2022년 8월 8일 월요일

반복적 물리 광학(反復物理光學, Iterative Physical Optics)

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물리 광학(物理光學, physical optics, PO) 혹은 PO가 다루지 못하는 다중 반사(multiple reflection)를 어느 정도 정확하게 계산하기 위해 제안된 기법은 반복적 물리 광학(反復物理光學, iterative physical optics, IPO)[1] 혹은 IPO이다. 물리 광학은 전자파가 조사된 PEC 표면만 고려해서 산란을 계산하므로, 다중 반사가 일어나는 상황에서는 오차가 심해진다. 반면에 반복적 물리 광학은 물리 광학으로 계산을 시작하지만, 각 표면이 가진 전류 밀도로 산란장을 만들어서 다시 기존의 전류 밀도를 갱신하는 방식으로 전류 밀도의 오차를 줄여나간다. 이 과정은 사용자가 원하는 만큼 반복할 수 있어서 반복적 물리 광학으로 부른다.
반복적 물리 광학의 공식화는 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu Formula)으로 만든 MFIE(자기장 적분 방정식, Magnetic Field Integral Equation)부터 출발한다.

                        (1)

여기서 $g(\bar r, \bar r')$는 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function) $g(\bar r, \bar r'; k)$와 동일하다. 식 (1)에서 $\bar r$ = $\bar r'$인 경우가 있으므로, 식 (1)에 나온 표면 적분은 $\bar r$ = $\bar r'$에서 [그림 1]과 같은 특이점을 항상 가지고 있다.

[그림 1] 미소 면적소 $s_0'$에 대한 좌표계

따라서 식 (1)을 제대로 계산하려면, 특이점이 있는 미소 면적소 $s_0'$의 포함 여부에 따라 적분을 분리해서 연산해야 한다.

                        (2)

면적 $s' - s_0'$에는 $\bar r$ = $\bar r'$인 특이점이 없어서 기존 적분 방식을 쓰면 된다. 수학적으로 고민되는 부분은 [그림 1]에서 $R \to 0$으로 가는 미소 면적소 $s_0'$에 대한 적분이다. 이 적분을 위해 $\bar J_s(\bar r)$을 접선 자기장 $\bar H_t (\bar r)$로 분해한 후 벡터 삼중적(vector triple product)을 적용해서 정리한다.

                  (3a)

                        (3b)

여기서 $\bar r - \bar r'$ = $R \hat R$, $R \to 0$, $\hat n'$과 $\bar J_s (\bar r')$은 항상 수직이다. 식 (3)을 식 (2)에 대입해서 $\bar J_s (\bar r)$에 대해 정리하면, 반복적 물리 광학을 위한 표현식이 얻어진다.

                        (4)

그린 함수 $g (\bar r, \bar r')$의 구배(gradient)를 구하기 위해, 구의 중심을 $\bar r'$로 선택해서 편미분한다.

                        (5a)

                        (5b)

전류 밀도 $\bar J_s (\bar r)$이 반복될 수 있도록 식 (4)를 바꾼다[1].

                        (6)

여기서 $m$ = $0, 1, 2, \cdots$, $\bar J_0 (\bar r)$ = $2 \hat n \times \bar H_i(\bar r)$이다. 물리 광학 혹은 PO처럼 구조물을 삼각화(三角化, triangulation)한 후에, 식 (6)에 따라 반복적 물리 광학 혹은 IPO를 적용하는 순서는 다음과 같다.
  • 모든 삼각형의 전류 밀도를 $0$으로 만든다.
  • 전자파에 조사된 삼각형의 전류 밀도는 $\bar J_0 (\bar r)$ = $2 \hat n \times \bar H_i(\bar r)$로 초기화한다.
  • 크기가 $0$이 아닌 전류 밀도 $\bar J_m (\bar r)$에 식 (6)의 우변을 적분해서 $\bar J_{m+1} (\bar r)$을 얻는다.
  • 원하는 정밀도가 나올 때까지 $\bar J_{m+1} (\bar r)$ 계산을 반복한다. 
IPO는 역행렬을 계산하는 과정 없이 반복으로만 답을 구하기 때문에, 복잡한 구조물의 산란 문제를 탐구할 때에 적절한 기법이다. 하지만 구조물의 크기가 매우 커져서 더해지는 항이 많아지면, 행렬의 반복법(iterative method of matrix)에서 경험한 현상처럼 $\bar J_{m+1} (\bar r)$이 발산하는 문제가 필연적으로 생긴다.
임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)을 써서 IPO의 적용 범위를 더 다양한 매질로 확대할 수 있다[3], [4]. IPO 공식화는 임피던스 경계 조건에 대한 MFIE(자기장 적분 방정식, Magnetic Field Integral Equation)에서 시작한다.

                  (7)

식 (7)에 식 (3b), (5b)를 적용해서 적분 방정식을 풀 수 있는 형태로 바꾼다.

                  (8)

식 (8)에 나온 그린 함수의 2번 미분 $\partial^2 g(\bar r, \bar r')/ \partial R^2$은 다음과 같이 계산된다.

