2010년 8월 6일 금요일

벡터 항등식(Vector Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "벡터 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


물리학에 자주 등장하는 다양한 벡터 항등식을 자세히 소개한다. 특별한 조건이 없는 경우, 대부분의 벡터 항등식은 좌변과 우변을 모두 전개한 후 서로 비교하여 증명한다.


1. 미분이 없는 벡터 항등식

아래 항등식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

                         (1.1)

                         (1.2)

                         (1.3)

                      (1.4)

여기서 $(\cdot)^*$는 벡터에 대한 켤레 복소수(complex conjugate)를 의미한다. 식 (1.3)은 좌변과 우변의 항들을 비교하여 증명하지 않고 내적(inner product)외적(outer product)의 개념을 이용하여 증명할 수 있다. 식 (1.3)의 좌변을 보면, 좌변을 계산한 최종 벡터는 $\bar A$를 성분으로 가질 수 없다. 또한, 이 벡터는 $\bar B \times \bar C$에 수직이어야 하므로, 좌변의 벡터는 $\bar B, \bar C$로 구성되어야 한다.[∵ $\bar B \times \bar C$는 $\bar B, \bar C$가 구성하는 평면의 법선 벡터 방향을 가지기 때문이다.] 그러면 식 (1.3)의 좌변은 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (A.1)

식 (A.1)의 양변에 $\bar A$를 내적하여 정리하면 상수 $b, c$는 다음 관계를 가져야 한다.

                         (A.2)

다음으로 식 (A.2)의 결과를 식 (A.1)에 넣은 후, 양변에 $\bar B$를 내적하여 양변을 비교하면 다음의 최종 결과를 얻을 수 있다.

                         (A.3)

여기서 식 (1.2)에 의해 둘째식 위와 아래 결과는 서로 같으므로, $b$와 $b'$에 대해 연립하면 식 (A.3)의 셋째식이 얻어진다. 또한 식 (A.1)의 좌변을 보면 벡터 $\bar A, \bar B, \bar C$의 이중 외적이므로 최종 벡터의 성분은 $\bar A, \bar B, \bar C$의 삼중곱으로 나와야 한다. 따라서, 반드시 $b = \bar A \cdot \bar C$가 성립해야 한다.


2. 미분 포함 벡터 항등식

아래 항등식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다. 증명은 데카르트 좌표계에서 했지만 좌표계의 등가성에 의해 다른 모든 직교 좌표계에서 성립한다.

                         (2.1)

                         (2.2)

                         (2.3)

                       (2.4)

                         (2.5: 발산 연산자의 영인자)

                       (2.6)

                        (2.7: 회전 연산자의 영인자)

여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다.
식 (2.3)을 증명하기 위해 다음 관계식을 관찰하자.

                             (B.1)

식 (B.1)은 $R \ne 0$인 곳에서 항상 0이라는 뜻이므로, 원천점[$\bar r'$]을 포함한 체적 적분을 이용해 식 (2.3)에서 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 자연스럽게 도출됨을 증명하자.

                             (B.2)


3. 스칼라와 벡터 함수가 결합한 미분 포함 벡터 항등식

미분을 포함한 벡터 항등식을 이용해 스칼라 함수까지 포함된 미분 포함 벡터 항등식을 다양하게 찾을 수 있다.

                         (3.1)

                         (3.2)

                         (3.3)

                         (3.4)

                         (3.5)

                         (3.6)

                         (3.7)

                         (3.8)

여기서 벡터 $\bar A_0$은 상수 벡터이다.


4. 라플라시안 포함 벡터 항등식

벡터 미분 연산중 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$은 아래와 같이 정의한다. 명칭 라플라시안에 있는 -이안(-ian)의 원뜻은 -에서 나왔음이므로 직역하면 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)의 제안이 된다. 하지만 이 연산자를 그냥 우리말로 바꾸면 이상하므로 수학에 출현하는 -이안(-ian)은 의역하여 연산자(operator)라고 생각하고 영어 그대로 부르면 된다. 즉 $\nabla^2$은 라플라스가 제안한 연산자이며 영어 그대로 라플라시안이라 부른다.

