아름다운 숫자, 오일러의 수(Euler's Number)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "오일러의 수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수
2. 미분법의 의미
3. 극한과 연속성의 의미
4. 테일러 급수

[그림 1] 지수 함수와 로그 함수(출처: Wikipedia)

미분학을 배울 때 빼놓을 수 없는 부분이 지수 함수(exponential function)의 미분이다. 지수 함수는 아래 성질을 가진 함수이다.

                            (1)

식 (1)은 곱셈을 덧셈 관점으로 풀 수 있음을 보여준다. 이 성질이 지수 함수의 역함수(逆函數, inverse function)인 로그 함수(logarithmic function)의 가장 중요한 성질이 된다. 지수 함수와 비슷하지만 약간 다른 멱함수(羃函數, power function)도 있다. 독립 변수 $x$가 지수(指數, exponent)인 지수 함수는 $a^x$로 표기하고, 지수는 고정되고 밑수(base)가 독립적으로 바뀌는 멱함수는 $x^r$로 쓴다. 식 (1)을 이용해서 지수 함수의 미분 공식을 곧바로 얻을 수 있다.

                            (2)

식 (2)의 우변에 있는 극한이 1이 되면 지수 함수 $a^x$는 미분을 하더라도 함수가 변하지 않고 자기 자신이 된다. 여기서 이런 관계를 만족하는 수를 식 (3)과 같이 $e$라고 한다. 구체적으로 숫자 $e$는 오일러의 수(Euler's number) 혹은 네이피어의 상수(Napier's constant)라 한다. 엄밀성을 약간 포기하면서, 식 (2)를 이용해 $e$를 좀 거칠게 정의한다.

                             (3a)

                            (3b)

                  (3c)

여기서 $0^+$와 $0^-$는 각각 매우 작은 양수와 음수의 극한을 뜻한다. 극한(limit) 관점으로 더 깊게 들어가면, 식 (3a)와 (3b)는 좌극한과 우극한이 동일함을 표현한다. 이 성질은 식 (10)을 이용해 증명할 수 있다.
오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1727년오일러 20세, 조선 영조 시절에 식 (3)의 극한을 적극적으로 사용했기 때문에, 오일러 이름의 첫자를 이용해 $e$로 표기한다[2]. 혹은 겸손한 오일러가 자신을 표현하려고 $e$를 썼을 리는 없고, 모음 알파벳을 상수로 쓰던 오일러가 $a$ 다음의 모음으로 $e$를 선택했다는 의견도 있다[7]. 오일러가 쓴 $e$에 대한 표현식이 유명하지만 $e$의 최초 발견자는 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)이다. 베르누이는 1683년베르누이 28세, 조선 숙종 시절에 식 (3)과 같은 극한을 고민했다. 식 (3)의 정의에서 $e$는 수렴한다고 가정한다. 물론 진짜 수렴하는지는 반드시 증명해야 한다. 따라서 식 (3)에서 중요한 부분은 $e$로 표현된 극한의 계산이다. 숫자 $e$의 극한을 실제로 구하려 해보면 식 (3)의 정의는 너무 복잡하다. 그래서 다음처럼 식 (3)을 그대로 따라가면서도 계산이 편리한 방법을 찾아야 한다.

[무한 급수(infinite series)로 표현한 오일러의 수]

                             (4)

[증명: 테일러 급수]

식 (5)에 있는 테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 식 (4)를 쉽게 증명할 수 있다.

              (5)

지수 함수 $e^x$는 미분해도 $e^x$이므로 식 (5)에서 $a$ = $0$으로 놓고 테일러 급수 전개를 하면

                         (6)

식 (6)에서 $x$ = $1$이라 두면 식 (4)가 증명된다.

[증명: 이항 정리]

식 (7)의 이항 정리(二項定理, binomial theorem)를 이용해서도 식 (4)를 증명할 수 있다.

             (7)

식 (7)에서 $r$ = $n$, $x$ = $1/n$이라 두면 식 (7)을 이용해 식 (3)을 급수 전개할 수 있다.

              (8)

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다음으로 중요한 부분은 무한 급수로 표현된 식 (4)의 수렴성이다. 먼저 식 (4)가 유계(有界, bounded)임을 증명한다. 항대항(項對項, term by term)으로 보면 아래 부등식이 항상 성립한다.

              (9)

식 (9)의 유도에는 무한 등비 급수(infinite geometric series)를 이용한다. 또한 무한 급수인 식 (4)는 양수를 계속 더해가고 있으므로, $n$이 커짐에 따라 부분 합은 단조 증가한다. 따라서 단조 증가하면서 유계인 오일러의 수 $e$는 분명히 수렴한다. 오일러의 수 $e$를 어림짐작하면 대충 $2.5 < e < 3$에 있으며 정확한 값은 아래와 같다[1].

