2020년 11월 28일 토요일

라돈 변환(Radon Transform)

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[참고문헌]
[1] J. Radon, "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten (On the determination of functions by their integral values along certain manifolds)," Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig (Reports on the Proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences in Leipzig), vol. 69, pp. 262–277, Apr. 1917. (In German) (방문일 2020-11-28)
[2] 박미경, 이의택, "Computed Tomography에 의한 절편 영상의 추정", 전자통신동향분석, 제12권, 제6호, pp. 50–57, 1997년 12월.

2020년 11월 15일 일요일

변형 베셀 함수(Modified Bessel Function)

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[그림 1] 제1종 변형 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

기존 베셀 함수(Bessel function)의 입력 변수(argument)를 실수에서 순허수로 바꾼 함수는 변형 베셀 함수(modified Bessel function)라고 부른다. 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$를 바탕으로 제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the first kind) $I_\nu (x)$를 다음처럼 정의한다.

                  (1)

제1종 변형 베셀 함수가 알파벳 I로 시작하는 이유는 허수 입력 변수(imaginary argument)를 강조하기 위해서이다[1]. 식 (1)과 같은 다소 복잡한 정의가 필요한 이유는 $J_\nu (x)$의 무한 급수(infinite series) 표현식에서 찾을 수 있다.

                      (2)

식 (2)를 식 (1)에 대입해서 깔끔하게 정리해본다.

                      (3)

베셀 함수에 순허수를 대입한 결과인 식 (3)의 우변은 신기하게도 다시 실수가 된다. 즉 식 (1)처럼 정의하면, 순허수를 $J_\nu (x)$의 입력 변수에 대입하더라도 $I_\nu (x)$의 함수값은 실수가 되어서 편리하다.
식 (4)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)에서 $x$ 대신에 $ix$로 치환하면, 변형 베셀 함수를 위한 미분 방정식인 식 (5)도 유도할 수 있다.
 
                      (4)

                      (5)

[그림 2] 제2종 변형 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind)도 제2종 베셀 함수 $N_\nu (x)$를 이용해서 식 (1)과 비슷하게 정의할 것 같다. 하지만 우리 예상을 깨고 $N_\nu (x)$가 아닌 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kine) $H_\nu^{(1)}(x)$를 바탕으로 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (x)$를 정의한다.

                      (6)

여기서 $K_\nu (x)$는 맥도날드 함수(Macdonald function)라고도 한다[2]. 제2종 베셀 함수를 $K_\nu (x)$의 정의에 사용하지 못하는 이유는 두 가지 때문이다. 첫째는 $N_\nu (ix)$의 함수값에 임의의 복소 상수를 곱해도 실수값이 되지 않는다. 둘째는 입력 변수가 순허수인 경우 $J_\nu (ix)$와 $N_\nu (ix)$의 점근식이 모두 같은 모양으로 발산하기 때문에 서로 독립이 되지 않는다. 이로 인해 $K_\nu (x)$에 대해 식 (6)과 같은 독특한 정의를 도입한다. 더 구체적으로 보면, 식 (6)의 점근식은 식 (1)과 정반대로 움직여서 지수 함수적으로 감소한다. 그래서 점근식 관점에서 식 (1)과 (6)은 서로 달라서 독립적인 해가 된다.

                      (7)

                      (8)

식 (6)의 함수값이 실수임은 어떻게 증명할까? 제1종 베셀 함수와 한켈 함수의 관계를 이용해서 다음과 같은 전개를 한다.

                      (9)

제1종 변형 베셀 함수가 실수이기 때문에, 식 (9)의 마지막식도 실수가 된다. 따라서 복소수인 제1종 한켈 함수를 사용하더라도 $K_\nu (x)$는 항상 실수가 된다.
식 (6)의 정의에는 약간 지저분해보이는 상수 $\pi/2$가 있다. 이 상수는 베셀 함수의 역사성을 설명한다. 베셀Friedrich Wilhelm Bessel(1784–1846)은 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$를 통일되게 잘 정의했지만, 정수 차수를 가진 제2종 베셀 함수를 얻는 방법은 여러 수학자에 의해 다양하게 제안되었다[1]. 맨처음 정수 차수의 제2종 베셀 함수 ${\bf Y}_n (x)$를 정의한 사람은 요절한 수학자 한켈Hermann Hankel(1839–1873)이다.

