2010년 7월 13일 화요일

테일러 급수(級數, Taylor Series)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "테일러 급수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한과 연속성의 의미
2. 미분법의 의미
3. 적분법의 의미
4. 무한 급수


Illustration of the Exponential function
[그림 1] 함수 $\exp(x)$의 테일러 급수 전개(출처: wikipedia.org)

공학 분야에서 테일러 급수(Taylor series)는 약방의 감초처럼 쓰임새가 많은 무한 급수이다. 테일러 급수의 발견자는 당연히 테일러Brook Taylor(1685–1731)이다. 테일러는 1715년테일러 30세, 조선 숙종 시절에 연속 함수를 멱급수(冪級數, power series)로 전개할 수 있는 일반화된 방법론인 테일러 급수를 제안했다[2]. 테일러 이전에 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)뉴턴 보간(Newton interpolation)을 바탕으로 테일러 급수와 비슷한 급수를 만든 적은 있지만[2], 테일러에 이르러서야 테일러 급수 개념이 명확해졌다. 다만 테일러도 고백하듯이, 뉴턴이 제안한 뉴턴 보간이 테일러 급수의 출발점이었다. 인류 역사상 최고의 천재 뉴턴이 그 이름값을 하는 지점 중의 하나가 테일러 급수이다.
예를 들어, [그림 1]에 제시한 지수 함수 $\exp(x)$의 테일러 급수 전개를 본다. 파란색은 $\exp(x)$의 함수값이며 빨간색은 급수 전개를 하여 오차를 줄여가는 과정을 보여준다. 즉, 식 (1)과 같은 테일러 급수를 사용하는 이유는 복잡한 함수의 특성 자체를 고려하지 않고 멱급수만 계산해서 함수값을 손쉽게 얻을 수 있기 때문이다. 점 $x$ = $a$에서 무한 번 미분 가능한 함수 $f(x)$는 다음과 같은 테일러 급수로 표현할 수 있다. 식 (1)의 좌변과 우변이 서로 같다는 결과는 한 눈에 이해되지 않는다. 우리 마음속으로 깊이 수긍하기 위해 식 (1)을 미분법과 적분법으로 확실하게 증명한다.

[테일러 급수(Taylor series)]

               (1)

여기서 $f^{(n)}$은 함수 $f(x)$를 $n$번 미분한 고계 미분(higer order differentiation)을 의미한다.

[증명: 미분법]
함수 $f(x)$의 미분이 $x$ = $0$에서 존재한다고 하면 극한의 정의에서 식 (2)가 반드시 성립해야 한다.

                         (2)

식 (2)의 둘째줄은 $f(x)$를 미분값으로 근사할 수 있으며 그 최대 오차는 $x$가 0에서 멀어지면 선형적으로 커질 수 있음을 의미한다. 따라서, 식 (2)의 관계를 식 (3)으로 표현할 수 있다.

                         (3)

여기서 $R_1(x)$는 오차를 표현하는 잉여항(剩餘項, remainder term)이다. 2계 미분(the second order differentiation)도 존재한다면, 식 (2), (3)과 유사하게 식 (4), (5)를 얻을 수 있다.

                         (4)

                         (5)

식 (3)을 미분해서 식 (5)와 비교하면 $R_1(x)$를 $R_2(x)$로 표현할 수 있다.

                         (6)

이 과정을 계속 반복하면 $x$ = $0$에 대한 테일러 급수를 얻을 수 있다. $a$ = $0$인 경우는 매클로린 급수(Maclaurin series)라고도 한다. 식 (1)에 있는 $x$ = $a$에 대한 급수 전개는 좌표 변환을 통해 쉽게 증명할 수 있다.

[증명: 적분법]
미분적분학의 기본 정리에 의해 식 (7)이 성립한다.

                         (7)

식 (7)을 이항한 후 부분 적분을 하면 식 (8)의 관계식을 얻을 수 있다.

                         (8)

식 (8)의 셋째줄을 유도할 때 식 (9)를 사용한다.

                         (9)

이 과정을 계속 반복하면 식 (10)을 얻을 수 있다.

                         (10)

여기서 $R_n(x)$는 다음처럼 정확히 표현할 수 있다.

