2010년 8월 4일 수요일

전압(電壓, Voltage)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.



[전기(electricity)]


[포텐셜 에너지(potential energy)]

전압(電壓, Voltage)전기장(電氣場, electric field)을 쉽게 표현하기 위한 스칼라 양이다. 전기장은 벡터 함수이지만 전압은 간단한 스칼라 함수로 기술된다. 그래서 스칼라량인 전압을 이용해서 벡터량인 전기장을 표현하면 더 쉽게 전기적 특성을 이해할 수 있다. 임의의 전하 밀도에 의한 정전장(靜電場, static electric field)은 식 (1)로 표현된다.

                           (1)

식 (1)에 있는 거리 역제곱 특성은 식 (2)와 같은 구배 연산자로 표현할 수 있다.

                           (2)

식 (2)를 식 (1)로 치환하여 표현하면 전압 $V$를 구배 연산자로 정의할 수 있다.

                           (3)

식 (3)과 같은 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $V$는 1824년푸아송 43세, 조선 순조 시절에 푸아송Siméon Denis Poisson(1781–1840)이 발견하였다[1]. 식 (3)을 보면 전기장은 전압 구배의 반대 방향으로 정한다. 여기서 구배 연산자는 꼭대기 검출기(peak detector)이며 식 (3)의 정의에 (-) 부호가 있으므로 꼭대기의 반대 방향인 골짜기[벡터에 (-)를 곱하면 정반대 방향이 된다.]를 찾아간다. 즉, 전압의 골짜기를 찾아가는 방향으로 전기장이 정의되며 전기장의 크기는 전압의 차이[미분]에 비례하게 된다. 이 정의를 이해하기 위해 [그림 1]의 양전하 (+)와 음전하 (-)를 고려하자.


[그림 1] 극성이 다른 전하에 존재하는 전기장(출처: wikipedia.org)

식 (3)의 둘째식을 이용하여 [그림 1] 구조의 전압 분포를 그려보자.
[그림 2] 양전하와 음전하에 의한 전압

[그림 1]에 있는 전하는 점전하이므로 양전하와 음전하가 있는 위치에서 전압은 [그림 2]와 같이 무한대가 된다. 식 (3)의 첫째식을 이용하여 전기장을 그려보면 [그림 3]과 같다.
[그림 3] 양전하와 음전하에 의한 전기장

[그림 3]을 보면 전기장은 전압의 골짜기(전압이 가장 낮은 지점)를 찾아 벡터 방향을 형성하고 있다. 이 방향은 [그림 1]의 전기장 방향과 동일하다. 또한 전압은 전기적인 높이(전위차, 電位差, potential difference)라고 생각할 수 있다. 마치 우리가 물리적인 높이를 재는 것처럼 전압도 제대로 정의되기 위해서는 두 지점의 전압 차이를 재야 한다. 이 개념을 수학적으로 보려면 식 (3)에 선 미분 $d \bar l$을 내적해야 한다.

                           (4)

식 (4)는 전기장을 이용하여 전압을 정의한다. 즉, 전기장의 선 적분이 전압이 된다. 그런데 식 (4)에 (-) 부호는 왜 있을까? 식 (3)을 보면 당연히 (-)는 있어야 한다. 하지만, (-) 부호의 의미를 물리적으로 이해하기 위해 식 (4)에 전하 $q$를 곱해보자. 쿨롱 법칙에 의해 전기장($\bar E$)과 전하($q$)의 곱은 전기력($\bar F_e$)을 나타낸다.

                           (5)

식 (5)를 보면 전압($V$)과 전하($q$)의 곱은 에너지(energy)를 나타낸다. 만약 $q$ = 1C이라 생각하면 전압($V$)은 에너지(energy)라 생각할 수 있다. 이런 사실로 인해 전압을 전기적인 높이로 생각할 수 있다. 전압은 에너지와 관계 있으므로 [그림 4]와 같이 공을 이용하여 높이를 재는 방법을 고려해 전압 개념을 이해하자.

[그림 4] 공을 이용하여 높이 재기

우리가 높이[$h$ = $B - A$]를 재려면 두 지점[A와 B]을 관측해야 한다. 빨간색 화살표는 중력(重力, gravity)이 작용하는 방향과 반대 방향[벡터 $\hat a$의 반대 방향]으로 높이를 잼을 보여준다. 초록색 화살표는 중력 방향[벡터 $\hat a$]으로 높이를 잼이다. 중력 방향으로 움직이려면 공을 떨어뜨리면 되고 중력 반대 방향은 공을 던지면 된다. 높이 재기는 사실 포텐셜 에너지 혹은 위치 에너지(potential energy)를 재는 과정이므로, 힘[여기서는 중력]이 작용하는 방향을 고려하여 선 적분을 정의해야 한다. 빨간색 화살표부터 보자. 공을 던져서 높이 재기는 중력의 반대 방향[- 부호]으로 높이 재기이다. 그러면 높이를 구하기 위한 최종 결과식은 끝점[공이 올라간 위치, $z$ = $B$] - 시작점[공을 던진 위치, $z$ = $A$]이 되어야 한다. 다음으로 초록색 화살표를 고려하자. 중력 방향[+ 부호]으로 재기 때문에 최종 높이는 시작점[공을 놓은 위치, $z$ = $B$] - 끝점[공이 떨어진 위치, $z$ = $A$]이 된다. 더 쉽게 설명하면 공을 던질 때[작용하는 힘과 반대 방향, - 부호] 높이를 어떻게 재는가? 당연히 낮은 높이[시작점]에서 높은 높이[끝점]로 가기 때문에 끝점 - 시작점로 정의해야 한다. 공을 떨어뜨릴 때[작용하는 힘과 같은 방향, + 부호]는 높은 높이[시작점]에서 낮은 높이[끝점]로 가기 때문에 시작점 - 끝점으로 정의해야 한다. 즉, 높이를 잴 때 작용하는 힘의 방향에 따라 시작점과 끝점을 어떻게 빼주어야[끝점 - 시작점 혹은 시작점 - 끝점) 적절한 높이가 되는지가 결정된다. 이 개념을 전압에 적용하면 식 (6)이 된다.

