2010년 10월 28일 목요일

아름다운 숫자, 오일러의 수(Euler's Number)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "오일러의 수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수
2. 미분법의 의미
3. 극한과 연속성의 의미
4. 테일러 급수

Animation of the log function, thinked as the ...[그림 1] 지수 함수와 로그 함수(출처: Wikipedia)

미분학을 배울 때 빼놓을 수 없는 부분이 지수 함수(exponential function)의 미분이다. 지수 함수는 아래 성질을 가진 함수이다.

                            (1)

식 (1)은 곱셈을 덧셈 관점으로 풀 수 있음을 보여준다. 이 성질이 지수 함수의 역함수(逆函數, inverse function)로그 함수(logarithmic function)의 가장 중요한 성질이 된다. 지수 함수와 비슷하지만 약간 다른 멱함수(羃函數, power function)도 있다. 독립 변수 $x$가 지수(指數, exponent)인 지수 함수는 $a^x$로 표기하고, 지수는 고정되고 밑수(base)가 독립적으로 바뀌는 멱함수는 $x^r$로 쓴다. 식 (1)을 이용해서 지수 함수의 미분 공식을 곧바로 얻을 수 있다.

                            (2)

식 (2)의 우변에 있는 극한이 1이 되면 지수 함수 $a^x$는 미분을 하더라도 함수가 변하지 않고 자기 자신이 된다. 여기서 이런 관계를 만족하는 수를 식 (3)과 같이 $e$라고 한다. 구체적으로 숫자 $e$는 오일러의 수(Euler's number) 혹은 네이피어의 상수(Napier's constant)라 한다. 엄밀성을 약간 포기하면서, 식 (2)를 이용해 $e$를 좀 거칠게 정의한다.

                             (3a)

                            (3b)

                  (3c)

여기서 $0^+$와 $0^-$는 각각 매우 작은 양수와 음수의 극한을 뜻한다. 극한(limit) 관점으로 더 깊게 들어가면, 식 (3a)와 (3b)는 좌극한과 우극한이 동일함을 표현한다. 이 성질은 식 (10)을 이용해 증명할 수 있다.
오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1727년오일러 20세, 조선 영조 시절에 식 (3)의 극한을 적극적으로 사용했기 때문에, 오일러 이름의 첫자를 이용해 $e$로 표기한다[2]. 혹은 겸손한 오일러가 자신을 표현하려고 $e$를 썼을 리는 없고, 모음 알파벳을 상수로 쓰던 오일러가 $a$ 다음의 모음으로 $e$를 선택했다는 의견도 있다[7]. 오일러가 쓴 $e$에 대한 표현식이 유명하지만 $e$의 최초 발견자는 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)이다. 베르누이는 1683년베르누이 28세, 조선 숙종 시절에 식 (3)과 같은 극한을 고민했다. 식 (3)의 정의에서 $e$는 수렴한다고 가정한다. 물론 진짜 수렴하는지는 반드시 증명해야 한다. 따라서 식 (3)에서 중요한 부분은 $e$로 표현된 극한의 계산이다. 숫자 $e$의 극한을 실제로 구하려 해보면 식 (3)의 정의는 너무 복잡하다. 그래서 다음처럼 식 (3)을 그대로 따라가면서도 계산이 편리한 방법을 찾아야 한다.

[무한 급수(infinite series)로 표현한 오일러의 수]

                             (4)

[증명: 테일러 급수]
식 (5)에 있는 테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 식 (4)를 쉽게 증명할 수 있다.

              (5)

지수 함수 $e^x$는 미분해도 $e^x$이므로 식 (5)에서 $a$ = $0$으로 놓고 테일러 급수 전개를 하면

                         (6)

식 (6)에서 $x$ = $1$이라 두면 식 (4)가 증명된다.

[증명: 이항 정리]
식 (7)의 이항 정리(二項定理, binomial theorem)를 이용해서도 식 (4)를 증명할 수 있다.

             (7)

식 (7)에서 $r$ = $n$, $x$ = $1/n$이라 두면 식 (7)을 이용해 식 (3)을 급수 전개할 수 있다.

              (8)
______________________________

다음으로 중요한 부분은 무한 급수로 표현된 식 (4)의 수렴성이다. 먼저 식 (4)가 유계(有界, bounded)임을 증명한다. 항대항(項對項, term by term)으로 보면 아래 부등식이 항상 성립한다.

