2010년 6월 14일 월요일

미분법(微分法, differentiation)의 의미

[그림 1] 미분법은 기울기 구하기(출처: wikipedia.org)

고등학교 시절이면 어김없이 배우는 미분법. 깊은 고민없이 수학 공식만 암기하면 미분법의 참맛을 느낄 수 없다.

미분을 하는 이유는 해당 곡선의 기울기(slope)를 알기 위해서이다.
[그림 1]을 보면 기울기가 '+'이면 녹색이 되고 '-'이면 빨간색이 된다. 기울기가 '0'이면 검정색이 된다. 이런 특성은 미분법을 통해 쉽게 알 수 있다.

따라서, 미분법을 이해하려면 먼저 기울기부터 정의해야 한다. 기울기는 일차 함수인 $y = ax + b$와 같이 변화율을 이용하여 식 (1)과 같이 정의한다.

                                  (1)

식 (1)에서 $x_1$이 $x_2$로 가까이 가면 식 (1)은 미분 혹은 미분값으로 정의할 수 있다.

                                   (2)

자 여기서 주의해야 할 용어가 있다. 미분소(微分素, differential)와 미분법(微分法, differentiation)이다.
미분소를 생각하기 전에 먼저 차분(差分, difference)을 생각하자. 차분은 두값을 뺀 차이를 뜻한다. 즉, $x_2$와 $x_1$ 사이의 간격을 의미하므로 식 (3)으로 정의한다.

                                    (3)

위의 차분에서 $x_1$이 $x_2$로 한없이 가까이 가면 이를 미분소라 한다. 즉, 미분소는 차분의 극한(限, limit)으로 생각할 수 있다.

                                     (4)

차분의 극한 개념으로 위의 식 (2)를 보면 $x$와 $y$에 대한 미분소의 비율로써 미분값을 정의할 수 있다.
미분법은 이런 미분값을 얻기 위한 과정이다.

자 여기서 수학적으로 민감한 부분이 있다. 한없이 가까이 간다는 극한은 수학적으로 어떻게 생각해야 하는가?
또한, 식 (4)의 값은 실상 0으로 수렴한다. 분모가 0이 되는 식 (2)의 값은 정말로 존재하는가?

한없이 가까이 간다는 것을 수학적으로 명확히 정의하기는 매우 어렵다. 코쉬(Augustin-Louis Cauchy)가 극한을 정의하기 위해 사용한 $\epsilon$-$\delta$ 정의가 필수적이다.
론 $\epsilon$-$\delta$ 정의는 수학도들에게 악명높은 방법론이다.
하지만 다른 방법이 있나? 명확성을 유지하면서도 더 직관적으로 극한을 정의할 수 있다면 빨리 수학 논문지에 논문을 쓰기 바란다. 쉽지 않은 일이니까!

미분값의 존재성은 평균값의 정리와 밀접히 연관되어 있다.
미적분에 대한 고등학교 수학 내용 대부분을 고등학생들이 힘들어 하지만 그중에서도 제일 이해가 어려운 것이 평균값의 정리이다.
학생들은 아마 이런 생각을 할 수도 있을 것이다.
"내가 수학자가 될 것도 아닌데 도대체 이걸 왜 공부하지? 잘 모르겠다. 그냥 외우자."
이런 생각이 지배하면 미분은 매우 지겨운 수학 분야가 될 것이다.
하지만 코쉬도 우리와 같은 평범한 사람이다. 미분의 역사는 뉴튼(Sir Isaac Newton)과 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)가 시작했지만 명확한 개념을 가지고 이 문제를 고민한 사람은 미분의 발명후 150년쯤이 지나서 활동한 코쉬이다.
코쉬가 평생 이룬 업적을 고교 2학년생이 몇시간 수업을 듣고 이해한다면 이것이 기적 아니겠는가? 수학이라는 학문은 겸손한 마음으로 접근해야 한다. 물론 모든 것을 의심하면서 인내를 가지고...

