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[그림 1] 접힌 다이폴 안테나(folded dipole antenna)로 구성한 VHF(very high frequency) 대역용 배열 안테나(출처: wikipedia.org)
전자파를 공간상으로 복사
(radiation)할 때 가장 큰 영향을 주는 소자는
안테나(antenna)이다. 안테나는 도선을 따라 흐르는 전류를 대부분 전자파로 바꾸는 효율 좋은 변환기
(transducer) 역할을 수행한다. 그래서 전파 통신을 효율적으로 하기 위해서 좋은 안테나가 필수적이다. 좋은 안테나는 높은
안테나 이득(antenna gain), 넓은
대역폭(bandwidth), 작은 크기 등이 필요하다. 하지만 단일 안테나로 모든 측면에서 복사 특성이 우수한 안테나를 제작하기는 불가능하다. 무언가 좋은 방법이 있을까? 여기에 대한 해답을 찾은 사람이 음극선관
(cathod-ray tube, CRT) 혹은 브라운관
(Braun tube)으로 유명한 브라운
Karl Ferdinand Braun(1850–1918)이다. 브라운은 1897년
브라운 47세, 대한제국 시절에 이 브라운관으로 현대적인 시파기 혹은 오실로스코프
(示波器, oscilloscope)를 최초로 발명했다. 또한 1905년
브라운 55세, 대한제국 시절에 브라운은 전자파 복사에 인위적인
지향성(directivity)을 만들기 위해 안테나 3개를 배치하고 안테나의 입력 위상을 바꾸는 안테나 구조를 제안했다. [그림 1]처럼 단순한 기본 안테나를 공간적으로 적절히 나열한 안테나 집단을 요즘은
배열 안테나(配列, array antenna)로 부른다. 특히 각 안테나에 입력되는 신호의 위상을 자유롭게 바꾸면서 운용하는 배열 안테나는
위상 배열 안테나(phased array antenna, PAA)가 된다. 위대한 발명가 브라운은 배열 안테나와 위상 배열 안테나의 아버지이다. 이와 같은 무선 통신에의 기여로 브라운은 마르코니
Guglielmo Marconi(1874–1937)와 함께 1909년 노벨 물리학상을 수상했다.
[그림 2] $N$개의 단일 안테나가 만드는 배열 안테나
배열 안테나를 일반적으로 해석하기 위해 [그림 2]의 배치처럼 $N$개의 단일 안테나로 구성한 배열 안테나를 생각한다. 배열 안테나에 들어가는 단일 안테나는
원소 안테나(element antenna)로 이름 붙인다. 그러면 수신기에 입사하는 전체 전기장 $\bar E_t(\bar r)$은
중첩 원리(superposition principle)에 따라 원소 안테나의 전기장을 모두 더해서 표현할 수 있다.
(1)
여기서 $k$ = $2 \pi \mathbin{/} \lambda$, $\bar R_n$ = $\bar r - \bar r_n'$, $R_n$ = $|\bar R_n|$; $\bar r$ = $(x, y, z)$는 수신기의 관측점
(observation point), $\bar r_n'$ = $(x_n', y_n', z_n')$은 $n$번 송신 안테나의 원천점
(source point), $\bar E_{e,n}(\theta, \phi)$는
편파(polarization)까지 고려한 $n$번 원소 안테나의
복사 패턴(radiation pattern), $e^{-jkR} \mathbin{/}(4 \pi R)$은
3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)이다. 식 (1)을 그대로 계산하기는 어렵기 때문에, 원소 안테나 종류와 편파는 모두 동일하고 수신기는 원천점에서 매우 먼 거리인 원역장
(far-field)에 있다고 가정한다. 그러면 배열 안테나의 전체 전기장이 매우 간단히 공식화된다.
(2a)
(2b)
여기서 $R_n$ $\sim$ $r - \bar r'_n \cdot \hat r$, $\psi_n$ = $k(r-R_n)$ $\sim$ $k \bar r'_n \cdot \hat r$; $a_n$은 원소 안테나를 구동하는
복소수(complex number)인
여기 계수(excitation coefficient)이며 진폭 $A_n$과 위상 $\phi_n$으로 $a_n$ = $A_n e^{j \phi_n}$처럼 설정, $\text{EF}(\theta, \phi)$는
원소 인자(element factor) 혹은
원소 패턴(element pattern), $\text{AF}(\theta, \phi)$는 배열의 공간상 할당을 보여주는
배열 인자(array factor) 혹은
공간 인자(space factor)이다.
[그림 3] AWACS(Airborne Warning and Control System)에 쓰이는 슬롯 도파관 안테나(slotted waveguide antenna)(출처: wikipedia.org)
[그림 2]와 같은 단순한 배열 안테나 개념으로 무엇을 할 수 있을까란 생각도 들지만, 실제 배열 안테나 제품인 [그림 3]을 보면 우리 생각이 명확히 달라진다. [그림 3]은 공중 조기 경보 및 제어(airborne early warning and control, AEW&C) 체계의 일종인 보잉(Boeing) E-3 센트리(보초, sentry) 혹은 AWACS(공중 경보 및 제어 체계, Airborne Warning and Control System)에 달린 슬롯 도파관 안테나(slotted waveguide antenna)를 보여준다. 사진에서 비스듬한 선으로 보이는 슬롯 혹은 긴 구멍은 하나의 안테나 역할을 하므로, 매우 많은 슬롯을 가진 도파관은 거대한 배열 안테나로 작동한다. [그림 3]과 같은 구조를 초기 설계할 때는 간략화가 필수적이어서 [그림 2]와 같은 추상화된 모형이 적절하다.
[그림 4] 균일 선형 배열(uniform linear array)의 구조
배열 안테나의 성질을 더 쉽게 파악하도록, [그림 4]처럼 원소 안테나를 같은 간격 $d$로 $z$축에 배치한다. 배열 안테나 중에서도 가장 간단한 설정에 해당하는 [그림 4]는 균일 선형 배열(uniform linear array, ULA)로 부른다. 균일 선형 배열의 배열 인자는 식 (2b)보다 간략화된다.
