2010년 7월 30일 금요일

전기장(電氣場, Electric Field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[전기력선(electric lines of force)]

[쿨롱의 비틀림 저울(Coulomb's torsion balance)]

[그림 1] 전하에 작용하는 전기력(출처: wikipedia.org)

쿨롱Charles-Augustin de Coulomb(1736–1806)이 1785년쿨롱 49세, 조선 정조 시절에 발표한 전기력(電氣力, electric force)에 대한 유명한 공식[3]–[5]이 식 (1)이다.[쿨롱 대신 드(de) 쿨롱이라 부르기도 하지만, 프랑스 귀족 출신이란 증거는 없다.] 초등학교 시절부터 배우기 때문에 식 (1)이 제시하는 전기력의 관계는 우리에게 매우 익숙하다.

                                (1)

여기서 $k_e$는 쿨롱 상수(Coulomb constant)이며 $q$와 $Q$는 전하(電荷, electric charge), $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$은 전하가 서로 떨어진 거리, 단위 벡터[크기가 1인 벡터] $\hat R$[= $(\bar r - \bar r')/R$]은 $q$와 $Q$를 연결하는 벡터이다. 전하는 뜻 그대로 전기적 무게라고 생각할 수 있다. 마치 무게와 유사하게 전하는 그 양이 클수록 더욱 큰 전기력을 발휘한다. 하지만 한 종류만 있는 무게와 다르게, 전하는 두 종류인 양의 전하 ($+$)와 음의 전하 ($-$)만 존재한다. 이 개념은 미국 건국의 아버지(Founding Fathers of the United States) 중 한 명인 프랭클린Benjamin Franklin(1706–1790)이 1747년프랭클린 41세, 조선 영조 시절에 제안했다. 프랭클린은 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)도 최초로 발견했다.
쿨롱 법칙(Coulomb's law)인 식 (1)의 정성적인 의미는 [그림 1]과 같다. 즉, 같은 극끼리는 서로 밀치고 다른 극끼리는 서로 당긴다. 밀거나 당기는 힘은 거리($R$)의 제곱에 반비례한다.  또한 전하는 두 종류인 양과 음 전하만 존재하며, 전하의 극성에 따라 인력과 척력이 발생한다. 식 (1)에 있는 비례 상수 $k_e$는 진공의 성질을 고려하여 식 (2)로 정의한다.

                             (2)

여기서 $\epsilon_0$은 진공 중의 유전율(誘電率, permittivity)이다. 식 (1)과 (2)에 출현하는 힘의 단위는 N[뉴턴, newton], 전하의 단위는 C[쿨롱, coulomb], 전기 용량(靜電容量, capacitance)의 단위는 F[패럿 혹은 패러드, farad]이다. 단위를 바탕으로 진공중의 유전율 $\epsilon_0$를 살펴보면, 커패시터 혹은 축전기(蓄電器, capacitor)를 만들 때 공간에 아무것도 채우지 않더라도 1 m당 $\epsilon_0$ 만큼의 전기 용량[단위: F]이 생김을 의미한다. 진공중의 유전율 $\epsilon_0$은 측정하지 않고, 이미 정의된 광속 $c$와 측정하는 값인 진공중의 투자율 $\mu_0$으로 환산해서 $\epsilon_0$ = $1 \mathop{/} (c^2 \mu_0)$ $\approx$ 8.8541878128$\cdots \times 10^{-12}$ F/m로 정한다. 식 (1)에 있는 거리 제곱에 반비례하는 성질은 실험적으로 $1/r^{2 + r_e}$ 정밀도로 측정되었다[1]. 여기서 $r_e$ = $(2.7 \pm 3.1) \times 10^{-16}$이다. 이는 정말 놀랄 만한 정밀도이다.

[그림 2] 극성이 다른 전하에 존재하는 전기장(출처: wikipedia.org)

쿨롱의 놀라운 실험식 (1)을 다시 쓰면 전기장(電氣場, electric field) $\bar E$에 대한 정의인 식 (3)을 얻게 된다.

                             (3)

전기장의 단위는 V/m가 많이 쓰이지만, 식 (3)에 바탕을 두고 N/C으로 전기장을 정량화하기도 한다. 전기장 단위는 서로 동등해서 V/m 혹은 N/C을 마음대로 선택해 쓸 수 있다.
식 (3)에서 쿨롱 법칙을 더 단순화하려고 새로운 변수 $\bar E$를 도입한다고 단순하게 생각하면 안된다. 식 (3)의 진정한 의미는 전자기파(electromagnetic wave)를 이해할 때 분명해진다. 쿨롱 법칙에서 극성이 서로 다른 전하는 서로 당긴다. 어떻게 이런 인력이 가능할까? 서로 접촉하지도 않는데 어떻게 전기력은 서로 전달이 될까? 이 문제를 심각하게 고민한 사람은 패러데이Michael Faraday(1791–1867)이다. 패러데이는 전기장이라는 새로운 공간적 특성이 생겨서 서로 잡아당기거나 서로 민다고 생각했다. 이론가 중에서 패러데이의 상상을 진지하게 고민한 최초의 인물이 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)이다. 후일 결국 맥스웰은 전기와 자기는 근본적으로 같음을 수학적으로 명쾌한 미분 방정식으로 증명했다. 따라서 현대적인 의미로 전기장을 정의하면 전기력이 전달되는 범위[마당]가 된다. 전기장이 전달되어야만 전기력이 식 (1)과 같이 생성된다. 전기장이 전달되지 않으면 관찰자 입장에서는 아무런 일도 일어나지 않는다. 이 개념이 전기장 개념의 핵심이다.

[가우스 정리(Gauss' theorem)]

[점전하와 가우스 정리(Gauss' theorem)]

                                 (4)

여기서 점전하는 면적이나 체적을 가지지 않고 점에만 전하가 집중된 가상의 물질이다.

[증명]
식 (3)을 임의의 표면 $s$에 대해 표면 적분하면 어떻게 될까? 식이 복잡해지지 않고 오히려 식 (5)처럼 매우 간단해진다.

                                 (5)
______________________________

식 (5)의 유도에서 입체각(立體角, solid angle) $\Omega$를 식 (6)처럼 정의한다.

                                 (6)

여기서 벡터 $\bar r$[= $(x, y, z)$]은 관측점(observation point), 벡터 $\bar r'$[= $(x', y', z')$]는 원천점(source point)이다. 원천점은 점전하 $Q$가 위치해 있는 점이다. 식 (6)과 같이 입체각을 정의하면 $R$에는 관계없이 공간에 분포한 각도만 정말 나타내는가? 이를 이해하려면 먼저 구 좌표계(spherical coordinate) $(R, \theta, \phi)$를 고려해야 한다. 임의의 면적 미분소(differential area) $d \bar a$는 아래로 표현할 수 있다.

                             (7)

여기서 면적 미분소 $da_R, da_\theta, da_\phi$는 각각 $R, \theta, \phi$ 방향 면적이다. 면적 벡터의 방향은 면적이 정의된 평면에 수직인 벡터로 정하므로 면적 미분소 $da_R$은 단위 벡터 $\hat R$에 수직인 평면이 된다. 즉, 구 좌표계 특성에 의해 $da_R$은 식 (8)로 정해진다.

                             (8)

식 (7)과 (8)을 식 (6)에 넣고 표면 적분을 수행하면 식 (9)의 결과를 넣는다.

