2022년 7월 2일 토요일

하위헌스 원리(Huygens Principle)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "하위헌스 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 하위헌스 원리로 설명하는 빛의 굴절(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 평면파의 파면이 만드는 점 전원(출처: wikipedia.org)

[그림 1, 2]에 보인 하위헌스 윈리(Huygens principle)는 빛이 가진 파동적 특성을 설명하는 근본 원리이다. 하위헌스 원리에 따르면, 빛의 움직임은 파동(波動, wave)이며 빛의 모든 파면(波面, wavefront)은 새로운 원천으로 작용하여 순차적으로 전달되는 다음 파면을 계속적으로 만든다. 즉, 원천에서 만들어진 파면이 다시 원천을 생성하는 반복적 원천 생성과 파면 전달 과정을 통해 빛은 파동 형태로 전파된다. 하위헌스 원리는 최초의 이론 물리학자란 별명을 가진 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)가 1678년하위헌스 49세, 조선 숙종 시절에 제안했다. 하위헌스의 미국식 발음은 호이겐스이다.[하위헌스를 호이겐스라 부르는 이는 옛날 사람이다.] 파동 측면의 광학(光學, optics) 이론을 완성한 프레넬Augustin-Jean Fresnel(1788–1827)의 업적까지 기려서 하위헌스 원리를 하위헌스–프레넬 원리(Huygens–Fresnel principle)라고 부르기도 한다.

[그림 3] 하위헌스 원리로 설명하는 굴절(출처: wikipedia.org)

수학과 물리학에 다재다능했던 만물박사 크리스티안 호위헌스는 신생 독립국 네델란드 헤이그[헤이그(The Hague)는 미국식 발음이며 네델란드어로는 덴 하흐(Den Haag)임]에서 1629년조선 인조 시절에 태어났다. 당시 네델란드는 1567년조선 명종 시절부터 시작된 80년 전쟁 혹은 네델란드 독립 전쟁(The Eighty Year's War or Dutch War of Independence)의 주인공이었다. 또한 1617년조선 광해군 시절부터 독일을 무대로 벌어진 30년 전쟁(The Thirty Years' War)까지 일어나 네델란드는 전쟁 넘어 전쟁인 상황에 서게 되었다. 다행히 호위헌스 집안은 네델란드에서 부유하고 영향력이 큰 가문이었기 때문에, 두 전쟁의 와중에도 호위헌스는 집안에서 제대로 된 교육을 받았고 기하학(geometry)에 재능을 보였다. 또한 크리스티안의 아빠는 데카르트René Descartes(1596–1650), 메르센Marin Mersenne(1588–1648), 갈릴레오Galileo Galilei(1564–1642)와 교류하는 유명인이어서, 호위헌스는 데카르트와 메르센의 조언을 받으면서 성장했다. 80년 전쟁과 30년 전쟁은 1648년하위헌스 19세, 조선 인조 시절 베스트팔렌 조약(Peace of Westphalia)이 체결되면서 끝났다. 종전 조금 전인 1645년에 호위헌스는 네델란드의 레이던 대학교(Leiden University)에 입학해서 법학과 수학을 본격적으로 공부했다. 이때부터 호위헌스는 기하학이란 도구를 이용해서 현수선(懸垂線, catenary)과 같은 물리 문제를 공략했다. 호위헌스의 기하학 사랑은 죽을 때까지 계속 되었다. 호위헌스의 연구 방법은 형이상학에 바탕을 둔 연역법보다는 현실 문제에서 원리를 찾는 귀납법에 가까웠다. 그래서 구심력 혹은 원심력 공식을 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)보다 먼저 발견했지만, 운동 법칙을 연역해서 풀지 않고 기하학과 중력에 대한 특성[물체는 항상 지구 중심으로 연직해서 떨어지는 성질]만 사용했다.
망원경과 렌즈 제작에 전문가였던 호위헌스는 기하학을 바탕으로 빛을 파동으로 설명하였다. 사실 호위헌스 원리는 렌즈 설계에 쓰이는 기하 광학(幾何光學, geometrical optics)의 근원을 설명하는 도구로 제안되었다. 호위헌스 원리를 쓰면, 파면의 이동, 반사, 굴절을 직관적으로 설명할 수 있다. 먼저 속도 $v$로 이동하는 빛 파면의 이동을 생각한다.

2022년 6월 11일 토요일

시컨트 수와 오일러 수(Secant Number and Euler Number)

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[표 1] 짝수번 시컨트 수의 실제값, $S_{2m}$
시컨트 수, $S_{2m}$시컨트 수의 자연수값
$S_0$1
$S_2$1
$S_4$5
$S_6$61
$S_8$1385
$S_{10}$50521
$S_{12}$2702765
$S_{14}$199360981
$S_{2m}$
생성 함수

탄젠트 함수(tangent function) $\tan x$의 테일러 급수(Taylor series)를 쉽게 공식화하기 위해 탄젠트 수(tangent number) $T_m$을 도입한 방식처럼 시컨트 함수(secant function) $\sec x$를 위한 테일러 급수에는 시컨트 수(secant number)를 도입한다. 시컨트 수 $S_m$은 $\sec x$를 구성하는 무한 급수(infinite series)의 항과 연결지어 정의한다.

