2010년 7월 15일 목요일

사원수(四元數, quaternion)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "사원수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 복소수


복소수를 이용하면 2차원 평면에서 벡터(vector)를 손쉽게 구성할 수 있다. 2차원 벡터 표현에 사용한 복소수를 잘 조합하면 3차원 벡터도 표현할 수 있는가? 아니면 복소수와는 전혀 다른, 3차원 공간 벡터를 표현하기 위한 새로운 대수 체계가 필요한가? 이런 흥미로운 의문의 답을 제시하기 위해 해밀턴(Sir William Rowan Hamilton)이 1843년에 발명한 수 체계가 사원수(四元數, quaternion)[2]이다. 또한, 역사적으로 보면 사원수는 최초로 발견된 교환 법칙이 성립하지 않는 대수 체계이다. 워낙 빼어난 발명이다 보니 자신의 이론을 학생들에게 쉽게 소개하기 위해 해밀턴은 "사원수 강의(Lectures on Quaternions)", "사원수 원론(Elements of Quaternions)"이란 개론 형태의 책도 썼다. 물론 천재가 쓴 개론서가 쉬운 경우는 없었다는 것을 기억하자!
해밀턴은 아일랜드가 자랑하는 최고의 수학자이다. 천재적인 해밀턴이 8년여를 고민해서 만든 체계가 사원수이니 느긋하게 공부하자. 해밀턴보다 더 고민해야 사원수를 제대로 이해할 수 있지 않겠는가!
사원수를 만든 해밀턴은 전설이 참 많은 수학자다. 그 중 하나가 "여자와 술이 아니었다면 가우스를 넘어섰을 인류 최고의 수학자!" 수학사적으로는 가우스의 업적이 해밀턴보다 훨씬 더 뛰어나다. 예를 들면 해밀턴이 1843년에 발명한 사원수는 가우스가 발표하지 않은 학술 일기(가우스 사후에 공개)[1]에 이미 나와있다. 그래서 사원수의 최초 발견자는 가우스다. 하지만 공개하지 않았기 때문에 해밀턴 같은 또 다른 천재가 8년이나 고생했다. 여자와 술이 해밀턴의 업적을 망쳤다고 해서 해밀턴의 여자 관계가 문란했다는 뜻은 절대 아니다. 오히려 그 반대로 일편단심이었다. 정말 좋아했던 여인 캐써린(Catherine Disney)을 죽을 때까지 잊지 못했다. 캐서린과 결혼했으면 가우스와 같은 평탄한 길을 갔겠지만,(그렇다고 가우스가 편한 생활을 했다는 뜻은 아니다.) 부유한 연적으로 인해 실연을 하고 그 사랑으로 인해 알코올 중독자가 된 불운한 수학자가 해밀턴이다.
역설적이게도 캐써린의 남편에게 심리적인 복수(?)를 할 기회를 만들어 준 것도 사원수였다. 캐써린의 아들이 사원수 시험을 준비할 때 해밀턴이 아들의 교사 역할을 한 것이다. 지금도 그렇지만 사원수를 아들에게 가르칠 수 있는 아빠가 몇 명이나 되겠는가! 더군다나 이것은 말로만 듣던 "저자 직강." 남편과 별거 중이던 캐써린은 고마움의 표시로 해밀턴에게 필통을 선물했다. 이 필통 위에는 다음 글이 조각되어 있었다. "그대가 결코 잊지 못하는 이, 그대가 무정하게 대한 적 없는 이, 그대를 한 번 더 만난다면 행복하게 죽을 수 있는 어떤 이로부터. (From one who you must never forget, nor think unkindly of, and who would have died more contented if we had once more met.)" 이걸 본 해밀턴은 바로 캐써린에게 달려가 자신의 책인 사원수 강의를 선물했다. 이렇게 만난 2주 후 캐써린은 세상을 떠난다.

사원수에 대한 이해를 위해 복소수부터 출발해보자. 식 (1)이 복소수에 대한 규칙(정의)이라면 식 (2)는 사원수에 대한 규칙(정의)이다.

                              (1)

                              (2)

복소수와 동일하게 $i, j, k$를 식 (2)의 규칙을 만족하는 단순 상수라 가정하면 실수와 유사한 계산을 할 수 있다. 이를 통해 $i, j, k$의 관계는 식 (3)과 같이 주어진다.

