2020년 2월 20일 목요일

유클리드 기하학(Euclidean Geometry)

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인류 역사상 최초의 수학자는 유클리드Euclid(대략 기원전 325–265) 혹은 에우클레이데스(Εὐκλείδης)이다.[유클리드가 실존 인물인지 아닌지에 대한 여러 가지 가설이 있다.] 유클리드가 한 일 중 가장 중요한 기여는 기하학(幾何學, geometry)이 아니고 수학 방법론 제시이다. 유클리드는 정의-공리-정리로 이어지는 일련의 수학적 과정이 효과적이며 거대한 수학 이론을 체계적으로 세울 수 있는 검증된 절차임을 그의 유명한 저서 원론(原論, Elements)에서 논증했다[1].

[표 1] 수학 체계 구성 용어


[참고문헌]

[다음 읽을거리]

2020년 2월 11일 화요일

표면 적분 방정식(Surface Integral Equation)

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1. 스트래튼–추 공식

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스트래튼–추 공식(Stratton–Chu formula)을 이용하면 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC)완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC)로 이루어진 산란체에 대한 산란 전자기장을 손쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어, 스트래튼–추 공식으로 얻은 전자기장에 대한 적분 방정식(Electric Field Integral Equation, EFIE)은 다음과 같다.

                        (1)

                        (2)

[그림 1] PEC 산란체를 등가 전류 밀도로 치환

[그림 1]과 같은 PEC 표면에서 전기장의 접선 성분이 0이란 경계 조건을 식 (1)에 추가하면, PEC의 산란 특성을 계산할 수 있는 EFIE는 다음과 같다.

             (3)

여기서 우리가 모르는 미지수는 표면 전류 밀도 $\bar J_s (\bar r')$이다. 식 (1)이 명확히 보여주는 특성처럼, 미지수 $\bar J_s (\bar r')$는 함수이며 표면 적분 속에 들어가 있다. 적분을 없애기 위해 미분을 취하더라도 $\bar J_s (\bar r')$를 구할 수는 없다. 그래서 식 (1)은 표면 전류 밀도 $\bar J_s (\bar r')$에 대한 표면 적분 방정식(surface integral equation)이 된다.
마찬가지로 PMC에 대한 자기장 적분 방정식(Magnetic Field Integral Equation, MFIE)을 얻을 수도 있다. 스트래튼–추 공식을 이용해 처음부터 계산할 수도 있겠지만, 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 적용해 다음처럼 쉽게 결과를 얻을 수도 있다.

             (4)

[그림 2] 균일한 유전체와 자성체로 구성된 산란체

산란체가 PEC나 PMC가 아니고 [그림 2]처럼 균일한(homogeneous) 유전체나 자성체라면 표면 적분 방정식을 어떻게 세워야 할까? 어려울 것 같지만 PEC나 PMC 접근법과 유사한 절차를 따라가면 된다[1]–[3]. 간단하게 보면 [그림 2]의 경계면에 스트래튼–추 공식을 그대로 적용해서 계산하면 될 것도 같다. 하지만 이런 방식은 불가능하다. 왜냐하면 산란체 매질이 외부 공간의 매질과 다르기 때문에 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 사용할 수 없다. 따라서 산란체마다 고유한 그린 함수를 계산해야 한다. 하지만 이런 과정은 번거롭기도 하고 대부분의 경우는 그린 함수를 해석적으로 계산하기가 불가능하다. 어떻게 할까? 산란체와 외부 공간 간의 매질이 다르기 때문에 문제가 생기므로, [그림 3]처럼 강제로 매질을 동일하게 설정하면 된다[1].

[그림 3] 산란체와 외부 공간을 동일 매질로 치환
(a) 산란체 외부 기준 (b) 산란체 내부 기준

[그림 3(a)] 기준으로 보면 산란체 외부인 영역 (II)에서 본 등가 전류 및 자류 밀도 $\bar J_2, \bar M_2$는 다음과 같다.

                  (5)

영역 (I)의 전자장을 0으로 만들기 위해 $\bar E_{2, \text{in}} = - \bar E_i$, $\bar H_{2, \text{in}} = - \bar H_i$로 설정하면 다음을 얻는다.

                  (6)

마찬가지로 [그림 3(b)]에 표시한 산란체 내부 영역 (I)을 위한 가 전류 및 자류 밀도 $\bar J_1, \bar M_1$를 계산하자.

                  (7)

영역 (II)의 전자장을 0으로 만드는 조건인 $\bar E_{1, \text{ex}} = \bar H_{1, \text{ex}} = 0$을 식 (7)에 대입하자.

