2010년 7월 15일 목요일

복소수(複素數, complex number)

[동영상]
1. Derek Owens - Math and Physics: Algebra 2 - Complex Numbers

[그림 1] 복소평면에 표시한 복소수(출처: wikipedia.org)

실수(實數, real number)는 연산이 잘 정의되어 누구나 사칙 연산과 대수(代數, algebra)를 손쉽게 사용할 수 있다. 하지만, 복소수는 식 (1)의 규칙에 따라 계산을 해야 원하는 답을 얻을 수 있다.

                              (1)

숙달이 되면 그리 어렵지는 않지만 식 (1)의 규칙으로 인해 초보자들은 복소수 계산을 제대로 하지 못하는 경우가 많다. 단지, 식 (1)과 같이 $i$와 $i$가 곱해지면 실수 -1로 바꾸면 된다. 이 규칙만 기억하면 복소수 계산은 실수 계산과 거의 동일하다.
하지만 이런 복잡한 숫자인 복소수는 도대체 왜 사용할까?
이차 방정식(二次方程式, quadratic equation: $ax^2+bx+c=0$)의 해(解, solution)를 구할 때 실수만 고려하면 해가 존재하지 않는 문제가 발생하기 때문에 모든 이차 방정식의 해를 항상 찾을 수 있도록 도입한 상상의 수가 복소수이다. 즉, 식 (2)를 만족하는 새로운 수를 찾은 것이 식 (1)에 제시한 $i = \sqrt{-1}$ 상수이다.

                              (2)

여기서 식 (1), (2)와 같은 수를 허수(虛數, imaginary number)라고 부른다.
실수는 항상 같은 수를 곱하면 0보다 크거나 같으므로 실수 범위내에서 식 (2)는 틀린 부등식이다. 하지만, 이차 방정식($ax^2+bx+c=0$)에는 식 (2)의 첫째줄과 같은 경우가 생길 수 있다. (예를 들면 $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$처럼 제곱한 값이 0보다 작은 경우이다.)
식 (2)와 같이 원식을 변형해 가고 식 (1)의 허수를 상수처럼 취급하면 식 (2)의 세째줄은 논리적으로 의미 있는 부등식이 된다. 왜냐하면 제곱한 값이 0보다 크기 때문이다.
따라서, $ix$는 실수값이 되므로 식 (2)의 답($x$)은 0을 제외한 허수축에 있는 모든 수이다. (∵ $x$가 실수라면 $ix$는 실수가 될 수 없다. 따라서 $x$는 실수 이외의 수이다.) 하지만, 복소수 자체는 식 (2)의 첫째줄 같이 제곱한 값이 0보다 작아서 부등식 자체가 성립하지 않기 때문에 복소수는 크기 비교를 할 수 없다. (∵ 크기 비교는 실수축에서만 한다는 것을 생각하자. [그림 1]을 보면 허수축은 원점 좌우가 아닌 위아래에 존재한다. 허수는 크지도 작지도 0도 아니다.)
즉, 식 (1)의 상수는 0보다 크지도 않고 0보다 작지도 않다. 그렇다고 0인 것도 아니다. 허수 상수는 크기를 정의할 수 없다. 만약 식 (1)의 상수가 0보다 크다고 가정하고 식 (1)의 상수를 서로 곱하면 0보다 커야 하나 0보다 작다. 반대로 식 (1)의 상수가 0보다 작다면 서로 곱한 수도 여전히 0보다 커야 하나 0보다 작아진다. 식 (1)의 허수 상수는 부등식이 맞지 않는 이상한 수이다. (단순하게 보면 $i$가 양수든 음수든 $i \times i$는 0보다 적어 논리적으로 모순이다.)

복잡하게 새로운 기호 $i$를 도입하는 것보다는 $\sqrt{-1}$을 사용하는 게 더 쉬울 것 같다. 하지만 $\sqrt{-1}$을 이용해 다음 계산을 하면 복소수 계산의 오류가 생긴다.

