2010년 7월 13일 화요일

테일러 급수(級數, Taylor series)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "테일러 급수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한의 의미
2. 미분법의 의미
3. 적분법의 의미
4. 무한 급수


Illustration of the Exponential function
[그림 1] $\exp(x)$의 테일러 급수 전개(출처: wikipedia.org)

공학 분야에서 테일러 급수는 약방의 감초처럼 쓰임새가 많은 무한 급수이다. 테일러 급수의 발견자는 당연히 테일러(Brook Taylor)이다.
예를 들어 [그림 1]에 제시한 $\exp(x)$의 테일러 급수 전개를 보자. 파란색은 $\exp(x)$의 함수값이며 빨간색은 급수 전개를 하여 오차를 줄여가는 과정을 보여준다.
즉, 식 (1)과 같은 테일러 급수를 사용하는 이유는 복잡한 함수의 특성 자체를 고려하지 않고 멱급수(冪級數, power series)만 계산해서 함수값을 손쉽게 얻을 수 있기 때문이다.

              (1)

여기서 $f^{(n)}$은 함수 $f(x)$를 $n$번 미분한 것을 나타낸다.
sin, cos, tan, exp, log 같은 함수는 컴퓨터로 쉽게 계산할 수 있지만 내가 직접 함수값을 얻고자 하면 접근법이 잘 생각나지 않는다. 이때 식 (1)의 우변에 제시한 멱급수와 $x = a$에서 미분값을 알면 식 (1)의 좌변값을 얻을 수 있다.

식 (1)의 좌변과 우변이 서로 같다는 것은 한 눈에 보이지는 않는다.
이를 미분법과 적분법으로 증명을 해보자.

[증명: 미분법]
함수 $f(x)$의 미분이 $x = 0$에서 존재한다고 하면 극한의 정의에서 식 (2)가 반드시 성립해야 한다.

                         (2)

식 (2)의 둘째줄이 의미하는 것은 $f(x)$를 미분값으로 근사할 수 있으며 그 최대 오차는 $x$가 0에서 멀어지면 선형적으로 커질 수 있다는 것을 의미한다.
따라서, 식 (2)의 관계를 식 (3)으로 표현할 수 있다.

                         (3)

$R_1(x)$는 잉여항(剩餘項, remainder term)이다.
2차 미분도 존재한다면 식 (2), (3)과 유사하게 식 (4), (5)를 얻을 수 있다.

                         (4)

                         (5)

식 (3)을 미분해서 식 (5)와 비교하면 $R_1(x)$를 $R_2(x)$로 표현할 수 있다.

                         (6)

이 과정을 계속 반복하면 $x = 0$에 대한 테일러 급수를 얻을 수 있다. $a = 0$인 경우는 맥로린 급수(Maclaurin series)라고도 한다.
식 (1)에 있는 $x = a$에 대한 급수 전개는 좌표 변환을 통해 쉽게 증명할 수 있다.
______________________________

[증명: 적분법]
미분적분학의 기본 정리에 의해 식 (7)이 성립한다.

                         (7)

식 (7)을 이항한 후 부분 적분을 하면 식 (8)의 관계식을 얻을 수 있다.

                         (8)

식 (8)의 세째줄을 유도할 때 식 (9)를 사용하였다.

                         (9)

이 과정을 계속 반복하면 식 (10)을 얻을 수 있다.

                         (10)

여기서 $R_n(x)$는 라그랑쥐의 잉여항(剩餘項, Lagrange form of the remainder term)이며 식 (11)로 표시된다.

                         (11)
______________________________

라그랑쥐의 잉여항이 중요한 이유는 테일러 급수의 오차를 표현하기 때문이다. 적분형 평균값의 정리를 이용하면 이 최대 오차를 예측할 수 있다. 적분형 평균값의 정리는 어떤 함수의 적분값($\int_a^b f(t)~dt$)과 함수값($f(t)(b-a)$)이 동일한 어떤 점($t = c$)이 반드시 존재한다는 것이다. 적분형 평균값의 정리($\int_0^x f(t)g(t)~dt$ = $f(c) \int_0^x g(t)~dt$)에 따르면 적당한 $t = c$에 대해  식 (11)은 좀 더 단순화된 식 (12)로 표현할 수 있다.

                        (12)

여기서 $f(t) \to f^{(n+1)}(t)$, $g(t) \to (x-t)^n/n!$로 바꾸었다.
만약 $n+1$차 미분의 최대값을 $M$이라 하면 식 (1)에 제시한 테일러 급수의 최대 오차는 식 (13)으로 결정된다.

