2024년 1월 14일 일요일

에어리 미분 방정식(Airy Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "에어리 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 에어리 함수의 변화 모습(출처: wikipedia.org)

빛 산란(light scattering)이나 렌즈 초점(lens focus) 변화를 분석할 때 쓰이는 에어리 함수(Airy function)에어리 미분 방정식(Airy differential equation)을 만족한다[1].

                          (1)

식 (1)의 해 중 하나인 제1종 에어리 함수(Airy function of the first kind) Ai(x)는 무한 적분을 이용해서 정의한다.

                          (2)

식 (2)를 식 (1)에 직접 대입해서 Ai(x)는 식 (1)의 타당한 해임을 보일 수 있다.

                          (3)

식 (3)에서 유도한 마지막 식이 0이 되는 이유는 복소 해석학 혹은 함수론(complex analysis or complex function theory) 때문이다.

[그림 2] 제1종 에어리 함수를 위한 닫힌 경로(출처: wikipedia.org)

[그림 2]처럼 실수축에 위치한 적분 경로를 복소 반평면으로 확대한다. 그러면 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)에 의해 적분값은 0이 된다.

                          (4)

여기서 R이 커짐에 따라 경로 c1상의 적분값은 조르당의 보조 정리(Jordan's Lemma)에 의해 0이 된다.[∵ z의 허수부가 0보다 매우 커져서 eiz는 지수 함수적으로 감쇠한다.]
식 (2)를 참고해서 제2종 에어리 함수(Airy function of the second kind) Bi(x)도 비슷하지만 식 (2)와 독립되게 정의한다.

                          (5)

여기서 사인 함수는 식 (2)의 코사인 함수와 독립이어서 도입되며, 지수 함수는 Bi(x)가 에어리 미분 방정식의 해가 되도록 돕는다. 식 (3)과 동일하게 Bi(x)를 넣고 미분 방정식을 풀어쓴다.

                          (6)

식 (6)의 최종 결과도 복소 함수론으로 증명해야 한다. [그림 2]와 다르게 실수축과 허수축이 모두 포함되도록 적분 경로를 설정한다.
 
[그림 3] 제2종 에어리 함수에 쓰는 닫힌 경로

경로 c1,c2,c3이 닫히도록 복소수 z를 정의해서 코쉬의 적분 정리에 넣는다.

                          (7)

적분 구간이 [0,R]로 가는 경우도 식 (7)과 비슷하게 구해서 적분값을 i로 계산한다. 이 두 결과를 식 (6)에 넣으면 최종값은 0이 되어 유도가 완성된다.
다만 t가 커질 때 피적분 함수의 위상은 t3 크기로 빠르게 변화해서 적분이 존재하는지 확인해야 한다. 식 (2)에 부분 적분을 적용해서 제1종 에어리 함수가 수렴하는 특성을 증명할 수 있다.

                          (8)

여기서 a는 분모를 0이 되지 않기 위해 선택한 0보다 큰 적당한 양수이다. 아니면 un = (2n+1)π/2 = tn3/3+xtn으로 두고, 적분 구간을 π로 잘라서 교대 급수(alternating series)를 만든다.

                          (9)

여기서 u = t3+xt, n = 1,2,이다. 항 an으로 나타낸 적분은 n이 커질수록 구간이 계속 짧아져서 적분값의 크기는 줄어든다. 그래서 an은 각 항의 크기가 단조 감소하며 0으로 수렴하기 때문에, 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)에 의해 에어리 함수는 수렴한다. 제2종 에어리 함수에 대해서도 동일한 논리를 적용해서 수렴성을 이끌어낼 수 있다.

[그림 4] 함수값 Ai(0) 계산에 사용되는 적분 경로

에어리 함수는 위상이 3차 함수로 변해서 함수값 계산이 쉽지 않다. 다행히 x = 0인 경우는 수월하게 답이 나온다. 식 (2)에 x = 0를 대입해서 지수 함수 형태로 만든다.

                          (10a)

식 (10a)에서 eiu를 포함한 적분은 닫힌 경로를 [그림 4]처럼 선택해서 결과를 얻는다.

                          (10b)

여기서 Γ(x)감마 함수(gamma function), c2상의 적분은 피적분 함수가 지수 함수적으로 감쇠해서 0, c4를 가진 적분은 반지름이 너무 작아서 0이 된다. 피적분 함수가 eiu인 경우는 [그림 4]를 쓸 수 없고 허수부가 0보다 작은 닫힌 경로[그림 4에 나온 경로를 x축에 대해 대칭한 경로]를 선택한다.