              (9)

식 (9)의 유도에는 무한 등비 급수(infinite geometric series)를 이용한다. 또한 무한 급수인 식 (4)는 양수를 계속 더해가고 있으므로, $n$이 커짐에 따라 부분 합은 단조 증가한다. 따라서 단조 증가하면서 유계인 오일러의 수 $e$는 분명히 수렴한다. 오일러의 수 $e$를 어림짐작하면 대충 $2.5 < e < 3$에 있으며 정확한 값은 아래와 같다[1].

   $e$ = 2.7182818284590452353602874713526624977572...

식 (3a)에서 $n$이 음의 무한대로 가는 극한은 식 (3b)이다. 이 극한은 다음처럼 표현할 수 있다.

                        (10)

식 (10)에 의해 $n$이 양 혹은 음의 무한대로 가더라도 극한은 항상 오일러의 수가 된다. 식 (10)의 증명에는 보통 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 이용한다.
식 (1)의 지수 함수 정의를 로그로 표현하면 로그 함수(logarithmic function)를 새롭게 정의할 수 있다. 지수 함수를 이용해 로그 함수를 정의하면 이해가 참 쉽다. 이런 순서를 제안한 수학자는 오일러이다. 역사적으로 보면 1614년네이피어 61세, 조선 광해군 시절에 네이피어John Napier(1550–1617)가 기하학적 상상을 바탕으로 로그를 제안하고 이후 1745년오일러 38세, 조선 영조 시절에 오일러가 지수 함수를 기반으로 로그 함수를 재정의했다[5], [6].[오일러 이전에도 지수와 로그 함수의 관계를 고민한 수학자는 있었지만 가장 세련되게 이론을 전개한 오일러의 기여가 상당히 크다.]

                        (11)

식 (1)과 (11)을 이용하면 곱셈을 덧셈으로 변환할 수 있는 로그의 성질이 증명된다.

                        (12)

만약 $a$ = $e$인 경우는 자연 로그(natural logarithm)라 하고 밑수(base) $e$는 생략한다. 현재까지의 중요 개념을 로그 함수의 미분에 적용한다.

             (13)

여기서 $\log(x)$는 $x$에 대한 자연 로그이다. 식 (1)과 (12)는 너무나 유명해서 학생에게는 외워야 되는 대상이 되는 경우가 많다. 하지만 로그 함수의 개념은 세상을 바꾸었다. 컴퓨터가 없던 시절에 복잡한 곱셈, 나눗셈, 제곱근 계산을 도와준 너무나 고마운 개념이다. 대부분의 수학 역사가는 로그의 발명에 미적분 발명과 동등한 중요성을 부여한다. 로그의 역사를 공부해 보면 이 말을 이해할 수 있다. 입시에 바빠 인류 역사를 새롭게 써내려간 로그 함수의 참맛을 모르고 지나가는 대한민국의 고등학생은 참으로 불쌍하다.

[그림 2] 파스칼의 삼각형(출처: wikipedia.org)

오일러의 수를 만드는 재미있는 예는 여러 가지가 있다. 그 중에 최근에 나온 결과를 보면, [그림 2]와 같은 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)을 이용하기도 한다[3], [4]. 아래에 오일러의 수를 만들 수 있는 다양한 방법을 소개한다.


   1. 극한 표현식(limit representation)   

[파스칼의 삼각형]
파스칼의 삼각형에서 $n$번째 줄에 나온 수를 모두 곱하여 $p_n$이라 하면, 다음 결과는 오일러의 수가 된다.

                         (1.1)

[증명]
식 (1.1)의 증명을 위해 [그림 2]의 파스칼 삼각형을 다음처럼 조합(combination)으로 표현한다[4].

[그림 1.1] 조합으로 표현한 파스칼의 삼각형(출처: wikipedia.org) 

                        (1.2)

식 (1.2)를 이용해 $p_{n+1}$과 $p_n$의 비율을 구한다.

                 (1.3)

식 (1.3)을 식 (1.1)처럼 배치하면 다음을 얻는다.

                        (1.4)

식 (1.4)의 최종 결과식은 식 (3a)의 마지막 항과 동일하다. 따라서 $n$을 무한대로 보내면 최종 결과는 오일러의 수가 된다.
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[참고문헌]
[1] N. J. A. Sloane, "A001113: decimal expansion of e," The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (방문일 2011-02-06)
[3] H. J. Brothers, "Finding e in Pascal’s triangle," Mathematics Magazine, vol. 85, no. 1, p. 51, Feb. 2012.
[4] A. Bogomolny, "e in the Pascal triangle," Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
[5] F. Cajori, "History of the exponential and logarithmic concepts," The American Mathematical Monthly, vol. 20, no. 2, pp. 35–47, Feb. 1913.
[6] D. Bal, "Leibniz, Bernoulli and the logarithms of negative numbers," Montclair State University. (방문일 2019-10-16)
[7] 김성숙, "$e$의 역사적 기원과 의의", 한국수학사학회지, 제17권, 제3호, pp. 33–42, 2004년 8월.