                      (10)

식 (10)을 기반으로 베버Heinrich Martin Weber(1842–1913)는 우리가 흔히 사용하는 $N_n (x)$를 다시 정의했다.

                      (11)

수학자 쉴레플리Ludwig Schläfli(1814–1895)는 식 (11)에 상수 $\pi/2$를 곱해서 다음처럼 사용했다.

                      (12)

여기서 $K_\nu (x)$는 제2종 변형 베셀 함수가 아니고 쉴레플리가 썼던 제2종 베셀 함수이다. 상상하기 쉬운 추측이지만, 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (x)$의 정의는 식 (12)에서 유추해서 상수 $\pi/2$를 포함한다. 상수 $\pi/2$의 의미는 $N_n (x)$의 무한 급수 표현식을 보면 알 수 있다.

                 (13)

즉 식 (9)처럼 $\pi/2$를 곱한 정의는 $x$ = $0$에서 전개한 무한 급수를 간략화시킨다. 하지만 식 (7)과 (8)처럼 점근식의 계수가 달라지는 문제가 있다. 이런 문제는 식 (11)처럼 $\pi/2$를 생략하면 해결된다.
이와 같이 제2종 베셀 함수의 정의는 여러 가지가 있었지만, 제2종 베셀 함수는 식 (11)로 굳어지고 제2종 변형 베셀 함수는 식 (6)을 주로 쓰면서 서로 다른 모양을 가지게 되었다. 다시 말해 제2종 베셀 함수는 제1종 베셀 함수와 점근식을 통일하기 위해 $\pi/2$없이 정의한다. 하지만 제2종 변형 베셀 함수는 간단한 무한 급수 표현식을 위해 오히려 $\pi/2$를 곱해서 사용한다.
제1종 변형 베셀 함수의 입력 변수를 복소수로 확장한 경우는 식 (1)을 약간 변형해서 다음과 같은 새로운 정의를 사용한다.

                      (13)

여기서 $z$는 복소수이다. 다른 베셀 함수와 마찬가지로, 식 (3)에서 유도한 $I_\nu (z)$의 무한 급수 표현식은 $z^\nu$ 항을 가져서 가지 자름(branch cut)은 음의 실수축에 생긴다. 이에 따라 $z$의 편각(偏角, argument) $\operatorname{arg}(z)$은 $-\pi$부터 출발해 한바퀴만 돈다. 또 한가지 고려할 점은 식 (1)에 도입한 제1종 베셀 함수와의 관계이다. 제1종 변형 베셀 함수 $I_\nu (z)$를 정의한 $J_\nu (z)$는 음의 실수축을 연속이 되게 하는 해석적 연결(analytic continuation)에 의해 다음 관계식을 만족해야 한다.

                      (14)

따라서 식 (1) 혹은 식 (13)의 첫째식을 기준으로 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 넘어가면, $iz$는 식 (13)에 의해 음의 실수축을 지나게 된다. 그래서 식 (14)를 이용해 다음과 같은 해석적 연결을 적용해 연속으로 만든다.

                      (15)

결국 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 초과한 경우는 식 (13)의 둘째식을 써야 제1종 베셀 함수의 해석적 연결을 만족하게 된다. 제1종 베셀 함수처럼 $I_\nu (z)/ z^\nu$는 해석적이므로,  식 (14)처럼 $I_\nu (z)$의 해석적 연결은 다음과 같다.

                      (16)

여기서 $m$은 정수이다. 입력 변수를 복소수로 확장한 제2종 변형 베셀 함수의 정의는 다음과 같다.

                      (17)

식 (17)과 (18)에 나온 제1종 한켈 함수의 해석적 연속이 간단해지는 경우는 입력 변수에 $e^{\pi i}$가 있을 때이다.