                  (8)

또한 [그림 2]에 의해 경계면에서 접선 전기장과 자기장은 서로 같아야 한다.

                  (9)

식 (9)를 식 (8)에 대입하면 영역 (I)의 전류와 자류 밀도를 영역 (II)의 전자장으로 표현할 수 있다.

                  (10)

실제 문제를 풀기 위해 식 (6)을 그대로 적용하기는 불편하다. 왜냐하면 우리가 구해야 하는 미지수는 전류 및 자류 밀도인 $\bar J_2, \bar M_2$로서 두 종류나 되기 때문이다. 그래서 보통은 전류 밀도만 남기고 자류 밀도는 없애 버린다. 이를 위해 강제로 $\bar E_{2, \text{in}} = \bar E_2$라 설정한다. 우리가 $\bar E_{2, \text{in}}$를 실제 계산하지는 않고 미지수인 $\bar M_2$에 이 특성이 담기기 때문에 이런 접근법은 문제가 없다. 또한 식 (5)에 의해 $\bar M_2 = 0$이므로 $\bar M_2$를 계산할 필요도 없다. 다만 $\bar E_{2, \text{in}} = \bar E_2$라 설정하면, 이 특성에 맞게 $\bar H_{2, \text{in}}$를 적절하게 설정해야 한다. 하지만 $\bar H_{2, \text{in}}$의 영향은 미지수 $\bar J_2$에 이미 반영되기 때문에 직접적으로 $\bar H_{2, \text{in}}$를 계산하지는 않는다[1]. 따라서 식 (10)에 제시한 영역 (I)의 전류와 자류 밀도를 미지수 $\bar J_2$를 이용해 쉽게 표현할 수 있다.

                  (11)

식 (11)을 식 (1)에 대입한 후 식 (9)의 첫째식에 다시 대입하면 [그림 2]의 구조를 계산하기 위한 표면 적분 방정식을 얻을 수 있다.

                  (12)

여기서 관측점 $\bar r$은 산란체의 경계면에 있다.

[그림 4] 미소 면적소 $s_0'$에 대한 좌표계

식 (12)에 유도한 표면 적분 방정식은 $\bar r$이 산란체 표면에 위치하기 때문에 피적분 함수가 발산할 수 있다. 관측점 $\bar r$과 원천점 $\bar r'$이 같을 수 없도록 닫힌 표면적 $s'$에서 미소 면적소 $s_0'$를 빼내자. 그리고 $s_0'$에 대해서 표면 적분을 해보자. 식 (1)에 이 개념을 적용하면 다음과 같다.

                  (13)

여기서 $\bar \nabla' \cdot \bar J_s (\bar r')$는 스칼라면서 $s_0'$ 근방에서 값이 거의 변하지 않으므로 표면 적분에 대해 상수로 취급할 수 있다. 식 (13)에 의해 $s_0'$가 한없이 작아지더라도 식 (1)의 둘째식은 일정한 값을 가진다. 하지만 표면 적분 방정식에 기여하는 성분은 산란체의 접선 성분이므로 $s_0'$에서 식 (1)의 둘째식은 기여가 없다. 비슷한 개념으로 식 (2)의 셋째식을 계산하자.

                  (14)

여기서 접선 자기장 $\bar H_t$와 $\hat R$은 서로 수직이다. 따라서 미소 면적소에 대한 전류 및 자류 밀도의 적분은 다음과 같다.

                  (15)

여기서 $\hat n$은 닫힌 표면 $s'$를 뚫고 나가는 단위 벡터이다. 식 (14)를 이용하면 식 (2)의 셋째식에서 특이점을 제거한 새로운 적분을 정의할 수 있다.

                  (16)

여기서 $n$은 영역 ($n$)의 파수 $k_n$을 선택하는 첨자이다. 식 (14)와 (15)를 식 (11)의 첫째식에 대입하면 다음과 같다.

                  (17)

마찬가지로 다음 관계도 성립한다.

                  (18)

여기서 영역 (I)과 (II)의 법선 벡터 방향이 다르기 때문에 식 (15)의 둘째식 부호를 반대로 택했다.[∵ $\hat n \times [ \bar E_t (\bar r') \times (-\hat n') ]$]  식 (17)과 (18)을 식 (12)에 대입해 정리하면, 특이점이 추출된 최종 표면 적분 방정식을 얻을 수 있다[1].

        (19)


[참고문헌]
[1] A. W. Glisson, "An integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric bodies," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 32, no. 2, pp. 173–175, Feb. 1984.
[2] E. Marx, "Integral equation for scattering by a dielectric," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 32, no. 2, pp. 166–172, Feb. 1984.
[3] J. R. Mautz, "A stable integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric bodies," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 37, no. 8, pp. 1070–1071, Aug. 1989.

