2022년 6월 11일 토요일

시컨트 수와 오일러 수(Secant Number and Euler Number)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "시컨트 수와 오일러 수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[표 1] 짝수번 시컨트 수의 실제값, $S_{2m}$
시컨트 수, $S_{2m}$시컨트 수의 자연수값
$S_0$1
$S_2$1
$S_4$5
$S_6$61
$S_8$1385
$S_{10}$50521
$S_{12}$2702765
$S_{14}$199360981
$S_{2m}$
생성 함수

탄젠트 함수(tangent function) $\tan x$의 테일러 급수(Taylor series)를 쉽게 공식화하기 위해 탄젠트 수(tangent number) $T_m$을 도입한 방식처럼 시컨트 함수(secant function) $\sec x$를 위한 테일러 급수에는 시컨트 수(secant number)를 도입한다. 시컨트 수 $S_m$은 $\sec x$를 구성하는 무한 급수(infinite series)의 항과 연결지어 정의한다.

                  (1)

시컨트 함수는 우함수(even function)이므로 식 (1)의 첨자를 짝수로 간략화한다. 시컨트 수의 구체적인 예는 [표 1]에 있다[1].

                  (2)

여기서 $S_{2m+1}$ = $0$이다. 식 (2)와 같이 멱급수의 계수에 모든 시컨트 수가 나오므로, 시컨트 함수는 시컨트 수의 생성 함수(generating function)이다. 시컨트 함수를 직접 고차 미분해서 시컨트 수 $S_{2m}$을 얻을 수도 있지만, 고차 미분 과정이 너무 복잡해진다. 그래서 시컨트 수는 주로 재귀 관계(recurrence relation)를 이용해서 구한다. 이 재귀 관계를 유도하기 위해 코사인과 시컨트 함수의 테일러 급수를 사용한다.

                  (3)

여기서 $\binom{2m}{2k}$은 조합(combination)이다. 식 (3)의 셋째식을 얻기 위해 대각선 따라 모으기에 해당하는 코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)를 적용한다. 식 (3)으로부터 시컨트 수의 항등식을 하나 만든다.

                  (4)

여기서 $\delta_{m0}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 최종적으로 시컨트 수를 생성하는 공식이 나온다.

                  (5)

여기서 $S_0$ = $1$이다. 식 (5)와 같은 재귀 관계를 쓰지 않고 탄젠트 수로부터 시컨트 수를 도출할 수도 있다. 먼저 식 (6)에 보인 탄젠트 함수와 시컨트 함수의 관계식에 각 테일러 급수를 대입해서 정리한다.

                       (6)

             (7)

식 (7)의 마지막식에서 탄젠트 수로 표현한 시컨트 수를 증명한다.

                       (8)

관점을 약간 바꾸어서 시컨트 수에 기반을 두고 탄젠트 수를 재정의한다.

                       (9)

                       (10)

식 (10)은 식 (5)와 매우 유사하므로, 시컨트 수와 탄젠트 수는 서로 밀접히 연결되어 있다. 시컨트와 탄젠트 함수의 미분을 사용하면, 시컨트 수와 탄젠트 수의 색다른 관계를 추가적으로 유도할 수 있다. 먼저 시컨트 함수의 미분을 두 함수의 테일러 급수로 교체해서 두 수 사이의 관계식을 구한다.

                       (11)

                       (12)

비슷한 방식을 탄젠트 함수의 미분에 사용해서 탄젠트 수를 시컨트 수로 표현한다.

                       (13)

                       (14)

수열 입장에서 시컨트 수가 가진 재미있는 특성을 탄젠트 수와 연관지어 소개한다.

[시컨트 수의 성질]
(a) 시컨트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 홀수번 시컨트 수 $S_{2m+1}$은 항상 $0$이다.
(c) 짝수번 시컨트 수는 $S_{2m} \ge 1$이고, $m$이 $1$보다 커지면 $S_{2m}$도 같이 커진다. 즉, $m > 1$에서 $S_{2m} > (2m-1)S_{2(m-1)}$을 항상 만족한다.
(d) 모든 $m \ge 2$에 대해, $T_{2m-1} < S_{2m} < T_{2m+1}$이 성립한다.

[명제 (a)의 증명]
식 (5)는 이전 시컨트 수와 조합의 곱이므로, 모든 시컨트 수는 자연수열이다.