                         (13)

그런데, 테일러 급수는 만능인가? 예를 들어 [그림 2]에 있는 $f(x) = \exp(-1/x^2)$를 고려하자. 이 함수는 $x = 0$에서 연속이 아니므로 $f(0) = 0$으로 두어 연속이 되게 하자.
[그림 2] $\exp(-1/x^2)$의 변화 모양(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 함수 $f(x)$를 $x = 0$ 근방에서 미분하면 항상 그 값은 식 (14)로 표현할 수 있다.

                           (14)

여기서 $Q(x)$는 유한 차수를 가진 분수식(分數式, fractional expression)이다. $x \to 0$일 때, 항상 유한 차수를 가진 $Q(x)$보다 빠르게 exp 함수가 0으로 가므로 $x = 0$ 근방에서 식 (14)는 항상 0으로 간다.
이 결과($f^{(n)}(x \to 0) = 0$)를 식 (1)에 대입하여 테일러 급수 전개하면 $f(x) = 0$이 나온다.
하지만, [그림 2]에서 보듯이 원래의 $f(x)$는 $x = 0$ 이외에서는 항상 0이 아니다.
테일러 급수에는 설명할 수 없는 무언가 문제가 있는 것이다. (∵ 테일러 급수 관점으로 보면 특정점에서 미분해서 그 값이 항상 0이면 함수전체가 0이 된다. 하지만 식 (14)를 고려하면 이는 항상 참이 되는 것은 아니다.)
식 (10)에 있는 라그랑쥐의 잉여항 관점으로 보면 우리가 미분하더라도 오차를 줄일 수 없고 $f(x) = R_n(x)$가 되는 황당한 상황이 된다. 이런 경우는 식 (1)의 테일러 급수 전개에 대한 예외로 처리해야 한다.
테일러 급수에 대한 이런 문제점은 정의역(定義域, domain)을 실수가 아닌 복소수(complex number)로 확장하면 명확하게 풀 수 있다. 실수 영역에서는 문제점을 확인할 길이 없지만 복소수에서는 이것이 확연히 드러난다. 즉, 실수만으로 함수를 구성하면 도저히 해결할 수 없는 허점이 테일러 급수에 나타나게 된다. 이걸 제대로 이해하려면 복소 함수론(complex analysis)의 로랑 급수(Laurent series)를 도입해야 한다.
이런 이유로 코쉬가 해석 함수(解析函數, analytic function)에 대한 이론을 발전시킨 것이다.
[그림 3] 사면체의 회전 모습(출처: wikipedia.org)

식 (1)에 있는 멱급수의 개별항은 아래처럼 공식화할 수 있다.

                           (15)

식 (15)를 기하학적으로 생각하면 $n = 1$일 때는 선의 길이(0에서 $x$까지 길이)이며, $n = 2$ 경우는 (삼각형의) 면적, $n = 3$은 (사면체(四面體, tetrahedron)의) 부피, 임의의 $n$일 때는 $n$차원의 부피이다. 그런데, 각 차원들이 서로 종속되어 있으므로 $n$차원 부피를 계산할 때 분모에 계승(階乘, factorial)이 나타난다.
테일러 급수는 항의 수가 무한개인 무한 급수이므로 실제로 사용할 때는 급수의 수렴성을 판정해서 사용해야 한다.
수렴 판정법중에서 가장 쉬운 비율 판정(ratio test)을 이용해서 테일러 급수의 수렴을 판단해 보자.

             (16)

만약 $n$이 증가할 때 미분 계수가 커지지 않는다면 테일러 급수는 절대 수렴(absolutely convergent)하게 된다. 즉, 어느 영역에서나 수렴성을 보장받으면서 사용할 수 있다는 뜻이다.
아래 식 (17)-(19)가 테일러 급수가 절대 수렴하는 경우이다.
식 (20)에 있는 멱함수(power function)는 지수 $r$에 따라 절대 수렴하기도 하고 조건 수렴(conditionally convergent)하기도 한다.

테일러 급수인 식 (1)을 이용하면 초등 함수에 대한 급수 전개를 아래와 같이 쉽게 할 수 있다.