                              (3)

식 (3)을 이용하면 사원수 체계는 교환 법칙이 성립하지 않는 것을 증명할 수 있다. (교환 법칙이 성립하지 않는 사원수의 특성을 좌표계 관점에서 보면, 오른손(right-handed)과 왼손 좌표계(left-handed coordinate system)가 존재한다는 뜻이다.)

                              (4)

여기서 증명을 위해 결합 법칙을 썼기 때문에 엄밀한 증명을 위해서는 식 (5)를 먼저 증명해야 한다.
또한 대수(代數, algebra)에서는 당연한 것이지만 배분 법칙과 결합 법칙은 사원수에서 성립한다. 즉, 배분 법칙은 $i, j, k$를 단순 상수로 생각할 수 있기 때문에 이 상수를 대수(代數, algebra)로 간주하면 당연히 성립해야 한다.
결합 법칙의 경우는 다소 복잡하다. 사원수를 어떤 순서로 계산하더라도 배분 법칙에 의해 최종결과는 식 (5)와 같이 $i, j, k$의 곱($i^l j^m k^n$)에 실수계수($a_{LMN}$)가 곱해져 서로 더해지는 모양을 가진다.

                             (5)

여기서 $l_1, m_1, n_1, l_2, m_2, n_2, \cdots, l_L, m_M, n_N$ 등은 배분 법칙에 의해 나온 $i, j, k$ 허수들 곱의 갯수를 나타낸다.
식 (5)에서 $i, j, k$ 허수 상수들 곱의 결합 법칙이 성립하면 사원수의 결합 법칙은 성립하게 된다.
예를 들어, 식 (6)은 $ijk$의 결합 법칙이 성립하는 것을 보여준다.

                              (6)

모든 경우에 대한 허수 상수들의 곱을 고려하려면 [그림 1]을 먼저 생각하자.

[그림 1] $i, j, k$ 허수 상수의 곱셈

허수 상수를 곱한다는 것은 [그림 1]에 그려진 것처럼 현재 허수 상수의 위치를 바꾸는 것이다.
예를 들어 식 (6)에 있는 $ijk$는 파란색원 1에서 시작해서 초록색원 $i$로 위치를 바꾸고, 다음에 $j$가 곱해지므로 갈색화살표를 따라 분홍색원 $k$로 간다. 또다시 $k$가 곱해지므로 분홍색화살표를 따라 파란색원 -1로 가면 최종결과를 얻을 수 있다.
그러므로 식 (5)에 있는 허수 상수들의 곱도 [그림 1]과 같은 위치 이동으로 간주할 수 있다. 어떤 위치에서 시작하든지(or 어떤 위치에서 곱셈을 하더라도 or 곱셈의 시작점을 바꾸더라도) 갈 수 있는 길은 고정되어 있으므로(or 곱셈의 순서는 이미 결정되어 있으므로) 당연히 결합 법칙이 성립함을 알 수 있다.

이런 고찰을 바탕으로 사원수의 사칙연산을 계산하자.

1. 실수배

                              (7)

2. 덧셈

                              (8)

3. 뺄셈

                              (9)

4. 켤레 사원수(quaternion conjugate)

                              (10)

5. 곱셈

                              (11)

6. 절대값(absolute value): 사원수의 크기(magnitude) = 실수

                              (12)

위 사칙연산 중에서 나눗셈은 빠져있다. 왜일까?
사원수는 교환 법칙이 성립하지 않으므로 복소수와 같은 나눗셈을 정의할 수는 없다.
따라서 사원수의 나눗셈은 식 (13), (14)와 같이 정의해야 한다.

                              (13)

                              (14)

사원수의 나눗셈은 식 (13), (14)와 같이 두 가지 종류가 있는 것을 명심해야 한다.
켤레 사원수를 이용하면 식 (13), (14)에 있는 $\bf w$를 계산할 수 있다.

                              (15)

                              (16)

식 (15)와 (16)으로부터 사원수 나눗셈에 필요한 사원수의 역수를 식 (17)로 정의할 수 있다.

                              (17)

[그림 2] $m \times n$ 행렬의 정의(출처: wikipedia.org)

사원수의 나눗셈을 얻는 과정은 행렬(行列, matrix)과도 유사하다. 예를 들어 식 (13)을 행렬로 표현하면 식 (18)과 같다.