[다음 읽을거리]
1. 조화 급수와 오일러-마스케로니 상수
2. 로그 함수의 기원
3. 감마 함수

댓글 34개 :

  1. 좋은글들 감사합니다^^ 도저히 그냥 읽고 지나칠수 없어서 댓글을 남깁니다^^
    앞으로도 좋은글들 부탁드리겠습니다^^

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    1. 그냥 지나치셔도 됩니다. ^^
      가볍게 쓴 글이라 가볍게 생각하시면 되요. 감사합니다.

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  2. 정말 이해하기 쉽고 흥미롭게 설명하셔서 감탄이 절로 나옵니다.

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  3. 어쩌다 들어오게 됬는데 정말 잘 봤습니다!
    앞으로도 종종 들어와야겠네요~ 좋은 블로그를 찾은 것 같아서 너무 기분이 좋네요.

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    1. 아이고, 칭찬 감사합니다. ^^ 자주 놀러오세요.

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    2. 44세입니다.
      막 전기입문했습니다.
      제가 지금까지 찾아본 자료중에서는 단연코 최고의 자료입니다.

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    3. 44세님 열정을 본받아 더 좋은 자료 올려야겠습니다.
      방문 감사합니다. ^^

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  4. 오일러수를 파스칼의삼각형으로정의하다니 놀라움!!

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    1. 증명 자체도 재미있지만 이 결과가 최근에 얻어진 게 더 놀랍네요. ^^

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  5. 좋은 글 감사드립니다. 저도 40 넘어서 통계를 공부중인데, 테일러 급수에 대한 설명을 찾다고 이곳에 포스팅 된 글들을 읽고 감탄하고 있습니다.

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    1. 대단하십니다, 구들방님. 계속 열공하시기를 기원합니다. ^^

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  6. 미분법에 관해서 공부하다가 우연히 들어와서 보고 있는데, 설명을 너무 잘해주셔서 밤새도록 봤네요ㅠㅠ...궁금한게 있어서 질문드립니다...식(3)번에서 첫번째 화살표 부분에서 어떻게 갑자기 e^h에 관한식으로 풀이가 되는지 궁금합니다..ㅠㅠ다른 책을 찾아봐도 잘 안보이고, 경고 문구에 의해 선행학습을 해봐도 잘 모르겠네요..ㅠㅠ

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    1. 밤새실 필요까지요! 천천히 하세요. ^^

      본문을 수정했으니 다시 한 번 확인해주세요.

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    2. 아~~ 극한을 분모와 분자로 분리한 뒤 e에 관한 식으로 정리한거네요.
      제가 너무 어렵게 생각을 했나봐요..ㅠㅠ 이해가 확실히 되었습니다.
      직접 풀어보니 어려운 과정이 아니였네요ㅠㅠ...고맙습니다~ㅎㅎ

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  7. 아 뭔말인지 모르겠다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 좀더 공부하고 오겠습니다.

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  8. 안녕하세요^^ 질문이 있어서 글을 올립니다. 본문에는 없지만 lim (x->0)(1+1/x)^x식에서 x가 양에서와 음의 방향에서 수렴한다는 것을 보여주셨는데 복소평면에서 모든 방향으로부터 x가 0으로 다가갈때 위 극한이 0으로 수렴하는 것은 어떻게 증명하나요?
    음의 방향에서 가까이 가는 경우는 어떻게 하는지 고민이 많았었는데 잘 풀이해주셔서 더 알고 갑니다!

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    1. 말씀하신 함수가 해석적인 것을 보이면 됩니다. 즉 코쉬-리만 방정식이 성립함을 제시하면 실수축에서 이미 해당 극한의 수렴성을 증명했기 때문에, 모든 방향에서 극한이 수렴하게 됩니다.

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  9. 수학의 참맛을 느껴보고자 전파거북이님의 블로그를 탐험중인 고등학생입니다. 알게 된 지 며칠 안 되었지만 풍부한 지식과 세심한 배려가 담긴 글 덕에 많은 도움을 얻었고, 앞으로도 열심히 찾아올 생각입니다.

    중요한 건 아니지만 질문이 두 개 있습니다.
    1. 식 (3)에서 거칠게 증명한다는 말의 의미는 수학적인 비약은 있으나 직관적으로 이해될 수 있게 증명을 한다는 뜻인가요? 아니면 중요한 과정이나 증명을 건너 뛰고 결과만 끌어온다는 뜻인가요? 아니면... 별 뜻 없나요?