기울기를 구하기 위해 사용한 미분법은 어디에 유용하게 사용할 수 있나?
첫째, 함수의 꼭대기값을 찾기 위해 사용할 수 있다.
[그림 1]에서 기울기가 증가하면 녹색이 되고 감소하면 빨간색이 된다. 이 개념을 함수값 관점으로 보자. 기울기가 녹색인 방향으로 가면 함수값이 증가하고 기울기가 빨간색인 방향으로 가면 함수값이 감소한다.
즉, [그림 1]에서 함수의 꼭대기값을 찾기 위해 기울기가 녹색인 방향으로 가면 잘 가고 있으니 계속 가면 되고, 기울기가 빨간색인 방향으로 가면 틀린 방향이니 반대방향으로 가야 꼭대기를 찾아갈 수 있다.
움직인 결과로써 기울기가 0(검정색)이 되면 꼭대기값에 온 것이므로 정지하면 된다. 이런 방법으로 함수의 특정 근방에서 최대값을 찾는 방법이 뉴튼 최적화(最適化, Newton optimization)이다.
따라서, 함수를 미분하면 근방에 위치한 함수의 꼭대기값을 쉽게 찾아갈 수 있다. 이런 미분 개념과 벡터(vector)를 융합하면 함수의 최대값을 찾아가기 위한 방향을 미분 기반 벡터 연산(구배, 勾配, gradient)으로 결정할 수 있다.

둘째, 일반적인 함수에 대한 일차 근사(一次近似, linear approximation)를 명확히 할 수 있다.
식 (1)과 (2)에 표현된 것처럼 미분은 특정점 근방의 성질을 기울기 특성($y = ax + b$)으로 표현할 수 있기 때문에 함수 자체의 복잡한 특성을 보지 않고 선형으로 모형화해 함수의 일반적인 특성을 명확하게 기술할 수 있다.
또한, 함수가 가진 미분값들의 상관관계를 이용한 방정식이 미분 방정식(微分, differential equation)이다. 대부분의 물리방정식은 미분 방정식을 이용하여 기술한다.

[20분만에 미적분학 정리(calculus in 20 minutes): 완전한 20분짜리 동영상 강의 링크]

극한의 성질과 식 (2)를 이용하면 미분의 법칙을 손쉽게 증명할 수 있다.

[5. 선형 사상(線型寫像, linear mapping)]

                                     (5)

[증명]
식 (5)의 좌변을 식 (6)과 같이 차분한 후 $\Delta x \to 0$이 되게하면 식 (5)가 증명된다.

             (6)
______________________________

[7. 곱셈의 미분]

                                     (7)

[증명]

          (8)
______________________________

[9. 나눗셈의 미분]

                                     (9)

[증명]

             (10)
______________________________

[11. 합성 함수의 미분]

                                     (11)

[증명]

                                     (12)
______________________________

식 (11)의 증명에서 $f(x) = C$인 상수 함수라면 다소 문제가 있다. 식 (12)의 분자($\Delta [f(x)]$), 분모($\Delta f(x)$)가 모두 0이 되므로 식 (12)의 우변은 불능이 된다. 다만 $f(x) = C$는 $x$값을 $C$로만 보내는 함수이므로 $g[f(x)] = g(C)$가 된다. 이것은 우리가 의도한 합성 함수는 아니므로 $f(x) = C$는 합성 함수의 정의역 표현식에서 제외시킬 수 있다. 

[13. 역함수(逆函數, inverse function)]
$x = f^{-1}(y)$ 혹은 $y = f(x)$인 경우 미분은 다음과 같다.

                                     (13)

[증명]
식 (12)와 유사하게 차분하면 식 (13)을 증명할 수 있다.
______________________________

아래에 다양한 함수들의 미분 공식을 증명한다.

