2011년 12월 15일 목요일

베셀 함수(Bessel function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베셀 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베셀의 미분 방정식
2. 복소 함수론의 이해


[그림 1] 자라 세마리(출처: wikipedia.org)

약간 고난이도 특수 함수에 해당하는 베셀 함수(Bessel function)는 수학에 약한 사람들을 놀라게 하는 엄청 큰 솥뚜껑이다. 자라는 아니니 놀랄 필요는 없다. 단지 지수 함수(exponential function), 삼각 함수(trigonometric function), 로그 함수(logarithmic function)만 보던 사람에게만 매우 어려워 이해하기 힘든 함수로 보인다.
물론 베셀 함수는 함수값 계산, 미분과 적분이 잘 안되어 이렇게 느껴지는 것이다. 하지만, 조금만 더 생각해보자. 지수함수, 삼각함수, 로그함수 등을 실제 수치해석 기법으로 작성해 본 적이 있는가? 대부분 없을 것이다. 초등함수의 미분과 적분을 세세히 아는가? 대충은 알지만 세밀한 수학적 증명을 한 경우는 드물 것이다. 지수함수, 삼각함수, 로그함수가 쉽게 느껴지는 이유는 우리가 많이 들었기 때문이다. 베셀 함수는 자주 듣던 함수가 아니니 어렵게 느껴질 뿐이다.
또한, 베셀 함수는 식 (1)과 (2)에 있는 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)의 해이므로 미분 방정식을 이용하여 함수의 특성을 살펴야 한다. 이게 훈련이 안되면 무척 어렵다.

                      (1)

                      (2)

우리가 베셀 함수를 공부하는 이유는 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 문제를 풀 때 빠지지 않고 출현하기 때문이다. 물체의 모양이 원통이면 당연히 문제를 원통 좌표계에서 풀어야 답을 쉽게 구할 수 있다. 이때 해는 베셀 함수의 선형 결합으로 표현된다.

1. 기본(basics)

[1-1, 1-2. 음의 차수]

                      (1-1)

                      (1-2)

[증명]
식 (1-1)을 증명하기 위해 일반화된 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)를 생각해보자.

                      (1-3)

식 (1-3)에 $\nu = -n$을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

     (1-4)

여기서 감마 함수(gamma function)의 입력에 음의 정수($m-n+1 \le 0$)가 들어가면 무한대가 되는 성질을 이용하였다. (∵ 감마 함수의 그래프를 보면 음의 정수에서 감마 함수의 크기가 무한대 되는 것을 볼 수 있다. or 식 (4-4)의 오일러 반사 공식을 봐도 음의 정수에서 감마 함수가 발산하는 것을 증명할 수 있다.)
식 (1-2)는 다음 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind) 정의를 이용하면 쉽게 증명된다.

                      (1-5)

식 (1-5)에서 $\nu = -n$을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                   (1-6)
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2. 적분으로 표현한 베셀 함수(Bessel function represented by integral)

[2-1]

                      (2-1)

[증명]
좌표 불변성을 이용해 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)와 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)에서 그린 함수(Green's function)를 각각 구하고 그 결과들이 동일하다고 연립하여 증명한다.
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[2-2]

                      (2-2)

[증명]
증명을 위해 식 (1-3)을 꼼꼼히 뜯어보자. 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)을 적용하면 다음을 얻는다.

                      (2-3)

                      (2-4)

식 (2-4)를 식 (1-3)에 대입하여 정리해보자 [1].

                      (2-5)

또한, 베타 함수(beta function)의 적분 표현식에 의해 다음을 알 수 있다.

                      (2-6)

코사인 함수(cosine function)의 테일러 급수(Taylor series)는 다음과 같다.

                         (2-7: 삼각함수의 합차공식)

식 (2-6)과 (2-7)을 식 (2-5)에 대입하면 다음을 얻는다[1].

                  (2-8)

식 (2-2)처럼 적분 구간을 확장하려면 $\theta = (0, \pi/2)$에 대해 $\phi = \pi - \theta$로 변수 치환하면 된다.
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[2-9. 베셀의 적분(Bessel's integral)]

   
                      (2-9)

여기서 $n$은 정수이다. 피적분 함수에 코사인이 들어간 적분은 식 (5-2)에 제시되어 있다.

