2011년 12월 15일 목요일

베셀 함수(Bessel Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베셀 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베셀의 미분 방정식
2. 복소 함수론의 이해


[그림 1] 자라 세마리(출처: wikipedia.org)

약간 고난이도 특수 함수에 해당하는 베셀 함수(Bessel function)는 수학에 약한 사람을 놀라게 하는 엄청 큰 솥뚜껑이다. 하지만 자라는 아니니까 너무 놀랄 필요는 없다. 단지 지수 함수(exponential function), 삼각 함수(trigonometric function), 로그 함수(logarithmic function)만 보던 사람에게만 매우 어려워 이해하기 힘든 함수로 보인다. 베셀 함수는 함수값 계산, 미분과 적분, 입력 변수의 분해가 잘 안되어서 난해하게 느껴진다. 하지만 조금만 더 생각해보자. 지수 함수, 삼각 함수, 로그 함수 등을 실제 수치 해석 기법으로 계산해 본 적이 있는가? 대부분 없을 것이다. 초등 함수의 미분과 적분을 세세히 아는가? 대충은 알지만 세밀한 수학적 증명을 한 경우도 드물다. 지수 함수, 삼각 함수, 로그 함수가 쉽게 느껴지는 이유는 우리가 많이 보고 들었기 때문이다. 베셀 함수는 자주 보고 듣던 함수가 아니라서 어렵게 느껴질 뿐이다. 또한 베셀 함수는 식 (1)과 (2)에 있는 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)의 해이므로, 미분 방정식을 이용하여 함수의 특성을 살펴야 한다. 이런 접근법에 대한 훈련이 안되어 있으면, 베셀 함수를 포함한 여러 특수 함수를 이해하기가 무척 어렵다.

                      (1)

                      (2a)

                      (2b)

여기서 $y(\xi x)$는 $y(x)$의 변수 치환이다.
우리가 베셀 함수를 공부하는 이유는 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 관련 문제를 풀 때 빠지지 않고 항상 출현하기 때문이다. 즉 물체의 모양이 원통이면 당연히 미분 문제의 좌표계를 원통 좌표계로 택한다. 그러면 이 미분 방정식의 해는 베셀 함수의 선형 결합으로 표현된다.


   1. 기본(basics)   

[음의 차수]

                      (1.1)

                      (1.2)

[증명]
식 (1.1)을 증명하기 위해 일반화된 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)를 생각해보자.

                      (1.3)

식 (1.3)에 $\nu = -n$을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

     (1.4)

여기서 감마 함수(gamma function)의 입력에 음의 정수[$m-n+1 \le 0$]가 들어가면 무한대가 되는 성질을 이용하였다.[∵ 감마 함수의 그래프를 보면 음의 정수에서 감마 함수의 크기가 무한대 됨을 볼 수 있다. 혹은 식 (4.4)의 오일러 반사 공식을 봐도 음의 정수에서 감마 함수가 발산함을 증명할 수 있다.] 식 (1.2)는 다음에 제시한 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)의 정의를 이용하면 쉽게 증명된다.

                      (1.5)

식 (1.5)에서 $\nu = -n$을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                   (1.6)
______________________________

[음의 입력 변수]

                   (1.7)

                   (1.8)

[증명]
베셀 함수를 무한 급수로 표현한 식에 음의 입력 변수를 대입하여 증명한다. 제2종 베셀 함수 경우는 무한 급수 외에  로그 함수가 있으므로, $\log(-|x|)$ = $\log(|x|) + i \pi$로 인해 식 (1.8)과 같은 결과가 나온다.
______________________________

[한켈 함수(Hankel function)에 대한 음의 입력 변수]

                   (1.9)

                   (1.10a)

                   (1.10b)

[증명]
한켈 함수의 정의에 식 (1.7)과 (1.8)을 대입하여 증명한다. 예를 들면 식 (1.9)의 증명은 다음 절차를 거친다.

                   (1.11)
______________________________

[베셀 함수의 관계]

                      (1.12)

                      (1.13)

[증명]
제1종 한켈 함수의 정의제2종 베셀 함수의 정의를 대입해서 정리하면 식 (1.13)의 첫째식을 증명할 수 있다.

