프레넬 적분(Fresnel Integral)

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1. 가우스 함수

[그림 1] 프레넬 사인 및 코사인 적분(출처: wikipedia.org)

장애물에 의한 전자파 회절(回折, diffraction)이나 프레넬 영역(Fresnel region)에서 전자파 복사를 다룰 때에 필연적으로 등장하는 특수 함수가 프레넬 적분(Fresnel integral) $F(x)$이다.

                  (1)

프레넬 적분의 실수부와 허수부는 각각 프레넬 코사인 적분(Fresnel cosine integral) $C(x)$ 및 프레넬 사인 적분(Fresnel sine integral) $S(x)$로 부른다.

                  (2)

                  (3)

식 (1)–(3)에 나온 프레넬 적분의 정의는 입력 변수(argument)를 $t^2$ 대신 $\pi t^2/2$를 선택하므로, 입력 변수가 $t^2$인 통상적인 정의와 구별하기 위해 식 (1)–(3)을 정규화 프레넬 적분(normalized Fresnel integral)으로 명하기도 한다. 변수 치환을 통해 프레넬 적분은 유명한 오차 함수(error function) $\mathrm{erf}(x)$로 표현 가능하다. 

                  (4a)

                  (4b)

오차 함수 $\mathrm{erf}(\cdot )$의 입력 변수가 무한대로 가면 오차 함수는 1에 수렴하므로, $x$가 무한대로 갈 때에 $F(x)$는 다음 값에 수렴한다.

                  (5)

[그림 1]도 $x$가 커질 때, $C(x)$와 $S(x)$가 0.5에 수렴하는 모습을 점근적으로 보여준다. 식 (1)의 마지막식을 써서 $C(x)$와 $S(x)$도 $\mathrm{erf}(\cdot )$로 공식화한다.

                  (6)

                  (7)

회절 이론에서는 프레넬 적분과 상보적인 적분 구간을 선택하기도 한다. 그래서 $x$에서 무한대로 가는 적분 구간을 가진 상보 프레넬 적분(complementary Fresnel integral)을 $F_c(x)$로 표기한다.

                  (8)

식 (8)에 바탕을 두고 적분 변수를 조금 바꾼 다음 적분을 상보 프레넬 적분 $F_c(x)$로 쉽게 변환할 수 있다.

                  (9)

입력 변수 $x$가 작을 때는 프레넬 적분을 테일러 급수로 전개해서 적분한 후 계산한다.

             (10)

수학적으로 식 (10)의 무한 급수는 $x$에 관계없이 항상 수렴한다. 하지만 실제 계산에서는 $x$가 증가하면 거듭제곱이 함께 커지기 때문에, 고정된 계산 정밀도로 인한 절단 오차(truncation error)가 우세하여 결과값이 심하게 불안정해진다. 이를 피하려면 급수 전개를 $x$가 아닌 $1/x$에 대해서 하든지, 혹은 임의 정밀도 산술(arbitrary precision arithmetic)을 이용해 식 (10)을 더해야 한다. 임의 정밀도 산술을 적용한 수치 해석 도구로는 Arb[3]가 있다.

   1. 기본(basics)   

[기본 관계식]

                         (1.1)

[증명]

입력 변수 $x$는 적분 구간에 들어가므로 식 (1.1)이 그대로 성립한다.

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식 (1.1)에 의해 모든 프레넬 적분은 기함수(odd function)이다.

[평행 이동(translation)]

                         (1.2)

피적분 함수가 평행 이동 되는 경우는 적분 구간을 나누어서 해결한다.

   2. 급수 표현식(series representation)   

                         (2.1)

[증명]

식 (10)을 정리해서 식 (2.1)을 각각 얻는다.

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급수 표현식을 보면 $x$ = $0$ 근처에서 $C(x)\approx x$, $S(x)\approx (\pi /6)x^3$처럼 변한다. 이러한 성질은 식 (3.1a)에 고스란히 나타난다.

   3. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (3.1a)

                  (3.1b)

[증명]

식 (3.1a)는 프레넬 적분의 정의에 값을 넣거나 미분해서 증명한다. 오차 함수를 이용한 식 (5)는 식 (3.1b)를 의미한다. 

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프레넬 코사인 적분 $C(x)$는 0에서 시작하지만 $x$ = $0$ 근처에서 기울기가 1이라서 매우 빠르게 값이 증가한다. 식 (3.1b)처럼 정규화 프레넬 적분은 $x$가 무한대로 갈 때 점근값이 매우 간단한 $1/2$이다.

   4. 부정적분(indefinite integral)   

[삼각 함수]

                         (4.1a)

                         (4.1b)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]

변수 치환 $a{x}^2$ = $(\pi /2)(cx{)}^2$을 만족하도록 $c$ = $\sqrt{(2a)/\pi }$로 놓고 적분을 정리한다.

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식 (4.1)에서 $a$ = $1$, $b$ = $0$으로 둔 경우가 입력 변수가 $x^2$인 통상적인 프레넬 적분이다.

[참고문헌]

[1] C. W. Martz, Tables of the Complex Fresnel Integral, National Aeronautics and Space Administration (NASA), USA, 1964.

[2] M. T. Abuelma'atti, "An improved approximation to the Fresnel integral," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 37, no. 7, pp. 946–947, Jul. 1989.

[3] F. Johansson, "Arb - a C library for arbitrary-precision ball arithmetic," Arb 2.23.0 Documentation, 2022. (방문일 2022-10-02)