                              (18)

식 (18)에서 정방행렬(正方行列, square matrix)의 역행렬을 취하면 식 (15)와 동일하게 나눗셈을 계산할 수 있다.
이런 결과들을 종합하면 사원수와 행렬은 매우 밀접한 관련을 가진 것을 알 수 있다.
사실 1843년에 제안된 "사원수(quaternion)"의 영향으로 1850년에 실베스터(James Joseph Sylvester)가 도입한 개념인 "행렬(matrix)"이 명확히 정의될 수 있었다. 사원수와 동일하게 행렬은 교환 법칙이 성립하지 않고 배분 법칙과 결합 법칙만 정의된다. 물론 행렬을 구성하는 기반 개념들은 1850년 이전에 이미 상당 부분 연구된 것들이다. 예를 들면 행렬이 나오기 전에 행렬식(determinant)이 이미 제안되어 광범위하게 사용되고 있었다.

사원수는 실수와 $i, j, k$ 허수들로 구성되므로 이를 이용하여 식 (19)과 같이 새로운 개념인 스칼라(scalar)와 벡터(vector)를 정의할 수 있다.

                              (19)

식 (19)에서 실수는 스칼라가 되며 허수들은 벡터를 구성한다.
사원수로부터 스칼라를 뽑는 함수는 $S({\bf z})$이며, 벡터를 뽑는 함수는 $V({\bf z})$로 정의한다.
3차원 벡터를 만들려면 변수는 $a, b, c$ 3개만 필요할 것이므로 실수와 $i, j$ 허수 상수들로만 구성하면 될 것 같은데 왜 변수가 $a, b, c, d$ 네개나 될까?
이 부분이 해밀턴이 사원수를 만들 때 가장 고민했던 부분이다.
요즘 관점으로 보면 실수는 벡터가 아니고 스칼라이기 때문에 식 (3)과 같이 직교성을 가진 서로 다른 좌표축 구성에 사용될 수 없다.
그러면, $a$를 제외하고 $b, c, d$로만 만들면 될 것 같다. 맞다. 그래서, 해밀턴도 $a = 0$이며 $b, c, d$로만 구성된 사원수를 벡터로 불렀다.
스칼라로 불리는 실수부인 $a$의 존재이유는 뭘까? 식 (11)과 같은 곱셈을 정의하기 위해서이다. 식 (2)에 표시된 것처럼 $i, j, k$ 허수 상수들을 제곱하면 $i, j, k$로 표현할 수 없는 실수가 나오므로 사원수 대수를 정확히 표현하기 위해 실수부를 도입한 것이다. 이런 특성으로 인해 사원수는 3차원 벡터를 표현하면서도 사원수의 나눗셈까지 정의할 수 있다. 좌표계 기반 벡터 표현에서는 벡터의 나눗셈은 정의할 수 없다.

$a = 0$인 벡터를 이용하여 새로운 두 가지 곱셈을 정의할 수 있다.
먼저 내적(內積, inner product)을 살펴보자.
$a_1 = a_2 = 0$인 경우 식 (11)의 실수부를 이용하여 내적을 정의한다.

                              (20)

외적(外積, outer product)을 정의하기 위해 $a_1 = a_2 = 0$인 경우 식 (11)의 허수부를 고려하자.

                              (21)

내적과 다르게 외적은 곱셈 순서를 바꾸면 식 (4)와 동일하게 부호가 바뀐다.
$a_1, a_2$가 0이 아닌 경우는 사원수의 곱셈인 식 (11)을 내적과 외적을 이용하여 식 (22)로 표현할 수 있다.

                              (22)

$a_1, a_2$가 0이 아닌 경우 내적과 외적을 사원수의 곱셈으로 표현하면 식 (23), (24)와 같다.

                              (23)

                              (24)

복소수의 경우 $z \cdot z = -1$을 만족하는 수는 $i$ or $-i$이다.
사원수는 어떨까? 사원수 방정식 ${\bf z}\cdot {\bf z} = -1$을 만족하는 수는 $i, j, k$ 허수 상수뿐일까?
여기에 사원수의 재미있는 성질이 있다. 식 (22)를 이용해서 방정식 ${\bf z}\cdot {\bf z} = -1$을 풀어보자.

                              (25)

놀랍게도 사원수 체계안에서 ${\bf z}\cdot {\bf z} = -1$을 만족하는 해의 갯수는 무한대이다. $i, j, k$로 이루어진 좌표계에서 반지름이 1인 구표면에 있는 모든 점이 해가 된다.

