2022년 5월 31일 화요일

룽에 현상(Runge's Phenomenon)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "룽에 현상"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 룽에 함수에 출현한 룽에 현상(출처: wikipedia.org)

푸리에 급수(Fourier series)에 나타나는 기브스 현상(Gibbs phenomenon)처럼 다항 함수 보간(polynomial interpolation)에도 [그림 1]처럼 원치 않는 매우 큰 오차가 생기기도 한다. 상식적으로 다항 함수의 차수를 증가시키면서 자료점 개수도 늘리면, 보간된 함수는 원래 함수를 잘 따라가야 한다. 하지만 고차 미분으로 갈수록 미분값이 계속 커지는 함수를 다항 함수로 보간할 때는 보간 구간의 끝부분에서 보간된 함수값이 계속 커지는 현상이 발생한다. 이와 같이 등간격으로 배치한 자료점의 개수를 늘리더라도 다항 함수 보간의 정밀도가 개선되지 않고 오히려 보간된 함수가 양끝에서 커지면서 진동하는 현상을 룽에 현상(Runge's phenomenon)이라 한다.
다항 함수 보간의 대표 주자인 제$n$차 라그랑쥐 보간(Lagrange interpolation) $L_n(x)$를 중심으로 룽에 현상을 이해한다.

                  (1)

여기서 $(x_k, y_k)$는 함수값을 아는 자료점(data point)이다. 함수 $f(x)$는 어떤 점에서든 부드럽게[혹은 뾰족한 부분 없이] 변해서 미분 회수에 관계없이 고차 미분이 항상 유계(有界, bounded)라면, 라그랑쥐 보간의 차수 $n$을 늘릴 때의 보간 오차는 항상 줄어든다. 왜냐하면 $n$에 관계없이 고차 미분의 크기는 어떤 값 $M$보다 항상 작다는 조건으로 인해 $n$을 늘리면 라그랑쥐 보간의 최대 오차 혹은 잉여항의 절대값 $|R_n(x)|$가 $0$으로 수렴하기 때문이다.

                  (2a)

                  (2b)

                  (3)

여기서 $f^{(n)}(x)$는 $n$차 미분이다. 따라서 식 (3)처럼 고차 미분이 유계인 함수의 라그랑쥐 보간에는 룽에 현상이 생기지 않는다.
굳이 증명을 하지 않더라도 다항 함수의 차수와 자료점을 늘리면 원래 함수에 가까운 보간 결과는 당연히 얻어질 것 같다. 하지만 수학자 룽에Carl Runge(1856–1927)는 1901년룽에 45세, 대한제국 시절에 다음 2차 함수의 역수 혹은 룽에 함수(Runge function) $f(x)$를 다항 함수 보간하면서 이상한 현상을 하나 발견했다[1].

                  (4)

여기서 $-1 \le x \le 1$, 룽에 함수의 모양은 [그림 1]에 있는 빨간 실선이다. 룽에 함수는 그다지 복잡하지 않고 생긴 형태도 종 모양이어서 다항 함수 보간이 충분히 가능하다고 생각했다. 하지만 다항 함수의 차수를 증가시킬수록 [그림 1]처럼 보간된 함수는 양끝에서 발산하기 시작했다. 어떻게 된 것일까? 왜 이런 현상이 생길까? 룽에 입장에서는 쉬운 문제로 생각한 주제가 난처한 곤경이 되었지만, 결국에는 룽에 현상의 발견이라는 영예를 룽에에게 안겨주었다.
룽에 현상의 설명은 룽에 함수의 미분으로부터 시작한다. 식 (4)에 정의한 룽에 함수를 한번과 두번 미분한다.

                  (5)

1차 및 2차 미분의 크기 $|f^{(1)}(x)|$과 $|f^{(2)}(x)|$의 최대값은 각각 $x$ = $\pm \sqrt{3} \mathbin{/} 15$과 $0$에서 얻어진다. 이때 $|f^{(1)}(x)|$과 $|f^{(2)}(x)|$의 최대값은 각각 $15 \sqrt{3} \mathbin{/} 8$ $<$ $1! 5^1$, $50$ = $2! 5^2$이다. 식 (5)의 마지막 결과처럼 고차 미분은 $x \approx 0$ 근방에서 최대가 되므로, 고차 미분의 최대값은 다음과 같은 한계를 가진다.

                  (6)

식 (6)의 엄밀한 증명에는 식 (7)에 나온 2차 함수의 고차 미분을 이용한다.

             (7)

             (8)

차수 $n$이 짝수인 경우, $n+1$차 미분의 영점은 $x$ = $0$에서 생기며 이때 $n$차 미분의 최대 크기 $|f^{(n)}(x)|$는 정확히 $n! 5^n$이다. 차수 $n$이 홀수가 되면, 고차 미분의 최대 크기를 찾기가 매우 어려워진다. 그래서 홀수인 $n$에 대해 근사적으로 $|f^{(n)}(x)|$의 최대값을 다음처럼 찾는다.

                  (9)

                  (10)

여기서 $x_0$는 $f^{(n+1)}(x)$의 근사 영점이다. 따라서 고차 미분이 홀수더라도 식 (6)은 잘 성립한다. 매우 큰 홀수 $n$에 대해, 다음 점근 관계식도 성립한다.

                  (11)

                  (12)

여기서 $x_0$ = $\pm \alpha \mathbin{/} (5 n)$ = $\pm \pi \mathbin{/} (10 n)$이다. 결국 미분 차수 $n$이 짝수 혹은 홀수에 관계없이 식 (6)은 항상 참이다.
식 (2a)에 나오는 자료점 $x_k$ = $-1 + 2k/n$[$k$ = $0, 1, 2, \cdots, n$]라 두면, $x - x_k$ 곱의 최대 크기는 대략 $x_\max$ = $-1 + 1/n$에서 발생한다.[∵ 자료점에서 오차는 $0$이라서 최대 오차는 두 자료점의 중점에서 생긴다. 항 $x-x_k$로 인해 끝점으로 갈수록 현재점 $x$와 자료점 $x_k$의 차이가 커진다. 그래서 중점에서 생기는 오차는 끝점 부근에서 최대가 된다.] 점 $x_{\max}$에서 곱 $\prod_{k=0}^n (x - x_k)$의 최대 크기는 다음과 같다.

                  (13)

여기서 $(\cdot)!!$는 이중 계승(double factorial)이다. 따라서 룽에 함수에 대한 라그랑쥐 보간의 최대 오차는 한계가 없이 증가한다.

             (14)

즉, 차수 $n$이 커질 때, 스털링의 공식(Stirling's formula)에 따라 식 (14)의 최종 결과는 계속 증가해 발산한다.

                  (15)

이로 인해 라그랑쥐 보간의 차수를 아무리 높여도 끝점 부근에서는 보간 오차가 지속적으로 커지는 룽에 현상이 발생한다. 

[참고문헌]
[1] C. Runge, "Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (About empirical functions and the interpolation between equidistant ordinates)," Zeitschrift für Mathematik und Physik (Journal of Mathematics and Physics), vol. 46, pp. 224–243, 1901.
[2] J. F. Epperson, "On the Runge example," Am. Math. Mon., vol. 94, no. 4, pp. 329–341, 1987.

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