[증명]
$n = 0$인 경우는 식 (2-2)를 통해 증명 가능하다.

                      (2-10)

$n = 1$인 경우는 식 (3-6)을 이용할 수 있다.

                (2-11)

다음으로 식 (2-9)가 식 (3-1)의 재귀 관계를 만족하는 것을 보이자.

                      (2-12)

식 (2-12)에 식 (2-10)과 (2-11)을 대입하면 모든 $n$에 대해 식 (2-9)의 첫째식이 성립함을 증명할 수 있다.
식 (2-9)의 둘째식은 식 (2-9)의 첫째식에서 적분 구간을 $(-\pi, 0)$, $(0, \pi)$로 나누고 변수 치환하면 쉽게 증명된다.
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[2-13]

                      (2-13)

여기서 $n$은 정수이며 폐경로 $c$는 $t = 0$을 감싼다.

[증명]
식 (5-2)의 생성 함수에 복소 함수론의 유수 정리(留數定理, residue theorem)를 적용하면 증명된다.
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[그림 2] 한켈 경로의 반대 방향

[2-14]

                      (2-14)

여기서 폐경로 $c'$는 [그림 2]에 제시된 대로 한켈 경로(Hankel contour)의 반대 방향이다.

[증명]
식 (2-14)의 우변에 있는 적분을 다음처럼 변수 치환하자[2].

                      (2-15)

식 (2-15)에 있는 경로 적분(contour integral)을 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)하면 다음을 얻는다[2].

        (2-16)

여기서 적분 경로를 $c'$에서 $c$로 바꾼 것을 유의하자. 폐경로 c한켈 경로이다. 식 (2-16)에 있는 $f(w)$를 식 (2-15)에 대입해 식 (1-3)과 비교하면 증명이 끝난다.
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식 (2-13)과 (2-14)를 비교해 보면 정수 $n$을 실수 $\nu$로 치환한 것 밖에는 없는 것 같다. 하지만, 중요한 차이는 폐경로 설정이다. 한켈 경로로 폐경로를 정하면 감마 함수(gamma function)의 역수를 표현할 수 있다.

[2-17. 쉴레플리 적분(Schläfli integral)]

   
             (2-17)

[증명]
식 (2-14)와 [그림 2]에 있는 적분 경로를 다음과 같이 바꾸어보자.

  (2-18)

식 (2-18)의 마지막 적분은 변수를 치환하여 다음처럼 증명한다.

                      (2-19)
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3. 재귀 관계(recurrence relation)

[3-1]

                      (3-1)

여기서 $Z_\nu (x)$는 임의의 베셀 함수($J, Y, H$)이다.

[증명]
먼저 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)에 대해 다음을 증명하자.

                      (3-2)

또한 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)는 다음으로 정의된다.

                      (3-3)

식 (3-3)을 이용해 식 (3-1)의 관계식에 적용하자.

          (3-4)

한켈 함수(Hankel function)는 다음으로 정의되므로 식 (3-2)와 (3-4)를 아래식에 대입하면 식 (3-1)이 성립함을 알 수 있다.

                      (3-5)
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[3-6]

                      (3-6)

여기서 $Z\nu (x)$는 임의의 베셀 함수($J, Y, H$)이다.

[증명]
증명 방법은 식 (3-1)과 동일하다. 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)에 대해 식 (3-6)을 적용하면 다음과 같다.

                      (3-7)

제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)와 한켈 함수(Hankel function)에 대해서도 식 (3-4)와 유사하게 증명할 수 있다.
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4. 극한(limit)

[4-1, 4-2]

                      (4-1)

                      (4-2)

[증명]
식 (1-3)에서 $m = 0$만 택하면 식 (4-1)이 증명된다.
식 (4-2)의 첫째식은 차수가 0인 제2종 베셀 함수의 $x = 0$ 극한을 취하면 증명된다. 식 (4-2)의 둘째식 증명을 위해서는 식 (3-3)을 이용해야 한다. $\nu > 0$인 경우 극한은 다음과 같다.