[명제 (b)의 증명]
시컨트 수는 우함수인 시컨트 함수의 테일러 급수를 구성하므로, 홀수번 시컨트 수는 항상 $0$이다.

[명제 (c)의 증명]
식 (12)에서 $k$ = $m-1$인 경우만 보면, $m > 1$에서 항상 $S_{2m} > (2m-1)S_{2(m-1)}$이다.

[명제 (d)의 증명]
식 (12)에 $k$ = $0$을 대입해서 $S_{2m} > T_{2m-1}$을 증명한다. 또한 식 (14)에 따라 $T_{2m+1} > S_{2m}$도 만족한다.
______________________________

위에서 증명한 시컨트 수의 성질을 이용해 탄젠트 수의 속성도 도출할 수 있다.

[탄젠트 수의 성질]
(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.
(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.
(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.

[명제 (a)의 증명]
탄젠트 수는 식 (14)처럼 자연수열인 시컨트 수의 곱셈으로 계산하므로, 계산 결과인 탄젠트 수도 자연수열이 된다.

[명제 (b)의 증명]
시컨트 수와 상보적으로 탄젠트 수는 기함수인 탄젠트 함수를 구성해서 짝수번 탄젠트 수가 $0$이 된다.

[명제 (c), (d)의 증명]
시컨트 수와 탄젠트 수의 대소 관계인 $T_{2m-1} < S_{2m} < T_{2m+1}$을 활용한다.
______________________________

시컨트와 탄젠트 함수의 테일러 급수 전개를 더하면 재미있는 새로운 무한 급수가 만들어진다.

                       (15)

식 (15)의 우변이 생성하는 항은 짝수와 홀수 차수가 분명히 구별되므로 하나의 무한 급수로 만들 수 있다.

                       (16)

여기서 마지막식에 등장하는 관계식은 삼각 함수 항등식으로 증명한다. 수열 $A_m$은 $m$에 따라 시컨트 수와 탄젠트 수를 왔다갔다하기 때문에  지그재그 수(zigzag number) 혹은 위아래 수(up/down number)라 부른다. 지그재그 수에 빗대어서 스컨트 수와 탄젠트 수를 각각 지그 수(zig number)재그 수(zag number)로 나누어서 명명하기도 한다.
식 (2)에 나온 시컨트 함수 $\sec x$의 입력 변수에 순허수 $ix$를 대입해서 쌍곡 시컨트 함수(hyperbolic secant function) $\operatorname{sech} x$를 정의할 수 있다.

                       (17)

오일러 수(Euler number)로 정의하는 수열 $E_{2m}$를 도입해서 쌍곡 시컨트 함수의 항을 $E_{2m}$으로 간략화한다.

                       (18)

여기서 $E_{2m}$ = $(-1)^m S_{2m}$이다. 그러면 쌍곡 시컨트 함수는 오일러 수의 생성 함수가 된다. 오일러 수는 부호가 바뀌기 때문에 자연수열인 $S_{2m}$과 다르게 정수열(整數列, integer sequence)이 된다. 또한 오일러 수 $E_{2m}$은 오일러의 수(Euler's number) 혹은 네이피어의 상수라 칭하는 $e$와 꼭 구별되어야 한다.

[참고문헌]
[1] N. J. A. Sloane, "A000364: Euler (or secant or "zig") numbers," The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (방문일 2022-06-11)
 
[다음 읽을거리]

2022년 5월 31일 화요일

룽에 현상(Runge's Phenomenon)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "룽에 현상"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 룽에 함수에 출현한 룽에 현상(출처: wikipedia.org)

푸리에 급수(Fourier series)에 나타나는 기브스 현상(Gibbs phenomenon)처럼 다항 함수 보간(polynomial interpolation)에도 [그림 1]처럼 원치 않는 매우 큰 오차가 생기기도 한다. 상식적으로 다항 함수의 차수를 증가시키면서 자료점 개수도 늘리면, 보간된 함수는 원래 함수를 잘 따라가야 한다. 하지만 고차 미분으로 갈수록 미분값이 계속 커지는 함수를 다항 함수로 보간할 때는 보간 구간의 끝부분에서 보간된 함수값이 계속 커지는 현상이 발생한다. 이와 같이 등간격으로 배치한 자료점의 개수를 늘리더라도 다항 함수 보간의 정밀도가 개선되지 않고 오히려 보간된 함수가 양끝에서 커지면서 진동하는 현상을 룽에 현상(Runge's phenomenon)이라 한다.
다항 함수 보간의 대표 주자인 제$n$차 라그랑쥐 보간(Lagrange interpolation) $L_n(x)$를 중심으로 룽에 현상을 이해한다.