                      (18)

 따라서 식 (17)의 첫째식을 다음과 같이 변형해서 식 (17)의 둘째식을 유도한다.

                      (19)

편각 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 넘어가면, 식 (17)의 정의역처럼 가지 자름을 염두에 두고 $\operatorname{arg}(z)$의 시작점을 $-\pi/2$로 바꾼다. 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (z)$의 해석적 연속은 식 (9)와 (16)을 이용해서 결정한다.

                      (20)


[참고문헌]
[1] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[2] H. M. Macdonald, "Zeroes of the Bessel functions," Proc. London Math. Soc., vol. 29, pp. 575–584, 1898.

[다음 읽을거리]

2020년 11월 8일 일요일

베버 변환(Weber Transform)

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[그림 1] 원통 좌표계의 성분(출처: wikipedia.org)

한켈 변환(Hankel transform)의 일반화인 베버 변환(Weber transform)[1]은 간단한 의문에 기반을 두고 있다. 한켈 변환인 식 (1)을 보면 반지름 $\rho$의 크기는 항상 $0$부터 시작해서 무한대로 간다. 반지름의 시작점을 $0$이 아닌 임의의 양의 실수인 $a$에서 출발해서 무한대로 가는 적분 변환(integral transform)을 정의할 수 있을까? 여기에 대한 답이 베버 변환이다.

                      (1)

식 (1)에 등장한 제1종 베셀 함수를 변형해 $\rho$ = $a$에서 항상 함수값이 $0$ 혹은 접선 경계 조건(tangential boundary condition)을 가진 접선 동축선 함수(coaxial function for tangent) $C_n (\rho; \kappa)$로 바꾼다. 그러면 한켈 변환은 다음과 같은 새로운 접선 베버 변환(Weber transform for tangent)이 된다.

                      (2)

여기서 $\kappa$에 관계없이 $C_n(a; \kappa)$ = $0$, 한켈 변환의 특성에 의해 $\kappa$ $\ge$ $0$이다. 베셀 함수 곱의 적분을 사용해서 식 (2)에 사용한 동축선 함수의 직교성을 구해본다[2].

                      (3)

여기서 $\kappa'$ $\ge$ $0$, $C_n'(\cdot)$은 입력 변수(argument)에 대한 미분이다. 식 (3)의 계산에는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)이 꼭 필요하다.

                      (4)

식 (4)를 이용해서 식 (3)을 점근적으로 계산한다.

                      (5)

여기서 $\phi_n$ = $\kappa b - (n+1/2)\pi/2$, $\phi_n'$ = $\kappa' b - (n+1/2)\pi/2$이다. 식 (5)를 더 간략화하려면, 단위 계단 함수의 푸리에 변환에서 구한 삼각 함수의 극한값이 필요하다.

                  (6)

식 (6)에 의해 식 (5)에 나온 삼각 함수 곱의 극한은 다음과 같다.

                  (7)

                  (8)

                  (9)

식 (7)–(9)를 다시 식 (5)에 대입해서 깔끔하게 마무리한다.

                  (10)

여기서 $\kappa$와 $\kappa'$는 $0$부터 시작하므로 $\delta(\kappa + \kappa')$은 무시한다. 식 (10)을 다시 쓴 식 (11)은 베버 변환에 대한 새로운 디랙 델타 함수의 정의이다.

                  (11)

식 (11)을 기반으로 정의한 접선 베버 역변환(inverse Weber transform for tangent)은 다음과 같다.

                  (12)

식 (12)를 식 (2)에 넣으면 베버 변환과 역변환 관계가 쉽게 증명된다.

                  (13)

반지름 $\rho$에 대한 직교성인 식 (3)과 조금 다른 $\kappa$에 대한 직교성도 다음처럼 계산할 수 있다.

                  (14)

식 (14)의 증명을 위해 베셀 함수를 모두 한켈 함수로 바꾼다.

             (15)

식 (15)의 마지막식을 다시 변형해서, 식 (16)과 같은 한켈 함수를 이용한 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태가 나타나게 한다.