                          (11)

오차를 표현하는 식 (11)과 같은 잉여항은 제$n$차 라그랑주의 잉여항(剩餘項, Lagrange form of the remainder term)이라 부른다.
______________________________

기초적인 sin, cos, tan, exp, log와 같은 함수는 컴퓨터로 쉽게 계산할 수 있지만 내가 직접 함수값을 얻고자 하면 접근법이 잘 생각나지 않는다. 이때 식 (1)의 우변에 제시한 멱급수와 $x$ = $a$에서 미분값을 곱해서 함수값인 식 (1)의 좌변값을 결정한다.
라그랑주의 잉여항이 중요한 이유는 테일러 급수의 오차를 표현하기 때문이다. 사실 $f(x)$를 테일러 급수로 전개하기 위해서는 $n$이 커질 때 오차인 라그랑주의 잉여항이 계속 줄어서 $0$으로 가야 한다.[$\lim_{n \to \infty} R_n(x)$ = $0$] 그러면 $f(x)$를 테일러 급수 전개로 완벽히 표현할 수 있다. 적분형 평균값의 정리를 이용하면, $f(x)$와 테일러 급수의 최대 오차를 예측할 수 있다. 적분형 평균값의 정리는 어떤 함수의 적분값[$\int_a^b f(t)\,dt$]과 함수값[$f(t)(b-a)$]과 동일한 어떤 점[$t$ = $c$]이 반드시 존재함을 보장한다. 적분형 평균값의 정리[$\int_0^x f(t)g(t)~dt$ = $f(c) \int_0^x g(t)\,dt$]에 따르면 적당한 $t$ = $c$에 대해  식 (11)은 좀더 단순화된 식 (12)로 표현할 수 있다.

                         (12)

여기서 $f(t) \to f^{(n+1)}(t)$, $g(t) \to (x-t)^n/n!$로 바꾸었다. 만약 $n+1$차 미분의 최대값을 $M$이라 하면 식 (1)에 제시한 테일러 급수의 최대 오차는 식 (13)으로 결정된다.

                         (13)

그런데 테일러 급수는 만능인가? 예를 들어, [그림 2]에 있는 $f(x)$ = $\exp(-1/x^2)$를 고려한다. 이 함수는 $x$ = $0$에서 연속이 아니므로 $f(0)$ = $0$으로 두어 연속이 되게 한다.
[그림 2] 함수 $\exp(-1/x^2)$의 변화 모양(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 함수 $f(x)$를 $x$ = $0$ 근방에서 미분하면 항상 그 값은 식 (14)로 표현할 수 있다.

                           (14)

여기서 $Q(x)$는 유한 차수를 가진 분수식(分數式, fractional expression)이다. $x \to 0$일 때, 유한 차수를 가진 $Q(x)$보다 빠르게 지수 함수가 $0$으로 가므로, $x$ = $0$ 근방에서 식 (14)는 항상 $0$으로 간다. 이 결과[$f^{(n)}(x \to 0)$ = $0$]를 식 (1)에 대입하여 테일러 급수로 전개하면, $f(x) = 0$이 얻어진다. 하지만 [그림 2]에서 보듯이 원래의 $f(x)$는 $x$ = $0$ 이외에서는 $0$이 될 수 없다. 테일러 급수에는 설명할 수 없는 무언가 문제되는 부분이 있다.[∵ 테일러 급수 관점으로 보면 특정점에서 미분해서 그 값이 항상 $0$이면 함수 전체가 $0$이 된다. 하지만 식 (14)를 고려하면 이는 항상 참이 되지는 않는다.] 식 (10)에 있는 라그랑주의 잉여항 관점으로 보면, 우리가 아무리 미분하더라도 오차를 줄일 수 없고 $f(x)$ = $R_n(x)$가 되는 황당한 상황이 발생한다. 이런 경우는 식 (1)의 테일러 급수 전개에 대한 예외로 처리해야 한다. 테일러 급수에 대한 이런 문제점은 정의역(定義域, domain)을 실수가 아닌 복소수(complex number)로 확장하면 명확하게 풀 수 있다. 실수 영역에서는 문제점을 확인할 길이 없지만 복소수에서는 이 부분이 확연히 드러난다. 즉, 실수만으로 함수를 구성하면 도저히 해결할 수 없는 허점이 테일러 급수에 나타나게 된다. 이 개념을 제대로 이해하려면 복소 함수론(complex analysis)로랑 급수(Laurent series)를 도입해야 한다. 이런 이유로 코쉬가 해석 함수(解析函數, analytic function)에 대한 이론을 발전시켰다.
[그림 3] 정사면체의 회전 모습(출처: wikipedia.org)

식 (1)에 있는 멱급수의 개별 항은 아래처럼 공식화할 수 있다.