   

그래서 $\sqrt{-1}$로 쓰지 않고 기호 $i$를 이용해 다음처럼 복소수 계산을 해야 한다.

   

복소수($z = x + yi$) 정의에 쓰이는 식 (1)의 $i = \sqrt{-1}$을 단순 상수(常數, constant)라고 가정하면 실수와 동일하게 교환 법칙, 결합 법칙, 배분 법칙이 성립한다. 이때 실수와 차이나는 부분은 식 (1)이 성립한다는 가정이다.
이를 이용하여 복소수의 사칙 연산을 계산하자.

1. 실수배

                              (3)

2. 덧셈

                              (4)

3. 뺄셈

                              (5)

4. 켤레복소수(complex conjugate)
$\Re(z) = x = (z + z^*)/2$
$\Im(z) = y = (z - z^*)/(2i)$

                              (6)

5. 곱셈

                              (7)

6. 나눗셈

                              (8)

7. 절대값(absolute value): 복소수의 크기(magnitude) = 실수

                              (9)

나눗셈의 경우는 행렬을 사용하여 새롭게 정의할 수 있다.

                              (10)

$w = x_w + y_w i$인 경우 나눗셈 (10)의 우변을 행렬(行列, matrix)로 표현하면 식 (11)이 된다.

                              (11)

식 (11)을 이용하여 $w$를 구하려면 역행렬(逆行列, inverse matrix)을 취하면 된다.

                              (12)

식 (12)를 계산하면 식 (8)의 결과를 얻을 수 있다.


[복소수의 극형식(polar form for complex number)]

실수 계산에 익숙한 사람에게는 식 (3)에서 (9)까지는 별 감흥은 없다. 단지 $i \cdot i$가 출현하는 경우 식 (1)의 규칙에 의해 -1로만 바꾸면 된다.
복소수를 아름답게 만드는 조건은 다른 곳에 있다.
먼저 $\exp, \sin, \cos$ 함수에 대한 테일러 급수를 아래와 같이 계산하자.

                         (13)

                         (14)

                         (15)

식 (13)과 (15)에서 $-1 = i \cdot i = i^2$로 바꾸면 놀라운 공식 하나를 얻을 수 있다. 식 (16)은 오일러(Leonhard Euler) 공식(Euler's formula)이라 부른다.

                         (16)

식 (16)은 1748년에 오일러가 식 (13)에서 (15)까지의 무한 급수를 비교하여 증명한 공식이다. 오일러의 공식은 적분을 통해서도 아래와 같이 증명 가능하다.

                         (17)

                         (18)

여기서 $x = \tan \phi$, $\log(\cdot)$는 자연 로그(natural logarithm), 적분 상수는 편의상 생략했고, 식 (17)은 삼각 함수의 미분과 역함수의 미분, 식 (18)은 로그 함수의 미분을 고려하면 쉽게 증명할 수 있다. 식 (17)과 (18)은 동일한 함수를 다른 방법으로 적분했으므로 두 결과는 같아야 한다. 식 (17)과 (18)을 같다고 두면 식 (16)이 증명된다.
베르누이(Johann Bernoulli: 오일러의 스승)가 1702년에 고려한 적분 (17)과 (18)은 이후 오일러도 고민하던 적분이다. 하지만, 식 (18)의 로그 함수는 주어진 $x$에 대해 여러값을 가지므로(∵ 식 (17)의 우변이나 식 (18)의 마지막줄은 각도이므로 360도의 배수를 항상 가질 수 있다) 오일러도 큰 의미를 두지 않다가 1748년에 무한 급수를 이용하여 정확하게 식 (16)을 증명했다.
식 (18)의 로그 함수가 가진 다가성(多價性, multi-valuedness)복소 함수의 영역 제한을 통해 후대에 해결되었다.
식 (16)에 있는 편각(偏角, argument) $\phi$를 변화시키면 $\phi = 0$일 때는 $\exp(0) = 1$이었다가 $\phi = \pi/2$ (= $90^\circ$)이면 $\exp(i \pi/2) = i$가 된다. 즉, 1과 $i$는 90도 차이를 가지고 있으므로 [그림 1]과 같은 실수축과 허수축이 직교하는 복소평면에 복소수를 표현할 수 있다. [그림 2]는 이런 특성을 오일러 공식 관점에서 보여준다.

