단체의 성질(Simplex)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "단체의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 유클리드 기하학

2. 초구의 성질

[그림 1] 다양한 차원에 형성한 단체(출처: wikipedia.org)

3차원 구(球, sphere)를 일반화한 초구(超球, hypersphere)는 그리거나 시각적으로 상상할 수 없기 때문에 수학적 논리와 유추로 탐구한다. 초구와 비슷한 방식으로 삼각형 혹은 사면체(四面體, tetrahedron)를 임의 차원으로 확장한 다면체는 단체(單體, simplex)라고 부른다. 예를 들어, $n$차원 단체(n-simplex)는 $n$차원에 만든 사면체의 일반화이다. 여러 차원에서 정의한 단체의 모습은 [그림 1]에 그려져 있다. 이름이 풍기는 의미처럼 단체는 간단함에서 나온 말이지만[단체보다는 간단체가 더 직관적인 번역], 단체를 다루기는 결코 쉽지 않다.

   

[그림 2] 직각 삼각형과 삼직각 사면체(출처: wikipedia.org)

우리가 $n$차원 단체를 상상할 때는 [그림 2]와 같은 직각 삼각형(right triangle)이나 삼직각 사면체(trirectangular tetrahedron)가 출발점이다. [그림 2]를 잘 관찰하면, 도형 그리기의 출발 위치는 다른 선과 직각이 형성되는 점인 단체의 기준점이 된다. 단체의 기준점에서 각 좌표축으로 그린 선분은 항상 서로 다른 선분에 수직이 된다. 이 개념은 다차원으로 쉽게 확장된다. 다차원 공간에서 기준점을 $\bar s$ = $(s_1, s_2, \cdots, s_n)$로 놓는다. 단체의 기준점 $\bar s$에서 출발하여 서로 수직이 되는 선분을 변으로 가진 다면체가 바로 $n$차원 단체이다. 보통은 간단하게 변 길이를 $|\bar x_i - \bar s|$ = $a$로 둔다. 여기서 $\bar x_i$는 단체를 구성하는 $i$번째 꼭지점, $\bar s$는 단체의 꼭지점이면서 기준점, $i$ = $1, 2, \cdots, n$이다. 기준점에서 다른 꼭지점까지 각도는 항상 직각이므로, $n$차원에 정의한 단체의 부피 $V_n$은 정적분으로 쉽게 표현된다.

                  (1)

여기서 $a$는 기준점에서 다른 꼭지점까지 길이이다. 예를 들어, 1차원 단체는 부피[혹은 길이] $a$ = $|\bar x_1 - \bar s|$를 가진다. 2차원 단체의 부피[혹은 면적]는 $\bar x_1, \bar x_2, \bar s$가 만드는 직각 삼각형의 면적이다. 즉, $\bar x_1 - \bar s$인 벡터에 수직인 방향[$\bar x_2 - \bar s$에 평행인 방향]으로 쌓아올린 면적이 단체의 부피 $V_2$이다. 마찬가지로 2차원 단체가 만드는 평면에 수직인 $\bar x_3$를 새로 정의해서 $\bar x_3 - \bar s$인 방향으로 만든 면적의 합을 $V_3$으로 정의한다. 또한 식 (1)에 등장한 계승(factorial) $n!$은 $n$차원에서 직육면체가 아닌 사면체 기준의 일반화를 뜻한다. 왜냐하면 직육면체의 일반화한 부피는 $a^n$이기 때문에 $n!$은 단체의 공간적 특성을 나타낸다. 꼭지점별로 변의 길이가 바뀔 때는 일차 함수 $y$ = $ax + b$에 따라 기준점에 대한 각 방향의 높이 변화를 $y$ = $m_i x$로 정한다. 그러면 식 (1)은 서로 다른 높이를 가진 단체의 부피로 변형된다.

                  (2)

여기서 $h_i$는 기준점 $\bar s$에 대한 꼭지점 $\bar x_i$의 높이인 $m_i a$이다.

