2021년 11월 24일 수요일

단체의 성질(Simplex)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "단체의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 다양한 차원에 형성한 단체(출처: wikipedia.org)

3차원 (球, sphere)를 일반화한 초구(超球, hypersphere)는 그리거나 시각적으로 상상할 수 없기 때문에 수학적 논리와 유추로 탐구한다. 초구와 비슷한 방식으로 삼각형 혹은 사면체(四面體, tetrahedron)를 임의 차원으로 확장한 다면체는 단체(單體, simplex)라고 부른다. 예를 들어, $n$차원 단체(n-simplex)는 $n$차원에 만든 사면체의 일반화이다. 여러 차원에서 정의한 단체의 모습은 [그림 1]에 그려져 있다. 이름이 풍기는 의미처럼 단체는 간단함에서 나온 말이지만[단체보다는 간단체가 더 직관적인 번역], 단체를 다루기는 결코 쉽지 않다.

   
[그림 2] 직각 삼각형과 삼직각 사면체(출처: wikipedia.org)

우리가 $n$차원 단체를 상상할 때는 [그림 2]와 같은 직각 삼각형(right triangle)이나 삼직각 사면체(trirectangular tetrahedron)가 출발점이다. [그림 2]를 잘 관찰하면, 도형 그리기의 출발 위치는 다른 선과 직각이 형성되는 점인 단체의 기준점이 된다. 단체의 기준점에서 각 좌표축으로 그린 선분은 항상 서로 다른 선분에 수직이 된다. 이 개념은 다차원으로 쉽게 확장된다. 다차원 공간에서 기준점을 $\bar s$ = $(s_1, s_2, \cdots, s_n)$로 놓는다. 단체의 기준점 $\bar s$에서 출발하여 서로 수직이 되는 선분을 변으로 가진 다면체가 바로 $n$차원 단체이다. 보통은 간단하게 변 길이를 $|\bar x_i - \bar s|$ = $a$로 둔다. 여기서 $\bar x_i$는 단체를 구성하는 $i$번째 꼭지점, $\bar s$는 단체의 꼭지점이면서 기준점, $i$ = $1, 2, \cdots, n$이다. 기준점에서 다른 꼭지점까지 각도는 항상 직각이므로, $n$차원에 정의한 단체의 부피 $V_n$은 정적분으로 쉽게 표현된다.

                  (1)

여기서 $a$는 기준점에서 다른 꼭지점까지 길이이다. 예를 들어, 1차원 단체는 부피[혹은 길이] $a$ = $|\bar x_1 - \bar s|$를 가진다. 2차원 단체의 부피[혹은 면적]는 $\bar x_1, \bar x_2, \bar s$가 만드는 직각 삼각형의 면적이다. 즉, $\bar x_1 - \bar s$인 벡터에 수직인 방향[$\bar x_2 - \bar s$에 평행인 방향]으로 쌓아올린 면적이 단체의 부피 $V_2$이다. 마찬가지로 2차원 단체가 만드는 평면에 수직인 $\bar x_3$를 새로 정의해서 $\bar x_3 - \bar s$인 방향으로 만든 면적의 합을 $V_3$으로 정의한다. 또한 식 (1)에 등장한 계승(factorial) $n!$은 $n$차원에서 직육면체가 아닌 사면체 기준의 일반화를 뜻한다. 왜냐하면 직육면체의 일반화한 부피는 $a^n$이기 때문에 $n!$은 단체의 공간적 특성을 나타낸다. 꼭지점별로 변의 길이가 바뀔 때는 일차 함수 $y$ = $ax + b$에 따라 기준점에 대한 각 방향의 높이 변화를 $y$ = $m_i x$로 정한다. 그러면 식 (1)은 서로 다른 높이를 가진 단체의 부피로 변형된다.