                  (1)

여기서 $(x_k, y_k)$는 함수값을 아는 자료점(data point)이다. 함수 $f(x)$는 어떤 점에서든 부드럽게[혹은 뾰족한 부분 없이] 변해서 미분 회수에 관계없이 고차 미분이 항상 유계(有界, bounded)라면, 라그랑쥐 보간의 차수 $n$을 늘릴 때의 보간 오차는 항상 줄어든다. 왜냐하면 $n$에 관계없이 고차 미분의 크기는 어떤 값 $M$보다 항상 작다는 조건으로 인해 $n$을 늘리면 라그랑쥐 보간의 최대 오차 혹은 잉여항의 절대값 $|R_n(x)|$가 $0$으로 수렴하기 때문이다.

                  (2a)

                  (2b)

                  (3)

여기서 $f^{(n)}(x)$는 $n$차 미분이다. 따라서 식 (3)처럼 고차 미분이 유계인 함수의 라그랑쥐 보간에는 룽에 현상이 생기지 않는다.
굳이 증명을 하지 않더라도 다항 함수의 차수와 자료점을 늘리면 원래 함수에 가까운 보간 결과는 당연히 얻어질 것 같다. 하지만 수학자 룽에Carl Runge(1856–1927)는 1901년룽에 45세, 대한제국 시절에 다음 2차 함수의 역수 혹은 룽에 함수(Runge function) $f(x)$를 다항 함수 보간하면서 이상한 현상을 하나 발견했다[1].

                  (4)

여기서 $-1 \le x \le 1$, 룽에 함수의 모양은 [그림 1]에 있는 빨간 실선이다. 룽에 함수는 그다지 복잡하지 않고 생긴 형태도 종 모양이어서 다항 함수 보간이 충분히 가능하다고 생각했다. 하지만 다항 함수의 차수를 증가시킬수록 [그림 1]처럼 보간된 함수는 양끝에서 발산하기 시작했다. 어떻게 된 것일까? 왜 이런 현상이 생길까? 룽에 입장에서는 쉬운 문제로 생각한 주제가 난처한 곤경이 되었지만, 결국에는 룽에 현상의 발견이라는 영예를 룽에에게 안겨주었다.
룽에 현상의 설명은 룽에 함수의 미분으로부터 시작한다. 식 (4)에 정의한 룽에 함수를 한번과 두번 미분한다.

                  (5)

1차 및 2차 미분의 크기 $|f^{(1)}(x)|$과 $|f^{(2)}(x)|$의 최대값은 각각 $x$ = $\pm \sqrt{3} \mathbin{/} 15$과 $0$에서 얻어진다. 이때 $|f^{(1)}(x)|$과 $|f^{(2)}(x)|$의 최대값은 각각 $15 \sqrt{3} \mathbin{/} 8$ $<$ $1! 5^1$, $50$ = $2! 5^2$이다. 식 (5)의 마지막 결과처럼 고차 미분은 $x \approx 0$ 근방에서 최대가 되므로, 고차 미분의 최대값은 다음과 같은 한계를 가진다.

                  (6)

식 (6)의 엄밀한 증명에는 식 (7)에 나온 2차 함수의 고차 미분을 이용한다.

             (7)

             (8)

차수 $n$이 짝수인 경우, $n+1$차 미분의 영점은 $x$ = $0$에서 생기며 이때 $n$차 미분의 최대 크기 $|f^{(n)}(x)|$는 정확히 $n! 5^n$이다. 차수 $n$이 홀수가 되면, 고차 미분의 최대 크기를 찾기가 매우 어려워진다. 그래서 홀수인 $n$에 대해 근사적으로 $|f^{(n)}(x)|$의 최대값을 다음처럼 찾는다.