                  (9)

점 $\bar r$ = $\bar r'$ 근방 혹은 $s_0'$ 표면에서, 식 (8)의 둘째줄과 셋째줄에 있는 $Z_s$가 곱해진 표면 적분은 식 (3)과 다르게 $0$으로 간다. 왜냐하면 $R \to 0$일 때, $g(\bar r, \bar r')$의 크기는 $\partial g(\bar r, \bar r') \mathbin{/} \partial R$보다 천천히 발산하고, $\bar M_s(\bar r')$ 혹은 $\bar J_s(\bar r') \times \hat n'$의 발산은 전류 및 자류 밀도가 표면에만 있어서 $0$이 되기 때문이다. 식 (6)과 비슷하게 식 (8)을 IPO를 위한 재귀 방정식으로 변환한다.

                  (10)

여기서 $m$ = $0, 1, 2, \cdots$이다.

[참고문헌]
[1] F. Obelleiro-Basteiro, J. L. Rodriguez and R. J. Burkholder, "An iterative physical optics approach for analyzing the electromagnetic scattering by large open-ended cavities," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 43, no. 4, pp. 356–361, Apr. 1995.
[2] 이용희, 진희철, 김경태, "GPU를 이용한 반복적 물리 광학법의 가속화에 대한 연구", 한국전자파학회논문지, 제26권, 제11호, pp. 1012–1019, 2015년 11월.
[3] A. W. Glisson, "Electromagnetic scattering by arbitrarily shaped surfaces with impedance boundary conditions," Radio Sci., vol. 27, no. 06, pp. 935–943, Nov.–Dec. 1992.
[4] J.-W. Rim and I.-S. Koh, "Convergence and accuracy of near-field-corrected iterative physical optics for scattering by imperfectly conducting and dielectric objects," IET Microw. Antennas Propag., vol. 14, no. 10, pp. 999–1005, Aug. 2020.

2022년 8월 3일 수요일

물리 광학(物理光學, Physical Optics)

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물리 광학(物理光學, physical optics, PO) 혹은 PO는 고전적 기하 광학(geometrical optics)빛이 편광(偏光, polarization)을 가진 파동이란 개념을 더해서 전자파의 산란(散亂, scattering)을 더 정확하게 계산하는 방법이다. 계산의 정밀도 관점으로 보면, 기하 광학 $<$ 물리 광학 $<$ 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 순이다. 완전 정확한 맥스웰 방정식의 해법이 있는 현시점에 근사가 심한 기하 광학이나 물리 광학이 필요할까? 현업에서는 기하 광학과 물리 광학의 존재 가치가 크다. 작은 문제에 대해 우리가 원하는 수준까지 정확하게 맥스웰 방정식을 풀 수 있지만, 모든 문제를 맥스웰 방정식에 대입해서 해결할 수는 없다. 대개 파장에 비해 매우 큰 산란체는 맥스웰 방정식으로 해결할 수 없는 경우가 대부분이다. 왜냐하면 구조물을 이산화할 때 생기는 미지수는 3차원 부피 문제에서 $n^3$ 비율로 커지기 때문이다. 여기서 $n$은 한 축당[$x, y, z$중 하나] 이산화에 사용하는 기저(basis)의 개수이다. 경험 법칙(rule of thumb) 관점에서 산란체의 축당 이산화 개수는 대략 $n$ $\approx$ $D / (\lambda/10)$이다. 여기서 $D$는 산란체의 크기, $\lambda$는 매질속의 파장이다. 또한 미지수로 연립 방정식(simultaneous equations)을 구성해서 풀 때 필요한 행렬의 차원(dimension)은 보통 $n^3 \times n^3$이다. 그러면 행렬을 저장하기 위한 공간만 $n^6$이 필요하다. 축당 기저 개수 $n$이 작을 때는 느끼기 어렵지만, 구조물이 파장보다 매우 커지면 저장 공간과 계산 시간이 기하 급수적으로 커진다. 예를 들어, 산란체의 길이 $D$가 $10 \lambda$라면, $n$ = $100$이 되어서 저장 공간은 $10^{12}$개가 필요하다. 계산에 배정밀도 부동 소수점 형식(double-precision floating-point format)을 선택한다면, 공간 하나당 8바이트(byte)가 필요해서 최종 저장 공간은 행렬 하나에 8 TB가 된다. 3차원 부피가 아닌 2차원 표면만 고려하면, 저장 공간은 $n^2 \cdot n^2$ = $n^4$이라서 최종 8 MB만 필요하다. 하지만 $D$ = $100 \lambda$이면, 저장 공간은 다시 8 TB로 확 늘어난다. 따라서 구조물이 매우 큰 경우에는 맥스웰 방정식을 직접 풀기가 불가능해서 기하 광학이나 물리 광학의 적용이 필수적이다.