                             (9)

식 (9)에서 입체각 $\Omega$는 $R$에는 관계가 없고 오직 공간에 생긴 각도인 $\theta, \phi$에만 관계된다.

[그림 3] $R \ne 0$을 제외한 구모양 체적

식 (4)는 발산 정리를 이용해도 쉽게 증명된다. 구 좌표계에 대해 발산을 적용하면 식 (10)을 얻는다.

                             (10)

만약 $R \ne 0$이면 식 (10)이 성립한다. 그래서 식 (4)에 발산 정리를 적용한 결과는 항상 0이다. 이 결과를 [그림 3]과 같은 구모양 체적에 적용하면 식 (11)이 반드시 성립한다.

                          (11)

여기서 표면적 $S_1$은 $R \ne 0$인 임의의 표면적이며 $S_2$는 구의 표면적이다. $S_2$는 구 표면적이기 때문에 $R$에 대해 대칭적인 결과를 가진 식 (4)의 전기장은 쉽게 적분이 된다. 그런데, [그림 3]에 제시된 체적은 발산 정리가 적용될 수 있는 체적이 아니다. 발산 정리가 적용가능하려면 이 체적이 닫힌 표면적을 가져야 한다. [그림 3]의 체적은 중앙에 구멍이 뚫린 체적이므로 이대로는 발산 정리가 적용될 수 없다. 그래서 복소 함수론의 선 적분과 유사하게 [그림 4]와 같은 적분을 고려한다.

[그림 4] 발산 정리가 적용가능한 구모양 체적(출처: wikipedia.org)

[그림 4]는 닫힌 표면적을 만들기 위해 바깥 표면적에서 내부 표면적으로 인위적인 구멍을 만든다는 의미이다. 또한, [그림 4]는 닫힌 표면적을 가지고 있어 항상 발산 정리를 적용할 수 있다. 이 구멍을 무한히 미세하게 만들면 미세구멍에서 면적 벡터의 크기는 같고 방향은 반대이므로 서로 상쇄되어 표면 적분 관점에서는 [그림 4]의 체적과 [그림 3]의 체적을 동일하게 취급할 수 있어 발산 정리를 적용할 수 있다.
식 (4)는 점전하에 대한 가우스 정리이다. 일반적인 전하 분포는 어떤 특성을 가질까? 일반적인 전하 분포를 다루기 위해 전하 밀도(電荷密度, charge density) $\rho$를 정의한다.

                           (12)

점전하가 아닌 임의로 전하가 분포되어 있으면 전하 밀도를 이용하여 식 (3)을 변형한다.

                           (13)

여기서 $R$은 식 (6)으로 정의되며 관측점과 원천점을 분명히 제시하려고 각각 $\bar r$과 $\bar r'$을 사용한다.

[쿨롱 법칙의 적분형: 일반 전하 분포와 가우스 정리]

                                 (14)

[증명]
식 (13)을 식 (14)에 대입하여 정리하면

                                 (15)

여기서 $Q$는 체적 $v'$ 내부에 포함된 모든 전하량이다. 식 (15)를 보면, 일반적으로 분포된 전하에 대한 최종 결과는 점전하를 가정한 식 (4)와 놀랍게도 동일하다. 식 (15) 유도에는 점전하의 결과인 식 (9) 혹은 (11)을 사용한다.
______________________________

[쿨롱 법칙의 미분형: 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                                 (16)

[증명]
적분 형태인 식 (14)를 미분형으로 표현하기 위해 식 (15)를 다시 생각한다.

                                   (17)

여기서 첫째 줄의 체적 $v$와 $v'$는 동일하다고 가정하여 둘째 줄의 식을 얻는다. 식 (17)의 둘째 줄에서 체적 $v$는 임의로 작게 잡을 수 있으므로 반드시 식 (16)이 성립해야 한다.
______________________________

식 (14)와 (16)에는 가우스 정리를 적용하기 때문에, 쿨롱 법칙이란 이름 대신 가우스 법칙(Gauss' law) 혹은 더 정확하게 전기에 대한 가우스 법칙(Gauss' law for electricity)이라고도 한다. 법칙 이름에 가우스가 붙은 이유는 가우스 정리를 다시 증명해 고전 역학에 적용한 수학자겸 물리학자가 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)이기 때문이다[2]. 가우스 정리는 전기장을 설명하려 만든 명제는 아니지만[원래는 중력을 포텐셜 관점으로 설명하기 위해 가우스가 1813년에 개발], 전기장 표현식에 성공적으로 쓰인다. 다시 한 번 천재 가우스에게 감사한다.
초보적인 전자기학 교재에 출현하는 정전장 문제는 모두 정방향 문제(forward problem)이다. 정전장(靜電場, static electric field or electrostatics)에서 정방향 문제는 전하 분포가 주어진 경우의 전기장 구하기이다. 식 (13)에서 전하 밀도 $\rho$가 정해지고 관측점 $\bar r$이 정해지면 전기장 $\bar E$는 초보적인 적분으로 그 결과를 쉽게 구할 수 있다. 이런 적분을 하기 위해 직접 적분하거나 적분표를 참고할 수 있다. 적분표에도 나오지 않는 적분은 수치 적분(numerical integration)을 하면 된다. 즉, 이런 단순 적분 문제가 정방향 문제이다. 시간만 투자하면 해결이 가능하다. 하지만, 역방향 문제(inverse problem)는 만만하지 않다. 특정 위치에서의 전기장 $\bar E$만 아는 경우,[주로 경계 조건(境界條件, boundary conditions)으로 주어짐] 이 전기장을 만든 전하 밀도 $\rho$ 구하기가 역방향 문제이다. 식 (13)에서 $\bar E$를 알 때 $\rho$ 구하기 문제는 사실 적분 방정식(積分方程式, integral equation) 풀기이다. 적분 방정식을 풀 수만 있다면 역방향 문제는 쉽게 해결할 수 있다. 하지만 생각해보라. 적분을 하기가 쉬운가, 적분 방정식을 풀기가 쉬운가? 우리는 왜 정방향 문제보다는 역방향 문제를 고민해야 하는가? 현실적으로 우리는 눈에 보이지 않는 전하 분포를 정확히 측정할 수가 없다. 측정 가능한 전기장을 통해 거꾸로 전하 분포를 추정해야 한다. 즉, 정방향 문제는 교재에만 나올 뿐 현실적이지 않으므로 실제 문제는 역방향 문제로 접근해야 한다. 일단 전하 분포만 구해지면 정방향 문제가 되므로 식 (13)처럼 적분해서 모든 영역의 전기장을 얻을 수 있다.

[그림 5] 수소 원자의 파동 함수(출처: wikipedia.org)

쿨롱 법칙인 식 (1)은 매우 훌륭한 실험식이지만 $R \to 0$으로 가까이 가면 발산한다. 전기력이 발산하면 그에 해당하는 에너지도 발산하므로 물리적으로 문제가 있다. 이 문제를 해결한 답은 양자 역학(量子力學, quantum mechanics)이다. 전자(電子, electron)의 위치는 특정할 수 없고 마치 구름처럼 확률적으로 양성자(陽性子, proton) 주위에 분포한다. 그래서 [그림 5]처럼 수소 원자 내부인 $R$ = $0$ 위치[양성자의 위치]에 전자가 있다고 확정적으로 말할 수 없지만 평균적으로는 $R$ = $0$에 전자가 있으므로 외부에서 볼 때 수소 원자는 극성을 가지고 있지 않다. 이런 방식으로 전자와 양성자의 특성을 설명하면 실험 결과를 매우 잘 예측할 수 있다. 따라서 쿨롱 법칙은 매우 작은 전자와 양성자 크기 범위에서도 여전히 유효하게 된다.