                  (2)

여기서 $h_i$는 기준점 $\bar s$에 대한 꼭지점 $\bar x_i$의 높이인 $m_i a$이다.
[그림 3] 정사면체의 회전 모습(출처: wikipedia.org)

정삼각형(regular triangle)이나 정사면체(regular tetrahedron)를 일반화한 정칙 단체(regular simplex)도 존재한다. 정삼각형처럼 정칙 단체는 $n$차원에서 모든 꼭지점 사이의 거리가 일정하다. 또한 정칙 단체를 구성하는 꼭지점은 $n+1$개이다. 꼭지점중에서 $n$개를 뽑아 $\mathbb{R}^n$에서 초평면 $H$(hyperplane)을 만들 수 있다. 꼭지점 집합 $X$ = $\{\bar x_1, \bar x_2, \cdots, \bar x_n \}$으로 만드는 초평면 $H$는 $\mathbb{R}^{n-1}$ 공간을 만든다. 여기서 정칙 단체의 성질에 따라 $|\bar x_i - \bar x_j|$ = $1$로 설정한다. 초평면에 수직인 벡터를 만들기 위해 중심점 $\bar c$를 먼저 정의한다. 정사면체의 높이도 아래면 삼각형의 중심에 수직인 방향으로 만들어지므로, 정칙 단체의 높이 방향도 초평면의 중심에 수직하다고 가정한다[1].

                  (3)

중심점 $\bar c$에서 각 꼭지점 $\bar x_i$까지 가는 벡터를 $\bar a_i$ = $\bar x_i - \bar c$로 두면, 다음 벡터 관계식이 성립한다.

                  (4)

식 (4)의 셋째식을 제곱하고 각 식을 $j$에 대해 더해서 $|\bar a_i|^2$을 새롭게 정한다[1].

                  (5)

식 (5)에서 유도한 최종식의 우변은 $i$에 관계가 없기 때문에 $|\bar a_i|^2$은 $i$에 대해 상수이다. 따라서 $|\bar a_i|$는 다음과 같이 간략화된다.

                  (6)

마지막으로 초평면에 수직인 점 $\bar a_{n+1}$ = $\lambda \hat n$을 구한다. 여기서 $\lambda > 0$, $\hat n$은 초평면에 수직인 단위 벡터 혹은 평면의 법선 벡터이다. 정칙 단체의 정의에 의해 $|\bar a_{n+1} - \bar a_i|$ = $1$, $\bar a_{n+1} \cdot \bar a_i$ = $0$이 성립한다. 여기서 $i$ = $1, 2, \cdots, n$이다. 따라서 $\bar a_{n+1}$의 크기 $\lambda$가 다음과 같이 구해진다.

                  (7)

식 (7)에 의해 정칙 단체 구성에 필요한 마지막 점인 $\bar x_{n+1}$이 간단하게 유도된다.

                  (8)

식 (6)은 $n$차원 정칙 단체의 높이 $h_n$에 해당하므로, $n$차원 정칙 단체의 부피 $V_n$은 $V_{n-1}$과 $h_n$의 곱에 비례하고 식 (2)에 의해 $n$으로 나누어진다.

                  (9)

여기서 $n!$은 식 (1)과 (2)처럼 다차원 사면체의 성질을 나타낸다. 만약 변의 길이가 $a$라면, 식 (9)는 다음과 같이 변형된다.

                  (10)

식 (10)은 정삼각형의 면적과 정사면체의 부피가 서로 연관되는 특성을 보여준다. 또한 정사면체 부피의 성질을 확장해서 우리가 상상하기 어려운 다차원 정칙 단체의 부피까지도 식 (10)은 잘 보여주고 있다.

[참고문헌]
[1] F. Lazebnik, "On a regular simplex in $\mathbb{R}^n$," University of Delaware, USA, 2001. (방문일 2021-11-05)

[다음 읽을거리]

2021년 11월 23일 화요일

초구의 성질(Hypersphere)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "초구의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 다차원에서 정의된 초구의 시각적 표현(출처: wikipedia.org)

초구(超球, hypersphere)는 4차원 이상에서 정의되는 구의 일반화된 대상체를 의미한다. 초구의 중심이 원점에 있는 경우, $n$차원에서 초구의 방정식은 다음과 같다.

                  (1)

여기서 $\bar r$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$, $r$은 초구의 반지름이다. 식 (1)을 변형해서 중심이 원점에서 $\bar c$ = $(c_1, c_2, \cdots, c_n)$으로 이동된 초구의 방정식도 얻는다.

