사원수(四元數, Quaternion)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "사원수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 복소수

[그림 1] $i, j, k$ 사원수 단위의 곱셈

복소수를 이용하면 2차원 평면에서 벡터(vector)를 손쉽게 구성할 수 있다. 2차원 벡터 표현에 사용한 복소수를 잘 조합하면 3차원 벡터도 표현할 수 있는가? 아니면 복소수와는 전혀 다른, 3차원 공간 벡터를 표현하기 위한 새로운 대수 체계가 필요한가? 이런 흥미로운 의문의 답을 제시하기 위해 해밀턴William Rowan Hamilton(1805–1865)이 1843년해밀턴 38세, 조선 헌종 시절에 발명한 수 체계가 사원수(四元數, quaternion)[2]이다. 또한, 역사적으로 보면 사원수는 최초로 발견된 교환 법칙이 성립하지 않는 대수 체계이다. 워낙 빼어난 발명이다 보니 자신의 이론을 학생들에게 쉽게 소개하기 위해 해밀턴은 사원수 강의(Lectures on Quaternions), 사원수 원론(Elements of Quaternions)이란 개론 형태의 책도 썼다. 물론 천재가 쓴 개론서가 쉬운 경우는 없었음을 기억하자! 해밀턴은 아일랜드가 자랑하는 최고의 수학자이다. 천재적인 해밀턴이 8년여를 고민해서 만든 체계가 사원수이니 느긋하게 공부하자. 해밀턴보다 더 고민해야 사원수를 제대로 이해할 수 있지 않겠는가! 사원수를 만든 해밀턴은 전설이 참 많은 수학자이다. 그 중 하나가 "여자와 술이 아니었다면 가우스를 넘어섰을 인류 최고의 수학자!"란 별명이다. 수학사적으로는 가우스의 업적이 해밀턴보다 훨씬 더 뛰어나다. 예를 들면 해밀턴이 1843년에 발명한 사원수는 가우스가 발표하지 않은 학술 일기[가우스 사후에 공개][1]에 이미 나와있다. 그래서 사원수의 최초 발견자는 가우스이다. 하지만 완벽주의자 가우스가 공개하지 않았기 때문에, 해밀턴같은 또 다른 천재가 무려 8년이나 고생했고 사원수 대수는 가우스가 아닌 해밀턴의 생각에 따라 발전했었다.

여자와 술이 해밀턴의 업적을 망쳤다고 해서 해밀턴의 여자 관계가 문란했다는 뜻은 절대 아니다. 오히려 그 반대로 일편단심이었다. 정말 좋아했던 여인 캐써린(Catherine Disney)을 죽을 때까지 잊지 못했다. 캐서린과 결혼했다면 가우스처럼 학문적으로 평탄한 길을 갔겠지만,[그렇다고 가우스가 편한 생활을 했다는 뜻은 아니다.] 부유한 연적으로 인해 실연을 하고 그 사랑으로 인해 알코올 중독자가 된 불운한 수학자가 해밀턴이다. 역설적이게도 캐써린의 남편에게 심리적인 복수(?)를 할 기회를 만들어 준 계기도 사원수였다. 캐써린의 아들이 사원수 시험을 준비할 때 해밀턴이 아들의 교사 역할을 했었던 적이 있다. 지금도 그렇지만 사원수를 아들에게 가르칠 수 있는 아빠가 몇 명이나 되겠는가! 더군다나 말로만 듣던 저자 직강, 아니면 천재 직강. 남편과 별거 중이던 캐써린은 고마움의 표시로 해밀턴에게 필통을 선물했다. 이 필통 위에는 다음과 같은 글이 조각되어 있었다. "그대가 결코 잊지 못하는 이, 그대가 무정하게 대한 적 없는 이, 그리고 그대를 한 번 더 만난다면 행복하게 죽을 수 있는 어떤 이로부터.(From one who you must never forget, nor think unkindly of, and who would have died more contented if we had once more met.)" 이 글을 본 해밀턴은 바로 캐써린에게 달려가 자신의 책인 사원수 강의를 선물했다. 이렇게 만난 2주 후 캐써린은 세상을 떠났다.

사원수에 대한 이해를 위해 복소수부터 출발한다. 식 (1)이 복소수에 대한 규칙[정의]이라면 식 (2)는 사원수에 대한 규칙[정의]이다.

