2011년 12월 13일 화요일

무한 곱(Infinite Product)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 곱"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수


무한 급수(infinite series)와 쌍둥이처럼 닮아있는 수학 개념은 무한 곱(infinite product)이다. 무한 곱은 아래와 같이 정의한다.

                       (1)

식 (1)처럼 무한 곱은 수열 $\{a_n\}$을 무한 번 곱해서 정의한다. 유한 합(finite sum)과 비슷하게 유한 곱(finite product)은 항을 유한 번 곱해서 계산한다. 유한 곱과 무한 곱은 서로 독립된 개념이라기 보다는 유한 곱의 극한이 무한 곱이라 볼 수 있다. 즉 무한 급수와 동일하게 무한 곱은 유한 곱으로 구성한 부분 곱(partial product)의 극한이다. 무한 곱의 수렴성을 보려면 $a_n$의 크기를 보면 된다. $a_n > 1$이면 무한 곱은 발산하고 $a_n < 1$이면 0으로 수렴한다. 문제가 되는 부분은 $n$이 커질 때 $a_n \to 1$로 수렴하는 경우이다. 무한 곱은 수렴할 수도 혹은 발산할 수도 있기 때문에, 식 (1)을 다음과 같은 무한 급수로 변형하자.

                      (2)

식 (2)를 보면 $b_n$ 관점에서는 무한 급수이므로 무한 급수의 수렴 판정법(convergence test)을 무한 곱에도 적용할 수 있다. 즉, 무한 급수 $b_n$이 수렴하면 당연히 무한 곱 $a_n$도 수렴한다.

[무한 급수와 무한 곱]

                      (3)

여기서 $L, M$은 무한 급수와 무한 곱의 수렴값이다.

[증명: 무한 급수 기반]
식 (3)의 무한 곱에 식 (2)처럼 로그 함수(logarithmic function)를 취하면 무한 급수로 바꿀 수 있다.

                      (4)

다음으로 식 (4)에 대해 극한 비교 판정(limit comparison test)을 다음과 같이 적용하자[1].

                             (5)

                        (6)

식 (6) 증명을 위해 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 사용하였다. 식 (6)에서 극한이 1로 수렴하고 식 (3)의 조건에서 무한 급수 $a_n$이 수렴하기 때문에 식 (3)의 무한 곱도 수렴한다. 반대로 식 (3)의 무한 곱이 수렴하면 무한 급수 $a_n$도 수렴한다.

[증명: 지수 함수 기반]
식 (3)에서 $a_n > 0$인 경우가 수렴하면 $a_n < 0$인 경우도 당연히 수렴하므로[∵ 비교 판정(comparison test)에 의해 큰 값이 수렴하면 작은 값도 수렴한다.] $a_n > 0$이라 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

                       (7)

식 (7)에서 무한 곱은 $n$이 커짐에 따라 단조 증가하지만[∵ $1 + a_n > 1$이므로] 식 (3)의 조건에 의해 유계(bounded)이므로 단조 증감 수렴 정리(單調增減 收斂 定理, monotone convergence theorem)에 의해 무한 곱은 수렴한다. 또한, 식 (3)의 무한 곱이 수렴하면 식 (7)의 왼쪽에 있는 단조 증가하는 무한 급수 $a_n$은 유계가 되므로 이 무한 급수는 수렴한다.
______________________________

무한 곱의 유용한 응용은 영점(零點, zero)극점(極點, pole)의 표현이다. 무한 곱은 사실 곱셈이기 때문에 함수가 $0$이 되는 영점과 함수가 무한대가 되는 극점을 쉽게 표현할 수 있다. 무한 곱 개념을 이용해서 잘 알려진 사인 함수(sine function)를 곱셈으로 표현해보자. 먼저 사인 함수의 영점을 제거한 다음 복소 함수(complex function) $f(z)$를 고려하자.

                       (8)

식 (8)에 의해 $f(z) \ne 0$이므로 $1/f(z)$는 무한대로 발산하는 점이 없다.[∵ 분모가 0이 되는 점이 없다.] 그래서 $f(z)$는 전영역에서 유계(bounded)이다. 또한 리우빌의 정리(Liouville's theorem)에 의해 전영역에서 유계인 복소 함수는 상수이다. 이를 종합하여 상수 함수인  $1/f(z)$를 무한 곱으로 표현하면 다음과 같다.

                       (9)

따라서 무한 곱 형태로 사인 함수는 전체 복소 영역(complex domain)에서 잘 정의된다.

                       (10)

식 (10)을 유도할 때 사용한 기법은 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 최초로 사용했다. 무한 곱을 쓰면 간단한 사인 함수도 식 (10)처럼 최종 결과식이 다소 복잡해진다. 하지만 무한 곱 표현식은 복소 함수가 가진 영점과 극점을 식 (1.1)처럼 정확히 보여주므로 매우 유용한 방법이다.
사인 함수와 마찬가지 방법으로 코사인 함수(cosine function)를 무한 곱으로 표현하면 다음과 같다.