[그림 1] 구조물에 의해 산란되는 전자기장

고전적(classical) 물리 광학은 파동 개념을 쓰기 때문에 기하 광학보다는 물리에 더 가까운 광 이론이란 개념으로 쓰였다. 하지만 현재는 맥스웰 방정식이란 정답이 있으므로 기존보다  적용 범위를 더 좁혀서, 양자 역학(quantum mechanics)에 쓰는 보른 근사(Born approximation)[1] 혹은 전자파를 위한 키르히호프 근사(Kirchhoff approximation)를 사용하여 산란파를 대충 계산하는 방식을 물리 광학 혹은 PO라 부른다. 보른 근사는 양자 상태(quantum state)를 나타내는 파동 함수(wave function)의 산란파 $U_s$를 정확히 계산하지 않고 입사파 $U_i$와 산란파의 합인 전체파 $U_\text{tot}$를 입사파로 대충 근사화하는 방식이다.[$U_\text{tot}$ = $U_i + U_s$ $\approx$ $U_i$] 보른 근사와 비슷하게, 전자파 산란이 일어나는 경우에 키르히호프 근사는 산란파의 접선 및 법선 성분을 입사파로 바꾸어서 계산한다. 키르히호프 근사를 위해 선택하는 산란파와 입사파의 경계 조건은 키르히호프 경계 조건(Kirchhoff boundary condition)이라 부른다. 대부분의 물리 광학 문제는 완전 자기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC) 상에 유기되는 표면 전류 밀도 $\bar J_s(\bar r)$을 입사 자기장 $\bar H_i(\bar r)$로 근사한다. 즉, PEC에서 키르히호프 경계 조건은 $\hat n \times \bar H_s(\bar r)$ $\approx$ $\hat n \times \bar H_i(\bar r)$이다. 보른 근사 혹은 키르히호프 근사처럼 물리 광학은 연립 방정식을 풀지 않기 때문에 파동의 산란 현상을 매우 빠르게 예측하지만 약간 오차가 있다[2], [3]. 물리 광학의 밑바탕을 이해하기 위해, [그림 1]과 같은 상황에서 PEC에 의해 생기는 산란 자기장 $\bar H_s(\bar r)$을 정확하게 기술한다.

                   (1)

                   (2)

                   (3)

여기서 $s'$는 모든 PEC 표면적, $\hat n$은 PEC 표면에 수직인 단위 벡터, 자기 벡터 포텐셜 $\bar A(\bar r)$에 대한 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)는 $G_A(\bar r, \bar r'; k)$ = $e^{i k R} \mathbin{/} (4 \pi R)$, $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$, $R$ = $|\bar r - \bar r'|$, $\bar r - \bar r'$ = $R \hat R$이다. 원래 $\bar J_s(\bar r)$는 입사와 산란 자기장에 의해 생기지만, 키르히호프 근사에 따라 산란 자기장은 거의 입사 자기장과 같은 $\bar H_s(\bar r)$ $\approx$ $\bar H_i(\bar r)$이라고 가정한다. 이는 기하 광학의 광선이 산란 없이 직선으로 입사하여 PEC에 만드는 전류 밀도와 동일해서 기하 광학 전류 밀도(GO electric current density) $\bar J_\text{GO}(\bar r)$이라고 부른다. 

                   (4)

여기서 $2\bar H_i(\bar r)$ $\approx$ $\bar H_i(\bar r) + \bar H_s(\bar r)$이다. 식 (4)를 식 (3)에 대입해서 다시 정리한다.

             (5)

여기서 $\partial / \partial n'$ = $\hat n' \cdot \bar \nabla'$이다. 빛이 조사되어 물리 광학에 기여하는 PEC 표면 $a_i'$은 $\hat s \cdot \hat n' < 0$ 조건으로 선택한다.[단위 계단 함수로 쓰면 $u(-\hat s \cdot \hat n')$] 여기서 $\hat s$는 전자파의 전력 전달 방향을 나타내는 포인팅 단위 벡터(Poynting unit vector)이다. 근사적으로 유도한 식 (5)조차 복잡하므로, $|\bar r| \gg |\bar r'|$인 원역장 조건을 써서 더욱 간략화한다.

                   (6)

여기서 $\bar r$ = $(r, \theta, \phi)$, $\bar \nabla$ = $i \bar k$ = $ik \hat r$, $\eta$는 매질의 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 그린 함수 $G_A(\bar r, \bar r'; k)$에도 원역장 근사를 적용한다.

                  (7)

여기서 $\psi (\bar r')$은 광선이 PEC 위치 $\bar r'$에 도달할 때 생기는 원점 대비 위상 차이이다.

[그림 2] 삼각화를 이용한 그물망 생성(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 제$m$번 삼각형의 구조

[그림 2]처럼 산란체를 삼각화하여 표면 적분을 유한 합으로 근사함으로써 식 (7)의 마지막식을 더 간단하게 나타낸다.