(3a)
여기서 $\phi$ = $\pi/2$, $\hat r$ = $\sin \theta \hat y + \cos \theta \hat z$, $\bar r_n'$ = $(n-1)d \hat z$, $\psi_n$ = $k \bar r' \cdot \hat r$ = $(n-1) kd \cos \theta$, $\alpha_n$ = $\phi_n + \psi_n$이다. 다음 단계로 배열 인자가
등비 급수(geometric series)로 표현되게 진폭은 $A_n$ = $1$, 위상은 $\phi_n$ = $(n-1)\phi_0$으로 둔다. 그러면
복소 지수 함수의 합으로부터 식 (3a)가 닫힌 형식
(closed form)으로 나온다.
(3b: 동일 진폭과 위상차)
여기서 $\alpha$ = $kd \cos \theta + \phi_0$, $\phi_0$은 인접한 원소 안테나간의 위상차이다. 식 (3b)에 나온 함수 $\sin(Nx)/\sin(x)$는
푸리에 급수(Fourier series)의 증명에 사용되는
디리클레 핵심(Dirichlet kernel) $D_N(x)$이다.
[그림 5] 배열 안테나의 빔 조향(beam steering) 모습(출처: wikipedia.org)
식 (3b)에서 $\alpha$ = $0$일 때 배열 인자의 최대값은 원소 안테나의 개수인 $N$으로 계산된다. 디리클레 핵심 $D_N(x)$로 표현된 배열 인자의 최대값을 $N$에서 $1$로 바꾸기 위해 정규화 배열 인자(normalized array factor) $\text{NAF}(\theta)$를 사용한다.
(3c)
또한 배열 안테나의 배치는 그대로 두고 [그림 5]처럼 주빔이 향하는 방향을 $\theta_m$으로 돌릴 때는 각 원소 안테나의 위상 $\phi_n$ = $(n-1) \phi_0$을 조정한다.
(4)
이와 같은 방식으로 배열 안테나의 주빔 패턴을 전자적으로 바꾸는 기술은
빔 조향(beam steering)이라 부른다. 빔 조향에는 원소 안테나의 위상을 자유롭게 제어할 수 있는 위상 배열 안테나가 필수적이다. ULA의 간략화된 배열 인자의 1번과 2번 영점, $z_1$과 $z_2$는 각각 $N \alpha \mathbin{/} 2$ = $\pi$와 $2 \pi$에서 생긴다. 이 중에서 $z_1$을 만드는 $\alpha_z$는
영간 빔폭(null-to-null beamwidth, NNBW)을 정의할 때 쓰인다.
(5a)
ULA의
반전력 빔폭(half power beamwidth, HPBW)은 식 (5)와 같은 닫힌 형식으로 구성되지 않으므로, 근 찾기 알고리즘
(root-finding algorithm)으로 $\text{NAF}(\theta_h)$ = $1/\sqrt{2}$를 만족하는 $\theta_h$를 찾아야 한다. 다만 $N$이 매우 커질 때 $\sin(\alpha/2)$ $\approx$ $\alpha/2$이 성립하기 때문에 HPBW를
표본화 함수(sampling function)에 의지해 근사화할 수 있다.
(5b)
여기서 $x_h$ = $N \alpha_h / 2$, $s_\text{hp}$ = 1.39155737825$\cdots$이다. ULA의
부엽 수준(sidelobe level, SLL)을 계산하려면, 1번과 2번 영점인 $z_1$ = $\pi$과 $z_2$ = $2 \pi$ 사이에 있는 식 (3c)의 극단점
(extreme point) $x_p$ = $N \alpha_p/2$를 구한다.
(6a)
(6b)
여기서 $p_1$ = 4.493409457909064$\cdots$이다. 하지만 $N$이 아주 크지 않은 경우는 일일이 수치 해석으로 답을 찾아야 한다.
[표 1] 원소 안테나 개수 $N$에 대한 균일 선형 배열의 성질 변화
| $N$ | 반전력 위치, $x_h$[= $N \alpha_h/2$]:
$\sin x_h \mathbin{/} [N \sin(x_h/N)]$ = $1/\sqrt{2}$ | 부엽 위치, $x_p$[= $N \alpha_p/2$]:
$\tan x_p$ = $N \tan (x_p / N)$ | 부엽 수준, SLL:
$|\sin x_p \mathbin{/} [N \sin(x_p/N)]|$ |
|---|
| 2 | $\pi/2$ = 1.1288045691429555717$\cdots\times s_\text{hp}$ | - | - |
| 3 | 1.0516420225517935094$\cdots\times s_\text{hp}$ | $3\pi/2$ = 1.0487334894642617034$\cdots \times p_1$ | 1/3 = -9.542 dB |
| 4 | 1.0280981022812003545$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0239547517723217585$\cdots \times p_1$ | 0.27216552697590867815 = -11.303 dB |
| 5 | 1.0177156953657788829$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0145283882053692803$\cdots \times p_1$ | 1/4 = -12.041 dB |
| 6 | 1.0122043162085145873$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0098161099276612429$\cdots \times p_1$ | 0.2391790669678294512 = -12.426 dB |
| 7 | 1.0089235185183977883$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0070973382650392214$\cdots\times p_1$ | 0.23301861563441411684 = -12.652 dB |
| 8 | 1.0068109257030435355$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0053788486127583912$\cdots\times p_1$ | 0.22915672614951199115 = -12.797 dB |
| 9 | 1.0053700840569530506$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0042207657300628032$\cdots\times p_1$ | 0.22656841814285513803 = -12.896 dB |
| 10 | 1.0043431961176965128$\cdots\times s_\text{hp}$ | 1.0034021565484414484$\cdots\times p_1$ | 0.22474579784005710437 = -12.966 dB |
| $\infty$ | $s_\text{hp}$ | $p_1$ | 0.21723362821122166322 = -13.261 dB |
원소 개수 $N$은 10 이상만 되어도 $x_h$ $\approx$ $s_\text{hp}$ 및 $x_p$ $\approx$ $p_1$이 성립하기 때문에, $N$을 아무리 늘려도 SLL은 -13.261 dB를 넘어설 수 없다. 이 한계를 넘기 위해서는 여기 계수 $a_n$의 진폭과 위상을 원소마다 바꾸고 원소 간격도 주기성을 깨면서 불균일하게 바꾸어야 한다.