                         (4.1)

                         (4.2)

                         (4.3)

                         (4.4)


5. 벡터 곱을 결합한 미분 포함 벡터 항등식

아래 벡터 곱을 결합한 미분 연산자는 데카르트 좌표계에서 더 쉽게 정의된다.  다이애드로 정의한 식 (7.1)과 (7.2)를 이용하면 벡터 곱을 결합한 미분 연산자는 좌표 불변성(座標不變性, coordinate invariant or coordinate independent)이 성립함을 증명할 수 있다.

                         (5.1)

                         (5.2)

아래 항등식의 증명 자체는 쉽다. 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

        (5.3)

        (5.4)

        (5.5)

                         (5.6)

                         (5.7)

                         (5.8)

                         (5.9)

                         (5.10)

                         (5.11)

                         (5.12)

                         (5.13)

                         (5.14)

                         (5.15)

여기서 벡터 $\bar A_0$은 상수 벡터이다.
식 (5.3)은 식 (5.7)을 통해 쉽게 증명 가능하다. 식 (5.7)에서 $\bar A$, $\bar B$를 상호 교환해서 쓰면 다음을 증명할 수 있다.

                  (E.1)

식 (5.11)은 식 (5.9)와 (5.10)을 이용해 다음처럼 증명한다.

                  (E.2)

식 (5.13)은 다이애드(dyad)로 표현한 식 (7.1)을 이용해 바로 구할 수도 있다. 혹은 식 (5.12)의 셋째줄에 제시한 처음 두 항을 다이애드 표현식 (7.1)로 단순화하여 증명할 수도 있다.


6. 미분 없는 다이애드 항등식

다이애드(dyad)는 두 벡터를 일렬로 배치하여 표기하는 텐서량이다. 다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$를 다룰 때 필요한 정의는 다음과 같다.

                         (6.1)

                         (6.2)

                         (6.3)

                         (6.4)

                         (6.5)

                         (6.6)

여기서 $\text{trans}(\cdot)$는 전치(transpose) 연산자, $\text{tr}(\cdot)$은 대각합(trace) 연산자, $\bar D^{(i)} = \bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$, ${}^{(i)} \bar D = \hat i \cdot \bar{\bar{D{}}}$이다. 다이애드를 포함하는 다양한 항등식은 다음과 같다. 다이애드 항등식의 증명은 좌변과 우변을 전개하여 각각 서로 비교하면 된다.

                         (6.7)

                         (6.8)

                         (6.9)

                         (6.10)

                         (6.11)

다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$가 대칭(symmetric)이면 식 (6.7)에 의해 벡터와 다이애드의 내적에 대해 교환 법칙이 성립한다.


7. 다이애드 기반 미분 포함 벡터 항등식

식 (5.1)과 (5.2)는 데카르트 좌표계에서 손쉽게 계산할 수 있지만, 식 (7.1)과 (7.2)와 같은 다이애드(dyad)를 도입하면 항등식이 더 아름다워진다. 즉 식 (5.1)과 (5.2)를 가진 항등식을 식 (7.1)과 (7.2)를 이용해 변형하면 벡터 곱과 미분을 포함한 벡터 항등식을 임의 좌표계로 편리하게 확장할 수 있다.

                         (7.1)

                         (7.2)

여기서 $\bar A \bar B$는 다이애드이다. 다이애드를 가진 미분 포함 벡터 항등식을 다양하게 찾아보자.

                        (7.3)

                        (7.4)

                       (7.5)

                        (7.6)

                        (7.7)

                        (7.8)

                        (7.9)

                        (7.10)

                        (7.11)

                        (7.12)

                        (7.13)

                        (7.14)

                        (7.15)

                        (7.16)

                        (7.17)

                        (7.18)

                        (7.19)

                        (7.20)

                        (7.21)

여기서 $\bar A_0$은 상수 벡터, $\bar \nabla \bar \nabla$는 다이애드를 생성하는 다이애드 구배(dyadic gradient)이다.