[그림 6] 전리층의 대기상 분포(출처: wikipedia.org)

전기장의 단위 V/m의 크고 작음을 경험적으로 이해할 때는 전리층(電離層, ionosphere)에 의해 생기는 지면의 전기장 크기를 보면 쉽다. 전리층은 태앙 복사(solar radiation), 특히 자외선에 의해 열권(熱圈, thermosphere)의 대기 분자가 해리되어 생긴 전자(electron) 및 하전된 원자나 분자가 만드는 도체층이다. 하전된 원자나 분자에 비해 전자는 쉽게 움직일 수 있어서 전리층은 ($+$) 전하를 띠고 접지 역할을 하는 지면에는 ($-$) 전하가 모인다. 그래서 전리층과 지면은 일종의 구면 커패시터(spherical capacitor)를 이룬다[7]. 지면에서 측정한 전기장은 위치마다 다르지만 대표값은 120 V/m이다. 보통 사람의 키 정도를 가정하면 발끝에서 머리끝에 걸린 전압은 100 V에서 200 V 정도가 된다. 우리가 멀쩡히 살아있다는 사실에 따라 120 V/m 정도의 전기장은 우리 몸에 어떤 해도 끼치지 못한다. 지면에서 대기까지 생각의 범위를 늘리면, 고도가 높아짐에 따라 전기장의 크기는 줄어들어서 전리층의 전기장은 거의 0에 가깝다. 더 구체적으로 측정한 전기장은 고도가 1 km 정도 높아질 때 지수 함수적으로 $e^{-0.6}$ $\approx$ $0.55$만큼 감소한다. 그러면 지면 기준으로 전리층에 생성된 전압(voltage) $V_i$ $\approx$ $200$ kV 정도 된다.

                  (18)

여기서 $E_g$는 지면 전기장이며 대략 120 V/m, $\alpha$ = $0.6$ km$^{-1}$, $h$는 전리층의 높이이다. 전기장의 지수적 감소는 대기층의 전기 저항(electrical resistance) 혹은 전기 전도도(electrical conductivity)에 기인한다. 지면 바로 위에는 절연체인 대기층이 두텁고 자외선은 약해 자유 전하가 거의 없으며 대신 높은 저항만 있다. 하늘 높이 가면 대기는 옅어지고 자외선에 의한 자유 전하가 늘어서 전기 전도도가 커져 저항이 낮아진다. 그래서 지면에서는 전기장이 크고 높은 고도에서는 전기장이 약해진다. 

[참고문헌]
[1] E. R. Williams, J. E. Faller,and H. A. Hill, "New experimental test of Coulomb's law: a laboratory upper limit on the photon rest mass," Phys. Rev. Lett., vol. 26, no. 12, pp. 721–724, 1971.
[2] C. F. Gauss, Theoria Attractionis Corporum Sphaeroidicorum Ellipticorum Homogeneorum Methodo Nova Tractata (The Theory of Attraction of Homogeneous Spherical and Elliptical Bodies - A New Method Treated), 1813.
[3] C.-A. de Coulomb "Premier mémoire sur l’électricité et le magnétisme (First memoir on electricity and magnetism)," Mémoires de Mathématique et de Physique (Memoirs of Mathematics and of Physics), Académie Royale des Sciences (Royal Academy of Sciences), pp. 569–577, 1785. (In French)
[4] C.-A. de Coulomb "Second mémoire sur l’électricité et le magnétisme (Second memoir on electricity and magnetism)," Mémoires de Mathématique et de Physique (Memoirs of Mathematics and of Physics), Académie Royale des Sciences (Royal Academy of Sciences), pp. 578–611, 1785. (In French)
[5] C.-A. de Coulomb "Troisième mémoire sur l’électricité et le magnétisme (Third memoir on electricity and magnetism)," Mémoires de Mathématique et de Physique (Memoirs of Mathematics and of Physics), Académie Royale des Sciences (Royal Academy of Sciences), pp. 612–638, 1785. (In French)
[6] 김세윤, 전자기학, 제3판, 퍼스트북, 2020.
[7] T. Edwards, "Electric field on earth," The Physics Factbook, 1998. (방문일 2023-12-26)

[다음 읽을 거리]

댓글 78개 :

  1. 전파거북이님 안녕하세요
    저는 전자공학도 학생인데 전파거북이님이 정리해 놓으신 자료가 너무 좋아서 개인적으로 공부하기 위해 스크랩할게요.
    혹시 기분이 나쁘시다면 바로 삭제하겠습니다.
    저의 블로그 주소는 blog.naver.com/werty03 입니다.
    확인 부탁드릴게요 :)

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    1. 아래글에도 있지만 출처만 밝히시면 문제 없습니다. ^^ 감사합니다.

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  2. 안녕하세요. 전자기학을 공부하다 의문점이 생겨서 한 가지 여쭤보고자 합니다.
    전하가 존재하면 그 주변에 전계가 형성된다고 배웠습니다. 그런데 형성된다는 말은 최종 결과에 대한 기술이지 그 과정에 대한 정보는 담고 있지 않습니다.
    전파 거북이님의 블로그를 보고 제가 제대로 이해했다면, 전계는 전하에서 빛의 속도로 나와서 형성되게 됩니다. 즉, 만약 아무것도 존재하지 않는 진공의 무한한 공간에 전하를 마법처럼 나타나게 한다면 전하가 나타나는 바로 그 순간 그 전하로부터 전계가 사방으로 빛의 속도로 뻗어나가 공간을 전계로 가득 채우게 될 것입니다. 그리고 그 공간에 진공과 다른 유전율을 가진 물체를 생기게 한다면 그 물체가 생기는 순간 그 물체의 내부에도 빛의 속도로 전계가 형성될 것입니다. 그 말은 전하로부터 전계가 끊임없이 연속적으로 뻗어 나오고 있다는 뜻인데, 전계가 어떻게 화수분처럼 전하로부터 끝없이 뻗어 나올 수 있는 건가요? 전계를 날려 보낸다는 것은 동적인 의미를 포함하는데 동적 상태가 무한히 지속되기 위해서는 외부에서의 에너지 공급이 필요하지 않나요? 왜 전하는 ‘닳아지지’ 않나요?

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    1. 멋진 질문입니다, 익명님! 말씀하신 것의 답은 저도 모릅니다. ^^ 물리학 기저에 깔린 기초적인 의문이라 답을 하기 어렵지만 계속 고민해 보십시오. 제기하신 것과 같은 근본적인 질문으로 인해 물리학이 획기적으로 발전될 수 있습니다.

      근본적인 질문은 제외하고 수월한 것만 설명하면 아래와 같습니다.

      - 왜 전하는 ‘닳아지지’ 않나요?

