조금은 느리게 살자: 버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "버금 르장드르 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

르장드르 함수(Legendre function) $P_n(x)$의 일반화인 버금 르장드르 함수(associated Legendre function) $P_n^m(x)$는 차수(次數, degree) $n$과 계수(階數, order) 혹은 계층수(階層數) $m$을 가지고 있다. 버금 르장드르 함수에서 $m$ = $0$으로 대입한 아주 특별한 경우가 르장드르 함수이다. 버금 르장드르 함수는 $m$까지 변화해서 함수를 생성하기 때문에, 함수값을 계산하기도 수학식에서 다루기도 더 어렵고 복잡하다. 버금 르장드르 함수가 만족하는 미분 방정식은 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)으로 부른다.

(1a)

(1b)

(2)

여기서 $m, n$은 정수이다. 식 (1)과 (2)의 해는 각각 $P_n^m(x)$와 $P_n^m(\cos \theta)$로 나타낸다.

미분 방정식 이론에서 버금 르장드르 함수를 다루는 이유는 구 좌표계(spherical coordinate system)를 기준으로 만들어지는 파동을 극고도각(極高度角, polar angle) $\theta$축에서 표현하는 기본 함수로 $P_n^m(\cos \theta)$를 선택하기 때문이다. 예를 들어, 자유 공간에서 평화롭게 전파되는 파동은 다음과 같이 공식화한다.

(3)

리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function) 혹은 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)와 복소 지수 함수(complex exponential function)를 이어주는 접착제 역할에 뽑힌 함수가 바로 버금 르장드르 함수이다. 버금 르장드르 함수는 $\theta$축을 다루는 기본 함수일 뿐만 아니라 $r, \phi$축의 변화를 연결해주는 속성도 가지고 있다. 이런 특성으로 인해 버금 르장드르 함수를 제대로 이해해야 구 좌표계 문제를 정상적으로 해결할 수 있다. 버금 르장드르 함수 $P_n^m (x)$의 차수와 계수는 $\phi$방향으로 $2 \pi$ 주기를 가지게 하고 $\theta$의 모든 정의역에서 $P_n^m (x)$가 유한하도록 만들기 위해 $m,n$을 정수로 제한한다. 하지만 $\phi$방향 주기 조건과 $\theta$에서 유한성을 버리면, 차수와 계수는 모두 실수 혹은 복소수가 될 수 있어서 $P_n^m (x)$ 대신 $P_\nu^\mu (x)$를 사용한다. 여기서 차수와 계수 $\nu, \mu$는 실수와 복소수 범위에 있다.

1. 기본(basics)

[정의]

(1.1a)

(1.1b)

여기서 $P_n(x)$는 르장드르 함수(Legendre function)이다.

[음의 차수와 계수]

(1.2)

(1.3)

[증명]
르장드르 함수 $P_n(x)$에 대한 음의 차수 공식에 넣어서 식 (1.2)를 증명한다. 식 (1.3)을 밝히기 위해, 식 (1.3)의 우변에 식 (2.1)을 넣고 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용해서 정리한다.

(1.4)

(1.5)
______________________________

식 (1.4)로 인해 버금 르장드르 함수의 정의인 식 (2.1)에는 보기 싫은 항인 $(-1)^m (1 - x^2)^{m/2}$가 필연적으로 출현한다.

[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

(1.6)

[증명]

식 (2.1)에 따라 $-x$에 대한 미분은 $\frac{d^{n+m}}{d(-x)^{n+m}} [(-x)^2 - 1]^n$ = $(-1)^{n+m} \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}} (x^2 - 1)^n$이 되어서 식 (1.6)이 유도된다.

______________________________

[차수와 계수의 관계]

(1.7)

여기서 $m \ge 0$이다.

[증명]

만약 $n+m > 2n$이라면, 식 (2.1)에 의해 미분한 값은 반드시 0이 된다.