                      (1.14)

마찬가지 방법으로 식 (1.13)의 둘째식도 유도한다.
______________________________

[일반화된 음의 차수]

                      (1.15)

[증명]
식 (1.13)에서 $\nu$에 $-\nu$를 치환해서 증명한다.
______________________________

                      (1.16)

[증명]
식 (1.12)에 식 (1.15)를 대입해서 유도한다.
______________________________

만약 식 (1.16)의 차수 $\nu$가 정수라면, 식 (1.16)은 식 (1.1)과 (1.2)로 간략화된다.

[해석적 연속(analytic continuation)]

                      (1.17)

여기서 $m$은 정수, $z$는 복소수이다.

[증명]
제1종 베셀 함수의 무한 급수 표현식에 의하면 $J_\nu (z)/ z^{\nu}$는 $0$을 제외한 모든 복소 평면에서 해석적이다. 따라서 식 (1.17)이 성립한다.
______________________________

제1종 베셀 함수 $J_\nu (z)$의 차수 $\nu$가 정수가 아닌 실수라면, $z^\nu$로 인해 음의 실수축에 가지 자름(branch cut)이 생긴다. 우리가 계산할 때는 가지 자름을 피하므로, 음의 실수축은 $J_\nu (z)$의 정의역에서 보통 제외한다. 하지만 식 (1.17)의 $e^{m \pi i}$처럼 원점에 대한 회전 회수를 명확히 하면, $z$ = $0$을 제외한 모든 복소 영역에서 $J_\nu (z)$를 해석적이게 할 수 있다. 즉 $z$가 음의 실수축을 넘어갈 때, 식 (1.17)에 기반해 $J_\nu (z)$를 다음과 같이 바꾸면 함수값은 계속 연속적으로 변하게 된다.

                      (1.18)

여기서 임의로 작은 양수 $\delta$에 대해 $\operatorname{arg}(z)$ = $\pi-\delta$와 $\pi+\delta$는 식 (1.18)의 좌변과 우변으로 각각 계산하며, 식 (1.18)의 우변에서 $z$의 편각이 $\pi$를 초과하면 $z e^{-2 \pi i}$의 편각은 $-\pi$부터 다시 시작한다. 이러한 복소 함수의 체계적인 정의역 확장을 해석적 연속(analytic continuation)이라 한다.

                      (1.19)

[증명]
식 (1.14)처럼 제2종 베셀 함수의 정의에 식 (1.17)을 대입해서 식 (1.19)를 유도한다.
______________________________

식 (1.17)과 (1.19)의 차수 $\nu$가 정수, $m$ = $1$이고, $z$가 양의 실수라면, 식 (1.17)과 (1.19)는 각각 식 (1.7)과 (1.8)이 된다.

                      (1.20)

[증명]
식 (1.13)의 첫째식에 식 (1.5)와 (1.17)을 대입해서 정리한다.

             (1.21)

마찬가지 방식으로 식 (1.20)의 둘째식을 증명한다.
______________________________

식 (1.20)의 첫째식과 둘째식에 $m$ = $1$과 $-1$을 각각 대입해서 다음처럼 단순화된 관계식을 얻는다.

                      (1.22)

식 (1.22)의 첫째식에서 $\nu$가 정수이고 $z$가 양의 실수인 경우는 식 (1.9)가 된다. 하지만 식 (1.22)의 둘째식은 식 (1.10)이 되지 않는다. 이는 식 (1.22)에 있는 $e^{-\pi i}$ 때문이다. 다시 말해 $e^{-\pi i}$가 의미하는 음의 실수축의 약간 아래에서 계산한 결과는 식 (1.22)의 둘째식이지만, 식 (1.10)은 음의 실수축에서 약간 위인 $e^{\pi i}$에서 정의하기 때문이다.


   2. 적분 표현식(integral representation)   

[푸리에 변환]

                      (2.1)

[증명]
______________________________

[삼각 함수의 거듭제곱]

                      (2.2)

여기서 $\nu > -1/2$이다.[$\because$ 유도 과정에 베타 함수의 적분 표현식을 사용하기 때문에]  

[증명]
증명을 위해 식 (1.3)을 꼼꼼히 뜯어보자. 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)을 적용하면 다음을 얻는다.