[그림 6] 빔 조향(beam steering)에 따라 발생하는 격자엽(grating lobe)(출처: wikipedia.org)
SLL이 제한되는 약점 외에 ULA는
격자엽(grating lobe)이라는 심각한 취약점이 생길 수 있다. 원래 안테나 개수 $N$을 늘리면 [표 1]처럼 부엽이 줄어들어야 하나, UCA는 SLL = -13.261 dB보다 부엽이 작아질 수 없다. 더구나 안테나 개수를 늘릴수록 부엽이 점점 커져서 주엽과 비슷한 크기를 가진 골치 아픈 부엽이 생길 수 있다. 배열의 주기성으로 인해 주엽만큼 커진 부엽은 격자엽이라 칭한다. 격자엽을 이해하려면 ULA에서 이런 현상이 생기는 원인을 파악해야 한다. 이를 위해 식 (3c)를 관찰한다. 위상 $\alpha$ = $0$ 이외에 주빔과 같은 크기인 1이 나오는 격자엽 조건은 $\alpha$ = $2 \pi l$
[$l$ = $\pm 1, \pm 2, \cdots$]이다. 이 조건과 배열 간격 $d$를 연립한다.
(7)
주빔 방향을 $\theta_m$ = $90^\circ$로 두면, 1번 격자엽이 생기는 최소 간격은 $l$ = $1$을 대입해서 $d$ = $\lambda$이다. 파장보다 $d$가 커지면 $\theta$ = $\cos^{-1} (\lambda / d)$에서 격자엽이 출현한다. 이번에는 주빔 방향을 $\theta_m$ = $0^\circ$로 설정한다. 그러면 $\theta$ = $180^\circ$에서 -1번 격자엽이 생길 수 있다. 이 조건은 $d$ = $\lambda / 2$이다. 따라서 [그림 6]과 같은 다양한 빔 조향을 하더라도 격자엽이 절대 발생하지 않는 배열 간격은 $d \le \lambda / 2$이다. 하지만 $d$ = $\lambda / 2$는 너무 작은 간격이라서 안테나 이득에서 약점이 생긴다. 이 모든 성질을 종합하여 공학적으로 선택하는 ULA의 배열 간격은 $0.75 \lambda$이다. 이 간격은 특정 빔 조향에서 격자엽이 발생할 수 있는 조건이지만, 원소 안테나의 복사 패턴이 배열 인자로 인해 생기는 격자엽을 억제한다는 생각에 따라 $d$ = $0.75 \lambda$를 선호한다.
편의상 $\alpha$로 이론 전개를 하지만, $\alpha$ = $kd \cos \theta + \phi_0$에 의해 우리가 관찰할 수 있는 각도인 가시 영역(visible region)은 $N(-kd+\phi_0)/2$에서 $N(kd+\phi_0)$까지 총 $360^\circ \cdot (Nd \mathbin{/} \lambda)$ 범위이다. 이 범위 바깥의 각도는 우리가 볼 수 없는 비가시 영역(invisible region)에 속한다.
(a) 측면 발사(broadside) 혹은 일제 발사
(b) 종단 발사(endfire)
[그림 7] 측면 발사 및 종단 발사 배열 안테나의 명칭 유래(출처: wikipedia.org)
빔 조향을 통해 배열 안테나의 주빔 방향(main beam direction) $\theta_m$을 임의 방향으로 설정할 수 있다. 여러 주빔 방향 중에서 $\theta_m$ = $90^\circ$과 $0^\circ$에는 각각 측면 발사 배열(broadside array)과 종단 발사 배열(endfire array)이라는 특이한 이름이 붙어 있다. 측면과 종단 발사라는 명칭은 전함의 함포 발사에서 유래한다. [그림 7(a)]에 보인 전함이 함포를 일제 사격(broadside)하는 방식처럼, 함포에 비유하는 원소 안테나가 배열이 나열된 방향에 수직인 방향으로 전자파를 강하게 복사해서 측면 발사란 용어가 생겼다. 드문 경우지만 함정의 전방이나 후방으로 함포를 쏘는 경우는 [그림 7(b)]와 같이 종단 발사에 해당한다. 함포에 빗댄 원소 안테나가 이번에는 배열의 나열 방향에 평행하게 쏘므로, $\theta_m$ = $0^\circ$ 혹은 $180^\circ$는 종단 발사 배열이 된다.
(a) 기판에 형성한 마이크로스트립 패치 배열 안테나
(b) 측면 발사 배열의 복사 패턴
[그림 8] 측면 발사 배열의 예시인 마이크로스트립 패치 배열 안테나(출처: [2])
측면 발사 배열의 흔한 예는 마이크로스트립 패치 배열 안테나(microstrip patch array antenna)이다. [그림 8]과 같이 μ스트립 패치를 기판에 동일한 간격으로 배치하고 동위상으로 패치를 여기한 경우, 복사되는 전자파는 기판에 수직한 방향으로 전파한다. 이 모습은 측면 발사 형태를 가진다.
측면 발사에 대한
방향도(directivity) $D$는 정규화 배열 인자인 식 (3c)로 계산하면서 원소 개수 $N$이 매우 크다고 가정한다.
(8a)
(8b)
여기서 $x$ = $k L_h \cos \theta$, $L_h$ = $Nd \mathbin{/}2$; $U(\theta)$는
복사 세기(radiant intensity), $P_\text{rad}$는
전체 복사 전력(total radiated power, TRP)이다. 전체 복사 전력 $P_\text{rad}$는
표본화 함수의 제곱 적분으로 쉽게 근사된다.
(8c)
여기서 $k L_h \gg 1$이다. 식 (8c)를 식 (8b)에 대입해서 측면 발사 배열의 방향도 $D_b$를 결정한다.
(9)
[표 1]의 결과처럼 식 (9)는 $N$이 10 이상만 되어도 잘 성립하는 좋은 근사식이다. 또한 1차원 배열이라서 $\phi$방향 빔폭을 $2 \pi$라 간주하면, 식 (9)를 $D_b$ $\approx$ $4 \pi \mathbin{/} (2 \pi \theta_\text{bw})$처럼 연립함으로써 $\theta$방향 반전력 빔폭을 간단한 $\theta_\text{bw}$ $\approx$ $\lambda \mathbin{/} (Nd)$로 유도할 수 있다. 더 정확한 방향도 $D_b$와 반전력 빔폭 $\theta_\text{bw}^b$의 관계식을 얻으려면 식 (5b)와 (9)를 연립한다.
(10a)
(10b)
여기서 $\theta_m$ = $\pi/2$, $N \gg 1$이다.
