2010년 7월 8일 목요일

적분법(積分法, integration)의 의미



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "적분법의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 극한의 의미
3. 적분형 평균값의 정리
4. 조임정리

[동영상]
1. Derek Owens - Math and Physics: Calculus - The Fundamental Theorem of Calculus


적분법을 쉽게 생각하려면 미분법의 반대라고 생각하는 것이다. 마치 덧셈의 역연산이 뺄셈, 곱셈의 역연산이 나눗셈이 되는 것처럼. 하지만, 적분법에는 이 이상의 의미가 있다.

[그림 1] 구간을 나누어 면적을 구하는 방법(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에 표시되는 것처럼 특정 곡선이 그리는 궤적(빨간색 곡선)에 대한 면적(회색 사각형)을 구할 때 적분법이 유용하게 사용될 수 있다. 이런 개념은 뉴턴(Sir Isaac Newton)과 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)가 미적분법을 고안했을 때부터 잘 알려져 있었다.
그런데, 적분을 하면 왜 면적을 얻을 수 있는가?
여기에 대한 진지한 고민이 적분법에 대한 이해를 도울 수 있다.

아래 식 (1)은 [그림 1]의 곡선이 표현하는 면적을 구하는 근사 수식이다. 

                        (1)

여기서 $x_n$은 면적을 구하기 위해 적분 구간을 나눈 점이며 $t_n$은 닫힌 구간 $[x_{n}, x_{n+1}]$ 사이에 있는 임의점이다. $x_n$은 아래 순서를 만족한다.

                        (2)

식 (1)이 근사 수식이 아니고 정확한 적분이 되려면 식 (3)과 같이 $N$이 무한대로 가야 한다.

             (3)

여기서 $N$이 증가하면 이산적인 값 $t_n$은 연속적인 값 $x$가 된다. 왜냐하면 수열의 시작점($a$)과 끝점($b$)이 고정된 상태에서 수열의 수($N$)가 증가하기 때문에 수열들 간의 간격이 반드시 0으로 가야 한다. 수열들의 간격이 0에 무한히 근접하므로 닫힌 구간 $[x_n, x_{n+1}]$ 사이에 있는 $t_n$은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $|t_n - x| < \epsilon$을 만족할 수 있다. 따라서, 수열 $t_n$이 $x$에 수렴하기 때문에 $t_n$을 연속적인 값으로 생각할 수 있다. 다만 식 (14)와 같은 이상한 경우가 있기 때문에 수열이 어떤 연속적인 값에 수렴한다 할지라도 실수의 완비성(completeness of real number)을 자동적으로 만족하는 것은 아니다.

그런데, 식 (3)의 좌변과 우변이 같은 것은 첫눈에 이해가 되지는 않는다. 식 (3)의 좌변은 부정적분(不定積分, indefinite integral: 미분의 역연산) 기반으로 정적분(定積分, definite integral)을 정의한 것이고 식 (3)의 우변은 면적 개념을 기반으로 정적분을 정의한 것이다.
이걸 이해하려면 바보 같지만 놀라운 혜안이 필요하다. 바로 피적분함수(被積分函數, integrand)인 $f(x)$가 어떤 함수(원시 함수(原始函數, primitive function)라 부른다) $F(x)$의 미분이라고 뉴턴과 라이프니츠가 했던 위대한 착각을 하는 것이다.
약 $f(x)$를 $F(x)$의 미분이라 착각하면 어떻게 되는 지 식 (3)을 변형해 보자.
간단한 계산을 위해 $x_{n+1} - x_n = \Delta x = (b - a)/N$, $t_n = (x_{n+1} + x_n)/2$라 가정하자.
근사적으로 보면 식 (4)가 성립한다.