                  (9)

                  (10)

여기서 $x_0$는 $f^{(n+1)}(x)$의 근사 영점이다. 따라서 고차 미분이 홀수더라도 식 (6)은 잘 성립한다. 매우 큰 홀수 $n$에 대해, 다음 점근 관계식도 성립한다.

                  (11)

                  (12)

여기서 $x_0$ = $\pm \alpha \mathbin{/} (5 n)$ = $\pm \pi \mathbin{/} (10 n)$이다. 결국 미분 차수 $n$이 짝수 혹은 홀수에 관계없이 식 (6)은 항상 참이다.
식 (2a)에 나오는 자료점 $x_k$ = $-1 + 2k/n$[$k$ = $0, 1, 2, \cdots, n$]라 두면, $x - x_k$ 곱의 최대 크기는 대략 $x_\max$ = $-1 + 1/n$에서 발생한다.[∵ 자료점에서 오차는 $0$이라서 최대 오차는 두 자료점의 중점에서 생긴다. 항 $x-x_k$로 인해 끝점으로 갈수록 현재점 $x$와 자료점 $x_k$의 차이가 커진다. 그래서 중점에서 생기는 오차는 끝점 부근에서 최대가 된다.] 점 $x_{\max}$에서 곱 $\prod_{k=0}^n (x - x_k)$의 최대 크기는 다음과 같다.

                  (13)

여기서 $(\cdot)!!$는 이중 계승(double factorial)이다. 따라서 룽에 함수에 대한 라그랑쥐 보간의 최대 오차는 한계가 없이 증가한다.

             (14)

즉, 차수 $n$이 커질 때, 스털링의 공식(Stirling's formula)에 따라 식 (14)의 최종 결과는 계속 증가해 발산한다.

                  (15)

이로 인해 라그랑쥐 보간의 차수를 아무리 높여도 끝점 부근에서는 보간 오차가 지속적으로 커지는 룽에 현상이 발생한다. 

[참고문헌]
[1] C. Runge, "Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (About empirical functions and the interpolation between equidistant ordinates)," Zeitschrift für Mathematik und Physik (Journal of Mathematics and Physics), vol. 46, pp. 224–243, 1901.
[2] J. F. Epperson, "On the Runge example," Am. Math. Mon., vol. 94, no. 4, pp. 329–341, 1987.

2022년 5월 29일 일요일

기브스 현상(Gibbs Phenomenon)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "기브스 현상"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


디리클레가 1829년디리클레 24세, 조선 순조 시절에 제시한 증명에 의해 푸리에 급수(Fourier series)는 항상 원래 함수로 수렴한다. 만약 유한한 불연속점이 있으면, 푸리에 급수는 좌극한과 우극한의 평균값으로 수렴한다.

                          (1)

식 (1)과 같은 푸리에 급수의 성질이 유한한 급수 합인 부분 합(partial sum)에서도 성립할까? 애석하게도 불연속점 근처에서는 식 (1)과 유한 급수가 같지 않다. 아무리 항을 더해도 필연적으로 푸리에 급수와 오차가 생기며 빠르게 진동한다. 불연속점 근방에서 무한 급수(infinite series)인 푸리에 급수에 접근하는 부분 합이 만드는 근원적인 오차 한계를 기브스 현상(Gibbs phenomenon)이라 부른다[1].

[그림 1] 조화 분석기로 그린 기브스 현상(출처: [2])

[그림 2] 현대 컴퓨터로 그린 기브스 현상(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 톱니파를 푸리에 급수로 나타낼 때의 기브스 현상(출처: wikipedia.org)

기브스 현상에 대한 토론은 광속 측정으로 유명한 마이컬슨Albert Abraham Michelson(1852–1931) 교수의 1898년마이컬슨 46세, 대한제국 시절 논문[2]으로부터 시작되었다. 마이컬슨은 미국인 최초의 노벨 물리학상 수상자이기도 하다. 다소 복잡한 기계 장치를 이용해서 마이컬슨은 푸리에 급수의 항을 80개까지 계산할 수 있는 조화 분석기(harmonic analyzer)를 개발했다. 조화 분석기는 푸리에 급수를 상당히 잘 계산했지만, 불연속점에서의 결과가 이상했다. 디리클레의 증명에 의하면 푸리에 급수의 항을 더할수록 오차가 줄어서 원래 함수에 가까워져야 하지만, 조화 분석기의 계산 결과는 원래 함수와의 오차를 그대로 포함하고 있었다. 기계를 세밀하게 수정하거나 손으로 다시 계산해도 오차는 사라지지 않고 과잉 쏠림(overshoot)이나 과소 쏠림(undershoot) 형태로 계속 남았다. 특히 마이컬슨은 톱니파(sawtooth wave)인 $y$ = $x/2$의 푸리에 급수는 $x$ = $\pi$ 근방에서 톱니파에 제대로 수렴하지 않는다고 지적했다[3].