[그림 2] 크기와 편각을 가진 복소수(출처: wikipedia.org)

[그림 1]과 [그림 2]처럼 복소수는 평면상의 한 점을 표현하기 때문에 [그림 3]과 같이 복소수에 기하학적 의미를 부여할 수 있다.

(a) 덧셈: X = A + B

(b) 곱셈: X = A*B

(c) 켤레복소수: X = conj(A)

[그림 3] 복소수의 기하학적 표현(출처: wikipedia.org)

[그림 3a]는 마치 힘의 합성법칙과 유사하다. 복소수 덧셈의 이런 기하학적 성질로 인해 복소수를 이용하면 2차원 벡터(vector)를 표현할 수 있다. 3차원 벡터를 표현하려면 사원수(四元數, quaternion)를 사용해야 한다.
[그림 3b]는 최종결과인 $X$가 회전한 것처럼 표현된다. 오일러 공식을 이용하면 곱셈과 나눗셈은 다음과 같은 회전특성을 가진다.

                         (19)

                         (20)

식 (19)와 (20)을 보면 곱셈인 경우는 편각이 서로 더해지며(or 양의 방향으로 회전하며), 나눗셈인 경우는 편각이 서로 빼진다. (or 음의 방향으로 회전한다.)

복소수의 복소수 거듭제곱 $i^i$는 얼마일까? 오일러 공식인 식 (16)을 $i^i$에 적용하면 아주 놀라운 결과가 얻어진다. 아래 식 (21)을 보면 답은 의외로 실수이다.

                         (21)

그런데 식 (21)은 문제가 있다. 각도 90도(= $\pi/2$)와 같은 각도는 360도의 배수 전부이다. 따라서 식 (21)의 답은 한 개가 아니고 식 (22)와 같이 무한 개가 된다. 이런 함수의 다가성복소 함수론의 오묘한 부분이다.

                         (22)

여기서 $m$은 임의의 정수이다. $m = 0$인 경우가 식 (21)이다.

[그림 4] 부호 함수(출처: wikipedia)

식 (16)의 오일러 공식을 이용하면 아래 있는 드무아브르 공식(de Moivre's formula)을 쉽게 증명할 수 있다.

                         (23)

식 (23)에서 조심할 부분은 $n$이 정수가 아니면 성립하지 않는다는 것이다. $n$이 정수가 아니면 다가성(多價性, multi-valuedness)을 반드시 고려해야 한다.
거듭 제곱 함수의 다가성을 좀더 이해하기 위해 $\sqrt{z}$를 생각해보자.

                        (24)

복소수 $z$의 편각($\phi$)이 360도 범위에 있는지 720도 범위에 있는지에 따라(한바퀴 돌든지 두바퀴 돌든지 실제 편각은 동일하다.) 위 제곱근 함수의 최종 답은 +1이 곱해질 수도 있고 -1이 곱해질 수도 있다. 즉, 하나의 입력에 답은 두 개가 나오는 괴상한 형태가 된다. 이 문제를 해결하려면 편각의 범위를 720도 범위로 넓히고 복소수 $z$의 편각이 720도 범위에서 어디 있는지 반드시 표시를 해야한다.
또한 제곱근 함수의 실수부를 (+)로 택한 경우 다음 관계식이 성립한다.

             (25)

여기서 $\text{sgn}(y)$는 $y$의 부호를 택하는 [그림 4]의 부호 함수(sign function)이다. 다음처럼 식 (25)의 양변을 제곱해 정리하면 좌변과 우변이 같다는 것을 쉽게 증명할 수 있다.

