람베르트 W 함수(Lambert W Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "람베르트 W 함수"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 아름다운 숫자, 오일러의 수

2. 라그랑주 반전 정리

[그림 1] 람베르트 W 함수의 변화 특성(출처: wikipedia.org)

우리가 쓰는 대부분의 함수는 이미 오래전에 정립되어 대부분의 성질이 잘 규명되어 있다. 반면 람베르트 W 함수(Lambert W function)는 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)가 1758년람베르트 30세, 조선 영조 시절에 시작했지만 1996년김영삼 정부 시절에 와서야 수학 함수로 명확히 인정받았다[1]. 람베르트 W 함수 $W(x)$는 지수 함수 $e^y$를 이용해서 정의한다.

                          (1)

여기서 $y$ = $W(x)$이다. 람베르트 함수에 알파벳 W를 쓴 이유는 기호 계산(symbolic computation) 프로그램인 메이플(Maple)에서 W를 쓰기 때문이다.[메이플에서 W를 쓴 이유는 불분명하다. 아마도 W는 잘 쓰지 않는 알파벳인 이유가 클 것이다. 혹은 이 함수에 기여한 라이트(Edward Maitland Wright) 교수[2]의 첫자를 따서 W라는 설도 있다.]

[그림 2] 가지 자름(branch cut)으로 표현한 람베르트 W 함수의 다가성(출처: wikipedia.org)

람베르트 W 함수는 주어진 $x$에 대해 답이 여러 개인 다가 함수(multi-valued function)이다. 이 개념을 이해하기 위해 식 (1)에 자연 로그 함수 $\log (x)$를 취한다.

                  (2a)

                  (2b)

여기서 $x$ = $x_0{e}^{2n\pi i}$, $x_0$의 편각(偏角, argument)은 $-\pi <\arg (x_0)\le \pi$, $n$ = $0,\pm 1,\pm 2,\cdots$, $n$은 가지를 구별하는 가지 번호(branch number)이다. 변수 $x$가 같더라도 편각은 $2\pi$의 정수배만큼 달라질 수 있어서 $y$는 하나가 아니고 무한 개의 답이 나온다. 변수 $x$처럼 $y$도 $\log y$ = $\log y_0+2m\pi i$로 만들면, 식 (2b)에 따라 $n$ = $m$이다. 여기서 $\log y_0+y_0-\log x_0$ = $0$이다. 그래서 람베르트 W 함수의 정확한 표기는 [그림 1]에 나온 $W_n(x)$이다. 여기서 $n$은 [그림 2]와 같은 가지 자름(branch cut)을 가리키는 정수이다. 또한 식 (2)처럼 람베르트 W 함수는 $y$ 기준으로 $\log x$와 관계되고 곱 연산도 있어서 곱 로그(product logarithm)로 부를 수 있다.

[그림 3] 람베르트 W 함수의 등각 사상(출처: wikipedia.org)

등각 사상(conformal mapping) 관점에서 [그림 3]에 보인 람베르트 W 함수와 가지 자름의 특성을 고찰한다. 실수 영역에서 정의한 식 (1)을 복소수 영역으로 확장한다.

                  (3a)

여기서 $w$ = $u+iv$, $z$ = $x+iy$이다. 람베르트 W 함수에는 식 (2)처럼 로그 특성이 있어서 $z$의 가지 자름은 음의 실수축으로 선택한다. 등각 사상에 따라 $z$에 대한 음의 실수축[$x<0$, $y$ = $0$]은 $w$ 영역에서 다음과 같이 사상된다.

                  (3b)

식 (3b)에서 $v\ne k\pi$로 놓고 등식과 부등식을 푼다.

                  (3c)

여기서 $y$ = $0$, $k$ = $0,\pm 1,\pm 2,\cdots$이다. 그러면 $z$평면에서 음의 실수축[$x<0$, $y$ = $0$]에 정의한 가지 자름이 $w$평면으로 넘어가 형성한 곡선을 [그림 3]처럼 그릴 수 있다. 이 곡선은 $v$에 대해 우함수(even function)라서 $v$축에 대칭이다. 먼저 표본화 함수(sampling function) $\mathrm{Sa}(v)$가 0보다 큰 범위인 $2n\pi <v<(2n+1)\pi$를 시작으로 $u$의 범위를 결정한다. 여기서 가지 번호 $n$은 $n\ge 0$으로 제한한다.

• $2n\pi <v<(2n+0.5)\pi$: $\cos v>0$이라서 $u$는 0보다 작음
• $(2n+0.5)\pi \le v<(2n+1)\pi$: $\cos v\le 0$으로 인해 $u$는 0과 같거나 큼

이 결과를 이해하면서 [그림 3]을 보면, 가지 번호 $n$에 대해 $v$ = $2n\pi$ 및 $u$는 음의 무한대에서 출발해 $v$ = $(2n+0.5)\pi$에서 $u$ = $0$ 되며, $v$ = $(2n+1)\pi$ 및 $u$가 무한대로 점근하는 방식으로 곡선이 끝난다. 가지 번호 $n$ = $0$ 혹은 $v$ = $0$인 경우는 가지 자름을 특별하게 선정한다. 왜냐하면 $v/\sin v$ = $1/\mathrm{Sa}(v)$는 $v$ = $0$에서 잘 정의되기 때문이다. 식 (3b)에 $v$ = $0$을 넣으면, $u<0$인 모든 값이 가능하다. 다만 $u$ = $-1$ 혹은 $x$ = $-e^{-1}$에서 기울기가 무한대로 가서 함수의 다가성이 생긴다. 그래서 [그림 3]과 같이 $v$ = $0$ 및 $u$ = $-1$에서 가지 자름을 다시 만들게 되어, $(u,v)$ = $(-1,0)$은 가지점(branch point)이 된다. 이를 이해하기 위해 $W(x)$의 미분을 구한다.

