[경고] 아래 글을 읽지 않고 "르장드르 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
다항식으로 구성하는 르장드르 함수(Legendre function) $P_n(x)$는 특수 함수(special function)치고는 표현식이 간단해서 다루기가 쉽고 개념이 어려워 보이지도 않는다. 하지만 편안한 마음으로 르장드르 함수를 보다가는 정말 큰 코 다친다. 차수(次數, degree) $n$이 낮을 때는 아무렇게나 계산해도 정확한 함수값을 얻을 수 있지만, $n$이 커지면 다항식의 각 항이 서로 빼지는 효과를 가져서 함수값을 정밀하게 구하기가 정말 어렵다. 그래서 수학적인 개념에 바탕을 두고 르장드르 함수를 이해해야만 큰 차수의 $P_n(x)$도 수치 해석에서 원활하게 이용할 수 있다. 매우 정확하게 르장드르 함수값을 구하는 쉬운 방법은 임의 정밀도 산술(arbitrary precision arithmetic)을 제공하는 도구인 Arb[1]이다. Arb는 사용자가 원하는 정밀도로 산술 연산을 해서 $P_n(x)$의 차수가 커져도 옳은 값을 도출한다. 다만 Arb의 정밀도와 계산 시간은 비례해서 적절한 타협을 하든지 수학 관계식으로 변환하여 빠르게 계산되는 공식을 써야 한다.
(1a)
(1b)
(2)여기서 $n$은 정수이다. 계수(階數, order) 혹은 계층수(階層數)를 $m$ = $0$으로 설정한 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)인 식 (1)과 (2)는 $x$ 혹은 $\theta$를 입력 변수(argument)로 표현하므로, 미분 방정식의 해에 해당하는 르장드르 함수는 $P_n(x)$ 혹은 $P_n(\cos \theta)$로 나타낸다. 여기서 식 (1)의 치환은 $x$ = $\cos \theta$이다. 르장드르 함수 $P_n(x)$가 정의역 $[-1, 1]$에서 항상 유한하려면, 미분 방정식의 고유치는 항상 $\lambda$ = $n(n+1)$이어야 한다. 거꾸로 모든 점에서 유한할 필요가 없는 경우는 정수 $n$ 대신 실수 혹은 복소수 $\nu$를 써서 $\lambda$ = $\nu (\nu+1)$로 확장한다.
1. 기본(basics)
[음의 차수]
(1.1)식 (1)에 $n$ 대신 $-n$을 넣어서 $(n-1)n$을 얻는다.
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[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]
(1.2)식 (2.6b)에 따라 짝수 및 홀수 차수는 각각 $x^{2k}$와 $x^{2k+1}$ 항만 있어서 식 (1.2)가 쉽게 증명된다. 혹은 식 (2.7)을 미분할 때 $x$ 대신 $-x$를 써서 식 (1.2)를 만들어낸다. 예를 들어, 1차 르장드르 함수에 나오는 미분은 $d/d(-x) [(-x)^2 - 1]$ = $-2x$ = $(-1) d/dx (x^2 - 1)$이 성립하므로, $P_1 (-x)$ = $(-1)^1 P_1 (x)$를 가볍게 얻는다.
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[함수의 크기]
(1.3)식 (2.12)에 나오는 피적분 함수의 크기를 $|x| \le 1$인 조건으로 계산한다.
(1.4)______________________________
2. 함수 표현식(function representation)
[생성 함수(generating function)] [2]
(2.1)여기서 $|t| < 1$이다.
제곱근 함수 $1/\sqrt{1 - x}$의 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)로부터 증명을 시작한다.
(2.2)
(2.3)식 (2.3)의 무한 급수에서 $t^n$ 항을 만들기 위해, 식 (2.3)에 코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)를 적용한다. 쉽게 말해서 식 (2.3)의 마지막식에 $n$ 대신 $n-k$를 대입한다.
(2.4)
(2.5)이 결과를 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 구한 해인 식 (2.6b)와 비교해서 유도를 완성한다.
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[유한 급수 표현식]
(2.6a)
(2.6b)여기서 $[x]$ = $\lfloor x \rfloor$는 최대 정수 함수(greatest integer function) 혹은 바닥 함수(floor function)라 부른다.