                              (1)

                               (2)

여기서 $i$는 허수 단위(imaginary unit), $i,j,k$는 사원수를 구성하는 크기가 1인 사원수 단위(quaternion unit)이다. 복소수와 동일하게 $i, j, k$를 식 (2)의 규칙을 만족하는 단순 상수라 가정하면, 실수 곱셈과 유사한 계산을 할 수 있다. 즉 $i, j, k$를 대수라 생각해서 기본적으로 실수 곱셈을 하면서, $i, j, k$가 제곱이 되는 경우에만 식 (2)에 따라 $-1$로 바꾼다. 그러면 사원수 단위 $i, j, k$의 상호 관계를 다음처럼 표현할 수 있다.

                              (3)

식 (3)을 이용하면 사원수 체계에서 교환 법칙이 성립하지 않는 성질을 증명할 수 있다.[교환 법칙이 성립하지 않는 사원수의 특성을 좌표계 관점에서 보면, 오른손(right-handed)과 왼손 좌표계(left-handed coordinate system)가 존재한다는 뜻이다.]

                              (4)

여기서 증명을 위해 결합 법칙을 썼기 때문에 엄밀한 증명을 위해서는 식 (5)를 먼저 증명해야 한다. 또한 대수(代數, algebra)에서는 당연하지만 분배 법칙과 결합 법칙은 사원수에서 성립한다. 즉, 사원수 단위 $i, j, k$를 단순 상수로 생각할 수 있기 때문에 이 상수를 대수로 간주하면 분배 법칙은 당연히 성립해야 한다. 결합 법칙의 경우는 다소 복잡하다. 사원수를 어떤 순서로 계산하더라도 분배 법칙에 의해 최종 결과는 식 (5)와 같이 $i, j, k$의 곱[$i^l j^m k^n$]에 실수 계수[$a_{LMN}$]가 곱해져 서로 더해지는 모양을 가진다.

                             (5)

여기서 $l_1, m_1, n_1, l_2, m_2, n_2, \cdots, l_L, m_M, n_N$ 등은 분배 법칙에 의해 나온 $i, j, k$ 허수 곱의 개수를 나타낸다. 식 (5)에서 $i, j, k$ 사원수 단위간 곱의 결합 법칙이 성립하면 사원수의 결합 법칙은 성립하게 된다. 예를 들어, 식 (6)은 $ijk$의 결합 법칙이 성립함을 보여준다.

                              (6)

모든 경우에 대한 사원수 단위의 곱을 고려하려면 [그림 1]을 먼저 생각한다.

사원수 단위 곱하기는 [그림 1]처럼 현재 사원수 단위의 위치 바꾸기이다. 예시적으로 식 (6)에 있는 $ijk$는 파란색 원 $1$에서 시작해서 초록색 원 $i$로 위치를 바꾸고, 다음에 $j$가 곱해지므로 주황색 화살표를 따라 분홍색 원 $k$로 간다. 또다시 $k$가 곱해지므로 분홍색 화살표를 따라 파란색 원 $-1$로 가면 최종 결과를 얻을 수 있다. 그러므로 식 (5)에 있는 사원수 단위의 곱도 [그림 1]과 같은 위치 이동으로 간주할 수 있다. 어떤 위치에서 시작하든지[다른 말로 어떤 위치에서 곱셈을 하더라도 혹은 곱셈의 시작점을 바꾸더라도] 갈 수 있는 길은 고정되어 있으므로[혹은 곱셈의 순서는 이미 결정되어 있으므로] 당연히 결합 법칙이 성립함을 알 수 있다.

이런 고찰을 바탕으로 사원수의 사칙 연산을 정의한다. 일반적인 사원수는 $\bf z$ = $a + bi + cj + dk$로 기술한다. 여기서 $a$는 스칼라(scalar)이고 $(b, c, d)$는 3차원 공간 상의 벡터(vector)를 구성한다.

• 실수배

                              (7)

• 덧셈

                              (8)

• 뺄셈

                              (9)

• 켤레 사원수(quaternion conjugate)

                              (10)

• 곱셈

사원수의 곱셈은 ${\bf z}_1 \cdot {\bf z}_2$ 혹은 ${\bf z}_1 {\bf z}_2$로 표기한다.