                        (4)

식 (4)가 근사식이 되는 이유는 $f(t_n) \ne \Delta F(t_n)/ \Delta x$이기 때문이다. 하지만, $N$이 무한대로 가면 식 (4)는 등식이 된다. 이런 개념을 사용하면 적분하는 것은 곡선이 둘러싸고 있는 면적을 구하는 것이라는 것을 쉽게 이해할 수 있다.
식 (4)의 방법론은 코쉬(Augustin-Louis Cauchy)가 기초를 마련하고 리만(Bernhard Riemann)이 확립했다[1]. 이것은 식 (3)의 우변에 정의한 리만 적분(Riemann integral)의 중요한 개념이다. 리만 적분은 적분 구간을 식 (2)처럼 나누고 이 세부 구간에 존재하는 임의의 $t_n$에 대한 함수값의 무한합(infinite sum)이 항상 하나의 값으로 수렴하는 적분이다[1].

리만 적분을 좀더 수학적으로 살펴보자. 식 (4)의 유도에서 자명한 것으로 가정한 것이 두 가지 있다.
째, $F(x)$를 미분하면 $f(x)$가 되며 이 원시 함수 $F(x)$는 존재한다는 것이다.
둘째, $\Delta x$를 줄이기 위해 식 (4)의 $N$이 무한대로 가면 적분으로 수렴한다는 것이다.
이 두 명제를 각각 증명해 보자.

[5. 미적분학의 제1 기본 정리: the first fundamental theorem of calculus]
$f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 $F(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 식 (5)와 같이 정의되면 $F(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이며 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하고 $dF(x)/dx = f(x)$가 성립한다.

                                             (5)

[증명]
닫힌 구간 $[a, b]$에 있는 임의의 두점을 $x_0$, $x_0 + \Delta x$라 하자. 그러면

                        (6)

식 (6)의 마지막줄에서 두 구간을 합칠 수 있는 이유는 아래식 (16), (17)에 증명되어 있다.
적분형 평균값의 정리(mean value theorem for integration)에 의하면 닫힌 구간 $[x_0, x_0 + \Delta x]$에 존재하는 적당한 $c$에 대해 다음 식 (7)이 반드시 성립한다.

                                             (7)

식 (6)과 (7)을 결합하면

                                             (8)

$\Delta x$를 0으로 한없이 가까이 가게 하면 식 (8)의 좌변은 미분형이 된다.

                        (9)

식 (8)의 우변은 $x_0 \le c \le x_0 + \Delta x$이 성립하므로 조임정리(squeeze theorem)에 의해 식 (9)의 둘째줄이 증명된다.
$f(x)$가 연속이므로 $F(x)$의 미분은 존재하여 $F(x)$는 미분가능하다. 또한, $F(x)$가 미분가능하므로 당연히 연속조건을 만족한다.
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[10. 미적분학의 제2 기본 정리: the second fundamental theorem of calculus]
$f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에 정의되어 있고 $dF(x)/dx = f(x)$가 성립하면 식 (10)을 만족한다.

                       (10)

[증명]
식 (10)에 소개한 적분 정의는 식 (3)과 동일하므로 식 (4)를 이용하여 위 명제를 증명하자.
적분형 평균값의 정리인 식 (8)을 식 (4)에 적용하면


                           (11)

여기서
 $\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$. 식 (11)에서 $\Delta x_n$을 줄이기 위해 $N$을 무한대로 보내면

   
                        (12)

$F(x)$가 존재하면 식 (12)의 둘째줄에 있는 극한은 당연히 존재한다.
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위의 정리 증명에서 평균값의 정리를 쓰지 않고 극값의 정리(extreme value theorem)를 쓰면 다르부 적분(Darboux integral)에 도달하게 된다. 이 적분은 다르부(Jean Gaston Darboux)가 식 (3)의 우변에 있는 리만 적분을 더 명확하게 정의하기 위해 사용한 개념이다.

[그림 2] 리만 적분의 실제적인 예(출처: wikipedia.org)

식 (3) 우변의 리만 적분이 명확하지 않은 이유는 뭘까? 함수값을 정의하기 위한 $t_n$이 정해지지 않았기 때문이다. 리만 적분에서는 어떠한 $t_n$을 정의하든지 무한합이 수렴해야만 리만 적분가능(Riemann integrable)하다고 말한다. 예를 들어 [그림 2]를 보자. 초록색은 최대값, 빨간색은 최소값, 파란색은 오른쪽값, 노란색은 왼쪽값이 되도록 $t_n$을 선택한 것이다.
임의의 $t_n$이라는 말에 명확성이 포함되지 않기 때문에(or 리만 적분을 계산할 때 항상 임의의 $t_n$에 대해 수렴함을 증명해야하기 때문에) 다르부는 최대값과 최소값 개념을 이용하여 리만 적분을 식 (13)에 제시한 다르부 적분으로 다시 정의하였다.

