2020년 7월 10일 금요일

베르누이 다항식(Bernoulli Polynomial)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베르누이 다항식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


성공적인 베르누이 수(Bernoulli number) $B_m$을 함수로까지 확장할 수 있을까? 베르누이 수는 숫자이기 때문에, 베르누이 수의 번호 $m$이 정해지면 베르누이 수 자체는 고정된다. 하지만 매우 성공적인 베르누이 수를 단순한 숫자로 그냥 놓아둘 수는 없다.

[그림 1] 베르누이 다항식의 모습(출처: wikipedia.org)

베르누이 수를 함수 형태로 만들기 위해 다음과 같은 베르누이 수의 생성 함수(generating function)를 생각하자.

                  (1)

식 (1)을 변형하면 다음과 같은 베르누이 다항식(Bernoulli polynomial)을 만들 수 있다. [그림 1]처럼 모든 베르누이 다항식은 정의역에서 항상 연속이다.

                  (2)

여기서 제$m$차 베르누이 다항식 $B_m(x)$는 기존 생성 함수에 추가적인 매개변수 $x$를 넣어서 베르누이 수 $B_m$을 함수로까지 확장한다.

[참고문헌]
[1] N. Larson, The Bernoulli Numbers: a Brief Primer, Whitman College, 2019. (방문일 2020-07-07) 

2020년 7월 6일 월요일

베르누이 수(Bernoulli Number)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베르누이 수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 순열과 조합


수학을 공부하다 보면 가끔씩 자연수 거듭제곱의 합(sum of powers)을 빠르게 계산하고 싶은 욕구가 생긴다. 어느 정도 수학을 공부했기 때문에, 식 (1)의 합산 공식이 머리속에 빠르게 생각날 것도 같다. 

                  (1)

여기서 거듭제곱의 차수인 $p$는 자연수이다. 하지만 더 도전해보면, 잡힐 듯 잡히지 않는 신기루처럼 계산 과정이 눈에 보이지만 수학식으로 딱 떨어지게 표현하기가 매우 어렵다. 식 (1)의 공식화가 잘 되지 않는 이유는 베르누이 수(Bernoulli number)라는 개념이 필요하기 때문이다. 식 (1)을 공식화할 때 필연적으로 등장하는 베르누이 수는 오일러의 수(Euler's number)만큼은 아니지만 수학에서 굉장히 많이 쓰인다. 그래서 베르누이 수와 연관된 공식도 헷갈릴 정도로 매우 많다.

[그림 1] 베르누이 가문과 제자들(사진 출처: wikipedia.org)

거듭제곱의 합 공식과 베르누이 수를 제안한 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)는 수학 교과서에 등장하는 친숙한 이름이다. [그림 1]처럼 베르누이가 여러 명 있기 때문에 누구를 의미하는지 정신을 바짝 차리고 봐야 한다. 근대 수학과 과학에 등장하는 베르누이 가문의 시작은 야곱 베르누이부터이다. 베르누이 가문의 장남인 야곱이 베르누이 수를 제안하였다. 수학사에 기반해서 간략하게 구성한 베르누이 가문과 제자들의 족보는 [그림 1]에 있다. 우리가 공부하는 근대 수학을 시작한 가문이므로 가볍게 경의를 표하자.
베르누이 수는 식 (1)의 합을 구할 때 필연적으로 등장한다. 베르누이 사후인 1713년베르누이 사후 8년, 조선 숙종 시절에 출판된 책[1]을 보면, 베르누이는 거듭제곱의 합 공식을 베르누이 수로 간단하면서도 깔끔하게 표현하였다. 하지만 베르누이는 공식의 증명 과정을 [1]에 실지 않았다. 베르누이는 어떻게 증명했을까? 테일러 급수(Taylor series)복소 함수론(complex analysis)을 사용한 증명이 있지만, 베르누이가 이런 방법을 썼을 것 같지는 않다. 그래서 근거는 전혀 없지만 베르누이가 따랐을 법한 최대한 쉬운 방식으로 식 (1)의 합을 공식화하자. 고민해도 문제의 해결책이 보이지 않으면 천재에게 의지하자. 식 (2)에 제시한 파스칼의 항등식(Pascal's identity)을 변형하면, 식 (1)을 식 (3)과 같은 점화식(漸化式, recurrence formula)으로 간략하게 표현할 수 있다.

