[경고] 아래 글을 읽지 않고 "배열 안테나"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 접힌 다이폴 안테나(folded dipole antenna)로 구성한 VHF(very high frequency) 대역용 배열 안테나(출처: wikipedia.org)
전자파를 공간상으로 복사(radiation)할 때 가장 큰 영향을 주는 소자는 안테나(antenna)이다. 안테나는 도선을 따라 흐르는 전류를 대부분 전자파로 바꾸는 변환기(transducer) 역할을 주로 수행한다. 그래서 전파 통신을 효율적으로 하기 위해서 좋은 안테나가 필수적이다. 좋은 안테나는 높은 안테나 이득(antenna gain), 넓은 대역폭(bandwidth), 작은 크기 등이 필요하다. 하지만 단일 안테나로 모든 측면에서 복사 특성이 우수한 안테나를 제작하기는 불가능하다. 무언가 좋은 방법이 있을까? 여기에 대한 해답을 찾은 사람이 음극선관(cathod-ray tube, CRT) 혹은 브라운관(Braun tube)으로 유명한 브라운Karl Ferdinand Braun(1850–1918)이다. 1905년브라운 55세, 대한제국 시절에 브라운은 전자파 복사에 인위적인 지향성(directivity)을 만들기 위해 안테나 3개를 배치하고 안테나의 입력 위상을 바꾸면서 사용했다. [그림 1]처럼 단순한 안테나를 공간적으로 나열한 안테나 집단을 요즘은 배열 안테나(array antenna)로 부른다. 특히 각 안테나에 입력되는 신호의 위상을 바꾸어서 만든 배열 안테나는 위상 배열 안테나(phased array antenna, PAA)가 된다. 브라운은 배열 안테나와 위상 배열 안테나의 아버지이다.
[그림 2] $N$개의 단일 안테나가 만드는 배열 안테나
배열 안테나를 일반적으로 해석하기 위해 [그림 2]의 배치처럼 $N$개의 단일 안테나로 구성한 배열 안테나를 생각한다. 배열 안테나에 들어가는 단일 안테나는 원소 안테나(element antenna)로 이름 붙인다. 그러면 수신기에 입사하는 전체 전기장 $\bar E_t(\bar r)$은 중첩 원리(superposition principle)에 따라 원소 안테나의 전기장을 모두 더해서 표현할 수 있다.
(1)여기서 $k$ = $2 \pi \mathbin{/} \lambda$, $\bar R_n$ = $\bar r - \bar r_n'$, $R_n$ = $|\bar R_n|$; $\bar r$ = $(x, y, z)$는 수신기의 관측점(observation point), $\bar r_n'$ = $(x_n', y_n', z_n')$은 $n$번 송신 안테나의 원천점(source point), $\bar E_{e,n}(\theta, \phi)$는 편파(polarization)까지 고려한 $n$번 원소 안테나의 복사 패턴(radiation pattern), $e^{-jkR} \mathbin{/}(4 \pi R)$은 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)이다. 식 (1)을 그대로 계산하기는 어려워서 원소 안테나 종류와 편파는 모두 동일하며, 수신기는 원천점에서 매우 먼 거리인 원역장(far-field)에 있다고 가정한다. 그러면 배열 안테나의 전체 전기장이 매우 간단히 공식화된다.
(2a)
(2b)여기서 $R_n$ $\sim$ $r - \bar r'_n \cdot \hat r$, $\psi_n$ = $k(r-R_n)$ $\sim$ $k \bar r'_n \cdot \hat r$; $a_n$은 원소 안테나를 구동하는 복소수(complex number)인 여기 계수(excitation coefficient)이며 진폭 $A_n$과 위상 $\phi_n$으로 $a_n$ = $A_n e^{j \phi_n}$처럼 설정, $\text{AF}(\theta, \phi)$는 원소 인자(element factor) 혹은 원소 패턴(element pattern), $\text{AF}(\theta, \phi)$는 배열의 공간상 할당을 보여주는 배열 인자(array factor) 혹은 공간 인자(space factor)이다.
[그림 3] AWACS(Airborne Warning and Control System)에 쓰이는 슬롯 도파관 안테나(slotted waveguide antenna)(출처: wikipedia.org)
[그림 2]와 같은 단순한 배열 안테나 개념으로 무엇을 할 수 있을까란 생각도 들지만, 실제 배열 안테나 제품인 [그림 3]을 보면 달라진다. [그림 3]은 공중 조기 경보 및 제어(airborne early warning and control, AEW&C) 체계의 일종인 보잉(Boeing) E-3 센트리(보초, sentry) 혹은 AWACS(공중 경보 및 제어 체계, Airborne Warning and Control System)에 달린 슬롯 도파관 안테나(slotted waveguide antenna)를 보여준다. 사진에서 비스듬한 선으로 보이는 슬롯 혹은 긴 구멍은 하나의 안테나 역할을 하므로, 매우 많은 슬롯을 가진 도파관은 거대한 배열 안테나로 작동한다. [그림 3]과 같은 구조를 초기 설계할 때는 간략화가 필수적이어서 [그림 2]와 같은 추상화된 모형이 적절하다.