          (13)

식 (3)의 리만 적분과 식 (13)의 다르부 적분은 서로 등가이다. 리만 적분가능이면 $t_n$을 택할 때 항상 최대값이나 최소값이 되도록 하면 적분값은 서로 같은 값으로 수렴하므로 다르부 적분가능이 성립한다.
반대로 다르부 적분가능하다면 식 (13)의 좌변과 우변이 한 값으로 수렴하므로 조임 정리(squeeze theorem)에 의해 임의의 $t_n$에 대한 적분값이 한 값으로 수렴해서 리만 적분가능하다.

적분의 기본적인 특성은 제1과 제2 기본정리에 의해 파악할 수 있다. 하지만, 식 (3)이나 식 (12)와 같은 적분으로 모든 함수에 대한 적분을 할 수 있는가?
아래 식 (14)에 정의된 함수를 고려하자.

                       (14)

 (14)는 $x$가 유리수(有理數, rational number)이면 1을 택하고 무리수(無理數, irrational number)이면 0을 택한다. $f(x)$를 식 (3)에 넣고 $a = 0$에서 $b = 1$까지 적분하면

                       (15)

식 (15)의 적분계산시 구간을 나누는 기준점은 $x_n = \Delta x \cdot n = (1 - 0)/N \cdot n$으로 가정하고 $c_n$은 이 구간에 있는 어떤 유리수라고 가정하였다. 그러면 $c_n$이 유리수이기 때문에(예를 들면 $c_n = (x_{n+1} + x_n)/2$) 최종적분값은 반드시 1이 나와야 한다. 혹은 $c_n$을 무리수라고 하면(예를 들면 $c_n = x_n + \Delta x \cdot (\sqrt{2}-1)$) 식 (14)에 의해 항상 0을 택하게 되서 적분값은 0이 나온다.
또한, 유리수는 가산 집합(可算集合, countable set)이며 무리수는 비가산 집합(非可算集合, uncountable set)이라는 것을 칸토르(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)가 증명했으므로 식 (15)의 적분 계산값은 1이나 0이 아니라 항상 0이 되어야 맞다. 여기서 비가산 집합은 가산 집합보다 농도가 무한대로 많다. 그러면 리만 적분이 틀렸는가? 아니다. 리만 적분의 적용이 틀린 것이다. 리만 적분이 적용되려면 유한한 구간에서 함수의 연속성(continuity)이 반드시 성립해야 한다. 식 (14)에 있는 함수 $f(x)$는 유한구간에서 연속성을 만족하지 않기 때문에 리만 적분을 적용할 수 없다. (∵ 함수가 연속성을 만족하면 리만 적분값이 항상 하나의 값으로 수렴해야 하나 두 가지 값이 얻어질 수 있기 때문에 식 (14)의 함수는 어떤 구간에서도 연속이 아니다.) 이런 리만 적분의 문제점을 해결할 수 있는 것이 르베그(Henri Léon Lebesgue)가 제안한 르베그 적분(Lebesgue integral)이다. 르베그는 간단하지만 기상천외한 방법으로 리만 적분을 변형했다. 르베그 적분을 통해 적분가능성과 함수의 연속성을 분리시킬 수 있다. 이런 것이 수학의 아름다움 중 하나이다. 

미분공식과 식 (3)의 우변을 이용하면 다양한 적분공식을 유도할 수 있다.