                  (2)

                  (3)

식 (3)을 이용해서, 낮은 거듭제곱의 차수 $p$에 대한 합을 구하면 다음과 같다.

             (4)

식 (4)를 관찰해 보면, $p$차 거듭제곱의 합 공식은 최대 차수가 $p+1$이고 최소 차수가 $1$인 다항식으로 구성됨을 확인할 수 있다. 그래서 식 (3)의 최종식에서 유추해서 거듭제곱의 합이 다음과 같이 표현될 수 있는지 확인하자.

                  (5)

여기서 $B_m$은 $m$번 베르누이 수이다. 식 (5)가 맞다고 가정해 식 (3)에 대입한 후, $B_p$에 대해 정리해보자.

                  (6)

식 (6)의 우변은 $p$번보다 작은 베르누이 수로 구성된 적절한 점화식이다. 하지만 식 (6)의 우변에 $n$이 있으므로 좌변과 우변이 같아지려면, 식 (6)은 $n$에 대한 항등식이 되어야 한다. 그래서 과감하게 식 (6)에 $n = 1$을 대입해서 베르누이 수의 점화식을 다음처럼 만들자.

                  (7)

식 (7)이 맞다고 생각해서 식 (6)에 대입한다. 또한 유추한 식 (5)도 식 (6)에 대입해서 정리하면 다음과 같다.

             (8)

여기서 $(\cdot)!$는 계승(階乘, factorial)이다. 식 (8)의 우변에 있는 $m$에 대한 급수만 보면 다음을 얻는다.

                  (9)

따라서 $n$에 대한 결과가 모두 $0$이므로, 식 (5)와 (7)은 타당한 결과이다.
베르누이 수는 지수 함수(exponential function)의 테일러 급수에도 등장한다. 베르누이 수와 테일러 급수를 연결하기 위해 지수 함수의 등비 급수(geometric series)테일러 급수를 적용하자.

                  (10)

등비 급수의 합 공식을 써서 식 (10)의 좌변 합을 구한 후 테일러 급수를 대입하면 다음과 같다.

                  (11)

여기서 $C_m$은 앞으로 구할 테일러 급수의 $m$번 계수이다. 식 (11)에 등장한 이중 무한 급수(double infinite series)코쉬 곱(Cauchy product)을 적용해 정리한다.

                  (12)

식 (5), (10), (12)를 비교하면 $C_m = B_m$임을 알 수 있다. 따라서 식 (11)에 나온 다소 복잡한 테일러 급수를 다음처럼 표현할 수 있다.

                  (13)

식 (13)은 베르누이 수에 대한 생성 함수(generating function)가 좌변임을 보여준다. 생성 함수의 정의인 식 (13)을 미분 연산자로 다시 표현할 수도 있다.

                  (14)

여기서 $\delta_{mn}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 식 (13)을 복소수(complex number) 영역까지 확장하면 다음과 같다.

                  (14)

식 (14)의 분모를 보면, $z = 2 \pi k i$에서 0이 되어서 극점(pole)이 된다. 여기서 $k$는 정수이다. 다만 $z = 0$에서는 분자도 0이 되어서 이 점에서는 해석적이다. 따라서 $z = 0$을 기준으로 전개하면, 식 (14)의 수렴 반경(radius of convergence)은 $R$ = $2 \pi$이다.


1. 기본(basics)

[테일러 급수(Taylor series)와 $x$]

                  (1.1)

[증명]
식 (13)을 변형해서 지수 함수의 테일러 급수를 다음 식에 대입하면 식 (1.1)의 첫째 줄을 증명할 수 있다.

                 (1.2)

식 (1.1)의 첫째 줄은 $x$에 대한 항등식이므로, 좌변과 우변을 비교하면 식 (1.1)의 둘째 줄을 증명할 수 있다.
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식 (2.3)을 이용하면, 식 (1.1)에서 크로네커 델타 때문에 다소 지저분해진 수식을 더 깔끔한 $B_m^-$로 바꿀 수 있다.

[유한 합(finite sum)]

                  (1.3)

[증명]
식 (5)에서 $n = 1$을 대입하면 증명된다.
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식 (1.3)에 의해 모든 베르누이 수는 유리수(有理數, rational number)이다. 왜냐하면 식 (1.3)이 만드는 연립 방정식(simultaneous equations)의 계수는 모두 유리수이고, 이 연립 방정식의 해가 베르누이 수이기 때문이다[2].