[그림 3] 직교 좌표계(출처: wikipedia.org)

사원수를 구성하는 $i, j, k$ 허수 상수들은 기하학적으로 서로 직교할까? 이 질문에 답을 하려면 식 (20)에 정의된 내적을 고려해야 한다.
내적이 0이면 해당 벡터는 서로 직교(直交, orthogonality)한다. 식 (19)에 $i$($b=1, c=0, d=0$), $j$($b=0, c=1, d=0$), $k$($b=0, c=0, d=1$) 허수 상수를 대입하여 계산하면 항상 내적이 0이 되므로 이 상수들은 서로 직교한다. 예를 들어, $i$와 $j$의 내적은 $1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0$이 되어 당연히 0이 된다.
이를 고려하면 $i, j, k$는 [그림 3]과 같은 직교 좌표계를 이루므로 $a = 0$인 사원수 $bi + cj + dk$는 좌표계상 한 점인 $(b, c, d)$로 표현할 수 있다.

식 (10)에 있는 켤레 사원수도 재미있는 연산체계를 가지고 있다.

                              (26)

식 (26)은 사원수와 켤레 사원수의 연산을 직접 수행해서 쉽게 증명할 수 있다. 식 (26)의 연산규칙은 행렬과 매우 유사하다. 켤레 연산인 식 (26)을 고려해서도 사원수와 행렬은 서로 밀접한 연관이 있음을 알 수 있다.
식 (26)이 성립하기 때문에 사원수의 크기인 식 (12)도 다음과 같은 흥미로운 성직을 가진다.

                              (27)

사원수 연산이 어렵다면, 편한 좌표계 기반 벡터를 사용할 수도 있다. 예를 들어 식 (19)의 사원수에서 벡터만 뽑아 곱셈을 하면 그 결과는 내적(inner product)과 외적(outer product)이 된다는 것을 증명할 수 있다.

                              (28)

식 (28)을 이용하면 임의의 사원수 곱셈을 벡터 관점으로 다음처럼 쓸 수 있다.

                              (29)

만약 $b + \bar v$가 $a + \bar u$의 켤레 사원수($b = a,~\bar v = - \bar u$)라면 다음을 얻는다.

                              (30)

식 (28)을 기반으로 벡터만 가진 사원수의 삼중적도 쉽게 계산할 수 있다.

                              (31)

사원수를 확장한 팔원수(八元數, octonion)[3]도 있다. 팔원수는 해밀턴의 친구인 그레이브즈(John Thomas Graves)가 사원수의 발견해인 1843년에 발견했다. 복소수가 사원수로 확장되면서 교환 법칙 특성을 잃었다면, 팔원수는 사원수가 가진 결합 법칙 특성도 잃게 된다. 쉽게 말하면 팔원수는 곱셈의 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않는 독특한 대수 체계이다. 결합 법칙이 성립하지 않기 때문에 팔원수는 [그림 2]와 같은 행렬(matrix)로 표현할 수 없다. (결합 법칙이 성립하지 않는 팔원수의 물리적 의미는 무엇이 될 수 있을까? 혹자는 시간이나 에너지로 설명한다. 시간은 한 방향으로만 흐르기 때문에 팔원수를 시용해 시간 특성을 기술하려는 시도가 있다.)
사원수를 확장해 팔원수를 만드는 것은 단순하다. 예를 들면 사원수 ${\bf z}, {\bf w}$를 순서쌍으로 배열하여 $({\bf z}, {\bf w})$를 만들면 팔원수가 된다. 팔원수의 기저를 이루는 단위 팔원수는 $e_{i}$($i = 0, 1, \cdots, 7$)로 정의한다. 여기서 $e_0 = 1$, 그외 $e_i$는 복소수처럼 $e_i^2 = -1$의 성질을 가진다. 이렇게 하면 팔원수의 대수도 아주 쉬운 것처럼 느껴지지만 문제는 지금부터이다. 사원수의 곱셈 특성인 $ijk = -1$처럼 팔원수의 곱셈을 정의해야 한다. 하지만 곱셈이 만드는 경우의 수가 64개나 되어 이를 정의하는 것이 만만치 않다. 쉽게 외우는 방법은 [그림 4]처럼 파노 평면(Fano plane)을 생각하는 것이다.