    2. 식 (13)에서 자연로그는 log가 아니라 ln이라고 쓰는 걸로 알고 있습니다. 밑수 e를 생략하고 log를 썼다는 언급이 있는 걸 보면 실수하신 건 아닌 듯한데... 밑수를 e로 한다는 의미만 포함하고 있으면 ln으로 쓰든 log로 쓰고 밑수 e를 생략한다 하든 자연로그라고 부르는 건가요?

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    1. 1. 극한 과정을 마치 숫자처럼 취급해 계산했기 때문에 수학적으로 거친 증명입니다. 물론 $e$가 수렴한다고 가정도 했고요. ^^

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  10. 아 다음 글인 로그 함수의 기원에서 2번 질문의 답이 나오네요...

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  11. 제가 준비하는 국가시험에서 갑자기 공학용계산기를 금지하게 되어, 어떻게 하면 계산을 더 쉽게 할수있을까해서 검색하고 알아보다 여기까지오게됬습니다. 오일러 상수 e 로그 등등.. 이러한 단지 숫자가 어떻게 마치 모든걸 해결해주는 어떤 프로그램처럼 느껴지네요. 존재자체가 경이롭지만, 너무 등한시 하며, 공식 자체도 숭고하다는 헤르츠와 라마누잔만을 믿으며 공학용에 계산기에 의존했네요. 문과출신이라 모르느게 많습니다.
    어디서 부터 시작해야 어떠한 수리적 고도의 능력을 얻을수있을까요?
    그리고 다른글에서 허수부분으로 분해해서 계산하는게 인상깊었는데
    허수는 정확히 어떤것일까요. 존재하지만 관찰이나 결과를 구하면 사라지는
    느낌이네요
    그리고 분수의 분수승 0.3^0.1승 같은것을을 근사할 가장 좋은 방법이 어떤게 있을지 추천드립니다.

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    1. 공학용 계산기를 금지시켰으면 어려운 계산은 나오지 않을 겁니다, 최범님. ^^ 출제 위원을 믿으시길...

      1. 사칙 연산을 넘어서는 함수 계산은 보통 테일러 급수(Taylor series)로 시작합니다. 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.kr/2010/07/taylor-series.html

      2. 소수의 소수 승은 조건이 좀 붙어야 하지만, 아래처럼 근사 계산할 수 있어요.
      - $a^x \approx 1 + x \log(a) + 0.5 x^2 \log^2(a)$
      - $\log(a) \approx 2 \left[ \frac{a-1}{a+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{a-1}{a+1} \right )^3 \right]$
      - 위를 이용하면 $\log(0.3) \approx -1.18$으로 근사되어, $0.3^0.1 \approx 0.889$이 나옵니다. 참고로 $0.3^0.1$의 정확한 값은 0.887 정도입니다.

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    2. 역시 이런게 있을줄알았어요 감사합니다 ㅎㅎ
      로그는 자연로그이겠죠?

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    3. 그리고 로그의2가 적혀있는것은 2의 제곱인가용 아니면 밑이 2인건가요?

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    4. 자연 로그 함수값의 제곱을 표현했어요.

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  12. 참...수학은...아름답습니다.
    좋은 글 감사합니다.

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    1. 저도 동의합니다, 박성훈님. 수학은 참 아름다워요~~

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  13. 안녕하세요, 컴퓨터공학 대학원을 준비하기 위해 수학을 복습하다가 들르게 되었습니다. 최근 빠르게 무언가를 해내야 한다는 압박 때문에 학문의 아름다움을 잊고 있었던 것 같습니다. 그래서인지 저는 블로그 제목 부근에 적어두신 글귀가 정말 많이 와닿네요. 단순한 지식보다 더 큰 지혜를 주셔서 감사합니다 :)

    조금은 느리게 살자
    『토끼와 거북이』에서 누가 이겼더라? 빨리 간다고 먼저 도착하는 것은 아니다, 지적 여정이 한없이 이어진다면... 끝없는 호기심을 가지고 머리를 쓰면서 험난한 자갈밭을 즐기면서 느리게 가자.

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    1. Juffon님, 방문 감사합니다. 꾸준히 노력하고 희망하면 컴퓨터 공학 분야에 원하시는 바를 분명히 이룰 것입니다. 저처럼 천천히 가시길 바래요. ^^

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  14. 저도 거진 10년만에 오일러 법칙을 복습하게 됬는데 덕분에 많이 배워갑니다!!

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