[급수 표현식(series representation)]

                  (1.4)

[증명]
미분 연산자로 정의한 식 (14)에 로그 함수의 테일러 급수를 대입해서 정리해보자.

                  (1.5)

식 (1.5)에서 $k \le m$인 경우에만 $(1-e^x)^k$의 미분이 $0$이 아니다. 왜냐하면 $k > m$이 되면 미분 후에 $1-e^x$가 $0$이 되기 때문이다.
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2. 특수한 값(special values)

[$1$을 제외한 홀수번 베르누이 수는 $0$]

                  (2.1)

[증명]
베르누이 수의 생성 함수인 식 (13)을 다음처럼 변형한다.

                  (2.2)

식 (2.2)와 쌍곡선 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 특성에 의해 $h(x) = h(-x)$이므로, $h(x)$는 우함수(even function)이다. 따라서 식 (2.2)의 둘째 줄은 $x$에 관계없이 항상 우함수이다. 이는 $m = 1$보다 큰 홀수번 $B_m$이 언제나 $0$임을 뜻한다.
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베르누이 수의 생성 함수를 보는 관점에 따라 베르누이 수를 두 가지로 정할 수 있다. 만약 $B_1 = 1/2$로 두면, $1$번 베르누이 수가 양수임을 강조하기 위해 $B_m = B_m^+$로 표기한다. 혹은 $1$번 베르누이 수를 $-1/2$로 정의하면, 전체 베르누이 수를 $B_m^-$로 쓴다. 이 두 가지 표기법은 다음과 같은 관계를 가진다.

                  (2.3)

또한 베르누이 수에 대한 미분 연산자 정의인 식 (14)를 봐도 $B_m^+, B_m^-$의 정의가 필요함을 알 수 있다. 즉 식 (14)에서 $B_m^-$ = $B_m^+ - \delta_{m1}$로 정의하면, 식 (14)의 우변이 더 간략화될 수 있다.

[매우 큰 번호를 가진 베르누이 수]
베르누이 수의 번호 $m$이 매우 커지면, 베르누이 수의 크기는 발산하며 부호는 계속 바뀐다.

[증명]
코쉬–아다마르 정리(Cauchy–Hadamard theorem)를 이용해 $m$이 커질 때 베르누이 수의 크기가 변하는 특성을 유도하자. 극점 분석을 통해 식 (14)의 수렴 반경은 $R = 2 \pi$임을 알 수 있다. 그러면 멱급수 항의 극한은 다음을 만족한다.

                        (2.4)

                        (2.5)

따라서 $m$이 커질 때, 베르누이 수는 발산한다. 또한 식 (1.1) 혹은 (1.3)에 의해, 베르누이 수의 부호는 모두 같을 수가 없고 $m$에 따라 계속 바뀌어야 한다.
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3. 테일러 급수(Taylor series)

[쌍곡선 코탄젠트 함수]

                  (3.1)

[증명]
식 (2.1)을 식 (2.2)에 대입해 정리하면 식 (3.1)을 얻는다.
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[코탄젠트 함수]

   

[증명]
코탄젠트와 쌍곡선 코탄젠트 함수 관계인 $\cot x$ = $i \coth (ix)$를 식 (3.1)에 대입하여 증명한다.
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[참고문헌]
[1] J. Bernoulli, Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing), Basel: Thurneysen Brothers, 1713.
[2] N. Larson, The Bernoulli Numbers: a Brief Primer, Whitman College, 2019. (방문일 2020-07-07)
[3] B. C. Kellner, The Bernoulli number page, 2018. (방문일 2020-07-07)

2020년 7월 4일 토요일

무한 급수의 대수(Algebra of Infinite Series)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 급수의 대수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