                  (2)

일반화된 구를 표현하는 말로 초구 대신 $n$차원 구(n-sphere)를 쓸 수도 있다. 예를 들어, 0차원 구는 점, 1차원 구는 지름, 2차원 구는 (circle), 3차원 구가 흔히 말하는 구, 4차원 이상의 구는 초구이다.
구 좌표계에 나오는 방위각(azimuth) $\phi$와 극고도각(polar angle) $\theta$의 관계에서 유추하여 $n$차원 구 좌표계의 각도 $\varphi_n$을 한 단계 낮은 $n-1$차원의 구 반지름 $r_{n-1}$과 각도 $\varphi_{n-1}$로 표현할 수 있다. 차원을 낮추는 재귀 과정은 다음과 같이 계속 반복된다.

                  (3)

여기서 $x_i$는 $n$차원에서 $i$번째 좌표 성분, $r_i$는 $i$차원의 구 반지름, $0 \le \varphi_i \le \pi$, $(x, y, z)$ = $(x_1, x_2, x_3)$, $\varphi_1$ = $0$ 혹은 $\pi$, $\phi$ = $\pi/2 - \varphi_2$, $\theta$ = $\varphi_3$이다. 1차원 각도 $\varphi_1$이 전체 각도 범위에서 변하지 못하고 $0$ 혹은 $\pi$만 가능한 이유는 1차원인 경우 $x_1$ = $\pm r$이기 때문이다. 또한 식 (3)에 따라 반지름 $r_i$를 곱 기호로 나타낸다.

                  (4)

여기서 $r_n$ = $r$, $r_i^2 + x_{i+1}^2$ = $r_{i+1}^2$이 성립한다. 원의 반지름과 호의 길이에 대한 관계 $l$ = $r \theta$를 일반화해서 $n$차원 구의 표면적 $S_n$을 정의한다.

                  (5)

여기서 $B(x, y)$는 베타 함수(beta function), 삼각 함수 거듭제곱의 적분도 이용한다. 추가적으로 $S_n$을 양파 껍질 적분(onion skin integration)해서 $n$차원 구의 부피 $V_n$도 유도한다.

                  (6)

차원 $n$이 $2$ 혹은 $3$이면, $S_n$과 $V_n$은 각각 통상적인 원과 구의 표면적[원이면 둘레 길이]과 부피[원이면 당연히 면적]가 된다. 식 (5)와 (6)은 하나의 공식이므로, 차원을 더 낮추어 1차원과 0차원이 되게 할 수도 있다. 식 (1)에 의해 $x_1$ = $\pm r$이며 1차원이 변하는 범위는 선이다. 따라서 1차원의 부피 $V_1$은 $x_1$이 변하는 최대 길이인 지름 $2r$이 된다. 부피 $V_1$을 양파 껍질처럼 벗긴[혹은 기울기 역할을 하는] 표면적 $S_1$은 숫자 $2$이다. 또한 식 (3)에 따라 0차원은 반지름 $r_0$ = $0$, $x_0$ = $0$이다. 그래서 0차원 부피는 점이 되므로, 반지름과 상관없이 $V_0$ = $1$이 타당하다. 0차원의 표면적은 당연히 존재하지 않아서 자연스럽게 $S_0$ = $0$이다.

[다음 읽을거리]

2021년 11월 20일 토요일

평면의 방정식(Equation of a Plane)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "평면의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


평평한 면을 나타내는 평면(平面, plane)은 기본 개념이 아주 쉽지만 수학 공식으로 평면을 표현하려면 어려움이 크다. 3차원 공간의 평면을 공식화하는 방법은 많이 있지만, 고급 개념인 벡터(vector)를 쓰면 평면의 방정식이 바로 얻어진다.

[그림 1] 3차원 공간 상의 평면 모습(출처: wikipedia.org)

벡터 개념으로 평면의 방정식을 유도하기 위해 [그림 1]과 같은 그림을 상상한다. 평면 상에 존재하는 임의의 점을 $\bar r$ = $(x, y, z)$, 우리가 위치를 알고 있는 평면 상의 고정된 점은 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이라 쓴다. 그러면 $\bar r$과 $\bar r_0$이 만드는 벡터는 평면에 항상 수직인 법선 벡터(normal vector) $\bar n$과의 벡터 내적(inner product)이 항상 0이다.

