2022년 10월 21일 금요일

르장드르 함수(Legendre Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "르장드르 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


다항식으로 구성하는 르장드르 함수(Legendre function) $P_n(x)$는 특수 함수(special function)치고는 표현식이 간단해서 다루기가 쉽고 개념이 어려워 보이지도 않는다. 하지만 편안한 마음으로 르장드르 함수를 보다가는 정말 큰 코 다친다. 차수(次數, degree) $n$이 낮을 때는 아무렇게나 계산해도 정확한 함수값을 얻을 수 있지만, $n$이 커지면 다항식의 각 항이 서로 빼지는 효과를 가져서 함수값을 정밀하게 구하기가 정말 어렵다. 그래서 수학적인 개념에 바탕을 두고 르장드르 함수를 이해해야만 큰 차수의 $P_n(x)$도 수치 해석에서 원활하게 이용할 수 있다. 매우 정확하게 르장드르 함수값을 구하는 쉬운 방법은 임의 정밀도 산술(arbitrary precision arithmetic)을 제공하는 도구인 Arb[1]이다. Arb는 사용자가 원하는 정밀도로 산술 연산을 해서 $P_n(x)$의 차수가 커져도 옳은 값을 도출한다. 다만 Arb의 정밀도와 계산 시간은 비례해서 적절한 타협을 하든지 수학 관계식으로 변환하여 빠르게 계산되는 공식을 써야 한다.

                       (1)

                       (2)

여기서 $n$은 정수이다. 계수(階數, order) 혹은 계층수(階層數)를 $m$ = $0$으로 설정한 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)인 식 (1)과 (2)는 $x$ 혹은 $\theta$를 입력 변수(argument)로 표현하므로, 미분 방정식의 해에 해당하는 르장드르 함수는 $P_n(x)$ 혹은 $P_n(\cos \theta)$로 나타낸다. 여기서 식 (1)의 치환은 $x$ = $\cos \theta$이다. 르장드르 함수 $P_n(x)$가 정의역 $[-1, 1]$에서 항상 유한하려면, 미분 방정식의 고유치는 항상 $\lambda$ = $n(n+1)$이어야 한다. 거꾸로 모든 점에서 유한할 필요가 없는 경우는 정수 $n$ 대신 실수 혹은 복소수 $\nu$를 써서 $\lambda$ = $\nu (\nu+1)$로 확장한다.


   1. 기본(basics)   

[음의 차수]

                      (1.1)

[증명]
식 (1)에 $n$ 대신 $-n$을 넣어서 $(n-1)n$을 얻는다.
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[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

                      (1.2)

[증명]
식 (2.6b)에 따라 짝수 및 홀수 차수는 각각 $x^{2k}$와 $x^{2k+1}$ 항만 있어서 식 (1.2)가 쉽게 증명된다. 혹은 식 (2.7)을 미분할 때 $x$ 대신 $-x$를 써서 식 (1.2)를 만들어낸다. 예를 들어, 1차 르장드르 함수에 나오는 미분은 $d/d(-x) [(-x)^2 - 1]$ = $-2x$ = $(-1) d/dx (x^2 - 1)$이 성립하므로, $P_1 (-x)$ = $(-1)^1 P_1 (x)$를 가볍게 얻는다.
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[함수의 크기]

                      (1.3)

[증명]
식 (2.12)에 나오는 피적분 함수의 크기를 $|x| \le 1$인 조건으로 계산한다.

                       (1.4)

여기서 $\sqrt{x^2 - 1}$ = $i \sqrt{1 - x^2}$이다. 식 (1.4)는 단순한 2차 함수라서 $x^2$ = $1$에서 최대값 1이 생긴다. 따라서 식 (2.12)의 적분 크기는 항상 1보다 작아야 한다.
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[생성 함수(generating function)] [2]

                  (2.1)

여기서 $|t| < 1$이다.

[증명]
제곱근 함수 $1/\sqrt{1 - x}$의 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)로부터 증명을 시작한다.

                       (2.2)

식 (2.2)에 나온 이중 계승(double factorial)조합(combination)계승(factorial)으로 모두 정리한다.

                       (2.3)

식 (2.3)의 무한 급수에서 $t^n$ 항을 만들기 위해, 식 (2.3)에 코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)를 적용한다. 쉽게 말해서 식 (2.3)의 마지막식에 $n$ 대신 $n-k$를 대입한다.

                  (2.4)

                  (2.5)

이 결과를 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 구한 해인 식 (2.6b)와 비교해서 유도를 완성한다.
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[유한 급수 표현식]

                  (2.6a)

                  (2.6b)

여기서 $[x]$는 최대 정수 함수(greatest integer function) 혹은 바닥 함수(floor function)라 부른다.

[증명]
식 (2.5)에서 구한 유한 급수(finite series)인 식 (2.6a)를 변형해서 차수 $n$이 짝수와 홀수인 경우에 대해 식 (2.6b)를 얻는다. 르장드르 다항식(Legendre polynomial) 혹은 르장드르 함수인 식 (2.6b)는 르장드르의 미분 방정식에서 구한 해와 상수배만 차이나서 이 미분 방정식을 그대로 만족한다.
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[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]

                  (2.7)

[증명]
식 (2.6a)에 $n$번 미분 연산을 추가해서 조금 간략화한다.

                  (2.8)

식 (2.8)의 마지막에 인위적으로 넣은 $k$ = $[n/2]+1, [n/2]+2, \cdots, n$ 항은 급수 합에 기여하지 못한다. 왜냐하면 급수 바깥에서 미분을 $n$번 하고 있어서 $x^{2n-2[n/2]-2}$보다 작은 차수의 항은 0이 되기 때문이다.
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1816년로드리그 21세, 조선 순조 시절에 로드리그의 공식을 발견한 로드리그Olinde Rodrigues(1795–1851)회전 행렬(rotation matrix)의 제안자이기도 하다.

