2022년 11월 18일 금요일

구면 조화 미분 방정식(Spherical Harmonic Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 조화 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 구면 조화 함수의 다양한 모양(출처: wikipedia.org)

잘 알려진 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 시작해 구면 조화 미분 방정식(spherical harmonic differential equation)을 도출한다. 구면 조화 미분 방정식의 해는 구 표면의 특성을 결정짓는 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_n^m(\theta, \phi)$가 된다.

                       (1)

식 (1)은 $\theta$방향에 대한 특성만 가지고 있어서 식 (1)의 해는 $\Theta(\theta)$로 놓는다. 또한 파동 방정식(wave equation) 관점에서 $\theta$에 대한 식 (1)은 $m^2$을 통해 또 다른 좌표축 $\phi$와 연결된다.

             (2)

식 (2)에 $\Phi(\phi)$를 곱하고 $y$ = $\Theta(\theta) \Phi(\phi)$로 두어서 구면 조화 미분 방정식을 얻는다.

                      (3)

식 (1)과 (2)로 만든 해 $y$는 구면 조화 함수 $Y_n^m(\theta, \phi)$로 불린다.

                      (3)

여기서 $P_n^m(\cos \theta)$는 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)이다. 구면 조화 함수의 계수는 자기 자신에 대한 내적이 1이 되도록 선택한다. 구면 조화 미분 방정식을 살짝 바꾸어서 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$을 포함하게 바꿀 수도 있다.

                       (4)

                      (5)

여기서 $\partial Y_n^m(\theta, \phi) / \partial r$ = $0$이다.
구면 조화 함수는 구 좌표계(spherical coordinate system)에서 포텐셜(potential)이나 파동(wave)을 다룰 때 꼭 필요한 함수라서 아주 오래전부터 맹렬하게 연구되었다. 구면 조화 함수를 구성하는 르장드르 함수는 중력 포텐셜(gravitational potential)을 연구하기 위해 1782년르장드르 30세, 라플라스 33세, 조선 정조 시절에 르장드르Adrien-Marie Legendre(1752–1833)와 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)가 거의 동시에 제안했다.[르장드르가 라플라스보다 약간 더 빨리 발표했다.] 구면 조화 함수에 대한 라플라스의 기여를 강조하기 위해 $Y_n^m(\theta, \phi)$를 라플라스의 구면 조화 함수(Laplace's spherical harmonics)라 부르기도 한다. 르장드르와 라플라스의 머리에서 시작된 구면 조화 함수는 현재까지 꾸준하게 연구되는 매우 중요한 물리 함수이다.


   1. 기본(basics)   

[정의]

                      (1.1)

[차수와 계수의 관계]

                  (1.2)

[증명]
구면 조화 함수의 정의인 식 (3)에 $P_m^{\pm m}(\theta)$ 결과식을 넣어서 정리한다.
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[켤레 구면 조화 함수]

                      (1.3)

[증명]
식 (3)에 켤레 복소수(complex conjugate)를 취하고 음의 계수 혹은 계층수를 가진 버금 르장드르 함수의 정의를 적용한다.

                  (1.4)

                  (1.5)
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[그림 1.1] 구 좌표계에서 회전한 단위 벡터

[좌표 불변성(coordinate invariant)] [1]

                      (1.6)

여기서 $\theta, \phi$와 $\gamma, \beta$는 각각 $z$축과 $\hat n$이 기준인 각도, $\Omega$는 전체 공간을 감싸는 입체각(solid angle)이다. 

[증명]
고유 함수(eigenfunction) $Y_n^m(\theta, \phi)$가 가진 완비성(completeness)으로 인해 임의 함수를 $Y_n^m(\theta, \phi)$에 대한 무한 급수로 표현할 수 있다.

                  (1.7)

함수 $Y_n^m(\gamma, \beta)$의 특성을 이해하기 위해, 각도 $\gamma, \beta$를 정의한 단위 벡터 $\hat n'$을 움직여 $\hat n'$ = $\hat z$로 둔다. 그러면 $\gamma$ = $\theta$가 되어 $Y_n^m(\gamma, \beta)$는 고유치가 $n(n+1)$인 식 (5)를 만족하므로, 식 (1.7)에서 차수는 $l$ = $n$만 가능하다. 그 다음에 $\hat n'$을 임의의 다른 위치로 움직이더라도 고유치 $n(n+1)$은 변하지 않는다. 왜냐하면 라플라시안 $\nabla^2$은 텐서량이라서 좌표 불변성이 있고, $\hat n'$은 반지름 $r$이 같은 조건으로 움직이기 때문이다. 따라서 $\hat n'$의 위치에 관계없이 $Y_n^m(\gamma, \beta)$는 항상 고유치 $n(n+1)$를 가진 식 (5)의 해이므로, 식 (1.6)처럼 차수는 $l$ = $n$만 될 수 있다.
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[덧셈 정리(addition theorem)] [3]

                  (2.1)

여기서 각 매개변수는 [그림 1.1]에 정의되며, $\hat n'$은 고정된다고 가정한다.

