조금은 느리게 살자: 편미분 방정식의 의미(Partial Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "편미분 방정식의 의미"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 열 방정식으로 푼 2차원 열 분포(출처: wikipedia.org)

연산자 $d/dx$가 뜻하는 보통 미분인 상미분(ordinary differentiation)에 대비되는 개념으로 편미분(partial differentiation)을 새롭게 정의해서, 수학과 물리학의 여러 관계를 편미분으로 기술하는 편미분 방정식(partial differential equation, PDE)이 여러 응용 분야에 많이 사용된다. 편미분 기호는 $d/dx$를 둥근 모양으로 만든 $\partial/\partial x$를 쓴다. 그래서 $dx$는 디엑스로 읽고, $\partial x$는 둥글어서(round) 라운드엑스라 부른다. 편미분은 다변수 함수의 미분을 다루기 위한 기본 도구이다. 다변수 함수를 위한 미분을 새롭게 정의할 수 있지만, 변수 개수별로 미분을 각각 정의하기는 매우 번거롭다. 그래서 보통 미분인 상미분과 동일한 공식으로 미분하지만, 변수를 하나만 선택하고 나머지 변수는 상수로 취급해서 편파적으로 미분하는 편미분을 다변수 함수의 미분 도구로 도입한다. 편미분은 상미분과 거의 같지만, 여러 변수가 아닌 편애하는 변수 하나만을 미분하는 점에서 상미분과 차이난다. 이런 방식을 쓰면 변수 개수가 늘더라도 상미분 공식을 그대로 사용할 수 있어서 편미분 개념은 현실에서 매우 유용하다.

다만 상미분 방정식과 다르게, 편미분 방정식 전체에 대한 해의 존재성과 유일성은 증명되지 않아서 편미분 방정식을 다룰 때는 주의를 기울여야 한다. 그래서 처음 만나는 편미분 방정식은 해가 있는지 그리고 있다면 딱 하나만 있는지 검토한 후에 풀이를 진행해야 한다.

편미분은 변수 하나에만 집중해 미분하고 나머지 변수는 상수처럼 0으로 처리하므로, 편미분 방정식을 제대로 풀기는 매우 어렵다. 편미분 방정식의 해법을 체계화하기 위해 편미분 방정식 자체를 먼저 분류한다. 2계 상미분이 나오는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)처럼 상수 계수를 가진 2계 편미분 방정식을 2차 곡선의 일반형 관점으로 정리한다.

(1: 2차 곡선의 일반형)

(2)

여기서 $a, b, c, d, e$는 상수, 원뿔 곡선의 판별식은 $D$ = $ac-b^2$, $u$ = $u(x, y)$이다. 판별식 $D$에 바탕을 두고 2계 편미분 방정식을 타원형, 포물형, 쌍곡형 편미분 방정식(elliptic, parabolic, and hyperbolic PDE)으로 각각 체계화한다. 편미분 방정식의 이름에 타원, 포물선, 쌍곡선이 들어 있다고 해서, 이 방정식이 해당 2차 곡선과 연계되어 있다는 뜻은 아니다. 2차 곡선의 일반형에 대한 계수 관계가 편미분 방정식에도 성립하기 때문에, 이미 유명한 2차 곡선의 이름을 그 편미분 방정식에 붙일 뿐이다.

1. 타원형 편미분 방정식(elliptic partial differential equation)

타원형 편미분 방정식은 2차 곡선인 타원(ellipse)처럼 판별식이 $D$ = $ac - b^2$ > $0$을 만족한다. 타원형 편미분 방정식의 대표적인 예는 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)이다.

(1.1)

여기서 $a$ = $c$ = $1$, $b$ = $d$ = $e$ = $0$, $\phi$ = $\phi(x, y)$이다. 판별식 공식에 식 (1.1)의 상수 계수를 넣으면 $D$ = $1\cdot 1 - 0$ = $1$ > $0$이라서, 라플라스 방정식은 타원형 편미분 방정식의 범주에 들어간다. 라플라스 방정식에 원천항이 더해지면 푸아송 방정식(Poisson's equation)이 된다.

(1.2)

원천항은 편미분 계수에 영향을 주지 않아서 푸아송 방정식도 타원형 편미분 방정식이 된다.

2. 포물형 편미분 방정식(parabolic partial differential equation)

판별식이 $D$ = $ac - b^2$ = $0$이 되는 경우는 포물형 편미분 방정식이라 한다. 포물형 편미분 방정식의 대표적인 예는 푸리에Joseph Fourier(1768–1830)가 만든 열 방정식(heat equation)이다.

(2.1)

여기서 $u$ = $u(x, t)$, $D$ = $\alpha \cdot 0 - 0$ = $0$이다. 전자파 분야에서는 장거리 전자파 전파를 모형화할 때 나오며, 최종 방정식은 특별한 이름 없이 편하게 포물형 방정식(parabolic equation, PE)으로 부른다. 포물형 방정식이란 용어는 당연히 포물형 편미분 방정식의 축약어이다.