다이감마 함수(Digamma Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "다이감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수

식 (1)에 있는 다이감마 함수(digamma function)는 감마 함수(gamma function)의 미분법(differentiation)과 관련되어 있다.

                       (1)

여기서 $\Gamma'(x)$는 다음처럼 $\Gamma(x)$를 $x$에 대해 미분한 함수이다.

                       (2)

식 (1)이 다이감마라 불리는 이유는 함수를 표기할 때 그리스 문자 다이감마(digamma) $\digamma$를 쓰기 때문이다.[$\digamma$를 보면 감마(gamma) $\Gamma$와 매우 닮아있다. 이 부분이 두번째 감마라는 의미인 다이감마로 불리는 이유이다.] 식 (1) 정의에서 조금 이상한 면은 로그  함수(logarithmic function)를 취한 부분이다. 이는 감마 함수가 계승(階乘, factorial)의 일반화이기 때문에 $x$가 커짐에 따라 함수값이 너무 빨리 커지는 문제를 보상하기 위함이다. 그래서, 다이감마 함수를 연구할 때는 식 (3)에 있는 감마 함수의 무한 곱(infinite product) 표현식을 이용하면 편리하다.  

                      (3)

식 (3)에 로그 함수를 취하면 다음을 얻는다[1].

                      (4)

식 (4)의 무한 급수(infinite series) 수렴성은 극한 비교 판정(limit comparison test)을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다[1].

                             (5)

                             (6)

여기서 극한값을 구하기 위해 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 이용하였다. 식 (6)에서 극한값이 유한하고 무한 급수 $1/k^2$는 수렴하기 때문에 극한 비교 판정에 의해 식 (4)의 무한 급수는 항상 수렴한다.

[그림 1] 복소 영역의 다이감마 함수(출처: wikipedia.org)

   1. 기본(basics)   

[조화 급수(harmonic series)와 다이감마 함수]

                       (1.1)

[증명]

다음의 감마 함수 특성을 미분하면 식 (1.1)이 얻어진다.

                      (1.2)

                      (1.3)

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[무한 급수 표현식]

                      (1.4)

[증명]

식 (3)을 미분하면 다음을 얻는다.

              (1.5)

식 (1.5)에 다음의 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)를 대입하면 식 (1.4)가 증명된다.

                      (1.6)

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   2. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

[$\psi(1)$]

                      (2.1)

[증명]

식 (1.4)에 $x$ = $0$을 대입하면 식 (2.1)이 얻어진다.

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[$\psi(n+1)$]

                      (2.2)

여기서 $n$은 정수이다.

[증명]

식 (1.1)과 (2.1)을 종합하면 쉽게 증명할 수 있다.

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식 (2.2)를 잘 보면 $n$이 커짐에 따라 다이감마 함수는 로그 함수에 근접한다.[∵ 식 (2.2)에 식 (1.6)을 대입하면 쉽게 알 수 있다.]

[참고문헌]

[1] W. F. Hammond, About the Gamma Function, University at Albany, 1995.