댓글 75개 :

  1. 잘보고 갑니다 ㅎ

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  2. 정말 감사합니다! 혹시 Mechanical Engineering 기본은 정리할 생각 없으신가요? ㅎㅎ

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  3. ^.^;; 전자파 방정식보다 어려운 것이 연속체 역학(continuum mechanics)이라 다루기가 쉽지 않겠지요! 지금은 수학분야 내용을 더 쌓을 생각입니다.

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  4. 정말 감사합니다!!

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  5. ^.^ 즐겁게 봐주시니 저도 좋습니다.

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  6. 감사합니다 ^^ 잘 보고 갑니다

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  7. 도움이 되었으면 좋겠습니다. 감사합니다.

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  8. 입이트이는미분2012년 2월 6일 오후 2:29

    잘 보고가요! 이해안되는거있음 여쭤볼게요!

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  9. 경제학 석사과정중인 학생입니다. 수학적 기반이 깊지 않아 고생중인데 도움이 많이 되었습니다. 게시물 전부 읽어볼 생각입니다. ㅎㅎ 감사합니다!

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  10. 상당한 칭찬이군요. 감사합니다. ^^

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  11. 안녕하십니까.
    제어공학을 전공하는 학생입니다. 수학과 영어에 대해서, 담을 쌓고 살았는지가 언제 인지 모르겠습니다... 보다 전문적이고, 능률이 높게 개발을 할려니... 이 두가지가 없으면 안된다는 것을 뼈저리게 느끼게 되었습니다. 정말, 지금부터라도 죽도록 열심히 해야겠네요 ㅠ.ㅠ 저두, 익명님(?!) 처럼 열심히 게시물 정독해서 따라 가겠습니다. 감사합니다.

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  12. 제어공학 전공하시면 수학이 많이 필요하겠네요. 제어이론은 자기한계까지 수학적으로 증명가능해서 세상에서 가장 완벽한 공학이론이라 생각합니다. 자부심 가지시고 열심히 하십시오.
    갑자기 너무 달리시면(?) 지칠 수가 있으니 천천히 가십시오. 그래야 멀리 갈 수 있습니다.
    감사합니다.

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  13. 으아 정말 재미있네요. 이정도 쓰실라면 공부 많이 하셨겠어요. 자주 찾아올께요 ㅋㅋ

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    1. 과찬이네요, 감사합니다. 앞으로도 재미있게 공부하세요.

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  14. 읽을거리가 너무 많아서 행복합니다~ *^^*

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    1. 김낙현님 같은 칭찬 덕분에 틈날 때마다 글을 쓰게 되네요. 감사합니다. ^^

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  15. 이야.. 이렇게 게시물들 정성스럽게 잘 작성해주셔서 감사합니다. 수업 듣다 모르는 내용 있어서 우연찮게 검색하다 들르게 되었는데 정말 많은 도움이 되네요

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    1. 예, 자주 방문해주세요. 감사합니다. ^^

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  16. 우와...진짜...수학이......이렇게 재밌고 궁금해지는건 처음이에요..!
    매번 본질이 궁금해져도 전파거북이님 말처럼 그냥 수학자도 아닌데 멀...하고넘어갔는데ㅠㅠ
    대학와서 배우는 것 역시 겉핥기 구나 하고 실망했었어요. 근데 이 글을 읽게되서 정말정말정말 기뻐요!ㅎㅎ 정말감사합니다! 많은 사람들이 이글을 읽고 즐겁게 그리고 진짜수학을 공부하게됬으면 하네요^^ 수학을 사랑하는 제 친구들에게도 추천해줘야겠어요ㅎㅎ

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    1. 과찬에 아침부터 기분이 좋아지네요. 감사합니다. ^^

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  17. 물리적인 현상에 대한 규명 수단을 찾던 중 미적분학이 탄생했고 이 미적분학의 엄밀성을 증명하는 과정에서 결국 존재에 대한 증명으로 귀결된 것이라고 이해해도 될까요? 단조가감의 수렴성에 대한 증명을 보던 중에 러셀의 수학원리에서 1+1=2를 증명하던 방식이 생각나더라구요... 어떻게 보면 정말 기계적이라고 밖에 할 수 없는 방법으로 추상적인 의미의 극한이라고 볼 수 있는 '존재'를 증명하고 있으니 말이죠.... 한편으로는 '괴델 에셔 바흐'에서 보았던 지성의 정의와 본질이 숨어있는 재귀성 그리고 지성이란 프로그래밍 가능한 것인가에 대한 물음 들이 생각나면서 참 지적인 혼란스러움과 즐거움을 느낍니다...