      전하가 없어지려면 전하량 보존법칙에 의해 전류 형태로 흘러야 하나 진공 중에 있는 고정된 전하이므로 전류를 만들 수 없습니다. 그래서 전하량은 고정되어야 합니다.
      하지만 전하량 보존법칙이 왜 성립되어야 하는 지는 명확하지 않습니다. 뇌더의 정리(Noether's theorem)를 이용하면 전하량 보존법칙은 게이지(gauge) 불변과 등가입니다. 하지만 이 관점에 대해서도 끊임없는 왜가 가능합니다.

      - 동적 상태가 무한히 지속되기 위해서는 외부에서의 에너지 공급이 필요하지 않나요?

      맞습니다. 반드시 에너지가 있어야 합니다. 문제에서 전하가 갑자기 생겼다고 했지요. 이게 에너지를 공급한 것입니다. 얼마만한 에너지가 있어야 하냐면 전하가 만드는 전기장 에너지 전체입니다.

      - 바로 그 순간 그 전하로부터 전계가 사방으로 빛의 속도로 뻗어나가 공간을 전계로 가득 채우게 될 것입니다.

      이를 설명하는 것이 맥스웰 방정식입니다. 하지만 맥스웰 방정식은 실험을 기반으로 만든 것이어서 정량적인 평가나 계산은 가능하지만 왜 전하가 전기장을 이렇게 만드는 지는 설명할 수 없습니다. 맥스웰이 살던 당시에는 가상의 에테르로 설명했지만 상대성이론으로 폐기되었습니다.

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  3. 좋은 답변 감사합니다. 전파 거북이님의 학문적 수준과 방대한 지식에 놀랄 따름입니다.
    얼마나 많이 공부하시고 고민하셨을 지를 생각하면 제 자신이 부끄러워집니다.
    더 열심히 공부하고 고민하겠습니다.

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  4. 너무 자료가 좋으셔서 좀 퍼갈게요~~! 출처기입 꼭 하겠습니다~!

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    1. 출처만 밝히시면 언제든 환영입니다. 많이 퍼가세요.

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  5. 전파거북이님 전기장에 대해서 모르는게 있어서 질문이 있는데요.. 미소전하량을 이용해서
    dE= dq/r^(2) 식으로 전기장을 구하는데요.. 여기서 궁금한게 양변에 적분을 하면 왼쪽 식에서는 E_f - E_i
    가 되는데요 여기서 E_i는 무엇을 의미 하죠? 보통 책에서는 dE를 적분을 하면 E로만 표시하고 적분 구간도 없어서 모르겠습니다.. E_f - E_i 자체가 E라는 뜻인가요? 너무 궁금해요

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    1. 단순한 부정 적분으로 생각하면 말씀하신 것과 같은 오류에 빠지게 됩니다.
      $dq$는 차분($\Delta q$)의 극한에 해당하는 미분소(differential)입니다. 미분소인 $dq$를 한없이 모아 정적분을 구합니다. 즉, 미분의 역연산으로서의 적분을 생각하지 마시고 정적분 정의를 생각하세요.

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  6. 정적분이니 E_i는 부정적분을 하고 변수에 i(initial 값)을 대입했다는 의미이고, E_f는 변수에 f(final) 값을 대입한 것이라는 의미인가요?

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    1. 그런 뜻은 아닙니다. 정적분 의미가 차분의 극한을 무한히 더한 것이므로 전기장 기여를 계산할 때도 미소 전하($\Delta q$)의 극한을 무한히 더해야 한다는 뜻입니다. 아래 적분법의 의미를 한 번 더 보세요. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/integration.html

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  7. E_f - E_i 는 그냥 E라는 것이에요?

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    1. 정적분이기 때문에 전하량이 없을 때는 0이 되어야 합니다. 따라서 $E_i = 0$이라 생각할 수 있습니다.

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  8. 전파거북이님 질문하나 하겠습니다.
    전류 i(t)=dq/dt에서 전하량 q를 구하면 dq=i(t)dt에서 양변을 적분하면 int dq=int i(t)dt
    좌측항에 int와 d는 상쇄가 되어 Q=int i(t)dt가 된다고 설명을 들었습니다.
    여기서 우측항의 int와d는 어째서 상쇄가 않되는지요? 기초가 없어 이해하기 힘들군요 설명해 주시면 감사하겠습니다..^^

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    1. $i(t)$를 몰라서 그렇습니다. 만약 $i(t) = 1$이면 $\int i(t) dt = t$가 됩니다. (적분 상수 무시)
      적분을 공부하시면 이해할 수 있을 것입니다.

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    2. 답변해 주셔서 정말 감사합니다.
      죄송한데 한가지만 더 여쭈어 보겠습니다.
      그러면 ∫idt=it 가 될수도 있다는 말씀 같은되요. 여기서 (t)는 뭘 의미하는 것인지요?

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    3. 함수 $f(x)$의 $x$와 같은 의미입니다. 즉, 함수의 정의역입니다.

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    4. 전파거북이님 정말 감사드려요..^^

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  9. 전파거북이님 항상 자료 감사히 잘 보고있습니다~감사합니다^^ 바쁘시겠지만 질문 하나 드릴게요ㅠㅠ 이 글에서 정전장(靜電場, static electric field)이라는 용어가 나오는데 전기장?전기장의세기?가 일정한 필드라는 뜻인가요? 그리고 만약 맞다면 어떤 전하 Q에 의해 생긴 전기장은 전하로부터의 거리의 제곱에 반비례한다고 하였는데 어떻게 일정할수가 있는지요? 너무 바보같은 질문인것같은데 답변 해주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ벼ᆞ

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    1. 세상에 바보같은 질문이 어디 있겠습니까! 다 소중한 질문입니다.

      정전장은 시간에 대해 전기장의 세기가 일정하다는 뜻입니다. 공간적으로는 당연히 변해야 합니다.

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    2. 우와 정말 빨리 답변해주셨네요 감사합니다~^^ 확실히 알게 되었습니다!

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  10. 안녕하세요 전파거북이님 전기장을 공부하면서 모르는것이 생겼는데요ㅠㅠ
    전기장의 세기는 전하 q의 거리의 제곱에 반비례한다는것을 알겠는데 방향이 어떻게 생각해야될지 모르겠어요ㅠㅠ
    결국 방향은 전하 q를 둘러싼 구의 미소면적 ds의 모든 방향 360라고 생각해도될까요??
    그렇다고한다면 벡터 E를 썻을때 방향은 360도로 수많은 방향이 존재하기때문에 특정한 방향을 원할때
    잘못 표기한게 되는건가요??

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  11. 점전하인 경우 전기장의 방향은 $r$방향입니다. 원점을 중심으로 전기장은 모든 방향으로 뻗어 나갑니다.

    특정한 방향으로 전기장을 만들려면 무한한 면전하를 만들어야 가능합니다.

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    1. 빠른 답변 감사드립니다 많은 도움이 되고있습니다 ㅎㅎ

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  12. 이 같이 정리를 잘 해 놓으시다니 존경스럽습니다.

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  13. 식 (17) 의 가장 오른쪽 적분식에서
    v'을 정의역으로 하는 삼중적분을 표기하려고 하신 것이 맞다면,
    Tex 표현에서 적분 구간이 v'로 표현되어야 하는 것이, v부터 ' 까지로 표기된 것 같습니다.

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    1. 오타 지적 정말 감사해요, CHK님. ^^ 계속 틀려 있었네요.