                          (10c)

식 (10b)와 (10c)를 식 (10)에 넣어서 Ai(0)를 결정한다.

                          (11a)

여기서 i = eiπ/2이다. 식 (11a)에 다시 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)으로 만든 Γ(1/3)sin(π/3)/π = 1/Γ(2/3)을 적용해서 최종 결과를 얻는다.

                          (11b)

식 (2)를 미분해서 에어리 함수의 도함수도 구한다.

                          (12)

함수값 Ai(0)처럼, 식 (12)의 첫째식에 x = 0을 대입해서 Ai(0)을 계산한다.

                          (13a)

식 (13a)에 식 (10b)와 (10c)를 대입해서 정리한다.

                          (13b)

                          (13c)

식 (11b)와 (13c)의 유도 과정을 참고해서 Bi(0)과 Bi(0)을 유도한다.

                          (14a)

                          (14b)

                          (15a)

                          (15b)

지금과 같이 식 (2)와 (5)를 적분해서 모든 x에 대한 에어리 함수값을 모두 구할 수 있지만, 계속 이런 방식으로 적분할 수는 없다. 그래서 에어리 함수의 근본인 에어리 미분 방정식으로 돌아가서, 에어리 함수와 베셀 함수(Bessel function) 사이의 관계식을 도출한다[1]. 이를 위해 u = x, y(x) = uϕ(u)로 변수 치환한다.

                          (16a)

                          (16b)

다시 v = (2/3)u3/2로 치환해서 식 (16b)를 다시 기술한다.

                          (16c)

식 (16c)의 마지막식은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)이므로, 서로 독립적인 두 해는 ϕ = J±1/3(v), y = xJ±1/3[2/3(x)3/2]이다. 따라서 입력이 음수인 에어리 함수를 베셀 함수의 선형 결합으로 표현한다.

                          (17a)

여기서 c1,c2,c3,c4는 결정해야 할 상수이다. 식 (17a)의 첫째식에 Ai(0), Ai(0)을 대입해서 c1,c2를 정한다.

                          (17b)

             (17c)

식 (17b)와 (17c)를 각각 풀어서 c1 = c2 = 1/3을 얻어서 식 (17a)의 첫째식에 대입한다. 마찬가지 방식으로 c3,c4를 계산한다.

                  (17d)

식 (17d)에 따라 c3 = 1/3, c4 = 1/3이다. 상수 c1,c2,c3,c4를 식 (17a)에 넣어서 공식을 완성한다.

                          (18)

여기서 x0이다. 에어리 함수의 입력이 0보다 크면, 식 (18)에 x 대신 x를 넣는다. 다만 베셀 함수 입력을 다룰 때는 [그림 4]에 있는 가지 자름(branch cut)처럼 음의 실수축에 주의해야 한다. 차수가 1/3인 제1종 베셀 함수는 다음과 같은 과정을 거쳐 제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function)가 된다.

             (19)

여기서 베셀 함수에 해석적 연속(analytic continuation) Jν(eiπz) = eiνπJν(z)을 적용한다. 다음 단계로 식 (19)를 식 (18)에 넣어서 간략화한다.

                          (20)

여기서 x0이다.

[그림 5] 물잔이 렌즈 역할해서 생긴 소작(燒灼, caustic) 현상(출처: wikipedia.org)

베셀 함수랑 비슷해 보이지만, 다루기가 매우 까다로운 에어리 함수는 도대체 어디에 사용될까? 에어리 함수는 파동(wave), 더 정확히는 광학(optics)에 주로 사용한다[2], [3]. 파동의 중요한 특징은 위상(phase)이라서, 파동이 특정 위치 r¯ = (x,y,z)에서 가지는 위상 ϕ(r)균일 평면파(uniform plane wave)처럼 정의한다.

                          (21)

여기서 k0은 진공 중의 파수, ϕ0은 기준 위상이다. 식 (21)에 나온 제곱근 함수를 그대로 사용할 수 있으면 좋겠지만, 제곱근 함수는 적분하기 쉽지 않다. 그래서 식 (21)은 주로 테일러 급수(Taylor series)로 전개한 멱급수(power series)로 어림해서 사용된다. 예를 들어, 식 (21)을 x에 대해 3차 항까지 전개해서 위상을 ϕ(r) ax3+bx2+cx+d로 근사한다. 이 3차 방정식(cubic equation)에 변수 치환을 해서 위축된 3차 방정식(depressed cubic equation)을 만든다[3].