[증명]
______________________________
[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]
(2.7)[증명]
(2.8)
식 (2.6a)에 $n$번 미분 연산을 추가해서 조금 간략화한다.
(2.8)식 (2.8)의 마지막에 인위적으로 넣은 $k$ = $[n/2]+1, [n/2]+2, \cdots, n$ 항은 급수 합에 기여하지 못한다. 왜냐하면 급수 바깥에서 미분을 $n$번 하고 있어서 $x^{2n-2[n/2]-2}$보다 작은 차수의 항은 0이 되기 때문이다.
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1816년로드리그 21세, 조선 순조 시절에 로드리그의 공식을 발견한 로드리그Olinde Rodrigues(1795–1851)는 회전 행렬(rotation matrix)의 제안자이기도 하다.
[점 $x$ = $1$ 기준의 유한 급수 표현식]
(2.9)[증명]
(2.10)
지표(index) $m, k$의 위치를 바꾸어서 식 (2.9)처럼 표기한다.식 (2.7)에 있는 $(x^2 - 1)$을 인수 분해하여 $(x-1)(x+1)$로 만들고 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용한다.
(2.10)
(2.11)[$P_n(x)$용 제1 라플라스 적분(the first Laplace integral)]
(2.12)[증명]
식 (2.1)에 나온 생성 함수의 분모를 $1-2xt + t^2$ = $(1-xt)^2 - t^2 (x^2 - 1)$로 바꾸어서 아래 적분에 대입한다.
(2.13)
(2.14)여기서 $a$ = $1-xt$, $b$ = $t \sqrt{x^2 - 1}$이다.
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[$P_n(x)$용 제2 라플라스 적분(the second Laplace integral)]
(2.15)[증명]
식 (2.12)의 차수를 식 (1.1)처럼 음수로 바꾼다.
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식 (2.12)와 (2.15)는 $x$가 1보다 크거나 혹은 작더라도 잘 계산되는 적분이다.
[평면파 전개(plane-wave expansion) 혹은 레일리 전개(Rayleigh expansion)]
(2.16)[증명]
(2.17)
여기서 둘째식에 사용한 적분은 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)와 르장드르 함수의 관계에서 구한다.르장드르 함수의 완비성(completeness of Legendre function)을 이용해서 평면파 표현인 식 (2.16)의 좌변을 무한 급수로 전개한 후, 식 (6.1)에 제시한 르장드르 함수의 직교성을 적용한다.
(2.17)______________________________
[이항 급수(binomial series)]
(2.18a)
(2.18b)여기서 $x$ = $\cos \theta$ = $(e^{i \theta} + e^{-i \theta}) \mathbin{/} 2$이다.
[증명]
생성 함수의 분모를 인수 분해하고 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 적용한다.
(2.19a)
(2.19b)
(2.19c)
(2.20a)
(2.20b)______________________________
단순하게만 보면 삼각 함수로 인해 식 (2.18)은 식 (2.6)보다 복잡해보인다. 하지만 차수 $n$이 커질 때의 점근식이나 르장드르 다항식의 영점(zero) 예측에는 식 (2.18)이 훨씬 유용하다.
[푸리에 급수(Fourier series)]
(2.21)여기서 $j_n(x)$는 제$n$차 제1종 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다.
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공간 주기 $L_x$가 2로 정해지면 관련 기본 파수는 $\xi_0$ = $2 \pi \mathbin{/} L_x$ = $\pi$이다. 그러면 푸리에 급수가 선택하는 파수는 식 (2.21)처럼 항상 원주율의 배수가 된다.
3. 재귀 관계(recurrence relation)
[르장드르 함수의 합: 보네의 재귀 공식(Bonnet's recursion formula)]
(3.1)[증명]
(3.2)
(3.3)
식 (2.1)을 $t$에 대해 미분해서 새로운 무한 급수 항등식을 하나 만든다.
(3.2)모든 $t$에 대해 성립하므로, 식 (3.2)에서 $t^n$의 계수는 0이 되어야 한다. 그러면 $n \ge 0$인 경우에 식 (3.1)이 어렵지 않게 얻어진다. 식 (1.1)을 식 (3.1)에 대입해서 음수 차수를 가진 르장드르 함수가 만드는 재귀 관계도 동일하게 유도한다.
(3.3)______________________________
[르장드르 함수의 미분 합]
(3.4)여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분을 의미한다.
