[경고] 아래 글을 읽지 않고 "에어리 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 에어리 함수의 변화 모습(출처: wikipedia.org)
빛 산란(light scattering)이나 렌즈 초점(lens focus) 변화를 분석할 때 쓰이는 에어리 함수(Airy function)는 에어리 미분 방정식(Airy differential equation)을 만족한다[1].
(1)식 (1)의 해 중 하나인 제1종 에어리 함수(Airy function of the first kind) $\operatorname{Ai}(x)$는 무한 적분을 이용해서 정의한다.
(2)식 (2)를 식 (1)에 직접 대입해서 $\operatorname{Ai}(x)$는 식 (1)의 타당한 해임을 보일 수 있다.
(3)식 (3)에서 유도한 마지막 식이 0이 되는 이유는 복소 해석학 혹은 함수론(complex analysis or complex function theory) 때문이다.
[그림 2] 제1종 에어리 함수를 위한 닫힌 경로(출처: wikipedia.org)
[그림 2]처럼 실수축에 위치한 적분 경로를 복소 반평면으로 확대한다. 그러면 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)에 의해 적분값은 0이 된다.
(4)여기서 $R$이 커짐에 따라 경로 $c_1$상의 적분값은 조르당의 보조 정리(Jordan's Lemma)에 의해 0이 된다.[∵ $z$의 허수부가 0보다 매우 커져서 $e^{iz}$는 지수 함수적으로 감쇠한다.]
식 (2)를 참고해서 제2종 에어리 함수(Airy function of the second kind) $\operatorname{Bi}(x)$도 비슷하지만 식 (2)와 독립되게 정의한다.
(5)여기서 사인 함수는 식 (2)의 코사인 함수와 독립이어서 도입되며, 지수 함수는 $\operatorname{Bi}(x)$가 에어리 미분 방정식의 해가 되도록 돕는다. 식 (3)과 동일하게 $\operatorname{Bi}(x)$를 넣고 미분 방정식을 풀어쓴다.
(6)식 (6)의 최종 결과도 복소 함수론으로 증명해야 한다. [그림 2]와 다르게 실수축과 허수축이 모두 포함되도록 적분 경로를 설정한다.
[그림 3] 제2종 에어리 함수에 쓰는 닫힌 경로
경로 $c_1, c_2, c_3$이 닫히도록 복소수 $z$를 정의해서 코쉬의 적분 정리에 넣는다.
(7)적분 구간이 $[0, -R]$로 가는 경우도 식 (7)과 비슷하게 구해서 적분값을 $i$로 계산한다. 이 두 결과를 식 (6)에 넣으면 최종값은 0이 되어 유도가 완성된다.
다만 $t$가 커질 때 피적분 함수의 위상은 $t^3$ 크기로 빠르게 변화해서 적분이 존재하는지 확인해야 한다. 식 (2)에 부분 적분을 적용해서 제1종 에어리 함수가 수렴하는 특성을 증명할 수 있다.
(8)여기서 $a$는 분모를 0이 되지 않기 위해 선택한 0보다 큰 적당한 양수이다. 아니면 $u_n$ = $(2n+1) \pi/2$ = $t_n^3/3 + xt_n$으로 두고, 적분 구간을 $\pi$로 잘라서 교대 급수(alternating series)를 만든다.
(9)여기서 $u$ = $t^3 + xt$, $n$ = $1,2,\cdots$이다. 항 $a_n$으로 나타낸 적분은 $n$이 커질수록 구간이 계속 짧아져서 적분값의 크기는 줄어든다. 그래서 $a_n$은 각 항의 크기가 단조 감소하며 $0$으로 수렴하기 때문에, 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)에 의해 에어리 함수는 수렴한다. 제2종 에어리 함수에 대해서도 동일한 논리를 적용해서 수렴성을 이끌어낼 수 있다.
[그림 4] 함수값 $\operatorname{Ai}(0)$ 계산에 사용되는 적분 경로
에어리 함수는 위상이 3차 함수로 변해서 함수값 계산이 쉽지 않다. 다행히 $x$ = $0$인 경우는 수월하게 답이 나온다. 식 (2)에 $x$ = $0$를 대입해서 지수 함수 형태로 만든다.
(10a)식 (10a)에서 $e^{iu}$를 포함한 적분은 닫힌 경로를 [그림 4]처럼 선택해서 결과를 얻는다.
(10b)여기서 $\Gamma(x)$는 감마 함수(gamma function), $c_2$상의 적분은 피적분 함수가 지수 함수적으로 감쇠해서 0, $c_4$를 가진 적분은 반지름이 너무 작아서 0이 된다. 피적분 함수가 $e^{-iu}$인 경우는 [그림 4]를 쓸 수 없고 허수부가 0보다 작은 닫힌 경로[그림 4에 나온 경로를 $x$축에 대해 대칭한 경로]를 선택한다.
