2011년 7월 29일 금요일

전압파와 전류파(voltage and current waves)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압파와 전류파"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론

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[그림 1] 원천과 부하를 연결하는 전송선(출처: wikipedia.org)

식 (1)의 전송선 방정식(transmission line equation)으로부터 직접적으로 얻어지는 결론은 전송선 이론(transmission line theory)의 전압과 전류는 더이상 회로 이론(circuit theory)의 전압과 전류가 아니라는 것이다.

                        (1)

여기서 $R, L, G, C$는 단위길이당 해당 회로량을 의미한다. 예를 들어 $R$의 단위는 [Ω/m]이다.
이를 확인하기 위해 식 (1)을 $z$에 대해 미분해보자.

               (2)

식 (2)는 전형적인 상수 계수(係數常數, constant coefficient) 선형 상미분 방정식(常微分方程式, linear ordinary differential equation: 하나의 독립변수만 가진 선형적인 미분 방정식)이므로 식 (2)의 답을 아래로 가정하고 식 (2)에 대입하자.

                        (3)

그러면 미지수인 $\gamma$를 결정할 수 있다.

                        (4)

식 (4)를 식 (3)에 대입해보면 식 (2)를 만족하는 해는 두 개라는 것을 알 수 있다. 따라서, 전송선에 발생하는 전체 전압과 전류는 아래로 표현할 수 있다.

                        (5)

여기서 $V(z)$, $I(z)$는 회로 이론에서 배운 우리가 잘 아는 전압과 전류이며, $V_0^+$, $V_0^-$, $I_0^+$, $I_0^-$는 전송선 이론에 새로 도입된 파동의 진폭을 나타내는 계수로서 전압과 전류에 대한 경계 조건(境界條件, boundary condition)을 이용하여 정하게 된다. 식 (5)의 $V_0^+$, $V_0^-$, $I_0^+$, $I_0^-$에 있는 (+)와 (-)는 파동의 진행 방향이다. 즉,  (+)는 $+z$축, (-)는 $-z$축으로 진행하는 파동을 뜻한다. 따라서, $V_0^+$와 $I_0^+$는 $+z$축, $V_0^-$와 $I_0^-$는 $-z$축으로 진행하는 전압파와 전류파의 크기와 $z = 0$에서의 기준 위상을 표현한다. 또한, 식 (5)는 페이저(phasor)를 이용하여 시간 변동을 없앤 결과이기 때문에 실제로는 공간과 시간에 대해 전송선의 전압과 전류가 변하게 된다. 공간과 시간에 대해 식 (6)과 같이 변하는 것은 파동(波動, wave)이라 하므로 전송선의 전압과 전류는 반드시 전압파(voltage wave)와 전류파(current wave)로 생각해야 한다.

                        (6)

전압파와 전류파는 회로 이론과 전송선 이론을 구별하는 매우 중요한 개념이다. 식 (5)와 (6)에서 $I_0^-$의 앞 부호는 (-)로 택했다. (부호를 (+)로 택해도 전혀 문제없다.) 반사 전류파는 입사 전류파와 흐르는 방향이 다르다고 가정하는 것이 편하므로 이렇게 정한다.


[그림 2] 전압파와 전류파의 움직임(출처: wikipedia.org)



[그림 3] 파면의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 2]처럼 전압파와 전류파는 전송선의 위치와 주어진 시간에 따라 계속 변하기 때문에 회로 이론처럼 어느 지점의 전압과 전류를 측정하는 것은 의미가 없다. (∵ 해당 위치에서 계속 변하기 때문이다.) 그래서, 전압파와 전류파가 이송하는 평균 전력(平均電力, average power)이 전송선 이론의 중요 지표이다. (평균 전력을 알려면 반사 계수(reflection coefficient)를 계산해야 한다.) 식 (6)을 잘 관찰하면 회로 이론과 전송선 이론의 차이점을 발견할 수 있다. 식 (6)의 좌변은 AC 회로 이론에서 측정하는 양이다. (∵ 전송선 방정식은 회로 이론을 기반으로 유도하였기 때문에 $V(z), I(z)$는 회로 이론 양이다.) 식 (6)의 우변은 서로 반대 방향으로 진행하는 전압파와 전류파의 합성이다. 즉, 회로 이론의 전압과 전류를 파동의 성질을 가진 전압파와 전류파의 합성으로 설명할 수 있다. 예를 들면 식 (5)의 $V(z)$, $I(z)$가 회로 이론에서 정의한 전압과 전류이다. 이 전압과 전류는 전송선 이론의 입사($V_0^+$ 항) 및 반사($V_0^-$ 항) 전압파, 입사($I_0^+$ 항) 및 반사($I_0^-$ 항) 전류파로 분해해서 더 구체적으로 생각할 수 있다.