(a) 야기–우다 안테나의 구조
(b) 야기–우다 안테나의 복사 패턴
[그림 9] 종단 발사 배열의 예시인 야기–우다 안테나(출처: [3])
다이폴 안테나(dipole antenna)의 배열인 야기–우다 안테나
(Yagi–Uda antenna)는 종단 발사 배열의 유명한 예이다. 야기–우다 안테나는 다이폴 안테나 모양인 여러 개의 방향자
(director)를 일직선에 배치해서 배열 안테나가 놓인 방향으로 종단 발사에 해당하는 강한 전자파 복사를 만든다.
식 (9)와 비슷한 방법으로 종단 발사 배열의 방향도 $D_e$를 결정할 수 있다.
(11a)
(11b)
(11c)
여기서 $x$ = $k L_h (\cos \theta - 1)$이다. 측면 발사 배열을 기준으로 종단 발사 배열의 방향도는 2배 혹은 3 dB만큼 더 크다. 식 (10)과 비슷한 방법으로 종단 발사 배열의 방향도 $D_e$와 반전력 빔폭 $\theta_\text{bw}^e$의 관련성도 쉽게 유도할 수 있다.
(12a)
(12b)
여기서 $\theta_m$ = $0$, $\cos^{-1} x$ $\approx$ $\sqrt{2 (1-x)}$, $N \gg 1$이다. 측면 발사 배열과 다르게 종단 발사 배열은 방향도와 반전력 빔폭의 제곱이 상수를 만든다.
[그림 10] 다양한 배열 안테나의 배치 구조(출처: [4])
(a) 균일 사각형 배열(URA) (b) 균일 원형 배열(UCA) (c) 불균일 배열(NUA) (d) 공형 배열(CA)
균일 선형 배열을 시작으로 배열 안테나는 [그림 10]처럼 다양하게 원소 안테나를 배치할 수 있다. 대표적인 예는 균일 사각형 배열(uniform rectangular array, URA), 균일 원형 배열(uniform circular array, UCA), 불균일 배열(nonuniform array, NUA), 공형 배열(共形配列, conformal array)이다.
a. 균일 사각형 배열(uniform rectangular array, URA)
URA는 ULA를 2차원 평면으로 확장한 모양을 가진다. 원소 안테나가 놓인 평면에서 가로와 세로 방향의 원소 간격은 $d_x$와 $d_y$로 각 좌표축에 대해 모두 동일하다.
- 원소 개수 $N$을 늘림으로써 쉽게 고이득 안테나(high-gain antenna, HGA)를 설계 가능
- 대역폭(bandwidth)을 증가시킬 때는 보통 URA를 쌓아올리는 적층을 사용
- 하지만 원소 간격 $d_x, d_y$를 너무 늘리면 격자엽이 생기기 때문에 보통 $d_x$ = $d_y$ = $0.75 \lambda$로 선택
- 원소 개수 $N$을 아무리 증가시켜도 배열 인자의 SLL은 -13.261 dB보다 큼; URA의 SLL을 감소시키려면 원소 안테나의 SLL을 줄여야 함
b. 균일 원형 배열(uniform circular array, UCA)
원소 안테나를 가로와 세로로 배치하는 대신 [그림 10(b)]처럼 방위각 방향으로 균등하게 놓는다. 방위각 간격을 $\Delta \phi$ = $2 \pi \mathbin{/} N$으로 둔 경우, 원소 간격은 $d$ = $2 \rho \sin (\Delta \phi / 2)$ $\approx$ $\rho \Delta \phi$이다. 여기서 $\rho$는 UCA를 구성한 반지름이다.
- 원점 $\rho$ = $0$의 외부에서 들어오는 신호의 방향을 쉽게 탐지 가능
- URA처럼 적층할 필요없이 동일 평면에서도 $\rho$가 다른 UCA를 채택해서 대역폭을 늘릴 수 있음
- 방위각을 따라 전자파의 위상이 돌아가는 OAM 무선(orbital angular momentum radio)용 안테나[5]가 UCA로 쉽게 구현이 됨
- 중심이 비어 있어서 URA에 비해 UCA는 안테나 이득(antenna gain)이 다소 작음
c. 불균일 배열(nonuniform array, NUA)
각 원소 안테나의 복사 특성이 주기성를 가지지 않도록 원소 안테나의 위치를 무작위 혹은 계획된 방식으로 변화시키거나 벌여 놓는다.
- 원소 간격이 불균일하기 때문에 격자엽이 잘 생기지 않음
- 주기성에 의한 SLL의 한계인 -13.261 dB보다 더 작은 SLL을 설계할 수 있음
- 대부분의 경우 안테나 밀도가 URA보다 성기므로 NUA의 안테나 이득은 URA보다 작음
- 설계 변수와 경우의 수가 매우 많기 때문에 NUA 설계는 까다로움
d. 공형 배열(conformal array, CA)
URA, UCA, NUA는 원소 안테나가 모두 같은 평면에 있지만, CA는 안테나가 장착되는 곡면을 따라서 원소 안테나가 놓인다[6].
- 안테나가 외부로 돌출되지 않고 통신 시스템의 굴곡진 외형을 따라 만들어지므로, 구조 모드(structural-mode) RCS가 매우 축소; 하지만 여전히 안테나로 동작하기 때문에 안테나 모드(antenna-mode) RCS는 개선이 안됨
- 통신 시스템의 기구물에 부착할 수 있어서 낮은 외형(low profile) 안테나에 적합; 안테나의 외형은 주로 안테나가 차지하는 부피를 뜻함
- 원소 안테나가 같은 평면에 없어서 위상 보상을 제대로 하지 못하면, 안테나 이득은 URA보다 많이 낮아짐
위상 배열 안테나
(phased array antenna, PAA)에서 빔 조향을 실현하는 방법은
수동 전자 주사식 배열(passive electronically scanned array, PESA, 페사)과
능동 전자 주사식 배열(active electronically scanned array, AESA, 에이사)로 나눈다. 흔히 위상 배열 안테나라고 하면 PESA를 뜻한다. PESA는 [그림 5]처럼 하나의 송신기와 하나의 수신기를 가진다. 이때 원소 안테나로 진행하는 파동의 위상을 조정하기 위해 경로 중간에 원소 안테나별로 위상 천이기
(phase shifter)를 둔다. 송신기에 있는 하나의 RF
(radio frequency) 원천
(source)으로 모든 원소 안테나를 여기하기 때문에, PESA의 RF 원천은 10 kW 이상의 고출력이 가능한
TWT(traveling-wave tube)와
클라이스트론(klystron) 등을 사용한다. 표적 추적을 위한 고도화된 다중빔
(multi-beam)을 처리할 때는 송신기 하나에 수신기가 여러 개인 PESA도 예외적으로 활용할 수 있다.