______________________________

만약 $m < 0$인 경우는 식 (1.3)을 적용해서 계산한다. 그러면 $-m > n$인 조건도 $P_n^m(x)$를 0으로 만든다. 따라서 $|m| > n$인 $P_n^m(x)$는 항상 0이다.

(1.8a)

(1.8b)

[증명]

식 (1.8a)를 증명하기 위해, 식 (2.1)에 $n$ = $m$을 대입한 후에 $2^m m!$ = $(2m)!!$, $\frac{d^{2m}}{dx^{2m}} x^{2m}$ = $(2m)!$로 놓고 정리한다.

식 (1.8b)에 식 (1.3)을 적용해서 식 (1.8a)로 바꾸면, 식 (1.8b)의 우변이 그대로 유도된다.

______________________________

2. 함수 표현식(function representation)

[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]

(2.1)

[증명]

르장드르 함수 $P_n(x)$에 대한 로드리그의 공식(Rodrigues' formula)을 식 (1.1a)에 대입한다.

______________________________

[생성 함수(generating function)]

(2.2)

여기서 $|t| < 1$, $(\cdot)!!$은 이중 계승(double factorial)이다.

[증명]

먼저 르장드르 함수 $P_n(x)$의 생성 함수를 $x$에 대해 $m$번 미분한다.

(2.3)

(2.4)

식 (2.3)의 우변도 동일하게 미분을 하고 식 (2.4)의 결과를 식 (2.3)의 좌변에 넣는다.

(2.5)

여기서 식 (1.7)에 의해 $P_0^m (x)$ = $P_1^m (x)$ = $\cdots$ = $P_{m-1}^m (x)$ = $0$이다.

______________________________

식 (2.2)에 식 (1.8)을 넣어서 버금 르장드르 함수의 생성 함수를 더욱 간략화할 수 있다.

(2.6)

식 (2.6)은 $P_{k+m}^m(x)$의 특성을 $P_m^m(x)$와 연결시킬 때에 매우 편리하게 사용된다.

3. 재귀 관계(recurrence relation)

버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 주로 르장드르 함수에서 얻는 재귀 관계를 재활용해서 유도한다.

[단순한 재귀 관계]

(3.1)

[증명]

르장드르 함수의 합을 사용한 재귀 관계부터 출발한다.

(3.2)

식 (3.2)를 $m$번 미분하고 $(-1)^m (1-x^2)^{m/2}$을 곱해서 계수 $m$을 가진 버금 르장드르 함수를 만들면 식 (3.1)이 바로 유도된다.

(3.3)

(3.4)

식 (3.4)의 첫째식에서 둘째식으로 넘어갈 때는 식 (3.5)가 필요하다.

______________________________

[$\sqrt{1-x^2}$을 가진 재귀 관계]

(3.5)

[증명]

르장드르 함수의 미분 차에 대한 재귀 관계를 $m$번 미분해서 식 (3.5)를 증명한다.

(3.6)

(3.7)

______________________________

4. 특정값(specific value)과 극한(limit)

(4.1a)

(4.1b)

[증명]

식 (1.1a)를 써서 간편하게 식 (4.1)을 얻는다.

______________________________

(4.2)

[증명]

식 (2.2)에 $x$ = $0$을 대입하고 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 적용한다.

(4.3)

식 (4.3)의 무한 급수와 식 (2.2)의 우변을 비교해서 $P_{k+m}^m(0)$ = $P_{2l+m}^m(0)$이 가지는 값을 결정한다.

(4.4)

여기서 $k$ = $2l$이다. 식 (4.4)에서 $n$ = $2l + m$ 혹은 $l$ = $(n-m)/2$이라 두면, $2l$이 짝수라서 $n+m$도 항상 짝수가 된다. 그래서 $n+m$인 경우에만 함수값이 식 (4.2)의 첫째식과 같이 주어진다.

______________________________

(4.5)

[증명]

값 $x$ = $\pm 1$을 넣고 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 써서 식 (2.6)에 나온 분모를 무한 급수로 바꾼다.