[다음 읽을거리]

2020년 1월 30일 목요일

다이애드 그린 함수(Dyadic Green's Function)

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1. 전자기장 파동 방정식
2. 포텐셜 기반 파동 방정식
3. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
4. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

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포텐셜 기반 파동 방정식(potential based wave equation), 그린 함수(Green's function), MNL 함수까지만 공부해도 전자파와 연결된 다양한 수학적 개념이 우리 머릿속을 어지럽힌다. 하지만 단언컨데 이 상태가 끝이 아니다. 우리가 어색하게 마주하는 다이애드 그린 함수(dyadic Green's function)가 있기 때문에, 우리는 수학적으로 한 단계를 더 기어올라가야 한다. 하지만 두려워하지 말자. 다이애드(dyad)란 생소한 개념이 있지만 쉽게 보면 다이애드는 단순한 표기법이다. 그래서 다이애드 그린 함수는 스칼라 그린 함수를 더 쉽게 사용하게 해주고, 벡터로 확장되었을 때 표기를 더 간단하게 해주는 매우 유용한 도구이다. 다이애드가 단순 표기법이라고 해서 유용하지 않고 번거롭다는 뜻은 아니다. 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 표기법의 발전에 의해 우리같은 평범한 사람도 도전해서 이해하고 활용할 수 있다. 원래 맥스웰 방정식은 사원수(quaternion)를 이용해 20개의 편미분 방정식으로 표현되었다. 이 방정식이 너무 복잡했기 때문에, 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)는 사원수를 좌표계 기반 벡터(vector)로 바꾸고 (del) 혹은 나블라(nabla) 연산자($\bar \nabla$)를 적용해 20개의 편미분 방정식을 4개의 벡터 편미분 방정식으로 줄였다. 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)이 제안한 20개의 편미분 방정식과 본질적으로는 같지만, 헤비사이드가 바꾼 4개의 벡터 편미분 방정식은 범인이 천재의 아이디어를 더 쉽게 보도록 했다. 여기서 한 걸음 더 나가서 벡터를 다이애드로 바꾼다면 맥스웰 방정식의 해를 더 간편하게 찾을 수 있다. 물론 본질적으로는 이전의 벡터 연산과 차이가 거의 없지만, 다이애드 표기법으로 인해 벡터 연산을 더 자유롭게 적용할 수 있다. 다이애드는 더 편리하게 파동 방정식의 해법을 제시할 수 있게 하고, 파동 방정식을 쓸 때 더 짧게 쓰도록 해준다.
다이애드 표기법의 유용성을 느끼기 위해 전기장(electric field) $\bar E (\bar r)$에 대한 파동 방정식(wave equation)에서 시작해보자.

                  (1)

여기서 원천으로 전류 밀도(electric current density) $\bar J(\bar r)$만 있다고 가정한다. 통상적인 경우라면 식 (1)에 있는 이중 회전 연산자(double curl operator)를 풀어서 쓰겠지만, 다이애드 그린 함수를 유도하기 위해 식을 그대로 두고 그린 함수의 방법론을 도입하자. 만약 전기장이 다음처럼 표현된다고 가정하자.

                  (2)

그러면 전기장에 대한 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G{}}}_E^e (\bar r, \bar r')$는 다음 파동 방정식을 만족해야 한다.

                  (3)

여기서 $\bar J (\bar r) = \int_{v'} \bar{\bar{I{}}} \delta(\bar r - \bar r')\cdot \bar J (\bar r') \,dv'$. 식 (3)에 대한 해를 어떻게 구해야 할까? 그대로 풀기는 어렵고 더 쉬운 파동 방정식과 연결해야 한다. 어딘가 기시감(旣視感, déjà vu)이 든다. 바로 전자기장과 벡터 포텐셜(vector potential)을 연결할 때 썼던 논리이다. 사실 기시감은 당연하다. 다이애드 그린 함수는 단순 표기법이므로 새로운 개념이나 논리는 없다. 전자기장이 풀기 어려워서 벡터 포텐셜을 사용했듯이, 식 (3)을 풀기 어려워서 자기 벡터 포텐셜 $\bar A (\bar r)$에 대한 다이애드 그린 함수를 도입한다. 전형적인 그린 함수 적용은 아래와 같다.

                          (4)

                          (5)

식 (4)는 라플라시안(Laplacian) 대신 이중 회전 연산자로 바꿀 수 있다.