식 (6)의 우변이 파동을 의미한다는 뜻을 이해하기 위해 복소수(complex number)인 전파 상수(傳播常數, propagation constant) $\gamma$를 실수부와 허수부로 구분해보자.

                       (7)

여기서 $\alpha$는 감쇄 상수(attenuation constant), $\beta$는 위상 상수(phase constant)이다. 감쇄 상수는 파동이 진행함에 따라 진폭이 얼마나 감소하는지를 나타내며 위상 상수는 파동의 진행에 따른 위상의 변동을 나타내는 상수이다. 위상 상수를 이용해 새로운 용어인 관내 파장(管內波長, guided wavelength) $\lambda_g$을 정의한다.

                       (8)

관내 파장은 전송선 내부에 존재하는 등가적인 파장(wavelength)을 뜻한다. 관내 파장은 전송선 매질과 기학 구조에 의해 결정된다. (더 정확하게 하려면 전송선의 모드(mode)까지 고려해야 한다.) 파동 방정식에 등장하는 파수(波數, wavenumber)를 위상 상수로, 파장을 관내 파장으로 등가적으로 생각할 수 있다. 식 (7)을 식 (6)에 대입해서 위상만 고려하면 파동의 진행 방향을 얻을 수 있다.

                       (9)

                       (10)

파동의 움직임을 이해하려면 [그림 3]에 있는 파면(波面, wavefront)을 봐야한다. [그림 3]을 보면 직관적으로 파동이 움직이는 것을 느낄 수 있다. 어떻게 파동이 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인다는 것을 인지할 수 있을까? 왜냐하면 우리가 눈으로 파면(예를 들면 꼭대기나 골짜기 등)을 추적해서 움직임을 이해하기 때문이다. 마찬가지로 식 (9)와 (10)에서 기준파면을 $\phi_0 = 0$인 지점으로 간주하면 이해가 될 것이다. 시간이 $\Delta t$만큼 흐르면 식 (9)에 $\Delta z$가 ($+z$) 방향으로 움직이고 식 (10)에서는 $\Delta z$가 ($-z$) 방향으로(즉, 식 (9)와는 반대 방향으로) 움직인다. 이렇게 되는 이유는 위상 상수의 부호가 다르기 때문이다. 즉, 위상 상수가 (+)이면 파동은 ($-z$) 방향으로 움직이며 위상 상수가 (-)이면 파동은 ($+z$) 방향으로 움직인다. 따라서, 식 (6)의 $V_0^+, I_0^+$는 ($+z$) 방향으로 움직이는 전압파와 전류파의 진폭이며 $V_0^-, I_0^-$는 ($-z$) 방향으로 움직이는 전압파와 전류파의 진폭이다. 또한, 식 (9)에서 유도한 것처럼 주파수와 관내 파장의 곱이 전압파와 전류파가 움직이는 속도가 된다. 이 속도는 매질 특성인 $R, L, G, C$와 주파수에만 관계되는 상수이다. 식 (5)의 둘째식을 보면 $I_0^-$의 부호를 (-)로 설정하였다. 이건 좀 이상하기는 하다. 이렇게 하는 이유는 전류의 방향을 바꾸기 위해서다. (∵ 전류의 위상을 180도 바꾸면 전류 방향이 바뀐다.) 식 (5)와 같이 정의하면 파동의 진행 방향과 전류의 방향을 동일하게 만들 수 있어 계산할 때 매우 편해진다. (예를 들어 $I_0^-$의 부호를 (+)로 하면 파동은 ($-z$)로 움직이지만 전류의 기준방향은 ($+z$) 방향이 되어 매우 불편해진다. 그래서, $I_0^-$의 부호를 (-)로 바꾸면 전류가 (+)인 방향은 ($-z$) 방향이 되어 계산이 편해진다.)

