2020년 9월 27일 일요일

가우스 함수(Gaussian Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "디랙 델타 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 가우스 함수의 예(출처: wikipedia.org)

부드러운 종 모양을 가진 가우스 함수(Gaussian function)지수 함수(exponential function)를 이용해 다음처럼 정의한다.

                  (1)

여기서 $\mu$는 가우스 함수의 중심, $\sigma$는 종 모양이 퍼진 정도를 나타나낸다. 통계(statistics)에 적용한 가우스 함수는 $\mu$가 평균(mean or average), $\sigma$는 표준 편차(standard deviation)인 정규 분포(normal distribution)와 동일하다. 매개변수 $\mu$ = $0$ 및 $\sigma$ = $1/\sqrt{2}$인 가우스 함수의 전체 실수에 대한 정적분(definite integral)은 다음처럼 증명할 수 있다.

                       (2)

식 (2)를 이용해 식 (1)에 대한 정적분도 다음과 같이 계산한다.

                       (3)

지수 함수의 테일러 급수(Taylor series)를 이용해서 가우스 함수를 구성하는 $e^{-x^2}$을 급수 전개할 수 있다.

                       (4)

[그림 2] 오차 함수의 성질(출처: wikipedia.org)

가우스 함수의 유한 정적분으로 오차 함수(error function) $\operatorname{erf}(x)$를 정의한다.

                       (5)

가우스 함수는 정규 분포에 사용되기 때문에, 측정 오차는 가우스 함수와 깊이 관계된다. 그래서 식 (5)에 오차 함수란 이름이 붙었다. 변수 $x$가 무한대로 가면, 식 (2)에 의해 $\lim_{x \to \infty} \operatorname{erf}(x)$ = $1$이 된다. 오차 함수의 켤레인 상보 오차 함수(complementary error function)는 다음과 같다.

                       (6)

식 (4)를 이용해서 오차 함수에 대한 테일러 급수(Taylor series)를 다음처럼 유도할 수 있다.

                       (7)


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