[16. 0인 적분 구간]

                       (16)

[증명]
정적분의 정의인 식 (3)에 의하면 닫힌 구간 $[a, a]$는 간격이 없으므로($\Delta x = x_{n+1} - x_n = 0$) $f(x)$가 유한하면 당연히 정적분값은 0이 되어야 한다.
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[17. 반대 방향 적분 구간]

                       (17)

[증명]
$f(x)$가 고정된 상태에서 적분 구간을 거꾸로 바꾸면 $\Delta x = x_{n+1} - x_n$의 부호가 바뀌어 정적분값도 부호가 바뀌어야 한다.
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[18. 적분 구간의 연결]

                       (18)

[증명]
$f(x)$가 고정된 상태에서 식 (18)의 좌변과 같이 두 개의 적분 구간을 더하면 적분 구간을 나눈점인 $x_n$이 식 (2)와 유사하게 서로 연결된 것이라 생각할 수 있어 식 (18)의 우변과 같이 적분 구간을 하나로 합할 수 있다.
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[19. 선형 사상(線型寫像, linear mapping)]

                       (19)

[증명]
식 (19)의 피적분 함수를 식 (3)에 대입하여 정리하면 식 (19)가 바로 나온다.
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[20. 부분 적분(部分積分, integration by parts)]

                       (20)

[증명]
적분은 미분의 역연산이므로 곱셈에 대한 미분 공식을 이용하여 식 (20)을 증명할 수 있다.
여기서

                       (21)
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[참고문헌]
[1] B. Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (About the Description of a Function by a Trigonometric Series), 1853.

[다음 읽을거리]
1. 미분 방정식의 의미

댓글 19개 :

  1. 와.. 이 블로그 구경하고 있는데 엄청 잘 설명해두셨네요. 감사합니다.

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    1. 많이 놀러 오시고 구경도 많이 하세요. ^^ 감사합니다.

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  2. 산수 밖에 모르는 제가 어쩌다가 통신회사에 입사한지 9년만에 늦은 공부를 하고 있습니다.
    통신 반도체 설계 부서가 아니고는 이런 부분들이 필요가 없을거라 생각했는데, 통신반도체 양산 셋업 업무를 하면서 DFT, FFT(장비에서 알아서 해줌)를 공부하려고 하니, 기초가 너무 없다는걸 뼈져리게 느끼네요. 정말 근의공식부터 다시 봐야 할 것 같습니다.
    이런건 한참 머리 잘 돌아갈때 했어야 하는건데, 시작이 너무 늦지 않은건지 걱정되네요. ㅜㅜ

    블로그 내용 정말 감사합니다.

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    1. 방문 감사합니다. ^^

      저는 전혀 늦지 않았다고 생각합니다, 익명님. 제가 가끔 생각하는 수학자 겸 물리학자가 조지 그린(George Green)입니다. 35세까지 정규 교육은 단 1년 받았고 그의 직업은 제빵사 겸 방앗간 주인이었습니다. 하지만 35세에 처음으로 수학과 물리학 논문을 자비로 출판합니다. 이게 정말 대단한 논문입니다. 미분 방정식을 푸는 관점 자체를 바꾸었고 전자기학의 한 분야를 만들었습니다. 대학은 이 논문을 인정받아 39살에 들어갔습니다.
      초등 중퇴인 그린과 비교하면 이 블로그를 찾는 대부분의 사람은 훌륭한 조건을 가지고 있습니다. 열심히 하시면 됩니다.

      그린은 고급 전자기학에서 항상 사용하는 아래 함수를 발명한 수학자입니다. 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/greens-function-of-differential.html

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  3. 하핫.. 전에도 왔서 질문 했었는데 이 글을 읽고 또 궁금한게 있어서 남깁니다.
    적분법이 계속 필요에 의해서 의미가 확장됨에 따라서 미분법도 적용범위가 확장되어야 할까요..? 아니면 확장이 된 미분법이 있나요?
    질문이 약간 이상한거같네요.^^;
    위에서 디리클레 함수를 적분하는데 원래 미분이 적분보다 먼저 나오잖아요. 적분이 확장되면 당연히 미분의 의미도 확장되어야하지 않을까요?

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    1. 정대영님, 물론 수학이 발전할수록 새로운 미분법도 계속 출현하고 확장되어야겠지요. 미분, 편미분, 텐서, 행렬의 미분 등으로 발전한 것처럼요.