함수를 정의하기 위해 사용하는 무한 급수(無限級數, infinite series)의 특성을 분석하려면 절대 수렴(absolute convergence), 조건 수렴(conditional convergence), 균등 수렴(uniform convergence) 등의 개념을 이해해야 한다. 실 함수(real function) 혹은 복소 함수(complex function)를 쉽게 다룰려고 무한 급수를 사용하기 때문에, 수렴 종류별로 무한 급수를 구성하는 항에 어떤 연산을 적용할 수 있는지 확인해야 한다. 또한 무한 급수는 우리 상식이 통하는 유한 급수와 매우 달라서 교환 법칙(commutative law), 결합 법칙(associative law), 분배 법칙(associative law)이 성립하는지 면밀히 확인해야 한다[1]. 수렴하는 무한 급수가 만족하는 대수적 성질을 요약하면 다음과 같다.
  • 교환 법칙: 절대 수렴 무한 급수는 항별 교환 법칙이 성립한다. 조건 수렴 무한 급수에 항별 교환을 적용하면 무한대를 포함한 어떤 실수도 생성할 수 있다.
  • 결합 법칙: 수렴하는 무한 급수는 항별 결합 법칙이 성립한다. 이 경우 결합 법칙을 의미하는 괄호를 생략할 수 있다.
  • 분배 법칙: 두 무한 급수 중 하나는 절대 수렴해야 분배 법칙이 성립해서 항별 곱의 무한 합이 수렴한다.
  • 함수의 연속성: 항이 연속 함수인 균등 수렴 무한 급수는 연속이다.
  • 함수의 미분: 항의 미분이 연속이고 항별 미분이 균등 수렴하는 무한 급수는 항별 미분할 수 있다.
  • 함수의 미분: 항이 연속 함수인 균등 수렴 무한 급수는 항별 적분할 수 있다.


1. 무한 급수의 대수

[무한 급수의 항별 결합 법칙]
수렴하는 무한 급수에 항별 결합 법칙을 적용한 무한 급수는 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴한다.

                  (1.1)

여기서 $\{b_k\}$는 $a_n$의 순서를 바꾸지 않고 $\{a_n\}$에 여러 번 덧셈의 결합 법칙을 적용해 생성한 수열이다.

[증명]
결합 법칙을 표현하기 위해 $0$과 자연수로 구성한 수열 $\{n_k\}$를 정의한다. 항을 임의로 결합하기 위해 수열 $\{n_k\}$는 $k$에 대해 임의로 증가한다. 여기서 $k$ = $1, 2, \cdots$, $n_k$는 $n_k < n_{k+1}$이 성립하는 $0$ 혹은 자연수이다. 수열 $\{n_k\}$에 따라 $\{a_n\}$에 덧셈의 결합 법칙을 적용해 만든 $b_k$는 다음과 같다.

                  (1.2)

여기서 $b_1$은 $a_0$부터 $a_{n_1}$까지 더한다. 예를 들어 $\{n_k\}$ = $\{2, 4, 8, \cdots\}$로 정의하면 $b_k$를 다음처럼 생성할 수 있다.

                  (1.3)

식 (1.2)를 적용해 $b_k$로 만든 무한 급수의 부분 합을 계산하면 다음과 같다.

                  (1.4)

부분 합 $B_K$는 $a_n$으로 만든 무한 급수의 부분 합 $A_{n_K}$과 연결된다. 따라서 $K$가 커질 때, $A_{n_K}$가 수렴하므로 $B_K$도 수렴한다.
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식 (1.1)에 의해 수렴하는 무한 급수는 결합 법칙을 어떻게 적용하더라도 동일한 수렴값을 가진다. 즉 수렴하는 무한 급수는 결합 법칙을 표현하기 위해 사용하는 괄호를 없애더라도 문제가 없다. 또한 무한 급수의 항별 결합 법칙을 이용하면, 양수인 항이나 음수인 항을 한꺼번에 결합해서 계산하더라도 무한 급수의 수렴값은 동일함을 알 수 있다. 다시 말해 항별 결합 법칙에 의해 지속적으로 가끔씩 항의 부호가 변하는 무한 급수를 교대 급수(alternating series)로 안전하게 바꿀 수 있다. 다만 이 무한 급수가 수렴해야 식 (1.1)을 적용할 수 있다. 예를 들어 아래처럼 수렴하지 않는 무한 급수에 항별 결합 법칙을 적용하면, 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴하지 않는다.

                  (1.5)

식 (1.5)는 결합 법칙 관점으로 봐도 재미있다. 식 (1.5)에서 결합 법칙을 써서 계산한 항은 $(1-1)$ = $0$이 되기 때문에 수렴한다. 하지만 결합 법칙을 없앤 혹은 괄호를 없앤 원래 급수는 수렴하지 않는다. 따라서 무한 급수에서 괄호를 제거할 때는 다음과 같은 조건이 필요하다.

