2022년 10월 2일 일요일

프레넬 적분(Fresnel Integral)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프레넬 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 프레넬 사인 및 코사인 적분(출처: wikipedia.org)

장애물에 의한 전자파 회절(回折, diffraction)이나 프레넬 영역(Fresnel region)에서 전자파 복사를 다룰 때에 필연적으로 등장하는 특수 함수가 프레넬 적분(Fresnel integral) $F(x)$이다.

                  (1)

프레넬 적분의 실수부와 허수부는 각각 프레넬 코사인 적분(Fresnel cosine integral) $C(x)$ 및 프레넬 사인 적분(Fresnel sine integral) $S(x)$로 부른다.

                  (2)

                  (3)

변수 치환을 통해 프레넬 적분은 유명한 오차 함수(error function) $\operatorname{erf}(x)$로 표현 가능하다. 

                  (4a)

                  (4b)

오차 함수 $\operatorname{erf}(\cdot)$의 입력 변수가 무한대로 가면 오차 함수는 1에 수렴하므로, $x$가 무한대로 갈 때에 $F(x)$는 다음 값에 수렴한다.

                  (5)

[그림 1]도 $x$가 커질 때, $C(x)$와 $S(x)$가 0.5에 수렴하는 모습을 점근적으로 보여준다. 식 (1)의 마지막식을 써서 $C(x)$와 $S(x)$도 $\operatorname{erf}(\cdot)$로 공식화한다.

                  (6)

                  (7)

회절 이론에서는 프레넬 적분과 상보적인 적분 구간을 선택하기도 한다. 그래서 $x$에서 무한대로 가는 적분 구간을 가진 상보 프레넬 적분(complementary Fresnel integral)을 $F_c(x)$로 표기한다.

                  (8)

식 (8)에 바탕을 두고 적분 변수를 조금 바꾼 다음 적분을 상보 프레넬 적분 $F_c(x)$로 쉽게 변환할 수 있다.

                  (9)

입력 변수 $x$가 작을 때는 프레넬 적분을 테일러 급수로 전개해서 적분한 후 계산한다.

             (10)

수학적으로 식 (10)의 무한 급수는 $x$에 관계없이 항상 수렴한다. 하지만 실제 계산에서는 $x$가 증가하면 거듭제곱이 함께 커지기 때문에, 고정된 계산 정밀도로 인한 절단 오차(truncation error)가 우세하여 결과값이 심하게 불안정해진다. 이를 피하려면 급수 전개를 $x$가 아닌 $1/x$에 대해서 하든지, 혹은 임의 정밀도 산술(arbitrary precision arithmetic)을 이용해 식 (10)을 더해야 한다. 임의 정밀도 산술을 적용한 수치 해석 도구로는 Arb[3]가 있다. 

[참고문헌]
[1] C. W. Martz, Tables of the Complex Fresnel Integral, National Aeronautics and Space Administration (NASA), USA, 1964.
[2] M. T. Abuelma'atti, "An improved approximation to the Fresnel integral," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 37, no. 7, pp. 946–947, Jul. 1989.
[3] F. Johansson, "Arb - a C library for arbitrary-precision ball arithmetic," Arb 2.23.0 Documentation, 2022. (방문일 2022-10-02)

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