2022년 9월 26일 월요일

다양한 전자장 표현식(Various Electromagnetic Representations)

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실제로 전자장 문제를 풀 때는 각 좌표계에 대한 다양한 전자장 표현식이 필요하다. 현존하는 여러 경우에 대한 전자장 공식을 아래에 상세하게 소개한다.
  • TE파(횡전기 혹은 가로 전기 파동, transverse electric wave): 기준축에 수직한 평면상에만 전기장이 있고 평행한 방향에는 전기장이 없음
  • TM파(횡자기 혹은 가로 자기 파동, transverse magnetic wave): TE파와는 정반대로 기준축에 평행한 자기장은 없고 자기장은 오직 기준축의 단면에만 존재
  • TEM파(횡전자기 혹은 가로 전자기 파동, transverse electromagnetic wave): TE파와 TM파가 합쳐진 개념으로서 기준축에 평행한 방향에는 전자장이 모두 없고, 수직한 방향에만 전자장이 있음; 전송선에 존재하는 기본 파동


   1. 벡터 포텐셜(vector potential)   

[데카르트 좌표계: $z$방향]

여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$이다.

[데카르트 좌표계: $x$방향]

[데카르트 좌표계: $y$방향]

[원통 좌표계: $z$방향]


[구 좌표계: $r$방향]

여기서 $(\nabla^2 + k^2)(A_r / r)$ = $0$, $(\nabla^2 + k^2)(F_r / r)$ = $0$이다.


   2. 전자기장(electromagnetic field)   

[데카르트 좌표계: $z$방향]



여기서 $\nabla_{uv}^2$ = $\frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2}$이다.


   3. TEM파(transverse electromagnetic wave)   

[데카르트 좌표계: $z$방향]

여기서 $\eta$ = $\sqrt{\mu / \epsilon}$이다.


[다음 읽을거리]

2022년 9월 18일 일요일

근역장, 프레넬, 원역장 영역(Near-field, Fresnel, and Far-field Regions)

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[그림 1] 근역장, 프레넬 영역, 원역장의 특성(출처: wikipedia.org)

안테나(antenna)와 같은 복사체(輻射體, radiator)가 전자파를 방출할 때는 전달 거리에 따라 파동의 크기와 위상이 심하게 변한다. 복사체에 매우 가까운 거리는 근역장(近域場, near field), 복사체에서 아주 멀리 떨어지면 원역장(遠域場, far field), 근역장에 맞지 않고 원역장도 아닌 애매한 경우는 프레넬 영역(Fresnel zone)으로 정한다. 다만 이러한 정성적인 개념만으로는 실제 문제에 적용하기가 어려워서, 먼저 원역장의 특성을 이용해 거리별 전자파의 변화 특성을 명확히 정의한다. 예를 들어, 점 전원(point source)에서 나온 파동이 원천에서 아주 멀리 전파되면, 이 파동의 진폭은 거의 고정이고 위상은 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 $e^{-j k R}$로 변한다. 여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$ = $2 \pi / \lambda$, $R$은 안테나에서 관측점까지 거리이다. 그러면 원천에서 얼마나 멀어져야 파동을 원역장으로 대충 생각할 수 있을까? 유한한 크기를 가진 안테나에서 복사된 전자파를 원역장으로 근사할 수 있는 거리는 원역장 조건(far-field condition)이 된다.

[그림 2] 원역장 조건을 정의하기 위한 안테나 구조

[그림 2]는 원역장 조건을 정의하기 위한 임의 안테나 구조를 보여준다. 관측점 $\bar r$은 안테나의 중심에서부터 재고, 원천점 $\bar r'$은 안테나의 특정 위치를 가리킨다. [그림 2]의 구조에 따라 위치 $\bar R$에서 생기는 위상 지연 $kR$은 다음처럼 공식화된다.