[그림 3] 정사면체의 회전 모습(출처: wikipedia.org)

정삼각형(regular triangle)이나 정사면체(regular tetrahedron)를 일반화한 정칙 단체(regular simplex)도 존재한다. 정삼각형처럼 정칙 단체는 $n$차원에서 모든 꼭지점 사이의 거리가 일정하다. 또한 정칙 단체를 구성하는 꼭지점은 $n+1$개이다. 꼭지점중에서 $n$개를 뽑아 $\mathbb{R}^n$에서 초평면 $H$(hyperplane)을 만들 수 있다. 꼭지점 집합 $X$ = $\{\bar x_1, \bar x_2, \cdots, \bar x_n \}$으로 만드는 초평면 $H$는 $\mathbb{R}^{n-1}$ 공간을 만든다. 여기서 정칙 단체의 성질에 따라 $|\bar x_i - \bar x_j|$ = $1$로 설정한다. 초평면에 수직인 벡터를 만들기 위해 중심점 $\bar c$를 먼저 정의한다. 정사면체의 높이도 아래면 삼각형의 중심에 수직인 방향으로 만들어지므로, 정칙 단체의 높이 방향도 초평면의 중심에 수직하다고 가정한다[1].

                  (3)

중심점 $\bar c$에서 각 꼭지점 $\bar x_i$까지 가는 벡터를 $\bar a_i$ = $\bar x_i - \bar c$로 두면, 다음 벡터 관계식이 성립한다.

                  (4)

식 (4)의 셋째식을 제곱하고 각 식을 $j$에 대해 더해서 $|\bar a_i|^2$을 새롭게 정한다[1].

                  (5)

식 (5)에서 유도한 최종식의 우변은 $i$에 관계가 없기 때문에 $|\bar a_i|^2$은 $i$에 대해 상수이다. 따라서 $|\bar a_i|$는 다음과 같이 간략화된다.

                  (6)

마지막으로 초평면에 수직인 점 $\bar a_{n+1}$ = $\lambda \hat n$을 구한다. 여기서 $\lambda > 0$, $\hat n$은 초평면에 수직인 단위 벡터 혹은 평면의 법선 벡터이다. 정칙 단체의 정의에 의해 $|\bar a_{n+1} - \bar a_i|$ = $1$, $\bar a_{n+1} \cdot \bar a_i$ = $0$이 성립한다. 여기서 $i$ = $1, 2, \cdots, n$이다. 따라서 $\bar a_{n+1}$의 크기 $\lambda$가 다음과 같이 구해진다.

                  (7)

식 (7)에 의해 정칙 단체 구성에 필요한 마지막 점인 $\bar x_{n+1}$이 간단하게 유도된다.

                  (8)

식 (6)은 $n$차원 정칙 단체의 높이 $h_n$에 해당하므로, $n$차원 정칙 단체의 부피 $V_n$은 $V_{n-1}$과 $h_n$의 곱에 비례하고 식 (2)에 의해 $n$으로 나누어진다.

                  (9)

여기서 $n!$은 식 (1)과 (2)처럼 다차원 사면체의 성질을 나타낸다. 만약 변의 길이가 $a$라면, 식 (9)는 다음과 같이 변형된다.

                  (10)

식 (10)은 정삼각형의 면적과 정사면체의 부피가 서로 연관되는 특성을 보여준다. 또한 정사면체 부피의 성질을 확장해서 우리가 상상하기 어려운 다차원 정칙 단체의 부피까지도 식 (10)은 잘 보여주고 있다.

[참고문헌]

[1] F. Lazebnik, "On a regular simplex in $\mathbb{R}^n$," University of Delaware, USA, 2001. (방문일 2021-11-05)

[다음 읽을거리]

1. 테일러 급수

초구의 성질(Hypersphere)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "초구의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원의 방정식

2. 구의 방정식

3. 평면의 방정식

[그림 1] 다차원에서 정의된 초구의 시각적 표현(출처: wikipedia.org)

초구(超球, hypersphere)는 4차원 이상에서 정의되는 구의 일반화된 대상체를 의미한다. 초구의 중심이 원점에 있는 경우, $n$차원에서 초구의 방정식은 다음과 같다.

                  (1)

여기서 $\bar r$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$, $r$은 초구의 반지름이다. 식 (1)을 변형해서 중심이 원점에서 $\bar c$ = $(c_1, c_2, \cdots, c_n)$으로 이동된 초구의 방정식도 얻는다.