                   (8)

여기서 $M$은 그물눈의 개수, $u(\cdot)$는 단위 계단 함수(unit step function), $\bar c_m$과 $\Delta a_m$ 각각은 [그림 3]에 있는 제$m$번 그물눈을 구성하는 삼각형의 무게 중심(barycenter)과 면적, $\hat n$은 이 삼각형 면적의 단위 벡터, 삼각형의 면적 벡터는 $\Delta \bar a_m$ = $\Delta a_m \hat n$이다. [그림 2]에 보인 삼각화(三角化, triangulation)는 구조체를 형상화하기 위한 그물망 생성(mesh generation)의 대표적인 방법이다. 물리 광학 계산이 정밀도를 유지하려면, 경험적으로 [그림 3]에 그린 삼각형의 한 변 길이가 $\lambda/10$보다 작아야 한다. [그림 3]에서 제$m$번 삼각형의 무게 중심 $\bar c_m$과 면적 $\Delta a_m$은 좌표계 기반 벡터(vector)로 쉽게 구할 수 있다.

                   (9)

또한 함수 $u(\hat r \cdot \hat n)$은 표면적의 바깥 방향인 $\hat n$ 성분을 가지고 $\hat r$방향으로 전파하는 자기장만 물리 광학의 산란에 기여한다는 뜻이다. 다만 전자파에 조사된 표면적을 선택하는 $u(-\hat s \cdot \hat n')$ 조건과 헷갈리면 안된다. 단위 벡터 $\hat s$는 입사파가 들어오는 방향, $\hat r$은 산란파가 진행하는 방향이다. 즉, 표면적 $\Delta a_m$에 들어오고 나가는 전자파의 방향이 다르기 때문에, $u(-\hat s \cdot \hat n')$과 $u(\hat r \cdot \hat n)$처럼 부호를 바꾸어서 선택한다. 만약 $\bar r$이 $\bar r'$보다 아주 크지 않고 $\bar r'$의 영향을 고려해야 한다면, 식 (8)의 $\bar H_s(\bar r)$과 $\Delta \bar P_m(\bar r)$은 다음처럼 바뀐다.

                   (10)

여기서 $\hat R$은 $\bar r - \bar r'$의 단위 벡터이다.

[그림 4] 산란체를 표면 전류 및 자류 밀도로 등가화

PEC라고 생각한 산란체가 임의의 매질로 일반화된다면, $\mu$와 $\epsilon$이 마음대로 변해도 반사를 계산하는 프레넬 방정식(Fresnel equation)이 필요하다. 키르히호프 근사와 [그림 4]에 소개한 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)에 따라 기하 광학 전류 밀도 $\bar J_\text{GO}(\bar r)$과 자류 밀도 $\bar M_\text{GO}(\bar r)$를 근사화한다.

                   (11)

여기서 $r_p$와 $r_s$는 각각 P편광[혹은 평행 편파, TM파] 및 S편광[혹은 직각 편파, TE파]반사 계수(reflection coefficient)이다. PEC 경우에 $\epsilon_\text{in} \to \infty$로 가서 $r_p$ = $1$, $r_s$ = $-1$이므로, 식 (11)은 식 (4)에 수렴한다. 따라서 전기 원천 $\bar J_\text{GO}(\bar r)$과 자기 원천 $\bar M_\text{GO}(\bar r)$이 만드는 전자기장은 식 (8)과 비슷하게 표현된다.

                   (12)

                   (13)

                   (14)

여기서 $\epsilon_\text{in}$은 산란체 내부의 유전율, $G_F(\bar r, \bar r'; k)$ = $G_A(\bar r, \bar r'; k)$, $(\mathsf{e})$와 $(\mathsf{m})$은 각각 전기와 자기 원천을 의미한다. 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality)을 적용해서 식 (12)를 식 (13)으로 손쉽게 바꿀 수 있다. 최종적으로 임의 매질에 의해 산란되는 전자기장은 다음과 같다.

                   (15)

물리 광학이 좋은 근사이기는 하지만, 기본적으로 기하 광학과 같은 근축 근사(paraxial approximation)이다. 그래서 반사면에 수직이어서 반사가 많이 일어나는 방향에서는 물리 광학이 잘 맞지만, 반사면에 평행하거나 반대편으로 생기는 산란이나 회절(回折, diffraction)은 물리 광학으로 예측할 수 없다.

[참고문헌]
[1] M. Born, "Quantenmechanik der Stoßvorgänge (Quantum mechanics of collision processes)," Zeitschrift für Physik (Magazine for Physics), vol. 38, pp. 803–827, Nov. 1926.
[2] K. M. Siegel, H. A. Alperin, R. R. Bonkowski, J. W. Crispin, A. L. Maffett, C. E. Schensted, and I. V. Schensted, "Bistatic radar cross sections of surfaces of revolution, J. Appl. Phys., vol. 26, no. 3, 297–305, Mar. 1955.
[3] R. G. Kouyoumjian, "Asymptotic high-frequency methods," Proc. IEEE, vol. 53, no. 8, pp. 864–876, Aug. 1965.
[4] I. Gupta and W. Burnside, "A physical optics correction for backscattering from curved surfaces," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 35, no. 5, pp. 553–561, May 1987.
[5] R. Cicchetti and A. Faraone, "Analysis of open-ended circular waveguides using physical optics and incomplete Hankel functions formulation," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 55, no. 6, pp. 1887–1892, Jun. 2007.
[6] X. F. Li, Y. J. Xie, P. Wang and T. M. Yang, "High-frequency method for scattering from electrically large conductive targets in half-space," IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., vol. 6, pp. 259–262, 2007.
[7] 석성하, 물리 광학 방법을 이용한 레이더 단면적 예측에 관한 연구 (Estimation of Radar Cross Section Using Physical Optics), POSTECH 석사 학위 논문, 1997.
[8] A. W. Glisson, "Electromagnetic scattering by arbitrarily shaped surfaces with impedance boundary conditions," Radio Sci., vol. 27, no. 06, pp. 935–943, Nov.–Dec. 1992.