                           (15)

식 (15)를 기하학적으로 생각하면, $n$ = $1$일 때는 선의 길이(0에서 $x$까지 길이)이며, $n$ = $2$ 경우는 [삼각형의] 면적, $n$ = $3$은 [사면체(四面體, tetrahedron)의] 부피, 임의의 $n$일 때는 $n$차원의 부피이다. 그런데 각 차원이 서로 종속되어 있으므로, $n$차원 부피를 계산할 때는 분모에 계승(階乘, factorial)이 나타난다. 더 세밀한 관점에서 식 (15)는 유명한 $n$차원 단체(單體, n-simplex)의 부피 공식이다. 테일러 급수는 항의 수가 무한개인 무한 급수이므로 실제로 사용할 때는 급수의 수렴성을 판정해서 사용해야 한다. 수렴 판정법 중에서 가장 쉬운 비율 판정(ratio test)을 이용해서 테일러 급수의 수렴을 판단한다.

             (16)

만약 $n$이 증가할 때 미분 계수가 커지지 않는다면 테일러 급수는 절대 수렴(absolutely convergent)하게 된다. 즉, 어느 영역에서나 수렴성을 보장받으면서 사용할 수 있다는 뜻이다. 아래 식 (2.1)–(2.3)이 바로 테일러 급수가 절대 수렴하는 경우이다. 식 (2.4)에 있는 멱함수(power function)는 지수 $r$에 따라 절대 수렴하기도 하고 조건 수렴(conditionally convergent)하기도 한다.


   1. 기본(basics)   

[우함수와 기함수]
우함수 $f_e (x)$와 기함수 $f_o (x)$의 테일러 급수는 각각 짝수와 홀수 차수로 전개된다.

                  (1.1)

[증명: 우함수와 기함수의 정의]
우함수(偶函數, even function)의 정의에 따라 $f(-x)$ = $f(x)$가 성립하므로, $(-x)^m$ = $x^m$인 항은 남기고 $(-x)^m$ = $-x^m$인 계수는 모두 $0$이 되게 한다. 마찬가지로 기함수(奇函數, odd function)의 성질 $f(-x)$ = $-f(x)$를 이용해서 $(-x)^m$ = $x^m$인 항을 없앤다.

[증명: 미분법]
우함수 $f_e (x)$를 한번 미분하면 기함수 특성을 가져서 $f_e^{(1)}(0)$ = $0$이다. 그래서 $f_e (x)$를 전개한 테일러 급수의 항중에서 $b_1$ = $0$이 된다. 마찬가지로 $f_e^{(3)}(0)$ = $0$이므로 $b_3$ = $0$을 얻는다. 이런 과정을 계속 반복하면 모든 홀수 계수 $b_{2n+1}$도 자연스럽게 $0$이다. 기함수에 대해서도 동일한 과정을 적용해서 모든 짝수 계수 $b_{2n}$은 $0$임을 증명한다.
______________________________

[테일러 급수의 다양성]
실수 영역에서 서로 다른 두 함수의 테일러 급수가 같을 수 있다.

[증명]
어떤 함수 $f(x)$의 테일러 급수 전개를 $f(x)$ = $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$이라 한다. 또 다른 함수 $g(x)$의 무한 급수는 $g(x)$ = $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$로 둔다. 두 식을 빼주면, 당연히 $f(x) - g(x)$ = $\sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n) x^n$이 나온다. 만약 두 함수의 차 $f(x) - g(x)$가 [그림 2]에 나온 $\exp(-1/x^2)$이라면, $x$ = $0$에서 $\exp(-1/x^2)$의 테일러 급수는 $0$이라서 $a_n$ = $b_n$인 결과가 나온다. 따라서 테일러 급수의 계수가 같다고 원래 함수가 같다는 보장이 없다.
______________________________

함수값이 $0$이 아닌데도 식 (14)처럼 테일러 급수는 $0$이 나오는 경우가 생기므로, 무한 급수 전개를 일반화할 때는 정의역을 실수 영역이 아닌 복소수 영역으로 꼭 확장한다.