8. 적분 포함 벡터 항등식

아래 항등식은 구배(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 연산자의 특성을 이용하여 증명한다.

                         (8.1)

                        (8.2: 발산 정리)

                         (8.3)

                         (8.4)

                       (8.5: 스토크스 정리)

                         (8.6)

여기서 $\hat n$은 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 단위 벡터이다.


9. 적분 포함 다이애드 항등식

아래 항등식은 구배(gradient)발산(divergence)회전(curl) 연산자를 기반으로 증명한다.

                         (9.1)

                         (9.2)

                         (9.3)

                      (9.4)

여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$이다.
식 (9.3)을 증명하기 위해 구(sphere)에 대한 체적 적분 가정과 식 (9.2)를 적용한다.

                         (I.1)

여기서 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다. 식 (I.1)에서 0이 아닌 적분만 모아서 정리하면 다음과 같다[1].

                         (I.2)

여기서 적분의 편의성을 위해 $\bar r'$ = $(0, 0, 0)$이라 가정하며 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$ = $\cos \phi \sin \theta \hat x$ + $\sin \phi \sin \theta \hat y$ + $ \cos \theta \hat z$이다.


[참고문헌]
[1] J. L. Volakis and K. Sertel, Integral Equation Methods for Electromagnetics, Raleigh, NC, USA: SciTech Publishing, 2012.
[2] J. G. Van Bladel, Electromagnetic Fields, 2nd ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2007. (방문일 2020-01-27)

[다음 읽을거리]
1. 텐서 미적분학

댓글 53개 :

  1. 안녕하세요 . 궁금한게 있는데요 3-2 에서 델연산자 ' 점은 무엇을 의미 하나요?

    답글삭제
    답글
    1. 관측점 $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점에 $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시합니다. 본문에 명시해야겠네요.

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  2. 저기 혹시.. 4-4식에서요 첫항이 ▽(A'B)이 아닌가요? 수리물리학책 arfken에서는 그렇게 되어있는데요? 어느게 맞는 식이죠? 저 식을 유도 할때 레비치타 기호 말고 순수히 삼중곱으로 증명이 가능한 가요?

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    답글
    1. 다시 계산해 봤는데 식 (4-4)는 문제없습니다. 저런 식 증명할 때는 어렵게 할 필요없습니다. 좌변과 우변이 같은 것만 보이면 됩니다.

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  3. 전 언제쯤 저렇게 수준 높은 질문과 답볍을 할 수 있을까? OTL T.T
    _____
    전파곰

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    답글
    1. 전파곰님, 천천히 하세요. ^^
      대부분 시간이 해결해줍니다. 급하게 하면 쉽게 포기합니다.

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  4. 관측점(observation point)와
    http://en.wikipedia.org/wiki/Overlook 는 어던 심오한 관게가 있는건가요?
    _____
    전파곰

    답글삭제
    답글
    1. 비슷하다고 볼 수 있겠네요. ^^
      내가 원천점을 볼 수 있으면 관측점입니다.

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  5. 기초적인 질문입니다.

    일딴 A와 B를 vector라 하고,
    식 (4-2)에서
    (∇.A)B 와B(∇.A) 이건 다른 건가가요?
    Scalar product은 교환법칙이 성립을 하고, 발산된 것은 Scalar 이므로 상수 취급을 해버리면 같아야 할 거같은데요.
    _____
    전파곰

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    답글
    1. 죄송요 또 오타네요.
      식 (4-2)에서 (A·∇)B 와B(∇·A) 이 두개의 항이 다른 건가가요?

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    2. 서로 다릅니다. 본문에 정의를 추가하겠습니다.

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    3. 감사드립니다.

      흐미 신세계네요. 좀 보고 생각하고 문의 드리겠습니다.