                      (2.3)

                      (2.4)

식 (2.4)를 식 (1.3)에 대입하여 정리해보자[1].

                      (2.5)

또한, 베타 함수(beta function)의 적분 표현식에 의해 다음을 알 수 있다.

                      (2.6)

코사인 함수(cosine function)테일러 급수(Taylor series)는 다음과 같다.

                         (2.7: 삼각 함수의 합차 공식)

식 (2.6)과 (2.7)을 식 (2.5)에 대입하면 다음을 얻는다[1].

                  (2.8)

식 (2.2)처럼 적분 구간을 확장하려면 $\theta = (0, \pi/2)$에 대해 $\phi = \pi - \theta$로 변수 치환하면 된다.
______________________________

[베셀의 적분(Bessel's integral)]

   
                      (2.9)

여기서 $n$은 정수이다. 피적분 함수에 코사인이 들어간 적분은 식 (5.2)에 제시되어 있다.

[증명]
차수 $n = 0$인 경우는 식 (2.2)를 통해 증명 가능하다.

                      (2.10)

차수 $n = 1$인 경우는 식 (3.6)을 이용할 수 있다.

                (2.11)

다음으로 식 (2.9)가 식 (3.1)의 재귀 관계를 만족함을 보이자.

                      (2.12)

식 (2.12)에 식 (2.10)과 (2.11)을 대입하면 모든 $n$에 대해 식 (2.9)의 첫째식이 성립함을 증명할 수 있다. 식 (2.9)의 둘째식은 식 (2.9)의 첫째식에서 적분 구간을 $(-\pi, 0)$, $(0, \pi)$로 나누고 변수 치환하면 쉽게 증명된다.
______________________________

[생성 함수에 대한 적분]

                      (2.13)

여기서 $n$은 정수이며 폐경로 $c$는 $t = 0$을 감싼다.

[증명]
식 (5.2)의 생성 함수(generating function)에 복소 함수론의 유수 정리(留數定理, residue theorem)를 적용하면 증명된다.
______________________________

[그림 2.1] 한켈 경로의 반대 방향

[한켈 경로를 이용한 적분]

                      (2.14)

여기서 폐경로 $c'$는 [그림 2.1]에 제시된 대로 한켈 경로(Hankel contour)의 반대 방향이다.

[증명]
식 (2.14)의 우변에 있는 적분을 다음처럼 변수 치환하자[2].

                      (2.15)

식 (2.15)에 있는 경로 적분(contour integral)테일러 급수 전개(Taylor series expansion)하면 다음을 얻는다[2].

        (2.16)

여기서 적분 경로를 $c'$에서 $c$로 바꾸었음을 유의하자. 폐경로 $c$는 한켈 경로이다. 식 (2.16)에 있는 $f(w)$를 식 (2.15)에 대입해 식 (1.3)과 비교하면 증명이 끝난다.
______________________________

식 (2.13)과 (2.14)를 비교해 보면, 정수 $n$이 실수 $\nu$로 치환된다. 정말 이렇게 단순할까? 우리는 아는 만큼만 볼 수 있다. 두 식에서 중요한 차이는 폐경로 설정이다. 한켈 경로로 폐경로를 정하면 감마 함수(gamma function)의 역수를 표현할 수 있다.

[쉴레플리 적분(Schläfli integral)]

   
            (2.17)

[증명]
식 (2.14)와 [그림 2.1]에 있는 적분 경로를 다음과 같이 바꾸어보자.

     (2.18)

식 (2.18)의 마지막 적분은 변수를 치환하여 다음처럼 증명한다.

                      (2.19)
______________________________


   3. 재귀 관계(recurrence relation)   

[베셀 함수의 합]

                      (3.1)

여기서 $Z_\nu (x)$는 임의의 베셀 함수[$J, N, H$]이다.

[증명]
먼저 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)에 대해 다음을 증명하자.

                      (3.2)

또한 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)는 다음으로 정의된다.

                      (3.3)

식 (3.3)을 이용해 식 (3.1)의 관계식에 적용하자.

             (3.4)

한켈 함수(Hankel function)는 다음처럼 정의되므로, 식 (3.2)와 (3.4)를 아래식에 대입하면 식 (3.1)이 성립함을 알 수 있다.