                              (11)

식 (11)과 같은 사원수의 곱은 해밀턴 곱(Hamilton product)이라 부른다.

• 절대값(absolute value)

사원수의 절대값은 영점 기준의 크기(magnitude)를 의미하며 실수(real number)이다. 만약 스칼라 $a$ = $0$이면, $|{\bf z}|$는 3차원 공간 상의 원점에서 벡터 $(b, c, d)$까지 거리이다.

                              (12)

위 사칙 연산 중에서 나눗셈은 빠져있다. 왜 그럴까? 사원수는 교환 법칙이 성립하지 않으므로 복소수와 같은 나눗셈을 정의할 수는 없다. 그래서 사원수의 나눗셈은 다음 식과 같이 곱셈을 이용해 새롭게 정의한다.

                              (13)

                              (14)

사원수의 나눗셈은 식 (13), (14)와 같이 두 가지 종류가 있음을 명심해야 한다. 켤레 사원수를 이용하면 식 (13), (14)에 있는 $\bf w$를 계산할 수 있다.

                              (15)

                              (16)

식 (15)와 (16)으로부터 사원수 나눗셈에 필요한 사원수의 역수를 식 (17)로 정의할 수 있다.

                              (17)

그래서 사원수에서 역수는 켤레 개념과 밀접히 연결된다.

[그림 2] $m \times n$ 행렬의 정의(출처: wikipedia.org)

사원수의 나눗셈을 얻는 과정은 행렬(行列, matrix)과도 유사하다. 예를 들어, 식 (13)에 제시한 $\mathbf{z}_2$ = $\mathbf{z}_1 \mathbf{w}$를 사원수 곱셈 정의인 식 (11)을 이용해 행렬로 표현하면 식 (18)과 같다.

                              (18)

여기서 사원수 곱을 생성하는 행렬은 반대칭 행렬(antisymmetric or skew-symmetric matrix)이다. 식 (18)에서 정방 행렬(正方行列, square matrix)의 역행렬을 취하면 식 (15)와 동일하게 나눗셈을 계산할 수 있다. 이런 결과를 종합하면 사원수와 행렬은 매우 밀접한 관련을 가짐을 알 수 있다. 사실 1843년에 제안된 사원수(quaternion)의 영향으로 1850년실베스터 36세, 조선 철종 원년에 실베스터James Joseph Sylvester(1814–1897)가 도입한 개념인 행렬(matrix)이 명확히 정의될 수 있었다. 사원수와 동일하게 행렬은 교환 법칙이 성립하지 않고 분배 법칙과 결합 법칙만 정의된다. 물론 행렬을 구성하는 기반 개념은 1850년 이전에 이미 상당 부분 연구되었다. 예를 들면 행렬이 나오기 전에 행렬식(determinant)이 이미 제안되어 광범위하게 사용되고 있었다.

사원수는 실수와 $i, j, k$ 허수로 구성되므로, 복소수의 복소 평면(complex plane) 개념을 확장하여 식 (19)처럼 스칼라(scalar)와 벡터(vector)를 새롭게 정의할 수 있다.

                              (19)

여기서 실수는 스칼라가 되며 허수는 벡터를 구성한다. 또한 사원수로부터 스칼라를 뽑는 스칼라 추출자(scalar extractor) $S({\bf z})$와 벡터를 선택하는 벡터 추출자(vector extractor) $V({\bf z})$를 도입해서 $\bf z$ = $S({\bf z}) + V({\bf z})$라 기술할 수도 있다. 여기서 $S({\bf z})$ = $a$, $V({\bf z})$ = $\bar z$이다.