[증명]
(3.5)
[르장드르 함수의 미분 차]
(3.6)
______________________________
[르장드르 함수 미분의 점화식(漸化式, recurrence formula)]
(3.8)
이번에는 식 (2.1)을 $x$에 대해 미분해서 증명한다.
(3.5)______________________________
[르장드르 함수의 미분 차]
(3.6)[증명]
(3.7)
식 (3.1)을 $x$에 대해 미분해서 $P_n'(x)$의 관계식을 구한다.
(3.7)식 (3.7)의 마지막식을 식 (3.4)의 우변에 대입한 후 정리해서 식 (3.6)을 만들어낸다.
[르장드르 함수 미분의 점화식(漸化式, recurrence formula)]
(3.8)[증명]
(3.9)
4. 특정값(specific value)과 극한(limit)
식 (3.4)와 (3.6)을 더해서 2로 나누면 식 (3.8)이 바로 나온다.
______________________________
식 (3.8)을 이용해서 $P_n(x)$의 고계 미분을 순차적으로 구할 수 있다.
[르장드르 함수의 미분]
(3.9)[증명]
(3.10)
식 (3.9)의 첫째 줄을 만들기 위해 식 (5.1b)와 (5.1c)를 연립한다.
(3.10)그 다음에 $x$ = $1$을 대입해서 모르는 적분 상수 $C$를 $C$ = $0$으로 결정해 증명을 완성한다. 식 (3.9)의 첫째 줄에 식 (3.1)에 나온 보네의 재귀 공식을 적용해 정리하면 둘째 줄이 바로 나온다.
______________________________
식 (3.9)를 쓰면 각 르장드르 함수의 미분을 르장드르 함수값으로 결정할 수 있다.
4. 특정값(specific value)과 극한(limit)
(4.1)여기서 $n$ = $0, 1, 2, \cdots$, $(\cdot)!!$은 이중 계승(double factorial)이다.
[증명]
식 (2.1)에 $x$ = $1, -1, 0$을 각각 대입하고 좌변을 테일러 급수(Taylor series)로 전개해서 식 (4.1)을 증명한다.
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(4.2)여기서 $P_n'(x)$는 $x$에 대한 미분이다.
[증명]
식 (1)에 $x$ = $\pm 1$을 넣고 정리한 후, 식 (4.1)을 다시 대입해서 증명한다.
______________________________
(4.3)[증명]
식 (2.6b)를 미분해서 $x$ = $0$을 넣는다.
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5. 부정적분(indefinite integral)
[삼각 함수]
(5.1a)
(5.1b)
(5.1c)여기서 $C$는 적분 상수이다.
[증명]
식 (2)를 $\theta$에 대해 적분해서 식 (5.1a)를 얻는다. 식 (5.1a)에 $x$ = $\cos \theta$로 치환해서 식 (5.1b)도 유도한다. 식 (5.1c)는 식 (3.6)을 적분해서 구한다.
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[르장드르 함수의 직교성(orthogonality of Legendre function)]
(6.1a)
(6.1b)[증명: 로드리그의 공식]
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.7)
식 (6.7)의 결과와 식 (6.6)의 우변을 항대항으로 비교하면 식 (6.1)이 나온다.
스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)의 관점에서 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)은 $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $n(n+1)$이며, $\lambda$에 대응하는 고유 함수가 $P_n(x)$이다. 그래서 $n \ne l$인 적분은 고유 함수의 직교성에 의해 항상 0이 된다. 차수가 $n$으로 같은 경우는 식 (2.7)을 사용해서 부분 적분을 수행한다.
(6.2)식 (6.2)의 마지막에 나온 적분은 변수 치환을 통해 베타 함수(beta function)로 만든다. 마지막으로 잘 알려진 베타 함수의 성질을 적용해서 식 (6.1)을 유도한다.
(6.3) (6.4)[증명: 생성 함수]
식 (2.1)을 제곱해서 르장드르 함수의 곱을 가진 무한 급수를 생성한다.
(6.5)스튀름–리우빌 이론이 보장하는 고유 함수의 직교성을 쓰기 위해 식 (6.5)를 적분한다.
(6.7)______________________________
[르장드르 함수 미분의 직교성]
(6.8)[증명]
(6.9)
부분 적분을 써서 미분 하나를 제거한 후에 식 (2)를 다시 대입한다.