   2. 기초 초등 함수(basic elementary function)의 전개식   

테일러 급수인 식 (1)을 이용해서 함수에 대한 무한 급수 전개식을 아래와 같이 얻을 수 있다.

                         (2.1: 오일러의 수)

                         (2.2: 삼각 함수의 합차 공식)

                         (2.3: 삼각 함수의 합차 공식)

식 (2.2)와 (2.3)은 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)이 1670년뉴턴 27세, 조선 현종 시절에 발견했다. 하지만 이 무한 급수의 최초 발견자는 뉴턴이 아니라고 믿고 있다. 약 1400년경마드하바 50세 무렵, 조선 태종 시절에 인도 수학자인 마드하바Madhava of Sangamagrama(대략 1350–1425)는 매우 정확한 각도별 사인 표를 계산했다. 후대 서술을 참고하면, 마드하바가 만든 사인 표(Madhava's sine table)는 식 (2.2)와 (2.3)과 같은 멱급수 전개가 이용되었음이 분명하다. 따라서 식 (2.2)와 (2.3)은 뉴턴 이전에 마드하바가 먼저 유도했다고 생각한다.

[멱함수(power function)]

         (2.4: 뉴턴의 이항 정리)

여기서 수렴 구간은 $|x| < 1$, 무한 급수에 많이 나오는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol) 혹은 하강 계승(falling factorial)은 $(r)_k$ = $r (r-1) (r-2) \cdots (r-k+1)$로 정의한다.

              (2.5)

              (2.6)

여기서 식 (2.4)에 의해 수렴 구간은 당연히 $|x| < 1$, $(\cdot)!!$은 이중 계승(double factorial)이다. 

[증명]
식 (2.4)에 각각 $r$ = $1/2$과 $-1/2$을 대입하고 이중 계승을 도입해서 표현식을 간략화한다. 
______________________________


   3. 로그 함수의 전개식   

        (3.1a: 조화 급수)

                        (3.1b: 뉴턴–메르카토르 급수)

                     (3.2)

여기서 수렴 구간은 $|x| < 1$이며 $(1+x)/(1-x) > 0$이 성립한다.

[증명]
식 (3.1)의 $x$에 $-x$를 대입하여 $-\log(1+x)$를 얻고 이 식을 (2.5)와 빼주면 증명된다. 
______________________________

만약 $|x| < 1$이면 $y$ = $(1+x)/(1-x)$는 항상 0보다 크기 때문에, $x$ = $(y-1)/(y+1)$을 대입하면 식 (3.2)는 $y > 0$인 모든 로그 함수를 계산할 수 있다.

                     (3.3)

[증명]
식 (3.1)에 크기가 1보다 작은 복소수인 $r e^{ix}$를 대입해서 식 (3.3)을 구한다.
______________________________

다만 식 (3.3)을 엄밀하게 유도하고 싶으면, 복수 함수론(complex analysis) 기반의 로랑 급수(Laurent series)를 도입해야 한다.

                     (3.4)

[증명]
식 (3.3)의 실수부(real part)를 택하면 식 (3.4)가 증명된다.
______________________________

식 (3.4)의 우변에 코사인 함수 $\cos(nx)$가 항인 무한 급수의 결과처럼 사인 함수 $\sin(nx)$로 만드는 무한 급수는 식 (3.3)에 허수부(imaginary part)를 선택해서 얻는다. 아예 푸리에 급수(Fourier series)를 바로 적용해서, 사인 함수로 구성해서 닫힌 함수 $f(x)$로 수렴값이 나오는 무한 합의 관계식 더욱 간단하게 유도할 수도 있다.