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    1. 정말 좋은 의견입니다.

      그 어렵다는 화이트헤드와 러셀의 PM(Principia Mathematica)을 읽어보신 모양이네요. 저는 이 책을 읽어본 적은 없지만 러셀의 전기를 보면 이 사람을 존경할 수 밖에 없습니다. 정말 치열하게 자기 주변에 있는 모든 것에 '왜' 물어서 답을 구하는 모습이 너무 좋습니다.

      제 생각에 수학에서 이론적으로 가장 중요한 것은 미분적분학입니다. 좀 거칠게 말하면 현대수학이라는 것이 미분적분학의 외연 확대라고 생각됩니다. 실용성 있는 미분적분학이 정말 맞는 지 생각하는 중에 해석학이 출현하고, 미분방정식을 풀기 위해 푸리에 급수가 제안되고, 삼각함수 급수의 존재성을 풀기 위해 집합론이 등장하고, 집합론을 이해하기 위해 자연수에 대한 연구가 진행되고, 미분을 다차원계로 확장하면 복소함수론이 되며, 완전미분을 이용해 텐서를 정의합니다.

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    2. 부끄럽지만 사실대로 말씀드리면 1+1=2를 증명하는 것만 보고 질려서 덮은 책인데, 이런 수학적 엄밀성ㅇ 괴델 에셔 바흐 라는 책과 단조증감의 정리 증명에서 또 한차례 반복되는 것을 보고 생각이 났어요...(혹시 '괴델 에셔 바흐'라는 책 안 보셨으면, 일독을 권해드려요...) 아무튼 거북이님 덕분에 미분적분학의 참 맛을 느끼고 있어요... 왜 고등학교 때 이런것은 안 가르치는 것인지 의아할 정도입니다. 특히 거북이님의 수학사에 대한 식견이 놀랍구요... 수학 전체를 역사적인 레퍼토리를 갖고 설명해나가시는 방식이 너무 흥미진진합니다. 수학 교육에 응용하면 정말 좋을 것 같아요...

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    3. "괴델, 에셔, 바흐"는 좋은 책이라 들었는데 아직 읽어보지는 못했습니다. 시간날 때 시도해봐야죠.

      수학사에 대한 칭찬은 감사합니다. 수학사 전문가들이 보기에는 많이 미흡하겠지만 지식의 공유 차원에서 제가 새로운 내용을 찾으면 본문을 바꾸고 있습니다.

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  18. 전공공부에 굉장히 많은 도움을 받고있습니다.
    항상 얻어가는게 너무 많아 감사할 따름입니다.
    진심으로 감사드립니다.

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  19. 아직 많이 훓어보진 못했지만,
    제게 매우 큰 도움이 될 것 같은 확신(?)이 듭니다.
    방대한 자료 정리하고 포스팅하신다고 들이신 시간과 노력이 느껴집니다,.
    귀한 자료 공유해 주심에 진심으로 감사드립니다.
    복받으세요!!!

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    1. 심심할 때마다 틈틈이 하는 것이라 그리 큰 노력이 들어가지는 않습니다.
      방문 감사합니다. ^^

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  20. 정말 대단하십니다.