                          (22)

여기서 p,q는 계수 a,b,c,d로 만드는 상수, x = ub/(3a)이다. 만약 테일러 급수를 2차 항까지만 쓰면, 이 경우는 프레넬 근사(Fresnel approximation)가 되고, 프레넬 적분(Fresnel integral)이 관련된다. 위상 성분인 식 (22)가 파동 성질에 끼치는 기여는 연속 파수 ζ를 쓰는 푸리에 변환 형태로 표현된다.

                          (23)

여기서 p,q,sζ에 대해 적당한 상수, x = p/(3s)1/3적분 핵심(integral kernel)F(ζ)eiϕ보다 매우 느리게 변한다고 가정한다.
식 (23)은 빛 산란을 분석할 때 에어리 함수가 등장하는 수학적 논지를 보여주지만, 물리적 이해는 또 다른 차원의 문제이다. 에어리 함수의 특성을 알기 위해 식 (1)의 x를 상수 x0으로 가정한다. 그러면 식 (1)은 전형적인 상수 계수 선형 상미분 방정식이 되어서 해가 매우 쉽게 구해진다. 만약 x0>0이면, 해는 [그림 1]처럼 지수적으로 감쇠하거나 발산한다. 하지만 x0<0이면, 해가 삼각 함수의 선형 결합으로 바뀌어 x0에 따라 (+)와 ()를 진동한다. 이러한 에어리 함수의 수렴과 진동 특성을 보여주는 예는 [그림 5]에 보여준 소작(燒灼, caustic) 현상이다. 소작은 광선이 동위상으로 모여서 기하 광학(geometrical optics)이 발산하는 영역이다. 에어리 함수 관점에서는 x = 0을 만족하는 선이 바로 소작선(caustic line)이다. 소작선에 근접해 수렴하는 광선은 x>0, 멀어져 발산하는 경우는 x<0이 되어야 한다. 이 현상은 제1종 에어리 함수의 변화 특성인 [그림 1]이 잘 보여주고 있다. 광선의 수렴과 발산을 이해하는 출발점은 급속 하강 방법(method of steepest descent)에 나오는 안장점(saddle point) 유무이다. 안장점은 접선 기울기가 0이면서 극값을 가지지 않는 점이다. 식 (23)에서 x = 0일 때는 위상이 t3/3으로 변하며, t = 0에서 기울기는 0이지만 이 점 근방에서 위상값은 계속 커진다. 그래서 t = 0은 안장점이 되고, 위상이 빠르게 변하는 적분은 잘 수렴한다. 더 구체적으로 분석하려면 위상 항을 미분한 δϕ를 적용한다.

                          (24)

만약 x>0이면, 안장점은 아니지만 t = 0 근처에서 기울기가 x만큼 더 커진 (+)라서 위상값은 안정적으로 더 빨리 커진다. 그래서 여전히 적분은 되지만, [그림 1]처럼 적분값이 감쇠하는 특성으로 나타난다. 하지만 x<0에서는 기울기가 ()도 될 수 있어서 위상값의 증감이 생기고, 적분값은 진동하는 방식으로 도출된다. 따라서 식 (24)는 위상 관점에서 본 페르마의 원리(Fermat's principle)이다[2]. 통상적인 페르마의 원리는 빛이 이동하는 시간이 최소가 되는 경로가 실체라는 뜻이다. 위상 기준으로는 위상 차이 δϕ의 크기가 최소 혹은 0이 되는 경로가 실재라고 생각하면 쉽다.

[참고문헌]
[1] V. Lakshminarayanan and L. S. Varadharajan, Chapter 4. Airy FunctionsSpecial Functions for Optical Science and Engineering, SPIE Press, 2015. (방문일 2024-01-12)
[2] R. D. Blandford and K. S. Thorne, "7. Geometric Optics", Applications of Classical Physics, 2012. (방문일 2024-01-12)
[3] N. C. Albertsen, P. Balling and N. E. Jensen, "Caustics and caustic corrections to the field diffracted by a curved edge," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 25, no. 3, pp. 297–303, May 1977.

댓글 없음 :

댓글 쓰기

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.