(6.9)______________________________
[삼각 함수]
(6.10)[증명]
(6.11a)
(6.11b)
계수가 짝수인 $P_{2n}(\cdot)$는 식 (2.6b)에 의해 우함수라서 코사인 함수를 곱한 적분은 당연히 0이 된다. 식 (6.10)의 둘째식을 증명하기 위해 식 (2.6b)의 급수를 대입해서 적분한다.
(6.11a) (6.11b)여기서 $B(x, y)$는 베타 함수(beta function)이다.
______________________________
식 (6.10)의 급수는 유한하지만, $n$과 $k$가 커짐에 따라 항도 같이 커져서 급수가 잘 계산되지 않는다. 이때는 간단해보이는 급수 표현식 대신 수치 적분을 하면 더 나은 결과를 얻는다.
(6.12)[증명]
식 (5.1a)의 적분 구간을 $0$과 $\pi/2$로 선택해서 식 (6.12)처럼 정리한다.
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식 (6.12)에 나온 $x$ = $0$의 미분값은 식 (4.3)에 정확히 나온다.
[단일 르장드르 함수]
(6.13)[증명]
식 (5.1c)을 정적분으로 바꾸기 위해 적분 구간을 $0$과 $x$로 놓은 후, $x$ = $0$을 넣어서 적분 상수 $C$를 결정한다.
______________________________
식 (6.13)의 좌변에 식 (2.7)을 넣고 정리하면, 모든 차수 $n$에 대한 새로운 등식을 만들 수 있다.
(6.14)왜냐하면 르장드르 다항식의 차수가 $2n$인 경우는 이항 정리(binomial theorem)로 풀어 쓴 $(x^2 - 1)^n$의 $2n-1$번 미분은 $x$ 항의 차수가 $2(2n-k) - (2n-1)$ = $2n - 2k + 1$로 되어 항상 인수 $x$를 가지기 때문이다. 이로 인해 $x$ = $0$을 대입한 계산 결과는 0이 나와서 식 (6.13)의 첫째식에 따라 식 (6.14)가 성립한다. 반면에 차수가 $2n+1$인 르장드르 다항식은 $x$ 항의 차수를 $2(2n+1-k) - 2n$ = $2n - 2k + 2$로 만들어서 최종 결과는 0이 아니게 된다.
(6.15)결국 식 (6.15)는 식 (6.13)의 우변 마지막 항이므로, 식 (6.14)는 $2n+1$ 차수까지 포함한다.
[푸리에 변환(Fourier transform)]
(6.16a)
(6.16b)
[증명: 구면 베셀 함수]
구면 베셀 함수에 대한 레일리의 공식(Rayleigh's formula)을 적용한다.
______________________________
7. 르장드르 급수(Legendre series)
[정의] [3]
(7.1)[증명]
식 (7.1)의 왼쪽 식에 식 (6.1a)에 공식화한 르장드르 함수의 직교성을 적용해서 계수 $L_n$을 결정한다.
______________________________
르장드르 급수의 완비성은 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)이 보장한다.
[르장드르 함수와 다항식의 직교성]
(7.2a)
(7.2b)여기서 $R_m(x)$는 차수(degree)가 $m$인 다항식(polynomial)이다.
[증명]
(7.3)
다항식을 $f(x)$ = $R_m(x)$로 놓고 식 (7.1)에 정의한 르장드르 급수로 만들면 무한 급수가 유한 급수로 바뀐다.
(7.3)______________________________
식 (7.2a)에 따라 제$m+n$차 다항식 중에서 제$n$차 르장드르 다항식으로 인수 분해되고 $m < n$을 만족하는 다항식의 적분[적분 구간은 $-1 \le x \le 1$]은 항상 0이 된다. 예를 들어, 3차 르장드르 다항식으로 만든 5차 다항식 $(5x^3 - 3 x) (7x^2 + 5x + 3)$ = $35 x^5 + 25 x^4 - 6 x^3 - 15 x^2 - 9x$의 적분은 항상 0이 나온다.
8. 영점(zero or root)
[르장드르 다항식의 영점 성질]
(a) $P_n(x)$의 영점은 $n$개이다.
(b) $P_n'(x)$의 영점은 $n-1$개이다.