이상의 논의를 바탕으로 우리는 회로를 해석할 때 경우에 따라 회로 이론이나 전송선 이론을 사용할 수 있다. 언제 회로 이론을 쓰고 언제 전송선 이론을 써야 하나? 물론 전송선 이론이 정확하기 때문에 모든 회로해석에 쓰일 수 있지만 너무 복잡하다. 회로 이론을 쓸 수 있는 곳에는 회로 이론을 쓰면 된다. 경험적으로 전송선 이론을 써야하는 기준은 시스템의 크기가 관내 파장의 1/100보다 커질 때이다. 이 크기에서 회로 이론과 전송선 이론 간에 발생하는 위상 차이를 계산해보자.

                       (11)

겨우 3.6도 라고 할 수도 있지만 기준이 필요하기 때문에 회로 이론을 쓸 수 있는 시스템의 크기 한계는 관내 파장/100이라 생각하자. 시스템이 관내 파장보다 매우 작으면 아래 근사가 성립한다.

                       (12)

식 (12)의 우변 근사식은 많이 보던 것이다. 이것은 AC 회로 이론에서 사용한 페이저(phasor)이다. 사용하는 주파수가 매우 낮거나(or 사용하는 파장이 매우 길거나) 시스템의 크기가 매우 작으면 페이저(or AC 회로 이론)만 쓰더라도 전압과 전류를 잘 예측할 수 있다. 거꾸로 주파수가 매우 높아지거나 시스템의 크기가 커진다면 회로해석에 반드시 전송선 이론을 써야 한다.

식 (4)에서 $R = G = 0$이 되면 손실없는 전송선(lossless transmission line)의 전파상수가 된다.

                       (13)

손실을 일으키는 $R, G$가 없기 때문에 감쇄 상수가 0이 되어 손실이 없는 것은 당연하다. 이 경우 파동의 속도 $v$는 주파수에 관계없이 $L, C$에만 관계되어 항상 일정하게 된다.

                       (14)

식 (14)를 유전율(permittivity)과 투자율(permeability)로 표현하기 위해 커패시터(capacitor)와 인덕터(inductor)의 정의를 도입하자.

                       (15)

                       (16)

여기서 $L_{\rm ckt}, C_{\rm ckt}$는 회로 이론의 인덕턴스(inductance)와 정전 용량(capacitance)이다. 다음으로 전송선 내부에 존재하는 전자기파(electromagnetic wave)는 TEM(Transverse ElectroMagnetic: 진행 방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음)파라 가정하자. TEM파는 전기장과 자기장이 서로 수직이며 전기장과 자기장의 비율(파동 임피던스: wave impedance)이 항상 일정하다. 그래서, 식 (15)와 (16)을 표현하는 좌표계를 $(t_e, t_h, z)$로 정하자. 여기서 $t_e$는 전기장 방향 좌표이며 $t_h$는 자기장 방향 좌표이다.

                       (17)

그러므로, 전송선에 존재하는 파동의 속도는 항상 아래식을 만족한다.

                       (18)

식 (18)이 의미하는 것은 전송선 내부에 전압파와 전류파가 존재하지만 손실이 없는 경우 그 파동의 속도는 전자기파의 속도(velocity of electromagnetic wave)와 동일하다는 것이다. 실제 전송선은 항상 손실을 가지기 때문에 $R = G = 0$이라는 가정은 현실적이지 않다. 그래서 저손실 전송선(low loss transmission line) 개념을 도입하자. 손실이 낮다는 것은 $R, L, G, C$ 관점에서 $R \ll \omega L$, $G \ll \omega C$라 가정한다. 그러면 식 (4)는 아래처럼 간략화된다.

                       (19)

식 (19) 유도를 위해 거듭제곱 함수(square root function)의 테일러 급수(Taylor series)를 이용하였다. 재미있게도 식 (19)의 위상 상수는 손실없는 전송선의 위상 상수인 식 (13)과 동일하다.
또한, 실제 전송선로는 대부분 저손실 조건을 만족하기 때문에 (∵ 손실이 많으면 제품으로 판매할 수 없다.) 손실이 조금 있더라도 위상 상수 측면에서는 손실없는 전송선으로 근사가 가능하다는 것을 식 (19)가 표현하고 있다. 실무에서도 주로 식 (10)을 이용해 위상 상수를 정의한다.