3차원 벡터를 만들려면 변수는 $a, b, c$인 세개만 필요하므로, 실수와 $i, j$ 사원수 단위로만 구성하면 될 것 같다. 그런데 왜 변수가 $a, b, c, d$인 네개나 될까? 이 부분이 해밀턴이 사원수를 만들 때 가장 고민했던 부분이다. 요즘 관점으로 보면 실수는 벡터가 아니고 스칼라이기 때문에 식 (3)과 같이 직교성을 가진 서로 다른 좌표축 구성에 사용될 수 없다. 그러면, $a$를 제외하고 $b, c, d$로만 만들면 될 것 같다. 맞다. 그래서 해밀턴도 $a$ = $0$이며 $b, c, d$로만 구성된 사원수를 벡터라 불렀다. 스칼라라 불리는 실수부인 $a$의 존재 이유는 뭘까? 식 (11)과 같은 곱셈을 정의하기 위해서이다. 식 (2)처럼 $i, j, k$ 사원수 단위를 제곱하면 $i, j, k$로 표현할 수 없는 실수가 나오므로 사원수 대수를 정확히 표현하기 위해 실수부를 도입한다. 이런 특성으로 인해 사원수는 3차원 벡터를 표현하면서도 사원수의 나눗셈까지 정의할 수 있다. 좌표계 기반 벡터 표현에서는 벡터의 나눗셈을 정의할 수 없다.

스칼라 $a$ = $0$인 벡터를 이용하여 새로운 두 가지 곱셈을 정의할 수 있다. 먼저 벡터의 내적(內積, inner product)을 살펴본다. 스칼라 $a_1$ = $a_2$ = $0$인 경우 식 (11)의 실수부를 이용하여 내적을 정의한다.

                              (20)

벡터의 외적(外積, outer product)을 정의하기 위해 $a_1$ = $a_2$ = $0$인 경우 식 (11)의 허수부를 고려한다.

                              (21)

내적과 다르게 외적은 곱셈 순서를 바꾸면 식 (4)와 동일하게 부호가 바뀐다. $a_1, a_2$가 $0$이 아닌 경우는 사원수의 곱셈인 식 (11)을 내적과 외적을 이용하여 식 (22)로 표현할 수 있다.

                              (22)

스칼라 $a_1, a_2$가 $0$이 아닌 경우 벡터의 내적과 외적을 사원수의 곱셈으로 바꾸면, 각각 식 (23)와 (24)가 된다.

                              (23)

                              (24)

여기서 켤레 사원수는 ${\bf z}_1^*$ = $a_1 - \bar z_1$, ${\bf z}_2^*$ = $a_2 - \bar z_2$이고, 사원수의 곱은 ${\bf z}_1^* \cdot {\bf z}_2$ = $a_1 a_2 + \bar z_1 \bar z_2 + a_1 \bar z_2 - a_2 \bar z_1 - \bar z_1 \times \bar z_2$, ${\bf z}_2^* \cdot {\bf z}_1$ = $a_2 a_1 + \bar z_2 \bar z_1 + a_2 \bar z_1 - a_1 \bar z_2 - \bar z_2 \times \bar z_1$ = $a_1 a_2 + \bar z_1 \bar z_2 + a_2 \bar z_1 - a_1 \bar z_2 + \bar z_1 \times \bar z_2$ = $({\bf z}_1^* \cdot {\bf z}_2)^*$로 계산된다. 또한 ${\bf z}_1^* \cdot {\bf z}_2$와 ${\bf z}_2^* \cdot {\bf z}_1$은 서로 켤레 사원수 관계이므로, 켤레 사원수 곱의 합은 항상 스칼라가 나온다는 성질로부터 식 (23)을 증명할 수도 있다. 비슷하게 벡터 외적을 교환하면 부호가 바뀐다는 속성을 사용해서 식 (24)를 더 쉽게 증명하기도 한다.

복소수의 경우 $z \cdot z$ = $-1$을 만족하는 수는 $i$ 혹은 $-i$이다. 사원수는 어떨까? 사원수 방정식 ${\bf z}\cdot {\bf z}$ = $-1$을 만족하는 수는 $i, j, k$ 사원수 단위뿐일까? 여기에 사원수의 재미있는 성질이 있다. 식 (22)를 이용해서 방정식 ${\bf z}\cdot {\bf z}$ = $-1$을 풀어본다.

                              (25)

놀랍게도 사원수 체계안에서 ${\bf z}\cdot {\bf z}$ = $-1$을 만족하는 해의 개수는 무한대이다. $i, j, k$로 이루어진 좌표계에서 반지름이 1인 구표면에 있는 모든 점이 해가 된다.