(c) 영점은 모두 단순근이다.
[증명]
르장드르 다항식은 스튀름–리우빌 이론을 만족하므로, 영점 성질은 스튀름의 분리 정리(Sturm's separation theorem)로 증명할 수 있다. 예를 들어, $P_1(x)$는 하나의 영점을 가지므로, 스튀름의 분리 정리에 의해 $P_2(x)$는 2개의 영점을 가진다. 또한 $P_2(x)$는 2개의 단순근을 가져서 그 미분의 영점을 1개만 있어야 한다.
______________________________
[르장드르 다항식의 영점] [4]
[표 8.1] 르장드르 다항식의 영점 특정값: $P_\nu (p_{\nu, s})$ = $0$
| $p_{\nu, s}$ | $P_4(x)$: $\nu$ = 4 | $P_5(x)$: 5 | $P_6(x)$: 6 | $P_7(x)$: 7 | $P_8(x)$: 8 | $P_9(x)$: 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $s$ = 1 | 0.33998 | 0.53847 | 0.23862 | 0.40585 | 0.18343 | 0.32425 |
| 2 | 0.86114 | 0.90618 | 0.66121 | 0.74153 | 0.52553 | 0.61337 |
| 3 | - | - | 0.93247 | 0.94911 | 0.79667 | 0.83603 |
| 4 | - | - | - | - | 0.96029 | 0.96816 |
여기서 영점은 $x > 0$만 다루며, $p_{2n+1,0}$ = $0$은 자명해서 생략, $p_{2,1}$ = $1/\sqrt{3}$, $p_{3,1}$ = $\sqrt{3/5}$이다.
[르장드르 다항식의 영점 근사식] [5], [6]
(8.1a)
(8.1b)
(8.1c)여기서 $P_n(p_{n,s})$ = $0$, $1 \le s \le [n/2]$, $r$ = $[n/2] - s + 1$, $1 \le r \le [n/2]$, $[x]$ = $\lfloor x \rfloor$는 바닥 함수(floor function) 혹은 $x$를 넘지 않는 최대 정수, $j_{0,r}$은 제0차 제1종 베셀 함수의 $r$번째 영점이다.
[증명]
(8.2a)
(8.2b)
(8.3)
르장드르 다항식은 고차 다항식이라서 식 (2.6)에 나온 계수만을 이용해 해석적으로 영점을 구하기는 어렵다. 식 (9.6)에 따라 근이 출현하는 성질을 보면서 근사적으로 $p_{n,s}$를 식 (8.1a)처럼 근사화한다. 식 (8.1a)를 다시 한 번더 간략화해서 식 (8.1b)를 얻는다.
(8.2a) (8.2b)베셀 함수를 품고 있는 식 (9.7)을 이용해서 근사식 (8.1c)를 도출한다. 식 (9.7)에 따라 르장드르 다항식의 근은 다음 값 근방에 존재한다.
(8.3)시행착오를 거쳐 $1/4$ 대신 $1/3$을 선택하고 더 나은 근이 나오도록 나머지 값도 보정한다.
______________________________
식 (8.1)중에서 가장 정밀한 근사는 베셀 함수의 영점을 쓰는 식 (8.1c)이다.
[르장드르 다항식 미분의 영점]
[표 8.1] 르장드르 다항식 미분의 영점 특정값: $P_\nu' (p_{\nu, s}')$ = $0$
| $p_{\nu, s}'$ | $P_4'(x)$: $\nu$ = 4 | $P_5'(x)$: 5 | $P_6'(x)$: 6 | $P_7'(x)$: 7 | $P_8'(x)$: 8 | $P_9'(x)$: 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $s$ = 1 | 0.65465 | 0.28523 | 0.46885 | 0.20930 | 0.36312 | 0.16528 |
| 2 | - | 0.76506 | 0.83022 | 0.59170 | 0.67719 | 0.47792 |
| 3 | - | - | - | 0.87174 | 0.89976 | 0.73877 |
| 4 | - | - | - | - | - | 0.91953 |
여기서 미분의 영점은 $x > 0$만 제시하며, $p_{2n,0}'$ = $0$은 항상 성립, $p_{3,1}'$ = $1/\sqrt{5}$이다.