●                        (17: 오일러 수)

●                        (18: 삼각 함수의 합차 공식)

●                        (19: 삼각 함수의 합차 공식)

 (20: 뉴튼의 이항 정리)
      when $|x| < 1$

●   when $|x| < 1$              (21)
      ← 식 (20)에 $r = 1/2$를 대입하여 증명함

●       (22: 조화 급수)

●                    (23)
      when $|x| < 1$ and $(1+x)/(1-x) > 0$
      ← 식 (22)의 $x$에 $-x$를 대입하여 $-\log(1+x)$를 얻고 식을 (21)과 빼주면 증명됨
      ← $|x| < 1$이면 $y = (1+x)/(1-x)$는 항상 0보다 크기 때문에 $x = (y-1)/(y+1)$을 대입하면 식 (23)은 $y > 0$인 모든 로그 함수를 계산할 수 있음

[다음 읽을거리]
1. 복소수
2. 아름다운 숫자, 오일러 수
3. 조화 급수와 오일러-마스케로니 상수
4. 삼각 함수의 합차 공식

댓글 38개 :

  1. 배우고 갑니다. 감사합니다.

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  2. 도움이 되었다니 기쁘네요. ^^

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  3. 항상 좋은글 보고 갑니다. 기초가 부족한 저한테 많은 공부가 되네요.

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  4. 좋은 글이라 제 블로그에 조금 담았습니다. 감사합니다.

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  5. 출처만 밝히시면 언제든 환영합니다. ^^

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  6. 정말 감탄사가 절로 나옵니다. 왜 저게 저렇게 된건지 여기 블로그에 모두 다있네요^^

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  7. 격려 감사합니다. ^^ 좋은 저녁입니다.

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  8. 글씨크기부터 자세한설명두 다시공부하는중인데 잘보고갑니다

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  9. 정말 지금까지 알지 못했던 위대한 사람들이 많았군요.

    그리고, 이런 좋은 자료를 잘 정리해서 올려주신분도 정말 대단하십니다.

    새삼 글쓴이의 지적 수준에 감탄합니다.

    이런 개념들을 정확하게 알고 싶은데, 봐도 잘 모르는 제가 참 무지의 벽을 느낍니다.

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    1. 칭찬 감사합니다. ^^

      수학은 자기가 고민하면서 스스로 전진해야 합니다. 선생님이나 책이 도울 수 있는 한계가 분명 있습니다.
      잘 모르는 것을 찾았으면 스스로 고민해 보세요. 그러면 많이 배울 것입니다.

      메리 크리스마스!

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  10. 수학에 관심이 많은 사람으로서 이런 글을 올려주셔서 정말 고맙습니다.. 감사합니다..!!

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    1. 방문과 칭찬 모두 감사합니다. ^^

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  11. (12)번에 -가 빠져야 되는거 아닌가요?

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    1. 댓글 정말 감사합니다. ^^;;

      몇 년 동안 그대로 있던 오차를 찾아주셨네요.
      본문은 말씀하신 대로 수정했습니다.

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  12. 테일러급수가 f(x+a)=f(a)/0!+f'(a)x/1!+f"(a)x^2/2!....아닌가여? 위에서는 f(x)=f(a)/0!+f'(a)x/1!+f"(a)x^2/2!....인데 수정해야하는거아닌가여?

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    1. ㄷ 잘못입력했네여 테일러급수는 f(x+a)=f(a)/0!+f'(a)(x-a)/1!+f"(a)(x-a)^2/2!....
      이거아닌가여?

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    2. $x = 0$을 제안하신 급수에 넣어 보세요. 좌변과 우변이 같지 않은 것을 확인할 수 있습니다. 본문에 있는 식 (1)이 정상적인 테일러 급수입니다.

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  13. 으 식12 어떤형식으로 적분의 평균값정리를 적용해서 나온건가여? 잘이해가안가네여

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    1. 본문 내용을 좀 수정했습니다.
      아래 적분형 평균값의 정리를 보면 더 많은 이해를 할 수 있을 것입니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/mean-value-theorem-for-integration.html

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  14. 감탄스러울 뿐입니다... 매일 방문하며 한단원씩 배워나가겠습니다. 감사합니다.

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    1. 자주 놀러오세요. 오타 있으면 꼭 지적해주시고요... ^^

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  15. 저기요... 제가 아직 이해가 안되어서 그러는데요. 어차피 f(x)가 주어지면 함수 그래프가 나오는데 멱급수를 굳이 해서 f(x)와 비슷하게 근사화하는 이유가 뭔가요? 그게 잘 이해 안돼요ㅠ 비선형 시스템에서 굳이 테일러 급수식을 사용하는 이유도 잘 모르겠어요ㅠ 알듯 말듯 잘 모르겠네요ㅠ 전파거북이님께 질문하면 이하하기 쉽게 설명해주실 거 같아 이렇게 글 남겨 봅니다. 답글 꼭 부탁드려요ㅠ

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    1. $f(x)$가 주어지지 않습니다. ^^ 어떤 방법으로든 계산해야 합니다.
      예를 들면 삼각, 지수, 로그 함수 등을 생각해 보세요. 이 값을 어떻게 계산하지요? 로그를 발명한 네이피어가 평생을 기울여 한 일이 로그 계산표를 만든 것입니다. 지금은 테일러 급수 이용해 컴퓨터로 쉽게 log(x)를 계산할 수 있습니다. 따라서, 초보적인 수준에서는 테일러 급수를 이용해 함수를 계산해야 합니다.