[그림 4] 균일 선형 배열(uniform linear array)의 구조
배열 안테나의 성질을 더 쉽게 파악하도록, [그림 4]처럼 원소 안테나를 같은 간격 $d$로 $z$축에 배치한다. 배열 안테나 중에서도 가장 간단한 설정에 해당하는 [그림 4]는 균일 선형 배열(uniform linear array, ULA)로 부른다. 균일 선형 배열의 배열 인자는 식 (2b)보다 간략화된다.
(3a)여기서 $\phi$ = $\phi/2$, $\hat r$ = $\sin \theta \hat y + \cos \theta \hat z$, $\bar r_n'$ = $(n-1)d \hat z$, $\psi_n$ = $k \bar r' \cdot \hat r$ = $(n-1) kd \cos \theta$, $\alpha_n$ = $\phi_n + \psi_n$이다. 다음 단계로 배열 인자가 등비 급수(geometric series)로 표현되게 진폭은 $A_n$ = $1$, 위상은 $\phi_n$ = $(n-1)\phi_0$으로 둔다. 그러면 복소 지수 함수의 합으로부터 식 (3a)가 닫힌 형식(closed form)으로 나온다.
(3b: 동일 진폭과 위상차)여기서 $\alpha$ = $kd \cos \theta + \phi_0$, $\phi_0$은 인접한 원소 안테나간의 위상차이다. 식 (3b)에 나온 함수 $\sin(Nx)/\sin(x)$는 푸리에 급수(Fourier series)의 증명에 사용되는 디리클레 핵심(Dirichlet kernel) $D_N(x)$이다.
[그림 5] 배열 안테나의 빔 조향(beam steering) 모습(출처: wikipedia.org)
식 (3b)에서 $\alpha$ = $0$일 때 배열 인자의 최대값은 원소 안테나의 개수인 $N$으로 계산된다. 디리클레 핵심 $D_N(x)$로 표현된 배열 인자의 최대값을 $N$에서 $1$로 바꾸기 위해 정규화 배열 인자(normalized array factor) $\text{NAF}(\theta)$를 사용한다.
(3c)또한 배열 안테나의 배치는 그대로 두고 [그림 5]처럼 주빔이 향하는 방향을 $\theta_m$으로 돌릴 때는 각 원소 안테나의 위상 $\phi_n$ = $(n-1) \phi_0$을 조정한다.
(4)이와 같은 방식으로 배열 안테나의 주빔 패턴을 전자적으로 바꾸는 기술은 빔 조향(beam steering)이라 부른다. 빔 조향에는 원소 안테나의 위상을 자유롭게 제어할 수 있는 위상 배열 안테나가 필수적이다. ULA의 간략화된 배열 인자의 1번과 2번 영점, $z_1$과 $z_2$는 각각 $N \alpha \mathbin{/} 2$ = $\pi$와 $2 \pi$에서 생긴다. 이 중에서 $z_1$을 만드는 $\alpha_z$는 영간 빔폭(null-to-null beamwidth, NNBW)을 정의할 때 쓰인다.
(5a)ULA의 반전력 빔폭(half power beamwidth, HPBW)는 식 (5)와 같은 닫힌 형식으로 구성되지 않으므로, 근 찾기 알고리즘(root-finding algorithm)으로 $\text{NAF}(\theta_h)$ = $1/\sqrt{2}$를 만족하는 $\theta_h$를 찾아야 한다. 다만 $N$이 매우 커질 때 $\sin(\alpha/2)$ $\approx$ $\alpha/2$이 성립하기 때문에 HPBW를 표본화 함수(sampling function)에 의지해 근사화할 수 있다.
(5b)여기서 $x_h$ = $N \alpha_h / 2$, $s_\text{hp}$ = 1.39155737825$\cdots$이다. ULA의 부엽 수준(sidelobe level, SLL)을 계산하려면, 1번과 2번 영점인 $z_1$ = $\pi$과 $z_2$ = $2 \pi$ 사이에 있는 식 (3c)의 극단점(extreme point) $x_p$ = $N \alpha_p/2$를 구한다.
(6a)원소 안테나 개수 $N$이 커질 때는 $x_p$는 표본화 함수의 1번 극단점 $p_1$에 접근한다.
(6b)여기서 $p_1$ = 4.493409457909064$\cdots$이다. 하지만 $N$이 아주 크지 않은 경우는 일일이 수치 해석으로 답을 찾아야 한다.