                     (26)

추가적으로 식 (25)는 식 (24)에 삼각 함수의 반각 공식을 적용해 유도할 수도 있다. 편하게 증명하기 위해 $\phi$의 각도 범위를 제한하여 다음 계산을 수행하자.

          (27)

오일러 공식인 식 (16)과 등비 급수(geometric series)를 이용하면 복소 지수 함수의 합을 다음처럼 구할 수 있다.

                          (28)

식 (28)을 유도하기 위해 오일러 공식인 식 (16)을 적용하여 계산한다.

                          (29)

식 (28)의 실수부(real part)를 택하면 코사인 함수(cosine function)의 합을 얻는다.

                          (30)

마찬가지로 식 (28)에서 허수부(imaginary part)만 취하면 다음 사인 함수(sine function)의 합을 증명할 수 있다.

                          (31)

[다음 읽을거리]
1. 사원수
2. 정말 유용한 페이저 개념
3. 행렬
4. 복소 함수론의 이해
Enhanced by Zemanta

댓글 78개 :

  1. 잘 봤습니다. 너무 감사합니다

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  2. 도움이 된다면 언제나 기쁩니다.

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  3. 너무도 친절하고 이해하기 쉬운 설명 감사합니다~
    개념 정리에 많은 도움이 됩니다^^
    좋은하루되세요!

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  4. 칭찬 감사합니다. 좋은 밤 되십시오.

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  5. 대단하십니다. 존경스럽습니다.

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  6. 대단하시네요. 잘보고 갑니다.

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  7. power system analysis를 공부하면서 페이저에 대한 정의로부터 복소수를 다시 공부하고있습니다.
    좋은정보 감사합니다.^^

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  8. 여기도 답글을 남기셨네요. 감사합니다.

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  9. 기계쪽 전공이긴 하지만 잘 보고 갑니다.

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  10. 정말 정리를 잘 하시네요. 잘 보고 갑니다 ^^

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    1. 칭찬 감사합니다. 더 잘 정리해야겠네요. ^^

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  11. 고등학생에겐 아직 무리인가....
    왜 하나도 모르겠지....

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    1. 이 글은 고등학생을 위한 것은 아닙니다. 고등학생도 전반부는 이해할 수 있지만 작성한 관점이 대학에서 배우는 복소함수론의 도입부라서 쉽게 읽을 수는 없을 것입니다.

      하지만 대학에 진학해 공부하면 잘 이해할 수 있을 것입니다. 너무 실망하지 마시길. ^^

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  12. 정말 이해가 쏙 되네요 뜬구름 잡는 개념이 손에 잡히는 기분입니다 감사합니다 교수님들도 이렇게 가르쳐주시면 좋겠네용

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    1. 칭찬 감사합니다.
      수학은 준비가 된 사람에게만 이해가 됩니다. 익명님이 이제 이해할 준비가 된 것입니다. ^^

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  13. 안녕하세요. 좋은 정보 정말 잘 읽었습니다.
    마지막 부분의 계산과정에서 잘 이해가 안가는 부분이 생겼는데요,
    식 (27)부분에서 등비급수 형태로 고친 후, 마지막 항으로 넘어가는 방법이
    정확히 수식적으로 어떻게 변형된 것인지 궁금합니다.

    어떤 수식적 방법을 이용해야 지수함수와 sin의 분수형태로 표현되어 나오는지 알고 싶습니다.
    답변 부탁드립니다.^^

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^

      구체적인 설명을 위해 본문을 수정해 식 (28)을 추가하였습니다.

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    2. 구체적인 설명 감사합니다.

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    3. 방문과 댓글 감사합니다. ^^

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  14. 감사합니다. 정말 잘 보고 가요

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    1. 방문 감사합니다. 자주 놀러오세요. ^^

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  15. 식2의 셋째줄은 부등식인데 방정식이라고 되어있네여 정말 좋은글 감사합니다.

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    1. 오타 직접 정말 감사합니다, 익명님. ^^

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  16. 식 (18)의 마지막 식에서 어떻게 x 값이 sin과 cos으로 표현될 수 있는지 궁금합니다.

