기브스 현상(Gibbs Phenomenon)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "기브스 현상"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 푸리에 급수의 시작

디리클레가 1829년디리클레 24세, 조선 순조 시절에 제시한 증명에 의해 푸리에 급수(Fourier series)는 항상 원래 함수로 수렴한다. 만약 유한한 불연속점이 있으면, 푸리에 급수는 좌극한과 우극한의 평균값으로 수렴한다.

                          (1)

식 (1)과 같은 푸리에 급수의 성질이 유한한 급수 합인 부분 합(partial sum)에서도 성립할까? 애석하게도 불연속점 근처에서는 식 (1)과 유한 급수가 같지 않다. 아무리 항을 더해도 필연적으로 푸리에 급수와 오차가 생기며 빠르게 진동한다. 불연속점 근방에서 무한 급수(infinite series)인 푸리에 급수에 접근하는 부분 합이 만드는 근원적인 오차 한계를 기브스 현상(Gibbs phenomenon)이라 부른다[1].

[그림 1] 조화 분석기로 그린 기브스 현상(출처: [2])

[그림 2] 현대 컴퓨터로 그린 기브스 현상(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 톱니파를 푸리에 급수로 나타낼 때의 기브스 현상(출처: wikipedia.org)

기브스 현상에 대한 토론은 광속 측정으로 유명한 마이컬슨Albert Abraham Michelson(1852–1931) 교수의 1898년마이컬슨 46세, 대한제국 시절 논문[2]으로부터 시작되었다. 마이컬슨은 미국인 최초의 노벨 물리학상 수상자이기도 하다. 다소 복잡한 기계 장치를 이용해서 마이컬슨은 푸리에 급수의 항을 80개까지 계산할 수 있는 조화 분석기(harmonic analyzer)를 개발했다. 조화 분석기는 푸리에 급수를 상당히 잘 계산했지만, 불연속점에서의 결과가 이상했다. 디리클레의 증명에 의하면 푸리에 급수의 항을 더할수록 오차가 줄어서 원래 함수에 가까워져야 하지만, 조화 분석기의 계산 결과는 원래 함수와의 오차를 그대로 포함하고 있었다. 기계를 세밀하게 수정하거나 손으로 다시 계산해도 오차는 사라지지 않고 과잉 쏠림(overshoot)이나 과소 쏠림(undershoot) 형태로 계속 남았다. 특히 마이컬슨은 톱니파(sawtooth wave)인 $y$ = $x/2$의 푸리에 급수는 $x$ = $\pi$ 근방에서 톱니파에 제대로 수렴하지 않는다고 지적했다[3].

                     (1)

푸리에 급수를 이용해 톱니파를 근사할 때 나타나는 기브스 현상은 [그림 3]에서 볼 수 있다. 마이컬슨의 논증은 균등 수렴(uniform convergence)을 고려하지 않기 때문에 문제가 있다. 여기에 더해 기브스Josiah Willard Gibbs(1839–1903)는 증명없이 불연속점 근방에서 과잉 쏠림이나 과소 쏠림이 생기는 결과는 당연하며 쏠림의 크기도 계산해서 제시했다[4]. 기브스의 지적이 있고 얼마 뒤, 동일한 문제를 윌브라함Henry Wilbraham(1825–1883)이 50년 전에 이미 발표했다는 사실이 알려졌다.

톱니파의 기브스 현상도 분석이 가능하나, 좀더 쉬운 부호 함수 ${\rm sgn}(x)$ 혹은 사각파(square wave)에 대해 기브스 현상을 분석해본다[1].

                     (2)

식 (2)에 나온 부분 합을 $N$개의 항만 써서 $S_N (x)$로 다시 표현한다.

                     (3)

여기서 ${\rm Sa}(\cdot)$는 표본화 함수(sampling function)이다. 원점 근방인 $x$ = $\epsilon$에서 부분 합의 특성을 관찰하기 위해 식 (3)을 리만 합(Riemann sum)처럼 공식화한다.

                     (4)

여기서 사인 함수의 합이 항상 커지도록[혹은 양의 방향으로 최대 오차인 과잉 쏠림을 만들기 위해 $[2(N-1) + 1] \epsilon$ = $\pi$] $\epsilon$ = $\pi/(2N-1)$로 두며, 부분 합을 계속 증가시키는 $x$ = $\epsilon$ 근방에서 과잉 쏠림이 발생한다. 다음 단계로 $N \to \infty$로 보내서 리만 합을 적분으로 바꾼다.

                     (5)

여기서 $\Delta x$ = $2 \mathbin{/} (2N-1)$, $x_n$ = $(2n+1) \mathbin{/} (2N-1)$ = $(n+0.5) \Delta x$, ${\rm Si}(\cdot)$는 사인 적분(sine integral)이다. 식 (5)에 따라 기브스 현상이 만드는 과잉 쏠림은 약 8.95%가 된다.

                     (6)

여기서 $\pi/4$는 사각파의 진폭(amplitude), $\pi/2$는 사각파의 첨두대 첨두값(尖頭對尖頭値, peak-to-peak value)이다. 식 (5)에서 리만 합을 적분으로 만드는 과정이 어색해 보이면, 다음 적분 관계를 활용한다.

                     (7)

사인 함수 대신 식 (7)의 적분을 써서 부분 합 $S_N(x)$를 유도한다[1].

                     (8)

식 (4)와 비슷하게 $x$ = $\epsilon$ = $\pi \mathbin{/} (2N)$를 대입하고 $N \to \infty$로 보낸다.

                     (9)

결국 식 (5)와 (9)는 접근법이 달라도 동일한 적분값을 생성한다. 또한 식 (5)와 (9)에 나온 사인 적분값 ${\rm Si}(\pi)$[= 1.851937051982$\cdots$]는 윌브라함–기브스 상수(Wilbraham–Gibbs constant)로 정의한다.

[참고문헌]

[1] K. Raeen, A Study of The Gibbs Phenomenon in Fourier Series and Wavelets, M.S. Thesis, University of New Mexico, USA, 2008. (방문일 2022-05-28)

[2] A. A. Michelson and S. W. Stratton, "A new harmonic analyser," Phil. Mag., vol. 45, 85–91, 1898.

[3] A. A. Michelson, "Fourier's series," Nature, vol. 58, no. 1510, pp. 544–545, Oct. 1898.

[4] J. W. Gibbs, "Comment on 'Fourier's series'," Nature, vol. 59, no. 1522, p. 200, Dec. 1898.

[5] H. Wilbraham, "On a certain periodic function," Cambridge Dublin Math. J., vol. 3, pp. 198–201, 1848.

[다음 읽을거리]

1. 룽에 현상