2011년 12월 13일 화요일

무한 곱(infinite product)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 곱"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수


무한 급수(infinite series)와 쌍둥이처럼 닮아있는 것이 무한 곱(infinite product)이다. 무한 곱은 아래와 같이 정의한다.

                       (1)

무한 곱의 수렴성을 보려면 $a_n$의 크기를 보면 된다. $a_n > 1$이면 무한 곱은 발산할 것이고 $a_n < 1$이면 0으로 수렴할 것이다. 문제가 되는 것은 $n$이 커질 때 $a_n \to 1$로 수렴하는 경우이다. 수렴할 수도 발산할 수도 있기 때문에 식 (1)을 다음처럼 무한 급수로 변형하자.

                      (2)

식 (2)를 보면 $b_n$ 관점에서는 무한 급수이므로 무한 급수의 수렴 판정법(convergence test)을 무한 곱에도 적용할 수 있다. 즉, 무한 급수 $b_n$이 수렴하면 당연히 무한 곱 $a_n$도 수렴한다.

[3. 무한 급수와 무한 곱]

                      (3)

여기서 $L, M$은 무한 급수와 무한 곱의 수렴값이다.

[증명 1]
식 (3)의 무한 곱에 식 (2)처럼 로그 함수(logarithmic function)를 취하면 무한 급수로 바꿀 수 있다.

                      (4)

다음으로 식 (4)에 대해 극한 비교 판정(limit comparison test)을 다음과 같이 적용하자[1].

                             (5)

                        (6)

식 (6) 증명을 위해 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 사용하였다. 식 (6)에서 극한이 1로 수렴하고 식 (3)의 조건에서 무한 급수 $a_n$이 수렴하기 때문에 식 (3)의 무한 곱도 수렴한다. 반대로 식 (3)의 무한 곱이 수렴하면 무한 급수 $a_n$도 수렴한다.
______________________________

[증명 2]
식 (3)에서 $a_n > 0$인 경우가 수렴하면 $a_n < 0$인 경우도 당연히 수렴하므로(∵ 비교 판정(comparison test)에 의해 큰 값이 수렴하면 작은 값도 수렴한다.) $a_n > 0$이라 가정하자.
그러면 다음이 성립한다.

                       (7)

식 (7)에서 무한 곱은 $n$이 커짐에 따라 단조 증가하지만(∵ $1 + a_n > 1$이므로) 식 (3)의 조건에 의해 유계(bounded)이므로 단조 증감 수렴 정리(單調增減 收斂 定理, monotone convergence theorem)에 의해 무한 곱은 수렴한다.
또한, 식 (3)의 무한 곱이 수렴하면 식 (7)의 왼쪽에 있는 단조 증가하는 무한 급수 $a_n$은 유계가 되므로 이 무한 급수는 수렴한다.
______________________________

무한 곱의 유용한 응용은 영점(零點, zero)극점(極點, pole)의 표현이다. 무한 곱은 사실 곱셈이기 때문에 함수가 0이 되는 영점과 함수가 무한대가 되는 극점을 쉽게 표현할 수 있다.
무한 곱 개념을 이용해서 잘 알려진 사인 함수(sine function)를 곱셈으로 표현해보자. 먼저 사인 함수의 영점을 제거한 다음 복소 함수(complex function) $f(z)$를 고려하자.

                       (8)

식 (8)에 의해 $f(z) \ne 0$이므로 $1/f(z)$는 무한대로 발산하는 점이 없어(∵ 분모가 0이 되는 점이 없다.) 전영역에서 유계(bounded)가 된다. 따라서, 리우빌의 정리(Liouville's theorem)에 의해 $1/f(z)$는 반드시 상수여야한다.

                       (9)

그러면 사인 함수는 다음의 무한 곱으로 전체 복소 영역(complex domain)에서 잘 정의된다.

                       (10)

마찬가지 방법으로 코사인 함수(cosine function)도 무한 곱으로 표현가능하다.

                       (11)

[참고문헌]
[1] J. Belk, Convergence of Infinite Products, The Everything Seminar, 2008.


댓글 19개 :

  1. 왜 위의 f(z)는 영점이 없는지 자세히 설명 부탁드려도 될까요??z=0 같은 점을 대입하면 어떻게 되는지..

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    1. 영점을 나누어 주어서(식 (8)의 분모 부분) 강제로 영점을 제거했습니다.

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  2. 리우빌의 정리 부분에서... 분모가 영점이 아니니까 유계함수이다 라는 부분이 좀 이해가 안가네요. n이 자연수에 가까우면 분자와 분모가 맞물려서 무한대로 발산하는걸 간신히 막아낼순 있어도 유계함수라는 것을 보장할 순 없다고 생각합니다.

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    1. 식 (8)을 분자, 분모로 보지 마시고, 영점을 모두 제거해서 $f(z) \ne 0$이 되었다고 생각하세요. 그러면 $1/f(z)$는 절대 무한대로 갈 수 없고 유한하므로 유계입니다.