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  14. 안녕하세요. 전파거북이님 요새 한창 전자기학을 혼자서 공부하는 학생입니다.
    홀로 유튜브의 공개강의를 전전하며 공부를 하다보니 제가 맞게 공부를 하고있는지도 의심이 들때가 항상 드는데 질문할 곳은 없고, 하여 질문을 하고자 합니다.

    만약에 동축케이블(coaxial-cable)과 같은 형상에서 코로나 방전에 대하여 최대한 간단하게 maxwell방정식을 풀고자 하고 있는데요, 아래의 글이 두서없이 쓰여 엉망이더라도 조언 부탁드립니다...

    1+) 먼저 중심선의 전압을(임의지정:30KV)지정하고, 외부도체경계(cylinderical surface)에 0을 주어 Laplace equation을 풀어 초기의 V-field와 E-field를 얻어내는것이 첫번째라고 생각하였습니다.

    2+) 전압에 대한 analytic function을 이용하여 경계에서의 전류와 전하밀도에 관한 값을 구하여 초기에 전하밀도를 찾아내어 전하밀도에 대한 초기 규모를 설정한다고 생각하였고.

    3+) E-field vector의 방향과 크기를 따라서 전하밀도에 영향을 주고,(Method of characteristic을 이용하여 안쪽 축(혹은 선wire)의 초기 밀도를 가지고 밀도장을 형성)

    4+) current-density의 관계(전기적 흐름의 연속방정식)에서 안쪽 축에 주어진 흐름을 추정(임계치에수렴)하여 전하밀도를 추정하고자 하고.

    5+) 밀도를 가지고 밀도/유전율을 Laplace equation에 대입하여 Poisson's equation을 풀고자 하는데요(이 과정에서 3,4,5는 동시에 풀어낸다.)이 과정이 적합하게 들리는지 궁금하고, 흐름과 밀도의 관계에서 흐름에 대한 continuity equation을 구할때 (전류X실린더표면적) 으로 생각하고 계산하면 될지 궁금합니다.

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    1. 익명님, 코로나 방전 관계식 유도는 만만하지 않습니다. 여러 가지 가정이 들어가기 때문에 적당한 책을 찾아서 기본부터 유도해 가시는 것을 추천합니다.

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  15. 안녕하세요 전파거북이님 해외에서 전자기학 공부를 막 시작한 학생입니다.
    전기장 을 구하는 것에 대해 질문좀 드릴려고 합니다

    정해지지 않은 3차원 공간자체에 전하밀도가 정해져있다면 그 전기장은 어떻게 구하면 될까요?

    광의적분과 절대수렴을 이용하라고 하는데 정말
    하나도 모르겠어서 질문드립니다

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    1. 수학적으로는 식 (13)을 쓰면 됩니다. 하지만 실제 문제에서는 원천점과 관측점이 일치하는 경우($R = 0$)가 생겨 적분이 쉽지 않습니다. 이 분야 전공자들도 항상 골치 아파하는 부분이에요.
      보통 쓰는 방법은 $R \ne 0$인 경우는 단순 적분으로 구하고, $R \approx 0$인 경우는 근사 조건을 이용해 해석적으로 적분을 시도합니다.

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  16. 안녕하세요 전파거북이님
    정전기에 대한 아이디어로 현재 실험을 진행하고 있는 대학원생입니다
    전기와는 거리가 먼 학과라서 실험을 진행하다보니 도저히 홀로 풀수 없는 문제가 생겼는데요
    궁금증들을 풀고 싶어 전문가분께 도움을 얻고자 합니다
    죄송하지만 몇가지 질문을 드려도 될지요

    먼저는 +로 대전된 대전체로부터 발생되는 정전기장의 범위를 넓힐 수 있는 방법이 있는지 궁금합니다.
    전기장의 세기는 전기장의 범위와 비례하는것인지..전압이 높아지면 전기장의 세기와 범위가 커지는것인지요

    또 한가지의 질문은
    마찰전기에 의해 대전된(+) 대전체가 갖는 정전기장과
    고전압 발생기를(파워서플라이) 이용해 +전압을 인가한 대전체에서 발생되는 정전기는 같은것인지 궁금합니다

    바른 질문을 드린것인지 의문입니다
    부탁드립니다

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    1. 반갑습니다, ddaosi님. ^^

      1. 동일한 전하량 기준으로 전기장의 전달 범위를 늘리려면 대전체의 모양을 평면 형태로 만들어야 합니다. 구 형태는 $1/r^2$로 떨어지므로 전달 범위에는 약점이 있습니다.

      2. 전압을 높이면 많은 전하가 모이고 전하가 전기장을 만들므로, 전압을 높이면 전기장의 세기가 세지고 전달 범위도 늘어납니다.

      3. 전하를 어떻게 분리했는가와 관계없이 전하는 동일하므로, 당연히 정전기 특성도 동일합니다.

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  17. 정말정말 감사합니다
    밤새 인터넷 자료들을 검색하며 찾아봐도 명확한 답이 없었는데
    답변에 다 있네요 ㅠ


    몇가지 더 질문을 드려도 될지요..ㅎ

    만약 동일한 형태의 도체구 4개가 있다고 하였을때
    한개의 도체구에 10kv의 전압을 인가하고 나머지 3개를 도선으로 연결하면 4개의 도체구 모두 10kv를 갖게 되는건가요?

    전기력선은 도전체 한 점?에서 언제나 수직이라고 알고 있습니다
    10kv의 전압을 두개의 모양과 크기가 다른 도체에 인가시켰을 경우
    각 도체의 어느 한점으로부터 발생되는 전기력선의 크기와 전기장의 범위는 같은건지요

    10kv 전압이 인가된 종류가 서로다른 두 도전체(예를들어 구리와 알루미늄) 에서 생성되는 전기장의 범위또한 같은지 알고 싶습니다

    정리하자면,, 전압이 같다면 대전도체의 종류 모양 크기와 상관없이 대전체 어느 점으로부터 발산되는 전기력선과 전기장의 크기는 동일한건지 궁금합니다

    10kv가 인가된 구리와이어 양 끝을 C 자로 구부리면 양끝단에서 발생되는 전기장이 합쳐져서 커질 수 있는것인지요

    만약 ㅡ , ㅡ 처럼 길이가 동일한 도체와이어를 > 요렇게 되도록 놓으면 각각 와이어 끝단에서 발생되는 전기장이 합쳐질 수 있는지 궁금합니다
    중첩의 원리라는게 여기에 적용시킬수 있는것인지..

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  18. 1. 맞습니다. 도선으로 연결하면 전위는 같아집니다.

    2. 아닙니다. 대전체의 모양에 따라 전기장은 달라집니다.

    3. 전기장은 뾰족해질수록 커집니다.

    4. 원칙적으로는 안됩니다. 도체 선이 존재함으로 인해 선끼리 상호 결합이 생기기 때문에 동시에 계산을 해야 합니다.
    떨어진 거리가 멀다면 상호 결합은 약해지기 때문에, 이 부분을 무시하고 근사적으로 중첩의 원리를 사용할 수는 있습니다.