                       (11)

영점과 극점 표현에 강점을 가진 무한 곱의 다양한 성질과 활용을 체계적으로 제시한다.


   1. 기본(basics)   

[무한 곱 표현식]
수열 $\{z_n\}$과 $\{p_n\}$으로 표현된 단순 영점(simple zero)과 극점(simple pole)을 가진 복소 함수 $f(z)$는 다음과 같은 무한 곱으로 표현할 수 있다.

                       (1.1)

여기서 단순 영점은 $z - z_n$, 단순 극점은 $1/(z-p_n)$ 형태를 의미한다.

[증명]
무한 곱 정의에 따라 단순 영점과 극점을 만든다. 식 (1.1)에 $z = 0$를 대입해서 무한 곱에 대한 상수를 $f(0)$으로 결정한다.
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식 (1.1)에서 단순 영점이나 극점이 없는 경우는 $z_n$ 혹은 $p_n$이 무한대에 있다고 생각한다. 비슷하게 단순 영점이나 극점이 유한한 경우에도 현재 $f(x)$가 가진 단순 영점이나 극점을 초과하는 항은 무한대에 있다고 가정한다. 

[지수 법칙]

                       (1.2)

                       (1.3)

[증명]
무한 곱에 식 (2)와 같은 로그 함수를 적용해서 증명한다. 이 관계는 지수 함수에 사용하는 지수 법칙과 유사하다.
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   2. 특수한 값(special values)   

[월리스 곱(Wallis product)]
   
                    (2.1)

[증명]
사인 함수의 무한 곱 표현인 식 (10)에 $z = 1/2$를 대입해 정리한다.

                       (2.2)
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[월리스 곱과 계승(factorial)]

                       (2.3)

[증명]
식 (2.1)에 나온 짝수와 홀수를 $n = 1$부터 $N$까지 곱하면 다음과 같은 계승으로 표현할 수 있다[2].

                       (2.4)

식 (2.4)를 식 (2.1)에 대입해서 정리하면 식 (2.3)을 얻을 수 있다.
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   3. 함수 표현식   

[단순 극점(simple pole)]

                       (3.1)

[증명]
식 (3.2)에 제시한 로그 함수에 대한 테일러 급수를 이용해서 식 (3.1)의 좌변을 전개한다.

                       (3.2)

             (3.3)
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다중 극점(multiple pole)인 경우는 식 (1.3)을 식 (3.1)에 적용한다.


[참고문헌]
[1] J. Belk, Convergence of Infinite Products, The Everything Seminar, 2008.
[2] "Stirling's formula," ProofWiki. (방문일 2020-07-13)

[다음 읽을거리]

댓글 22개 :

  1. 왜 위의 f(z)는 영점이 없는지 자세히 설명 부탁드려도 될까요??z=0 같은 점을 대입하면 어떻게 되는지..

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    1. 영점을 나누어 주어서(식 (8)의 분모 부분) 강제로 영점을 제거했습니다.

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  2. 리우빌의 정리 부분에서... 분모가 영점이 아니니까 유계함수이다 라는 부분이 좀 이해가 안가네요. n이 자연수에 가까우면 분자와 분모가 맞물려서 무한대로 발산하는걸 간신히 막아낼순 있어도 유계함수라는 것을 보장할 순 없다고 생각합니다.

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    1. 식 (8)을 분자, 분모로 보지 마시고, 영점을 모두 제거해서 $f(z) \ne 0$이 되었다고 생각하세요. 그러면 $1/f(z)$는 절대 무한대로 갈 수 없고 유한하므로 유계입니다.

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    2. 제가 답글을 잘 이해한 건지 모르겠습니다. 아직 대학수학에 익숙하지 않은지라 이해력이 부족한 점 양해해 주시고.. 1/fz가 특정수 z의 근처에서 발산하는 경우도 고려해야 되지만 ,다른경우 예를 들어 (z가 실수일때) z가 커짐에 따라 1/fz의 값도 서서히 커지는 경우도 생각해봤습니다. e^z 처럼요. 그렇다면 1/fz 는 위의 전제조건은 다 만족시키면서도 유계이다라는 결론은 만족하지 않네요.

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    3. 1. 위 논증에는 조건이 있습니다. 바로 $sin(z)$의 영점을 식 (8)처럼 제거했다는 것입니다.
      익명님이 제시한 복소 함수 $e^z$도 (가능할 것 같지 않지만) 할 수 있다면 영점을 제거해서 식 (8)처럼 하면 유계로 만들 수 있습니다.

      2. $z$가 커질 때 $1/f(z)$가 커진다면, $f(z)$를 구해 영점을 식 (8)처럼 제거한 후 역수를 취하면 이 경우도 유계로 만들 수 있습니다.

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    4. 분모의 영점만 제거해주면 유계로 만들 수 있다.<- 근거를 물어봐도 되겠습니까
      1/f(z)=e^((절대값z)^2)는 어떻습니까. f(z)의 영점은 없다라고 생각합니다. 영점을 제거할 필요가 없는데 유계가 아닙니다.