                           (6)

전기적 높이인 전압을 재려면 A에서 B로 혹은 B에서 A로 선 적분을 할 수 있다. 선 적분 경로에 따라 전압 정의 부호는 (+) 혹은 (-)로 정확히 집어넣어야 한다. 전압 정의에 (-)가 있으면 전기장이 작용하는 방향과 반대 방향[그림 4의 빨간색 화살표]으로 전기적인 높이를 잰다는 의미이다. (+) 부호가 있으면 전기장 방향과 동일한 방향[그림 4의 초록색 화살표]으로 전기적인 높이를 정의한다.
[그림 5] 키르히호프 전압 법칙(출처: wikipedia.org)


[키르히호프의 법칙(Kirchhoff's laws)]

[키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff Voltage Law, KVL)]
전압은 적분 경로에 관계없이 동일한 값을 가진다. 혹은 폐회로를 따라 측정한 전압의 총합은 항상 $0$이다.

                           (7)

[증명]
식 (7)에 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 적용한 후, 회전 연산자(curl operator)의 영인자(nullity)를 적용하면 다음을 얻는다.

                           (8)

따라서 식 (7)을 식 (4)와 같이 전압 관점으로 쓰면, 식 (8)에 의해 다음 식 (9)가 반드시 성립한다.

                           (9)

결과적으로 식 (9)는 식 (7)과 동일하다. 즉, [그림 5]와 같이 특정한 경로를 따라 측정한 전압값은 시작점과 끝점이 같으면 $0$[전압 변화가 없음]이다. 물리적으로 보면 식 (7)과 (9)는 에너지 보존 법칙(conservation of energy)을 표현한다. 한 바퀴 돈 전압의 합이 $0$이 됨은 전압 강하[에너지 소비, 전기 저항 존재]가 있으면 반드시 전압 상승[에너지 공급, 배터리 존재]이 있어야 함을 의미한다.
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헬름홀츠의 정리에 따라 벡터를 명확히 정의하기 위해서는 발산회전을 명확히 정의해야 한다. 전압 특성을 이용하여 전기장의 발산과 회전을 기술하면 아래와 같다.

[맥스웰 방정식(Maxwell's equations)]

                                 (10: 쿨롱 법칙의 미분형)

                                 (11: KVL)

맥스웰 방정식에 따라 전압이 만족하는 푸아송 방정식(Poisson's equation)도 유도할 수 있다.

[푸아송 방정식(Poisson's equation)]

                           (12)

[증명]
식 (3)의 전기장과 전압 관계를 쿨롱 법칙의 미분형에 대입하면 식 (13)을 얻을 수 있다.

                           (13)
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식 (12)에서 전하 밀도 $\rho$ = $0$인 경우는 라플라스 방정식(Laplace's equation)이라 부른다.

[푸아송 방정식의 유일성(Uniqueness of Poisson's equation)]
푸아송 방정식의 해는 유일하다.

[증명]
푸아송 방정식의 유일성은 헬름홀츠 정리의 증명과 비슷하게 유도한다. 먼저 동일한 전하 밀도 $\rho$와 경계 조건을 가진 전압 $V_1$과 $V_2$를 식 (14)와 같이 정의한다.

                           (14)

증명을 위해 제1 그린 항등식을 고려한다.

                         (15)

식 (15)에서 $f$ = $W$, $g$ = $W^*$[켤레 복소수]라 두고 식 (14)의 결과를 적용하면

                         (16)

여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 $0$이기 때문에 식 (16)의 좌변은 항상 $0$이다[∵ 전압 $V_1$과 $V_2$의 경계 조건은 같기 때문이다.] 그러면 $W$의 구배는 항상 $0$임을 알 수 있다.

                         (17)

식 (17)과 같이 구배가 $0$이면 $x, y, z$의 함수가 아니므로 $W$는 상수가 된다. 즉, 전압 $V_1$과 $V_2$는 상수 차이 만큼을 제외하고는 동일한 함수이다. 또한 전압은 차이가 중요할 뿐 절대값 자체는 중요하지 않으므로,[∵ 전압은 전기적인 높이인 포텐셜이므로 높이 기준을 어디에 두는가는 중요하지 않다. 다만 그 차이에 해당하는 구배만이 중요하다. 전압의 구배인 전기장이 실제적으로 중요한 물리량이다.] 전압 $V_1$과 $V_2$는 동일한 함수라고 생각할 수 있다.
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[그림 6] 건전지(dry cell)의 다양한 종류(출처: wikipedia.org)

[그림 7] 단추 전지(button cell)의 다양한 종류(출처: wikipedia.org)

전압의 특성을 실생활에서 느낄 수 있는 경우는 [그림 6, 7]의 전지가 될 수 있다. 우리에게 익숙한 AA, AAA형 건전지는 미국 표준 협회인 ANSI(American National Standards Institute)에서 제정했다[2]. 미국이 전지 이름을 정할 때 전지가 담을 수 있는 용량(capacity) 순으로 A, B, C 등의 이름을 붙였다. 즉, A는 매우 적은 용량, B는 적은 용량, C는 중간 용량, D는 약간 큰 용량 등으로 매겼다[2]. 제2차 세계대전 이후인 1947년에 등장한 A보다 작은 크기의 전지는 용량이 A와 비슷했으므로 AA로 정했다. 트랜지스터(transistor, TR)가 상용화된 이후인 1954년에 나온 전자 회로를 위한 매우 적은 용량 전지는 AAA로 정했다. 다시 말하면 매우 적은 용량의 A형 전지의 이름은 나온 시간 순서대로 A, AA, AAA, AAAA 등으로 붙였다. A가 많이 붙을수록 최근에 나온 전지이므로, 기술 발달 과정을 생각하면 전지의 물리적 크기는 작아져야 한다.