[다음 읽을거리]

2022년 7월 30일 토요일

기하 광학(幾何光學, Geometrical Optics)

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[그림 1] 기하 광학과 렌즈(출처: wikipedia.org)

고전적(classical) 기하 광학(幾何光學, geometrical optics, GO)유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 작도법과 빛의 반사 및 굴절 법칙을 활용해서 [그림 1]처럼 광선(光線, ray)의 움직임을 추적한다[1]. 기하 광학 혹은 GO의 또 다른 이름은 광선 광학(ray optics)이다. 요즘에 와서 연구하는 기하 광학은 균일 평면파(uniform plane wave) 개념과 전력 보존 법칙(conservation of power)으로 광선을 정의하고, 프레넬 방정식(Fresnel equation)으로 광선의 반사와 굴절을 계산하는 방식을 주로 택한다[2]. 이를 위해 현대적 기하 광학에서는 전자기장을 고주파 근사(high-frequency approximation)로 정의한다. 고주파 근사는 아주 높은 주파수에서 점근적으로 잘 맞는 근사 기법이다. 기하 광학에 대표적으로 사용되는 고주파 근사 방정식은 아래에 제시한 룬버그–클라인 점근 전개(Luneburg–Kline asymptotic expansion)이다[2], [3].

                  (1)

여기서 기하 광학은 자성체(magnetic material)를 다루지 않아서 $\mu$ = $\mu_0$, $k$ = $\omega \sqrt{\mu_0 \epsilon}$, 실수 함수(real function)인 $\Psi(\bar r)$은 위치 벡터 $\bar r$에서 정의된 위상 함수(phase function)이다. 룬버그–클라인 점근 전개로 표현한 전자기장 $\bar E(\bar r, \omega), \bar H(\bar r, \omega)$는 광선 광학장(光線光學場, ray-optic field), 무한 급수의 제$n$차 항인 $\bar E_n(\bar r), \bar H_n(\bar r)$은 광선 광학 항(ray-optic term)이라 명한다. 주파수가 아주 높아지면 광선 광학장은 제$0$차 항만 남아서 기하 광학장(geometrical optics or GO field) 혹은 고주파장(high-frequency field) $\bar E(\bar r), \bar H(\bar r)$이 된다.

                  (2)

여기서 $\bar E_0(\bar r), \bar H_0(\bar r)$는 기하 광학 항(geometrical optics or GO term)이다. 

[그림 2] 룬버그 렌즈의 동작 원리(출처: wikipedia.org)

룬버그–클라인 점근 전개를 제안한 룬버그Rudolf Luneburg(1903–1949) 교수는 [그림 2]에 표시한 룬버그 렌즈(Luneburg lens)의 단순해를 만들어서 유명해졌다. 미국인인 룬버그는 독일 이민자라서 이름을 독일식인 뤼네부르크(Lüneburg)라 읽기도 한다. [그림 2]를 자세히 보면, 룬버그 렌즈는 구 표면의 어떤 위치든지 렌즈의 초점(focus)이 되는[혹은 어떤 방향에서 오는 신호든지 구 표면에 집속되는] 신기한 특성을 가지고 있다.
식 (1)에 정의한 고차 광선 광학장과 기하 광학장의 상호 관계를 구하기 위해, 식 (1)을 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 넣고 $\omega$ 차수별로 모은다[2], [4]. 먼저 패러데이의 법칙부터 계산을 시작한다.

                  (3)

여기서 $v$ = $1/\sqrt{\mu_0 \epsilon}$은 매질속의 광속이다. 식 (3)에서 기하 광학 항을 뽑아내서 다시 기술한다.

                  (4)

모든 $\omega$에 대해 식 (4)가 만족되므로, 식 (4)는 $\omega$에 대한 항등식이 되어야 한다. 그래서 광선 광학과 기하 광학 항은 다음과 같은 관계를 이룬다.

                  (5)

여기서 $\eta$ = $\sqrt{\mu_0 / \epsilon}$은 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 비슷하게 암페어의 법칙도 다음 결과를 만든다.

                  (6)

                  (7)

나머지 맥스웰 방정식에도 식 (1)을 대입해서 정리한다.