[점 $x$ = $1$ 기준의 유한 급수 표현식]

                  (2.9)

[증명]
식 (2.7)에 있는 $(x^2 - 1)$을 인수 분해하여 $(x-1)(x+1)$로 만들고 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용한다.

                        (2.10)

지표(index) $m, k$의 위치를 바꾸어서 식 (2.9)처럼 표기한다.

                        (2.11)

여기서 마지막식을 만들 때는 방데르몽드의 항등식(Vandermonde's identity)을 사용한다.
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[$P_n(x)$용 제1 라플라스 적분(the first Laplace integral)]

                  (2.12)

[증명]
식 (2.1)에 나온 생성 함수의 분모를 $1-2xt + t^2$ = $(1-xt)^2 - t^2 (x^2 - 1)$로 바꾸어서 아래 적분에 대입한다.

                        (2.13)

                        (2.14)

여기서 $a$ = $1-xt$, $b$ = $t \sqrt{x^2 - 1}$이다.
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[$P_n(x)$용 제2 라플라스 적분(the second Laplace integral)]

                  (2.15)

[증명]
식 (2.12)의 차수를 식 (1.1)처럼 음수로 바꾼다.
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식 (2.12)와 (2.15)는 $x$가 1보다 크거나 혹은 작더라도 잘 계산되는 적분이다.

[평면파 전개(plane-wave expansion) 혹은 레일리 전개(Rayleigh expansion)]

                  (2.16)

[증명]
르장드르 함수의 완비성(completeness of Legendre function)을 이용해서 평면파 표현인 식 (2.16)의 좌변을 무한 급수로 전개한 후, 식 (5.1)에 제시한 르장드르 함수의 직교성을 적용한다.

                       (2.17)

여기서 둘째식에 사용한 적분은 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)와 르장드르 함수의 관계에서 구한다.
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   3. 재귀 관계(recurrence relation)   

[르장드르 함수의 합: 보네의 재귀 공식(Bonnet's recursion formula)]

                  (3.1)

[증명]
식 (2.1)을 $t$에 대해 미분해서 새로운 무한 급수 항등식을 하나 만든다.

             (3.2)

모든 $t$에 대해 성립하므로, 식 (3.2)에서 $t^n$의 계수는 0이 되어야 한다. 그러면 $n \ge 0$인 경우에 식 (3.1)이 어렵지 않게 얻어진다. 식 (1.1)을 식 (3.1)에 대입해서 음수 차수를 가진 르장드르 함수가 만드는 재귀 관계도 동일하게 유도한다.

                  (3.3)
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[르장드르 함수의 미분 합]

                  (3.4)

여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분을 의미한다.

[증명]
이번에는 식 (2.1)을 $x$에 대해 미분해서 증명한다.

                  (3.5)
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[르장드르 함수의 미분 차]

                  (3.6)

[증명]
식 (3.1)을 $x$에 대해 미분해서 $P_n'(x)$의 관계식을 구한다.

             (3.7)

식 (3.7)의 마지막식을 식 (3.4)의 우변에 대입한 후 정리해서 식 (3.6)을 만들어낸다.
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[르장드르 함수의 미분]

                  (3.8)

[증명]
식 (3.4)와 (3.6)을 더해서 2로 나누면 식 (3.8)이 바로 나온다.
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식 (3.8)을 이용해서 $P_n(x)$의 고차 미분을 순차적으로 구할 수 있다.


   4. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (4.1)

여기서 $n$ = $0, 1, 2, \cdots$, $(\cdot)!!$은 이중 계승(double factorial)이다.

[증명]
식 (2.1)에 $x$ = $1, -1, 0$을 각각 대입하고 좌변을 테일러 급수(Taylor series)로 전개해서 식 (4.1)을 증명한다.
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   5. 정적분(definite integral)   

[르장드르 함수의 직교성(orthogonality of Legendre function)]

                  (5.1a)

                  (5.1b)

여기서 $\delta_{nl}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[증명: 로드리그의 공식]
스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)의 관점에서 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)은 $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $n(n+1)$이며, $\lambda$에 대응하는 고유 함수가 $P_n(x)$이다. 그래서 $n \ne l$인 적분은 고유 함수의 직교성에 의해 항상 0이 된다. 차수가 $n$으로 같은 경우는 식 (2.7)을 사용해서 부분 적분을 수행한다.

                  (5.2)

식 (5.2)의 마지막에 나온 적분은 변수 치환을 통해 베타 함수(beta function)로 만든다. 마지막으로 잘 알려진 베타 함수의 성질을 적용해서 식 (5.1)을 유도한다.

                  (5.3)

                        (5.4)

[증명: 생성 함수]
식 (2.1)을 제곱해서 르장드르 함수의 곱을 가진 무한 급수를 생성한다.

                       (5.5)

스튀름–리우빌 이론이 보장하는 고유 함수의 직교성을 쓰기 위해 식 (5.5)를 적분한다.

                       (5.6)

식 (5.6)의 좌변은 단순하므로 그대로 적분하고, 최종 결과를 테일러 급수(Taylor series)로 전개한다.

                       (5.7)

식 (5.7)의 결과와 식 (5.6)의 우변을 항대항으로 비교하면 식 (5.1)이 간단하게 나온다.
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[르장드르 함수 미분의 직교성]

                  (5.8)

[증명]
부분 적분을 써서 미분 하나를 제거한 후에 식 (2)를 다시 대입한다.

             (5.9)
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[참고문헌]
[1] F. Johansson, "Arb - a C library for arbitrary-precision ball arithmetic," Arb 2.23.0 Documentation, 2022. (방문일 2022-10-02)
[2] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.

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