[참고문헌]
[1] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge,IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70–71, June 2001.
[2] American National Standards Institute (ANSI) Accredited Standards Committee C18 on Portable Cells and Batteries, A Brief History of the Standardization of Portable Cells and Batteries in the United States, 2002.

[다음 읽을거리]
1. 전류
2. 금속의 성질
3. 맥스웰 방정식
4. 저항
5. 전자기파에 대한 유일성 정리
6. 커패시터
7. 전기장의 에너지
8. 전기 쌍극자 모멘트

댓글 68개 :

  1. 아주 기초적인 질문 인데요.
    1. 정전계 정전장 이라는 게 정확히 먼가요?
    DC만 흐르고 있는 상태를 말하는 건가요? 마찰에 의한 정전기에의 의해 이온화 된 상태를 말하는 건가요?

    2. 정전 상태에서는 전자가 도체 표면에만 분포가 된다고 하는데,
    보통 전류가 흐르면 전자가 도체 내부도 흐로고, 고주파로 가면 skin effect가 나타난다고 하잖아요.
    이게 어떤 조건의 차이게 되는건가요?

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    1. 1. 전기장과 자기장이 시간에 대해 변화하지 않는 것이 정전장 혹은 정자장입니다.

      2. 정전장과 정자장은 맥스웰 방정식에서 별개 양이 됩니다. 전자파가 되어야만 서로 연결이 됩니다.
      말씀하신 부분은 정전장과 정자장이 섞여 있습니다. 서로 분리해서 생각하세요.

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    2. 감사드립니다.
      언제나 이런 humble한 질문에도 답을 잘해주시니 T.T <-- 감동의 눈물.
      동영상 강의들을 보면, 1~2달 전만 해도 가슴이 답답하였는데, 무슨 이야기인줄 몰라 OTL 이었는데, 요즘은 음~ 아하~ 아~ 이런 탄성이 나옵니다.
      거북이님 덕분입니다. 정말로 깊은 감사를 드립니다.

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    3. 뭘요! 시간이 많이 걸리는 것도 아니고 저도 도움이 되어 기쁩니다. ^^

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  2. 전파거북이님... 전기장을 질문 했던 익명자인데요. 전위를 구하는데 질문이 있는데요. 전위를 구할때 미소전하량으로 전위를 구할때 궁금한게 있는데요. dV=dq/r 로 전위를 구하는데요. 여기서 궁금한게 V_f - V_i 에서 V_i는 무엇을 의미 하는것가요? 여러 책들을 보면 dV를 적분 하면 V로만 나와있어서 궁금합니다.
    V_i는 0을 의미하는것지 아니면 V_f - V_i 자체가 V를 의미 하는것가요? 부탁드려요 ㅠㅠ

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    1. 전기장과 다르게 전압은 상대값이 중요합니다. 초기값 $V_i$라는 것은 전하가 존재하기 전의 배경 전압에 해당합니다. 실제 측정 가능한 값은 전압의 미분에 해당하는 전기장이어서 초기 전압 $V_i$ 자체는 큰 의미 없습니다.

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  3. 전파 거북님... 식 15와 식 16 사이에 f와 g를 왜 하필 복소 공액 관계?로 가정 하시는지요...ㅜㅜ

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    1. 식 (16)에 있는 절대값을 만들어주기 위해서입니다. 절대값은 항상 0과 같거나 크기 때문에 절대값의 적분이 0이 되면 절대값도 0이 됩니다.

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  4. 전파 거북님....
    현재 전자공학 전공 3학년 재학중인데요. 국내 명문 대학원 가고싶은데
    무엇을 어떻게 어느 정도 수준까지 어느 순으로 공부를 해야되요?
    학기중에 배웟던 것은 학기가 끝나면 자연스럽게 제 머리에서 증발해버리고...
    전공 서적을 보면 왼지 기초가 부족한 느낌이고..ㅜㅜ 저에게 소중한 시간 조그만 투자해 주시면 안될까요?

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 말씀하신 내용은 학교의 지도교수님이 더 잘 답변하실 수 있을 것입니다.

      전자파 분야로만 한정하면 전자기학, 초고주파공학, 안테나공학, RF회로 등은 학부때 배우는 것과 대학원에서 배우는 것이 거의 동일합니다. 그래서, 학부때는 어려울 수밖에 없습니다. ㅜㅜ
      만약 대학원까지 생각한다면 현재 배우는 것의 기초 이론을 깊이 생각해보세요. 그리고, 자기 능력을 보여줄 수 있는 관련 분야 작품 개발해보시고, 영어 꼭 하시고...

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  5. 제가 쓴 글이 적용이 되지 않은듯해서 다시 씁니다. 전파거북이님께서는 제가 전에 쓴글이 중복으로 보인다면 사과드립니다. 재료공학을 배우는 학생인데 아무래도 전기응용은 공학에서 빠질 수 없는 부분이다 보니 기초지식이 모자랍니다. 게시글을 읽고 도움을 얻어 감사드립니다.

    기초지식이 부족하다 보니 의문이 들때가 많습니다. 질문하나 부탁드립니다
    질문이 좀 난해합니다. 수업중에 생긴 의문이라 그때의 상황을 적어보면 교수님이 전압에 대해 설명해주실때 두 전극이 있고 그 사이에 유전체가 있고 common ground 상태일때 위 전극에 일정량의 전하를 가지도록 하면 두 전극사이에 포텐셜 차가 생기고 이것이 전압이다. 전압은 전하로부터 생기는 것이다. 위 전극에 전하를 띠게 하면 밑에 전극이 그에 따라 유도되어 실험자가 가해준 전하가 아닌 유도된 (어찌보면 가짜의) 전하를 띠게 된다 이를 compensation or induced charge라 한다.라고 설명하셨습니다. 만약 위 전극에 5V만큼의 전압을 가지도록 전하를 가해준다면 아래 전극에도 전하가 유도된다면 +5-(-5)하여 10V의 전위차가 생기는 것이 아닌가 하는 질문을 교수님께 던지셨고 설명을 해주셨는데 정확한 설명이 기억이 나질 않습니다. 그런데 애초에 아래 전극이 ground에 연결되었다면 charge를 띨 수 없는것이 아닌가 하는 생각도 들어서 induced charge가 어떻게 발생하는지 궁금해졌습니다.