(10c)식 (10b)와 (10c)를 식 (10)에 넣어서 $\operatorname{Ai}(0)$를 결정한다.
(11a)여기서 $i$ = $e^{i \pi/2}$이다. 식 (11a)에 다시 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)으로 만든 $\Gamma(1/3) \sin(\pi/3) / \pi$ = $1 / \Gamma(2/3)$을 적용해서 최종 결과를 얻는다.
(11b)식 (2)를 미분해서 에어리 함수의 도함수도 구한다.
(12)함수값 $\operatorname{Ai}(0)$처럼, 식 (12)의 첫째식에 $x$ = $0$을 대입해서 $\operatorname{Ai}'(0)$을 계산한다.
(13a)식 (13a)에 식 (10b)와 (10c)를 대입해서 정리한다.
(13b)
(13c)식 (11b)와 (13c)의 유도 과정을 참고해서 $\operatorname{Bi}(0)$과 $\operatorname{Bi}'(0)$을 유도한다.
(14a)
(14b)
(15a)
(15b)지금과 같이 식 (2)와 (5)를 적분해서 모든 $x$에 대한 에어리 함수값을 모두 구할 수 있지만, 계속 이런 방식으로 적분할 수는 없다. 그래서 에어리 함수의 근본인 에어리 미분 방정식으로 돌아가서, 에어리 함수와 베셀 함수(Bessel function) 사이의 관계식을 도출한다[1]. 이를 위해 $u$ = $-x$, $y(x)$ = $\sqrt{u} \phi(u)$로 변수 치환한다.
(16a)
(16b)다시 $v$ = $(2/3) u^{3/2}$로 치환해서 식 (16b)를 다시 기술한다.
(16c)식 (16c)의 마지막식은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)이므로, 서로 독립적인 두 해는 $\phi$ = $J_{\pm 1/3}(v)$, $y$ = $\sqrt{-x}J_{\pm 1/3}[2/3\cdot(-x)^{3/2}]$이다. 따라서 입력이 음수인 에어리 함수를 베셀 함수의 선형 결합으로 표현한다.
(17a)여기서 $c_1, c_2, c_3, c_4$는 결정해야 할 상수이다. 식 (17a)의 첫째식에 $\operatorname{Ai}(0)$, $\operatorname{Ai}'(0)$을 대입해서 $c_1, c_2$를 정한다.
(17b)
(17c)식 (17b)와 (17c)를 각각 풀어서 $c_1$ = $c_2$ = $1/3$을 얻어서 식 (17a)의 첫째식에 대입한다. 마찬가지 방식으로 $c_3, c_4$를 계산한다.
(17d)식 (17d)에 따라 $c_3$ = $1/\sqrt{3}$, $c_4$ = $-1/\sqrt{3}$이다. 상수 $c_1, c_2, c_3, c_4$를 식 (17a)에 넣어서 공식을 완성한다.
(18)여기서 $x \ge 0$이다. 에어리 함수의 입력이 0보다 크면, 식 (18)에 $x$ 대신 $-x$를 넣는다. 다만 베셀 함수 입력을 다룰 때는 [그림 4]에 있는 가지 자름(branch cut)처럼 음의 실수축에 주의해야 한다. 차수가 1/3인 제1종 베셀 함수는 다음과 같은 과정을 거쳐 제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function)가 된다.
(19)여기서 베셀 함수에 해석적 연속(analytic continuation) $J_\nu(e^{i \pi} z)$ = $e^{i \nu \pi} J_\nu( z)$을 적용한다. 다음 단계로 식 (19)를 식 (18)에 넣어서 간략화한다.
(20)여기서 $x \ge 0$이다.
[그림 5] 물잔이 렌즈 역할해서 생긴 소작(燒灼, caustic) 현상(출처: wikipedia.org)
베셀 함수랑 비슷해 보이지만, 다루기가 매우 까다로운 에어리 함수는 도대체 어디에 사용될까? 에어리 함수는 파동(wave), 더 정확히는 광학(optics)에 주로 사용한다[2], [3]. 파동의 중요한 특징은 위상(phase)이라서, 파동이 특정 위치 $\bar r$ = $(x, y, z)$에서 가지는 위상 $\phi(r)$을 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 정의한다.