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    1. 답변 감사합니다
      많은 의문이 풀렸네요!
      정말 감사합니다 거북이님 ㅎㅎ

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  19. 안녕하세요 블로그를 즐겨보는 1인입니다.
    질문이 있는 데 위에서 질문한 도체의 끝이 뾰족할 수록 전기장이 쌔지는 이유를 알 수 있을 까요?
    그리고 대부분의 전기장 선을 그림2처럼 그리던데 특별한 이유가 있나요? 제가 추측하기로는 (+)전극에서 모든 방향으로 발산되어야하고 이렇게 발산된 전기장이 (-)전극으로 모두 빨려들어가야 저희가 쓰는 쿨롱 힘공식에 맞게 적용될 거 같긴한데 (그래야 막스웰방적식도 맞으니깐) 혹시 제가 이해를 잘 못하고 있는 건가요? 아님 다른 특별한 의미가 더 있나요?

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    답글
    1. 쉽게 생각하면 끝 부분이라서 그래요. 쿨롱 힘에 의해 전하가 궁지에 몰리면 더 달아날 공간은 없기 때문에 단위 면적당 전하가 많아져요. 그러면 전기장이 커집니다. 정량적인 설명은 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/08/metal.html

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  20. 안녕하세요 전파거북이님.
    전자기학 관련 좋은 정보 올려주셔서 감사드립니다.

    최근 전자기학에 많은 관심이 있어 공부 중인데 몇가지 궁금한 점이 생겨서 이렇게 질문을 드리게 되었습니다. 두서 없이 질문을 하더라도 먼저 양해를 부탁드립니다.

    1. 쿨롱의 법칙 관련입니다.
    1) 쿨롱이 쿨롱의법칙을 발견하고 논문을 작성할 당시 쿨롱상수는
    단지 Ke라는 표현많을 한것인가요? 아니면 어떠한 상수값을 명시하였나요?
    제가 알고있는 쿨롱상수 값인 9x10(9)은 MKS 단위계를 사용할 시 값을 말하는데
    이 단위계는 19c에나 정립이 된걸로 알고 있습니다.(즉, 쿨롱 사후 이죠)
    쿨롱이 cgs 단위계를 사용하였다면 쿨롱상수는 1이기 때문에 상수로서 의미가
    사라지게 됩니다.
    2) MKS 단위계에서는 쿨롱상수 값이 9x10(9) NC(2)M(-2)이 되는데 어떻게
    이와같은 상수 값이 나오게 되는지 궁금합니다.
    (제가 알아본 바로는 1/4파이입실론 이 값은 1892년 영국의 전기공학자인 헤비사이드가
    제안한것이 SI에서 채택되서 사용되었다 정도 알고 있습니다. 즉, 단지 9x10(9)의 값을
    표현하는 방식임)
    2. 진공의 유전율 관련입니다.
    1) 진공의 유전율은 역사적으로 누가 제일 먼저 제안했는지 궁금합니다.
    공부하다 보니 가우스법직에 처음으로 등장하는 것을 봤는데 가우스가 맞는지요?
    2) 처음 진공의 유전율이 제안되었을 때 그 값은 실험식으로 구한것인지요?
    실험으로 구하지 않았다면 어떻게 그 값을 정의하였는지요 ?
    (현재는 전기상수라 하여 빛의속도 값과 진공의 투자율 값을 이용하여 정의하고 있는
    것을 보았습니다.)
    3. 맥스웰 방정식 관련입니다.
    1) 맥스웰은 파동방정식에 사용된 진공의유전율/투자율을 통해 속도를 구하고
    그 속도가 당시 막 발견되기 시작한 빛의 속도와 같다는 것을 알고
    결국 빛이 전자기파라는 것을 예언하였습니다. 그렇다면
    이때 사용한 진공의유전율 값과 진공의투자율 값은 어떤 값을 사용하였는지요 ?

    결론적으로, 제가 궁금 중이 생긴 이유가 마지막 맥스웰 방정식을 공부하면서 부터였습니다.
    맥스웰 당시에 과연 어떻게 진공의유전율/투자율 값을 알고있었을까?
    지금 정의된 진공의유전율(전기상수)은 빛의 속도와 투자율을 통해 그 값을 정의하고있는데
    도대체 맥스웰은 어디서 어떻게 유전율 상수 값을 알았다는것이지? 이렇게 꼬리를 물기 시작하더군요. ^^;;
    단지 아 그렇구나 하고 넘어가면 되는데 전자기학은 뭔가 앞 뒤가 정확히 맞지 않는 느낌이
    들어서 그냥 그렇구나 하고 넘어가기가 쉽지 않습니다.
    답답한 나머지 이곳에 이렇게 두서없는 질문을 적어봅니다. 고맙습니다.




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    1. 1. 쿨롱이 연구하던 시절은 절대 단위계가 없었기 때문에, 상대 단위계를 사용했습니다. 예를 들면 실험에서 전하를 반으로 나누면 전기력도 반이 되므로, 전기력은 전하에 선형 비례한다 정도의 공식화입니다. 이런 여러 과학 실험들을 절대화 하려한 시도가 프랑스 혁명 때 나타난 그램과 미터법입니다.
      전기력을 절대화하려면 길이, 전하, 힘이 정확히 정의되어야 합니다. 세부 정의는 인터넷에 찾아보세요.

      2. MKS 단위계의 역사를 한 번 찾아보시기 바랍니다. 진공 중의 유전율과 투자율은 MKS
      단위계를 전자기 분야로 확장하면서 정한 것입니다.
      패러데이의 유전체(dielectric) 실험과 가우스의 지자기 실험 등을 시작으로 여러 결과들이 쌓인 것이라 진공 중의 유전율(vacuum permittivity)을 누가 먼저 제안했는가는 애매합니다. 다만 유전율과 투자율이 단위를 가져야 편하다는 사실은 헤비사이드(Heaviside)와 지오르지(Giorgi)의 업적입니다. SI 단위계에 지대한 공헌을 한 것도 지오르지입니다.

      3. 유전율과 투자율은 회로 실험으로도 대충 구할 수 있습니다. 진공 중의유전율과 투자율을 잘 조합하면 빛의 속도가 된다는 것은 맥스웰 이전에도 알려진 유추였습니다. 맥스웰은 이 경험적 유추를 파동 방정식으로 증명했다는 것이 더 과학사적으로 맞습니다.

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  21. 답글 정말 고맙습니다. 전파거북이님.

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  22. 안녕하세요 전파거북이님!
    현재 Electrospinning 주제로 연구진행중인 석사생입니다.
    현재 저희 실험환경은 주사기로 용액을 분사시키는 동시에 바늘 끝에(+)극, 일정거리 떨어진 곳에 (-)극을 물린 은 입자 패턴이 있습니다.
    단순한 생각으로는 전기장 형성이 전하량이 높은 Ag쪽으로 되어 용액의 분사가 패턴쪽으로 유도가 될 줄 알았는데, 결과는 수직하강이었습니다.
    문제의 예상되는 원인중에 하나가 패턴 기판에 은나노 입자의 활성화를 위한 KCl이 분포되어 있는데 이게 문제가 될 수 있을까요? KCl은 용액으로 증착시킨 뒤, 솔벤트를 완전증발시켰습니다.

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    1. 안녕하세요, Unknown님. ^^ 전문적인 분야라 도움이 되려나요?

      1. (-)극이 문제라 생각되면, 평범한 금속판으로 대체해서 실험해 보면 확실히 알지 않을까요?

      2. 결정화된 KCl은 부도체라서 문제 없을 것 같은데요, 혹시 모르니 저항계로 전기 저항을 재보세요. 측정 결과가 "개방(open)"으로 나오지 않으면 저항 손실이 있는 거에요.