[다음 읽을거리]
1. 특성 임피던스의 이해
2. 전압파의 반사 계수
3. 반사 전력과 투과 전력

댓글 65개 :

  1. 6번식에서 진행파 반사파 더해지는 부분 + 아닌가요?

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    1. 전류파에 대한 식이 (-)로 되어 있는데 (+)로 해도 관계없습니다. 이것은 선택의 문제입니다.
      (-)한 경우의 이점은 반사되는 전류가 거꾸로 흐르는 특성을 입사파의 반대방향으로 표현할 수 있는 것입니다. 물리적으로 더 합당한 정의가 됩니다.

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    2. 무손실의 경우 식13과 같이 나온다고 배웠고 그렇게 써져있네요
      그런데 제가 정말 잘 몰라서 여쭤보는건데..
      플러스마이너스jw루트LC 로 나오는게 정상 아닌가요?
      왜 마이너스는 없는것과 같이 취급을 하게 되는지가 너무너무 궁금해요ㅠㅜㅠ
      알려주세요ㅜㅜ

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    3. 말씀하신대로 식 (4)를 보면 ± 둘다 가능합니다. 식 (13)에서 (+)만 택한 것은 귀찮아서 그렇습니다. (-)를 쓰더라도 문제 없습니다.

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    4. 물리적으로 ± 둘다 가능하다는 말씀이신거죠?
      제가 공부하다가 막히는 부분이라 학교 교수님께 여쭤보니
      물리적으로 +가 feasible(실현가능한)하다고 하시고
      -는 not feasible(실현불가능)이라고 하시더라구요.
      그 이유는 혼자 알아서 레포트로 제출해보라고 하시길래
      이곳저곳 찾아보다가 여기까지 오게됬는데..
      둘다 물리적으로 가능한 건가요?

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    5. 감쇄상수가 0이면 ± 둘다 가능한 미분방정식의 해입니다.
      하지만 원천(source)이 있으면 복사조건(radiation condition)을 만족해야 해서 (+) 혹은 (-)를 택하게 됩니다.
      복사조건은 아래를 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/1-1d-free-space-greens-function.html

      교수님의 질문은 조건에 따라 여러 가지 답이 가능하니 조건을 잘 보세요. ^^

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  2. 그렇다면 저 식에서의 원천과 복사조건이 어떤것인지 알아야한다는 말씀이신데..
    잘모르겠습니다..ㅜㅜㅜ

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    1. 예를 들어 원천이 z = 0에 있으면 복사조건에 의해 z > 0인 경우는 (-)를 택해야 하고 z < 0인 경우는 (+)를 택해야 합니다.
      왜냐하면 복사조건에 의해 전자파는 항상 방출되어야 하기 때문입니다.

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  3. V0+ 와 V0- 절대값의 크기는 같고 부호는 반대라고 볼수 있는건가요?

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    1. 아닙니다. (+), (-)가 표현하는 것은 파동의 진행방향입니다. 식 (5)의 V0+와 V0-에서 (+)는 +z축, (-)는 -z축으로 진행하는 것을 뜻합니다. 따라서, V0+는 +z축으로 진행하는 전압파의 크기와 기준위상을 나타내고 V0-는 -z축 진행 전압파의 크기와 기준위상입니다.

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  4. 본문과는 크게 상관이 없는 질문을 드려도 될까요?? 전송선로 관련된 것인데요. 전송선로의 과도 해석에서 디씨 전원이 선로에 인가될 경우 과도해석을 하는데..디씨 전원이 어떻게 진행파를 만드는 것인지 이해가 잘 안갑니다. 저는 스위칭 되기때문에 순간적으로 시변전압이 가해진다고 생각할 수 있는 것 아닐까 하고 생각해 보았는데..어떻게 생각하시는지 질문드리고 싶습니다^^

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    1. 전송선로를 이해하시려면 전기장과 자기장으로 생각해야 합니다. 전압파와 전류파는 전기장과 자기장의 쉬운 설명일 뿐입니다.