                  (8)

                  (9)

                  (10)

                  (11)

위상 함수 $\Psi(\bar r)$의 조건을 구하려고 식 (7)의 첫째식에 식 (5)의 첫째식를 대입해서 좌변과 우변을 비교한다.

                  (12)

여기서 $\Psi(\bar r)$는 실수 함수(real function)로 생각한다. 따라서 $\Psi(\bar r)$의 크기는 항상 $1$이라는 아이코날 방정식(eikonal equation)이 유도된다.

                  (13)

아이코날(eikonal)은 아이콘(εικων, eikon)의 독일어 표현이며, 아이콘은 (像, image)을 뜻하는 고대 그리스어이다. 기하 광학 혹은 GO에서 아이코날은 위상 함수 $\Psi(\bar r)$과 동일하다. 예를 들어, 식 (13)을 만족하며 각각 평면, 원통면, 구면을 나타내는 위상 함수는 다음과 같다.

                  (14)

여기서 $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ = $1$이다. 맥스웰 방정식으로 만든 전기장의 파동 방정식(wave equation)에도 식 (1)을 대입해서 아래와 같은 벡터 항등식(vector identity)을 적용한다.

                         (15)

                         (16)

                  (17)

식 (17)의 최종식에서 $\omega$ 차수별로 모든 항이 $0$이라 두면, 다음 등식을 증명할 수 있다.

                  (18)

자기장에 대해서도 당연히 식 (18)과 동일한 결과를 얻는다.

                  (19)

식 (18)과 식 (19)의 둘째식과 셋째식은 파동이 전달하는 전자기장 혹은 전력의 운반 특성을 보여주고 있어서 운송 방정식(transport equation)이라 부른다.
기하 광학장의 전력 흐름은 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector) $\bar S$로 쉽게 구한다.

                  (20)

여기서 $\hat s$는 실수 벡터(real vector)이며 포인팅 단위 벡터(Poynting unit vector: 포인팅 벡터의 단위 벡터)가 된다. 따라서 식 (13)에 따라 크기가 $1$인 $\Psi(\bar r)$의 구배(gradient)는 전자파가 전달하는 전력 방향을 표현하는 단위 벡터 $\hat s$와 같다.

                  (21)

식 (21)을 이용해서 운송 방정식인 식 (18), (19)에 등장하는 요상한 연산자를 보다 쉽게 바꾼다.

                  (22)

식 (22)에서 변경한 미분 연산자는 전력을 전달하는 방향을 따라 변하는 매개변수 $s$에 대한 단순 미분이 된다. 식 (22)의 연산자로 식 (13)의 아이코날 방정식을 다시 쓸 수도 있다.

                  (23)

또한 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2 \Psi(\bar r)$은 $\hat s$의 발산(divergence)인 $\bar \nabla \cdot \hat s$로 계산된다. 벡터 미적분학(vector calculus)으로 $\hat s$를 보면, $\hat s$는 위치 벡터 $\bar r$의 접선 벡터인 $\hat T$가 된다.

                  (24)

여기서 위치 벡터 $\bar r$은 광선을 따라가는 매개변수 $s$의 함수이다. 따라서 $s$가 정해지면 위치 벡터 $\bar r$도 정해지므로, $\bar r$을 $\bar r(s)$로 더 구체화하고 $\Psi(\bar r), \bar E_n(\bar r), \bar H_n(\bar r)$을 $\Psi(s), \bar E_n(s), \bar H_n(s)$로 바꾸어도 무방하다. 식 (24)에 따라 $\bar r(s)$의 2차 미분은 다음과 같이 계산된다.

                  (25)

결국 $\bar r(s)$의 궤적은 매우 간단하게 정해진다.

                  (26)

여기서 $\bar C_0$는 상수 벡터이다. 즉, $s$를 따라갈 때 $\hat s$는 변화가 없기 때문에[∵ 식 (25)에 의해 $d \hat s / ds$는 $0$이어서], 전자파의 전력은 $\hat s$를 따라서 선형적으로 전달된다. 이와 같은 결과가 나온 이유는 $\epsilon$이 전영역에서 동일한 균질 매질(homogeneous medium)을 가정하기 때문이다. 유전율 $\epsilon$ 혹은 굴절률이 위치마다 변하는 비균질 매질(inhomogeneous medium)에서 $\hat s$는 직선이 아닌 곡선으로 변한다. 위상 함수 혹은 아이코날 $\Psi(s)$ = $\Psi(\bar r)$에 대한 식 (23)을 직접 적분한다.

                  (27)

위상 함수는 1차 함수이므로, $s$에 선형적으로 비례하여 증가한다. 즉, 위상 함수는 기하 광학장이 만드는 동위상 파면의 움직임을 표현하고 있다. 또한 전기장 $\bar E_0 (s)$ = $\bar E_0 (\bar r)$에 대한 운송 방정식인 식 (18)에 식 (22)를 적용해서 간략화한다.