[그림 11] AWACS에 쓰이는 수동 전자 주사식 배열(passive electronically scanned array, PESA)의 특성(출처: [7])
PESA의 상징적인 사용처는 [그림 11]에 나오는 AWACS의 감시 및 추적 레이다(surveillance and tracking radar)이다. AWACS는 RF 원천으로 1 MW 이상의 출력을 내는 클라이스트론을 2개 장착해서 2대의 PESA로 운용한다. [그림 3]에 보인 슬롯 도파관 안테나의 위상을 바꾸는 위상 천이기는 고출력을 견디는 페라이트(ferrite) 기반이다. 이 슬롯 도파관 안테나를 보호하는 레이돔(radome, radar dome)은 안테나와 함께 회전할 수 있어서 로토돔 혹은 회전 레이돔(rotodome, rotating radome)으로 부른다. PESA의 수신기는 송신기당 하나를 쓰므로, 클라이스트론 하나에 수신기를 하나 배정해서 시분할(time-sharing)로 다중 표적을 추적한다.
[그림 12] 능동 전자 주사식 배열(active electronically scanned array, AESA)의 개념도(출처: wikipedia.org)
[그림 5]에 제시한 PESA와 다르게 [그림 12]에 소개한 AESA는 원소 안테나마다 송수신기를 각각 하나씩 가진다. 요즘에 와서 AESA가 가능해진 이유는 RF 회로 설계의 발달로 RF 원천을 반도체 전력 증폭기인 SSPA(solid-state power amplifier)로 만들 수 있기 때문이다. 개별 원소 안테나에 송신기를 하나씩 장착해서 SSPA는 [그림 5]의 RF 원천과 같은 아주 큰 출력을 낼 필요는 없다. 보통 AESA에 사용하는 SSPA는 수십~수백 W 정도의 RF 전력만 생산한다. 각 송신기가 내는 출력은 작더라도 배열 안테나이기 때문에, 주빔에 집속된 전자파 전력은 굉장히 커질 수 있다. 또한 각 원소 안테나마다 독립적으로 기능하는 송수신기로 인해 AESA는 디지털 빔형성(digital beamforming)까지 완벽히 지원한다. 디지털 빔형성은 기저 대역(baseband)에서 디지털적으로 신호 처리하여 필요한 다중빔을 자유롭게 제어한다.
[그림 13] 항공기용 능동 전자 주사식 배열 안테나의 분해도(출처: [8])
아직까지 AESA는 매우 고가의 장치이기 때문에 주로 항공기용 레이다에 사용되고 있다[8]. [그림 13]에 보인 AESA의 각종 부품은 외형(profile), 성능(performance), 기능(function), 방열(heat) 관점에서 종합적으로 규격을 조정한다.
(a) 안테나 시스템의 분해도
(b) AESA를 채택한 RF 시스템
[그림 14] 스타링크(Starlink) 안테나 시스템의 세부 구성도(출처: [9])
레이다가 아닌 안테나 용도로만 쓰는 AESA의 전형적인 예는 [그림 14]에 보인 스타링크(Starlink) 안테나 시스템(antenna system)이다[9]. 이 배열 안테나의 원소 안테나는 개구 결합 마이크로스트립 패치 안테나(aperture-coupled microstrip patch antenna)이다. 개별 패치 안테나의 아래층에는 [그림 14(b)]처럼 송신기와 수신기가 각 하나씩 배정되어 전체 배열 안테나가 AESA를 형성한다.
1. 핸슨–우드야드 종단 발사 배열(Hansen–Woodyard endfire array) [10]
[그림 1.1] 기존 및 핸슨–우드야드 종단 발사 배열의 복사 패턴 비교(출처: [10])
균일 선형 배열에서 측면 발사 배열보다는 종단 발사 배열의 안테나 이득이 3 dB 정도 더 크다. 이 종단 발사 배열의 안테나 이득을 최대로 높인 경우를
핸슨–우드야드 종단 발사 배열(Hansen–Woodyard endfire array)로 부른다[10]. 종단 발사 배열의 최대 안테나 이득 조건을 구하기 위해 식 (3c)부터 유도를 시작한다. 기존 종단 발사 배열은 위상차를 $\phi_0$ = $-kd$로 설정하지만, 최대 안테나 이득을 찾도록 $\phi_0$ = $-pd$로 놓고 최적 파수
(optimal wavenumber) $p$를 찾는다. 이를 위해 종단 발사 배열의 주빔 방향 $\theta$ = $0^\circ$에서
복사 세기(radiant intensity) $U(\theta)$가 1이 나오도록 정규화하고 식 (11a)에 나온 방향도
(directivity) $D$를 사용한다.
(1.1a)
(1.1b)
여기서 $N \gg 1$, $x$ = $L_h (k \cos \theta-p)$ = $L_h (k q-p)$, $u$ = $L_h (k-p)$, $v$ = $L_h (k+p)$, $L_h$ = $Nd \mathbin{/} 2$이다.
전체 복사 전력(total radiated power, TRP) $P_\text{rad}$를
사인 적분(sine integral) $\text{Si}(x)$로 표현한다.
(1.2a)
(1.2b)
식 (1.2b)에는 변수가 $u,v$인 2개나 있어서 이론화에 걸림돌이 된다. 그래서 $L_h \gg 1$이라고 가정해서 $v \gg 1$인 조건을 식 (1.2b)에 부여한다.
(1.2c)
여기서 $\lim_{x \to \infty}\text{Si}(x)$ = $\pi/2$이다.
[그림 1.2] 매개변수 $u$에 대한 정규화 전체 복사 전력 $g(u)$의 변화(출처: [10])
따라서 식 (1.2c)를 최소로 만드는 $u_\text{min}$이 방향도를 최대로 형성하는 최적 파수 $p_\text{max}$에 연결된다.