                          (6)

식 (5)에 의해 전류 밀도와 동일한 방향으로 자기 벡터 포텐셜이 생긴다. 여기서 그린 함수는 각 방향별로 동일하다. 이를 더 일반화하면 전류 밀도의 각 방향별로 그린 함수가 달라질 수도 있어야 한다. 따라서 식 (5)를 일반화한 다이애드 그린 함수는 다음처럼 표현된다.

                          (7)

식 (7)을 식 (4)에 대입해 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G{}}}_A (\bar r, \bar r')$에 대한 파동 방정식은 다음과 같다.

                          (8)

식 (7)을 식 (6)에 대입하면 새로운 파동 방정식을 얻을 수도 있다.

                          (9)

식 (9)의 좌변에서 발산(divergence) 연산 후에 구배(gradient) 연산을 해야 하지만, 다이애드 개념을 집어 넣어서 이를 다이애드 구배(dyad gradient) $\bar \nabla \bar \nabla$로 바꾸자.

                          (10)

다음으로 전기장을 자기 벡터 포텐셜로 표현해보자.

                          (11)

식 (11)에 식 (2)와 (7)을 대입해 정리해보자.

                          (12)

따라서 전기장에 대한 다이애드 그린 함수는 다음처럼 구할 수 있다.

                          (13)

자기장도 다이애드 그린 함수로 표현하자.

                          (14)

자속 밀도와 자기 벡터 포텐셜의 관계에 식 (14)를 대입하면 자기장에 대한 다이애드 그린 함수의 관계식을 얻을 수 있다.

                          (15)

식 (8)에 의해 자기 벡터 포텐셜에 대한 다이애드 그린 함수는 대각 성분만 가지므로, 내적을 이용해 식 (15)를 다음처럼 표현할 수도 있다.

                          (16)

또한 자기장이 만족하는 파동 방정식은 다음과 같다.

                          (17)

식 (17)에 식 (14)를 대입하면, $\bar{\bar{G{}}}_H^e (\bar r, \bar r')$가 만족하는 파동 방정식은 다음과 같다.

                          (18)

맥스웰 방정식에 식 (2)와 (14)를 대입해 전자기장에 대한 다이애드 그린 함수의 관계를 얻자.

                          (19)

식 (19)의 둘째식은 식 (15)로 증명할 수도 있다.

                          (20)

이상의 엄밀한 유도를 바탕으로 다이애드 그린 함수가 가진 장점을 다음처럼 표현할 수 있다.

  • 벡터 연산의 편리성
다이애드의 내적과 외적 연산은 결합 법칙이 잘 성립한다. 그래서 괄호 없이 연산을 쉽게 적용할 수 있다. 예를 들어 아래와 같은 항등식이 성립한다.

                         (21)

                         (22)

비슷하게 델 연산자도 다이애드 개념을 이용하면 괄호를 없앨 수 있다. 이 특성을 극명하게 보여주는 공식이 식 (10)이다. 원래는 발산 연산을 적용한 후 구배를 적용해야 하지만, 다이애드 개념을 쓰기 때문에 구배를 두 번 적용한다고 생각할 수도 있다.

  • 그린 함수가 바로 전자기장 공식
우리가 편하게 벡터 포텐셜을 쓰지만 이 개념은 전자기장이 아니고 포텐셜이다. 그래서 경계 조건을 적용할 때나 전자기장을 직접 다루려 할 때는 불편하다. 이 약점을 쉽게 해결하려면 다이애드를 쓰면 된다. 식 (19)의 공식처럼 다이애드 그린 함수는 전자기장을 직접 표현할 수 있다. 벡터 포텐셜에 대한 다이애드 그린 함수를 구한 후 식 (13)과 (16)을 쓰면 전기장과 자기장에 대한 다이애드 그린 함수를 쉽게 계산할 수 있다. 이 결과는 식 (2)와 (14)를 통해 전기장과 자기장으로 변환된다. 따라서 다이애드 그린 함수는 파동 방정식의 각종 특성을 사용하기 편한 하나의 공식으로 쉽게 바꾸어준다.

지금까지는 전류 밀도만 다루었지만, 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 쓰면 자류 밀도에 대한 다이애드 그린 함수도 쉽게 얻을 수 있다. 자기 원천에 대한 전기 벡터 포텐셜 $\bar F (\bar r)$의 관계식은 다음과 같다.

                         (23)

                          (24)

                         (25)

자기장에 대한 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G{}}}_H^m (\bar r, \bar r')$는 다음을 만족한다.

                         (26)

                         (27)

                         (28)

                         (29)

동일한 과정으로 전기장에 대한 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G{}}}_E^m (\bar r, \bar r')$도 얻는다.

                         (30)

                         (31)

                         (32)

                         (33)


[다음 읽을거리]