2022년 6월 11일 토요일

시컨트 수와 오일러 수(Secant Number and Euler Number)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "시컨트 수와 오일러 수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[표 1] 짝수번 시컨트 수의 실제값, $S_{2m}$
시컨트 수, $S_{2m}$시컨트 수의 자연수값
$S_0$1
$S_2$1
$S_4$5
$S_6$61
$S_8$1385
$S_{10}$50521
$S_{12}$2702765
$S_{14}$199360981
$S_{2m}$
생성 함수

탄젠트 함수(tangent function) $\tan x$의 테일러 급수(Taylor series)를 쉽게 공식화하기 위해 탄젠트 수(tangent number) $T_m$을 도입한 방식처럼 시컨트 함수(secant function) $\sec x$를 위한 테일러 급수에는 시컨트 수(secant number)를 도입한다. 시컨트 수 $S_m$은 $\sec x$를 구성하는 무한 급수(infinite series)의 항과 연결지어 정의한다.

                  (1)

시컨트 함수는 우함수(even function)이므로 식 (1)의 첨자를 짝수로 간략화한다. 시컨트 수의 구체적인 예는 [표 1]에 있다[1].

                  (2)

여기서 $S_{2m+1}$ = $0$이다. 식 (2)와 같이 멱급수의 계수에 모든 시컨트 수가 나오므로, 시컨트 함수는 시컨트 수의 생성 함수(generating function)이다. 시컨트 함수를 직접 고차 미분해서 시컨트 수 $S_{2m}$을 얻을 수도 있지만, 고차 미분 과정이 너무 복잡해진다. 그래서 시컨트 수는 주로 재귀 관계(recurrence relation)를 이용해서 구한다. 이 재귀 관계를 유도하기 위해 코사인과 시컨트 함수의 테일러 급수를 사용한다.

                  (3)

여기서 $\binom{2m}{2k}$은 조합(combination)이다. 식 (3)의 셋째식을 얻기 위해 대각선 따라 모으기에 해당하는 코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)를 적용한다. 식 (3)으로부터 시컨트 수의 항등식을 하나 만든다.

                  (4)

여기서 $\delta_{m0}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 최종적으로 시컨트 수를 생성하는 공식이 나온다.

                  (5)

여기서 $S_0$ = $1$이다. 식 (5)와 같은 재귀 관계를 쓰지 않고 탄젠트 수로부터 시컨트 수를 도출할 수도 있다. 먼저 식 (6)에 보인 탄젠트 함수와 시컨트 함수의 관계식에 각 테일러 급수를 대입해서 정리한다.

                       (6)

             (7)

식 (7)의 마지막식에서 탄젠트 수로 표현한 시컨트 수를 증명한다.

                       (8)

관점을 약간 바꾸어서 시컨트 수에 기반을 두고 탄젠트 수를 재정의한다.

                       (9)

                       (10)

식 (10)은 식 (5)와 매우 유사하므로, 시컨트 수와 탄젠트 수는 서로 밀접히 연결되어 있다. 시컨트와 탄젠트 함수의 미분을 사용하면, 시컨트 수와 탄젠트 수의 색다른 관계를 추가적으로 유도할 수 있다. 먼저 시컨트 함수의 미분을 두 함수의 테일러 급수로 교체해서 두 수 사이의 관계식을 구한다.

                       (11)

                       (12)

비슷한 방식을 탄젠트 함수의 미분에 사용해서 탄젠트 수를 시컨트 수로 표현한다.

                       (13)

                       (14)

수열 입장에서 시컨트 수가 가진 재미있는 특성을 탄젠트 수와 연관지어 소개한다.