(1.3)
여기서 $u_\text{min}$ = -1.460769271850585$\cdots$, $g(u_\text{min})$ = 0.870932056366$\cdots$이다. 이를 모두 종합해서 핸슨–우드야드 종단 발사 배열의 방향도 $D_\text{HW}$를 확정한다.
(1.4)
식 (11c)에 유도한 기존 종단 발사 배열의 방향도 $D_e$와 비교하면 핸슨–우드야드 종단 발사 배열은 방향도가 1.804배 혹은 2.561 dB 정도 더 크다.
2. 자기 상관(autocorrelation) [11]
[그림 2.1] 초광대역(ultra-wideband, UWB) 신호의 전형적인 자기 상관(출처: wikipedia.org)
신호 처리
(signal processing)에 자주 사용하는
자기 상관(autocorrelation) 개념을 도입하면 안테나의 복사 패턴을 더 쉽게 분석할 수 있다[11], [15]. 특히 배열 안테나 분석에 이산 자기 상관
(discrete autocorrelation)은 위력을 발휘한다. 기존 자기 상관과 동일하게 배열 안테나 해석을 위한 이산 자기 상관 $R_{aa}[m]$을 정의한다.
(2.1)
여기서 $m$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm (N-1)$; $n$은 원소 안테나의 색인
(index), $N$은 배열의 원소 개수이며, $a_n$은 원소 안테나의 여기 계수
(excitation coefficient), $n < 0$ 혹은 $n > N-1$이면 $a_n$ = $0$으로 설정한다. 복사 패턴을 검토할 때 자기 상관을 쓰는 이유는 원소 안테나의 자기 상관을 푸리에 역변환
(inverse Fourier transform)한 결과가 전력 기준의 복사 패턴이 되기 때문이다. 예를 들어, 연속적으로 변하는 전류 분포를 $a(z)$라 하고 그 자기 상관을 $R_{aa}(z)$로 두면, $R_{aa}(z)$의 푸리에 역변환이 $\mathfrak{F}^{-1}[R_{aa}(z)](\zeta)$ = $|\mathfrak{F}^{-1}[a(z)](\zeta)|^2$이 되기 때문이다. 여기서 $\zeta$ = $k w$; $w$는 정규화 파수
(normalized wavenumber),
근역장-원역장 변환(near-field-to-far-field transformation, NF-FFT)으로 인해 전류 분포 $a(z)$의 푸리에 역변환은 원역장의 복사 패턴에 연결된다. 비슷한 형식으로
이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform, DFT)을 써서 이산 자기 상관의 역변환을 얻는다.
(2.2a)
(2.2b)
(2.2c)
여기서 $l$ = $0, 1, \cdots, N-1$, $\zeta_l$ = $2 \pi l \mathbin{/} (Nd)$ = $k w_l$, $z_n$ = $nd$이다. 만약 식 (3b)처럼 $a_n$ = $e^{jn \phi_0}$이라면, $a_n$의 IDFT(inverse discrete Fourier transform) 크기는 $\alpha$ = $kdw_l + \phi_0$인 $|F_l|$ = $|\text{NAF}(w_l)|$과 같다. 추가적으로 이산화 복사 패턴인 식 (2.2a)를 더 간단히 기술한다.
(2.2d)
여기서 $R_{aa}[-m]$ = $R_{aa}^*[m]$이다. 일례로서 $[a_n]$ = $[1~1~1]$이면 $[F_l]$ = $[1~0~0]$, $[R_{aa}[m]]$ = $[1~2~3~2~1]$, $[P_l]$ = $[3~0~0]$으로 계산된다. 여기서 $N$ = $3$이며 $[R_{aa}[m]]$의 원소 개수는 $2N-1$이다. 또 하나 중요한 이산 자기 상관의 패턴은 $[R_{aa}[m]]$ = $[1~1~1~1~1]$이다. 이는 전력의 복사 패턴이 고이득 안테나 모양인 $[P_l]$ = $[2-1/N,~0,~0]$으로 나오기 때문이다. 이러한 개념을 크게 확장해서 이산 자기 상관으로 복사 패턴을 분석하는 기준을 설정한다.
- 여분(redundancy): $m$ = $0$을 제외하고 $m \ge 1$에서 $R_{aa}[m] > 1$인 항을 불필요한 과잉으로 여겨서 여분으로 부름; 이 항들은 1 정도만 되어도 주빔 옆의 부엽을 충분히 줄일 수 있기 때문에 1보다 클 이유가 없음
- 구멍(hole): $m \ge 1$에서 $R_{aa}[m]$ = $0$이면 주빔 기여도가 사라지므로 주빔 복사에 대한 구멍으로 이름 붙임
이상을 종합하면 주빔은 크고 부엽은 거의 없는 배열 안테나를 효율적으로 설계할 때는 이산 자기 상관의 여분과 구멍을 최소로 줄여야 한다.
3. 최소 여분 선형 배열(minimum-redundancy linear array, MRLA) [13]
[그림 3.1] $M$ = 4원소(빨간색)로 구성한 $N$ = 7원소(빨간색, 파란색) 크기의 최소 여분 선형 배열(출처: [16])
전파 천문학
(radio astronomy)에 많이 쓰이는
최소 여분 선형 배열(minimum-redundancy linear array, MRLA)은 주어진 길이 $(N-1)d$에서 최소의 원소 안테나 개수 $M$을 쓰면서 주빔
(main beam) 특성은 거의 유지하는 배열 안테나이다[12]–[16]. MRLA는 원소 개수를 줄이기 때문에 SLL은 ULA보다 나빠진다. 여기서 $N$ 및 $M$은 ULA와 MRLA의 원소 개수, $M \le N$이다. 예시로 보인 [그림 3.1]의 4원소
(four-element) MRLA는 [그림 10]을 기준으로 균일 선형 배열에서 특정 위치의 원소를 제거한 불균일 배열의 일종이다. 다만 보통 쓰는 배열 안테나와 다르게 주빔의 빔폭을 극도로 줄이기 위해 원소 간격 $d$를 수십에서 수백 파장 이상으로 키운다. 이로 인해 MRLA에는 [그림 3.2]와 같은 격자엽이 필연적으로 발생한다.