    질문이 명확하지 않은데 정리하자면 밑 전극도 전하가 유도되면 두 전극의 전위차는 2배가 되는것이 아닌가 하는것과 ground인데 전하가 유도될 수 있나? 이 두가지 입니다. 답변해주시면 감사하겠습니다

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    1. 사과할게 있나요, 익명님. ^^ 질문은 언제든 환영입니다.

      1. 5 [V] 전압을 두 지점에 건다는 것은 그 두 지점에 5 [V]를 만들기 위한 전하를 형성하는 것입니다. 말씀하신 것처럼 커패시터에 5 [V]를 건 것이 10 [V]가 되지는 않습니다.
      위의 설명에도 있듯이 전압은 "전기적 높이"임을 기억하세요.

      2. 좀더 물리적으로 보면 5 [V]를 건 경우 (+) 전압 위의에는 (+) 전하가 생깁니다. 이 전하가 생성되려면 반대편에 (-) 전하가 모여야 합니다. (도선은 중성임을 기억하세요.)
      따라서, (+)와 (-) 전압 위치의 차이가 5 [V]가 된다고 생각해야 합니다.

      3. 접지는 단순한 기준일 뿐입니다. 보통 접지는 0이라 생각하지만 5 [V]라 생각해도 아무 문제없습니다. 단지 편하게 접지를 0으로 정의한 것 뿐입니다. 마치 해수면의 0 기준을 정할 때 바닷물의 평균 높이로 정하는 것처럼요.
      다만, 접지는 임의의 전류를 공급할 수도 있고 받아들일 수도 있다는 것만 기억하세요. 전압이 0인 무한히 큰 커패시터가 접지입니다.

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  6. 저항과 전압이 직렬연결된 회로에서 저항에 형성되는 전기장은 저항의 크기 종류에 상관없이 그러니까 매질에 상관없이 전기장은 동일한 크기를 같는 것인지 궁금해요.
    예로 전압이 1V이고 저항이 1옴일 때, 동일한 전압에서 저항만 2옴일 때 각 저항을 지나는 전기장의 크기는 동일한 가요?

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    1. 전압을 공간적으로 미분한 것이 전기장이 되기 때문에, 저항의 물리적 구조를 알아야 전기장이 결정됩니다. 그래서, 현재 정보로는 전기장 동일성 여부를 알 수 없습니다.

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    2. 제가 궁금한 것을 글로만 표현하는 것이 부족해서 펜으로 궁금한 것을 적어서 질문드리고 싶은데 혹시... 실례가 안된다면 이메일로 여쭤봐도 될까요?

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    3. iGhebook@gmail.com으로 보내시면 됩니다. ^^

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  7. 공부하다 막히는 기술적인 질문은 여기서만 가능한가요? 아님 e-mail로 여쭈어도 되는건가요.

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    1. 이메일도 가능하지만, 댓글을 더 선호합니다, 익명님. ^^

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    2. 바쁘신데 답변 감사합니다.
      너무 기초 질문이라 부끄러워 메일로 질문할려고 했는데 여기에 질문할께요. ^^;

      이상적인 1V전원으로 이상적인 콘덴서 10F에 전하를 저장했으면
      콘덴서에 저장된 전하는 모두 10 C 인데요.

      이 충전된 콘덴서에서 1C을 소비했을 때 콘덴서의 전압은 몇 V가 될까요?
      제가 생각하기에 전압은 1V에서 떨어지진 않는다고 생각하는데 맞는건지 정확히 몰라서요.


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    3. Q = CV로 계산하시면 됩니다. 말씀하신 조건에서는 0.9 [V]가 나옵니다.

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    4. 답변 감사합니다. 식에 대해 다시 생각해봐야겠네요. 좋은 하루 되세요.

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  8. 전기장과 전압과의 관계가
    전기장의 세기를 적분한게 전압이라는 식에서
    정확히 어떤 관계가 있다고 알 수 있을까요???

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    1. 이건 힘과 에너지와의 관계를 전기장 개념에서 바라본 것입니다.

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  9. 아무리 생각해봐도 이해할 기준이 없어서 질문합니다.

    1. 길이와 상관 없이 전압은 일정하므로 도선 내부의 전기장의 밀도는 도선이 길 수록 줄어드는 건가요?

    2.만약 도선 내부의 전기장이 어떤 식으로든 분배된다면 어떤 구간의 전류는 더 적어야 하는 건가요? 물론 전하밀도가 커져서 전기장이 커져서 전류가 다시 커지겠지만 저항이 전자의 이동을 방해하는 정도라는 관점에서 볼 때 저항에서는 전하밀도가 항상 더 높을 것 같습니다.

    3.만약 저항에서 전하밀도가 높아진다면 밀도 중심에서 발산하는 척력이 작용해서 이 전압이 상쇄되는 것이라고 볼 수 있다고 생각합니다. 오류가 무엇인가요?

    4.전압이 커지면 전자의 순간속도가 커질텐데 전자의 평균속도가 전압과 무관한 이유를 모르겠습니다. 평균속도가 일정한데 전류가 증가했다는 건 전하 전달자의 수가 증가했다는 건가요? 하지만 자유전자의 수는 일정하지 않나요?

    5.대학교재에 보면 "도선 내부의 전기력은 거의 광속으로 전달된다." 고 하던데,
    왜 광속이 아니라 거의 광속인지와 무엇이 전기력을 매개했는 지 모르겠습니다.
    제 생각에는 전지 바로 옆의 전자와 핵의 치우침으로 발생하는 전기장이 그 옆의 전자와 핵을 또 치우치게 하는 식으로 전달되는 것 같습니다만 과연 힘이 감쇄하지 않고 전달될지와 그 속도가 광속일 지는 회의적입니다. 도선 내부의 전기력은 어떻게 전달되나요?