[표 1] 원소 안테나 개수 $N$에 대한 균일 선형 배열의 성질 변화
| $N$ | 반전력 위치, $x_h$[= $N \alpha_h/2$]: $\sin x_h \mathbin{/} [N \sin(x_h/N)]$ = $1/\sqrt{2}$ | 부엽 위치, $x_p$[= $N \alpha_p/2$]: $\tan x_p$ = $N \tan (x_p / N)$ | 부엽 수준, SLL: $|\sin x_p \mathbin{/} [N \sin(x_p/N)]|$ |
|---|---|---|---|
| 2 | $\pi/2$ = 1.1288045691429555717$\cdots\times s_\text{hp}$ | - | - |
| 3 | 1.0516420225517935094$\cdots\times s_\text{hp}$ | $3\pi/2$ = 1.0487334894642617034$\cdots \times p_1$ | 1/3 = -9.542 dB |
| 4 | 1.0280981022812003545$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0239547517723217585$\cdots \times p_1$ | 0.27216552697590867815 = -11.303 dB |
| 5 | 1.0177156953657788829$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0145283882053692803$\cdots \times p_1$ | 1/4 = -12.041 dB |
| 6 | 1.0122043162085145873$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0098161099276612429$\cdots \times p_1$ | 0.2391790669678294512 = -12.426 dB |
| 7 | 1.0089235185183977883$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0070973382650392214$\cdots\times p_1$ | 0.23301861563441411684 = -12.652 dB |
| 8 | 1.0068109257030435355$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0053788486127583912$\cdots\times p_1$ | 0.22915672614951199115 = -12.797 dB |
| 9 | 1.0053700840569530506$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0042207657300628032$\cdots\times p_1$ | 0.22656841814285513803 = -12.896 dB |
| 10 | 1.0043431961176965128$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0034021565484414484$\cdots\times p_1$ | 0.22474579784005710437 = -12.966 dB |
| $\infty$ | $s_\text{hp}$ | $p_1$ | 0.21723362821122166322 = -13.261 dB |
[그림 6] 빔 조향(beam steering)에 따라 발생하는 격자엽(grating lobe)(출처: wikipedia.org)
SLL이 제한되는 약점 외에 ULA는 격자엽(grating lobe)이라는 심각한 취약점이 생길 수 있다. 원래 안테나 개수 $N$을 늘리면 [표 1]처럼 부엽이 줄어들어야 하나, UCA는 SLL = -13.261 dB보다 부엽이 작아질 수 없다. 더구나 안테나 개수를 늘릴수록 부엽이 점점 커져서 주엽과 비슷한 크기를 가진 부엽이 생길 수 있다. 배열의 주기성으로 인해 주엽만큼 커진 부엽은 격자엽이라 칭한다. 격자엽을 이해하려면 ULA에서 이런 현상이 생기는 원인을 파악해야 한다. 이를 위해 식 (3c)를 관찰한다. 위상 $\alpha$ = $0$이외에 주빔과 같은 크기인 1이 나오는 격자엽 조건은 $\alpha$ = $2 \pi l$[$l$ = $\pm 1, \pm 2, \cdots$]이다. 이 조건과 배열 간격 $d$를 연립한다.
(7)주빔 방향을 $\theta_m$ = $90^\circ$로 두면, 1번 격자엽이 생기는 최소 간격은 $l$ = $1$을 대입해서 $d$ = $\lambda$이다. 파장보다 $d$가 커지면 $\theta$ = $\cos^{-1} (\lambda / d)$에서 격자엽이 출현한다. 이번에는 주빔 방향을 $\theta_m$ = $0^\circ$로 설정한다. 그러면 $\theta$ = $180^\circ$에서 -1번 격자엽이 생길 수 있다. 이 조건은 $d$ = $\lambda / 2$이다. 따라서 [그림 6]과 같은 다양한 빔 조향을 하더라도 격자엽이 절대 발생하지 않는 배열 간격은 $d \le \lambda / 2$이다.
(a) 측면 발사(broadside) 혹은 일제 발사
(b) 종단 발사(endfire)
[그림 7] 측면 발사 및 종단 발사 배열 안테나의 명칭 유래(출처: wikipedia.org)
빔 조향을 통해 배열 안테나의 주빔 방향(main beam direction) $\theta_m$을 임의 방향으로 설정할 수 있다.
[참고문헌]
[1] 정용진, 김은지, 한승수, 민종식, 오승원, 이한림, "차세대 통신을 위한 배열 안테나 기술동향", 한국전자파학회지 전자파기술, 제35권, 제4호, pp. 62–71, 2024년 7월.
(1.1: 준정전장)
(1.2a)
(1.2b)
(1.3)
(2.1: 준정자장)
(2.2a)
(2.2b)
(2.3)
(1: 정전장)
(2: 정자장)
(3: 정전장과 정자장)
(1.1: 
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4a)
(1.4b)
(1.4c)
(1.5a)
(1.5b)
(1.5c)
(1.5d)
(1.6a)
(1.6b)
(1.7)
(1.8)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5b)
(2.6b)