[그림 4] 파노 평면(출처: wikipedia.org)

처음 보면 [그림 4]를 이용해 팔원수 곱셈을 정의하는 것을 이해하기 어렵다. 이때는 항상 기억하자. "보고 또 보고, 될 때까지!" 파노 평면을 이용하기 위해 [그림 4]의 노란 원을 찾자. 7개가 보일 것이다. 이것은 팔원수의 허수부 기저이다. 그런데, 왜 8개가 아니고 7개만 보일까? $e_0$는 숫자 1인 스칼라이므로 곱셈의 항등원이 되어 굳이 파노 평면에 표현할 필요가 없다. 다음으로 노란 원을 이은 선분을 찾아보자. 동일한 화살표 방향을 가진 선분 7개가 보이는가? 큰 삼각형의 변에 3개, 삼각형 변의 중점과 꼭지점을 이은 선분 3개, 중앙의 원 모양으로 그린 선분 1개를 찾아라. 이걸 순서쌍으로 적으면 (536), (617), (725), (145), (246), (347), (123)이 된다. 이를 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)로 적으면 팔원수의 허수부 기저 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

                              (32)

여기서 밑수 $i,j,k$는 $1, 2, \cdots, 7$, $\varepsilon_{ijk}$은 레비-치비타 기호, $\delta_{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 파노 평면도인 [그림 4]에 의해 $\varepsilon_{ijk}$는 (536), (617), (725), (145), (246), (347), (123)인 경우 +1이 된다.

[참고문헌]
[1] C. F. Gauss and F. Klein, Gauss' wissenschaftliches Tagebuch: 1796 - 1814 (Gauss' Scientific Diary: 1796-1814), Teubner, 1903.
[2] W. R. Hamilton, "On quaternions; or on a new system of imaginaries in algebra," Philosophical Magazine, 1844-1850.
[3] J. C. Baez, The Octonions, University of California, 2001.

[다음 읽을거리]
1. 좌표계 기반 벡터
2. 행렬

댓글 45개 :

  1. 내용에서 (6)식이 성립해야 (4)식들을 증명할 수 있으므로 순서를 바꿔야 하지 않을까요?

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    1. 당연한 지적이십니다. 말씀하신 내용을 반영해서 본문을 좀 바꾸었습니다.

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  2. 아 뭐부터 공부해야 되나요...

    어렵네요..

    수학은 어려워

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    1. 사원수를 제안한 해밀턴은 "여자와 술이 아니었다면 가우스를 능가하는 수학자가 되었을 것"이라는 전설을 간직한 천재 수학자입니다. 해밀턴이 수 년간 고민해서 내놓은 것을 첫 눈에 이해하면 그 사람도 보통은 아닐 것입니다.

      겸손한 마음을 가지고 만만한 문제부터 도전해보세요. ^^

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  3. a=0(zero)로 하는 것은 사원수라는 방법에서 vector을 취하기 위함 같은데,
    이부분을 그냥 받아 들여야 하는건가요?
    말씀하신대로 곱샘을 정의 하기 위해서 임으로 만든 수를 a로 보면 되는건가요?
    아님 이거 자체의 어떤 물리적인 의미가 있는건가요?

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  4. 처음부터 a=0로 하고 하여도,하서 각 vector을 곱을 해도 같은 결과가 나오는데,
    곱샘을 정의하기 위해서라는게 무슨뜻인지 모르겠습니다.

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    답글
    1. 사원수는 철저하게 물리학에 기반을 두고 있습니다. 3차원 공간을 표현할 수학 기법으로 나온 것입니다.

      우리가 흔히 쓰는 좌표계 기반 벡터는 대수적으로는 매우 불안한 구조를 가지고 있습니다. 좌표계 기반 벡터는 나눗셈 정의가 안 되기 때문입니다. 하지만 사원수는 스칼라 + 벡터 구조라서 곱셈과 나눗셈이 정확히 정의됩니다.

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    2. 너무 기초적인 부분을 이해를 못하는 거 같아서, 좀 질문을 망설였습니다.
      그럼에도 불구하고 좀 알고 싶어서요.

      V = a + bx + cy + dz

      직각 좌표계라고 가정을 하고, V는 vector이고, x,y,z를 단위 vector라고 하면,
      이때 a는 무엇이라고 보아야 하는것인가요?
      직각 죄표계에서는 a라는 것을 표현을 할 수 없다는 것인 걸까요?