                      (4-3)

식 (4-3) 증명에 아래에 있는 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)을 이용했다.

                      (4-4)
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5. 야코비-앙어 전개(Jacobi-Anger expansion)

[5-1. 야코비-앙어 전개]

                      (5-1)

[증명]
식 (2-9)에 있는 베셀의 적분은 푸리에 급수(Fourier series)에서 계수를 구하는 과정과 같다. 따라서, 식 (2-9)를 푸리에 급수 관점으로 쓰면 식 (5-1)의 첫째식을 얻을 수 있다. 식 (5-1)의 첫째식에 있는 사인 함수(sine function)를 코사인 함수(cosine function)로 바꾸면 식 (5-1)의 둘째식이 얻어진다.
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식 (5-1)의 둘째식을 활용하면 다음 적분을 얻을 수 있다. 아니면 식 (2-9)의 첫째식을 변수 치환하면 된다.

                      (5-2)

[5-3. 생성 함수(generating function)]

                      (5-3)

[증명]
식 (5-1)에서 사인 함수를 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용해 식 (5-4)처럼 치환하면 증명할 수 있다.

                      (5-4)

식 (5-3)에서 $t$의 크기가 1이 아닌 경우는 어떻게 증명할까? 증명을 위해서는 복소 함수론로랑 급수(Laurent series)를 이용해야한다. 식 (5-3)의 좌변을 $t$에 대해 로랑 급수 전개해보자. 실제로 할 필요는 없다. $|t| = 1$인 경우에 식 (5-4)가 성립하기 때문에 해보지 않더라도 $|t| \ne 1$이 성립하는 것을 알 수 있다.
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[참고문헌]
[1] S. S. Phull, "A definite integral for Bessel's function," American Mathematical Monthly, vol. 76, no. 5, pp. 549-551, May, 1969.
[2] C. Pope, Methods of Theoretical Physics: IITexas A&M University, 2010.

[다음 읽을거리]
1. 베셀 함수의 점근식

댓글 32개 :

  1. 언빌리버블!! 블로그에 처음 왔는데.. 이 많은걸 혼자 작성하신건가요? 내용을 책보다도 훨씬 잘 정리해서 설명해주셨네요! 특히 각개념이전에 어떠한 개념이 선행되어야 되는지 안내와 링크가 너무나도 인상적이네요! 공대생인데 공업수학을 제대로 이수 못해서 참고자료를 찾고 있었는데요 굉장하네요! 여유로울때 부족한 수학개념을 익힐수 있을것같군요 자주방문해야겠습니다.^^

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  2. ^^ 감사합니다. 괜히 기분이 좋아지네요. 자주 놀러오세요.

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  3. 식 (2-11) 마지막 두번째에서 마지막으로 가는거랑 식 (2-12) 마지막 세번째에서 마지막 두번째 가는거 어떻게 된건지 설명 부탁드립니다.

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    1. 해결했습니다.ㅎㅎ

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    2. 스스로 해결한 것 축하드립니다. 짝짝!!

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  4. 정말 볼때마다 감탄스럽습니다. 감사합니다. 이렇게 좋은 정보덕에 인터넷이 아름다워 지는것 같습니다. 훌륭하신 정보덕에 오늘도 감사히 공부 합니다.

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    1. 극찬이네요. OTL. 자주 놀러오세요. ^^

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  5. 미분방정식 공부하는 학생인데 많은 도움 받고 가네요^^ 감사합니다
    근데 (1-4)에서 두번째줄부터 식 전개할때 앞부분의 시그마가 왜 없어지는지 설명 해주실수 있으신가요? 자세히 설명해주셨는데도 아직은 모르는 부분이 많네요;;;

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    1. '감마 함수(gamma function)의 입력에 음의 정수(m-n+1 ≤ 0)가 들어가면 무한대가 되는 성질을 이용하였다' 이부분이 이해가 안가서;;;

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    2. 방문 감사합니다. ^^

      아래 감마 함수 들어가서 그래프를 한 번 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/gamma-function.html

      감마 함수는 정의에 의해 음의 정수에서 함수의 크기가 무한대입니다.