[괄호 없는 무한 급수 표현]
항별 결합 법칙을 적용해서 수렴하는 무한 급수를 표현한 괄호 안에 있는 항의 부호가 동일할 경우는 괄호를 없앨 수 있다.

                  (1.6)

여기서 괄호는 결합 법칙을 의미하며 $b_k$는 식 (1.2)로 정의한다.

[증명]
식 (1.6)의 좌변 부분 합은 식 (1.4)처럼 $B_K$로 정의한다. 마찬가지로 괄호를 제거한 식 (1.6)의 우변 부분 합은 $A_N$이다. 조건에 따라 $n_{k-1} \le N \le n_k$라면 이 범위에서는 항의 부호가 모두 같다. 따라서 식 (1.4)를 이용해 다음 부등식을 만들 수 있다.

                  (1.7)

여기서 $n_k$는 결합 법칙을 위해 사용하는 식 (1.2)의 $n_k$와 동일하다. 조건에 의해 $B_K$는 $B$로 수렴하기 때문에, 식 (1.7)을 적용하면 $A_N$도 $B$에 수렴한다.
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[무한 급수의 합과 차]
수렴하는 급수의 합과 차는 항별로 더하거나 뺄 수 있다.

                  (1.8)

[증명]
식 (1.8)에 있는 두 무한 급수는 수렴하기 때문에, 매우 큰 자연수 $N$에 대해 아래 관계가 성립한다.

                  (1.9)

여기서 $A_N, B_N$은 무한 급수의 부분 합, $A, B$는 무한 급수의 수렴값, $\epsilon/2$은 부분 합과 수렴값의 차이 중에서 큰 값으로 선택한다. 부분 합의 합이나 차는 유한 급수이므로 항을 다시 재배치해서 새로운 부분 합을 다음처럼 쓸 수 있다.

                  (1.10)

새로운 부분 합은 식 (1.9)에 의해 수렴하므로 항별로 더하거나 뺄 수 있다.
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2. 절대 수렴하는 무한 급수의 대수

[음이 아닌 항을 가진 무한 급수의 항별 교환 법칙]
음이 아닌 항을 가진 수렴하는 무한 급수에 항별 교환 법칙을 적용한 무한 급수는 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴한다.

                  (2.1)

여기서 $n_k$는 0과 자연수 중에서 임의로 뽑은 겹치지 않는 $k$번째 숫자, $k$ = $1, 2, \cdots$이다.

[증명]
식 (2.1)에 있는 무한 급수의 부분 합을 다음처럼 정의한다.

                  (2.2)

또한 모든 $n_k$ 중에서 최대값을 $N_\text{max}$라 한다. 그러면 이 무한 급수의 항은 음이 아니며 수렴하므로, $B_K \le A_{N_\text{max}}$가 된다. 항 $|a_n|$으로 만든 무한 급수의 수렴값을 $A$라 하면, $B_K \le A$도 성립한다. 다음으로 $K$를 증가시켜보자. 비교 판정(comparison test)에 의해 항별 교환 법칙을 적용한 무한 급수는 수렴하며, $B \le A$를 만족한다. 여기서 $B$는 $|a_{n_k}|$로 만든 무한 급수의 수렴값이다. 또한 $n_k$를 중심으로 보면, $|a_n|$은 $|a_{n_k}|$를 항별 교환한 무한 급수의 항으로 볼 수 있다. 그래서 $A \le B$도 성립해야 한다. 이 두 결과를 종합하면 $B = A$가 된다.
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[절대 수렴 무한 급수의 항별 교환 법칙]
절대 수렴하는 무한 급수에 항별 교환 법칙을 적용한 무한 급수는 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴한다.

                  (2.3)

[증명]
식 (2.1)과는 다르게 식 (2.3)의 항은 음수도 될 수 있다. 절대값을 취한 $|a_n|$으로 만든 무한 급수의 항은 음이 아니므로, 이 무한 급수에 식 (2.1)과 같은 항별 교환 법칙을 적용할 수 있다. 따라서 식 (2.3)의 좌변을 양수와 음수인 항을 가진 무한 급수로 다음처럼 나눌 수 있다.