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    5. "영점을 모두 제거해서 f(z)=/=0 되었다고 생각하세요"
      제가 댓글로 처음 질문을 한 의도는 f(z)가 0이 되지는 않아도 f(z)가 0에 점점 가까워 지는 일은 가능하다 라는 반문을 하기 위해서였습니다. 명확하지 않은 질문으로 괜히 답글에 시간을 보내게 해드렸다면 죄송합니다.

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    6. 1. 영점을 제거할 수 있다면 유계로 만들 수 있다는 뜻입니다. 지수 함수의 영점은 다중 영점으로 표현되지 않기 때문에 "가능할 것 같지 않다"고 한 것이고요.

      2. 절대값은 해석 함수가 아니기 때문에 논의의 대상이 아닙니다.

      3. 해석 함수는 연속 함수보다 더 강한 조건이기 때문에 0에 가까이 간다는 말은 0점이 포함된다는 뜻입니다.

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    7. 1복소해석함수는 강한조건이기 때문에 영점을 모두 제거 했을 시 유계다.
      2리우빌의 정리에 의해 유계이고 정칙인 f(z)는 상수 함수다.
      이게 결론인 것 같은데, 2번은 이해가 되는데 1번은 윗글만 봐서는 도저히 이해할 수 없는 영역인 것 같습니다. 관련 포스팅 또는 서적을 알 수 있을까요?

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    8. 영점을 모두 제거한 복소 함수를 $f(z)$라고 하면 모든 영역에서 $|f(z)| > 0$이 됩니다. (물론 영점을 제거하기 위해서는 원함수가 다중 영점 등의 적절한 조건을 가져야 합니다.)
      위 관계에 역수를 취하면 $1/|f(z)| < \infty$가 반드시 성립해야 합니다.

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    9. 몇년전에 복소해석학 책 사서 독학하다가 사인무한곱에 대한 나름의 엄밀한 증명을 발견했습니다. 그리고 지금은 그때 정독했던 복소해석학 다시 꺼내서 취미로 공부중입니다. 갑자기 생각나서 여기로 다시 왔습니다. 저 댓글을 달 당시에는 수학이 그냥 마냥 좋았던 소년이었는데,, 지금은 현실에 치여사는, 하고 싶은 공부와 해야만 하는 일들 그리고 현실적으로 가능한 일들 사이에서 방황하는 20대 청년이라는 생각을 하면 시간 참 빠르다고 생각되네요..ㅠㅠ 그때는 몰랐는데 전파거북이님이 정리하신 글들을 다시 보니 대단하시다는 생각이 듭니다. 아마도 저보다 한참 스승이겠지요?ㅎㅎ 무슨 공부를 하셨고 (혹시 전자공학과? 저도 전자공학 전공인데ㅎㅎ) 무슨 일을 하시는지 궁금합니다.

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  3. sinx/x의 극한식으로 어떻게 f(z)의 값 c1을 구하는건가요??

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    1. 식 (9)에서 $z = 0$을 대입해 보면 압니다. 물론 $\sin x/ x$의 극한은 아래처럼 증명해서 대입해야 합니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/01/sum-and-difference-identities.html

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  4. 알고보면 정말 간단한 아이디어인데, 정말 대단합니다.
    논리적 비약이 있지만 개략적으로 이렇게도 이해할 수 있을 것 같습니다.

    1. 전해석 해석함수는 테일러 급수로 표현가능하다.
    2. 임의의 다항함수는 반드시 복소수 범위내에서 인수분해 가능하다.
    3. 무한차수 다항함수도 2.가 성립한다고 가정.
    4. 따라서 임의의 전해석함수는 반드시 영점으로 표현된 무한곱으로 표현가능하다.

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    1. 잘 정리해주셨습니다, 익명님. ^^
      추가하자면, 모든 무한차 다항식이 인수 분해 가능한 것은 아닙니다. 다행히 사인이나 코사인은 이게 성립해서 무한 곱으로 표현할 수 있었던 것고요.

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  5. 저기 혹시 디랙델타함수 3.6 삭제 되나요? 볼수가 없어서요

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    1. 어디를 말씀하시는 거죠? 디랙 델타 함수는 아래에 잘 있습니다. ^^

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/10/dirac-delta-function.html

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    2. http://blog.naver.com/ghebook/30113491161
      여기서 델타함수 들어가니 삭제 되어 있다고 뜨네요.ㅎㅎ

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    3. 지적 감사합니다, 익명님. ^^ 링크가 틀려 있었네요.

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  6. 리우빌의 정리로 증명하는 것보다 바이어슈트라스의 정리로 증명하는게 더 엄밀한 증명이라고 생각합니다!

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    1. 전파토끼님, 정보 감사합니다 ^^
      저도 의견에 동의합니다만, 리우빌의 정리가 더 직관적이어서 현재 방법이 더 좋아요.

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