                  (1a)

                  (1b)

여기서 $r$ = $|\bar r|$, $r'$ = $|\bar r'|$, $\bar r$ = $r \hat r$, $\Delta \phi$는 원역장과 실제 위상의 차이이다. 위상차 $\Delta \phi$가 최대가 되는 경우는 $r'$ = $D/2$이다. 그러면 원역장으로 간주할 수 있는 최소 거리인 원역장 거리(far-field distance) $r_\text{ff}$가 유도된다.

                  (2)

여기서 $D$는 안테나를 포함하는 원의 최소 직경이다. 만약 $r \ge r_\text{ff}$라면, 원역장과의 위상 오차는 많아야 $\Delta \phi_{\max}$만큼만 생긴다. 이때 $r_\text{ff}$를 명확히 정하려면 반드시 $\Delta \phi_{\max}$를 정해야 한다. 보통은 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$ = $22.5^\circ$로 설정해서 식 (2)를 다시 간략화한다.

                  (3)

식 (3)은 간단한 원역장 기준인 프라운호퍼 거리(Fraunhofer distance)라 명한다.

[그림 3] 가우스 빔의 전파 특성(출처: wikipedia.org)

그런데 많이 숫자 중에서 왜 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$로 둘까? 이를 이해하기 위해 원역장의 특성을 상기한다. 원역장에서는 전달 거리가 증가할 때에 전자파의 진폭은 항상 작아진다. 조건 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$는 거리에 따라 진폭이 축소되는 성질을 항상 보장한다. 왜냐하면 안테나의 복사 특성은 [그림 3]에 소개한 가우스 빔(Gaussian beam)의 전파 경향과 비슷해서 레일리 길이(Rayleigh length or Rayleigh range) $z_R$을 넘어서는 빔은 항상 퍼지기 때문이다.

                  (3)

즉, $\Delta \phi_{\max}$ = $1$ $\approx$ $57.3^\circ$부터 빔이 확산되지만, 더 넉넉하게 원역장 기준을 정하기 위해 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/4$ $\approx$ $0.7854$보다 $\pi/8$ $\approx$ $0.3927$을 선택한다.
근역장에서는 전자기장이 매우 커지거나 심하게 요동을 치고 저장된 에너지가 증가하므로, 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)에 바탕으로 두고 분모에 공통으로 출현하는 $kr$을 기준으로 근역장 거리(near-field distance) $r_\text{nf}$를 정한다.

                  (4)

식 (4)에 따라 $r \le r_\text{nf}$이면 근역장이 되어서 $r$이 작아질수록 전자기장의 크기는 매우 커진다.
위상 지연 $kR$의 근사를 식 (1a)처럼 할 수 있는 경우는 프레넬 영역이라 부른다. 위상 오차에 기반을 두고 프레넬 영역을 세밀하게 정의하기 위해 식 (1a)의 고차 항을 더 고려한다. 안테나 개구(開口, aperture)가 복사하는 방향은 주로 $\bar r' \cdot \hat r$ = $0$일 때가 많아서, 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 써서 식 (1a)의 제곱근을 더 간단히 급수 전개한다.

                  (5)

식 (2)와 비슷하게 프레넬 영역이 시작되는 거리인 프레넬 거리(Fresnel distance) $r_\text{fz}$를 정의한다.

                  (6)

여기서 최대 위상 오차 $\Delta \phi_{\max}$가 생기는 조건은 $r'$ = $D/2$이다. 프라운호퍼 거리의 정의처럼 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$를 쓰면 프레넬 거리는 매우 간단해진다.

                  (7)

식 (5)에 사용한 프레넬 위상(Fresnel phase)의 오차를 더 줄이려고 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/16$ = $11.25^\circ$를 써서 프레넬 거리를 더 정확히 표현하기도 한다.

                  (8)

안테나를 담는 가상 도형을 원이 아닌 정사각형으로 생각해서 $r'$ = $D/\sqrt{2}$와 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/4$를 식 (5)에 대입해도 식 (8)이 나온다. 최종적으로 근역장도 원역장도 아닌 프레넬 영역은 다음과 같이 다양하게 정의될 수 있다.