                  (1)

시컨트 함수는 우함수(even function)이므로 식 (1)의 첨자를 짝수로 간략화한다. 시컨트 수의 구체적인 예는 [표 1]에 있다[1].

                  (2)

여기서 $S_{2m+1}$ = $0$이다. 식 (2)와 같이 멱급수의 계수에 모든 시컨트 수가 나오므로, 시컨트 함수는 시컨트 수의 생성 함수(generating function)이다. 시컨트 함수를 직접 고차 미분해서 시컨트 수 $S_{2m}$을 얻을 수도 있지만, 고차 미분 과정이 너무 복잡해진다. 그래서 시컨트 수는 주로 재귀 관계(recurrence relation)를 이용해서 구한다. 이 재귀 관계를 유도하기 위해 코사인과 시컨트 함수의 테일러 급수를 사용한다.

                  (3)

여기서 $\binom{2m}{2k}$은 조합(combination)이다. 식 (3)의 셋째식을 얻기 위해 대각선 따라 모으기에 해당하는 코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)를 적용한다. 식 (3)으로부터 시컨트 수의 항등식을 하나 만든다.

                  (4)

여기서 $\delta_{m0}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 최종적으로 시컨트 수를 생성하는 공식이 나온다.

                  (5)

여기서 $S_0$ = $1$이다. 식 (5)와 같은 재귀 관계를 쓰지 않고 탄젠트 수로부터 시컨트 수를 도출할 수도 있다. 먼저 식 (6)에 보인 탄젠트 함수와 시컨트 함수의 관계식에 각 테일러 급수를 대입해서 정리한다.

                       (6)

             (7)

식 (7)의 마지막식에서 탄젠트 수로 표현한 시컨트 수를 증명한다.

                       (8)

관점을 약간 바꾸어서 시컨트 수에 기반을 두고 탄젠트 수를 재정의한다.

                       (9)

                       (10)

식 (10)은 식 (5)와 매우 유사하므로, 시컨트 수와 탄젠트 수는 서로 밀접히 연결되어 있다. 시컨트와 탄젠트 함수의 미분을 사용하면, 시컨트 수와 탄젠트 수의 색다른 관계를 추가적으로 유도할 수 있다. 먼저 시컨트 함수의 미분을 두 함수의 테일러 급수로 교체해서 두 수 사이의 관계식을 구한다.

                       (11)

                       (12)

비슷한 방식을 탄젠트 함수의 미분에 사용해서 탄젠트 수를 시컨트 수로 표현한다.

                       (13)

                       (14)

수열 입장에서 시컨트 수가 가진 재미있는 특성을 탄젠트 수와 연관지어 소개한다.

[시컨트 수의 성질]
(a) 시컨트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 홀수번 시컨트 수 $S_{2m+1}$은 항상 $0$이다.
(c) 짝수번 시컨트 수는 $S_{2m} \ge 1$이고, $m$이 $1$보다 커지면 $S_{2m}$도 같이 커진다. 즉, $m > 1$에서 $S_{2m} > (2m-1)S_{2(m-1)}$을 항상 만족한다.
(d) 모든 $m \ge 2$에 대해, $T_{2m-1} < S_{2m} < T_{2m+1}$이 성립한다.

[명제 (a)의 증명]
식 (5)는 이전 시컨트 수와 조합의 곱이므로, 모든 시컨트 수는 자연수열이다.

[명제 (b)의 증명]
시컨트 수는 우함수인 시컨트 함수의 테일러 급수를 구성하므로, 홀수번 시컨트 수는 항상 $0$이다.

[명제 (c)의 증명]
식 (12)에서 $k$ = $m-1$인 경우만 보면, $m > 1$에서 항상 $S_{2m} > (2m-1)S_{2(m-1)}$이다.

[명제 (d)의 증명]
식 (12)에 $k$ = $0$을 대입해서 $S_{2m} > T_{2m-1}$을 증명한다. 또한 식 (14)에 따라 $T_{2m+1} > S_{2m}$도 만족한다.
______________________________

위에서 증명한 시컨트 수의 성질을 이용해 탄젠트 수의 속성도 도출할 수 있다.

[탄젠트 수의 성질]
(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.
(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.
(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.

[명제 (a)의 증명]
탄젠트 수는 식 (14)처럼 자연수열인 시컨트 수의 곱셈으로 계산하므로, 계산 결과인 탄젠트 수도 자연수열이 된다.