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  21. 미적분수업 듣다가 궁금한게 생겨 여차여차 찾다가 ㅂㅡㄹ로그 왔는데 진짜 많은 도움이 되엌씁니다

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    1. 궁금한거 있음 좀 여쭤봐두 되죠....?
      제가 중고등학교때 공부를열심히 안해서요 ㅎ
      삼각함수에서 사인 코사인 합공식 증명이 지금까지 인상깊네요
      달달 외웠던 걸 이렇게 증명해 보니 재밌군요 ㅋ

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    2. 답장까지 칼이시네요 ㅎㅎㅎ

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    3. 예, 언제든 질문하세요. ^^ 서로 토론하면서 많이 배워갑시다.

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  22. 로피탈의 정리 보려고 들어왔는데 경고를 보고 링크를 타서 오게 되었는데

    예비 고3이 보기엔 점점 어려워지는 것 같기도하고

    그렇지만 뭔가 감이 잡힙니다.

    정말 감사합니다.

    다른 글도 찬찬히 읽어보겠습니다.

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    1. 안녕하세요, 익명님. 댓글 쓰신 것처럼 예비 고3이 보기엔 좀 어려울 수 있습니다. 수준은 물리학을 전공하는 대학원생에 맞추고 있습니다.
      하지만 한글이니 이해 못할 것은 없습니다. 열심히 도전하세요.

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  23. 안녕하세요! 전자 공학과를 배우는 학부생입니다. 정말 내용이 알찹니다. 감동했습니다.
    전공책이 전부 영어라서 먼가 뜬구름? 잡는 이야기 같아서 힘들었는데 이렇게 친절히 설명해 주셔서
    정말 공부에 더욱더 흥미가 생겼습니다. 앞으로도 좋은 글 많이 많이 개시해 주세요.
    그리고 개인적으로 프린트 나 파일로 저장해서 보관해도 될까요?

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    1. 칭찬 감사합니다. ^^ 제가 블로그를 시작한 이유도 영어책 때문입니다. 영어자료는 시간이 없어 못볼 정도로 많은데 괜찮은 한글자료가 없어 저도 한글화에 좀 기여하려 시작했었습니다. 익명님도 공부 많이 해서 좋은 자료 공유해 주세요.

      출처 표시와 비영리 사용만 지키시면 제가 쓴 자료로 어떤 것을 해도 괜찮습니다.

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    2. 감사합니다. 저도 좋은 자료 있으면 공유 하겠습니다.
      (아직 실력은 미흡하지만... ㅎㅎㅎ;;)

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  24. 저는 해외에서 operation research (optimization)을 공부하고 있습니다. 학부때 백터,미분을 그냥 외우기만 해서 개념이 많이 약했는데 gradient 등 설명 너무 많은 도움 감사드립니다..^^

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    1. 방문 감사합니다.
      어려운 분야 하시네요. 최적화를 잘 하려면 호기심 많은 철학자가 되어야 할 것 같네요.
      해외에서도 열공하세요.

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  25. 정말로 ε-δ정의가 limit의 유일한 정의인가요?

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    1. 유일하지는 않겠지만 $\epsilon$-$\delta$ 정의처럼 단순하기는 쉽지 않을 것 같습니다. 아직까지 더 직관적이고 단순한 정의는 못봤어요. ^^

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    2. 제가 사실 이 문제를 가지고 고민을 많이 했었는데
      비표준해석(초준해석 non-standard analysis)라는 것이 있더라고요
      공유하고 싶은 마음에 올립니다
      http://newslibrary.naver.com/viewer/index.nhn?articleId=1975031800329205001&edtNo=2&printCount=1&publishDate=1975-03-18&officeId=00032&pageNo=5&printNo=9069&publishType=00020

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    3. 여기서 무한소는 모든 양의 실수보다 작고 0보다 큰 수로 정의하고 (따라서 실수는 아니지요) 무한대를 모든 실수보다 큰 수로 정의합니다

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    4. 자료 감사합니다.
      1975년 기사네요. 지금으로부터 40년전에 개발된 이론이면 현재 교과서에 소개될 수도 있을 것 같은데 아직은 없네요. "비표준 해석 이론(non-standard analysis)" 기억해 놓겠습니다.