(21)여기서 $k_0$은 진공 중의 파수, $\phi_0$은 기준 위상이다. 식 (21)에 나온 제곱근 함수를 그대로 사용할 수 있으면 좋겠지만, 제곱근 함수는 적분하기 쉽지 않다. 그래서 식 (21)은 주로 테일러 급수(Taylor series)로 전개한 멱급수(power series)로 어림해서 사용된다. 예를 들어, 식 (21)을 $x$에 대해 3차 항까지 전개해서 위상을 $\phi(r)$ $\approx$ $ax^3 + bx^2 + cx+ d$로 근사한다. 이 3차 방정식(cubic equation)에 변수 치환을 해서 위축된 3차 방정식(depressed cubic equation)을 만든다[3].
(22)여기서 $p,q$는 계수 $a,b,c,d$로 만드는 상수, $x$ = $u - b \mathbin{/}(3a)$이다. 만약 테일러 급수를 2차 항까지만 쓰면, 이 경우는 프레넬 근사(Fresnel approximation)가 되고, 프레넬 적분(Fresnel integral)이 관련된다. 위상 성분인 식 (22)가 파동 성질에 끼치는 기여는 연속 파수 $\zeta$를 쓰는 푸리에 변환 형태로 표현된다.
(23)여기서 $p,q,s$는 $\zeta$에 대해 적당한 상수, $x$ = $p/(3s)^{1/3}$, 적분 핵심(integral kernel)인 $F(\zeta)$는 $e^{i \phi}$보다 매우 느리게 변한다고 가정한다.
식 (23)은 빛 산란을 분석할 때 에어리 함수가 등장하는 수학적 논지를 보여주지만, 물리적 이해는 또 다른 차원의 문제이다. 에어리 함수의 특성을 알기 위해 식 (1)의 $x$를 상수 $x_0$으로 가정한다. 그러면 식 (1)은 전형적인 상수 계수 선형 상미분 방정식이 되어서 해가 매우 쉽게 구해진다. 만약 $x_ 0 > 0$이면, 해는 [그림 1]처럼 지수적으로 감쇠하거나 발산한다. 하지만 $x_0 < 0$이면, 해가 삼각 함수의 선형 결합으로 바뀌어 $x_0$에 따라 ($+$)와 ($-$)를 진동한다. 이러한 에어리 함수의 수렴과 진동 특성을 보여주는 예는 [그림 5]에 보여준 소작(燒灼, caustic) 현상이다. 소작은 광선이 동위상으로 모여서 기하 광학(geometrical optics)이 발산하는 영역이다. 에어리 함수 관점에서는 $x$ = $0$을 만족하는 선이 바로 소작선(caustic line)이다. 소작선에 근접해 수렴하는 광선은 $x > 0$, 멀어져 발산하는 경우는 $x < 0$이 되어야 한다. 이 현상은 제1종 에어리 함수의 변화 특성인 [그림 1]이 잘 보여주고 있다. 광선의 수렴과 발산을 이해하는 출발점은 급속 하강 방법(method of steepest descent)에 나오는 안장점(saddle point) 유무이다. 안장점은 접선 기울기가 0이면서 극값을 가지지 않는 점이다. 식 (23)에서 $x$ = $0$일 때는 위상이 $t^3/3$으로 변하며, $t$ = $0$에서 기울기는 0이지만 이 점 근방에서 위상값은 계속 커진다. 그래서 $t$ = $0$은 안장점이 되고, 위상이 빠르게 변하는 적분은 잘 수렴한다. 더 구체적으로 분석하려면 위상 항을 미분한 $\delta \phi$를 적용한다.
(24)만약 $x > 0$이면, 안장점은 아니지만 $t$ = $0$ 근처에서 기울기가 $x$만큼 더 커진 ($+$)라서 위상값은 안정적으로 더 빨리 커진다. 그래서 여전히 적분은 되지만, [그림 1]처럼 적분값이 감쇠하는 특성으로 나타난다. 하지만 $x < 0$에서는 기울기가 ($-$)도 될 수 있어서 위상값의 증감이 생기고, 적분값은 진동하는 방식으로 도출된다. 따라서 식 (24)는 위상 관점에서 본 페르마의 원리(Fermat's principle)이다[2]. 통상적인 페르마의 원리는 빛이 이동하는 시간이 최소가 되는 경로가 실체라는 뜻이다. 위상 기준으로는 위상 차이 $\delta \phi$의 크기가 최소 혹은 0이 되는 경로가 실재라고 생각하면 쉽다.
[참고문헌]
[1] V. Lakshminarayanan and L. S. Varadharajan, Chapter 4. Airy Functions, Special Functions for Optical Science and Engineering, SPIE Press, 2015. (방문일 2024-01-12)
[2] R. D. Blandford and K. S. Thorne, "7. Geometric Optics", Applications of Classical Physics, 2012. (방문일 2024-01-12)
[3] N. C. Albertsen, P. Balling and N. E. Jensen, "Caustics and caustic corrections to the field diffracted by a curved edge," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 25, no. 3, pp. 297–303, May 1977.
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