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  23. 안녕하세요 잘 읽었습니다. 궁금한게 있는데요
    전계가 전하와의 거리에 따라 달라지는데
    평행한 커패시터에서 유전체에서의 전계가 만약 상수로 주어진다면 (예를 들어 10az- z의 방향벡터)
    어떻게 커패시터 내에서 거리와 상관없이 일정할 수 가 있는건가요?

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    1. 평행판 커패시터의 면적이 무한대이기 때문에 전기장이 일정할 수 있습니다. 만약 면적이 유한하다면, 예상하시는 대로 전기장은 거리에 따라 변합니다.

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  24. 공부하다 궁금한게 생겨서 질문드립니다.
    전기장과 전기장의 세기는 구분되어야 하는 개념인가요?
    제가 아는 바를 적어보자면
    1.전기장이란 원천전하에 의해 전기력을 발생시킬 수 있는 공간이자 전기력을 발생시킬 수 있는 잠재능력
    2.전기장의 세기란 원천전하에 의한 전기장 내에서 단위전하(1C)가 받는 힘
    으로 알고 있습니다.
    그런데 보통 책에서 보면 전기장을 두번째의 전기장의 세기로 정의해서 쓰더라구요.
    전기장의 단위가 N/C 이라고 해야되는지 전기장의 세기의 단위가 N/C 이라 해야되는지 혼동됩니다..

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    1. 두 가지를 서로 구별할 필요는 없어 보여요, 나도거북이님. 전기장은 전기력을 전달하는 범위이기는 하지만, 측정하려면 전기력과 관계 지을 수밖에 없어요.
      그리고 전기장의 단위는 주로 V/m를 씁니다. 전기장의 단위로 N/C를 쓸 수도 있겠지만, 전기장을 전압과 관계지어 V/m로 함이 더 적절해요.

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  25. 전파거북이님 안녕하세요. 윗댓글중 전하가 어떻게 무한히 전기파를 발산할까에 대해 저도 항상 생각해 보았는데요

    중력방정식과 쿨롱방정식이 비슷한 것과 아인슈타인의 질량을 가진 물채는 공간을 찌그러트린다는 개념에서

    전하 또한 어떠한 공간을 찌그러 트리는게 아닐지 생각해봣습니다.(질량의 공간하고는 별개이거나 같은 공간이지만 전하의 관점에서는 다른특성이 나타나는게 아닐까 하는...)

    공간을 찌그러트리면 전기파를 계속 발산하지 않아도 공간에 있는 전하에게 영향을 미칠 수 있지 않나 생각합니다.

    음전자는 밑으로 누르고 양전자는 공간을 위로 뜨게 하는게 아닌가 하고요.(반대일수도 있고요)

    질량은 서로를 끌어당기기만 하지만 전자들은 밀어내기도 하는 문제는

    위로 솟아오른 언덕에 공을 올려놓으면 경사진 정도(양전자의 세기)에따라 밀려나는 게 아닐까 (중력과 반대되는 반중력이 아닐까)

    또한 끌어당기는 것은 중력과 비슷한곳이 아닐까

    전기적 중성이 되는 것은 양전자가 위로 솟고 음전자가 아래로 꺼진 형태의 정도가 같아질때 발생하지않나 이런

    막연한 생각을 가져봤습니당

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    1. 달도n님, 안녕하세요. 현재로는 말씀하신 부분의 참거짓을 판정할 수 없어요. 계속 고민하셔서 이론적인 근거를 만드셔야 할 겁니다.

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    2. 답변감사합니다. 혹시 재가한 얘기중에 이론으로 나온게 있는지 궁금하네용

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    3. 저도 그 부분은 잘 모르겠어요. 전기장이 왜 생기는지는 프랭클린, 패러데이 이후로도 많이 고민한 문제입니다.
      어떤 접근을 하더라도 증명할 수 없는 형이상학이 아닌 타당한 근거에서 출발하셔야 합니다. 이런 관점으로 새로운 문제에 접근한 유명한 물리학자가 아인슈타인이라고 생각해요.

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    4. 현대 전자기학인 quantum electrodynamics(QED)를 말씀하시는것 같습니다. QED에선 전하의 인력과 척력을 입자의 momentum 교환으로 나타냅니다 특수상대성이론과 전자기학의 통합이죠. QED에선 위에 말씀하신 위로 솟는(들뜸 상태)로 표현을 합니다. 관련 자료를 찾아보시면 될듯 합니다. QED는 현대물리, 고전전자기학(Maxwell equation), 양자역학을 전부 공부하신 이후 공부하셔야 합니다.

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  26. 안녕하세요. 최근 다시 전자기학을 보면서 머리속을 정리하고 있는데요. 전기장과 자기장의 원천에 대해 고찰을 해보다가 가우스 법칙에 대해 질문이 생겨서 여쭤봅니다.

    정자장일 때 도출해낸 div D = p가 시변장에서 어떻게 성립하는지에 대한 질문입니다. D는 정자장일 때 쿨롱의 법칙에 의해 div (1/r^2) = 4piδ(r-r')임을 이용해서 구했습니다. 근데 시변장에서는 쿨롱의 법칙에 의해 전하에서 뻗어나오는 전기장 외에도 시변자기장에 의해 생기는 전속밀도도 고려해야해서 curl H = ∂D_H/∂t 도 고려해야 할테니, 좌우항을 t에 대해 적분해주면 시변장에 의한 D에 대한 기여 D_H를 구할 수 있겠죠..

    그리고 이걸 D = D_coulomb + D_H로 쓰고 div D를 구하면 D_H는 curl H에 대한 식이므로 0이 돼서 날아갑니다. 결국 정전계에서 구한 D_coulomb으로 축약되는데요.


    div D 전기장의 원천은 전하와 시변자기장, 자기장의 원천은 전류와 시변전기장으로 나눠서 생각하는 방식이 유효한지, 제가 유도한 방법이 타당한지 여쭤보고 싶습니다.

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    1. 죄송합니다. 삭제가 안 되네요.. 정자장이 아니라 정전장입니다 ㅠㅠㅠㅠㅠ

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    2. 1. 맥스웰 방정식 중 쿨롱의 법칙은 시변 전기장에서도 잘 성립합니다. 정전장일 때와 동일해요.
      복잡하게 시간 기준으로 나눌 필요없이 전속 밀도의 발산은 항상 전하 밀도입니다.

      2. 변위 전류를 포함한 암페어의 법칙으로부터 쿨롱의 법칙을 유도할 수 있지만, 이 결과는 쿨롱 법칙의 시간 변화라서 원래 쿨롱의 법칙과는 약간 달라요.

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  27. 발산정리를 이용한 증명은 다른책들에서 보기힘든 우아한 증명이네요. 굉장히 간결하면서도 쉽게 이해됩니다
    절로 감탄하게되네요 .

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    1. 전자기학에는 필수적으로 수학이란 양념이 필요합니다. 그래서 공부할수록 우리 생각이 더 커지게 됩니다.

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  28. 전파거북이님 안녕하세요

    구 좌표계에 발산을 적용해 가우스 정리를 증명하는 식 (10)이 잘 이해가 안됩니다. 추가설명 부탁드려도 될까요?