[증명]
식 (1.6)에 따라 $P_n(\cos \gamma)$를 $Y_n^m(\theta, \phi)$의 합으로 나타낸다.

                  (2.2)

함수 $Y_n^0(\theta, \phi)$를 $Y_n^m(\gamma, \beta)$로도 다시 기술한다.

                  (2.3)

식 (2.2)와 (2.3)의 결과를 비교해서 계수 $a_{nm}, b_{nm}^0$의 관계를 확정한다.

                  (2.4)

마지막으로 [그림 1.1]에 나온 단위 벡터 $\hat n, \hat n'$을 일치시켜서 $\gamma$ = $0$으로 만든 후에 식 (2.3)의 첫째식을 계산한다.

                  (2.5)

식 (2.5)를 식 (2.4)에 대입하면 증명이 완성된다.
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식 (2.1)에서 $\cos \gamma$를 $x, x'$으로 바꾸어 쓸 수 있다.

                  (2.6)

여기서 $x$ = $\cos \theta$, $x'$ = $\cos \theta'$, $\varphi$ = $\phi - \phi'$이다.

[평면파 전개(plane-wave expansion) 혹은 레일리 전개(Rayleigh expansion)]

                  (2.7)

여기서 사용하는 좌표계는 [그림 1.1]이다.

[증명]
르장드르 함수로 구한 평면파 전개식에 덧셈 정리인 식 (2.1)을 대입해서 정리한다.
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[구면 조화 함수의 계수 합]

                  (2.8)

[증명]
식 (2.1)에 $\gamma$ = $0$을 넣어서 간략화한다.
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   3. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (3.1)

[증명]
함수값 $P_n^m(1)$은 $m$ = $0$인 경우를 제외하고는 모두 0이고, $P_n^0 (1)$ = $1$이라서 식 (3.1)에 크로네커 델타(Kronecker delta)가 나온다.
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   4. 정적분(definite integral)   

[구면 조화 함수의 직교성(orthogonality of spherical harmonics)]

                  (4.1)

[증명]
복소 지수 함수(complex exponential function)버금 르장드르 함수의 직교성을 차례로 적용한다.
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[참고문헌]
[1] R. S. Maier, "Associated Legendre functions and spherical harmonics of fractional degree and order," Constr. Approx., vol. 48, no. 2, pp. 235–281, Oct. 2018.
[2] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., John Wiley & Sons, 1999.
[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.

[다음 읽을거리]

2022년 11월 6일 일요일

평행판 커패시터(Parallel-plate Capacitor)

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[그림 1] 평행판 커패시터의 구조(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에 보인 평행판 커패시터(parallel-plate capacitor)는 전기 혹은 전하(electric charge)를 저장할 수 있는 가장 간단한 구조이다. 이 커패시터는 같은 극성을 가진 전하가 척력에 의해 자유롭게 퍼질 수 있도록 평평한 판을 위와 아래에 두고, 위와 아래 판에 있는 다른 극성의 전하를 모아서 위와 아래의 전하가 서로 잡아당기는 전기력(electric force)을 만들어서 각 판에 전하가 흩어지지 않게 저장한다.

[그림 2] 다층 커패시터의 구조

평행판 구조를 [그림 2]와 같은 다층 커패시터(multilayer capacitor)로 일반화해서, 내부에 존재하는 전기장을 상세하게 구해본다. 내부를 채운 유전체가 세라믹인 경우는 다층 세라믹 커패시터(multilayer ceramic capacitor, MLCC)라고 특정해서 부른다. 가우스 정리(Gauss' theorem)를 쓰기 위해 위쪽 판에 단면적 $S$를 가진 가상의 원통이 있다고 생각한다. 단면적 $S$에 모인 전하를 $Q$라 놓고 전속 밀도(electric flux density) $\bar D$를 구한다.

                  (1)

여기서 $\bar D$ = $D (-\hat z)$, $\rho_s$는 표면 전하 밀도이다. 식 (1)에 따라 제$n$번 층에 생기는 전기장은 $\bar E_n$ = $\bar D / \epsilon_n$으로 정의한다. 전체 전압 $V_0$과 $E_n$의 관계를 만들려고 $z$축을 따라 선 적분도 수행한다.

                  (2)

여기서 평행판이 무한하므로 각 층 내부에서 전기장은 항상 동일하다.