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    1. 1. 질문이 모호해 답변이 정확하지 않을 수도 있습니다. 완전 도체라면 내부 전압은 길이와 관계없이 일정합니다. 따라서 전기장도 0입니다.

      2. 완전 도체 내부에서는 저항이 없기 때문에 전류는 일정합니다. 전기장은 1번에 의해 0입니다. 완전 도체가 아닌 경우는 옴의 법칙으로 설명해야 합니다. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/electric-current.html

      3. 저항에서 전하 밀도가 높아지지 않습니다. 전류는 일정하게 흐릅니다. 만약 전하가 쌓인다면 그건 커패시터 특성이 있는 것입니다.

      4. 위의 전류 링크를 보세요. 초보적인 드루데 모형(Drude model)을 유도하시면 이해에 도움이 될 것입니다.

      5. 거의 광속인 이유는 움직이는 전하에 의해 전기력이 전달되기 때문입니다. 더 정확한 모형은 양자 역학을 도입해야 합니다. 고전 전자기학으로는 도체 내부의 특성을 명확히 설명할 수 없습니다.

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  10. 안녕하세요. 항상 감사하게 읽고 있는 애독자?중 한명입니다. 한가지 이해가 되지 않는 점이 있어 질문 드립니다.

    식 17에서 "W의 divergence"의 값이 0 이 되는데, 왜 각각의 component에 대한 미분값이 다 0이 되는 것인 가요?

    제말은 (dW/dx)+(dW/dy)+(dW/dz)=0 이 되는데, W가 x,y,z component의 값을 모두 갖고 있을 수 도 있는 것 아닌가요? 예를 들어

    ex) W=2x+2y-4z 같이 이런 함수의 값을 갖을 수도 있는 것 아닌가요?
    W의 각각 component의 미분값의 합이 0이라고 생각하는데,갑자기 각각 component의 미분 값이 0 이된다는 부분이 이해가 가지 않습니다!

    어떤 부분이 생략되거나 개념을 이해 못하고 있는 건가요?!

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    1. 칭찬 감사합니다, Unknown님. ^^

      구배는 스칼라가 아니고 벡터라서 항별로 생각해야 합니다. 그래서 $x, y, z$ 각 성분이 0이 되어야 합니다.

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  11. 안녕하세요 물리무식자 고3입니다. RLC회로에 대해 이해가지 않는 점이 있어 구글링하다가 좋은 블로그 발견해서 질문 드리려고해요.
    RLC회로 임피던스 식을 구할 때 저항, 코일, 축전기의 전압을 통해서 유도한다고 배웠는데 그 전압을 벡터 취급하더라구요. 작성자님은 이 글에서 전압이 스칼라 값이라고 하셨는데 어떻게 이해하는 것이 좋을까요?
    그리고 제가 잘못 배운 것일 수도 있는 여기서의 '전압' 개념이 왜 벡터 개념인지 모르겠는데 어떤 개념을 공부해야 이해할 수 있는 건지 조언 부탁드려요.
    수준 낮은 질문해서 죄송합니다 ㅜㅜ

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    1. 전압은 벡터가 아닌 스칼라로 표현합니다. 전압을 벡터로 취급했다는 내용은 혹시 복소수 표현을 착각한 것이 아닌지요?

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  12. 안녕하세요 현재 초심자로 전파거북님이 올리시는 글을 이해하기에는 수학과 어는정도의 지식이 충분치않아 읽지는 못하고있습니다만 나중에 읽게되면 정말 많은 도움이 될꺼라고 생각되어집니다 이런글을 올려주셔서 감사합니다ㅎㅎ 제가 이글에 대하여 질문을 하는것은 아니고 궁금증이 생겨 질문했던것이 있는데
    질문했었지만 채택하신분의 답변만으로는 감이 잘오지 않아서 전파거북님의 도움을 받고싶어 글을 쓰게 됬습니다. 전파거북님이 시간이 되신다면 이에 대하여 설명부탁 드리겠습니다. 다른분이 답변을 해주셨지만 전파거북님의 설명을 들어보고 싶습니다 ㅎㅎ
    http://naver.me/xu7HqWii

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    1. 익명님, 힘들더라도 기본부터 시작해 이해를 쌓아가셔야 합니다. 채택된 답변은 적절해요. 설명을 잘 했어요. 더 이론적인 관점으로 이해하려면 아래 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.kr/2010/08/electric-current.html

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  13. 안녕하세요! 질문이 있습니다.
    전공서적을 보다보니 예제에 "도선이 전기적으로 중성이므로 스칼라 전위는 0이다"라는 문장을 발견했습니다. 전기적으로 중성인 것과 전위가 0인 것이 어떤 연관이 있는지 잘 모르겠습니다 ㅠㅠ 답변 부탁드립니다!

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    1. 절대 전위로 정의한 경우, 전하가 없으면 전압을 0이라 할 수 있어요. 다만 전압은 상대값이기 때문에 전하가 없어도 전압이 있다고 정의할 수도 있어요.

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  14. 자격증을 공부하다가 문뜩 시험을 위해서 외우기만 해서는 너무 무의미하고 생각해서 이해하고 싶어서 전파거북이님의 글을 읽기 시작했습니다. 기초적인 수학이 부족해서 그런지 증명하는 과정들을 보면 눈이 핑핑도네요..ㅜㅜ 외웠던 결과식들은 그나마 눈에 들어오는 것 같습니다.
    저는 단시간이 아닌 길게 보고 공부하고자 합니다!! 추천하는 공부방법이 있을까요?

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    1. 제가 느끼기에 공부하기에는 좋은 방법이 없어요, Unknown님 ㅠㅠ 있다면 저도 조언을 받고 싶어요.
      포기하지 않고 자기 능력 범위 안에서 잘 버텨야죠.

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  15. 안녕하세요! 항상 친절히 답변해주셔서 정말 감사드립니다.
    질문이 있습니다!!

    외부에서 솔레노이드 내 자속밀도가 변화하도록 해주었을 때 솔레노이드에 유도되는 기전력과 외부에서 솔레노이드에 가해준 전압은 크기는 같고 부호만 다른 것이 맞나요???