                      (3.5)
______________________________

[베셀 함수의 미분]

                      (3.6)

여기서 $Z_\nu (x)$는 임의의 베셀 함수[$J, N, H$]이다.

[증명]
증명 방법은 식 (3.1)과 동일하다. 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)에 대해 식 (3.6)을 적용하면 다음과 같다.

                      (3.7)

제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)와 한켈 함수(Hankel function)에 대해서도 식 (3.4)와 유사하게 증명할 수 있다.
______________________________

                      (3.8)

[증명]
식 (3.6)에 식 (3.1)을 대입해서 증명한다.
______________________________


   4. 극한(limit)   

[$x = 0$의 극한]

                      (4.1)

                      (4.2)

[증명]
식 (1.3)에서 $m = 0$만 택하면 식 (4.1)이 증명된다. 식 (4.2)의 첫째식은 차수가 0인 제2종 베셀 함수의 $x = 0$ 극한을 취하면 증명된다. 식 (4.2)의 둘째식 증명을 위해서는 식 (3.3)을 이용해야 한다. $\nu > 0$인 경우 극한은 다음과 같다.

                      (4.3)

식 (4.3) 증명에 아래에 있는 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)을 이용한다.

                      (4.4)
______________________________


   5. 야코비–앙어 전개(Jacobi–Anger expansion)   

야코비–앙어 전개(Jacobi–Anger expansion)는 복소 지수 함수와 제1종 베셀 함수를 연결하는 매우 중요한 공식이다. 야코비Carl Gustav Jacob Jacobi(1804–1851)는 타원 함수(elliptic function), 야코비 행렬(Jacobian) 등으로 워낙 유명해서 익숙한 이름이지만, 앙어Carl Theodor Anger(1803–1858)는 조금 생소하다. 수학자 겸 천문학자인 앙어는 베셀 함수를 일반화시킨 베셀Friedrich Wilhelm Bessel(1784–1846)의 제자이다. 그는 베셀이 천문대장인 쾨니히스베르크 천문대(Königsberg Observatory)에서 훈련을 받았고, 이후에 스승의 모범을 따라 천문학자로서 천문학과 수학을 잘 발전시켰다.

[야코비–앙어 전개]

                      (5.1)

[증명]
식 (2.9)에 있는 베셀의 적분은 푸리에 급수(Fourier series)에서 계수를 구하는 과정과 같다. 따라서, 식 (2.9)를 푸리에 급수 관점으로 쓰면 식 (5.1)의 첫째식을 얻을 수 있다. 식 (5.1)의 첫째식에 있는 사인 함수(sine function)를 코사인 함수(cosine function)로 바꾸면 식 (5.1)의 둘째식이 얻어진다.
______________________________

식 (5.1)의 둘째식을 활용하면 다음 적분을 얻을 수 있다. 아니면 식 (2.9)의 첫째식을 변수 치환하면 된다.

                      (5.2)

야코비–앙어 전개와 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)을 이용하면 균일 평면파(uniform plane wave)디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 연결시킬 수 있다.

          (5.3)

식 (5.3)에서 두 개의 디랙 델타 함수가 출현하는 이유는 균일 평면파의 특징 때문이다. 원점을 기준으로 보면 $\phi = 180^\circ$ 방향에서 평면파가 원점으로 들어와서 $\phi = 0^\circ$ 방향으로 평면파가 빠져나간다. 이 상황을 수학식으로 표현한 결과가 식 (5.3)이다. 식 (5.3)을 변형하면, 임의각인 $\phi = 180^\circ + \phi_0$에서 들어와서 $\phi = \phi_0$로 빠져나가는 평면파는 다음처럼 표현한다.

             (5.4)

식 (5.4)를 한켈 함수(Hankel function)로 다시 표현하면, 평면파와 한켈 함수의 수학적 관계를 증명할 수 있다.

                      (5.5)

반원 상의 푸리에 변환을 사용해서 손실이 있는 균일 평면파의 극한도 유도할 수 있다.

                      (5.6)

여기서 $0 \le \phi \le \pi$이다.