[그림 3] 직렬로 된 커패시터(출처: wikipedia.org)

식 (2)를 제$n$번 층에 대한 전기 용량(capacitance) $C_n$ = $\epsilon_n A \mathbin{/} d_n$으로 표현할 수도 있다.

                  (3)

여기서 $A$는 평행판의 전체 면적, $Q_0$는 $A$에 저장된 총전하이다. 그런데 [그림 2]에는 층 사이에 금속이 없고 [그림 3]은 커패시터 중간에 금속이 있어서 모양이 달라 보인다. 진짜 그럴까? 아니다. [그림 3]은 회로라서 커패시터 사이의 도선 길이를 0으로 작게 만들 수 있다. 그러면 도선 양끝에 저장된 ($+$)와 ($-$) 전하가 합쳐져서 상쇄되므로, [그림 3]을 [그림 2]로 그려도 상관없게 된다. 실무에서는 전하 대신 전압을 사용하기 때문에, 전기장 $E_n$을 전체 전압 $V_0$으로 표현해야 더 쉽다.

                  (4)

여기서 $V_n$은 $C_n$에 걸린 전압, $\delta_n$ = $d_n / d$, $\epsilon_{rn}$은 제$n$층의 비유전율이다. 식 (4)에 따라 제$n$층에 걸리는 전기장 $E_n$은 $y$ = $a/x$처럼 $\epsilon_{rn}$에 정확히 반비례한다.
꼼꼼하게 커패시터 층의 전기장을 살펴보는 이유는 절연 파괴(絶緣破壞, dielectric breakdown or electrical breakdown) 때문이다. 유전체에 특정 한도를 넘어서는 전기장이 가해질 때에 부도체인 유전체가 전류를 매우 심하게 흘리는 절연 파괴 현상이 나타난다. 여기서 절연 파괴를 일으키는 한계점의 전기장 $E_\text{br}$을 절연 내력(絶緣耐力, dielectric strength) 혹은 유전 강도(誘電強度)라 부른다. 절연 내력은 물체의 고유한 성질이다. 물체의 구조가 주어져서 절연 내력을 전기장이 아닌 전압 관점으로 바라본 경우는 파괴 전압 혹은 항복 전압(降伏電壓, breakdown voltage)이라 이름 붙인다.

[표 1] 물질별 절연 내력(출처: wikipedia.org)
물질
(Substance)
절연 내력, $E_\text{br}$ (MV/m)
(Dielectric strength)
비절연 내력, $p_\text{air}$
(Relative dielectric strength)
공기(air)$E_\text{air}$ = 31
유리(glass)9.8–13.83.3–4.6
종이(paper)165.3
페라이트(ferrite)16.45.5
테플론(Teflon, PTFE)19.76.6
증류수(distilled water)65–7021.7–23.3
운모(mica)11839.3
다이아몬드(diamond)2,000667

커패시터를 유전체 없이 그냥 두면 절연 내력은 3 MV/m 밖에 안되지만, 테플론으로 철저하게 채우면 절연 내력이 19.7 MV/m로 매우 좋아진다. 이와 같이 공기와 현재 물질의 절연 내력을 비교하기 위해, 공기 대비 절연 내력인 비절연 내력(relative dielectric strength) $p_\text{air}$를 정의해서 사용한다. 식 (4)에 따라 절연 파괴가 일어나지 않는 조건은 다음과 같다.

                  (5)

대부분의 경우에 문제가 되는 영역은 공기층이기 때문에, 유전체층을 고려할 필요 없이 공기층에서 $E_0 \le E_\text{air}$를 만족하면 된다. 여기서 $E_0$은 공기층의 전기장, $E_\text{air}$는 공기의 절연 내력이다. 그러면 다른 층에서는 다음 관계식이 자동으로 성립해서 절연 파괴가 일어나지 않는다.

                  (6)

왜냐하면 일반적인 물질에서 $\epsilon_{rn} > 1$, $p_{\text{air},n} > 1$이 성립하기 때문이다. 거꾸로 말해서, 다층 커패시터에 절연 파괴가 일어난 경우는 공기 영역이 항상 문제라는 뜻이다.
제$n$층 전기장 $E_n$을 커패시터에 저장되는 전체 에너지 $W_e$로 기술하기도 한다.

                  (7)

                  (8)

임의의 평행판 커패시터의 절연 내력을 에너지 관점으로 탐구하기 위해, 유전체가 없는 커패시터에 공기의 절연 내력까지 전기장의 에너지를 채운 $W_\text{air}$를 도입한다. 식 (8)에서 $W_e$ = $W_\text{air}$를 대입해서 정리한 결과는 다음과 같다.

