2010년 10월 28일 목요일

아름다운 숫자, 오일러 수(Euler's number)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "오일러 수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수
2. 미분법의 의미
3. 극한의 의미
4. 테일러 급수

Animation of the log function, thinked as the ...[그림 1] 지수 함수와 로그 함수(출처: Wikipedia)

미분학을 배울 때 빼놓을 수 없는 부분이 지수 함수(exponential function)의 미분이다. 지수 함수는 아래 성질을 가진 함수이다.

                            (1)

식 (1)이 표현하는 것은 곱셈을 덧셈 관점으로 풀 수 있다는 것이다. 이 성질이 지수 함수의 역함수(逆函數, inverse function)인 로그 함수(logarithmic function)의 가장 중요한 성질이 된다.
식 (1)을 이용하면 지수 함수의 미분 공식을 얻을 수 있다.

                            (2)

식 (2)의 우변에 있는 극한이 1이 되면 지수 함수 $a^x$는 미분을 하더라도 함수가 변하지 않고 자기 자신이 된다. 여기서 이 관계를 만족하는 수를 식 (3)과 같이 $e$라고 하자. 이 $e$가 오일러 수(Euler's number)가 된다. 오일러가 제안했기 때문에 오일러 이름의 첫자인 $e$를 이용해 $e$로 표기한다[2]. 식 (2)를 이용해 $e$를 좀 거칠게 정의해 보자.

                            (3)

여기서 $e$는 수렴한다고 가정했다. 물론 진짜 수렴하는지는 증명해야 한다.
이제 식 (3)에서 중요한 것은 $e$로 표현된 극한을 어떻게 구하나이다. 그냥 극한을 구하기에는 식 (3)은 너무 복잡하다.

[무한 급수(infinite series)로 표현한 오일러 수]

                            (4)

[증명: 테일러 급수]
식 (5)에 있는 테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 식 (4)를 쉽게 증명할 수 있다.

              (5)

 지수 함수 $e^x$는 미분해도 $e^x$이므로 식 (5)에서 $a = 0$으로 놓고 테일러 급수 전개를 하면

                         (6)

식 (6)에서 $x = 1$이라 두면 식 (4)가 증명된다.
______________________________

[증명: 이항 정리]
식 (7)의 이항 정리(二項定理, binomial theorem)를 이용해서도 식 (4)를 증명할 수 있다.

             (7)

식 (7)에서 $r = n$, $x = 1/n$이라 두면 식 (7)을 이용해 식 (3)을 급수 전개할 수 있다.

              (8)
______________________________

다음으로 중요한 것은 무한 급수 식 (4)가 수렴한다는 증명이다. 이 증명을 위해 먼저 식 (4)가 유계(有界, bounded)라는 것을 증명하자. 항대항(項對項, term by term)으로 보면 아래 부등식이 항상 성립한다.

              (9)

식 (9)의 증명에 무한 등비급수(infinite geometric series)를 이용하였다. 또한, 무한 급수 식 (4)는 양수를 계속 더해가기 때문에 단조 증가하는 무한 급수이다.
단조 증가하면서 유계인 급수는 수렴함으로 오일러 수 $e$는 수렴한다.
대충 계산하면 이 값은 $2.5 < e < 3$에 있다. 오일러 수의 정확한 값은 아래와 같다[1].

   e = 2.7182818284590452353602874713526624977572...

식 (3)에서 $n$이 음의 무한대로 가면 그 극한은 어떻게 될까?

                        (10)

식 (10)을 고려하면 $n$이 양 혹은 음의 무한대로 가더라도 그 극한은 항상 오일러 수가 된다. 식 (10)을 증명할 때 뉴튼의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 이용하였다.

식 (1)의 지수 함수 정의를 로그로 표현하면 로그 함수(logarithmic function)를 정의할 수 있다.

                        (11)

식 (1)과 (11)을 이용하면 곱셈을 덧셈으로 변환할 수 있는 로그의 성질이 증명된다.