[생성 함수(generating function)]

                      (5.7)

[증명]
오일러의 공식(Euler's formula)을 이용해 식 (5.1)의 사인 함수를 다음처럼 치환하면, 베셀 함수의 생성 함수(generating function)를 만들 수 있다.

                      (5.8)

식 (5.7)에서 $t$의 크기가 $1$이 아닌 경우는 어떻게 증명할까? 증명을 위해서는 복소 함수론로랑 급수(Laurent series)를 이용해야 한다. 식 (5.7)의 좌변을 $t$에 대해 로랑 급수 전개해본다. 하지만 실제로 할 필요는 없다. 식 (5.8)이 $|t| = 1$인 경우에 성립하기 때문에, 해석 함수의 성질에 의해 $|t| \ne 1$인 영역에서도 식 (5.7)은 타당하다. 물론 특이점 $t$ = $0$은 제외한다.
______________________________


   6. 적분(integration)   

[베셀 함수의 곱]

                  (6.1)

여기서 $Z_m (\cdot)$는 임의의 $m$차 베셀 함수[$J, N, H$], $(\cdot)'$는 입력 변수(argument)에 대한 미분, $C$는 적분 상수, $W(f, g)$는 함수 행렬식(Wronskian)이다.

[증명]
베셀 함수 $Z_m(x)$를 만드는 식 (2a)에 $Z_n(x)$를 곱한 미분 방정식을 하나 만든다. 베셀 함수 $Z_m(x)$와 $Z_n(x)$를 서로 바꾼 미분 방정식도 만든다. 이 두 식을 서로 빼주어 적분하면 식 (6.1)이 증명된다.
______________________________

식 (6.1)에서 $m$ = $n$인 경우는 로피탈의 정리(L'Hopital's rule)를 써서 다음처럼 정리한다.

                      (6.2)

여기서 $dZ_m(x)/dm$은 차수에 대한 베셀 함수의 미분이다.

                      (6.3)

여기서 $Z_m (\cdot)$과 $B_m(\cdot)$은 서로 다른 임의의 $m$차 베셀 함수[$J, N, H$]이다.

[증명]
식 (6.3)의 둘째 줄은 식 (6.1)과 비슷하게 증명한다. 식 (6.3)의 셋째 줄은 둘째 줄에 식 (3.8)을 대입해서 유도한다.
______________________________

                      (6.4)

[증명]
식 (6.2)처럼 식 (6.3)에 대해 로피탈의 정리를 적용해서 정리한다.

                      (6.5)
______________________________


[참고문헌]
[1] S. S. Phull, "A definite integral for Bessel's function," American Mathematical Monthly, vol. 76, no. 5, pp. 549–551, May, 1969.
[3] M. E. García, Bessel Functions and Equations of Mathematical Physics, Final Degree Dissertation, Universidad del País Vasco (University of the Basque Country), Spain, 2015. (방문일 2020-11-26)

[다음 읽을거리]
1. 베셀 함수의 점근식

댓글 46개 :

  1. 언빌리버블!! 블로그에 처음 왔는데.. 이 많은걸 혼자 작성하신건가요? 내용을 책보다도 훨씬 잘 정리해서 설명해주셨네요! 특히 각개념이전에 어떠한 개념이 선행되어야 되는지 안내와 링크가 너무나도 인상적이네요! 공대생인데 공업수학을 제대로 이수 못해서 참고자료를 찾고 있었는데요 굉장하네요! 여유로울때 부족한 수학개념을 익힐수 있을것같군요 자주방문해야겠습니다.^^

    답글삭제
  2. ^^ 감사합니다. 괜히 기분이 좋아지네요. 자주 놀러오세요.

    답글삭제
  3. 식 (2-11) 마지막 두번째에서 마지막으로 가는거랑 식 (2-12) 마지막 세번째에서 마지막 두번째 가는거 어떻게 된건지 설명 부탁드립니다.

    답글삭제
  4. 정말 볼때마다 감탄스럽습니다. 감사합니다. 이렇게 좋은 정보덕에 인터넷이 아름다워 지는것 같습니다. 훌륭하신 정보덕에 오늘도 감사히 공부 합니다.