                  (2.4)

여기서 $p_n$은 $a_n$ 중에서 양수인 항, $q_n$은 음수인 항이다. 그러면 식 (2.4)의 수렴값은 $A = P-Q$가 된다. 식 (2.3)의 우변도 양수와 음수인 항으로 나누어 수렴값을 구하면, $B = P-Q$가 된다. 여기서 $B$는 식 (2.3)의 우변 수렴값이다. 따라서 $A = B$가 반드시 성립한다.
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항별 교환 법칙이 성립하는 조건이 절대 수렴임은 매우 중요하다. 단순한 숫자라면 당연히 교환해서 계산하더라도 결과가 동일하다. 하지만 우리 사고의 범위를 유한에서 무한으로 확장하면 우리의 직관을 벗어나는 받아들이기 어려운 결과가 나온다. 이 경우에는 우리의 중심이 직관이 아닌 논리에 있어야 한다. 교환 가능성(commutability)의 중요성을 이해하기 위해 다음과 같은 교대 조화 급수(alternating harmonic series)를 보자.

                          (2.5)

교대 조화 급수는 당연히 수렴하지만, 절대 수렴이 아닌 조건 수렴을 한다. 그래서 항별 교환을 통해 양수를 앞으로 계속 보내면 수렴값을 한없이 키울 수 있다. 따라서 조건 수렴하는 무한 급수의 교환 혹은 재정렬을 할 때는 많은 고민이 필요하다. 이 고민의 결과가 식 (3.16)에 제시한 리만 급수 정리(Riemann series theorem) 혹은 리만 재정렬 정리(Riemann rearrangement theorem)이다.

[코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)]
수렴하는 두 무한 급수 중에서 적어도 한 급수가 절대 수렴하면, 항별로 곱해서 더한 이중 무한 급수는 두 무한 급수에 대한 개별 수렴값의 곱으로 수렴한다. 

                  (2.6)

여기서 $a_n$을 가진 무한 급수가 절대 수렴한다고 가정한다.

[증명]
식 (2.6)에 제시한 무한 급수가 수렴함을 보이기 위해, 부분 합 관점으로 식 (2.6)의 첫째식과 셋째식의 차이 $D_N$을 구하자.

             (2.7)

여기서 식 (2.6)의 첫째식에 있는 부분 합을 모두 포함하도록 식 (2.6)의 셋째식에 있는 $n$은 $0$에서 $2N$까지 변한다. 항 $b_n$을 가진 무한 급수는 수렴하기 때문에 매우 큰 $N$에 대해 다음 부등식이 성립한다.

                  (2.8)

식 (2.8)을 식 (2.7)에 적용해서 $D_N$의 크기를 보면 다음과 같다.

                  (2.9)

여기서 $a_n$을 가진 무한 급수는 절대 수렴하기 때문에 다음 관계가 성립한다.

                  (2.10)

식 (2.9)에 의해 두 무한 급수의 곱은 항별로 곱한 이중 무한 급수의 수렴값과 같다.
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식 (2.6)의 셋째식은 무한 급수를 $a_0 b_0$, $a_0 b_1$, $a_1 b_0$, $a_0 b_2$ 등의 순서로 더함을 뜻한다. 이러한 순서로 두 급수 곱의 합을  계산하는 방식은 코쉬 곱(Cauchy product)이라 부른다. 코쉬 곱은 두 급수의 이산적인 길쌈(discrete convolution)이라 볼 수 있다. 또한 식 (2.6)을 단순하게 보면 무한 급수의 곱이지만, 사실은 무한 급수의 항별 분배 법칙에 대한 조건을 표현한다.


3. 균등 수렴의 연산

[연속 함수와 균등 수렴]
무한 급수를 구성하는 항 $a_n (x)$가 연속이면, 균등 수렴하는 무한 급수 $S(x)$도 연속이다.

                 (3.1)

[증명]
점 $x = c$에서 무한 급수 $S(x)$의 연속성을 확인하기 위해 다음 관계식을 고려한다.

                 (3.2)

무한 급수 $S(x)$는 균등 수렴하므로 적당한 $n$에 대해 다음 부등식이 성립한다.

                 (3.3)

여기서 $\epsilon_1$은 균등 수렴을 위한 매우 작은 양의 실수이다. 또한 항 $a_n (x)$가 연속이기 때문에 부분 합 $S_n(x)$도 연속이다. 따라서 $x = c$ 근방에서도 $S_n(x)$는 다음처럼 연속이다.