      예를 하나 들어 주시면, 감사하겠습니다.

      아니면 위 내용에서 나누기를 아직 이해를 못하고 있는데, 이부분을 이해를 못하고 있기 때문인가요?

      익명: 곰유올림.

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  5. 이제야 이해를 하거 같습니다.

    Scalar, vector product이라는 것이 사원수 곱에서 유래가 되었다는 내용이 되는 건가요?

    a=0를하는 것은 결국 x,y,z의 단위 vector로 공간을 표현 할때, 연산중에 어째 어째해서
    실수가 나오게 되면, 이건 결국 공간을 표현하는 값이 아니니,어쩌 어째 연산하다보면,
    없어지게 되고, 결국 x,y,z의 단위 vector로 공간의 표현하고 product 되는 것은 유래는 사원수이다.

    맞나요?

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    답글
    1. 예, 비슷합니다. 공간 표현에는 벡터만 있으면 되지만 곱셈 정의에서 필연적으로 스칼라가 출현하므로 스칼라 + 벡터 = 사원수로 정의합니다. 사원수 곱셈의 기하학적 설명은 회전 변환과 밀접하게 관련되어 있습니다.

      외적이란 개념은 사원수와는 독립적으로 독일 고등학교 교사였던 그라스만(Hermann Grassmann)이 제안한 탁월한 개념입니다. 나중에 클러퍼드(William Kingdon Clifford)란 수학자가 그라스만의 외적을 사원수로 설명해서 둘 사이의 연관 관계를 지금처럼 배우는 것입니다.
      이후 깁스(Josiah Willard Gibbs) 교수가 머리 나쁜 예일 대학교 학생들을 위해 사원수를 대신할 목적으로 개발한 쉬운 개념이 좌표계 기반 벡터입니다. 이게 현재 우리가 배우는 벡터입니다.

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  6. 위에서 한번 질문을 드렸던 내용인데요.

    a=0 이건
    공간을 표현하는 좌표가 아니니, 0으로 하고 vector를 계산한다는 의미가 되는건가요?
    아니면 product를 정의 할때, S(z)와 V(z)을 추출하기 위한 약속인건가요?
    아니면 수학적으로 어떻게 증명이 되는건가요?

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    답글
    1. 사원수의 곱셈은 기준축을 중심으로 한 벡터의 회전과 관련되어 있습니다. "사원수의 회전 변환"으로 검색 한 번 해보세요. 스칼라 $a$는 기준축 정보를 포함하고 있습니다. $a = 0$과 $a \ne 0$은 기준축이 달라지기 때문엔 다른 의미를 가집니다.

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    2. 추가적으로 말씀드리면 단순하게 하기 위해 $a = 0$이라 놓고 벡터를 $(b,c,d)$로 구성하면 됩니다. 하지만 $a$ 선택이 임의라는 것은 아닙니다. 사원수 곱셈으로 가면 분명 영향을 줍니다.

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  7. 감사드립니다.
    많은 도움들 주셨는데, 우선 수학적 접근은 여기서 마무리 하여야 할 거 같습니다.

    학부출신인대, 학부때, 전자기학은 백지냈습니다. 백지 내도 졸업을 시켜주는 학교더라구요. ㅋㅋㅋ
    40이 되어 관련 일때문에 전자기학을 공부를 해야 겠다 생각을 하였습니다.
    군대 재대후에 학부때 정신차리고, 회로이론 통신이로는 나름대로 공부를 했는데, 전자기학은 도저히..
    그때 실퍠 요인의 20%정도는 수학에 너무 집착하였던거 같습니다.


    우선 전자기학을 전체적으로 공부하고 말씀 하신 내용은 찾아 보겠습니다. 몇달 후에 다시 문의 드리리겠습니다.

    거북이님 site 내용을 보니, 결국 전자기학으로 문제를 해결하는 것은 결국 기하학적 지식인거 같습니다.

    다시 한번 감사드립니다.
    익명: 곰유올림

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  8. 항상좋은글 잘 보구갑니당 새해복 많이받으세요

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    답글
    1. 새해부터 방문 감사드립니다, 익명님. 새해 복 듬뿍 받으세요. ^^

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  9. 우연히 사이트에 들어오게 되었는데, 정말 깔끔히 정리 잘 되어 있어서 감명받아서 즐겨찾기에 추가했네요 ㅎㅎ. 가장 좋은 점이 수학자들의 역사와 연도를 덧 붙여 설명한 점입니다. 혹시 그런 역사적 지식들은 어디서 얻으셨나요?