                     (1)

푸리에 급수를 이용해 톱니파를 근사할 때 나타나는 기브스 현상은 [그림 3]에서 볼 수 있다. 마이컬슨의 논증은 균등 수렴(uniform convergence)을 고려하지 않기 때문에 문제가 있다. 여기에 더해 기브스Josiah Willard Gibbs(1839–1903)는 증명없이 불연속점 근방에서 과잉 쏠림이나 과소 쏠림이 생기는 결과는 당연하며 쏠림의 크기도 계산해서 제시했다[4]. 기브스의 지적이 있고 얼마 뒤, 동일한 문제를 윌브라함Henry Wilbraham(1825–1883)이 50년 전에 이미 발표했다는 사실이 알려졌다.
톱니파의 기브스 현상도 분석이 가능하나, 좀더 쉬운 부호 함수 ${\rm sgn}(x)$ 혹은 사각파(square wave)에 대해 기브스 현상을 분석해본다[1].

                     (2)

식 (2)에 나온 부분 합을 $N$개의 항만 써서 $S_N (x)$로 다시 표현한다.

                     (3)

여기서 ${\rm Sa}(\cdot)$는 표본화 함수(sampling function)이다. 원점 근방인 $x$ = $\epsilon$에서 부분 합의 특성을 관찰하기 위해 식 (3)을 리만 합(Riemann sum)처럼 공식화한다.

                     (4)

여기서 사인 함수의 합이 항상 커지도록[혹은 양의 방향으로 최대 오차인 과잉 쏠림을 만들기 위해] $\epsilon$ = $\pi/(2N-1)$로 둔다. 다음 단계로 $N \to \infty$로 보내서 리만 합을 적분으로 바꾼다.

                     (5)

여기서 ${\rm Si}(\cdot)$는 사인 적분(sine integral)이다. 식 (5)에 따라 기브스 현상이 만드는 과잉 쏠림은 약 8.95%가 된다.

                     (6)

여기서 $\pi/4$는 사각파의 진폭(amplitude), $\pi/2$는 사각파의 첨두대 첨두값(尖頭對尖頭値, peak-to-peak value)이다. 식 (5)에서 리만 합을 적분으로 만드는 과정이 어색해 보이면, 다음 적분 관계를 활용한다.

                     (7)

사인 함수 대신 식 (7)의 적분을 써서 부분 합 $S_N(x)$를 유도한다[1].

                     (8)

식 (4)와 비슷하게 $x$ = $\epsilon$ = $\pi \mathbin{/} (2N)$를 대입하고 $N \to \infty$로 보낸다.

                     (9)

결국 식 (5)와 (9)는 접근법이 달라도 동일한 적분값을 생성한다. 또한 식 (5)와 (9)에 나온 사인 적분값 ${\rm Si}(\pi)$[= $1.851937051982\cdots$]윌브라함–기브스 상수(Wilbraham–Gibbs constant)로 정의한다.

[참고문헌]
[1] K. Raeen, A Study of The Gibbs Phenomenon in Fourier Series and Wavelets, M.S. Thesis, University of New Mexico, USA, 2008. (방문일 2022-05-28)
[2] A. A. Michelson and S. W. Stratton, "A new harmonic analyser," Phil. Mag., vol. 45, 85–91, 1898.
[3] A. A. Michelson, "Fourier's series," Nature, vol. 58, no. 1510, pp. 544–545, Oct. 1898.
[4] J. W. Gibbs, "Comment on 'Fourier's series'," Nature, vol. 59, no. 1522, p. 200, Dec. 1898.
[5] H. Wilbraham, "On a certain periodic function," Cambridge Dublin Math. J., vol. 3, pp. 198–201, 1848.

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