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    1. 아래 링크의 [그림 4] 밑에 비슷한 설명이 있습니다, 익명님.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/06/inductor.html

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  16. 전파거북이님 안녕하세요.
    저는 4일전부터 전파거북이와 함께하는 공학수학을 공부하기 시작한 만학도입니다. 좋은자료 감사합니다.

    키르히호프의 전압법칙 (7)식에서, (8)식으로 증명이 되는 과정이 이해되지 않아서 질문 드립니다.
    (델연산자의 외적이 생기는것과, dl이 da로 바뀌는 부분 등, (8)식으로 증명되는 과정을 여쭙고 싶습니다.)

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    1. 안녕하세요, 만학도님~~
      식 (8)을 증명하려면 아래 회전 연산자를 먼저 보셔야 합니다. 본문도 좀 수정해 놓을게요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/curl.html

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  17. 안녕하십니까. 이 블로그를 이제야 발견했다는것이 너무나 아쉽습니다.

    학부때 공부했던 전자기학을 다시봐야해서 찾던중 너무 귀한내용들 올려주셔서 진심으로 감사하게 보고있습니다.

    잘보다가 하나 질문드립니다.(3)번 식에서 V(r)를 구배를 취했을때 ρ(r')이 상수처럼 나올 수 있는 이유에 대해 생각해봤는데,

    r은 r'에 위치한 charge로 부터 기인한 E field의 세기를 나타내는 변수이고 r'는 이러한 E field의 source의 위치이므로 서로 다른 변수이기 때문에 구배를 r에만 취할때 r'는 상수와 같이 처리해도 되는것으로 이해되는데... 이렇게 생각해도 문제없을까요?

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    1. 방문 감사합니다, 작은발걸음님.
      말씀하신 대로 변수 $\bar r$과 $\bar r'$는 관측점과 원천점이기 때문에 서로 다른 변수입니다.

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  18. 전파거북이님. 전압의 정의에 대해 질문이 있습니다. 정전계에서 전압은 test charge가 무한히 떨어진 곳에서 천천히 r 떨어진 거리까지 움직였을 때 받는 정전장의 전기력에 대한 에너지의 총량 나누기 q로 정의되어 있는데요. test charge가 엄청 느리게 움직이는 걸 전제로 하고 있습니다. 그 이유가 주변 전계에 변화를 일으키면 안되므로 그런 걸로 알고 있습니다. 이때 주변 전계에 변화를 일으킨다는 건 가속에 의한 전자기파 생성을 의미하는 건가요?

    저는 이 전압에 대한 정의가 굉장히 인위적으로 느껴집니다. 왜냐하면 실제로 정전계에 놓여있는 같은 부호의 두 전하를 동시에 놓으면 척력이 발생하므로 가속도가 생깁니다. 따라서 전자기파가 발생하겠죠. 포텐셜 함수의 정의는 이런 자연적으로 서로 멀어지는 행위를 역으로 한 게 아닙니다. 왜냐면 등속도로 천천히 움직여야 주변 필드에 변화가 없을 테고, 그런 상황을 가정해서 전압을 구했으니까요.

    혹시 전압을 왜 따로 둥속도로 천천히 움직이는 전하로 정의했는지 여쭤볼 수 있을까요? 단순히 1/r에 비례하는 포텐셜로 정의하는 게 편리해서 그런 걸까요. 아니면 말 그대로 정전계라는 정말 특수한 상황을 고려하기 위해 특수하게 전압을 정의한 것일까요..

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    1. 1. 익명님, 좋은 관점입니다. 원칙적으로는 정전장이기 때문에 전하는 절대 움직이지 않아요. 그래서 전하의 가속에 의한 전자파 발생을 걱정할 필요가 없어요. 전압은 현재 주어진 전하 분포가 가진 에너지 특성입니다.

      2. 전압을 다르게 표현하면 전기 스칼라 포텐셜입니다. 벡터보다는 스칼라가 쉬워서 전압을 많이 씁니다. 당연히 회로 이론이나 전송선 이론에도 스칼라인 전압이 쓰이고요.

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    2. 답변 감사드립니다 전파거북이님. 1.에 대한 추가 질문이 있습니다. 정전계 위에서의 전압의 정의는 계가 가진 어떤 에너지량을 표현하기 위해 인위적으로 도입한 물리량이라고 봐야 할까요?

      제가 왜 전압의 정의가 "자연적"이지 않다고 표현했냐면, 현실에서 어떤 정전장에 유사한 system이 주어질 때, 전하분포나 장은 시변하지 않겠지만, 현실에서 정전장 system에 도달하기까지 전하와 전자기장이 시변할 겁니다. 예를 들어서 두 전하의 정전에너지를 구하면 하나의 전하가 아주 천천히 "시간을 얼리다시피 하여" 전기장의 변화 없이 무한거리에서 r 떨어진 곳까지 와야합니다. 시스템에 에너지를 집어 넣어야죠. 따라서 시스템의 포텐셜 에너지도 올라갈 것이구요.

      하지만 이 얼려놓은 시간을 풀어버리면 바로 두 전하는 가속하겠죠. 가속하면서 전자파를 방출할 겁니다. 그렇다면 포텐셜에너지는 전자파와 전하의 운동에너지로 전환되겠죠. 이게 자연적인 표현 같습니다. 왜냐면 자연적으로 그렇게 될테니까요. 하지만 정전장의 전압의 정의는 인위적으로 전하를 등속도로 만들어야 합니다.

      다만 받는 힘은 쿨롱의 힘으로 잘 정의되어 있으니까 에너지보존의 법칙에 따라 "얼린 시간을 풀어서 얻게 되는 자연적으로 변환되는 에너지의 총량"과 "시간을 거의 얼려놓고 인위적으로 얻은 정전에너지"의 총량은 같아야 하므로 정전계도 에너지 관점에서 보면 맞는 표현이 아닐까, 이렇게 이해했는데 맞을까요?