      전송선로에 DC 전압을 인가하면 전기장의 회전이 생겨 자기장을 만들고 이게 서로 꼬리에 꼬리를 물면서 진행합니다. 그래서 전자(electron)의 질량을 생각하지 않으면 전송선로에 인가한 DC 전압은 광속으로 부하에 전달됩니다.

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    2. 선생님께서 하시는 말씀을 DC전압원이 스위칭때문에 시변 전압원 처럼 동작해서 시변전계를 만든다는 식으로 이해해도 될까요??
      또 부하 및 전원에 존재하는 내부저항이 특성임피던스와 다를경우 무한개의 진행파와 반사파가 존재할 텐데요..이 경우 정상상태에 이르게 되면 크기가 매우 작은 파들이 끊임없이 이동하면서 단자전압을 어떤 일정한 값으로 고정시킨다고 생각해도 될까요??

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    3. 갑자기 켜진 전압원이므로 시변이라 생각할 수 있지만 전자파 관점으로 보셔야 합니다. 전압을 갑자기 켜면 (+) 단자와 (-) 단자 사이에 전기장이 생깁니다. 이 부분과 빈 공간을 생각하면 전기장의 회전이 생겨 자기장이 생기는 것입니다.

      두번째 질문은 제대로 생각하신 것입니다. 무한개의 반사파와 입사파가 존재하며 그 수렴값은 회로 이론이 예측하는 값입니다.

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    4. 답변 감사합니다. 결국 갑자기 켜진 전원이 만든 시변전계가 시변자계를 만들고 시변자계는 다시 시변전계를 만들어내면서 전자파가 발생되어 진행한다고 생각하면 맞는 생각 인가요?
      그런데..정전계나 정자계의 경우에서도 실제로는 파가 이동하는 것인가요? 동축선로를 고려하고 외부도체에 플러스전압 내부도체에 마이너스 전압을 연결하면 전계는 -r방향 자계는 pi방향이라고 생각할 수있는데 그럼 포인팅 벡터는 -z방향을 가리키는데 이러한 파가 진행하는 것인지 궁금합니다.

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    5. 맥스웰 방정식을 보면 그렇지 않습니다. 시변 전기장은 자기장의 공간적 회전을 만들고 시변 자기장은 전기장의 공간적 회전을 만듭니다.
      회전 연산자를 적용해야 파동이 생깁니다.

      정전계나 정자계는 시간적으로 변동하면 안되므로 파동이 생기지 않습니다.

      동축선에 DC를 걸면 전압이 인가되었다는 변동만 광속으로 전달되고 나머지 시간은 전기장과 자기장이 고정되므로 파동이 진행하지 않습니다.
      포인팅 벡터가 있다고 파동이 있지는 않습니다. DC에도 포인팅 벡터 정의를 활용할 수 있지만 파동은 아닙니다.

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    6. 그럼 제가 잘 모르겠는 부분이 동축케이블도 전송선로로 사용될 수 있는데..전송선로로 사용되었을 경우 디씨 전압이 인가된 경우와 제가 예로든 상황에서 디씨전압을 인가한 경우의 차이가 무엇인가요? 단순히 정전계나 정자계를 가정했기때문에 맥스웰방정식에 시변텀이 존재하지 않아서인가요??

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    7. 동축선은 TEM 선로 특성이 있습니다. 동축선의 파동 방정식은 TEM인 경우 정전계나 정자계 방정식으로 바뀔 수 있습니다.
      하지만 도파관 같은 경우는 이런 성질이 없어 DC 전압을 인가할 수 없습니다.

      계속 말씀드리지만 DC 전압을 인가 중이면 공간 상에 전기장과 자기장의 불연속(회전을 일으키는 성분)이 있어 전기장과 자기장이 교대로 생성됩니다. 생성된 전기장과 자기장은 DC 전압이 인가된 경우와 동일합니다. 전기장과 자기장이 모두 생성되면 전기장과 자기장의 회전이 없어 더 이상 파동이 생기지 않습니다.