                 (3.4)

식 (3.4)를 식 (3.3)에 대입해서 정리하면 균등 수렴하는 $S(x)$가 연속임을 증명할 수 있다.

                 (3.5)

여기서 $n$은 $x = c$와 $x = c$ 근방에서 균등 수렴하도록 충분히 큰 수로 선택한다.
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[균등 수렴 무한 급수의 항별 적분]
무한 급수를 구성하는 항 $a_n (x)$가 연속이면, 균등 수렴하는 무한 급수 $S(x)$의 적분과 항별 적분은 동일하다.

                 (3.6)

[증명]
식 (3.1)에 의해 $S(x)$는 구간 $a \le x \le b$에서 연속이다. 그러면 $S(x)$와 부분 합 $S_n (x)$의 적분은 리만 적분 가능(Riemann integrable)하므로, 두 적분의 차이 $D_N$은 다음과 같이 표현된다.

                 (3.7)

다음으로 $D_N$은 다음 부등식을 만족한다.

                 (3.8)

여기서 $\epsilon$은 균등 수렴을 위한 매우 작은 양의 실수이다. 따라서 $S(x)$를 적분한 값과 항별 적분값은 동일하다.
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식 (3.6)을 다음처럼 함수 관계로 만들어보자.

                 (3.9)

새로운 함수 $T(x)$와 $b_n(x)$ 관점으로 보면, 항 $b_n(x)$로 만든 무한 급수 $T(x)$는 균등 수렴한다. 즉 균등 수렴하는 무한 급수를 항별로 적분해 만든 무한 급수도 균등 수렴한다. 식 (3.9) 관계를 적분 대신 미분 관계로 만들 수도 있다. 예를 들어 항별로 미분해 만든 무한 급수가 균등 수렴하면, 원래 무한 급수도 아래처럼 균등 수렴한다.

                 (3.10)

여기서 $da(x)/dx$는 연속이다.

[균등 수렴 무한 급수의 항별 미분]
항 $da_n (x)/dx$가 연속이고 이 항으로 만든 무한 급수가 균등 수렴하면, 무한 급수 $S(x)$의 미분과 항별 미분은 동일하다.

[증명]
항 $da_n(x)/dx$로 만든 무한 급수가 균등 수렴하기 때문에 식 (3.10)을 적용할 수 있다.
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4. 조건 수렴의 대수

조건 수렴하는 무한 급수는 합을 계산할 때 주의를 기울여야 한다. 특히 식 (2.3)에 의해 조건 수렴 무한 급수는 항별로 교환할 경우 수렴값이 달라질 수 있다. 예를 들어 식 (2.5)에 있는 교대 조화 급수를 보자. 항별로 교환하지 않고 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)을 적용해 계산하면 수렴값은 $1$보다 항상 작다.[테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 식 (3.11)의 수렴값은 $\log 2$이다.]

                 (3.11)

식 (2.5)의 항을 다음처럼 교환해서 수렴값을 $1.5$로 만들 수도 있다[3].

                 (3.12)

식 (3.12)처럼 임의의 수렴값을 만들 수 있는 이유는 조화 급수를 구성하는 짝수 급수와 홀수 급수가 다음처럼 각각 발산하기 때문이다. 그래서 우리가 원하는 만큼 짝수나 홀수의 역수를 더하면 어떤 숫자라도 항상 만들 수 있다.

                 (3.13)

조건 수렴하는 무한 급수는 항별로 교환할 때 수렴값이 달라지는 현상이 있으므로 사용할 때 주의를 기울여야 한다. 절대 수렴하는 무한 급수는 항별로 교환할 수 있어서 편하게 수렴하는 합을 계산할 수 있다. 이와 같은 개념을 종합해서 조건 수렴하는 무한 급수의 수렴과 발산 특성을 찾아보자.

[조건 수렴 무한 급수의 수렴과 발산]
조건 수렴하는 무한 급수의 양인 부분 합과 음인 부분 합은 각각 발산한다.

[증명]
항이 $a_n$인 무한 급수를 식 (2.4)처럼 양인 부분 합과 음인 부분 합으로 나누자. 이를 위해 $p_n$과 $q_n$을 다음처럼 정의한다.