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. 제가 즐겨 보는 수학 역사 사이트는 아래 2군데입니다.

      - 맥튜터 수학사: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
      - 영문 위키피디아: http://en.wikipedia.org/

      수학자들의 학문적 족보는 아래에서 검색할 수 있습니다.

      http://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/

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  10. 사원수가 3차원 벡터를 표현하기 위한 것이라면, 2차원 벡터에 해당하는 대수 체계는 없는 것인가요?해밀턴도 그런 체계를 고민하다 결국 사원수 체계를 만들었다고 본 거 같긴 한데 그렇다면 삼원수(?)는 존재하지 않는 것인지..

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    1. 2차원 벡터를 표현하는 체계가 복소수입니다. 상식적으로 생각하면 삼원수가 3차원을 표현해야 하지만(이 부분이 해밀턴이 고생한 원인입니다.) 해밀턴의 결론은 다릅니다. 사원수가 3차원 벡터를 표할 수 있습니다.

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    2. 참 어렵네요...왜 "사"원수가 3차원을 표현하는가에 대한 설명을 보면, 스칼라까지 포함하기 위해서라고 하셨는데, 그럼 복소수에서 실수부도 스칼라를 표현하게 되는 것이 아닌지...으으 대수학을 따로 공부하질 않으니 생각이 잘 안 되네요.

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    3. 아닙니다. 복소수는 실수부와 허수부가 2차원을 표현합니다. 더 고민해보세요. ^^

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    4. 네..그래야 할 거 같네요. 전파거북이님 블로그를 보고 있으면 어떻게 이런 지식을 다 쌓으셨을까?학부 시절에 다 아신 걸까?이런 생각도 들고, 자괴감도 많이 드네요.(전 수업 듣지 않으면 잘 이해를 못 해서...) 전자파도 알아야 한다고 생각은 하지만 만약 대학원 간다 하더라도 이 분야를 고를 거 같진 않은데, 다른 분야에서도 필요한 걸까...하면서 막막해지네요ㅠㅠ

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    5. 수학 전공하실게 아니면 사원수는 심각하게 공부하실 필요가 없어요. ^^

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    6. 흠..사원수에 적용된 설명인 스칼라 양을 표현하기 위해서 a,b,c,d 네 개가 필요하다는 것은 복소수와 2차원 벡터에는 적용되지 않는 것 같네요. 저 설명 자체가 틀리진 않았겠지만요. 아마도 2차원에선 회전할 수 있는 방향이 1개라 i만 필요하고, 3차원에선 가능한 경우가 3C2=3이라 i,j,k 3개가 필요하다고 생각했어요.
      그런데, 아직도 잘 모르겠어요...왜 복소수에선 스칼라량+벡터량이라는 설명이 적용되지 않는 것인지..

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  11. 안녕하세요 전파거북이님. 제가 사원수에 대한 설명을 찾아보다가 네이버 캐스트에 들렸는데, 사원수의 곱과 회전에 대한 예시 중 이해가 안가는 부분이 있어서 혹시나 여쭤볼수 있을까 해서 글을 남겨봅니다.

    (링크: http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=4788&leafId=22)

    "예를 들어, 좌표공간의 (1,1,0)에 해당하는 사원수 i+j = 1i+1j+0k를 i축을 중심으로 회전하는 경우를 생각해 보자. 0+i를 사원수에 곱하는 것은 회전하는 각도가 0도인 경우로 생각하는 것이 자연스러울 테니, 1+i를 곱해 보자"

    여기서 0+i를 곱하면 회전각도가 0도라는 게 이해가 잘 안가네요.

    (0+i)(i+j)=-1+k 고, i+j의 회전변환이 아니기 때문에 회전각도가 0도라고 하는 건가요? 항상 감사드립니다 ㅎㅎ

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    1. 사원수의 곱셈(정확히는 해밀턴 곱)은 공간 상의 회전 변환과 밀접한 관련이 있습니다. 링크하신 내용은 그걸 설명하고 있네요.