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  26. 위 내용중에 아래 내용은 보통 말하는 modeling을 뜻하시는 건가요?
    " 둘째, 일반적인 함수에 대한 일차 근사(一次近似, linear approximation)를 명확히 할 수 있다. "

    대학시절, 이책 저책 보면 미분방정식은 세상의 모든 만물을 모델링 할수 있고, 미분방정식에서 적분 term과 미분 term이 C, L이 해당되므로, RLC로 모든 것을 모델링이 가능하다.
    요즘에야 tool이 워낙 다 좋아 졌지만, 90년대 말에 친구 형이 자동차 회사에 있는데, 자동차 진동 관련하여, spice에서 RLC로 simulation을 한다고 들었습니다.

    그런데 갑자기 의문이 드는게 이 기울기 가지고,모델링이 어떻게 가능이 한걸까? 라는 의문이..
    사고의 연결고리가 생기지가 않아서요. T.T

    ----
    곰유

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    1. 컴퓨터로 풀려면 일차 근사를 해야 합니다. 미분(differential)은 무한소 개념이 들어가기 때문에 컴퓨터 처리가 불가능해서 컴퓨터에서 처리 가능한 유한한 차이를 뜻하는 차분(difference)으로 처리합니다.

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    2. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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    3. 재가 선형 근사라는 것 자체가 있다는 것을 몰랐네요.
      접선방정식 음... 평균값의 정리와 비슷하지만, 결국 미분의 정의 자체인 샘이네요.
      아 그럼 이걸 기초로 전자파 수치해석을 하는 건가 보군요.
      감사드립니다.
      ____
      곰유

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    4. 아니요. ㅋㅋㅋ
      ( 와 무신 재수생이 저렇게 똑똑해, 부럽다. )
      ________________________
      40먹어 전자기학 공부하겠다는 아저씨 올림.

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    5. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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    6. 죄송은 무슨...
      잘 알려주시니, 저야 오히려 고맙지요.
      ____
      곰유

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  27. 사부님 ( 재자로 인정안하셔도 이렇게 부를 겁니다. ㅋㅋㅋ <-- 천박한 웃음. )
    전자파 수치해석(FEM, FDTD, MOM 등) 관련 하여서는 자료만드실 계획은 없으신지요?

    전자기학을 공부를 해야 겠다 마음은 먹은 이유는
    현재 2.5D EM을 사용하고 있는데, 이게 한계점이 느겨져서, 3D EM solver를 검토하려고 하는데,
    먼소리인지 모르겟더라구요. 회사가 작은지라, 모든 tool을 구비해 놓고 쓸수는 없어, 하나를 결정해야하는데, 지식이 없으니 판단을 못하겠더라구요.

    결정적인 계기는 Quasi-static과 Full wave의 차이를 찾다가, 수식이 나오니 OTL.
    Quasi-static는 자계를 TEM mode로 가정하고 전계 자계를 각각 풀고, Full wave는 maxwell 방적을 자체로 푼다는 해설들을 보고 그런갑다 하기 했지만요.
    경계조건에서 Perfect E로 하고 해석하다는게, 자계는 투과 한다는게 무슨 말인지 이해가 가지 않아서도 있구요.

    tool dependant 한 자료가 아니라, 해석 기법의 기초적인...
    물론 wiki에 다 나오지만, 한글이...

    ____
    곰유

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    1. 서로 배우는 사람인데 스승과 제자가 어디 있겠습니까? 동료지요. ^^

      FEM, FDTD, MoM 등도 시간이 되면 써볼 생각인데 요즘은 긴 시간이 잘 나지 않나요... -.-;;

      수치 해석 SW들의 강점들은 분명히 있지만 또한 모든 SW들이 단점을 가지고 있습니다. 단점 없는 수치 해석 SW는 없습니다. 당연한 얘기지만 지금 생각하시는 응용에 맞추어 적절한 SW를 잘 선택하셔야 합니다.