                  (28)

전기장의 크기 $|\bar E_0 (s)|$의 변화도 운송 방정식이 관장한다. 전기장은 복소 벡터라서 식 (28)에 켤레 복소 벡터를 내적해서 크기의 제곱을 구한다.

                  (29)

식 (29)의 결과식을 다시 미분해서 $s$에 대해 $|\bar E_0 (s)|$가 움직이는 성질을 얻는다.

                  (30)

식 (28)에 보인 $s$에 대한 1차 선형 상미분 방정식(the first order linear ordinary differential equation)을 풀기 위해서는 전기장의 벡터적 성질을 구해야 한다. 이를 위해 기하 광학 항에 대한 편파 단위 벡터(polarization unit vector) 혹은 전기장 단위 벡터(electric-field unit vector) $\hat e$와 자기장 벡터(magnetic-field unit vector) $\hat h$를 정의한다.

                  (31)

여기서 $\hat e, \hat h$는 모두 복소 벡터(complex vector)이다. 그러면 편파 단위 벡터의 변화율 $d \hat e / ds$를 식 (31)의 첫째식으로 계산할 수 있다.

                  (32)

식 (32)에 식 (28)과 (30)을 대입해서 $d \hat e / ds$ = $0$임을 증명한다.

                  (33)

그러므로 아무리 $s$를 따라 움직여도 $\hat e$는 전혀 바뀌지 않는다. 식 (27), (33)에 따라 식 (2)에 정의한 기하 광학장을 명시적으로 표현한다.

                  (34a)

                  (34b)

여기서 $\bar E_0 (0)$은 $s$에 대해 상수, $A(0)$ = $1$, $A(s)$는 광선이 퍼지는 정도를 나타내는 확산 인자(spreading factor)이다. 식 (34)를 식 (28)에 넣어서 미분 방정식의 해를 얻는다.

                  (35)

식 (35)는 매우 훌륭한 결과이지만 약간 문제가 있다. 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2 \Psi(s)$가 복잡하기 때문에, 기하 광학 항의 해를 식 (35)처럼 공식으로 만들 수 있지만, 답을 명시적으로 구하기 어려운 난관에 빠진다.

[그림 3] 광선 관의 개념

확산 인자 $A(s)$를 가진 기하 광학의 전자기장은 [그림 1]에 그린 직선 같은 광선보다 [그림 3]에 그린 부피를 가진 광선 관(光線ray tube) 형태가 더 적합하다. 광선 관은 축 광선(axial ray)을 따라가지만 부피가 없는 직선과 다르게 단면적을 가지고 있다. 더 쉽게 생각해서 광선 관은 두께를 가진 광선이라 상상할 수도 있다. 광축(optical axis)을 따라 광선 관은 관의 내부에 전자기장을 도파하기 때문에, 전력 밀도가 작아지거나 커질 수 있지만 광선 관이 가진 전력 자체는 항상 일정해서 보존된다.

[그림 4] 구(sphere: 3축 반지름 동일), 회전 타원체(spheroid: 2축만 반지름 동일), 타원체(ellipsoid: 3축 모두 다름)의 모양(출처: wikipedia.org)

정확히 풀기 어려운 식 (35)를 근사화하기 위해 광선 관의 표면적은 구 형태라고 가정한다. 점 전원에서 나온 전자기장은 원역장에서 구면파 모양이라서 이는 괜찮은 근사이다. 이때 포인팅 단위 벡터는 $\hat s$ = $\hat r$이 된다. 그러면 구 좌표계의 발산 연산자를 써서 $\nabla^2 \Psi(s)$를 계산할 수 있다.

                  (36)

여기서 $\bar F$ = $\hat r$ = $(F_r, F_\theta, F_\phi)$ = $(1, 0, 0)$, $r_0$는 $s$ = $0$에서 곡면의 곡률 반경(radius of curvature)이다. 파면을 일반화해서 구면이 아닌 [그림 4]와 같이 각 축의 반지름이 모두 다른 타원체(楕圓體, ellipsoid)라고 가정한다. 그후 구면에 대한 식 (36)을 타원체에 대한 결과로 근사화한다.

                  (37)

여기서 $\rho_1, \rho_2$는 서로 직교하는 좌표축의 곡률 반경이다. 파면의 믿을 만한 근사인 식 (37)을 식 (35)에 대입해서 $A(s)$를 유도한다.

                  (38)

                  (39)

확산 인자 $A(s)$를 정의할 때 사용되는 $G(s)$의 성질을 살펴본다. [그림 3]에 따라 $G(s)$는 임의의 $s$에서 다음 항등식을 만족한다.

                  (40)

여기서 $\phi_1, \phi_2$는 각각 $\rho_1, \rho_2$에 대응하는 독립적인 방위각이다. 광선의 성질에 의해 광선 관의 양쪽 뚜껑을 제외한 영역으로 나가는 벡터[혹은 $\hat s$에 수직으로 나가는 벡터]는 없으므로, 식 (40)을 닫힌 표면 적분으로 쓰고 발산 정리(divergence theorem)를 적용한다.