      전압의 정의가 편리하긴 하지만 처음 접했을 때 부터 너무 인위적으로 느껴져서 거기에 맞는 설명을 찾아 헤매다가 여쭤봅니다..

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    3. 모든 물리량은 인위적이라 생각합니다. 전압도 마찬가지이고요.

      먼저도 말씀드렸듯이 정전장을 가정하고 있어서 전하는 움직이지 않아요. 원인 불문하고 전하가 고정이라 생각해서 정전장의 이론을 전개합니다. 그래서 고정된 전하계가 가진 에너지를 전압 개념을 바탕으로 구할 수 있어요. 전하를 잡고 있는 힘이 없어지면, 말씀하신 대로 전하가 가속을 받아서 전자파가 나옵니다. 하지만 이 경우는 정전장이 아닙니다.

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    4. 전파거북이님, 감사합니다. 오랫동안 찝찝했던 부분이 풀린 것 같습니다!

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  19. 전파 거북님 좋은글 감사드립니다👍
    제가 전기장과 전압을 공부하다가 책에서 의문이 생기는 글을 봤는데요 정전계는 전계 에너지가 최소로 되고 가장 안정 적이다라는 글인데...
    왜 정지한 전기장 즉 정전계는 전계에너지가 최소로 되는 것인가요??
    또한 가장 안정적이라는 말은 왜 나오는 것일까요??

    전계에너지가 최소라는 것은 전위가 최소라는 말인것 같은데 전기장은 동일하고 그 전기장을 만드는 전하를 정지시킬때(정전하)와 움직일때 (동전하)일 때의 전위는 움직일때가 정지한것보다 더 이동하므로(즉 선적분할 거리가 증가하므로) 전위를 구할때 전기장으로 선적분시 움직이는 전하가 더 큰 전위가 나오므로 전위가 최소가 되려면 움직이지 않는 정지상태여야지 전위(전계 에너지)가 최소로 나온된다는 말인가요??
    만약 동전하가 기준점(무한 원점)으로 부터 멀어지는 것이면 위처럼 선적분 거리가 증가할 수 있는데 반대로 동전하가 기준점과 가까워지는 방향으로 운동시 선적분거리는 감소하므로 정전하보다 더 최소의 전기장 에너지를 얻을 수 있는 것 아닌지 궁금합니다~

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    1. 에너지는 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐릅니다. 그래서 에너지가 최소인 계는 이미 낮아져서 움직임이 생길 수 없어요. 그래서 정지한 경우는 에너지가 최소라 할 수 있어요.

      정전기장(static electric field)도 전하가 움직이지 않으니까 에너지가 최소라고 할 수 있어요. 다만 교과서에서 정전기장을 쓰는 경우는 보통 시변 전기장(time-varying electric field)을 쓰기 복잡해서 혹은 그 다음에 배울 시변 전기장을 준비하기 위해서 도입합니다.

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    2. 거북님 이해됬습니다 감사합니다 😊~
      그런 의미로 최소라고 한 것이군요 그리고 가장 안정된 상태라는것은 운동이 없다라는 의미이군요??

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  20. 전파 거북님 궁금한점이 있는데요
    임의의 폐경로에 대한 전기장에서 전기장이 보존장이라서 선적분값이 0이라는 것은 알겠는데요 이때 시작점과 도착점이 동일한 모든 폐곡선에 대해 성립하는 것으로 아는데요 만약 임의의 회로에서 전압 상승이 있다면 전압강하가 있어야 폐경로 전압이 0이 된다고 하셨는데 모든 폐경로에 대해 성립한다면 회로 외부에도 성립해야되는 거 아닌가요?? 회로 외부는 전기장이 0 이므로 전압이 0은 될텐데 만약 전원만 거치고 저항을 거치지 않는 폐곡선에 대해서는 0이 나오지 않는점에 대해 궁금합니다.

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    1. 좋은 관점입니다, Unknown님. 회로의 외부 환경까지 고려하려면 맥스웰 방정식이나 전송선 이론을 도입해야 합니다. 회로 이론만으로는 불충분해요. 쉽게 말해서 회로 외부의 전기장은 0이 아닙니다. 아래 링크도 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/07/transmission-line-theory.html

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  21. 전파 거북님 좋은 답변 감사드립니다~👍
    결국 전자기파의 성질을 모두 고려하면 위에 언급한 모든 경로에 대해서도 키로히호프 전압 법칙은 결국 성립하나요??

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    1. 네, 인덕턴스(inductance)까지 고려하면 교류에서도 KVL은 항상 성립합니다.

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    2. 전파 거북님 매번 친절한 답변 정말 감사드립니다~^^ 좋은 하루 되시고 저도 많은 사람들게 도움이 되는 사람이 되도록 노력하겠습니다 ㅎㅎ

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  22. 전파거북님 위의 질문에서 조금 다른 상황의 회로에서 궁금증이 생겨 질문드렸습니다. 전원과 저항이 없는 도선이 연결되어 있으며 도선의 끝부분은 잘라진 즉 폐회로를 이루지 않고 개방상태에 있는 회로에서는 키로히호프 법칙이 성립하나요?? 이런경우 전류가 흐르지 않아 전압강하가 일어나지 않을 것이라고 생각됩니다. 어디서 전압강하가 일어날까요??

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    1. 직류로만 생각하면, 잘라진 끝부분에만 전압이 생기고 전류는 흐르지 않아요. 전형적인 개방(open) 회로입니다.
      하지만 어떻게 끝부분으로 전압이 전달되는지 고려할 때는 회로 이론을 확장한 전송선 이론이 필요합니다.