                  (2)

일반화된 구를 표현하는 말로 초구 대신 $n$차원 구(n-sphere)를 쓸 수도 있다. 예를 들어, 0차원 구는 점, 1차원 구는 지름, 2차원 구는 원(circle), 3차원 구가 흔히 말하는 구, 4차원 이상의 구는 초구이다.

구 좌표계에 나오는 방위각(azimuth) $\phi$와 극고도각(polar angle) $\theta$의 관계에서 유추하여 $n$차원 구 좌표계의 각도 $\varphi_n$을 한 단계 낮은 $n-1$차원의 구 반지름 $r_{n-1}$과 각도 $\varphi_{n-1}$로 표현할 수 있다. 차원을 낮추는 재귀 과정은 다음과 같이 계속 반복된다.

                  (3)

여기서 $x_i$는 $n$차원에서 $i$번째 좌표 성분, $r_i$는 $i$차원의 구 반지름, $0 \le \varphi_i \le \pi$, $(x, y, z)$ = $(x_1, x_2, x_3)$, $\varphi_1$ = $0$ 혹은 $\pi$, $\phi$ = $\pi/2 - \varphi_2$, $\theta$ = $\varphi_3$이다. 1차원 각도 $\varphi_1$이 전체 각도 범위에서 변하지 못하고 $0$ 혹은 $\pi$만 가능한 이유는 1차원인 경우 $x_1$ = $\pm r$이기 때문이다. 또한 식 (3)에 따라 반지름 $r_i$를 곱 기호로 나타낸다.

                  (4)

여기서 $r_n$ = $r$, $r_i^2 + x_{i+1}^2$ = $r_{i+1}^2$이 성립한다. 원의 반지름과 호의 길이에 대한 관계 $l$ = $r \theta$를 일반화해서 $n$차원 구의 표면적 $S_n$을 정의한다.

                  (5)

여기서 $B(x, y)$는 베타 함수(beta function), 삼각 함수 거듭제곱의 적분도 이용한다. 추가적으로 $S_n$을 양파 껍질 적분(onion skin integration)해서 $n$차원 구의 부피 $V_n$도 유도한다.

                  (6)

차원 $n$이 $2$ 혹은 $3$이면, $S_n$과 $V_n$은 각각 통상적인 원과 구의 표면적[원이면 둘레 길이]과 부피[원이면 당연히 면적]가 된다. 식 (5)와 (6)은 하나의 공식이므로, 차원을 더 낮추어 1차원과 0차원이 되게 할 수도 있다. 식 (1)에 의해 $x_1$ = $\pm r$이며 1차원이 변하는 범위는 선이다. 따라서 1차원의 부피 $V_1$은 $x_1$이 변하는 최대 길이인 지름 $2r$이 된다. 부피 $V_1$을 양파 껍질처럼 벗긴[혹은 기울기 역할을 하는] 표면적 $S_1$은 숫자 $2$이다. 또한 식 (3)에 따라 0차원은 반지름 $r_0$ = $0$, $x_0$ = $0$이다. 그래서 0차원 부피는 점이 되므로, 반지름과 상관없이 $V_0$ = $1$이 타당하다. 0차원의 표면적은 당연히 존재하지 않아서 자연스럽게 $S_0$ = $0$이다.

[다음 읽을거리]

1. 단체의 성질

평면의 방정식(Equation of a Plane)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "평면의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터

평평한 면을 나타내는 평면(平面, plane)은 기본 개념이 아주 쉽지만 수학 공식으로 평면을 표현하려면 어려움이 크다. 3차원 공간의 평면을 공식화하는 방법은 많이 있지만, 고급 개념인 벡터(vector)를 쓰면 평면의 방정식이 바로 얻어진다.

[그림 1] 3차원 공간 상의 평면 모습(출처: wikipedia.org)

벡터 개념으로 평면의 방정식을 유도하기 위해 [그림 1]과 같은 그림을 상상한다. 평면 상에 존재하는 임의의 점을 $\bar r$ = $(x, y, z)$, 우리가 위치를 알고 있는 평면 상의 고정된 점은 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이라 쓴다. 그러면 $\bar r$과 $\bar r_0$이 만드는 벡터는 평면에 항상 수직인 법선 벡터(normal vector) $\bar n$과의 벡터 내적(inner product)이 항상 0이다.