                  (41)

발산이 $0$인 결과에 벡터 항등식을 사용해서 다시 정리한다.

                  (42)

식 (42)는 $A(s)$에 대한 미분 방정식인 식 (35)와 매우 유사하다.

[그림 5] 광축에 평행한 광선이 구면 거울에 반사되어 만드는 소작 현상(출처: wikipedia.org)

현재까지 유도 과정이 완벽해 보이지만, 식 (39)에서 $s$ = $-\rho_1$ 혹은 $-\rho_2$인 경우에 전기장이 발산하는 문제가 있다. [그림 5]처럼 기하 광학에서 여러 광선이 모여서 광선 묶음의 윤곽선인 포락선(包絡線, envelope)을 만드는 현상[그림 5에서 짙은 파란색으로 보이는 윤곽선]은 불사른다는 뜻인 소작(燒灼, caustic)으로 부른다. 광선이 포락선이 아닌 점으로 모이는 경우에 소작은 바로 불 태우는 점인 초점(焦點, focus)이 된다. [그림 5]에서 광선이 한 곳으로 모이는 점이 소작점(燒灼caustic point)이며, 이 소작점은 구면 거울의 초점이다. 소작 개념으로 생각하면, $s$ = $-\rho_1$ 혹은 $-\rho_2$에서는 소작점이나 소작선(燒灼線, caustic line)이 만들어진다. 따라서 식 (34)는 꼭 소작 영역을 피해서 사용되어야 한다.

[그림 6] 초점 부근에서 광선의 움직임(출처: wikipedia.org)

[그림 6]에 보인 초점과 같은 소작점 혹은 소작선 부근에서는 광선의 파면이 심하게 변한다. 초점에 가까이 갈 때는 파면이 수렴하는 광선(converging ray)이고, 초점에서 멀어지면 발산하는 광선(diverging ray)이 되기 때문이다. 식 (34)에 보인 기하 광학장 $E(s)$는 소작에서 전혀 맞지 않지만, 소작 근방의 특성까지는 포함시키기 위해 곡률 반경 $\rho$에 부호 개념을 추가한다.
  • 곡률 반경 ($+$): [그림 1]처럼 $s > 0$에서 광선이 전진할 때는 파면이 발산한다.
  • 곡률 반경 ($-$): [그림 6]과 같이 $s > 0$이면서 소작을 지나기 전인 조건에서 광선이 전진할 때는 파면이 수렴한다. 광선이 소작을 지난 후 파면은 다시 발산한다.
곡률 반경에 음수를 허락하면 식 (39)에 있는 확산 인자 $A(s)$는 복소수가 될 수 있어서, [그림 7]에 그린 복소 영역의 가지 자름(branch cut)을 이용해서 다가 함수인 제곱근 함수를 다시 정의해야 한다.

[그림 7] 위상 $\phi = \pi$에 생긴 제곱근 함수를 위한 가지 자름

포인팅 단위 벡터 $\hat s$를 따라가는 매개변수 $s$가 [그림 7]의 $x$축보다 약간 위에서 변하면[$s$ = $x + 0i$이며 $x$는 그림 7의 실수값], 소작을 지나기 전의 $s + \rho$는 위상 $\phi$ = $\pi$인 음수라서 $\sqrt{s + \rho}$의 위상은 $\phi/2$ = $\pi/2$가 된다. 여기서 $\rho$는 음인 곡률 반경[$\rho < 0$]으로 가정, $\phi$는 복소 평면에서 $s + \rho$의 위상이다. 광선이 소작을 지나면, $s + \rho$는 양수이므로 위상은 그냥 $0$이다. 이상의 논의를 바탕으로 광선이 소작을 지날 때에 $A(s)$가 변하는 특성을 정리한다.
  • 광선이 진행하는 방향으로 소작을 통과할 때: 광선이 소작을 통과하기 전의 $A(s)$에 $e^{-i \pi/2}$를 곱해서 소작을 통과한 후의 $A(s)$를 계산한다.
  • 광선이 진행하는 방향과 반대로[혹은 거꾸로] 소작을 통과할 때: 광선이 소작을 통과한 후의 $A(s)$에 $e^{i \pi/2}$를 곱해서 소작을 통과하기 전의 $A(s)$를 구한다.
가지 자름으로 제곱근 함수를 확장해서 $A(s)$가 복소 영역에서 해석적이 되도록 기하 광학을 구성하는 방식을 광선 광학적 연속(ray optical continuation)이라 이름 붙인다.

[참고문헌]
[1] 이상수기하광학, 교학연구사, 1985.
[2] D. A. McNamara, C. W. I. Pistorius, J. A. G. Malherbe, Introduction to the Uniform Geometrical Theory of Diffraction, Boston, USA: Artech House, 1990.
[3] R. K. Luneburg, Mathematical Theory of Optics, Providence, USA: Brown University Press, 1944.
[4] R. G. Kouyoumjian, "Asymptotic high-frequency methods," Proc. IEEE, vol. 53, no. 8, pp. 864–876, Aug. 1965.

[다음 읽을거리]