                  (9)

여기서 $W_\text{air}$ = $\frac{1}{2} \epsilon_0 E_\text{air}^2 A d$이다. 만약 유전체 층의 $\epsilon_{rn}$과 $d_n$이 정해진다면, 커패시터의 파괴 전압 $V_\text{br}$은 간단히 공식화된다.

                  (10)

식 (10)을 이용해서 커패시터에 저장되는 공기 대비 최대 에너지 비율 $W_\text{max} / W_\text{air}$도 얻어진다. 다만 $E_{\text{br}, n}$에 맞게 $C_n$이 구성된다는 보장은 없으므로 현실과는 약간 차이가 나는 공식이다.

                  (11)

[그림 2]에서 제1번 층만 유전체이고 나머지는 공기로 채워진 경우에는 식 (11)이 아래와 같이 단순히 표현된다.

                  (12)

두께 비율 $\delta_1$ = $0$이 되면 식 (12)는 1이 되고, $\delta_1$이 증가할수록 $W_\text{max} / W_\text{air}$이 점점 커지며 $\delta_1$ = $1$에서 최대값 $\epsilon_{r1} p_{\text{air},1}^2$이 된다.

[참고문헌]
[1] E. Yariv, "Edge corrections for parallel-plate capacitors," Eur. J. Appl. Math., vol. 32, no. 2, pp. 226–241, Apr. 2021.
[2] J. R. Nagel, "Solving the generalized Poisson equation with the finite-difference method," James R. Nagel, PhD, Mar. 2012. (방문일 2022-11-06)

안테나의 입력 임피던스(Input Impedance of Antenna)

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[그림 1] 다이폴 안테나의 반사도 특성

안테나(antenna)는 전류 혹은 전압을 전자기파(electromagnetic wave)로 바꾸는 변환기(transducer) 특성이 중심이므로, 다른 어떤 규격보다 복사 패턴(radiation pattern)이 중요하다. 다만 안테나에 들어가는 전류나 전압이 줄어들면, 복사 패턴은 그대로이지만 복사 전력(radiated power)은 더 빠르게 줄어든다. 그래서 전자파 복사를 정상적으로 하는 안테나는 무엇보다 [그림 1]처럼 전류파 혹은 전압파가 반사 없이 안테나 부하에 입력되어야 한다. 이때 안테나의 입력부에서 일어나는 반사파 특성을 정량적으로 평가할 때에는 안테나의 입력 임피던스(input impedance of antenna)를 사용한다. 안테나의 입력 임피던스 $Z_a$는 안테나가 만드는 전자기파의 특성을 회로적으로 환산한 값이다. 안테나가 공간에 만드는 전력은 유효 전력(effective or available power)과 무효 전력(reactive power), 두 가지가 있다. 안테나의 유효 전력은 복사 조건(radiation condition)에 따라 전자기파 전력을 원천에서 공간으로 퍼지게 해서 안테나의 복사 저항(radiation resistance of antenna) $R_r$로 모형화한다. 복사 저항에 복사라는 용어가 붙어있지만 진짜 저항처럼 사용할 수 있다. 대신 $R_r$은 열로 에너지를 손실하지 않고 전자파 복사로 에너지를 잃는다. 반면에 무효 전력은 전자파가 복사되지 않고 공간에 갇히는 모양이라서 에너지 저장과 관계된 안테나 리액턴스(antenna reactance) $X_a$로 표현한다.

                      (1)

여기서 $X_a$는 안테나 종류에 따라 등가적인 전기 용량(capacitance) 혹은 인덕턴스(inductance)가 만드는 회로 관점의 리액턴스이다.
맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이 규정하는 전자기장은 매우 일반적이라서 거의 모든 안테나 현상을 설명할 수 있는데도 회로 이론에 나오는 입력 임피던스를 정의하는 이유는 무엇일까? 바로 생각의 효율성 때문이다. 전자장은 일반적이라 좋지만 상상하고 다루기가 어렵다. 우리 직관에 가까운 물리량은 전압이나 전류이다. 안테나에 나타나는 복잡한 전자기 특성을 전압과 전류로 치환해서 생각할 수 있으면 얼마나 좋을까! 이를 가능하게 해주는 개념이 바로 안테나의 입력 임피던스이다. 포인팅의 정리를 이용해서 복사 저항과 안테나 리액턴스를 정의한다.

[참고문헌]
[1] L. J. Chu , "Physical limitations of omni‐directional antennas,", J. Appl. Phys., vol. 19, pp. 1163–1175, Dec. 1948.
[2] R. C. Hansen, "Fundamental limitations in antennas," Proc. IEEE, vol. 69, no. 2, pp. 170–182, Feb. 1981

[다음 읽을거리]