   $e$ = 2.7182818284590452353602874713526624977572...

식 (3a)에서 $n$이 음의 무한대로 가는 극한은 식 (3b)이다. 이 극한은 다음처럼 표현할 수 있다.

                        (10)

식 (10)에 의해 $n$이 양 혹은 음의 무한대로 가더라도 극한은 항상 오일러의 수가 된다. 식 (10)의 증명에는 보통 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 이용한다.

식 (1)의 지수 함수 정의를 로그로 표현하면 로그 함수(logarithmic function)를 새롭게 정의할 수 있다. 지수 함수를 이용해 로그 함수를 정의하면 이해가 참 쉽다. 이런 순서를 제안한 수학자는 오일러이다. 역사적으로 보면 1614년네이피어 61세, 조선 광해군 시절에 네이피어John Napier(1550–1617)가 기하학적 상상을 바탕으로 로그를 제안하고 이후 1745년오일러 38세, 조선 영조 시절에 오일러가 지수 함수를 기반으로 로그 함수를 재정의했다[5], [6].[오일러 이전에도 지수와 로그 함수의 관계를 고민한 수학자는 있었지만 가장 세련되게 이론을 전개한 오일러의 기여가 상당히 크다.]

                        (11)

식 (1)과 (11)을 이용하면 곱셈을 덧셈으로 변환할 수 있는 로그의 성질이 증명된다.

                        (12)

만약 $a$ = $e$인 경우는 자연 로그(natural logarithm)라 하고 밑수(base) $e$는 생략한다. 현재까지의 중요 개념을 로그 함수의 미분에 적용한다.

             (13)

여기서 $\log(x)$는 $x$에 대한 자연 로그이다. 식 (1)과 (12)는 너무나 유명해서 학생에게는 외워야 되는 대상이 되는 경우가 많다. 하지만 로그 함수의 개념은 세상을 바꾸었다. 컴퓨터가 없던 시절에 복잡한 곱셈, 나눗셈, 제곱근 계산을 도와준 너무나 고마운 개념이다. 대부분의 수학 역사가는 로그의 발명에 미적분 발명과 동등한 중요성을 부여한다. 로그의 역사를 공부해 보면 이 말을 이해할 수 있다. 입시에 바빠 인류 역사를 새롭게 써내려간 로그 함수의 참맛을 모르고 지나가는 대한민국의 고등학생은 참으로 불쌍하다.

[그림 2] 파스칼의 삼각형(출처: wikipedia.org)

오일러의 수를 만드는 재미있는 예는 여러 가지가 있다. 그 중에 최근에 나온 결과를 보면, [그림 2]와 같은 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)을 이용하기도 한다[3], [4]. 아래에 오일러의 수를 만들 수 있는 다양한 방법을 소개한다.

   1. 극한 표현식(limit representation)   

[파스칼의 삼각형]
파스칼의 삼각형에서 $n$번째 줄에 나온 수를 모두 곱하여 $p_n$이라 하면, 다음 결과는 오일러의 수가 된다.

                         (1.1)

[증명]

식 (1.1)의 증명을 위해 [그림 2]의 파스칼 삼각형을 다음처럼 조합(combination)으로 표현한다[4].

[그림 1.1] 조합으로 표현한 파스칼의 삼각형(출처: wikipedia.org) 

                        (1.2)

식 (1.2)를 이용해 $p_{n+1}$과 $p_n$의 비율을 구한다.

                 (1.3)

식 (1.3)을 식 (1.1)처럼 배치하면 다음을 얻는다.

                        (1.4)

식 (1.4)의 최종 결과식은 식 (3a)의 마지막 항과 동일하다. 따라서 $n$을 무한대로 보내면 최종 결과는 오일러의 수가 된다.

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[참고문헌]

[1] N. J. A. Sloane, "A001113: decimal expansion of e," The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (방문일 2011-02-06)

[2] 존 더비셔, 리만 가설: 베른하르트 리만과 소수의 비밀, 승산, 2006.

[3] H. J. Brothers, "Finding e in Pascal’s triangle," Mathematics Magazine, vol. 85, no. 1, p. 51, Feb. 2012.

[4] A. Bogomolny, "e in the Pascal triangle," Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

[5] F. Cajori, "History of the exponential and logarithmic concepts," The American Mathematical Monthly, vol. 20, no. 2, pp. 35–47, Feb. 1913.

[6] D. Bal, "Leibniz, Bernoulli and the logarithms of negative numbers," Montclair State University. (방문일 2019-10-16)

[7] 김성숙, "$e$의 역사적 기원과 의의", 한국수학사학회지, 제17권, 제3호, pp. 33–42, 2004년 8월.

[다음 읽을거리]
1. 조화 급수와 오일러-마스케로니 상수
2. 로그 함수의 기원
3. 감마 함수

4. 람베르트 W 함수