[명제 (b)의 증명]
시컨트 수와 상보적으로 탄젠트 수는 기함수인 탄젠트 함수를 구성해서 짝수번 탄젠트 수가 $0$이 된다.

[명제 (c), (d)의 증명]
시컨트 수와 탄젠트 수의 대소 관계인 $T_{2m-1} < S_{2m} < T_{2m+1}$을 활용한다.
______________________________

시컨트와 탄젠트 함수의 테일러 급수 전개를 더하면 재미있는 새로운 무한 급수가 만들어진다.

                       (15)

식 (15)의 우변이 생성하는 항은 짝수와 홀수 차수가 분명히 구별되므로 하나의 무한 급수로 만들 수 있다.

                       (16)

여기서 마지막식에 등장하는 관계식은 삼각 함수 항등식으로 증명한다. 수열 $A_m$은 $m$에 따라 시컨트 수와 탄젠트 수를 왔다갔다하기 때문에  지그재그 수(zigzag number) 혹은 위아래 수(up/down number)라 부른다. 지그재그 수에 빗대어서 스컨트 수와 탄젠트 수를 각각 지그 수(zig number)재그 수(zag number)로 나누어서 명명하기도 한다.
식 (2)에 나온 시컨트 함수 $\sec x$의 입력 변수에 순허수 $ix$를 대입해서 쌍곡 시컨트 함수(hyperbolic secant function) $\operatorname{sech} x$를 정의할 수 있다.

                       (17)

오일러 수(Euler number)로 정의하는 수열 $E_{2m}$를 도입해서 쌍곡 시컨트 함수의 항을 $E_{2m}$으로 간략화한다.

                       (18)

여기서 $E_{2m}$ = $(-1)^m S_{2m}$이다. 그러면 쌍곡 시컨트 함수는 오일러 수의 생성 함수가 된다. 오일러 수는 부호가 바뀌기 때문에 자연수열인 $S_{2m}$과 다르게 정수열(整數列, integer sequence)이 된다. 또한 오일러 수 $E_{2m}$은 오일러의 수(Euler's number) 혹은 네이피어의 상수라 칭하는 $e$와 꼭 구별되어야 한다.

[참고문헌]
[1] N. J. A. Sloane, "A000364: Euler (or secant or "zig") numbers," The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (방문일 2022-06-11)
 
[다음 읽을거리]

2022년 5월 31일 화요일

룽에 현상(Runge's Phenomenon)

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[그림 1] 룽에 함수에 출현한 룽에 현상(출처: wikipedia.org)

푸리에 급수(Fourier series)에 나타나는 기브스 현상(Gibbs phenomenon)처럼 다항 함수 보간(polynomial interpolation)에도 [그림 1]처럼 원치 않는 매우 큰 오차가 생기기도 한다. 상식적으로 다항 함수의 차수를 증가시키면서 자료점 개수도 늘리면, 보간된 함수는 원래 함수를 잘 따라가야 한다. 하지만 고차 미분으로 갈수록 미분값이 계속 커지는 함수를 다항 함수로 보간할 때는 보간 구간의 끝부분에서 보간된 함수값이 계속 커지는 현상이 발생한다. 이와 같이 등간격으로 배치한 자료점의 개수를 늘리더라도 다항 함수 보간의 정밀도가 개선되지 않고 오히려 보간된 함수가 양끝에서 커지면서 진동하는 현상을 룽에 현상(Runge's phenomenon)이라 한다.
다항 함수 보간의 대표 주자인 제$n$차 라그랑쥐 보간(Lagrange interpolation) $L_n(x)$를 중심으로 룽에 현상을 이해한다.

                  (1)

여기서 $(x_k, y_k)$는 함수값을 아는 자료점(data point)이다. 함수 $f(x)$는 어떤 점에서든 부드럽게[혹은 뾰족한 부분 없이] 변해서 미분 회수에 관계없이 고차 미분이 항상 유계(有界, bounded)라면, 라그랑쥐 보간의 차수 $n$을 늘릴 때의 보간 오차는 항상 줄어든다. 왜냐하면 $n$에 관계없이 고차 미분의 크기는 어떤 값 $M$보다 항상 작다는 조건으로 인해 $n$을 늘리면 라그랑쥐 보간의 최대 오차 혹은 잉여항의 절대값 $|R_n(x)|$가 $0$으로 수렴하기 때문이다.

                  (2a)

                  (2b)

                  (3)

여기서 $f^{(n)}(x)$는 $n$차 미분이다. 따라서 식 (3)처럼 고차 미분이 유계인 함수의 라그랑쥐 보간에는 룽에 현상이 생기지 않는다.
굳이 증명을 하지 않더라도 다항 함수의 차수와 자료점을 늘리면 원래 함수에 가까운 보간 결과는 당연히 얻어질 것 같다. 하지만 수학자 룽에Carl Runge(1856–1927)는 1901년룽에 45세, 대한제국 시절에 다음 2차 함수의 역수 혹은 룽에 함수(Runge function) $f(x)$를 다항 함수 보간하면서 이상한 현상을 하나 발견했다[1].