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    1. 아래 링크에 있는 식 (10)에서 $F_r = 1/R^2$, 나머지 성분은 모두 0을 대입한 게 본문의 식 (10)입니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/07/spherical-coordinate-system.html

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  29. 전파거북이님 항상 잘보고 있습니다
    입체각에 관해 알아보는 과정에서 궁금한게 생겼는데 만약
    폐곡면이 너무 작아서 단위원 보다 작을 경우에는 입체각이 어떻게 되는지 너무 궁금합니다 검색해도 안나오네요

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    1. 입체각은 반지름 $R$과 관계없어요. 입체각의 정의인 식 (9)를 다시 보세요.

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    2. 제가 잘못 생각했네요 다시 보니 이해됐습니다 감사합니다

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  30. 전파거북이님 프랑스어도 하시나요?
    참고문헌에 프랑스 문헌이 있길래 궁금해서요

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    1. 프랑스어는 더듬더듬 읽을 수 있어요.

      참고문헌처럼 전문 서적은 번역기를 이용해 영어로 바꾸어서 필요한 부분만 봅니다.

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  31. F위에 작대기는 무슨 표시인가요? 벡터 표시인가요?

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    1. 해결했습니다. 벡터가 맞았네요.

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  32. 무엇보다 먼저 아주 좋게 정리된 글을 써 주셔서 감사드립니다. 그런데 식 (13)에서 Unit Vector R를 고정된 Vector로 표기해도 되나요? 점전하에서는 Unit Vector가 일의적으로 결정이 되지만 분포에서는 연속적으로 변하는 것 같은데요...

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    1. 식 (13)에서 $\hat R$은 상수 벡터가 아니고 위치마다 변해요. 그래서 $\hat R$을 피적분 함수 옆에 두었어요.

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  33. 안녕하세요 전자기학에 매우관심을 가지고 고민 하는 1인입니다.

    글 내용중 마지막 부분이 모순인것 같은데용 ^^

    거리(양성자 와 전자의 거리) R이 0 이면 안된다.
    R=0 의 확율도 있다 그러므로 문제없다?


    확인해 주시면 감사 하겠습니다.
    우문현답 기대합니다. 꾸뻑(존경의 표시^^)

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    1. 광속거북이님, 그렇지 않은데요 ^^

      양자 역학에 의하면 전자의 위치를 정확히 결정할 수 없어요. 그렇지만 전자는 원자핵 주변에 확률적으로 퍼져있고 평균 위치는 원자핵이라서 극성이 없어 보인다고 썼어요.

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  34. 넵 알겠습니다. 본인이 잘못 이해한 부분이 있었습니다. 감사 합니다.




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  35. 전파거북이님 좋은 글 잘 읽고 있습니다. 감사합니다.
    전기장 관련해 궁금한 것이 생겨 여쭙고자 합니다.

    정자기학에서 도체가 equipotential body라는 것을 배웠습니다.

    equipotential body는 아래와 같은 현상이 일어납니다.
    i) 자유공간상에서 독립된 도체가 존재하고
    ii) 도체에 전기장이 입사되어 도체 표면에 표면전하 밀도가 생깁니다. (이상적 PEC의 경우)
    iii) 이때, 입사된 쪽만이 아닌 도체의 반대편에서도 전하의 쏠림이 일어납니다.
    설명드린 현상은 아래와 같습니다.

    PEC
    --------------------------------------
    ㅣ- - + +ㅣ
    e-field(1) 입사 ---> ㅣ- - + +ㅣ 표면전하에 의해 나가는 e-field(2) --->
    --------------------------------------
    여기서 제가 궁금한 것은 AC 상황인 경우 e-field(1) 입사에 의해서 입사되는 도체 표면에는 전하가 모이지만
    왜 반대편 에는 전하가 쏠리지 않아 표면전하에 의해 나가는 e-field(2)가 만들어 지지 않는것인가? 입니다.

    설명이 다소 장황하고 난해해서 죄송합니다.

    CST 시뮬레이션을 통해서 도체 평면이 무한히 xy 평면에 1mm의 두께를 가지고 놓여있게 모델링 한 뒤,
    평면에 z = 100 mm 에서 -z 방향으로 planewave를 입사시켰을때, 앞서 설명드린 e-field(2)가 왜 생기지 않는지 그것이 궁금합니다.

    아마 제가 DC와 AC에서의 지식이 아직 정립되지 않았기 때문인것 같은데,, 소중한 의견 부탁드립니다.

    읽어주셔서 감사합니다.


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    1. 1. DC든 AC든 떠있는 도체(floating metal)에서는 전하 보존이 성립해서 (+)가 생긴 만큼 (-)도 어딘가에 생겨야 합니다. DC에서는 반대편에 반대 극성의 전하가 생깁니다. AC에서는 전송선 이론(transmission line theory)에 따라 전류가 도체 표면을 따라 움직이기만 해도 (+)와 (-) 영역이 생깁니다.

      2. 표면적이 넓은 금속면에 평면파를 쏘면, 빛처럼 뒷면에 음영(shadow)이 생겨서 전기장이 약해지고 당연히 전하 밀도도 작아집니다. 이에 대한 이론이 회절의 기하 이론인 GTD(geometrical theory of diffraction)입니다.
      또한 전자파의 침투 깊이(penetration depth)도 고려해야 하고요. 전도도가 매우 높으면 전자파는 아주 얇은 금속도 뚫지 못하고 거의 전부 반사됩니다. 그러면 반대면으로 투과되는 전자파는 거의 없겠죠.

      3. 이건 정성적인 설명이고요, 주파수나 도체의 크기에 따라 결과가 달라질 수 있어요. 그래서 구체적인 문제는 온전파 해석(full-wave analysis)을 통해 풀고, 이 결과를 전자파 이론으로 설명하는 게 실력을 쌓는 첩경입니다.

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    2. 헉... 윗 설명 중 그림 대신 넣었던 기호들이 날라갔는데도 자세한 설명 남겨주셔서 너무 감사합니다.

      천천히 더 공부해보도록 하겠습니다.

      그리고 혹시 전기장과는 상관없지만 포인팅 벡터 관련 질문 하나만 드려도 될까요?

      질문은 아래와 같습니다.


      다름이 아니라 lossy한 매질에서의 순시 포인팅 벡터 관련해 여쭙고 싶습니다.

      lossy한 매질에서 에타(매질 내부 임피던스)는 복소수이며, E와 H는 위상 차이가 발생합니다.

      E가 x편파 H가 y편파라고 가정했을 때, E와 H사이 위상 차가 생겼다면,
      (E = cos(wt - Bz) x vector, H = cos(wt - Bz - phase difference) y vector라 한다면)

      특정한 시간(t=0)에서 좌표평면 상에 E와 H를 그렸을 때, E x H 의 뱡향이 +z 방향이 아닌

      -z 방향인 경우가 있습니다.

      이 현상이 의문입니다.

      기본적으로 전파가 +z방향으로 진행하는데, 일부분에서만 전파의 진행 방향이 -z방향이라고 나타나는게 모순이라고 생각해 여쭙습니다.

      제 어떤 가정이 잘못된 것일까요?



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    3. 산란체가 복잡하면 산란체 근처에서 전자파가 반대로 가기도 합니다.
      중요한 건 원역장에서는 항상 원천에서 멀어지는 방향으로 전자파가 진행하는 겁니다. 이게 전자파의 복사 조건입니다.

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