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    2. 솔찍히 저한테 배우실 만한 것은 없으실 겁니다. ( 아는게 있어야지용 ㅋㅋ )
      어차피 내년 초까지는 기초만 탄탄히 딱을 생각 입니다.
      (3년동안 이만큼 해놓으신 거 보면, 아마 내년쯤은 나오지 않을까.)

      좋은 주말 되십시오. MASTER OOGWAY

      MASTER OOGWAY(http://www.kungfupanda.com/movie/characters/master-oogway/)

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  28. 좋은 글 써주셔서 감사합니다. 한 가지 물어보고싶은 점이 있는데요. 함성함수의 미분법 증명에서 f(x) 가 상수함수면 △f(x)=0 이 되버려서 저 증명을 적용시킬 수 없지 않나요? 사소하지만 수학은 사소한 것도 중요하다고 생각해서 질문드리고 갑니다.

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    1. 소중한 지적 감사합니다. ^^ 본문에 관련 내용을 추가하겠습니다.

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  29. 물리학 공부하는데, 수학이 너무 부족해서 찾다보니 여기까지 왔네요
    하루에 하나씩 정독하겠습니다 !

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    1. 매일 매일 방문하신다니 영광입니다, Jeongsik님!

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  30. 재수생인데 방학을 계기로 수학을 다시공부하고 있는데 되게 재밌네요. 좋은글 감사합니다.

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    1. 코앞이 설날인데도 공부를 하시니 잘 되시겠네요. 방문 감사합니다. ^^

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  31. 허니잼 허니잼,,,,,, 재미있네요 ㅋ 흥미를 돋우고요 ㅋㅋ 푸리에 급수 찾으러왔다가 열 발산 안보면바보라고 해서 열발산들어갔다가. 또 3가지 안보면 바보된다고 하셔서 ㅋㅋㅋ 이거봄 ㅋ
    근데 진짜 짜임세도 있고 깔끔하고 가독성도 높은듯 ㅋ 대학교수하시면 완전 잘가르치실듯 ㅋ

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    1. 극한의 칭찬 감사합니다, 익명님. ^^

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  32. 안녕하세요 ㅠㅠ 역함수 미분에서 갑자기 막혀서 질문을 드립니다
    너무 쉬운 질문이라 망설여 지는데 ㅠㅠ
    dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f'(f^-1(x))
    이 부분에서 x 와 y의 구분이 너무 헷갈립니다.
    f(g(x))=x의 식을 미분을 했을때 f`(g(x))g`(x) =1 => g`(x)=1/f`(g(x))가 된다는것은 수식을 풀어서 알수있지만,
    g`(x)를 dy/dx로 봤을때, 1/f`(g(x))를 왜 1/(dx/dy)로 봐야하는지 이해가 잘 안되는데 알려주실 수 있으신가요?

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    1. 미분은 극한을 도입한 나눗셈일 뿐입니다. 쉽게 생각하세요.
      서로 곱해서 1이 되려면 이 두 값은 역수 관계를 가져야 합니다.
      본문도 약간 수정했습니다.

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  33. 처음부터 차근차근 공부하는데 도움이 될거같아요!
    정말 감사합니다.

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    1. 일요일에도 열공해야줘, 익명님. ^^

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  34. 정말 대단하세요! 고등수학에서 미분을 공부하다보니 명확히 짚이는 것이 없어서 고생했는데 이 블로그를 자세히 읽기만 한다면 어느정도 해결될 수 있을 것 같아요. 정말 감사합니다! 참고로 저도 대전사는데 프로필보고 반가웠어요 ㅎㅎ

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    1. 저도 반갑습니다, 대전 사는 익명님. ^^

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  35. 마그네트론 이론을 알아보다보니 여기까지 왔네요 정리가 너무 잘되어있어서 오랜만에 기본개념 상기시키기에 너무나 좋습니다 좋은 교육 감사합니다 ^^

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