[그림 3] 직교 좌표계(출처: wikipedia.org)

사원수를 구성하는 $i, j, k$ 사원수 단위는 기하학적으로 서로 직교할까? 이 질문에 답을 하려면 식 (20)에 정의된 내적을 고려해야 한다. 내적이 0이면 해당 벡터는 서로 직교(直交, orthogonality)한다. 식 (19)에 $i$[$b$ = $1$, $c$ = $0$, $d$ = $0$], $j$[$b$ = $0$, $c$ = $1$, $d$ = $0$], $k$[$b$ = $0$, $c$ = $0$, $d$ = $1$] 사원수 단위를 대입하여 계산하면 항상 내적이 $0$이 되므로 이 상수는 서로 직교한다. 예를 들어, $i$와 $j$의 내적은 $1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0$ = $0$이 되어 당연히 $0$이 된다. 이를 고려하면 $i, j, k$는 [그림 3]과 같은 직교 좌표계를 이루므로 $a$ = $0$인 사원수 $bi + cj + dk$는 좌표계상 한 점인 $(b, c, d)$로 표현할 수 있다.

식 (10)에 있는 켤레 사원수도 재미있는 연산 체계를 가지고 있다.

                              (26)

식 (26)은 사원수와 켤레 사원수의 연산을 직접 수행해서 쉽게 증명할 수 있다. 또한 식 (26)의 연산 규칙은 행렬과 매우 유사하다. 켤레 연산인 식 (26)의 셋째식을 고려해서도 사원수와 행렬은 서로 밀접한 연관이 있음을 알 수 있다. 식 (26)의 셋째식을 이용하면, 사원수 곱의 크기가 다음과 같이 각 사원수 크기의 곱으로 표현됨을 증명할 수 있다.

                              (27)

사원수의 크기가 $1$이면 단위 사원수(unit quaternion)라고 한다. 사원수 $\bf z$의 단위 사원수는 $\hat{\bf z}$처럼 표기한다. 여기서 $|\hat{\bf z}|$ = $1$이다. 스칼라가 $0$인 단위 사원수는 벡터만 있어서 단위 벡터(unit vector)라고도 부른다.

사원수 연산이 어렵다면, 편한 좌표계 기반 벡터를 사용할 수도 있다. 예시적으로 식 (19)의 사원수에서 벡터만 뽑아 곱셈을 하면 그 결과는 내적(inner product)과 외적(outer product)이 됨을 증명할 수 있다.

                              (28)

여기서 벡터의 내적과 외적은 각각 식 (20)과 (21)에 정의되어 있다. 거꾸로 벡터의 내적과 외적을 스칼라가 $0$인 사원수의 곱으로 식 (23) 및 (24)와 유사하게 표현할 수도 있다.

                              (29)

식 (28)을 이용하면, 식 (22)처럼 임의의 사원수 곱셈을 벡터 관점으로 쓸 수 있다.

                              (30)

만약 $b + \bar v$가 $a + \bar u$의 켤레 사원수($b$ = $a$, $\bar v$ = $-\bar u$)라면, 식 (12)와 동일하게 다음 관계를 얻는다.

                              (31)

식 (28)을 기반으로 벡터만 가진 사원수 삼중적(三重積, quaternion triple product)도 쉽게 계산할 수 있다.

                              (32)

여기서 벡터 삼중적(vector triple product)에 의해 $\bar u \times (\bar v \times \bar u)$ = $\bar v (\bar u \cdot \bar u) - \bar u (\bar u \cdot \bar v)$, 스칼라 삼중적(scalar triple product)에 따라 $\bar u \cdot (\bar v \times \bar u)$ = $\bar v \cdot (\bar u \times \bar u)$ = $0$이 성립한다.