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    4. A와 B는 vector
      A = (Ax, Ay, Az)
      B = (Bx, By, Bz)
      단위 vector를 x^, y^, z^ 라고 할때,

      (A·∇)B
      = (Ax ∂/∂x + Ay ∂/∂x + Az ∂/∂z) (Bx x^ + By y^ + Bz z^ )
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂x x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂x y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂x z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      이렇게 되는건가요?

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    5. 죄송요 또 오타네요.

      (A·∇)B
      = (Ax ∂/∂x + Ay ∂/∂y + Az ∂/∂z) (Bx x^ + By y^ + Bz z^ )
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂y x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂y z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      이렇게 되는건가요?

      삭제
    6. 예, 배분 법칙이 적용된다고 생각하면 쉽습니다.

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    7. 질문이 좀 많이 거시기하고 긴데요.
      질문의 핵심은 식(4-1)을 어떻게 증명하는지 힌트좀 주시면, ....

      식(3-1)(3-2)를 제외하고 (3-6)까지는 증명을 해보았는데요.
      (3-7~9)까지는 같은 방식으로 하면 될거 같구요.
      그런데 식(4-1)부터 모르겠습니다. 어떻게 증명하는지 힌트좀 주시면, ....

      식(4-1)을 두가지로 해보았습니다.
      1. vector 삼중적을 이용하였는데, 결과가 우측을 전계를 하면,
      2∇(A·B) 가 되어서 아닌거 같다는 생각이 들구요.
      ---------------------------
      A×(∇×B) = ∇(A·B) - A(B·∇) = ∇(A·B) - (B·∇)A
      B×(∇×A) = ∇(A·B) - B(A·∇) = ∇(A·B) - (A·∇)B

      Vector 삼중적 전계한 것을 대입 하면,

      A×(∇×B) + B×(∇×A) + (A·∇)B + (B·∇)A
      = [∇(A·B) - (B·∇)A] + [∇(A·B) - (A·∇)B] + (A·∇)B + (B·∇)A
      = 2∇(A·B)
      ---------------------------

      2. 각각 다 풀어 해쳐 보았는데, 모르겠습니다.
      왠지 연산자의 0(zero) 인자와 관련이 있을거 같은데요.
      ---------------------------
      모든 항들을 전계를 해보면,

      ∇(A·B)
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂Bz/∂z z^
      + Bx ∂Ax/∂x x^ + By ∂Ay/∂y y^ + Bz ∂Az/∂z z^

      (A·∇)B
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂y x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂y z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      (B·∇)A
      = Bx ∂Ax/∂x x^ + By ∂Ax/∂y x^ + Bz ∂Ax/∂z x^
      + Bx ∂Ay/∂x y^ + By ∂Ay/∂y y^ + Bz ∂Ay/∂z y^
      + Bx ∂Az/∂x z^ + By ∂Az/∂y z^ + Bz ∂Az/∂z z^

      A×(∇×B)
      = Ay ∂By/∂x x^ + Az ∂Bz/∂x x^ - Ay ∂Bx/∂y x^ - Az ∂Bx/∂z x^
      + Az ∂Bz/∂y y^ + Ax ∂Bx/∂y y^ - Az ∂By/∂z y^ - Ax ∂By/∂x y^
      + Ax ∂Bx/∂z z^ + Ay ∂By/∂z z^ - Ax ∂Bz/∂x z^ - Ay ∂Bz/∂y z^

      B×(∇×A)
      = By ∂Ay/∂x x^ + Bz ∂Az/∂x x^ - By ∂Ax/∂y x^ - Bz ∂Ax/∂z x^
      + Bz ∂Az/∂y y^ + Bx ∂Ax/∂y y^ - Bz ∂Ay/∂z y^ - Bx ∂Ay/∂x y^
      + Bx ∂Ax/∂z z^ + By ∂Ay/∂z z^ - Bx ∂Az/∂x z^ - By ∂Az/∂y z^