[르장드르 다항식 미분의 영점 근사식]
(8.4)여기서 $1 \le s \le \lfloor (n+1)/2 \rfloor - 1$이다. 식 (8.4)는 $P_n'(x)$의 영점은 $P_n(x)$에 생긴 두 영점의 중심에 있다는 가정으로 얻는다.
9. 점근식(asymptote)
[르장드르 함수의 차수(degree): 스틸체스 점근식(Stieltjes asymptote)] [5], [8]
(9.1a)
(9.1b)여기서 $x$ = $\cos \theta$, $\theta_{\min} \le \theta \le \pi - \theta_{\min}$[∵ 식 (9.1b)는 $\theta$ = $0$에서 발산하지만 $P_n(1)$은 항상 1], $\theta_{\min}$ $\approx$ $\sin^{-1} [2 \mathbin{/} (\pi n)]$이다.
[증명]
식 (2.20b)에서 차수 $n$이 매우 크다고 가정한다.
(9.2a)
(9.2b)여기서 $\xi$ = $e^{i \theta}$, $[x]$ = $\lfloor x \rfloor$는 바닥 함수(floor function)이다. 매개변수 $\xi$를 $x$로 표현하기 위해 2차 방정식 근의 공식을 사용한다.
(9.3)답이 2개 나오지만 $\sqrt{x^2 - 1}$ = $i \sqrt{1-x^2}$으로 선택해서 $\xi$ = $x + \sqrt{x^2 - 1}$로 둔다. 이 결과를 제곱해서 인수 분해한 후에 식 (9.2b)에 넣으면 식 (9.1a)가 증명된다.
(9.4)변수 치환 $\sqrt{x^2 - 1}$ = $i \sin \theta$인 결과를 식 (9.1a)에 넣어서 식 (9.1b)도 유도한다.
(9.5)______________________________
식 (9.1b)는 르장드르 다항식이 가진 근의 위치를 대략적으로 알려준다.
(9.6)
(9.7)여기서 $\operatorname{Sa}(\theta)$는 표본화 함수(sampling function), $J_0(x)$는 제0차 제1종 베셀 함수이다. 식 (9.7)을 시작점으로 르장드르 다항식의 영점을 식 (8.1c)처럼 근사화하기도 한다.
[르장드르 함수 미분의 차수(degree)]
(9.8a)
(9.8b)
(9.8c)여기서 $x$ = $\cos \theta$, $P_n'(x)$ = $dP_n(x)/dx$이다.
[증명]
식 (9.1)과 (9.7)을 $x$와 $\theta$에 대해 직접 미분해서 식 (9.8)을 결정한다.
______________________________
식 (9.8b) 혹은 (9.8c)에 의해 $\theta \to 0$이고 $n$이 크다면 $P_n'(\cos \theta)$도 계속 커진다.
[참고문헌]
[1] F. Johansson, "Arb - a C library for arbitrary-precision ball arithmetic," Arb 2.23.0 Documentation, 2022. (방문일 2022-10-02)
[2] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.
[3] J. T. de Balsch, "Exploring the pointwise convergence of Legendre series for piecewise analytic functions," Jaan Tollander de Balsch, Mar. 2019. (방문일 2023-10-22)
[4] A. N. Lowan, N. Davids, and A. Levenson, "Table of the zeros of the Legendre polynomials of order 1-16 and the weight coefficients for Gauss' mechanical quadrature formula," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 48, no. 10, pp. 739–743, Oct. 1942.
[5] L. Gatteschi, "Una formula asintotica per l'approssimazione degli zeri dei polinomi di Legendre (An asymptotic formula for approximating the zeros of Legendre polynomials)," Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Serie 3 (Bulletin of the Italian Mathematical Union, Series 3), vol. 4, no. 3, pp. 240–250, 1949. (In Italian)
[6] F. G. Lether and P. R. Wenston, "Minimax approximations to the zeros of $P_n(x)$ and Gauss-Legendre quadrature," J. Comput. Appl. Math., vol. 59, no. 2, pp. 245–252, May 1995.
[7] aichi, "Zeros of the Legendre polynomials," We Use Natural Units, Oct. 2013. (방문일 2023-10-29)
[8] T.-J. Stieltjes, "Sur les polynômes de Legendre (On Legendre polynomials)," Ann. Fac. Sci. de Toulouse, vol. 4, no. 2, pp. G1–G17, 1890. (In French)
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