 때에 면적 미분소 $dx dy$가 정량적으로 바뀌는 특성은 $\bf J$의 행렬식(determinant)인 야코비 행렬식(Jacobian determinant or Jacobian) $|{\bf J}|$이 결정한다. 이 야코비 행렬식은 텐서(tensor)에서 좌표 변환이 가능한지를 판정하는 중요 지표이기도 하다.

[야코비 행렬식과 면적 미분소]

야코비 행렬식은 면적 미분소가 좌표 변환되는 크기를 의미한다.

                      (19)

[증명]

만약 $(x, y)$에서 $y$를 고정하고 $x$를 $dx$만큼 바꾸면, $(x', y')$에서는 $(\partial x'/\partial x \cdot dx, \partial y'/\partial x \cdot dx)$만큼 변형된다. 비슷하게 $dy$를 적용한 경우에 $(x', y')$의 변화율은 $(\partial x'/\partial y \cdot dy, \partial y'/\partial y \cdot dy)$이다. 이 관계를 행렬 형태로 써서 식 (13)과 같은 야코비 행렬 $\bf J$를 얻는다. 또한 $(x', y')$의 독립적인 변화율은 당연히 $dx', dy'$이므로 다음 공식을 얻는다.

                      (20)

여기서 행렬식을 취한 결과는 행렬식의 기하학적 의미에 의해 $(x', y')$에서 변하는 면적인 $dx' dy'$가 되며, 행렬 곱의 행렬식은 $|{\bf AB}|$ = $|{\bf A}||{\bf B}|$이다.

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식 (20)은 3변수 함수로도 확장되어 체적 미분소의 변화 특성도 나타낸다.

                      (21)

마찬가지로 식 (21)의 관계는 더욱 복잡한 다변수 함수의 변환에도 쉽게 적용될 수 있다. 

[다음 읽을거리]

1. 구배의 의미

2. 패러데이의 전자기 유도 법칙

3. 복소 함수론의 이해

4. 텐서와 좌표 변환

5. 동차 함수