      A×(∇×B) + B×(∇×A) + (A·∇)B + (B·∇)A - ∇(A·B) = 0
      이어야 하는데,
      = Ay ∂By/∂x x^ + Az ∂Bz/∂x x^
      + Az ∂Bz/∂y y^ + Ax ∂Bx/∂y y^
      + Ax ∂Bx/∂z z^ + Ay ∂By/∂z z^
      + By ∂Ay/∂x x^ + Bz ∂Az/∂x x^
      + Bz ∂Az/∂y y^ + Bx ∂Ax/∂y y^
      + Bx ∂Ax/∂z z^ + By ∂Ay/∂z z^

      마지막 12개 항이 남아요.
      ---------------------------

      삭제
    8. 본문에 조금 추가했습니다. 식 (4-8) 참고하세요.

      삭제
    9. 감사용.~~~~~
      퇴근 해서 보고 다시 문의 드리겠습니다.

      삭제
    10. 식(4-5)와 (4-6)은 tensor를 좀 알아야 증명할 수 있는건가요?
      _____
      전파곰

      삭제
    11. 식 (4-5)는 벡터만 알아도 됩니다. 식 (4-6)은 다이애드의 정의 정도만 알면 됩니다. 아래 링크 확인해보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html

      삭제
    12. 1. 식 (4-5) vector r 이
      r = r_x x^ + r_y y^ +r_z z^
      로 정의하고 하면 되나요?
      아니면 구좌표와 관련이 있나요?

      2. 식(4-6)을 증명해보았는데, 혹시 봐주실 수 있으신지요.

      http://blog.daum.net/share_like_bear/42

      삭제
    13. 1. $\bar r = x \hat x + y \hat y + z \hat z$로 정의해야 합니다.

      2. 다이애드는 교환 법칙이 성립하지 않습니다. 제시한 유도에서는 이 부분을 무시했습니다. 하지만 최종 결과는 맞는 것 같습니다.

      삭제
    14. 감사드립니다. 이 은혜를 어찌 다 갚아야할지.~~~~~~
      좀더 해보고 문의 드리겠습니다.
      좋은 주말 되십시오.

      삭제
    15. 식 (2-4)를 vector 삼중적으로 증명을 해되 되는건가요?
      처음에는 의심을 전혀 안했는데,
      다른 항등식들이 하나가 같이 vector 삼중적을 적용하면 안되서요.

      삭제
    16. 안 됩니다. 벡터 삼중적은 벡터에만 쓰는 것입니다.

      삭제
    17. Del 연산자도 vector라서 될 수도 있을 거라 생각 했었는데, T.T
      감사용~

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    18. 델 연산자는 벡터가 포함되어 있지만 숫자가 아니고 엄연히 연산자입니다. 벡터처럼 쓰면 오류가 나올 수 있습니다.

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    19. 아~ 내가 이걸 다 증명을 해보다니,
      물론 재대로 한것인지는 몰겠지만요.

      주인장님에게 깊은 감사를 드립니다.

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    20. 잘 하셨을겁니다. 건투를 빕니다. ^^

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  6. xyz좌표계에서 증명하면 모든 직교좌표계에서 성립한다고 할 수 있나요?

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    1. 맞기는 한데요, 조건이 있습니다.
      연산자가 좌표 불변성을 가져야 합니다. 더 깊이 들어가려면 텐서 개념이 꼭 필요합니다. ^^

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    2. 아래 링크 읽어보시면 자세히 나옵니다. 간단히 설명드리면 좌표계를 바꾸더라도 그 수학적 본질은 바뀌지 않는 특성이 좌표 불편성입니다. (모든 연산자가 좌표 불변성을 가지지는 않습니다.) 좌표 불변성이 있으면 단순한 데카르트 좌표계 증명이 모든 좌표계로 확장될 수 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html

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  7. 식 1-3 증명은 벡터를 모두 전개하는 방법 말고는 없나요?
    혹시 선형대수학을 이용해서 좀더 간단하게 풀 수는 없나요?