                  (4)

여기서 $-1 \le x \le 1$, 룽에 함수의 모양은 [그림 1]에 있는 빨간 실선이다. 룽에 함수는 그다지 복잡하지 않고 생긴 형태도 종 모양이어서 다항 함수 보간이 충분히 가능하다고 생각했다. 하지만 다항 함수의 차수를 증가시킬수록 [그림 1]처럼 보간된 함수는 양끝에서 발산하기 시작했다. 어떻게 된 것일까? 왜 이런 현상이 생길까? 룽에 입장에서는 쉬운 문제로 생각한 주제가 난처한 곤경이 되었지만, 결국에는 룽에 현상의 발견이라는 영예를 룽에에게 안겨주었다.
룽에 현상의 설명은 룽에 함수의 미분으로부터 시작한다. 식 (4)에 정의한 룽에 함수를 한번과 두번 미분한다.

                  (5)

1차 및 2차 미분의 크기 $|f^{(1)}(x)|$과 $|f^{(2)}(x)|$의 최대값은 각각 $x$ = $\pm \sqrt{3} \mathbin{/} 15$과 $0$에서 얻어진다. 이때 $|f^{(1)}(x)|$과 $|f^{(2)}(x)|$의 최대값은 각각 $15 \sqrt{3} \mathbin{/} 8$ $<$ $1! 5^1$, $50$ = $2! 5^2$이다. 식 (5)의 마지막 결과처럼 고차 미분은 $x \approx 0$ 근방에서 최대가 되므로, 고차 미분의 최대값은 다음과 같은 한계를 가진다.

                  (6)

식 (6)의 엄밀한 증명에는 식 (7)에 나온 2차 함수의 고차 미분을 이용한다.

             (7)

             (8)

차수 $n$이 짝수인 경우, $n+1$차 미분의 영점은 $x$ = $0$에서 생기며 이때 $n$차 미분의 최대 크기 $|f^{(n)}(x)|$는 정확히 $n! 5^n$이다. 차수 $n$이 홀수가 되면, 고차 미분의 최대 크기를 찾기가 매우 어려워진다. 그래서 홀수인 $n$에 대해 근사적으로 $|f^{(n)}(x)|$의 최대값을 다음처럼 찾는다.

                  (9)

                  (10)

여기서 $x_0$는 $f^{(n+1)}(x)$의 근사 영점이다. 따라서 고차 미분이 홀수더라도 식 (6)은 잘 성립한다. 매우 큰 홀수 $n$에 대해, 다음 점근 관계식도 성립한다.

                  (11)

                  (12)

여기서 $x_0$ = $\pm \alpha \mathbin{/} (5 n)$ = $\pm \pi \mathbin{/} (10 n)$이다. 결국 미분 차수 $n$이 짝수 혹은 홀수에 관계없이 식 (6)은 항상 참이다.
식 (2a)에 나오는 자료점 $x_k$ = $-1 + 2k/n$[$k$ = $0, 1, 2, \cdots, n$]라 두면, $x - x_k$ 곱의 최대 크기는 대략 $x_\max$ = $-1 + 1/n$에서 발생한다.[∵ 자료점에서 오차는 $0$이라서 최대 오차는 두 자료점의 중점에서 생긴다. 항 $x-x_k$로 인해 끝점으로 갈수록 현재점 $x$와 자료점 $x_k$의 차이가 커진다. 그래서 중점에서 생기는 오차는 끝점 부근에서 최대가 된다.] 점 $x_{\max}$에서 곱 $\prod_{k=0}^n (x - x_k)$의 최대 크기는 다음과 같다.

                  (13)

여기서 $(\cdot)!!$는 이중 계승(double factorial)이다. 따라서 룽에 함수에 대한 라그랑쥐 보간의 최대 오차는 한계가 없이 증가한다.

             (14)

즉, 차수 $n$이 커질 때, 스털링의 공식(Stirling's formula)에 따라 식 (14)의 최종 결과는 계속 증가해 발산한다.

                  (15)

이로 인해 라그랑쥐 보간의 차수를 아무리 높여도 끝점 부근에서는 보간 오차가 지속적으로 커지는 룽에 현상이 발생한다. 

[참고문헌]
[1] C. Runge, "Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (About empirical functions and the interpolation between equidistant ordinates)," Zeitschrift für Mathematik und Physik (Journal of Mathematics and Physics), vol. 46, pp. 224–243, 1901.
[2] J. F. Epperson, "On the Runge example," Am. Math. Mon., vol. 94, no. 4, pp. 329–341, 1987.