사원수를 확장한 팔원수(八元數, octonion)[3]도 있다. 팔원수는 해밀턴의 친구인 그레이브즈John Thomas Graves(1806–1870)가 사원수의 발견해인 1843년그레이브즈 37세, 조선 헌종 시절에 발견했다. 복소수가 사원수로 확장되면서 교환 법칙 특성을 잃었다면, 팔원수는 사원수가 가진 결합 법칙 특성도 잃게 된다. 쉽게 말하면 팔원수는 곱셈의 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않는 독특한 대수 체계이다. 결합 법칙이 성립하지 않기 때문에 팔원수는 [그림 2]와 같은 행렬(matrix)로 표현할 수 없다.[결합 법칙이 성립하지 않는 팔원수의 물리적 의미는 무엇이 될 수 있을까? 혹자는 시간이나 에너지로 설명한다. 시간은 한 방향으로만 흐르기 때문에 팔원수를 시용해 시간 특성을 기술하려는 시도가 있다.] 사원수를 확장해 팔원수를 만들기는 단순하다. 예를 들면 사원수 ${\bf z}, {\bf w}$를 순서쌍으로 배열하여 $({\bf z}, {\bf w})$를 만들면 팔원수가 된다. 팔원수의 기저를 이루는 단위 팔원수는 $e_{i}$[$i$ = $0, 1, \cdots, 7$]로 정의한다. 여기서 $e_0$ = $1$, 그외 $e_i$는 복소수처럼 $e_i^2$ = $-1$의 성질을 가진다. 이렇게 하면 팔원수의 대수도 아주 쉽게 느껴지지만 문제는 지금부터이다. 사원수의 곱셈 특성인 $ijk$ = $-1$처럼 팔원수의 곱셈을 정의해야 한다. 하지만 곱셈이 만드는 경우의 수가 64개나 되어서[원소가 8개인 이항 연산이라서 $8 \times 8$ = $64$로 계산한다.], 새로운 곱셈을 정의하기가 쉽지 않다. 편하게 곱셈을 외우려면 [그림 4]처럼 파노 평면(Fano plane)을 생각하면 된다.

[그림 4] 파노 평면(출처: wikipedia.org)

처음으로 [그림 4]를 보면 팔원수 곱셈을 어떻게 정의하는지 이해하기 어렵다. 이때는 항상 기억하자. 보고 또 보고, 될 때까지! 파노 평면을 이용하기 위해 [그림 4]의 노란색 원을 찾는다. 7개가 보일 것이다. 이 부분이 팔원수의 허수부 기저이다. 그런데, 왜 8개가 아니고 7개만 보일까? $e_0$는 숫자 1인 스칼라이므로 곱셈의 항등원이 되어 굳이 파노 평면에 표현할 필요가 없다. 다음 단계로 노란색 원을 이은 선분을 찾아본다. 동일한 화살표 방향을 가진 선분 7개가 보이는가? 큰 삼각형의 변에 3개, 삼각형 변의 중점과 꼭지점을 이은 선분 3개, 중앙의 원 모양으로 그린 선분 1개를 찾아라. 이 부분을 순서쌍으로 적으면 (536), (617), (725), (145), (246), (347), (123)이 된다. 이를 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)로 적으면 팔원수의 허수부 기저 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

                              (32)

여기서 밑수 $i,j,k$는 $1, 2, \cdots, 7$, $\varepsilon_{ijk}$은 레비-치비타 기호, $\delta_{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 파노 평면도인 [그림 4]에 의해 $\varepsilon_{ijk}$는 (536), (617), (725), (145), (246), (347), (123)인 경우 $+1$이 된다.

   1. 사원수 항등식(quaternion identity)   

[기본 연산]

                              (1.1)

여기서 $\bf z$ = $a + bi + cj + dk$ = $a + \bar z$, ${\bf z}^*$ = $a - bi - cj - dk$ = $a - \bar z$이다.

                              (1.2)

                              (1.3)

                              (1.4)

[벡터와 연산]

                              (1.5)

                              (1.6)

                              (1.7)

   2. 벡터 항등식(vector identity)   

[기본 연산]

                              (2.1)

                              (2.2)

                              (2.3)

                              (2.4)

[증명]

식 (1.3)을 이용해서 다음처럼 정리한다.

                              (2.5)

______________________________

사원수의 곱셈이 벡터의 내적과 외적에 연결되는 식 (28)처럼 내적과 외적의 크기도 식 (2.4)처럼 서로 연결된다.

[스칼라와 연산]

                              (2.6)

                              (2.7)

[참고문헌]

[1] C. F. Gauss and F. Klein, Gauss' wissenschaftliches Tagebuch: 1796–1814 (Gauss' Scientific Diary: 1796–1814), Teubner, 1903.

[2] W. R. Hamilton, "On quaternions; or on a new system of imaginaries in algebra," Philosophical Magazine, pp 10–13. 101844.

[3] J. C. Baez, The Octonions, University of California, 2001. (방문일 2010-07-15)

[다음 읽을거리]

1. 좌표계 기반 벡터

2. 행렬

3. 사원수와 회전