      하지만 난이도에서는 적분법이 더 깊이가 있기 때문에 아무래도 새로운 연구는 적분 쪽에서 일어나는 것 같습니다. 미분의 기반이 극한이라면 적분의 기반은 무한 급수여서 개념의 깊이가 다릅니다.

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  4. 안녕하세요 이 블로그를 통해 많이 배우고있는 학생입니다. 질문좀 드리려고 글 올립니다.

    식(4)에서 f(t n )≠ΔF(t n )/Δx 인 이유는 무엇인가요??

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    1. 답변이 늦었네요, 임명호님. ^^
      이 부분은 미분과 차분의 관계를 생각하면 됩니다. 한 점의 미분값을 구할 때 차분만으로 계산하면 근사가 되지만 분모의 극한을 0으로 보내면 정확한 미분값이 되는 것과 동일합니다.

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  5. 그리고 이것이 N이 무한대로 가기전에는 성립안하지만 N이 무한대로 갈 경우 왜 성립하는건지 궁금합니다.

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    1. $N$이 무한대로 가야만, 간격 $\Delta x$가 0으로 갑니다.

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  6. 식(1)부터 식(3)까지 도출하는 과정에서, 닫힌 구간의 표기가 [x_n+1, x_n]에서 [x_n, x_n+1]이 되어야 하지 않나 조심스럽게 여쭤봅니다....

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    1. 틀렸네요. ㅠㅠ
      지적 정말 감사합니다, 익명님. 바로 고쳤습니다.

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  7. 흠 별건 아니지만 리만적분의 예시 그림에서
    파란색이 오른쪽값, 초록색이 최대값인 것 같아요 :)

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    1. 지적 정말 감사합니다, 최성광님. ^^
      사소한 것도 틀린 부분은 반드시 고쳐야 되는데, 큰 도움 주셨습니다.

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  8. 안녕하세요. 항상 좋은 글들 잘 보고 있습니다. 푸리에를 공부하기 위해서 들어왔다가 역주행 하여 적분까지 오게 되었네요 ㅎㅎ 좋은 글 감사합니다.
    그런데 식 3 밑의 3번째줄에서 [xn+1,xn] 이 [xn,xn+1]이 되어야 하지 않을까 하는 생각이 듭니다.
    그리고 가산집합과 비가산 집합에 대해서 말씀해주셨는데 가산집합, 비가산집합과 식 15의 적분값이 0이 되는것과는 무슨 관련이 있나요?

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    1. 1. 틀렸네요. 지적 정말 감사해요, Unknown님. ^^

      2. 리만 적분의 한계를 보여주는 대표적인 예가 식 (14)의 적분입니다. 식 (14)는 르베그 적분을 적용해야 하며, 적분값은 0입니다.
      가산과 비가산 집합은 무한을 이해하기 위한 핵심 수단이지만, 잘못하면 개념이 산으로 가기 때문에 본문에서는 더 구체적으로 설명하지는 않았습니다. 집합론은 시간날 때 따로 기술할 생각입니다.

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    2. 그렇군요ㅎㅎ
      오래전 글임에도 빠르게 답변해주셔서 정말 감사합니다.
      늦은시간에 답변을 달아주실줄 미처 예상하지 못해서 지금에서야 확인하네요 ^^
      항상 좋은글들 잘 보고 있습니다~~

      무더운 날씨인데 더위 조심하시고 항상 건강하세요~

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  9. 전파산란분야로 대학원을 진학한 학생입니다.
    정말 감사한 마음으로 정독중입니다.
    식 (4)에서 t_n = (x_n+1 + x_n)/2 = x_n + (x_n+1 - x_n)/2 = x_n + delta(x) / 2 가 되어야 하지 않을까요?
    혹시 산란과 관련한 글은 쓰실 의향이 있는지 여쭙고 싶습니다!

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    답글
    1. 익명님, 어려운 분야를 선택하셨네요. 열심히 하셔서 좋은 결과 있기를 바랍니다. ^^

      $t_n$은 인접한 두 점의 중점을 택한 값입니다. 그래서 본문은 틀린 부분이 없습니다.

      요즘은 업무가 많아 글은 잘 쓰지 못 하고 있네요. 기회되면 산란 분야도 정리할 생각입니다.

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