[시컨트 수의 성질]
(a) 시컨트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 홀수번 시컨트 수 $S_{2m+1}$은 항상 $0$이다.
(c) 짝수번 시컨트 수는 $S_{2m} \ge 1$이고, $m$이 $1$보다 커지면 $S_{2m}$도 같이 커진다. 즉, $m > 1$에서 $S_{2m} > (2m-1)S_{2(m-1)}$을 항상 만족한다.
(d) 모든 $m \ge 2$에 대해, $T_{2m-1} < S_{2m} < T_{2m+1}$이 성립한다.

[명제 (a)의 증명]
식 (5)는 이전 시컨트 수와 조합의 곱이므로, 모든 시컨트 수는 자연수열이다.

[명제 (b)의 증명]
시컨트 수는 우함수인 시컨트 함수의 테일러 급수를 구성하므로, 홀수번 시컨트 수는 항상 $0$이다.

[명제 (c)의 증명]
식 (12)에서 $k$ = $m-1$인 경우만 보면, $m > 1$에서 항상 $S_{2m} > (2m-1)S_{2(m-1)}$이다.

[명제 (d)의 증명]
식 (12)에 $k$ = $0$을 대입해서 $S_{2m} > T_{2m-1}$을 증명한다. 또한 식 (14)에 따라 $T_{2m+1} > S_{2m}$도 만족한다.
______________________________

위에서 증명한 시컨트 수의 성질을 이용해 탄젠트 수의 속성도 도출할 수 있다.

[탄젠트 수의 성질]
(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.
(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.
(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.
(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.

[명제 (a)의 증명]
탄젠트 수는 식 (14)처럼 자연수열인 시컨트 수의 곱셈으로 계산하므로, 계산 결과인 탄젠트 수도 자연수열이 된다.

[명제 (b)의 증명]
시컨트 수와 상보적으로 탄젠트 수는 기함수인 탄젠트 함수를 구성해서 짝수번 탄젠트 수가 $0$이 된다.

[명제 (c), (d)의 증명]
시컨트 수와 탄젠트 수의 대소 관계인 $T_{2m-1} < S_{2m} < T_{2m+1}$을 활용한다.
______________________________

시컨트와 탄젠트 함수의 테일러 급수 전개를 더하면 재미있는 새로운 무한 급수가 만들어진다.

                       (15)

식 (15)의 우변이 생성하는 항은 짝수와 홀수 차수가 분명히 구별되므로 하나의 무한 급수로 만들 수 있다.

                       (16)

여기서 마지막식에 등장하는 관계식은 삼각 함수 항등식으로 증명한다. 수열 $A_m$은 $m$에 따라 시컨트 수와 탄젠트 수를 왔다갔다하기 때문에  지그재그 수(zigzag number) 혹은 위아래 수(up/down number)라 부른다. 지그재그 수에 빗대어서 스컨트 수와 탄젠트 수를 각각 지그 수(zig number)재그 수(zag number)로 나누어서 명명하기도 한다.
식 (2)에 나온 시컨트 함수 $\sec x$의 입력 변수에 순허수 $ix$를 대입해서 쌍곡 시컨트 함수(hyperbolic secant function) $\operatorname{sech} x$를 정의할 수 있다.

                       (17)

오일러 수(Euler number)로 정의하는 수열 $E_{2m}$를 도입해서 쌍곡 시컨트 함수의 항을 $E_{2m}$으로 간략화하기도 한다.

                       (18)

여기서 $E_{2m}$ = $(-1)^m S_{2m}$이다. 그러면 쌍곡 시컨트 함수는 오일러 수의 생성 함수가 된다. 오일러 수는 부호가 바뀌기 때문에 자연수열인 $S_{2m}$과 다르게 정수열(整數列, integer sequence)이 된다. 또한 오일러 수 $E_{2m}$은 오일러의 수(Euler's number) 혹은 네이피어의 상수라 칭하는 $e$와 꼭 구별되어야 한다.

[참고문헌]
[1] N. J. A. Sloane, "A000364: Euler (or secant or "zig") numbers," The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (방문일 2022-06-11)
 
[다음 읽을거리]

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