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    1. JiHoon님, 내적과 외적을 이용한 증명을 본문에 추가했습니다. 물론, 간단하게는 안됩니다. ^^

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  8. 안녕하세요. 벡터 공부를 막 시작한 학생입니다. ㅜㅜ
    저 정말 기초적인 것일 수도 있지만 몰라서 여쭤봅니다.
    4-2 증명 과정을 알고 싶습니다. 어떤 과정으로 저 식이 나오는지 궁금합니다. ㅜ

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    1. 좌변과 우변을 따로 계산해서 서로 비교해보면 됩니다. 특별한 규칙이 있는 것은 아닙니다, Jin Yu님.

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  9. B·(∇×A) = (B×∇)·A 가 성립하는지 묻는 문제를 봤는데요. 얼핏보면 안된다고 하고 싶은데 한번 정말 안되는지 증명을 하고 싶은데... 저기서 (B×∇)·A 이부분은 어떻게 계산을 해야하는건가요?

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    1. 식 (4-7)처럼 $\bar \nabla$를 연산자로 간주하여 벡터 외적을 계산하고, 이 결과를 벡터 A와 내적하면 됩니다.

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  10. http://blog.daum.net/sunyup/83

    불펌당하셨네요

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    1. 신고 감사합니다, 윤호이님. ^^ 귀찮아도 출처를 밝혔어야 하는데요.

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  11. 식 4.5에 벡터곱에 들어가는 r 벡터는 어떤 벡터인가요? 구좌표계의 r벡터인가요 아니면 임의의 벡터인가요?

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    1. 위치 벡터입니다. 구 좌표계의 $r$ 벡터이기도 하고요.

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    2. 감사합니다! 참고하겠습니다

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  12. 매번 너무 감사드립니다.
    어떻게 식(1-7) 어떻게 나눗셈이 되는지 이해가 안되서요
    가운데 줄의 결과에서
    마지막 3번째의 결론이 어떻게 나는 건가요??

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    1. 식 (1-2)에 의해 두번째 식은 위와 아래가 서로 같아요.

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  13. 이제 벡터해석부분을 공부하고 있는 학생입니다.
    궁금한 점이 있는데요.
    5-1 밑부분에서 A벡터와B벡터의 스칼라처럼 곱해져있는 것처럼 보이는 항이 보입니다. 정확히 어떤 건지 알 수 있을까요? 미분연산자랑 벡터도 내적이나 외적형태가 아닌 단순히 곱한 형태도 보였습니다. 어떻게 이해해야 할까요?

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    1. 조금 찾아보니 다이애드 관련 개념이 포함되어 있는 것 같더군요. 나중에 천천히 다이애드와 텐서부분을 조금 본 후에 다시 오겠습니다.

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    2. 맞습니다, Unknown님. ^^ 다이애드(dyad)를 사용해 항등식을 표현했어요.

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  14. 식 1-1의 *는 무슨 의미인지요?

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  15. 안녕하세요,꽤나 오래전에 전자기학 등에서 질문을 올리고 도움 받았던 사람입니다. 시간이 흘러 어느새 대학에서 2년째 물리학을 전공하고 있는데, 문득 생각나 다시 들러 감사의 인사 드립니다. 지금 생각해보니 그때 했던 질문들이 얼마나 기초 없이 섣부른 마음에 공부하다가 했던 것들인지 깨달아서, 전파거북이님이 설명해주시느라 힘드셨겠다는 생각이 듭니다. 그래도 친절하게 답변해주셔서 감사했습니다. 덕분에 수학이랑 물리학에 좌절하지 않고 즐겁게 계속 공부해나갈 수 있었던 것 같습니다.
    코로나로 분위기가 뒤숭숭한데, 건강 조심하시고 안녕하시길 바랍니다.

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    1. 익명님, 너무 반갑습니다. 원하는 바를 이룬 것 같아 보기도 좋아요.
      더 큰 목표를 잡으시고 우리나라 물리학에 큰 기여하시기를 기원합니다. ^^

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