2020년 10월 3일 토요일

푸리에 변환의 성질(Properties of Fourier Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸리에 변환의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


초등적인 적분(integration)을 이용해서 다양한 푸리에 변환(Fourier transform)의 성질을 증명할 수 있다.

[그림 1] 푸리에 변환의 시간 이동 예(출처: wikipedia.org)


   1. 기본(basics)   

[정의]

                  (1.1)

[선형 사상(linear mapping or linearity)]

                  (1.2)

여기서 $G(\omega)$는 $g(t)$의 푸리에 변환이다.

[시간 및 주파수 이동(time and frequency shifting)]

                  (1.3)

[쌍대성(duality)]

                  (1.4)

[시간 비율 조정(time scaling)]

                  (1.5)

[켤레 복소수(complex conjugate)와 대칭성(symmetry)]

                  (1.6a)

                  (1.6b)

                  (1.7)

여기서 $(\cdot)^*$는 켤레 복소수, 식 (1.6)과 (1.7)은 각각 $f(t)$가 복소수 및 실수인 경우이다.

[미분(differentiation)]

                  (1.8)

[증명]

                  (1.9)

여기서 $\lim_{t \to \pm \infty} f(t)$ = $0$이라 가정한다. 식 (1.9)를 연속적으로 적용하면, 식 (1.8)의 둘째식이 증명된다.
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식 (1.8)은 페이저(phasor) 개념과 매우 유사하다. 우리 예상처럼 페이저 이론은 푸리에 변환의 특별한 경우이다. 더 나아가면 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)가 제안한 연산 미적분학(operational calculus)까지 우리 사고를 확장할 수 있다.

[적분(integration)]

                  (1.10)

[증명]
적분된 함수를 식 (3.1)에 있는 길쌈(convolution) 형태로 바꾸어서 식 (3.3)의 첫째식처럼 푸리에 변환하면 증명된다.

                  (1.11)

추가적으로 식 (1.10)의 증명에 식 (2.7)이 꼭 필요하다.
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적분은 미분의 역연산이므로, 식 (1.10)에서는 $i \omega$ 항이 분모로 간다. 다만 DC(직류, direct current) 성분[$\omega$ = $0$]디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 매우 크게 출현한다.

[디랙 델타 함수(Dirac delta function)]

                  (1.12)

                  (1.13)


[특수한 변환값]

                  (1.14)

                  (1.15)


   2. 초등 함수의 변환(transform of elementary functions)   

[그림 2.1] 구형 함수(출처: wikipedia.org)

[구형 함수 혹은 사각 함수]

                  (2.1)

[그림 2.1]에 있는 구형 함수(矩形函數, rectangular function) 혹은 사각 함수의 정의는 다음과 같다.

                  (2.2)

[그림 2.2] 표본화 함수(출처: wikipedia.org)

식 (2.1)에 등장한 $\operatorname{Sa}(\cdot)$는 [그림 2.2]에 제시한 표본화 함수(sampling function)이다.

                  (2.3)

이 함수는 사각 함수를 이용해 신호를 표본화(sampling)할 때 생기는 주파수 영역의 특성을 표현한다. 표본화 함수는 다음과 같은 싱크 함수 $\operatorname{sinc}(\cdot)$로 표시할 수도 있다.

                  (2.4)

싱크 함수는 사인 함수에 c를 붙여서 표기한다. 하지만 싱크 함수를 처음 사용한 저자는 설명 없이 그냥 c만 붙여서 썼기 때문에 c의 정확한 의미는 모른다[1]. 다만 싱크 함수는 $x$ = $0$을 제외한 모든 정수에서 함수값이 $0$이어서 기수(基數, cardinal number)를 선택하는 함수라 간주할 수 있다. 조금 억지이기는 하지만 적당한 설명이 없으므로, c는 기수의 약어라고 가정한다.
식 (1.4)에 제시한 쌍대성을 이용해서 표본화 함수의 푸리에 변환도 얻을 수 있다.

                  (2.5)

신호 처리에서 이상적인 필터(ideal filter)가 불가능함을 증명할 때, 식 (2.5)를 유용하게 사용한다. 이상적인 필터는 식 (2.5)의 우변처럼 특정 주파수 대역을 정확히 선택한다. 하지만 주파수 영역에서 이상적인 선택을 하려면, 우주 창조부터 멸망까지 필터의 시간 응답이  만들어져야 한다. 어떤 신호든 시간 영역에서 영원히 존재할 수는 없으므로, 주파수 영역에서 이상적인 필터를 구현할 수 없다. 

[그림 2.3] 삼각형 함수(출처: wikipedia.org)

[삼각형 함수]

                  (2.6)

[그림 2.3]에 보인 삼각형 함수(triangular function)는 $\operatorname{tri}(t)$ = $\Lambda(t)$ = $\max(1-|t|, 0)$으로 정의한다. 

[그림 2.4] 단위 계단 함수(출처: wikipedia.org)

[단위 계단 함수]

                  (2.7)

식 (2.7)은 극한(limit)이나 복소 함수론(complex analysis)을 이용해서 엄밀하게 증명해야 한다. 단위 계단 함수(unit step function)는 매우 간단해 보이지만, 푸리에 변환을 구하기는 상당히 어렵다. 단위 계단 함수는 제안자인 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925) 이름을 붙여서 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)라고도 한다. 단위 계단 함수는 푸리에 변환과 라플라스 변환(Laplace transform)의 연결성을 암시해준다.