                 (3.14)

여기서 $p_n$과 $q_n$은 각각 양 혹은 음인 항이다. 그러면 항이 $a_n$인 무한 급수의 부분 합을 $A_N$ = $P_K - Q_L$처럼 정의할 수 있다.

                 (3.15)

여기서 부분 합을 구성하는 $p_n$과 $q_n$의 순서는 원래 $a_n$의 순서에서 바꾸지 않는다. 만약 $N$이 매우 커진다면, 식 (3.15)에 있는 부분 합은 조건 수렴에 의해 $A = P - Q$가 된다. 여기서 $A, P, Q$는 부분 합 $A_N, P_K, Q_L$의 극한값이다. 또한 항 $a_n$에 절대값을 적용한 부분 합은 $A_N$ = $P_K + Q_L$이 된다. 조건 수렴의 정의에 의해, 항에 절대값을 적용한 무한 급수는 발산해야 한다. 따라서 $K$ 혹은 $L$이 커질 때, $P_K$ 혹은 $Q_L$이 발산해야 한다. 결국 $A = P - Q$는 수렴하기 때문에, $K$와 $L$이 커질 때 $P_K$와 $Q_L$은 모두 발산해야 한다.
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[리만 급수 정리(Riemann series theorem)]
조건 수렴하는 무한 급수는 항별 교환을 통해 수렴값을 임의의 실수로 만들 수 있다. 또한 항별 교환을 이용하면 이 무한 급수를 발산시킬 수도 있다.

                 (3.16)

여기서 $A$는 임의의 실수(real number)이다.

[증명]
항별 교환을 하지 않고 식 (3.14)를 이용해 양인 항과 음인 항을 가진 부분 합 $b_k$와 $c_l$을 식 (1.2)처럼 각각 생성한다.

                 (3.17)

여기서 수열 $\{n_k\}$는 $k$에 대해 임의로 증가하는 0과 자연수로 구성한 수열, $k$ = $1, 2, \cdots$, $\{m_l\}$도 $\{n_k\}$와 유사하게 구성한다. 다음으로 우리가 수렴시키고자 하는 실수는 양수 $A$라 하자. 실수 $A$는 음수가 될 수도 있지만 편의상 양수로 가정한다. 항 $p_n$을 계속 더해 가다가 $p_{n_1}$을 더하면 가까스로 $b_1 > A$가 되게 한다. 다음으로 앞의 결과에 $|q_n|$을 빼갈 때는 $A$보다 크다가 $|q_{m_1}|$을 빼면 가까스로 $b_1 - c_1 < A$가 되게 한다. 이런 관계를 부등식으로 표현하면 다음과 같다.

                 (3.18)

식 (3.18)과 같은 과정을 $N$번 반복하면 다음과 같다.

                 (3.19)

식 (3.16)에 있는 무한 급수는 조건 수렴하므로, $N$이 커질 때 항 $p_{n_N}$과 $q_{m_N}$은 $0$으로 수렴한다. 따라서 식 (3.19)에 의해 다음 무한 급수는 실수 $A$로 수렴한다.

                 (3.20)

식 (3.20)에서 항별로 식 (3.17)에 있는 $a_n$의 부호가 같기 때문에, 식 (1.6)에 의해 괄호를 없애서 다음처럼 새로운 무한 급수로 정의할 수 있다.

                 (3.21)

수렴 증명에 이어서 식 (3.16)의 좌변을 무한대로 발산시켜보자. 식 (3.18)처럼 $p_n$을 계속 더해서 $p_{n_k}$를 더하기 전에는 $k$보다 작다가 $p_{n_k}$를 더하면 가까스로 $k$보다 크게 하자.

                 (3.22)

식 (3.22)를 이용해서 만든 새로운 무한 급수는 다음처럼 발산한다.

                 (3.23)

여기서 충분히 큰 $k$에 대해 $|q_k|$는 거의 0에 가까우므로 무한 급수의 합은 계속 증가한다. 식 (3.22)와 비슷한 방식을 $c_k$에 적용하면 무한 급수를 $-\infty$로 발산시킬 수도 있다.
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[참고문헌]
[1] M. Flygare, Some Properties of Infinite Series, Dissertation, Karlstad University, Sweden, 2012.
[2] H. S. Carslaw, "Term-by-term integration of infinite series," The Mathematical Gazette, vol. 13, no. 191, pp. 437–441, Dec. 1927.
[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.