    답글삭제
  5. 미분방정식 공부하는 학생인데 많은 도움 받고 가네요^^ 감사합니다
    근데 (1-4)에서 두번째줄부터 식 전개할때 앞부분의 시그마가 왜 없어지는지 설명 해주실수 있으신가요? 자세히 설명해주셨는데도 아직은 모르는 부분이 많네요;;;

    답글삭제
    답글
    1. '감마 함수(gamma function)의 입력에 음의 정수(m-n+1 ≤ 0)가 들어가면 무한대가 되는 성질을 이용하였다' 이부분이 이해가 안가서;;;

      삭제
    2. 방문 감사합니다. ^^

      아래 감마 함수 들어가서 그래프를 한 번 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/gamma-function.html

      감마 함수는 정의에 의해 음의 정수에서 함수의 크기가 무한대입니다.

      삭제
  6. 정의부터 꼼꼼히 정리되고 먼저 읽어야 할 항목을 정리해주신 덕분에 너무 큰 도움받고 갑니다 ^_^

    답글삭제
  7. 이렇게 쉬운 설명이 가능하다니 전파거북이님 대단하십니다.
    저 같은 돌머리에게도 희망이!

    답글삭제
    답글
    1. Keyon Oh님, 베셀 함수의 세부 내용를 보고 이해할 정도면 굉장히 똑똑한 분입니다. ^^

      삭제
  8. 전에 Math Processing error 어쩌구 떴다고 했는데 크롬으로 보니까 제대로 보이네요~ㅎ

    답글삭제
    답글
    1. 곽동현님, 크롬이라서 괜찮은 것은 아니고요, 가끔씩 안 나올 때가 있습니다. F5를 다시 누르면 잘 표시됩니다.

      삭제
  9. 자세한 설명과 선행과정 링크가 참 인상적입니다. 앞으로 이곳에서 많은 도움을 얻을 수 있겠네요.

    답글삭제
    답글
    1. 네, 익명님, 방문 감사합니다. ^^ 자주 오세요.

      삭제
  10. 다음에 시간나면 읽어보려고 제 블로그에 링크를 남겼습니다.
    http://blog.naver.com/fordicus/220326236062

    답글삭제
    답글
    1. 네, 출처만 밝히시면 본문도 마음껏 퍼가실 수 있습니다. ^^

      삭제
  11. 베셀함수 관련 문제 풀다가 검색해서 이곳에 왔는데 질문하나 해도될까요..? X가 무한대로 갈때 Jn (x)가 왜 0이되는지 어떻게 알 수 있나요 수렴하는건 알겠는데..

    답글삭제
    답글
    1. 아래 베셀 함수의 점근식 확인하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/asymptote-of-bessel-function.html

      삭제
  12. 식1-4에서 앞에 식에서 감마함수가 왜 무한대로 가는지 잘 모르겠습니다.... 괄호안에 그래프를 보던가 오일러 반사공식 보면 된다 하셨는데 그래도 이해가 안갑니다...

    답글삭제
    답글
    1. 먼저 감마 함수의 그래프를 보세요. $x$가 음의 정수이면 무한대가 나옵니다. 무한대가 나오는 이유는 식 (4-4)에 있는 오일러의 반사 공식 때문입니다.

      삭제
  13. 대전분이시군요 ㅎ
    반갑습니다~
    많은 글을 작성하셨네요. 저도 요즘 수학에 관심이 생겨 열심히 공부중입니다.
    개발자구요 ㅎ
    베셀함수는 어느책에 나오는지 여쭤봐도 될까요~?
    좋은하루 되세요~

    답글삭제
    답글
    1. 반갑습니다, 김동은님. ^^
      베셀 함수의 기초적인 내용은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

      삭제
    2. 전자파 분야에 쓰이는 예는 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/electromagnetic-field-representations.html

      삭제
  14. struve function 도 대문자 H로 표기하던데 한켈함수와 차이가 뭔지 찾아봐도 잘 안보이네요. 어떻게 다른가요??

    답글삭제
    답글
    1. 베셀과 슈트루베(Struve) 함수는 동일한 미분 방정식을 따르지만, 슈트루베 함수는 일반해(베셀 함수는 일반해)가 아닌 특수해입니다. 관련 미분 방정식을 찾아보세요.