                  (9a)

                  (9b)

식 (9a)와 (9b)는 각각 근역장 및 프레넬 영역을 직접적인 기준으로 유도한 식이다. 프레넬 거리를 식 (8)로 선택할 경우에 식 (9a)와 (9b)가 같아지는 안테나 크기는 $D$ $\approx$ $\lambda / 2.81$이다.


   1. 근역장 영역(near-field region)   

안테나 혹은 복사체의 근방을 뜻하는 근역장 영역에서 생기는 전자기장의 특성은 다음과 같다.
  • 안테나에 근접할수록 전기장과 자기장이 매우 커지고 파동의 크기와 위상이 심하게 변한다.
  • 원역장으로 복사되는 전자기장보다 안테나에 저장되는 리액턴스(reactance) 성분이 우세하다.
  • 다이폴 안테나(dipole antenna) 종류는 안테나를 구성하는 금속 막대기의 양끝에 전하가 저장되므로, 전기장 성분이 대부분이고 리액턴스 중에서 전기 용량(capacitance)이 많다.
  • 금속 고리에 전류를 연속적으로 흘려서 복사시키는 루프 안테나(loop antenna) 부류는 자기장 성분이 커서 인덕턴스(inductance)가 중심이다.
  • 근역장에 생기는 리액턴스를 최대한 줄여야 임피던스 대역폭(impedance bandwidth)을 넓힐 수 있다. 리액턴스를 줄이는 가장 쉬운 방법은 안테나 크기 늘리기이다.

[그림 1.1] 근역장 안테나 측정 시스템(출처: NSI-MI)

[그림 1.2] 끝이 열린 구형 도파관(출처: NSI-MI)

통신 시스템을 설계할 때에 근역장 특성을 고려할 필요는 없다. 대신 근역장을 적극적으로 사용하는 응용은 [그림 1.1]에 소개한 근역장 안테나 측정(near-field antenna measurement) 혹은 근역장 측정대(near-field range)이다[2]. 근역장 측정에서 전기장 혹은 자기장을 감지하기 위해서 [그림 1.2]와 같은 끝이 열린 구형 도파관(open-ended rectangular waveguide, OERW)을 주로 사용한다.

[그림 1.3] 근역장 안테나 측정을 위한 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[그림 1.3]은 근역장 측정대가 채택하는 데카르트 좌표계를 보여준다. OERW 탐침(probe)은 사전에 계획된 대로 $(x', y', 0)$ 평면을 움직이면서 전기장을 잰다. 이 전기장은 안테나 이득을 가진 OERW로 획득되기 때문에, 안테나 이득이 1인 이상적인 탐침(ideal probe)으로 얻은 결과보다 전기장이 더 크게 측정된다. OERW로 근역장에서 구한 접선 전기장 $\bar E_\text{nf}(\bar r')$ = $E_x \hat x + E_y \hat y$는 표면 자류 밀도 $\bar M_s (\bar r')$으로 바뀐다. 

                  (1.1)

여기서 $\hat n$은 전자파가 표면을 뚫고 진행하는 방향이라서 $\hat z$가 된다. 표면 등가의 원리(surface equivalance principle)그린 함수(Green's function)에 따라 $\bar M_s (\bar r')$가 생성하는 전기장 $\bar E(\bar r)$을 공식화한다.

                  (1.2)

식 (1.2)에 유도한 $\bar E(\bar r)$은 어느 위치에서나 성립하기 때문에, 프라운호퍼 거리를 훨씬 넘게 해서 $kR$을 식 (1a)로 근사한다. 그러면 $\bar E(\bar r)$은 원역장의 전기장 $\bar E_\text{ff}(\bar r)$로 간략화된다.

             (1.3)

여기서 $r \sim R$, $\bar \nabla$ $\sim$ $-j\bar k$ = $-jk \hat r$ = $-jk(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$이다. 근역장의 전기장을 구 좌표계로 바꾼 $\bar E_\text{nf}(\bar r')$ = $E_r \hat r + E_\theta \hat \theta + E_\phi \hat \phi$를 식 (1.3)에 대입해서 $\bar E_\text{ff}(\bar r)$을 구 좌표계의 단위 벡터 $\hat \theta, \hat \phi$로 다시 기술한다.