      또한, 멱급수(power series)로 된 테일러 급수는 무척이나 쉽기 때문에 미분 방정식의 해를 구할 때 빈번하게 사용됩니다.

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  16. 전파거북님 혹시 이니셜이 jyh 아닌가요

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  17. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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    1. 방문 감사합니다, eunsu님. ^^
      질문 하신 내용의 답은 스스로 이미 찾으신거죠? 계속 열공하십시오.

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  18. 근데 여기에 쓰신 증명들은 x가 0에 근접할때 f(x)의 테일러 전개를 증명하신것 같은데
    x가 임의의 a에 근접할때 f(x)의 테일러 전개의 증명을 보고 싶어서 사용하신 적분법을 이용해서 증명을 시도했지만 계산실력이 아직 초보적이라서 실패했네요,...ㅡ.ㅡ;
    혹시 x가 0이 아닌 a에 근접할때 f(x)의 테일러 전개의 증명을 적분법으로도 가능하시다면 알려 주시면 정말 좋겠습니다.

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    1. 몬나니님, x = 0에서 한 증명을 기준으로 a만큼 평행 이동 시키면 말씀하신 증명을 할 수 있습니다. 계속 시도해보세요. ^^

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  19. 전파거북님 항상 좋은글 감사합니다..ㅜㅜ 전자공학 4학년이나 됬는데 이해를 못하겠네요 ㅜㅜ

    전파거북님님은 전자공학 전공이신 것 같은데 수학도 상당히 잘하시네요...

    어떤 방식으로 차근차근 공부 했는지 조언좀 해주실 수 있나요 ?

    제가 대학원을 진학 할려고 하는데... 다수의 사람들이
    지방권과 수도권 학생들이 전공지식은 크게 차이가 없는데

    언어능력(영어포함) / 수학에서 차이가 많이 난다고 그러더라구요...

    이런 부분을 좀 매꾸고 싶은데 어떤 방식으로 공부를 해야되는지 궁금합니다..

    그리고 전파거북님 학부생 때와 대학원 다니실 때는 어떻게 공부하셨는지

    너무 궁금합니다 ㅎㅎ

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  20. 전에는 그냥 그런가 보네..하고 넘어가서 몰랐는데, 주기함수들이 푸리에 급수로 나타나는 것처럼, 원함수의 테일러 급수가 성립하면 원함수는 Taylor polynomial들이 만드는 함수공간이 되는 것 같네요.. 물론 원소끼리 직교하진 않겠지만요.

    혹시 그 쪽으로 짧게라도 설명해 주실 수 있으시면 정말 감사드리겠습니다.

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    1. 말씀하신 대로 테일러 급수는 기저 함수($x^n$)가 단순해서 재미있는 내용이 많을겁니다. 하지만 단순 생각에 너무 일반적인 함수 공간보다는 벡터 공간이 더 적절할 것 같네요.
      푸리에 급수도 벡터 공간을 이루기 때문에 공간 자체보다 테일러 급수와 서로 비교하는 것이 더 재미있지 않을까요?
      이 부분은 언젠가 더 고민해서 재미있는 내용을 찾아보게요. 이재님도 찾아서 공유해주세요. ^^

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  21. 테일러 급수의 최대 오차에 대해 질문드립니다. a=0인 경우가 아닌 경우에는 최대 오차 계산에서의 적분 범위가 0부터 x까지가 아닌, a부터 x까지로 변화되어, 최종적으로 오차에 변화가 생기게 되는 것인가요?

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    1. 아닙니다. 기준점은 선택하기 나름입니다.
      예를 들어 $x = a$ 기준이면 이 점 부근에서는 오차가 적고 멀어지면 오차가 커질 수 있습니다.

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  22. 좀 쉬운내용인데 더 쉽게 설명해주셔서 정말 감사해요ㅎ
    저도 제 동기들한테 이렇게 알려줘야겠네요^^

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  23. 테일러급수 증명 1이 아주 멋지네요.
    혹시 직접 증명하신건가요?
    좋은글 정말 감사합니다.

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    답글
    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 증명은 테일러가 한 것입니다.

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