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    1. 식 (17)을 보면 $x = \tan \phi$입니다. 이걸 식 (18)의 마지막 부분에 대입하면 최종 결과를 얻을 수 있습니다.

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  17. 너무 기초적인 질문인데요.

    기본적인 죄표의 표현법은 실수로도 충분히 가능 할 것인데,
    굳이 복소수를 상용하는 이유는 vector 때문이라고 봐도 되겠습니까?
    (위 문구 중에 이런 문구가 있습니다.
    "복소수 덧셈의 이런 기하학적 성질로 인해 복소수를 이용하면 2차원 벡터(vector)를 표현할 수 있다.")

    죄표계에서 복소수를 쓰는 이유는 vector이외에 다른 이유가 또 있는 것인가요?

    익명: 곰유 올림

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    1. 복소수는 벡터 특성보다는 수의 완성이기 때문에 중요합니다. 방정식 풀 때 실수로는 부족하지만 복소수로는 완벽합니다. 더 이상의 수는 필요없습니다. 이런 특성이 연결되어 미분과 적분을 완벽하게 만드는 체계도 복소수 영역입니다. 이런 부분이 복소 함수론입니다.

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  18. 결국 복소수 사용하는 이유 자체 때문이네요.

    감사드립니다.
    좋은 주말 되십시오.

    익명: 곰유

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  19. 4. 켤레복소수(complex conjugate) 에서 Re와 Im 앞에 (-) 는 마이너스가 아니지요?

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    1. 괜히 오해할 수 있겠네요. 삭제하겠습니다, 익명님. ^^

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  20. 정말 잘 보고 있는데요.
    tan의 역함수 적분에서 dx가 2번 들어간거 아닌가요.
    그리고 전개과정에서 log가 ln으로 되어야 하는것 아닌지요.
    진심으로 감사합니다만, 블로그가 엄밀한 전개과정에 오타비스무리한게 좀 있는것 같습니다.
    저같은 바보는 그 오타때문에 하루 이틀을 끙끙 앓습니다. ㅠ.ㅠ 무슨 마법이 숨어있나 고민합니다.

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    답글
    1. 오타가 있었네요, 지적 정말 감사합니다, 삽살이님.

      자연 로그를 쓰는 방법은 분야 마다 차이가 있는 것 같습니다. 아래 댓글에 다양한 논의가 있었으니 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/11/harmonic-series-euler-mascheroni.html

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  21. 안녕하세요. 컴퓨터 공학을 전공하고 있는 학생입니다.

    쭉 글들을 읽어가면서 감탄하는 와중에 너무 궁금한게 생겨서 질문드립니다.

    위에서 허수의 대소는 비교할 수 없다는 것을 설명하시는 과정에서

    '식2의 세째줄은 의미있는 식이 된다. 왜냐하면 제곱이 0보다 크게 되기 때문이다" 라고

    설명하신 부분이 있는데, 이 말은 즉슨 이전에 실수체계에서는 제곱한 수는 0보다 크거나 같은 수이기

    때문에 의미가 있다는 걸까요?

    만약 그렇다면 허수라는 수체계를 만들어 갈때 실수라는 수체계를 바탕으로두고 그 연산이나 구성을 만

    들어 간다는 걸까요?

    "제곱이 꼭 양수여야하는건 실수일때만 그러고 다른 체계에서는 그렇지 않을 수도 있지 않을까? 그러면

    제곱이 양수라는게 의미가 꼭 있을 것같지 않은데.."라는 생각이 들어서 질문드립니다..ㅠㅜ

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    답글
    1. 제곱이 음수일 수도 있지요, 그게 복소수이고요.
      하지만 이 개념을 부등식에 쓰면 맞지 않습니다. 본문 내용은 이 부분을 설명하고 있습니다.

      수체계 만들 때는 이전 체계를 바탕으로 확장합니다. 실수를 기반으로 복소수, 복소수를 기반으로 사원수, ...