      삭제
  15. 혹시 2종베셀함수를 왜 저렇게 정의하는지 그 과정을 알수있을까요??

    답글삭제
  16. 윗글 게시자 인데요 궁금한 이유가 있다면 사실 1종베셀의 -v와 +v 경우는 v가 정수가 아닌 한에서는 독립이나까 2종베셀도 해가될수있다 인건 알겠는데, v가 정수 그러니까 v=n일때 극한을 노이만함수에 취하더라구요 그런데 그게 어떻게 베셀방정식의 2번째 해가 되는건가요?
    식을 가정하고 보니 결과가 1종베셀함수와 독립이었다 뭐 이런건가요??? 궁금하네요

    답글삭제
    답글
    1. 아래 링크에 증명 있습니다.

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

      삭제
  17. 선생님 식 (2-8) 같은경우는 (베타함수의 정의에 따라) 뉴(nu) 값이 -1/2 보다 큰 영역에만 식이 성립되는 건가요?

    답글삭제
    답글
    1. 먹자찜닭님, 전파거북이라 불러주세요. ^^
      식 (2-8)은 $\nu$가 어느 영역에 있든 성립해요.

      삭제
    2. 전파거북이님 베타함수가 두 변수값이 0보다 커야지만 성립하는거 아닌가요? 부분적분 해보면 발산을 할텐데...왜 그런건가요?

      삭제
    3. 착각했네요. 오류 지적 정말 감사드립니다. 으TL
      먹자찜닭님 지적대로 $\nu$ 한계가 있어야 합니다. 본문 수정했으니 다시 한 번 보세요.

      삭제
  18. 전파거북이님
    블로그 글을 처음부터 보려고 하는데 번거롭게 이전글보기 버튼을 눌러서 가야되네요.
    바꿔주실 의향있으신가요?

    답글삭제
    답글
    1. Chanho님, 블로그 관련 기능은 구글 블로거를 그대로 사용할 수 있어서 제가 바꾸기가 어려워요. 혹시 목차가 필요하시면 아래 링크 참고하시면 됩니다.

      https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=ghebook&logNo=30113491161&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.co.kr%2F

      삭제
  19. Yo’(x)=-Y1(x) 는 어떻게 증명해야하나요?

    답글삭제
    답글
    1. 식 (3-6)을 이용하면 됩니다. $\nu = 0$을 대입하면 바로 나옵니다. ^^

      삭제
  20. 식 (3.4)에서 2종 베셀 함수가 점화식을 만족하는지 확인하는 부분에서 2종 베셀 함수를 대입할때 정의와는 다르게 J-v항(계수가 cos이 아닌 항)의 부호를 마이너스가 아닌 플러스로 해서 대입한 이유가 무엇인가요?

    답글삭제
    답글
    1. 사인과 코사인 함수를 보세요. 인수에 위상 $\pi$가 들어가기 때문에 부호가 바뀌어야 합니다.

      삭제
  21. 혹시 식 (2-12)에서 끝에서 세 번째 식이 끝에서 두 번째 식으로 어떻게 가는지 알 수 있을까요 ㅜㅜ

    답글삭제
    답글
    1. 특별한 건 없어요. 오일러의 공식(Euler's formula)을 보세요.

      삭제
  22. Bessel function은 평행이동 개념이 없나요? Addition theorem이라는게 있던데, 주어진 원점좌표계가 아닌 다른 국부좌표계에서 구한 값을 다시 원점좌표계로 가져올 때 사용할 수 있다고 이해를 했지만, 다소 복잡하고 엄청난(?) 시리즈 계산을 통해서 구하더라구요. Cartesian 좌표계에서는 x축을 a만큼 이동한 것이라면, x-> x-a로 치환해주면 간편하게 해결 되잖아요. Bessel function을 이용하는 극좌표계에서도 그런게 없을까요?

    답글삭제
    답글
    1. 쉬운 방식은 없습니다. 원통 좌표계는 좌표축이 둥글게 생겨서 평행 이동이 어렵습니다.
      그나마 그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)가 있어서 좌표축을 이동할 수 있어요. 다만 이 방식으로 좌표축을 이동시킬 수 없는 영역도 있어요.

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.