                  (1)

여기서 $\bar n$ = $(a, b, c)$이다. 결과적으로 식 (1)은 법선 벡터 $\bar n$을 가진 평면을 위한 대수 방정식이 된다.
식 (1)에 제시한 평면의 방정식을 이용해 3차원 곡면의 접평면(接平面, tangent plane)도 정의할 수 있다[1]. 구배(gradient) 연산자를 쓰면, 임의의 곡면 $f(x, y, z)$ = $0$에 대한 접평면의 방정식을 쉽게 유도할 수 있다.

[그림 2] 구에 접하는 평면 혹은 접평면(출처: wikipedia.org)

[접평면의 방정식]
곡면 $f(x, y, z)$ = $0$ 위의 점 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$에 접하는 평면의 방정식은 다음과 같다.

                  (2)

[증명]
구배는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향이므로, $\bar \nabla f$는 자동적으로 곡면의 법선 벡터와 평행하게 된다. 따라서 $\bar n$ = $\bar \nabla f$를 식 (1)에 대입해서 정리하면 식 (2)가 바로 얻어진다.
______________________________

만약 곡면을 $z$ = $f(x, y)$로 표현하면, $F(x, y, z)$ = $f(x, y) - z$ = $0$으로 생각해서 식 (2)에 대입한다. 그러면 $z$ = $f(x, y)$의 접평면의 방정식도 얻을 수 있다.

             (3)

여기서 $z_0$ = $f(x_0, y_0)$이다.

[그림 3] 점과 평면 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리처럼 점과 평면 사이의 거리를 유도할 때도 벡터 개념이 매우 유리하다.

[점과 평면 사이의 거리(distance from a point to a plane)]
점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 직선 $ax+by+cz+d = 0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같다.

                              (4)

여기서 점과 평면 사이의 거리는 최단 거리 혹은 수직인 거리로 정한다.

[증명]
[그림 3]에 있는 평면의 방정식 일반형 $ax+by+cz+d$ = $0$을 바꾸어서 식 (1)과 같은 평면의 방정식 표준형 $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)$ = $0$을 만든다. 여기서 법선 벡터는 $\bar n$ = $(a, b, c)$, $(x_1, y_1, z_1)$은 평면 위의 점이다. 점과 직선 사이의 거리처럼 벡터 $\bar n$과 $\bar u$ = $(x_0, y_0, z_0) - (x_1, y_1, z_1)$ 사이의 내적을 계산해서 식 (4)를 증명한다.

                              (5)
______________________________

우리가 고려하는 평면은 3차원 공간에 있지만, 식 (1)과 (2)를 보면 3차원보다 큰 다차원 공간의 평면도 가능할 것 같다. 예를 들어, 식 (1)에 따라 $n$차원 공간에 존재하는 평면의 방정식은 다음처럼 쓸 수 있다.

                              (6)

여기서 $\bar n$ = $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$, $\bar r$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$, $\bar r_0$ = $(b_1, b_2, \cdots, b_n)$이다. 평면을 일반화시킨 기하학적 대상체는 초평면(超平面, hyperplane)이라 부른다. 일반적으로 초평면은 현재 물체가 놓인 $n$차원보다 하나만큼 차원이 작은 $n-1$차원 공간을 뜻한다. 식 (6)에 의하면, 어떤 좌표 성분 하나는 다른 모든 좌표 성분으로 표현되어서 선형 종속(linear independence)이 된다. 따라서 식 (6)은 $n$차원보다 하나 작은 $n-1$차원을 나타내므로 초평면이 된다. 초평면 개념을 식 (4)에 적용할 수 있다. 벡터와 내적을 $n$차원으로 확장해서 $n$차원 공간의 점 $\bar y$ = $(y_1, y_2, \cdots, y_n)$과 초평면 사이의 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.

                              (7)

여기서 $\bar r_0$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$은 평면 위에 있다. 식 (7)을 섬세하게 음미하면, 현실에서 만나거나 상상할 수 없는 $n$차원 공간을 기하학적으로 자유롭게 다룰 수 있게 하는 수학적 추상화의 힘을 느낄 수 있다.

[참고문헌]
[1] M. Corral, Tangent Plane to a Surface, Vector Calculus, Schoolcraft College, Jan. 2021.

[다음 읽을거리]