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    2. 음... 수학에서 이전체계를 바탕으로 확장한다는 의미가 솔찍히 어떤식의 사고나 규칙을 가지고

      확장하는지 잘 감이 안잡히네요. ㅠㅜ.

      수학적인 사고가 아직 부족해서인지...

      그래도 미숙한 질문에 답변해주셔서 감사드립니다.

      삭제
    3. 무언가를 만들 때 모든 것을 처음부터 시작할 수는 없겠지요. 그래서 이전에 완성된 이론을 바탕으로 새로운 것을 쌓지 않을까요?

      아래 사원수도 읽어보시면 복소수와 아주 많이 비슷하다고 느끼실 것입니다. 하지만 복소수와는 다르게 식 (1)을 만족하는 상수가 2개($j,k$)나 더 있습니다. 그리고, 사원수는 교환 법칙이 성립하지 않습니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/quarternion.html

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  22. 현재 전자전기공학부 재학 중인 학생입니다~
    phasor를 공부하다가 발견해서 관련된 개념들까지 쭈욱 정리하고 있네요.
    시험이 얼마 남지 않은 상황이지만 기본으로 돌아가 보다 단단한 사고의 기초를 마련하려 노력하고 있습니다.
    그런 의미에서 많은 도움이 되었네요! 감사드리고 더 많은 방문 하도록 하겠습니다.

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    답글
    1. 시험보다 더 중요한 것이 기본입니다. 열심히 해서 좋은 결과 있기를 기원합니다, E.E.E. Cu_iner님. ^^

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  23. 하 푸리에 급수때문에 들렸다가 복소수도 보고 있네요 ^^
    오래 전 글이지만 재미있어서 잘 보고 갑니다.
    사실 공업수학 책이 푸리에 편미분 다음이 복소해석이 있어서 여차여차 읽었지만요 ㅎㅎ
    열심히 공부하겠읍니다

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 열~~~공!

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  24. exp(z/2)를 dz에 대해서 적분하면 2exp(z/2)가 안되지 않나요? 제가 틀렸는지 교재 문제가 틀렸는 지 저는 계산하면 4exp(z/2)가 나오는데 혹시 이 문제에 대해 알려주실 수 있나요? 저는 d(x+yi)해서 나눠서 풀었어요..

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    1. 말씀하신 복소 함수는 해석적이기 때문에 마치 실함수처럼(or 고등학교때 배운 방식으로) 적분하면 됩니다. 어렵게 생각하지 마세요. ^^

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  25. 대학교 공부 하면서 여렵게 생각하고 있던 부분을 잘 설명해 주셔서 감사합니다. 공부하면서 여기 있는 유익한 게시물 잘 참고 할께요. 정말 감사합니다.

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    답글
    1. 열심히 공부하세요, 김동현님. ^^ 좋은 결과 있을 것입니다.

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  26. 크으 궁금한거 찾다가 여기왔는데, 문제 푸는 방식에만 익숙해져 있어서, 정작 그것들이 정말 무엇을 뜻하는지 몰라서 헤매고 있었습니다. 이 사이트 오니까 정말 대박입니다.. 소름이 쫘악..ㅎㅎㅎㅎ
    감사합니다. 블로그를 잘 운영해주셔서 ㅠㅠ

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    답글
    1. 기분 좋은 칭찬이네요, 익명님. ^^ 자주 놀러오세요.

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  27. 복잡하게 새로운 기호 i 를 도입하는 것보다는 √-1 을 사용하는 게 더 쉬울 것 같다. 하지만 √-1 을 이용해 다음 계산을 하면 복소수 계산의 오류가 생긴다.

    라는 표현이 적당한가요?
    √a √b = √ab 자체가 양수 a,b에 대한 식이였으니 그런 식으로 논리전개하면 안 되는 것 뿐 아닌가요?