                     (3.5)

[증명]
식 (3.4)에서 $r \to 1$인 극한을 취해서 식 (3.5)을 획득한다.
______________________________

                     (3.6)

[증명]
단순하게 식 (3.5)에 있는 $x$에 $x + \pi$를 대입함으로써 식 (3.6)를 구한다.
______________________________


   4. 다변수 테일러 급수(multivariate Taylor series)   

테일러 급수를 다차원 혹은 다변수로 확장할 때는 매개변수를 이용한다. 먼저 기초가 되는 개념은 다차원 입력 변수에 대한 함수의 미분이다. 예를 들어, 3차원 입력 변수에 대한 함수 $f$의 미분은 다음처럼 표현된다.

                  (4.1)

여기서 $t$는 매개변수, $\bar r(t)$ = $(x(t), y(t), z(t))$, $\bar \nabla f$는 구배(gradient)이다. 다변수 테일러 급수(multivariate Taylor series)를 얻기 위해, 식 (4.1)에 바탕을 두고 매개변수 $t$에 대해 함수 $f$를 테일러 급수로 전개한다[1].

                     (4.2)

여기서 $\bar x$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_m)$, $\bar a$ = $(a_1, a_2, \cdots, a_m)$, 벡터 $\bar x$와 $\bar a$는 $t$의 함수가 아니다. 또한 $\bar \nabla$는 $t$에 대한 미분에서 유도되므로, $\bar x$와 $\bar a$는 $\bar \nabla$에 대해 상수로 작용한다. 다음 단계로 식 (4.2)에 $t$ = $1$을 대입해서 $f$의 입력 변수를 $\bar x$로 간략화한다.

                  (4.3)

따라서 식 (4.3)을 깔끔하게 표현하면 $f(x_1, x_2, \cdots, x_m)$에 대한 새로운 다변수 테일러 급수가 된다.

             (4.4)

식 (4.3)에서 함수 근사를 위해 2차 항까지만 사용해서 다시 정리해본다.

                  (4.5)

여기서 $\Delta \bar x$ = $\bar x - \bar a$이다. 식 (4.5)를 열 벡터(column vector)와 행렬(matrix)로 다시 쓴다.

                  (4.6)

여기서 $\bf a$, $\Delta {\bf x}$는 열 벡터, $\bar \nabla f({\bf a})$는 행 벡터(row vector), ${\bf H}({\bf a})$는 벡터 $\bf a$에서 계산한 헤세 행렬(Hessian matrix)이다. 헤세 행렬은 식 (4.5)에 있는 2차 항의 편미분을 행렬 형태로 정리해서 생성한다.

                  (4.7)

                 (4.8)

헤세 행렬은 구배의 야코비 행렬(Jacobi matrix)로 생각할 수도 있다. 다변수 함수의 곡률(curvature)과 관계된 헤세 행렬은 수학자 헤세Ludwig Otto Hesse(1811–1874)가 제안했다.


[참고문헌]
[1] G. B. Folland, "Higher-order derivatives and Taylor’s formula in several variables," University of Washington, USA. (방문일 2021-02-07)
[2] 김성옥, "Taylor 정리의 역사적 고찰과 교수방안", 한국수학사학회지, 제31권, 제1호, pp. 19–35, 2018년 2월.

댓글 57개 :

  1. 배우고 갑니다. 감사합니다.

    답글삭제
  2. 도움이 되었다니 기쁘네요. ^^

    답글삭제
  3. 항상 좋은글 보고 갑니다. 기초가 부족한 저한테 많은 공부가 되네요.

    답글삭제
  4. 좋은 글이라 제 블로그에 조금 담았습니다. 감사합니다.

    답글삭제
  5. 출처만 밝히시면 언제든 환영합니다. ^^

    답글삭제
  6. 정말 감탄사가 절로 나옵니다. 왜 저게 저렇게 된건지 여기 블로그에 모두 다있네요^^

    답글삭제
  7. 격려 감사합니다. ^^ 좋은 저녁입니다.

    답글삭제
  8. 글씨크기부터 자세한설명두 다시공부하는중인데 잘보고갑니다

    답글삭제
  9. 정말 지금까지 알지 못했던 위대한 사람들이 많았군요.

    그리고, 이런 좋은 자료를 잘 정리해서 올려주신분도 정말 대단하십니다.