             (1.4)

식 (1.4)에 등장하는 무한 적분은 2차원 푸리에 변환(2D Fourier transform)이므로, $\bar E_\text{nf}(\bar r')$의 크기가 큰 영역만 선택한 후 FFT(fast Fourier transform)를 이용하면 적분값을 매우 빠르게 계산 가능하다.

                  (1.5)

                  (1.6)

                  (1.7)

여기서 $k_x$ = $k \sin \theta \cos \phi$, $k_y$ = $k \sin \theta \sin \phi$, $|\bar E_p (\theta, \phi)|^2$는 안테나 이득(antenna gain)이다. 따라서 근역장을 탐침으로 측정해서 2차원 푸리에 변환한 결과는 우리가 얻기 원하는 원역장의 복사 패턴(radiation pattern) $\bar E_p (\theta, \phi)$이 된다.


[참고문헌]
[1] K. T. Selvan and R. Janaswamy, "Fraunhofer and Fresnel distances: unified derivation for aperture antennas," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 59, no. 4, pp. 12–15, Aug. 2017.
[2] A. Yaghjian, "An overview of near-field antenna measurements," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 34, no. 1, pp. 30–45, Jan. 1986.

쏘고 튕기는 광선, SBR(Shooting and Bouncing Rays)

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[그림 1] 쏘고 튕기는 광선, SBR의 동작 원리

전자기 광선 추적(electromagnetic ray tracing)은 유용하고 효율적인 고주파 해석 기법이지만, 컴퓨터 그래픽스(computer graphics, CG) 기법을 온전히 채용하면서 정밀도가 높은 전자파 산란 계산까지 포함시키기는 매우 어렵다. 잘 발달된 CG용 광선 추적 알고리즘을 사용하면서 기하 광학(geometrical optics, GO)보다 산란을 더 정확하게 예측하는 물리 광학(physical optics, PO)을 결합시킨 새로운 광선 추적법이 바로 쏘고 튕기는 광선(shooting and bouncing rays, SBR)이다[1]. 쏘고 튕기는 광선은 우리가 광선을 여러 방향으로 쏘고, 광선이 산란체에 튕긴다는 뜻이다. [그림 1]은 SBR의 기본적인 동작 원리를 깔끔하게 보여준다. 기존 전자기 광선 추적처럼 SBR은 기본적으로 GO를 사용한다. 송신기(transmitter, TX)의 송신 안테나(Tx antenna)에서 복사된 송신 광선(Tx ray)이 진행하는 특성과 물체에서 생기는 반사를 모두 GO로 처리한다. 여기서 반사 광선(reflection ray)프레넬 방정식(Fresnel equation)으로 연산한다. 대신 기존 전자기 광선 추적과 구별되게 송신 광선이 물체에 충돌할 때는 충돌된 위치[그림 1에서 파란색 삼각형]에서 수신기(receiver, Rx)로 가는 수신 광선(Rx ray)을 발사하며 PO 계산을 한다. 구체적으로, 이 수신 광선이 장애물에 막히지 않고 수신 안테나(Rx antenna)까지 가면, 키르히호프 근사(Kirchhoff approximation)에 바탕을 둔 PO를 이용해 충돌 위치에서 수신 안테나로 가는 산란장(scattered field)을 정밀하게 도출한다.
SBR에 사용하는 광선 추적 엔진은 NVIDIA에서 만든 OptiX를 주로 사용한다[2]. OptiX는 기초적인 광선 추적 연산을 제공하기 때문에, 매우 간단하게 SBR을 코드 형태로 구현할 수 있다. 전자기 광선 추적을 기초로 해서 OptiX로 SBR 코드를 구성하는 방식을 설명한다.