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    2. 제가 답글을 잘 이해한 건지 모르겠습니다. 아직 대학수학에 익숙하지 않은지라 이해력이 부족한 점 양해해 주시고.. 1/fz가 특정수 z의 근처에서 발산하는 경우도 고려해야 되지만 ,다른경우 예를 들어 (z가 실수일때) z가 커짐에 따라 1/fz의 값도 서서히 커지는 경우도 생각해봤습니다. e^z 처럼요. 그렇다면 1/fz 는 위의 전제조건은 다 만족시키면서도 유계이다라는 결론은 만족하지 않네요.

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    3. 1. 위 논증에는 조건이 있습니다. 바로 $sin(z)$의 영점을 식 (8)처럼 제거했다는 것입니다.
      익명님이 제시한 복소 함수 $e^z$도 (가능할 것 같지 않지만) 할 수 있다면 영점을 제거해서 식 (8)처럼 하면 유계로 만들 수 있습니다.

      2. $z$가 커질 때 $1/f(z)$가 커진다면, $f(z)$를 구해 영점을 식 (8)처럼 제거한 후 역수를 취하면 이 경우도 유계로 만들 수 있습니다.

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    4. 분모의 영점만 제거해주면 유계로 만들 수 있다.<- 근거를 물어봐도 되겠습니까
      1/f(z)=e^((절대값z)^2)는 어떻습니까. f(z)의 영점은 없다라고 생각합니다. 영점을 제거할 필요가 없는데 유계가 아닙니다.

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    5. "영점을 모두 제거해서 f(z)=/=0 되었다고 생각하세요"
      제가 댓글로 처음 질문을 한 의도는 f(z)가 0이 되지는 않아도 f(z)가 0에 점점 가까워 지는 일은 가능하다 라는 반문을 하기 위해서였습니다. 명확하지 않은 질문으로 괜히 답글에 시간을 보내게 해드렸다면 죄송합니다.

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    6. 1. 영점을 제거할 수 있다면 유계로 만들 수 있다는 뜻입니다. 지수 함수의 영점은 다중 영점으로 표현되지 않기 때문에 "가능할 것 같지 않다"고 한 것이고요.

      2. 절대값은 해석 함수가 아니기 때문에 논의의 대상이 아닙니다.

      3. 해석 함수는 연속 함수보다 더 강한 조건이기 때문에 0에 가까이 간다는 말은 0점이 포함된다는 뜻입니다.

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    7. 1복소해석함수는 강한조건이기 때문에 영점을 모두 제거 했을 시 유계다.
      2리우빌의 정리에 의해 유계이고 정칙인 f(z)는 상수 함수다.
      이게 결론인 것 같은데, 2번은 이해가 되는데 1번은 윗글만 봐서는 도저히 이해할 수 없는 영역인 것 같습니다. 관련 포스팅 또는 서적을 알 수 있을까요?

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    8. 영점을 모두 제거한 복소 함수를 $f(z)$라고 하면 모든 영역에서 $|f(z)| > 0$이 됩니다. (물론 영점을 제거하기 위해서는 원함수가 다중 영점 등의 적절한 조건을 가져야 합니다.)
      위 관계에 역수를 취하면 $1/|f(z)| < \infty$가 반드시 성립해야 합니다.

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  3. sinx/x의 극한식으로 어떻게 f(z)의 값 c1을 구하는건가요??

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    1. 식 (9)에서 $z = 0$을 대입해 보면 압니다. 물론 $\sin x/ x$의 극한은 아래처럼 증명해서 대입해야 합니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/01/sum-and-difference-identities.html

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  4. 알고보면 정말 간단한 아이디어인데, 정말 대단합니다.
    논리적 비약이 있지만 개략적으로 이렇게도 이해할 수 있을 것 같습니다.

    1. 전해석 해석함수는 테일러 급수로 표현가능하다.
    2. 임의의 다항함수는 반드시 복소수 범위내에서 인수분해 가능하다.
    3. 무한차수 다항함수도 2.가 성립한다고 가정.
    4. 따라서 임의의 전해석함수는 반드시 영점으로 표현된 무한곱으로 표현가능하다.

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    1. 잘 정리해주셨습니다, 익명님. ^^
      추가하자면, 모든 무한차 다항식이 인수 분해 가능한 것은 아닙니다. 다행히 사인이나 코사인은 이게 성립해서 무한 곱으로 표현할 수 있었던 것고요.

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  5. 저기 혹시 디랙델타함수 3.6 삭제 되나요? 볼수가 없어서요

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    1. 어디를 말씀하시는 거죠? 디랙 델타 함수는 아래에 잘 있습니다. ^^

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/10/dirac-delta-function.html

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    2. http://blog.naver.com/ghebook/30113491161
      여기서 델타함수 들어가니 삭제 되어 있다고 뜨네요.ㅎㅎ

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    3. 지적 감사합니다, 익명님. ^^ 링크가 틀려 있었네요.

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