    새삼 글쓴이의 지적 수준에 감탄합니다.

    이런 개념들을 정확하게 알고 싶은데, 봐도 잘 모르는 제가 참 무지의 벽을 느낍니다.

    답글삭제
    답글
    1. 칭찬 감사합니다. ^^

      수학은 자기가 고민하면서 스스로 전진해야 합니다. 선생님이나 책이 도울 수 있는 한계가 분명 있습니다.
      잘 모르는 것을 찾았으면 스스로 고민해 보세요. 그러면 많이 배울 것입니다.

      메리 크리스마스!

      삭제
  10. 수학에 관심이 많은 사람으로서 이런 글을 올려주셔서 정말 고맙습니다.. 감사합니다..!!

    답글삭제
  11. (12)번에 -가 빠져야 되는거 아닌가요?

    답글삭제
    답글
    1. 댓글 정말 감사합니다. ^^;;

      몇 년 동안 그대로 있던 오차를 찾아주셨네요.
      본문은 말씀하신 대로 수정했습니다.

      삭제
    2. 호에에에.. (12)에 -가 있어야 된다고 생각하고 있었는데.. 없는게 맞는 건가요??
      u = x-t 로 부호가 반대이니 -가 생기는게 맞지 않나요??

      삭제
    3. Hockney님, 적분 구간의 시작과 끝도 바뀌기 때문에 식 (12)는 맞는 식입니다.

      삭제
  12. 테일러급수가 f(x+a)=f(a)/0!+f'(a)x/1!+f"(a)x^2/2!....아닌가여? 위에서는 f(x)=f(a)/0!+f'(a)x/1!+f"(a)x^2/2!....인데 수정해야하는거아닌가여?

    답글삭제
    답글
    1. ㄷ 잘못입력했네여 테일러급수는 f(x+a)=f(a)/0!+f'(a)(x-a)/1!+f"(a)(x-a)^2/2!....
      이거아닌가여?

      삭제
    2. $x = 0$을 제안하신 급수에 넣어 보세요. 좌변과 우변이 같지 않은 것을 확인할 수 있습니다. 본문에 있는 식 (1)이 정상적인 테일러 급수입니다.

      삭제
  13. 으 식12 어떤형식으로 적분의 평균값정리를 적용해서 나온건가여? 잘이해가안가네여

    답글삭제
    답글
    1. 본문 내용을 좀 수정했습니다.
      아래 적분형 평균값의 정리를 보면 더 많은 이해를 할 수 있을 것입니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/mean-value-theorem-for-integration.html

      삭제
  14. 감탄스러울 뿐입니다... 매일 방문하며 한단원씩 배워나가겠습니다. 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 자주 놀러오세요. 오타 있으면 꼭 지적해주시고요... ^^

      삭제
  15. 저기요... 제가 아직 이해가 안되어서 그러는데요. 어차피 f(x)가 주어지면 함수 그래프가 나오는데 멱급수를 굳이 해서 f(x)와 비슷하게 근사화하는 이유가 뭔가요? 그게 잘 이해 안돼요ㅠ 비선형 시스템에서 굳이 테일러 급수식을 사용하는 이유도 잘 모르겠어요ㅠ 알듯 말듯 잘 모르겠네요ㅠ 전파거북이님께 질문하면 이하하기 쉽게 설명해주실 거 같아 이렇게 글 남겨 봅니다. 답글 꼭 부탁드려요ㅠ

    답글삭제
    답글
    1. $f(x)$가 주어지지 않습니다. ^^ 어떤 방법으로든 계산해야 합니다.
      예를 들면 삼각, 지수, 로그 함수 등을 생각해 보세요. 이 값을 어떻게 계산하지요? 로그를 발명한 네이피어가 평생을 기울여 한 일이 로그 계산표를 만든 것입니다. 지금은 테일러 급수 이용해 컴퓨터로 쉽게 log(x)를 계산할 수 있습니다. 따라서, 초보적인 수준에서는 테일러 급수를 이용해 함수를 계산해야 합니다.

      또한, 멱급수(power series)로 된 테일러 급수는 무척이나 쉽기 때문에 미분 방정식의 해를 구할 때 빈번하게 사용됩니다.