      문맥 상 제시하신 내용은 이러면 안된다는 수준이라 너무 깊이 볼 필요는 없습니다. 기준점을 $i$축으로 잡아서 $i$를 곱하면 돌린 것이 아니므로 "0"이라 쓴 것 같네요. 그냥 해밀턴 곱(Hamilton product)을 보세요.

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    2. 그렇군요ㅎㅎ 항상 도움주셔서 감사합니다.

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  12. 실수부가 벡터의 회전과 관련이 있다고 하는데
    아무리 검색해도 찾질 못하겠네요.
    실수부가 어떤식으로 회전과 관련이 있는지 알수 있을까요?

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    1. 본문 내용에는 벡터의 공간적 회전(spatial rotation)과 관련된 부분은 없습니다. 해밀턴 곱(Hamilton product)을 찾아보세요. 공간적 회전에 대한 증명을 한 번 시도해보시면 이해할 수 있을겁니다.

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  13. 최근에 광학을 공부하다가 이해가 안되는 부분이 있어서 검색했는데 완전 도움 많이 되고 있습니다ㅠㅠ 학부때 분명 배운것 같은데 기억이 가물가물해서 다시 천천히 공부중인데 전파거북이님 덕분에 수월하게 진행하고 있습니다. 정말 최고이십니다. 덧붙여 요즘은 전파거북이님 같은 분들이 계셔서 공부하기가 매우 편한것 같아서 좋습니다.

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    1. 인터넷의 좋은 점이 끝없이 배울 수 있다는 것이지요. ^^ 열공하시길, 낯선세계님.

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  14. 안녕하세요. 항상 좋은 글을 올려주셔서 감사드립니다. 덕분에 정말 재밌게 공부하고 있습니다.

    다름 아니라 [그림 1]에 약간의 오류가 있는 것 같아 말씀드리려고 합니다.

    다른 화살표는 그렇지 않지만, 갈색 화살표는 양방향으로 표시되어 있지 않습니다.

    가령, 1에서 i로 간 다음 j를 곱해줄 때 k로 갈 수 있다는 사실을 잘 표시하지 못하는 것 같습니다.

    큰 오류는 아니지만 처음 보는 저 같은 사람은 헷갈릴 수 있을 것 같습니다.

    확인 부탁드리겠습니다.

    여동훈 드림

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    1. 지적 정말 감사합니다, Donghoon님. ^^ 계속 틀려있었네요.

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  15. 식 (25)에서 a=0라고 한 것은
    'a=0 이라고 한다면' 의 의미인가요?

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    1. 아닙니다. 해가 되려면 꼭 $a = 0$이 되어야 합니다.

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  16. 식 (26)의 세번째 식은 (z_1 z_2)^*=z_2^* z_1^* 이 되어야 할 것 같습니다.

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    1. 애고, 그것도 틀렸네요. 지적 감사해요. ^^

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  17. 마지막으로 하나 더 질문드리고 싶은 것이 있는데, 팔원수의 허수부 기저는 7차원 벡터 공간을 span 하게 되나요?

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    1. 독립적인 항이 7개가 나오기 때문에 7차원을 표현할 수 있지만, 이 정도로만 사용할 것이면 좌표계 기반 벡터를 쓰면 됩니다.
      문제가 되는 것은 팔원수 대수가 기하학적으로 의미를 가질 수 있는가 하는 것이지요.

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  18. i의 제곱은 -1이 된다는것은 2차방정식에서 느낄수 있지만 ikj의 곱셈에 관한 규칙은 실생활의 어느부분에서 느낄수 있나요? 정말 이해가 안되고 받아들이기도 힘들어요

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    1. 공간의 움직임을 기술하는 벡터의 원류가 사원수입니다.
      사원수 곱셈을 하면 벡터 관점으로 내적과 외적이 나옵니다. 이 내적과 외적의 기하학적 의미를 음미하면 물리적 특성을 유추할 수 있습니다.
      또한 사원수 곱셈은 벡터의 3차원 공간 회전과 관계됩니다. (증명은 다소 복잡하지만)

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  19. 좋은글 정말 감사합니다.
    한가지 궁금한게 있는데 맨위에 (2) 식들은 규칙이 이렇다 하고 정의를 한것입니까?
    그.. ijk=-1이 정리 인건지 정의 인건지 궁금합니다... ㅜ

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    1. 익명님, 정의입니다. 증명할 수 없고, 그렇게 정한 것입니다.

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