[그림 2.5] 부호 함수(출처: wikipedia.org)

[부호 함수]

                  (2.8)

여기서 $\operatorname{sgn}(t)$는 $t$의 부호를 택하는 부호 함수(sign function)이며 $\operatorname{sgn}(t)$ = $2u(t)-1$로 표현된다.

[증명]
부호 함수 정의에 식 (2.7)과 (1.12)를 대입하여 정리한다.

                  (2.9)
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부호 함수의 푸리에 변환 결과에서 적분 구간은 반무한으로 바꾸면 다음 적분을 정의할 수 있다.

                  (2.10)

부호 함수의 적분을 바꾼 결과가 식 (2.10)이기 때문에, $\omega$ = $0$을 넣을 수는 없고 $\omega \to 0$으로 가는 극한을 취할 수는 있다. 디랙 델타 함수인 식 (1.12)도 적분 구간을 바꿀 수 있다.

                  (2.11)

동어반복이기는 하지만, 식 (2.10)과 (2.11)을 합치면 식 (2.7)을 다시 얻을 수 있다.

[그림 2.6] 양뱡향으로 감쇠하는 지수 함수

[양방향 감쇠 지수 함수]

                       (2.12)


[삼각 함수(trigonometric function)]

                       (2.13)


   3. 길쌈(convolution)   

[그림 3.1] 구형 함수의 길쌈 예(출처: wikipedia.org)

[정의]

                  (3.1)

길쌈(convolution)은 [그림 3.1]처럼 한 신호를 뒤집어서 다른 신호와 곱하기 때문에, 신호의 수신을 모형화할 때 매우 유용하게 사용된다.

[대수적 성질(algebraic properties)]

                  (3.2)

[길쌈 정리(convolution theorem)]

                  (3.3)

[증명]
식 (3.1)에 있는 길쌈에 대해 푸리에 변환을 적용하여 식 (3.3)의 첫째식을 증명한다.

                  (3.4)

식 (3.4)의 결과에 식 (1.4)에 제시한 쌍대성을 적용한다.

                  (3.5)

식 (3.5)의 우변에 있는 길쌈을 풀어서 쓰면 식 (3.3)의 둘째식이 증명된다.

                  (3.6)
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[파르세발의 정리]

                  (3.7)

[증명]
길쌈 정리인 식 (3.3)의 둘째식에서 $\omega$ = $0$인 특별한 경우가 파르세발의 정리(Parseval's theorem)이다.

                  (3.8)
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함수 $g(t)$가 $f(t)$와 같으면, 식 (3.7)은 다음과 같이 더 간략화될 수 있다.

                  (3.9)

여기서 $f(t)$는 제곱해서 적분 가능한 함수(square-integrable function)이어야 한다.


   4. 무한 급수(infinite series)   

[푸아송 합 공식]

                  (4.1)

여기서 $f(t)$의 푸리에 변환이 $F(\omega)$, $\omega_0$ = $2\pi/T$이다.

[증명]
연속으로 나열된 $f(t)$에 푸리에 역변환을 적용해서 정리한다.

                  (4.2)
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식 (4.2)와 비슷한 방법을 사용하면, 주파수 영역에 대한 푸아송 합 공식도 증명할 수 있다.

                  (4.3)

[그림 4.1] 나이퀴스트–섀넌 표본화 정리의 원리(출처: wikipedia.org)

[나이퀴스트–섀넌 표본화 정리(Nyquist–Shannon sampling theorem)]

                  (4.4)

여기서 $\omega_0$ = $2 \pi/T$ $\ge$ $2 \omega_b$, $T$는 표본화 주기(sampling period), $\omega_b$는 신호의 대역폭(signal bandwidth)이다.

[증명]
[그림 4.1]에 있는 신호의 대역폭 $\omega_b$를 모두 포함하도록 $\omega_0 \ge 2\omega_b$로 정한 후, 주파수 영역의 이상적인 필터(ideal filter)를 $\operatorname{rect}(\omega/\omega_0)$로 정의한다. 이상적인 필터를 식 (4.3)의 좌변에 적용해서 푸리에 역변환을 한다.

                  (4.5)

식 (4.5)에 나온 길쌈을 적분하면 식 (4.4)가 얻어진다.
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나이퀴스트–섀넌 표본화 정리는 보간(interpolation)에도 사용될 수 있어서 섀넌 보간 공식(Shannon interpolation formula)이라고도 한다. 나이퀴스트–섀넌 표본화 정리는 대역 제한 신호(band-limited signal)를 처리하는 새로운 방법을 제시한다. 연속 함수 $f(t)$를 알지 못하더라도, 이산화된 표본화 결과인 $f(mT)$만 알아도 원래 함수 $f(t)$를 복원할 수 있다.


[참고문헌]
[1] P. M. Woodward and I. L. Davies, "Information theory and inverse probability in telecommunication," Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering, vol. 99, no. 58, pp. 37–44, Mar. 1952.

[다음 읽을거리]

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