[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 조화 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 구면 조화 함수의 다양한 모양(출처: wikipedia.org)
잘 알려진 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 시작해 구면 조화 미분 방정식(spherical harmonic differential equation)을 도출한다. 구면 조화 미분 방정식의 해는 구 표면의 특성을 결정짓는 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_n^m(\theta, \phi)$가 된다.
(1)식 (1)은 $\theta$방향에 대한 특성만 가지고 있어서 식 (1)의 해는 $\Theta(\theta)$로 놓는다. 또한 파동 방정식(wave equation) 관점에서 $\theta$에 대한 식 (1)은 $m^2$을 통해 또 다른 좌표축 $\phi$와 연결된다.
(2)식 (2)에 $\Phi(\phi)$를 곱하고 $y$ = $\Theta(\theta) \Phi(\phi)$로 두어서 구면 조화 미분 방정식을 얻는다.
(3)
(3)여기서 $P_n^m(\cos \theta)$는 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)이다. 구면 조화 함수의 계수는 자기 자신에 대한 내적이 1이 되도록 선택한다. 구면 조화 미분 방정식을 살짝 바꾸어서 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$을 포함하게 바꿀 수도 있다.
(4)
(5)여기서 $\partial Y_n^m(\theta, \phi) / \partial r$ = $0$이다.
구면 조화 함수는 구 좌표계(spherical coordinate system)에서 포텐셜(potential)이나 파동(wave)을 다룰 때 꼭 필요한 함수라서 아주 오래전부터 맹렬하게 연구되었다. 구면 조화 함수를 구성하는 르장드르 함수는 중력 포텐셜(gravitational potential)을 연구하기 위해 1782년르장드르 30세, 라플라스 33세, 조선 정조 시절에 르장드르Adrien-Marie Legendre(1752–1833)와 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)가 거의 동시에 제안했다.[르장드르가 라플라스보다 약간 더 빨리 발표했다.] 구면 조화 함수에 대한 라플라스의 기여를 강조하기 위해 $Y_n^m(\theta, \phi)$를 라플라스의 구면 조화 함수(Laplace's spherical harmonics)라 부르기도 한다. 르장드르와 라플라스의 머리에서 시작된 구면 조화 함수는 현재까지 꾸준하게 연구되는 매우 중요한 물리 함수이다.
1. 기본(basics)
[정의]
(1.1)
(1.1)[차수와 계수의 관계]
(1.2)[증명]
구면 조화 함수의 정의인 식 (3)에 $P_m^{\pm m}(\theta)$ 결과식을 넣어서 정리한다.
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(1.3)[증명]
(1.4)
(1.5)
식 (3)에 켤레 복소수(complex conjugate)를 취하고 음의 계수 혹은 계층수를 가진 버금 르장드르 함수의 정의를 적용한다.
(1.4) (1.5)______________________________
[그림 1.1] 구 좌표계에서 회전한 단위 벡터
[좌표 불변성(coordinate invariant)] [1]
(1.6)
(1.6)[증명]
(1.7)
2. 함수 표현식(function representation)
(2.1)
(2.3)
식 (2.2)와 (2.3)의 결과를 비교해서 계수 $a_{nm}, b_{nm}^0$의 관계를 확정한다.
(2.4)
(2.5)
식 (2.5)를 식 (2.4)에 대입하면 증명이 완성된다.
(2.6)
(2.7)
(2.8)
고유 함수(eigenfunction) $Y_n^m(\theta, \phi)$가 가진 완비성(completeness)으로 인해 임의 함수를 $Y_n^m(\theta, \phi)$에 대한 무한 급수로 표현할 수 있다.
(1.7)함수 $Y_n^m(\gamma, \beta)$의 특성을 이해하기 위해, 각도 $\gamma, \beta$를 정의한 단위 벡터 $\hat n'$을 움직여 $\hat n'$ = $\hat z$로 둔다. 그러면 $\gamma$ = $\theta$가 되어 $Y_n^m(\gamma, \beta)$는 고유치가 $n(n+1)$인 식 (5)를 만족하므로, 식 (1.7)에서 차수는 $l$ = $n$만 가능하다. 그 다음에 $\hat n'$을 임의의 다른 위치로 움직이더라도 고유치 $n(n+1)$은 변하지 않는다. 왜냐하면 라플라시안 $\nabla^2$은 텐서량이라서 좌표 불변성이 있고, $\hat n'$은 반지름 $r$이 같은 조건으로 움직이기 때문이다. 따라서 $\hat n'$의 위치에 관계없이 $Y_n^m(\gamma, \beta)$는 항상 고유치 $n(n+1)$를 가진 식 (5)의 해이므로, 식 (1.6)처럼 차수는 $l$ = $n$만 될 수 있다.
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2. 함수 표현식(function representation)
[덧셈 정리(addition theorem)] [3]
(2.1)여기서 각 매개변수는 [그림 1.1]에 정의되며, $\hat n'$은 고정된다고 가정한다.
[증명]
(2.2)
함수 $Y_n^0(\theta, \phi)$를 $Y_n^m(\gamma, \beta)$로도 다시 기술한다.
식 (1.6)에 따라 $P_n(\cos \gamma)$를 $Y_n^m(\theta, \phi)$의 합으로 나타낸다.
(2.2) (2.3) (2.4)마지막으로 [그림 1.1]에 나온 단위 벡터 $\hat n, \hat n'$을 일치시켜서 $\gamma$ = $0$으로 만든 후에 식 (2.3)의 첫째식을 계산한다.
(2.5)______________________________
식 (2.1)에서 $\cos \gamma$를 $x, x'$으로 바꾸어 쓸 수 있다.
(2.6)여기서 $x$ = $\cos \theta$, $x'$ = $\cos \theta'$, $\varphi$ = $\phi - \phi'$이다.
[평면파 전개(plane-wave expansion) 혹은 레일리 전개(Rayleigh expansion)]
(2.7)여기서 사용하는 좌표계는 [그림 1.1]이다.
[증명]
르장드르 함수로 구한 평면파 전개식에 덧셈 정리인 식 (2.1)을 대입해서 정리한다.
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[구면 조화 함수의 계수 합]
(2.8)[증명]
식 (2.1)에 $\gamma$ = $0$을 넣어서 간략화한다.
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3. 특정값(specific value)과 극한(limit)
(3.1)[증명]
함수값 $P_n^m(1)$은 $m$ = $0$인 경우를 제외하고는 모두 0이고, $P_n^0 (1)$ = $1$이라서 식 (3.1)에 크로네커 델타(Kronecker delta)가 나온다.
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4. 정적분(definite integral)
[구면 조화 함수의 직교성(orthogonality of spherical harmonics)]
(4.1)[증명]
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[참고문헌]
[1] R. S. Maier, "Associated Legendre functions and spherical harmonics of fractional degree and order," Constr. Approx., vol. 48, no. 2, pp. 235–281, Oct. 2018.
[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.
[다음 읽을거리]
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