(4.6)

식 (4.6)에 $n$ = $k+m$ 혹은 $k$ = $n-m$과 식 (1.8)을 대입한 후, 식 (2.6)과 항별로 비교해서 식 (4.5)의 우변을 얻는다.

______________________________

(4.7)

[증명] [3]

먼저 $m \ge 0$, $x$ = $\cos \theta$이라 놓고 식 (4.5)를 변형해서 식 (4.7)의 첫째식을 얻는다. 반대로 $m < 0$인 경우는 식 (1.3)을 써서 계수를 0보다 크게 만든다. 그러면 식 (4.5)를 다시 쓸 수 있어서 식 (4.7)의 둘째식도 증명된다.

______________________________

5. 정적분(definite integral)

[버금 르장드르 함수의 직교성(orthogonality of associated Legendre function)] [1]

(5.1)

여기서 $\delta_{nl}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[증명]

르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)은 $q(x)$ = $m^2 \mathbin{/} (x^2 - 1)$, $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $n(n+1)$을 가진 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)이므로, 고유 함수 $P_n^m(x)$는 서로 직교해서 $n \ne l$이라면 적분이 항상 0이 된다. 그래서 $n$ = $l$라고 한정하고 식 (2.1)을 식 (5.1)에 대입한 후에, 르장드르 함수의 직교성처럼 부분 적분(integration by parts)으로 답을 구한다.

(5.2)

여기서 부분 적분에 나오는 적분이 없는 항[$\int f'g\,dx$ = $fg - \int fg',dx$에서 $fg$]은 항상 0이다.[∵ 점 $x$ = $\pm 1$에서 $X^n X^m$은 영점을 $n+m$개 가지고 있고, 부분 적분으로 인해 미분은 $n+m-1$번을 하기 때문이다.] 식 (5.2)의 마지막식에 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용하고 계산한다.

(5.3)

여기서 $n+m+k \le 2n$과 $n+m-k \le 2m$을 동시에 만족하는 값은 $k$ = $n-m$이 유일하다. 식 (5.3)을 식 (5.2)에 다시 넣고 베타 함수(beta function)를 써서 최종 유도를 완성한다.

(5.4)

(5.5)

(5.6)

______________________________

(5.7)

여기서 $m \ne 0$, 만약 $m$ = $k$ = $0$이면 적분값이 발산한다.

[증명] [2]

르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)을 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)으로 바꿀 때, 식 (5.1)의 증명과는 다르게 $q(x)$ = $-n(n+1)$, $r(x)$ = $1 \mathbin{/} (1-x^2)$, $\lambda$ = $-m^2$로 둔다. 다만 $r(x)$가 $x$ = $\pm 1$ 근방에서 발산하므로 $\lim_{x \to \pm 1} r(x) P_n^m(x)$는 유한해야 한다. 이에 따라 고유 함수 $P_n^m(x)$의 직교성을 이용해 $m \ne k$인 적분은 0이 됨을 쉽게 밝힐 수 있다. 반면에 계수가 $m$ = $k$인 경우는 식 (5.2)와 비슷한 연산을 되풀이한다.

(5.8)

다만 식 (5.2)와 다르게 부분 적분에서 적분이 없는 항이 사라지지 않는 경우가 발생한다. 왜냐하면 $X^n$과 $X^{m-1}$을 각각 $n$번 및 $m-1$번 미분함으로 인해 $x$ = $\pm 1$에서 $X$의 영점이 사라지기 때문이다. 식 (5.8)의 마지막 적분은 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)으로 처리한다.

(5.9)

여기서 $k$는 $n+m+k \le 2n$과 $n+m-k \le 2m -2$를 동시에 만족할 수 없어서 적분이 0으로 나온다. 따라서 $x$ = $1$과 $-1$에서 함수값을 구하면 식 (5.7)의 적분이 유도된다. 먼저 식 (5.8)의 마지막식에 $x$ = $1$를 넣어서 항별로 계산한다.

(5.10)