2011년 12월 15일 목요일

다이감마 함수(digamma function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "다이감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수


식 (1)에 있는 다이감마 함수(digamma function)는 감마 함수(gamma function)의 미분법(differentiation)과 관련되어 있다.

                       (1)

Γ'(x)는 다음처럼 Γ(x)x에 대해 미분한 함수이다.

                       (2)

식 (1)이 다이감마라 불리는 이유는 함수를 표기할 때 그리스 글자 다이감마(digammaϜ를 쓰기 때문이다. (Ϝ를 보면 감마(gamma) Γ매우 닮아있다. 이게 두번째 감마라는 의미인 다이감마로 불리는 이유다.)
식 (1) 정의에서 조금 이상한 면은 로그함수(logarithmic function)를 취한 것이다. 이것은 감마 함수가 계승(階乘, factorial)의 일반화기 때문에 x가 커짐에 따라 함수값이 너무 빨리 커지는 문제를 보상하기 위한 것이다. 그래서, 다이감마 함수를 연구할 때는 식 (3)에 있는 감마 함수무한곱(infinite product) 표현식을 이용하는 것이 편리하다.  

                      (3)

식 (3)에 로그함수를 취하면 다음을 얻는다[1].

                      (4)

식 (4)의 무한급수(infinite series) 수렴성은 극한비교 판정(limit comparison test)을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다[1].

                             (5)

                             (6)

여기서 극한값을 구하기 위해 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 이용하였다. 식 (6)에서 극한값이 유한하고 무한급수 1/k^2는 수렴하기 때문에 극한비교 판정에 의해 식 (4)의 무한급수는 수렴한다.

[그림 1] 복소영역의 다이감마 함수(출처: wikipedia.org)

1. 기본(basics)

[1-1. 조화급수(harmonic series)와 다이감마 함수]

                       (1-1)

[증명]
다음의 감마 함수 특성을 미분하면 식 (1-1)이 얻어진다.

                      (1-2)

                      (1-3)
______________________________

[1-4]

                      (1-4)

[증명]
식 (3)을 미분하면 다음을 얻는다.

              (1-5)

식 (1-5)에 다음의 오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)를 대입하면 식 (1-4)가 증명된다.

                      (1-6)
______________________________


2. 특수한 함수값(special values)

[2-1]

                      (2-1)

[증명]
식 (1-4)에 x = 0을 대입하면 식 (2-1)이 얻어진다.
______________________________

[2-2]

                      (2-2)

여기서 n은 정수이다.

[증명]
식 (1-1)과 (2-1)을 종합하면 쉽게 증명할 수 있다.
______________________________

식 (2-2)를 통해 알 수 있는 것은 n이 커지면 다이감마 함수는 로그함수에 근접한다는 것이다. (∵ 식 (2-2)에 식 (1-6)을 대입하면 쉽게 알 수 있다.)

[참고문헌]
[1] W. F. Hammond, About the Gamma Function, University at Albany, 1995.
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