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    답글
    1. 어떤 수를 제곱하면 무조건 양수가 되는 것이 상식이지만, 복소수는 이 개념을 더 일반화시켜 음수가 될 수도 있다고 생각합니다.
      복소수 개념을 $i$ 없이 숫자로만 도입하면, 단순한 계산일지라도 연산 순서에 따라 답이 다르게 나올 수 있습니다. 본문은 그 부분을 강조한 것입니다.

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  28. 공업 수학 책 쓰셔도 될거 같습니다. 물리적 의미나, 직관적 의미들을 전혀 설명해 놓지 않고 증명과 연습문제만 있는 웬만한 재미 없는 공업 수학 보다 훨씬 좋은거 같습니다.

    역사적 설명까지 상세 하게 해주시고, 정말 많이 고민한 흔적이 보입니다.

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    답글
    1. 칭찬 감사합니다, 수학공부중님. ^^

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  29. 적분을 이용한 오일러 공식 증명에서
    1/2i * log((cosθ + i sinθ) / (cosθ - i sinθ)) 가 어떻게 다음에
    1/i * log(cosθ + i sinθ) 로 되는거에요?

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    1. 분모를 실수화해보세요, Hyunho님. ^^

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  30. 안녕하세요. 정말 글 잘 보고 갑니다.
    질문이 하나 있는데 복소수는 크기를 비교할 수 없다고 하셨는데 그 이유가 명쾌하게 와닿지는 않네요. 혹시 좀더 쉽게 설명해 주실 수 있나요?ㅜ

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    1. $i$가 양수도 음수도 아니기 때문입니다. 왜냐하면 $i \times i$는 -1이 되어 크기 개념에 모순이 생깁니다.

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    2. 아하~!! 허수는 실수체계에서 분류하는 음수, 양수, 0이라는 3가지 분류에 어느 곳에도 속할 수 없는 새로운 체계의 수이기 때문에 실수체계에서 행하던 대소비교를 할 수 없는 것이군요~~!! 감사합니다

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  31. 4원수에 대한 링크를 가보면 게시된 글이 없는 걸로 나오는데 원래 없는 건가요?

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    1. 링크가 틀려있었네요. 지적 감사드립니다. ^^

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  32. 질문입니다.
    (18) 두 번째 줄의 마지막 부분에 x를 tan∮라고 하셧는데, (17)의 결과를 대입한 것이라고 생각합니다. 그런데 그렇다면 (18)의 식을 증명함에 있어 (17)의 결과물을 썼는데, 그런 다음 (17)의 결과=(18)의 결과 여야하므로 오일러의 공식이 나온다! 하는 것은 논리적 오류가 있는 것이 아닌가요?
    어짜피 결국 x라는 것은 dummy variable이라는 것은 알겠는데, 저렇게 (17)의 결과를 (18)의 결과 유도하는데에 쓰는 것도 하나의 skill로 용인될 수 있는건지 의문이 듭니다.
    태클거는 것이 아니라 정말로 몰라서 물어보는 겁니다. ㅜㅜ블로거님의 답변 부탁드립니다.

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    1. 본문에서 지적하고 있는 것은 실수 영역의 미적분을 복소수 영역으로 확장해서 바로 사용한 경우 문제가 생길 수 있다는 것입니다. (이 자체에 논리적 오류가 있는 것은 아닙니다.)
      단순하게 생각하면 실수나 복소수나 미적분하는 것은 같다고 생각할 수 있지만, 복소수에서는 적분 경로를 반드시 고려해야 합니다. 이걸 체계화하고 있는 것이 복수 함수론입니다. 아래 참고하세요. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/08/complex-analysis.html

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  33. 그러니깐 실수에서의 미적분을 단순하게 복소수에서의 미적분으로 했을때에 발생하는 문제점과 상관없이, (18) 두 번째 줄 마지막 부분에 (17)의 결과를 넣고, (17)의 결과=(18)의 결과 여야하므로 오일러 공식이다! 하는 것에는 논리적인 오류가 없다는 말씀이시죠?
    왠지 이 부분이 맘편하지가 않네요..ㅠㅠ 참고해주신 부분 뿐 아니라 블로그 수학 라벨 붙은 건 꼼꼼이 다 읽고 생각해볼 계획입니다. 블로그 정말 유익하네요! 감사합니다.

