2020년 10월 2일 금요일

방데르몽드 행렬(Vandermonde Matrix)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "방데르몽드 행렬"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)은 각 행 벡터(row vector)를 구성하는 원소 간의 비율이 일정해서 공비(共比, common ratio)가 행 개수만큼 있다. 다시 말해 각 행의 원소는 등비 수열(geometric series)의 항으로 간주할 수 있다.

                  (1)

여기서 $r_i$는 $i$번째 행 벡터에 대한 공비이다. 전체 행렬의 원소를 관찰해도 식 (1)에 있는 $i$번 행의 원소 배치는 $1, r_i, r_i^2, \cdots, r_i^{n-1}$과 같은 등비 수열[$a_j$ = $r_i^{j-1}$]이 분명하다. 행끼리는 서로 공비만큼만 다르기 때문에, $n \times n$ 차원(dimension)을 가진 방데르몽드 행렬의 행렬식(determinant)은 다음과 같은 인수를 가지고 있다.

                  (2)

식 (2)를 더 발전시켜서 공비 차이의 곱으로 방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant)을 다음처럼 정확히 표현할 수 있다.

[방데르몽드 행렬식]
정방 행렬인 방데르몽드 행렬식은 모든 공비 차이의 서로 다른 곱이다.

                  (3)

여기서 $\bf V$의 차원은 $n \times n$이다.

[증명]
임의의 정방 행렬(square matrix)의 행렬식은 라이프니츠 공식(Leibniz formula)으로 구할 수 있다.

                  (4)

식 (1)에 있는 행렬의 대각선 원소만 고려해도 행렬식을 구성하는 $r_i$에 대한 다항식의 차수[= $0 + 1 + \cdots + n-1$]는 $n(n-1)/2$이다. 또한 선택 가능한 서로 다른 공비 차이[= $r_j - r_i$]조합(combination)으로 구하면, 경우의 수는 $_nC_2$ = $n(n-1)/2$이다. 따라서 $r_i$에 대한 다항식의 차수와 선택 가능한 경우의 수가 같아서 방데르몽드 행렬식을 다음처럼 공식화할 수 있다.

                  (5)

여기서 $C$는 결정해야 하는 상수이다. 상수 $C$를 결정하기 위해 식 (4)와 (5)의 항을 비교하자. 식 (4)에서 $\bf V$의 대각선 원소만 선택해 곱하면, 그 결과는 $+r_2 r_3^2 \cdots r_n^{n-1}$이다. 비슷하게 식 (5)에서 부호가 (+)인 처음 $r_j$의 곱만 계산해서 $C r_2 r_3^2 \cdots r_n^{n-1}$를 얻는다. 따라서 $C$ = $1$이다.
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방데르몽드 행렬식은 공비에 대한 다항식이라서 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)이라 부르기도 한다. 방데르몽드 행렬에서 공비 $r_i$가 서로 다르면, 행렬식이 절대 $0$이 될 수 없어서 항상 역행렬(inverse matrix)이 존재한다. 즉 서로 다른 공비를 가진 방데르몽드 행렬로 구성한 연립 방정식은 해가 항상 유일하다.

[다음 읽을거리]

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