                      (16)

                      (17)

다시 말해 식 (17)의 피적분 함수에 있는 처음 네 항을 다음처럼 정리하면 식 (16)이 나온다.

                   (18)

[그림 2] 제1종 한켈 함수를 위한 닫힌 경로

식 (17)의 마지막 두 항이 가진 복잡성으로 인해 실수 영역에서 적분하기는 매우 어렵다. 이를 위해 복소 함수론을 [그림 2]처럼 적용해서 식 (17)의 다섯째 항을 위한 적분 경로를 변경한다.

                  (19)

여기서 $\kappa$ = $0$에 있는 가지점(branch point)을 피하도록 경로 $c_1$과 $c_3$은 실수축보다 약간 더 위에 설정한다. 또한 [그림 2]와 식 (19)에서 무한히 커지는 반원 상의 피적분 함수 특성을 확인하기 위해서, 베셀과 한켈 함수를 점근적으로 풀어쓴다.

                  (20)

여기서 $\rho + \rho' $ $\ge$ $2a$, $\psi_n$ = $(n + 1/2) \pi /2$이다. 그러면 반원 상의 푸리에 변환에 의해 $c_2$의 복소 적분은 식 (19)처럼 당연히 $0$에 수렴한다. 다음 단계로 식 (19)의 최종 결과에 나타난 한켈 함수의 입력 변수를 양의 값으로 변경한다.

                   (21)

                   (22)

식 (22)를 식 (17)의 마지막식에 대입하여 정리하면 식 (14)가 최종적으로 유도된다. 그러면 식 (2)를 식 (12)에 대입해서 원래 함수를 다시 만드는 적분을 정의할 수 있다.

                   (23)

식 (23)은 베버 변환을 시작한 유명한 베버의 적분 정리(Weber's integral theorem)이다[4].
접선 베버 변환 및 역변환과 비슷하게 $\rho$ = $a$에서 미분값이 항상 $0$ 혹은 법선 경계 조건(normal boundary condition)을 만족하는 법선 동축선 함수(coaxial function for normal) $D_n (\rho; \kappa)$를 도입한다. 함수 $D_n (\rho; \kappa)$에 대한 법선 베버 변환(Weber transform for normal)과 연관된 역변환은 다음과 같다.

                   (24)

                   (25)

여기서 $\kappa$에 관계없이 $D_n'(a; \kappa)$ = $0$이다. 법선 동축선 함수의 직교성도 식 (11)과 (14)처럼 증명할 수 있다.

                   (26)

                   (27)

한켈 변환의 일반화인 베버 변환은 당연히 한켈 변환을 필연적으로 포함한다. 예를 들어 $a \to 0$인 극한을 적용하면, 접선과 법선 베버 변환인 식 (2)와 (24)는 바로 한켈 변환이 된다.

                   (28)

여기서 $C_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n(\kappa a)$, $D_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n'(\kappa a)$이다. 비슷한 방식으로 한켈 역변환과 베버 역변환의 관계도 유도할 수 있다.

                   (29)

식 (28)과 (29)를 식 (1)과 비교하면, 베버 변환에서 반지름의 시작점 $a$를 $0$으로 보내는 특별한 경우가 한켈 변환이다.

[참고문헌]
[1] H. Weber, "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen (About a representation of arbitrary functions by Bessel's functions)," Mathematische Annalen (Mathematical Annals), vol. 6, pp. 146–161, Jun. 1873.
[2] R. K. M. Thambynayagam and T. M. Habashy, "A new Weber-type transform," Quart. Appl. Math., vol. 61, no.3, pp. 485–493, Sep. 2003.
[3] H. J. Eom, "Integral transforms in electromagnetic formulation," J. Electromagn. Eng. Sci., vol. 14, no. 3, pp. 273–277, Sep. 2014.
[4] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[5] C. K. Youngdahl and E. Sternberg, "Three-dimensional stress concentration around a cylindrical hole in a semi-infinite elastic body," J. Appl. Mech., vol. 33, no. 4, pp. 855–865, Dec. 1966.