                  (4)

식 (4)에서 분모가 0이 되는 경우는 $w$ = $-1$이 유일하다. 함수 $W(x)$의 다가성을 해석적으로 만들려고 검정색 곡선은 $n$ = $0$에 넣고, 파란색 곡선은 $n$을 하나 더 낮추어 $n$ = $-1$로 배정한다. [그림 1]의 제시처럼 $x$ = $-e^{-1}$을 기준으로 해 $W_0(x)$와 $W_{-1}(x)$를 각각 정의한다. 이로 인해 $n<0$인 경우에 대한 가지 자름을 만드는 기준은 $n\ge 0$ 조건과 약간 달라진다.

• $(2n+1.5)\pi <v<(2n+2)\pi$: $\cos v>0$이라서 $u$는 0보다 작음
• $(2n+1)\pi <v\le (2n+1.5)\pi$: $\cos v\le 0$으로 인해 $u$는 0과 같거나 큼

가지 번호가 $n$ = $0$인 $W_0(x)$는 실수 범위의 정의역이 넓어서, $n$ = $0$은 주요 가지(principal branch)가 된다. 이상에 나온 논의를 바탕으로 [그림 3]에 나온 굵은 선 모양의 가지 자름은 $v$를 변화시키면서 $(u,v)$ = $(-v\cos v/\sin v,v)$인 궤적으로 그린다.

람베르트 W 함수는 고차 방정식의 해법을 찾는 과정에서 우연히 발견되었다[1]. 람베르트는 1758년에 $x^m-x+q$ = $0$의 답을 멱급수의 반전(inversion of power series)으로 찾았다. 여기서 $m$은 자연수, $q$는 상수이다. 요즘은 라그랑주 반전 정리(Lagrange inversion theorem)로 편하게 이 방정식을 풀 수 있다. 그 후 1783년오일러 76세, 조선 정조 시절에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)는 변수 치환을 통해 더 쉽게 답을 얻는 방법을 제시했다. 오일러의 생각을 따라가려고 원래 고차 방정식에서 $m$ = $\alpha /\beta$, $q$ = $(\alpha -\beta )c$로 놓고 $x$ = $u^{-\beta }$로 치환한다.

                  (5a)

식 (5a)에 대해 $\beta \to \alpha$로 가는 극한을 적용해서 정리한다.

                  (5b)

람베르트 W 함수 형태로 만들기 위해 $\alpha$ = $1$로 두고 간략화한다.

                  (5c)

만약 $\alpha \ne 1$이 아니면 식 (5b)의 양변에 $\alpha$를 곱해서 $\alpha \log u$ = $\log u^{\alpha }$ = $\alpha c{u}^{\alpha }$로 만든다. 그러면 $t$ = $u^{\alpha }$인 치환을 통해 다시 식 (5b)와 같은 형태가 될 수 있다. 이 모두를 종합한 결과식을 보면 신기하게도 고차 방정식 $x^m-x+q$ = $0$은 람베르트 W 함수 $W(x)$를 내재하고 있다.

람베르트 W 함수가 도입됨으로 인해 지수와 일차 함수, 로그와 일차 함수, 밑수와 지수가 함께 변하는 방정식 등을 손쉽게 해결할 수 있다. 예를 들어, $e^{-ax}$ = $bx+c$를 식 (5c)와 같은 방식으로 풀어본다.

                  (6a)

지수 관계인 $2^4$ = $4^2$처럼 밑수와 지수가 서로 바뀌는 방정식의 결과도 람베르트 W 함수로 공식화된다.

                  (6b)

마찬가지로 밑수와 지수가 같은 지수 함수의 역함수도 람베르트 W 함수에 속한다.

                  (6c)

람베르트 W 함수의 급수해는 라그랑주 반전 정리(Lagrange inversion theorem)로 손쉽게 획득한다. 식 (1)에 따라 $x$ = $f(y)$ = $y{e}^y$로 놓고 역함수를 써서 $y$ = $g(x)$ = $f^{-1}(x)$를 계산한다.

                          (7a)

                  (7b)

식 (7b)에 나온 무한 급수의 수렴 구간은 비율 판정(ratio test)으로 결정한다.

                  (7c)

따라서 $|x|<e^{-1}$라면 식 (7b)는 절대 수렴한다.

[참고문헌]

[1] R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, and D. E. Knuth, "On the Lambert W function," Adv. Comput. Math., vol. 5, pp. 329–359, Dec. 1996.

[2] E. M. Wright, "Solution of the equation $z{e}^z$ = $a$", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, vol. 65, no. 2, pp. 193–203, 1959.

[다음 읽을거리]

1. 전염병 확산 미분 방정식