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  6. 정의부터 꼼꼼히 정리되고 먼저 읽어야 할 항목을 정리해주신 덕분에 너무 큰 도움받고 갑니다 ^_^

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  7. 이렇게 쉬운 설명이 가능하다니 전파거북이님 대단하십니다.
    저 같은 돌머리에게도 희망이!

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    1. Keyon Oh님, 베셀 함수의 세부 내용를 보고 이해할 정도면 굉장히 똑똑한 분입니다. ^^

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  8. 전에 Math Processing error 어쩌구 떴다고 했는데 크롬으로 보니까 제대로 보이네요~ㅎ

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    1. 곽동현님, 크롬이라서 괜찮은 것은 아니고요, 가끔씩 안 나올 때가 있습니다. F5를 다시 누르면 잘 표시됩니다.

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  9. 자세한 설명과 선행과정 링크가 참 인상적입니다. 앞으로 이곳에서 많은 도움을 얻을 수 있겠네요.

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    1. 네, 익명님, 방문 감사합니다. ^^ 자주 오세요.

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  10. 다음에 시간나면 읽어보려고 제 블로그에 링크를 남겼습니다.
    http://blog.naver.com/fordicus/220326236062

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    1. 네, 출처만 밝히시면 본문도 마음껏 퍼가실 수 있습니다. ^^

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  11. 베셀함수 관련 문제 풀다가 검색해서 이곳에 왔는데 질문하나 해도될까요..? X가 무한대로 갈때 Jn (x)가 왜 0이되는지 어떻게 알 수 있나요 수렴하는건 알겠는데..

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    1. 아래 베셀 함수의 점근식 확인하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/asymptote-of-bessel-function.html

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  12. 식1-4에서 앞에 식에서 감마함수가 왜 무한대로 가는지 잘 모르겠습니다.... 괄호안에 그래프를 보던가 오일러 반사공식 보면 된다 하셨는데 그래도 이해가 안갑니다...

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    1. 먼저 감마 함수의 그래프를 보세요. $x$가 음의 정수이면 무한대가 나옵니다. 무한대가 나오는 이유는 식 (4-4)에 있는 오일러의 반사 공식 때문입니다.

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  13. 대전분이시군요 ㅎ
    반갑습니다~
    많은 글을 작성하셨네요. 저도 요즘 수학에 관심이 생겨 열심히 공부중입니다.
    개발자구요 ㅎ
    베셀함수는 어느책에 나오는지 여쭤봐도 될까요~?
    좋은하루 되세요~

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    1. 반갑습니다, 김동은님. ^^
      베셀 함수의 기초적인 내용은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

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    2. 전자파 분야에 쓰이는 예는 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/electromagnetic-field-representations.html

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  14. struve function 도 대문자 H로 표기하던데 한켈함수와 차이가 뭔지 찾아봐도 잘 안보이네요. 어떻게 다른가요??

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    1. 베셀과 슈트루베(Struve) 함수는 동일한 미분 방정식을 따르지만, 슈트루베 함수는 일반해(베셀 함수는 일반해)가 아닌 특수해입니다. 관련 미분 방정식을 찾아보세요.

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  15. 혹시 2종베셀함수를 왜 저렇게 정의하는지 그 과정을 알수있을까요??

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  16. 윗글 게시자 인데요 궁금한 이유가 있다면 사실 1종베셀의 -v와 +v 경우는 v가 정수가 아닌 한에서는 독립이나까 2종베셀도 해가될수있다 인건 알겠는데, v가 정수 그러니까 v=n일때 극한을 노이만함수에 취하더라구요 그런데 그게 어떻게 베셀방정식의 2번째 해가 되는건가요?
    식을 가정하고 보니 결과가 1종베셀함수와 독립이었다 뭐 이런건가요??? 궁금하네요

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    답글
    1. 아래 링크에 증명 있습니다.

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

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