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  23. 전파거북님 고민하다가 다시 글을 적게 되었습니다.
    위의 질문에서 전하자체가 움직일 수 없는 상태 이므로 전압을 논할 필요가 없다 봐야 될까요??
    전압의 의미는 전기력 퍼텐셜 에너지에 시험전하량을 나눈값이므로 전기력 퍼텐셜 에너지 자체가 전하의 운동이 있다는 가정하에 에너지 변화를 수학적으로 나타낸것이기 때문에 전압또한 시험전하의 운동이 있어야 된다고 생각하고 있습니다. 때문에 개방된 회로에서 전하가 이동하지 않으므로 전하가 전원을 거칠수도 없으므로 전압상승또한 없으며 전하들이 정지한 상태로 자신의 위치에 해당하는 전위만을 갖고 있을 것이라고 생각하고 있습니다~^^

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  24. 위에 질문에서 개념이 잘못된것 같아 정정하겠습니다.
    전류가 실제로 흐르지 않더라도 키로히호프 전압법칙은 임의로 시점에서 종점이 동일한 모든 폐회로에 대해 가상의 전하를 움직였다고 생각했을때 성립해야되는 법칙이므로 위의 질문에서 전류가흐르지 않아도 성립은 해야된다고 생각됩니다. 전파거북님 말씀대로 맥스웰방정식을 공부해봐야겠습니다..

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    1. 1. 회로 문제를 다룰 때, 역학처럼 힘과 에너지로 생각하면 오히려 어려워요. 우리 선배들의 제안처럼 전압과 전류라는 잣대로 회로 현상을 봐야 더 쉽게 본질에 접근할 수 있어요.

      2. 전압은 전기장의 적분으로 정의합니다. 회로 이론에서는 무시하지만 모든 공간에 전기장이 있어요. 그래서 회로 밖에도 선 적분을 해서 도선이 아닌 공간 상에도 전압을 정할 수 있어요. 이때는 전압($V$)이라 하지 않고 전기 포텐셜(electric potential, $\phi_e$)이라 부릅니다.

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  25. 안녕하세요 전파 거북님~ 글에는 전위계수에 대한 언급은 따로 없었는데요 이에 대해 궁금하여 글을 적게 되었습니다.
    전위 계수에 대해 답변 해주시면 감사드리겠습니다.

    도체는 등전위를 이루는 성질을 갖고 있다고 알고 있습니다.(=도체 내부의 전기장이 0이 되려는 성질)
    이러한 성질로 부터 모양이 다른 도체1과 도체2가 있다고 했을때 도체 각각에 동일한 전하가 있을 경우 도체 내부의 전기장이 0을 이루기 위해 분포 되어 있는 전하 위치는 서로 다를 것입니다.
    때문에 도체의 형태가 다를 경우 도체 자체 전위계수 p11 or p22은 서로 다를 것이라고 생각하고 있습니다.
    그런데 전위계수는 전하의 분포에 관계없이 계수로 써 작용한다고 들었습니다. 전위계수가 전하분포에 상관 없다는 부분이 와 닿지가 않습니다. 혹시 이에 대해 아시는 점이 있는지 여쭤보고 싶습니다 감사합니다.
    참고 자료 주소 입니다. 위키 백과 사전입니다: https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficients_of_potential

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    1. 좋은 정보 감사합니다, 익명님.

      위키피디아에 나온 식은 좀 생소하네요. 보통은 방정식을 행렬 형태인 $Q_i = C_{ij} V_j$로 씁니다. 이걸 역행렬로 다시 바꾸면 $V_j = C_{ij}^{-1} Q_i$ 정도 되네요. 그래서 전위 계수 행렬은 전기 용량 행렬(capacitance matrix)의 역행렬입니다.
      전위 계수라 정의한 양은 전기 용량과 관련 있기 때문에, 이 양은 커패시터의 기하 구조와 매질만의 함수가 됩니다.

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    2. 같은 전하량이더라도 전하가 존재하는 위치가 다르면 전위가 달라질 수 있듯이 전위계수도 전하들의 기학적 위치에 의해 결정된다고 생각되어지는데 전하 분포와 관련이 없는 것이 이해가 잘 되지 않네요~

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    3. 커패시터의 기하 구조가 바뀌면 당연히 전기 용량(capacitance)도 바뀝니다.

      위에 말한 답변한 내용은 전하량에 대한 겁니다. 전하가 늘거나 준다고 해서 전기 용량이 바뀌지는 않아요. 걸리는 전압이 바뀐 뿐이지요. 이 관계는 다중 커패시터가 되더라도 동일한 원리로 움직입니다.

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    4. 전파 거북님 친절한 답변 감사드립니다.
      캐패시터를 예를 들어 말하자면 제가 말한 기하 구조는 전하들이 증가할 경우 전하들이 등전위를 이루면서 어떠한 위치들에 정지하고 있을텐데 전하량을 증가할 수록 전하들이 등전위를 이루기 위한 위치가 바뀔 수 있다고 생각되어 진다는 말이였습니다.
      때문에 전하량이 증가하면 도체내에 전하들의 위치가 변화 하게 되면서 결과적으로 전위 계수에 영향을 주게 되는 것이 아닌가 생각이 들게 되는 것입니다.

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    5. 물공님, 우리가 생각하는 범위는 정전장입니다. 그래서 전하는 고정되어야 합니다.
      만약 전하가 마음대로 움직인다면, 전하는 계속 멀어지거나 한 점에 모일 겁니다. 이때는 커패시터 근사로 풀 수는 없고 원천이 움직이는 전자파 해석이 필요해요.

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    6. 친절한 답변 감사드립니다~~
      죄송하지만 한가지만 여쭤보겠습니다.
      도체1과 도체2가 있을때 두 도체사이의 모양이 다를경우 각 도체의 자체전위계수 p11과 p22가 다를 수 있다는 점은 이해가 가지만 상호 전위계수 p12=p21 인 이유가 궁금합니다.

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    7. 1. 상호 전위 계수(mutual coefficient of potential)가 같다는 걸 쉽게 증명하려면 식 (3)을 보면 됩니다. 1번에서 2번을 가는 거리와 2번에서 1번을 가는 거리는 같기 때문에 두 계수는 항상 같습니다.

      2. 더 정확히 증명하려면 조건을 교류 회로로 확장해서 로렌츠 상반 정리(Lorentz reciprocity theorem)를 적용하면 됩니다. 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/05/lorentz-reciprocity-theorem.html

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    8. 좋은글 정말 감사드립니다~^^

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