      삭제
  16. 전파거북님 혹시 이니셜이 jyh 아닌가요

    답글삭제
  17. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다, eunsu님. ^^
      질문 하신 내용의 답은 스스로 이미 찾으신거죠? 계속 열공하십시오.

      삭제
  18. 근데 여기에 쓰신 증명들은 x가 0에 근접할때 f(x)의 테일러 전개를 증명하신것 같은데
    x가 임의의 a에 근접할때 f(x)의 테일러 전개의 증명을 보고 싶어서 사용하신 적분법을 이용해서 증명을 시도했지만 계산실력이 아직 초보적이라서 실패했네요,...ㅡ.ㅡ;
    혹시 x가 0이 아닌 a에 근접할때 f(x)의 테일러 전개의 증명을 적분법으로도 가능하시다면 알려 주시면 정말 좋겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 몬나니님, x = 0에서 한 증명을 기준으로 a만큼 평행 이동 시키면 말씀하신 증명을 할 수 있습니다. 계속 시도해보세요. ^^

      삭제
  19. 전파거북님 항상 좋은글 감사합니다..ㅜㅜ 전자공학 4학년이나 됬는데 이해를 못하겠네요 ㅜㅜ

    전파거북님님은 전자공학 전공이신 것 같은데 수학도 상당히 잘하시네요...

    어떤 방식으로 차근차근 공부 했는지 조언좀 해주실 수 있나요 ?

    제가 대학원을 진학 할려고 하는데... 다수의 사람들이
    지방권과 수도권 학생들이 전공지식은 크게 차이가 없는데

    언어능력(영어포함) / 수학에서 차이가 많이 난다고 그러더라구요...

    이런 부분을 좀 매꾸고 싶은데 어떤 방식으로 공부를 해야되는지 궁금합니다..

    그리고 전파거북님 학부생 때와 대학원 다니실 때는 어떻게 공부하셨는지

    너무 궁금합니다 ㅎㅎ

    답글삭제
  20. 전에는 그냥 그런가 보네..하고 넘어가서 몰랐는데, 주기함수들이 푸리에 급수로 나타나는 것처럼, 원함수의 테일러 급수가 성립하면 원함수는 Taylor polynomial들이 만드는 함수공간이 되는 것 같네요.. 물론 원소끼리 직교하진 않겠지만요.

    혹시 그 쪽으로 짧게라도 설명해 주실 수 있으시면 정말 감사드리겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 말씀하신 대로 테일러 급수는 기저 함수($x^n$)가 단순해서 재미있는 내용이 많을겁니다. 하지만 단순 생각에 너무 일반적인 함수 공간보다는 벡터 공간이 더 적절할 것 같네요.
      푸리에 급수도 벡터 공간을 이루기 때문에 공간 자체보다 테일러 급수와 서로 비교하는 것이 더 재미있지 않을까요?
      이 부분은 언젠가 더 고민해서 재미있는 내용을 찾아보게요. 이재님도 찾아서 공유해주세요. ^^

      삭제
  21. 테일러 급수의 최대 오차에 대해 질문드립니다. a=0인 경우가 아닌 경우에는 최대 오차 계산에서의 적분 범위가 0부터 x까지가 아닌, a부터 x까지로 변화되어, 최종적으로 오차에 변화가 생기게 되는 것인가요?

    답글삭제
    답글
    1. 아닙니다. 기준점은 선택하기 나름입니다.
      예를 들어 $x = a$ 기준이면 이 점 부근에서는 오차가 적고 멀어지면 오차가 커질 수 있습니다.

      삭제
  22. 좀 쉬운내용인데 더 쉽게 설명해주셔서 정말 감사해요ㅎ
    저도 제 동기들한테 이렇게 알려줘야겠네요^^

    답글삭제
  23. 테일러급수 증명 1이 아주 멋지네요.
    혹시 직접 증명하신건가요?
    좋은글 정말 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 증명은 테일러가 한 것입니다.

      삭제
  24. (15)번 식에서 dx도 적분구간만큼 곱해져야 하는게 아닌가요? ㅎㅎ 이상한 지적이지만 아무튼헤헤헤헤헤

    답글삭제
    답글
    1. 지적 감사합니다, 익명님. ^^ 더 정확히 쓰는 게 좋겠네요.