[그림 3.2] 격자엽이 발생한 균일 선형 배열의 예시: $d/\lambda$ = $10$, $\alpha$ = $kd \cos \theta$
원소 간격을 파장 이상인 $\nu$ = $d/\lambda$ = $10$로 설정해서 많은 격자엽이 출현하는 균일 선형 배열(uniform linear array, ULA)의 복사 패턴 예시를 [그림 3.2]에 소개한다. 측면 발사 배열인 [그림 3.2]의 빔폭은 $\theta_\text{bw}$ $\approx$ $1 \mathbin{/} (N \nu)$이다. 주빔 $\theta_m$ = $90^\circ$를 기준으로 양옆으로 생기는 격자엽 개수는 $\sin (\alpha/2)$ = $0$이 되는 대략 $2 \cdot kd \mathbin{/}(2 \pi)$ $\approx$ $2 \nu$개이다. 또한 정규화 파수(normalized wavenumber)로 $w$ = $\cos \theta$로 둔 경우, 격자엽 간격은 $\Delta w$ = $4 \pi \mathbin{/}(kd) - 2 \pi \mathbin{/}(kd)$ = $1 / \nu$로 계산된다.
[표 3.1] 최소 여분 선형 배열의 원소 분포표(출처: [13]–[15])
MRLA 원소 개수 $M$
(● 개수) | ULA 원소 개수 $N$
(●과 ◌ 개수) | 원소 간격
(숫자: $d$의 배수) | 원소 유무
(●: 유, ◌: 무) | 여분 개수 $N_r$ | 구멍 개수 $N_h$ | 가능한 경우의 수 |
|---|
| 3 | 4 | ●1●2● | ●●◌● | 0 | 0 | ${}_{2}C_{1}$ = 2 |
| 4 | 7 | ●1●3●2● | ●●◌◌●◌● | 0 | 0 | ${}_{5}C_{2}$ = 10 |
| 5 | 10 | ●1●3●3●2● | ●●◌◌●◌◌●◌● | 1 | 0 | ${}_{8}C_{3}$ = 56 |
| 6 | 14 | ●1●5●3●2●2● | ●●◌◌◌◌●◌◌●◌●◌● | 2 | 0 | ${}_{12}C_{4}$ = 495 |
| 7 | 18 | ●1●3●6●2●3●2● | - | 4 | 0 | ${}_{16}C_{5}$ = 4,368 |
| 8 | 24 | ●1●3●6●6●2●3●2● | - | 5 | 0 | ${}_{22}C_{6}$ = 74,613 |
| 9 | 30 | ●1●3●6●6●6●2●3●2● | - | 6 | 0 | ${}_{28}C_{7}$ = 1,184,040 |
| " | 31 | ●1●2●3●7●7●4●4●1● | - | 8 | 2 | ${}_{29}C_{7}$ = 1,560,780 |
| 10 | 36 | ●1●3●6●6●6●6●2●3●2● | - | 7 | 0 | ${}_{34}C_{8}$ = 18,156,204 |
정상적인 안테나 응용에서는 [그림 3.2]와 같은 격자엽이 많은 복사 패턴을 사용하지 않는다. 하지만 전파 천문학 분야에는 오히려 [그림 3.2]의 안테나 특성이 꼭 필요하다. 전파 천문학의 배열 안테나는 지구에 위치해서 천문을 관측하기 때문에 이 배열 안테나는 항상 측면 발사 배열(broadside array)이며 멀리서 오는 빛을 집중시키기 위해 안테나 이득을 최대로 높여야 한다. 하지만 전파 망원경(radio telescope)은 단가가 높으므로, 원소 개수를 최소로 줄이고 기존 ULA와 동일한 빔폭을 가지면서 부엽을 극도로 낮추어야 한다. 그래서 원소 간격을 높임으로써 빔폭을 줄이며, 긴 원소 간격에 의해 어쩔 수 없이 생기는 격자엽은 원소 안테나 자체의 높은 안테나 이득으로 제거한다. 다만 격자엽 간격 $\Delta w$ = $1/\nu$ = $\lambda / d$는 전파 망원경이 가진 각도 분해능보다 크도록 원소 간격 $d$를 조정한다. 이러한 복잡한 구성을 만족하는 최적의 배열 안테나가 바로 MRLA이다. 한가지 예를 들면, 해나 달을 관찰하는 전파 망원경은 이 천체의 각지름(angular diameter) 혹은 시지름(apparent diameter)인 $0.5^\circ$보다 $\Delta w$가 크도록 배열을 짜맞춘다. 즉, $\Delta w$ $\ge$ $0.5^\circ \cdot \pi/180$ $=$ $0.0087$ rad이 되도록 $d$ $\le$ $114.6 \lambda$인 배열을 만들어야 한다.
(a) $M$ = $3$, $N$ = $4$
(b) $M$ = $4$, $N$ = $7$
[그림 3.3] 원소 개수 $N$인 ULA를 대체한 원소 개수 $M$인 MRLA
[그림 3.3]은 [표 3.1]에서 $M$ = $3,4$를 선택해서 계산한 복사 패턴을 보여준다. 기존 ULA에서 원소 안테나를 1개 혹은 3개를 제거해도 주빔의 복사 특성은 비슷하다. 다만 원소 안테나가 부족해서 부엽이 약간 커진다. MRLA의 원소 개수가 $M$ = $4$인 경우, 정규화 배열 인자는 다음과 같다.
(3.1)
여기서 $\alpha$ = $kd \cos \theta$ = $2 \pi \nu \cos \theta$이다. 배열 원소가 놓인 간격이 일정하지 않기 때문에 식 (3.1)을 닫힌 형식으로 만들기는 어렵다. 닫힌 형식이 안되는 상태에서 [표 3.1]과 같은 MRLA의 원소 분포표를 어떻게 유도할 수 있을까? 배열 안테나 분석에 식 (3)과 같은 방법론은 유용하지만 등비 급수를 이용한다는 한계가 있다. 등비 급수 이론에서 벗어나려면, 배열 인자를 원래 뜻 그대로인 항별 합산으로 처리하면 된다[15]. 이를 위해 배열 분포 $a_n$을 가지고 식 (2.1)에 정의한
자기 상관(autocorrelation) $R_{aa}[m]$을 도입한다.