    ps. 블로거님의 답글에 대해 재질문을 하다가 맘에 들지 않아 그 부분만 삭제하려 했는데 원래 댓글까지 삭제되어버렸네요 ㅜㅜ

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    1. 그 부분은 논리적 오류가 없습니다, HyeonPhil님.
      식 (17)과 (18)을 유도한 근거는 서로 다릅니다. 식 (17)은 삼각 함수의 역함수 미분을 이용한 적분이고, 식 (18)은 부분 분수 분해를 통해 구한 결과입니다.
      또한 식 (18) 유도에 식 (17)의 결과를 사용하지 않았습니다. ($x = \tan \phi$라 쓴 것은 단순한 변수 치환입니다.)

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  34. 식 (25)가 유도되는 과정을 보여주실 수 있으실까요? root(z)를 가지고 (24)까지 유도해내신건 이해가 가는데 (25)는 (24)를 요리조리 해봐도 안나오네요... 물론 (26)의 증명은 충분히 이해가 잘 됩니다!

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    1. 좀 더 해보다보니 삼각함수 반각공식과 관련이 있다는 걸 찾아냈습니다! 거의 다 유도해냈는데 부호처리문제가 있네요...ㅜㅜ
      귀찮으시더라도 한번만 보여주시면 감사하겠습니다!

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    2. 익명님, 증명도 추가하고 본문에 쌍부호를 언급할 때 모호한 부분이 있어 다시 수정했습니다. ^^

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    3. 크...사랑합니다 전파거북이님!
      수학 공부 더 열심히 할게요!

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  35. 안녕하세요. 복소해석학을 공부하는 학생입니다.
    공부하는 중 궁금한게 생겨서 질문하나 할까하는데요.
    복소수의 연산을 극좌표 그래프로 나타냈을 때, 나눗셈의 경우 어떠한 그래프의 형태로 나타낼수 있는지 알수잇을까요? 곱셉그래프를 이용하여 그려보려했지만 잘안그려져서 이렇게 질문해요.

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    1. 나눗셈은 곱셈의 반대라서, 크기는 나누고 편각은 빼서 그리면 됩니다. ^^

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  36. 죄송합니다 한가지 정말 궁금한게 있습니다
    e^ix=cosx+isinx 이 공식은 정의역이 복소수로 확장됐다고 생각합니다...
    만약 그렇다면 정의역을 확장해서 써도 된다고 누가 보장해주는 건가요???

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    1. 함수 조건만 만족하면 정의역은 마음대로 확장할 수 있습니다. 다만 그 확장한 함수가 재미난 의미가 있어야겠지요. 그래서 복소 함수는 실함수 특성을 포함하도록 확장합니다.

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    2. 아아...
      정말 감사합니다 😄

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  37. 아직도 뭔 말인지 잘 이해가 안되지만
    계속해서 읽으면서 이해할까합니다.
    이런 내용을 인터넷상에 올려주셔서 감사합니다.

    뒤 늦게 공부하려니 힘들고 또 재미있네요

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    1. 대단하시네요, 빵구차님. ^^ 계속 도전하시길.

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  38. 좋은글 감사합니다.
    복소함수가 값이 여러개가 나오는 이유는
    회전? 으로 생각해도 될까요?
    실수 함수는 정의역이 직선이라서 편각이 0rad지만,
    복소수는 평면에서 회전? 을 한다고 생각하니 값을 여러개 가질수 있겠구나 라는 생각이 듭니다.
    흠... 이렇게 생각해도 되는 건가요?
    질문이 좀 조잡해서 죄송합니다 ㅜ

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    1. 맞습니다, 익명님. ^^ 아래 한 번 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.kr/2012/08/multi-valuedness.html

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