      삭제
  25. 저기 (6)번식중에 R_2(x)의 아래끝을 0으로 두었는지 알려주실 수 있나요? 그리고 적분 변수와 위끝의 변수가 같은데 저런 적분식이 성립하나요?

    답글삭제
    답글
    1. 지적 정말 감사합니다, Unknown님. ^^ 틀려있었네요. 식 (6)을 다시 수정했어요.

      삭제
    2. 어.. 또 실례 되지만 궁금한게 또 있습니다. 저는 식 (6)중에 위에 있는 식을 분리형 미분 방정식으로 풀려고 해서 R_1(x) = (1/2!)*f^(2)(0)x^2+(R_2(x)의 부정적분)으로 식을 세웠습니다.(R_1(x)의 초기 상태가 입실론 델타 논법에 의하여 정해지지 않기 때문에)그렇게 식을 세우니 나머지 항을 유도할 수 없던데 어쩌죠..?;; 부정적분 상태에서는 적분의 평균값정리를 사용할 수 없으니 이런 일이 발생하는 것 같습니다;;

      삭제
    3. 아 죄송합니다;; 해결 했어요. 제가 본질을 잊고 있었네요. ㅎㅎ 좋은 개시글 감사합니다. 많은 것을 배울 수 있었습니다.

      삭제
  26. 식(2)가 어떻게 나왔는지 궁금합니다. 설명 부탁드립니다;;

    답글삭제
    답글
    1. 식 (2)는 극한 정의로부터 나왔어요. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/limit.html

      삭제
  27. 2019년에 읽어도 좋은글이네용.. 잘읽었어요

    답글삭제
  28. 진짜 좋은 블로그네요 요새 알게 되어서 너무 안타깝습니다. 항상 잘 보고 있습니다.

    답글삭제
  29. 안녕하세요,포스팅 하신 테일러 급수 관련해서 여쭙고 싶은 것이 있습니다.

    어떤 함수를 테일러 전개해서 급수로 나타내기 위한 조건은 무엇인가요?

    수없이 찾아봤는데, 해석함수라면 테일러 전개가 가능하다고 하지만 역으로 해석함수가 뭔지 설명하는 글들을 보면 테일러 전개가 가능한 함수라고 맞받아치더라고요...
    무한 번 미분 가능한 것을 제외하고, 특별히 테일러 전개가 가능한 함수들이 가지고 있는 공통적 성질이 있나요?

    본문 중 식 (13) 아래에 테일러 방법이 만능이 아니며 예외의 함수를 하나 제시해주셨는데, 이러한 테일러 전개가 불가능한 함수들(x=0에서 문제가 발생하는..) 이 공통적으로 가지는 성질이 있는 것인지.. 여쭙고 싶습니다.

    읽어주셔서 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 쉽게 보려면, $n$이 커질 때 라그랑쥐의 잉여항이 $0$에 수렴하면 됩니다. 하지만 이건 거의 동어반복이라서 정보가 너무 없어요.
      그래서 $f(x)$를 복소 영역으로 확장해서 $f(z)$가 해석적인지 봅니다. 자세한 내용은 아래 링크 참고하세요.
      익명님의 의문을 풀려면, 정칙 함수(holomorphic function)와 해석 함수(analytic function)를 봐야 합니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2012/08/complex-analysis.html

      삭제
  30. 대단하세요 일부만 이해했지만 잘읽었습니다.
    그런데 처음으로 돌아가서 초월함수를 어떻게 다항식으로 전개할수 있는 아이디어는 어디서 얻은 것일까요?
    이에 대해 아시면 한수 가르쳐 주세요. 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 다항식 전개의 출발점은 보통 뉴턴으로 봅니다. 뉴턴은 이항 정리(binomial theorem)를 일반화하면서 급수로 계산하는 방법을 제안했고, 뉴턴 보간(Newton interpolation)으로 테일러 급수의 윤곽을 보여줬습니다.
      아래 링크도 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/10/binomial-theorem.html
      https://ghebook.blogspot.com/2020/09/polynomial-interpolation.html

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.