                  (1)

여기서 $\bar n$ = $(a, b, c)$이다. 결과적으로 식 (1)은 법선 벡터 $\bar n$을 가진 평면을 위한 대수 방정식이 된다.

식 (1)에 제시한 평면의 방정식을 이용해 3차원 곡면의 접평면(接平面, tangent plane)도 정의할 수 있다[1]. 구배(gradient) 연산자를 쓰면, 임의의 곡면 $f(x, y, z)$ = $0$에 대한 접평면의 방정식을 쉽게 유도할 수 있다.

[그림 2] 구에 접하는 평면 혹은 접평면(출처: wikipedia.org)

[접평면의 방정식]

곡면 $f(x, y, z)$ = $0$ 위의 점 $\bar r_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$에 접하는 평면의 방정식은 다음과 같다.

                  (2)

[증명]

구배는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향이므로, $\bar \nabla f$는 자동적으로 곡면의 법선 벡터와 평행하게 된다. 따라서 $\bar n$ = $\bar \nabla f$를 식 (1)에 대입해서 정리하면 식 (2)가 바로 얻어진다.

______________________________

만약 곡면을 $z$ = $f(x, y)$로 표현하면, $F(x, y, z)$ = $f(x, y) - z$ = $0$으로 생각해서 식 (2)에 대입한다. 그러면 $z$ = $f(x, y)$의 접평면의 방정식도 얻을 수 있다.

             (3)

여기서 $z_0$ = $f(x_0, y_0)$이다.

[그림 3] 점과 평면 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리처럼 점과 평면 사이의 거리를 유도할 때도 벡터 개념이 매우 유리하다.

[점과 평면 사이의 거리(distance from a point to a plane)]

점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 직선 $ax+by+cz+d = 0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같다.

                              (4)

여기서 점과 평면 사이의 거리는 최단 거리 혹은 수직인 거리로 정한다.

[증명]

[그림 3]에 있는 평면의 방정식 일반형 $ax+by+cz+d$ = $0$을 바꾸어서 식 (1)과 같은 평면의 방정식 표준형 $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)$ = $0$을 만든다. 여기서 법선 벡터는 $\bar n$ = $(a, b, c)$, $(x_1, y_1, z_1)$은 평면 위의 점이다. 점과 직선 사이의 거리처럼 벡터 $\bar n$과 $\bar u$ = $(x_0, y_0, z_0) - (x_1, y_1, z_1)$ 사이의 내적을 계산해서 식 (4)를 증명한다.

                              (5)

______________________________

우리가 고려하는 평면은 3차원 공간에 있지만, 식 (1)과 (2)를 보면 3차원보다 큰 다차원 공간의 평면도 가능할 것 같다. 예를 들어, 식 (1)에 따라 $n$차원 공간에 존재하는 평면의 방정식은 다음처럼 쓸 수 있다.

                              (6)

여기서 $\bar n$ = $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$, $\bar r$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$, $\bar r_0$ = $(b_1, b_2, \cdots, b_n)$이다. 평면을 일반화시킨 기하학적 대상체는 초평면(超平面, hyperplane)이라 부른다. 일반적으로 초평면은 현재 물체가 놓인 $n$차원보다 하나만큼 차원이 작은 $n-1$차원 공간을 뜻한다. 식 (6)에 의하면, 어떤 좌표 성분 하나는 다른 모든 좌표 성분으로 표현되어서 선형 종속(linear independence)이 된다. 따라서 식 (6)은 $n$차원보다 하나 작은 $n-1$차원을 나타내므로 초평면이 된다. 초평면 개념을 식 (4)에 적용할 수 있다. 벡터와 내적을 $n$차원으로 확장해서 $n$차원 공간의 점 $\bar y$ = $(y_1, y_2, \cdots, y_n)$과 초평면 사이의 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.

                              (7)

여기서 $\bar r_0$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$은 평면 위에 있다. 식 (7)을 섬세하게 음미하면, 현실에서 만나거나 상상할 수 없는 $n$차원 공간을 기하학적으로 자유롭게 다룰 수 있게 하는 수학적 추상화의 힘을 느낄 수 있다.

[참고문헌]

[1] M. Corral, Tangent Plane to a Surface, Vector Calculus, Schoolcraft College, Jan. 2021.

[다음 읽을거리]

1. 구의 방정식

2. 초구의 성질