(3.2)
여기서 $m$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm (N-1)$; $z$ = $nd$에 원소 안테나가 존재, $a_n$은 $n$번 위치에 원소가 있으면 1[표 3.1에서 ●로 표시], 없으면 0[표 3.1에서 ◌로 표시]이다. 예를 들어, $M$ = $3$, $N$ = $4$인 MRLA는 $[a_n]$ = $[1~1~0~1]$이고 $[R_{aa}[m]]$ = $[1~1~1~3~1~1~1]$을 얻는다. 부엽이 작으면서 주엽은 큰 복사 패턴을 만들려면, [표 3.1]과 같이 여분(redundancy) 개수 $N_r$과 구멍(hole) 개수 $N_h$를 최소로 줄여야 한다. 특히 $N_h$ = $0$이면서 $N_r$을 가장 최소로 줄인 배열을 MRLA로 부른다. 이 MRLA를 설계하는 절차를 소개한다.
[설계법]
- MRLA의 원소 개수 $M$을 정함
- 작은 $M$의 경우에서 유추해 ULA의 원소 개수를 $N$ $\approx$ $M(M-1) \mathbin{/}2 + 1$로 근사함
- 이산 자기 상관 $R_{aa}[m]$을 계산해서 $N_r$과 $N_h$를 얻음
- 여분 개수 $N_r$은 필요 이상의 원소가 있다는 뜻이므로 $N$을 $N_r$만큼 줄임
- 구멍이 생기면 이 영점을 배열 분포로 메우기 위해 $N$을 $N_h$ 정도 늘림
- 이 최적화 과정을 계속 반복하면서 $N_h$ = $0$인 조건에서 $N_r$을 극도로 축소함
______________________________
MRLA의 최적화를 탐구해서 MRLA의 설계에 필요한 ULA 원소 개수 $N$을 다음처럼 공식화한다[16].
(3.3)
점근적 관점에서 MRLA는 ULA의 원소 $N$을 대략 $M$ $\approx$ $\sqrt{2N} + 1$ 정도로 줄인다. 여기서 $N_r$ $\approx$ $\sqrt{N/2} + 1$이고 $M/N_r$은 $\sqrt{2}$에 점근적으로 접근한다. 다만 식 (3.3)은 절대적이지 않고 식 (3.3)을 최대한 만족하도록 배열 분포 $a_n$을 최적화한다. 그 이유는 $M$이 증가함에 따라 [표 3.1]의 결과처럼 탐색해야 하는 경우의 수가 급속도로 커져서 모든 배열 분포를 다 확인하기 어렵기 때문이다.
4. 배열 희소화(array thinning)
주어진 안테나 이득과 부엽 수준을 맞추기 위해 통상적인 배열 안테나를 설계한 후, 안테나 규격 대비 잉여 요소가 있는 불필요한 원소 안테나를 제거해서 기존 배열의 원소를 솎아내는 기법을 배열 희소화(array thinning)로 명한다[17]. 배열 희소화가 적용된 배열 안테나는 희소화 배열(thinned array)이 된다. 배열 희소화는 최소 여분 선형 배열(minimum-redundancy linear array, MRLA)과 비슷한 배열이지만 원소 간격 $d$에서 큰 차이가 난다. 배열 희소화는 통상적인 배열에 적용하기 때문에 격자엽 영향이 적어지는 $d \le \lambda$를 만족한다. 더구나 배열 희소화는 배열의 주기성을 무너뜨리는 불균일 배열(nonuniform array, NUA) 특성이 있어서 격자엽은 더욱 줄어들 수 있다. 하지만 MRLA는 격자엽이 생기더라도 주엽의 빔폭을 줄이는 목적을 가져서 $d$를 수십 파장 이상이 되도록 설정한다. 추가적으로 부엽 수준을 늘릴 때도 배열 희소화가 유리할 수 있다. 균일 선형 배열은 아무리 설계를 잘 해도 SLL이 -13.261 dB보다 낮아질 수는 없다. 평범한 배열 희소화를 하면 원소 안테나가 줄어서 SLL은 ULA보다 더 높아진다. 하지만 SLL을 줄이는 방향으로 배열 희소화의 최적화를 진행하면 SLL을 어느 정도까지 줄일 수 있다.
결국 마지막에는 원소 최적화를 하지만 배열 솎아내기를 시작할 때는 먼저 일정한 규칙을 차용한다.
- 배열 섬세화(配列纖細化, array tapering): 안테나 이득에 큰 영향을 끼치는 중심부는 공간 밀도(space density)를 촘촘히 하고, 주변부로 갈수록 SLL을 만족하는 수준에서 공간 밀도를 성기게 형성; 특정 공간에 원소를 배치할 때는 난수 발생을 활용
- 근역장 분포(near-field distribution): 만들기 원하는 원역장 정보를 알기 때문에 근역장-원역장 변환(near-field-to-far-field transformation, NF-FFT)으로 근역장 분포를 구한 후, 특정 크기 이상 근역장 위치만 남겨서 원소 안테나를 배정함
- 무작위 배정(random allocation): 특별한 대안이 없으면 원소 안테나의 존재 유무를 0과 1의 이진수로 대체해 선택하는 이진 최적화(binary optimization)를 실행함; 설계 목표에 따라 안테나 이득 증가, 부엽 수준 감소, 격자엽 제거 등으로 최적화의 목적 함수(objective function)를 설정 가능
이런 설계 초기값을 기본으로 삼아서 안테나 규격을 만족하며 원소 개수가 최소로 되는 배열 안테나의 짜임새를 확정한다.
[참고문헌]
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차세대 통신을 위한 배열 안테나 기술동향",
한국전자파학회지 전자파기술, 제35권, 제4호, pp. 62–71, 2024년 7월.
[5] 변우진, 홍주연, 이왕주, 김중빈, 김봉수, 강민수, 김광선, 송명선, 이호진, 조용희, "
전파 궤도 각운동량 모드 기술 동향",
전자통신동향분석, 제32권, 제3호, pp. 46–55, 2017년 6월.
[8] 황인수, 이유리, 김종필, 장성훈, 김선주, "
항공기탑재 레이다용 X-대역 Low-Profile 능동위상배열 안테나 설계 및 제작",
한국전자파학회논문지, 제32권, 제2호, pp. 127–143, 2021년 2월.
[다음 읽을거리]
(1.1)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
(2.5a)
(2.5b)
(2.5c)
(2.6a)
(2.6b: $d$ = $\lambda/2$)
(2.6c)
(3.1)
(3.2a)
(3.2b)
(3.3a)
(3.3b)
(3.4)
(3.5a)
(3.5b)
(3.6)
(3.7a)
(3.7b)
(3.7c)
(3.8b)
(3.8c)