                        (12)

$a = e$인 경우는 자연 로그(natural logarithm)라 하고 밑수(base) $e$는 생략한다.
현재까지의 중요 개념들을 로그 함수의 미분에 적용해 보자.

             (13)

여기서 $\log(x)$는 $x$에 대한 자연로그이다.
식 (1)과 (12)는 너무나 유명해서 학생들에게는 외워야 되는 대상이 되는 경우가 많다. 하지만, 로그 함수의 개념은 세상을 바꾸었다.
컴퓨터가 없던 시절에 복잡한 곱셈, 나눗셈, 제곱근 계산을 도와준 너무나 고마운 개념이다.
대부분의 수학 역사가들은 로그의 발명에 미적분 발명과 동등한 중요성을 부여한다.
로그의 역사를 공부해 보면 이 말을 이해하게 될 것이다.
입시에 바빠 인류 역사를 새롭게 써내려간 로그 함수의 참맛을 모르고 지나가는 대한민국의 고등학생들은 참으로 불쌍하다.

[그림 2] 파스칼의 삼각형(출처: wikipedia.org)

오일러 수를 만드는 재미있는 예는 여러 가지가 있다. 그중에 최근에 나온 것이 [그림 2]와 같은 파스칼의 삼각형이다[3], [4]. 파스칼의 삼각형에서 $n$번째 줄에 나온 수를 모두 곱하여 $p_n$이라 한다. 그러면 다음 결과가 오일러의 수가 된다.

                        (14)

식 (14)의 증명을 위해 [그림 2]의 파스칼 삼각형을 다음처럼 조합(combination)으로 표현해보자[4].

[그림 3] 조합으로 표현한 파스칼의 삼각형(출처: wikipedia.org) 

                        (15)

식 (15)를 이용해 $p_{n+1}$과 $p_n$의 비율을 구해보자.

                     (16)

식 (16)을 식 (14)처럼 배치하면 다음을 얻는다.

                        (17)

식 (17)의 최종 결과식은 식 (3)의 마지막항과 동일하다. 따라서 $n$을 무한대로 보내면 최종 결과는 오일러 수가 된다.

[참고문헌]
[1] A001113, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
[2] 존 더비셔, 리만 가설: 베른하르트 리만과 소수의 비밀, 승산, 2006.
[3] H. J. Brothers, "Finding e in Pascal’s triangle," Mathematics Magazine, vol. 85, no. 1, p. 51, Feb. 2012.
[4] A. Bogomolny, "e in the Pascal triangle," Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

[다음 읽을거리]
1. 조화 급수와 오일러-마스케로니 상수
2. 로그 함수의 기원
3. 감마 함수
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댓글 22개 :

  1. 좋은글들 감사합니다^^ 도저히 그냥 읽고 지나칠수 없어서 댓글을 남깁니다^^
    앞으로도 좋은글들 부탁드리겠습니다^^

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    1. 그냥 지나치셔도 됩니다. ^^
      가볍게 쓴 글이라 가볍게 생각하시면 되요. 감사합니다.

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  2. 정말 이해하기 쉽고 흥미롭게 설명하셔서 감탄이 절로 나옵니다.

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  3. 어쩌다 들어오게 됬는데 정말 잘 봤습니다!
    앞으로도 종종 들어와야겠네요~ 좋은 블로그를 찾은 것 같아서 너무 기분이 좋네요.

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    1. 아이고, 칭찬 감사합니다. ^^ 자주 놀러오세요.

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    2. 44세입니다.
      막 전기입문했습니다.
      제가 지금까지 찾아본 자료중에서는 단연코 최고의 자료입니다.

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    3. 44세님 열정을 본받아 더 좋은 자료 올려야겠습니다.
      방문 감사합니다. ^^

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  4. 오일러수를 파스칼의삼각형으로정의하다니 놀라움!!