  • 광선 발생 프로그램(Ray Generation Program)
광선 발생 프로그램은 기존 전자기 광선 추적과 동일하게 구성한다. 송신 안테나가 쏘는 전기장은 다음처럼 공식화한다.

                  (1)

                  (2)

여기서 $\bar E_p(\theta, \phi) \sim \bar E_p(\bar r)$은 벡터식 복사 패턴(vectorial radiation pattern), 구 좌표계의 성분 $(\theta, \phi)$의 중심은 송신 안테나, $\bar E_g$는 기하 광학장(geometrical optics field)전기장 계수(E-field coefficient)이다. 식 (2)를 사용해서 얻은 $\bar E_g$를 송신 광선의 광선당 자료(per-ray data, PRD)에 저장시킨다.

  • 최근접 명중 프로그램(Closest-hit Program)
광선이 물체에 부딪히면 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)등가 전류 및 자류 밀도, $\bar J_\text{GO}$와 $\bar M_\text{GO}$를 구한다. 이 전류 및 자류 밀도를 적분해서 수신 안테나에 유기되는 전기장을 PO로 획득한다. 적분 계산을 회피하기 위해, 물체를 삼각화(triangulation)해서 매우 작은 크기를 가진 물체 삼각형으로 된 그물망을 생성(mesh generation)한다.

                   (3)

                   (4)

                   (5)

                   (6)

                   (7)

여기서 $M$은 특정한 물체 삼각형에서 산란파를 구할 때 쓰는 미소 삼각형의 개수[간략화를 위해 보통 $M$ = $1$로 설정], 나머지 매개변수는 물리 광학의 관계식에 나오며, 수신 광선이 수신 안테나로 갈 때 장애물에 의한 방해를 받지 않는다. 따라서 제$q$번 광선이 물체에 산란되어 생긴 수신기의 전기장 $\bar E_q (\bar r_q)$는 다음과 같다.

                   (8)

여기서 $A(t_q)$는 제$q$번 송신 광선의 확산 인자(spreading factor), $\rho$는 송신 안테나 위치에서 구면파의 곡률, $t_q$는 제$q$번 송신 광선이 물체 삼각형에 충돌할 때까지 경로 길이(path length), $\bar r_q$는 물체 삼각형에서 수신 안테나로 가는 위치 벡터, $(\vartheta_q, \varphi_q)$는 수신 안테나를 중심으로 한 구 좌표계의 성분, $\bar L_\text{eff}(\vartheta_q, \varphi_q)$는 벡터식 유효 길이(vectorial effective length)이다. 또한 최근접 명중 프로그램에서는 송신 광선이 물체에 반사된 결과인 반사 광선을 생성하고, 이 반사 광선을 마치 송신 광선처럼 다시 재귀적으로 사용해 광선 추적을 다시 진행한다. 이 광선을 모두 추적해서 반환된 반사 광선의 전기장을 $\bar E_{rq}(s_{rq})$로 표기한다. 그러면 수신 안테나에 생기는 수신 전기장 $\bar E_\text{rx}$는 최종적으로 다음처럼 합산된다.

                   (9)

여기서 $Q$는 광선 발생 프로그램이 만든 전체 광선 개수이다.

기존 전자기 광선 추적에서 심각한 문제였던 퐁 반사 모형(Phone reflection model)내적 $\hat R \cdot \hat V$를 SBR은 PO 방식으로 손쉽게 해결한다. 이로 인해 SBR은 CG용 광선 추적의 병렬화 기반 가속화를 사용하면서도 전자파의 다양한 산란 공식을 사용해 정밀한 전파 특성 예측이 가능하다.   

[참고문헌]
[1] H. Ling, R.-C. Chou, and S.-W. Lee, "Shooting and bouncing rays: calculating the RCS of an arbitrarily shaped cavity," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 37, no. 2, pp. 194–205, Feb. 1989.
[2] C. Y. Kee and C. Wang, "Efficient GPU implementation of the highfrequency SBR-PO method," IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., vol. 12, pp. 941–944, 2013.