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    1. 증명 자체도 재미있지만 이 결과가 최근에 얻어진 게 더 놀랍네요. ^^

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  5. 좋은 글 감사드립니다. 저도 40 넘어서 통계를 공부중인데, 테일러 급수에 대한 설명을 찾다고 이곳에 포스팅 된 글들을 읽고 감탄하고 있습니다.

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    1. 대단하십니다, 구들방님. 계속 열공하시기를 기원합니다. ^^

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  6. 미분법에 관해서 공부하다가 우연히 들어와서 보고 있는데, 설명을 너무 잘해주셔서 밤새도록 봤네요ㅠㅠ...궁금한게 있어서 질문드립니다...식(3)번에서 첫번째 화살표 부분에서 어떻게 갑자기 e^h에 관한식으로 풀이가 되는지 궁금합니다..ㅠㅠ다른 책을 찾아봐도 잘 안보이고, 경고 문구에 의해 선행학습을 해봐도 잘 모르겠네요..ㅠㅠ

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    1. 밤새실 필요까지요! 천천히 하세요. ^^

      본문을 수정했으니 다시 한 번 확인해주세요.

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    2. 아~~ 극한을 분모와 분자로 분리한 뒤 e에 관한 식으로 정리한거네요.
      제가 너무 어렵게 생각을 했나봐요..ㅠㅠ 이해가 확실히 되었습니다.
      직접 풀어보니 어려운 과정이 아니였네요ㅠㅠ...고맙습니다~ㅎㅎ

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  7. 아 뭔말인지 모르겠다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 좀더 공부하고 오겠습니다.

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    1. 급할거야 있나요! 천천히 가세요. ^^

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  8. 안녕하세요^^ 질문이 있어서 글을 올립니다. 본문에는 없지만 lim (x->0)(1+1/x)^x식에서 x가 양에서와 음의 방향에서 수렴한다는 것을 보여주셨는데 복소평면에서 모든 방향으로부터 x가 0으로 다가갈때 위 극한이 0으로 수렴하는 것은 어떻게 증명하나요?
    음의 방향에서 가까이 가는 경우는 어떻게 하는지 고민이 많았었는데 잘 풀이해주셔서 더 알고 갑니다!

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    1. 말씀하신 함수가 해석적인 것을 보이면 됩니다. 즉 코쉬-리만 방정식이 성립함을 제시하면 실수축에서 이미 해당 극한의 수렴성을 증명했기 때문에, 모든 방향에서 극한이 수렴하게 됩니다.

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  9. 수학의 참맛을 느껴보고자 전파거북이님의 블로그를 탐험중인 고등학생입니다. 알게 된 지 며칠 안 되었지만 풍부한 지식과 세심한 배려가 담긴 글 덕에 많은 도움을 얻었고, 앞으로도 열심히 찾아올 생각입니다.

    중요한 건 아니지만 질문이 두 개 있습니다.
    1. 식 (3)에서 거칠게 증명한다는 말의 의미는 수학적인 비약은 있으나 직관적으로 이해될 수 있게 증명을 한다는 뜻인가요? 아니면 중요한 과정이나 증명을 건너 뛰고 결과만 끌어온다는 뜻인가요? 아니면... 별 뜻 없나요?

    2. 식 (13)에서 자연로그는 log가 아니라 ln이라고 쓰는 걸로 알고 있습니다. 밑수 e를 생략하고 log를 썼다는 언급이 있는 걸 보면 실수하신 건 아닌 듯한데... 밑수를 e로 한다는 의미만 포함하고 있으면 ln으로 쓰든 log로 쓰고 밑수 e를 생략한다 하든 자연로그라고 부르는 건가요?

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    1. 1. 극한 과정을 마치 숫자처럼 취급해 계산했기 때문에 수학적으로 거친 증명입니다. 물론 $e$가 수렴한다고 가정도 했고요. ^^

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  10. 아 다음 글인 로그 함수의 기원에서 2번 질문의 답이 나오네요...

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