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  5. 답변 감사합니다. 자꾸 했던 말씀을 또 물어보는것 같아서 죄송합니다. 좀전에 정상상태에서는 수많은 파동이 앞뒤로 움직이면서 단자전압을 일정하게 유지한다고 말씀하셨는데..이번에는 디씨전압을 인가하고나서 전기장과 자기장이 모두 생성되면 파동이 생성되지 않는다고 말씀하시니 조금 헷갈리네요;; 제 생각에는 정상상태와 전기장과 자기장을 모두 생성한 상태는 동일할 것 같은데.. 두경우가 다른 것인가요? 다시 말씀드리지만 동일한 문제로 자꾸 질문드려서 죄송합니다.

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  6. 혹시 정상상태에서 앞뒤로 움직이는 파동은 초기에 만들어진 것이며 이러한 파동들이 매칭되지않은 선로의 부하때문에 정상상태에도 계속 움직이고 있는 것인가요?? 즉, 정상상태에서는 전원이 파동을 만들어내는것이 아니라 초기에 만들어진 파동들이 선로상에 존재하는 것인가요??

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    1. 별 말씀을요. ^^

      DC와 AC는 구별해 주셔야 합니다. 전송선 이론은 AC 현상을 설명하기 위한 근사 이론입니다. DC에서는 사용하면 안됩니다.

      전송선 이론을 포함하는 일반 이론이 맥스웰 방정식이어서 DC 전압이 인가된 경우의 파동 현상을 전기장과 자기장으로 설명한 것입니다.

      동축선의 임피던스가 맞지 않아 파동이 무한히 반사되는 것은 특정 주파수를 가진 AC 현상입니다. 이걸 전송선 이론으로 뜯어보면 파동이 계속 움직이는 것이 맞습니다.

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    2. 저도 당연히 그렇게 생각하는데..제가 처음에 물어본 갓 자체가 전송선에 디씨가 연결된 경우를 물어본것입니다..처음에는 디씨다 어떻데 파동을 만드는지가 궁금했었는데..그것은 스위칭때문에 만들어진다고 말씀하셨습니다. 그리고 디씨가 연결된 뒤에 정상상태에서는 무한개의 반사파와 입사파가 존재하며 그 수렴값은 회로이론이 예측하는 값이라고 하셨습니다. 그런데 저는 디씨가 연결된 전송선로의 정상상태는 정전계나 정자계로 생각할 수있다고 생각했고 정자계나 정전계에서는 어느정도 시간이 지나면 파가 생성되지 않는다고 말씀하셔서 두 경우의 차이가 무엇인지를 여쭈어 본 것입니다.

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    3. 서로 오해가 있었네요.

      모든 주파수에 대해 전송선로의 분산이 없다면 스위칭과 같은 DC 과도 응답은 파동처럼 생각해 입사파와 반사파를 고려할 수 있습니다.
      왜냐하면 DC 스위칭 신호를 푸리에 변환하면 모든 주파수 신호가 나오므로 각 주파수에 대해 파동처럼 생각할 수 있습니다. 분산이 없을 경우 이걸 다시 모으면 DC 스위칭 신호가 되므로 파동처럼 생각하면 쉽습니다.

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    4. 친절한 답변 감사합니다. 스위칭때문에 초기에 파동이 만들어지고 과도상태가 존재한다면, 시간이 오래지나서 어느일정한값으로 전압파가 수렴하게 되는 정상상태에 도달하면 그때도 선로상에 파가 존재하나요?? 즉 정상상태에서도 디씨 전원이 파동을 만들수 있는지 궁금합니다. 이때는 시간이 오래지났으므로 디씨전원이 연결된 정자계나 정전계와 비슷한 경우라고 생각할 수 있고 전송선로상에 전계와 자계는 존재하지만 파동은 존재하지 않을 것 같은데.. 제 생각이 맞는지 궁금합니다.
      그런데 또 한가지 궁금한점이 제가 생각한 것 처럼 정상상태에서 파동이 없다면 부하에는 어떠한 방식으로 에너지가 전달되는지 궁금합니다.

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    5. 말씀하신 내용이 맞습니다.

      정상 상태가 되면 시간적 변동이 없어져 전기장과 자기장의 연관성이 없어지게 됩니다. 파동이 존재할 수 없습니다.

      부하에 에너지가 전달되는 방식은 포인팅 정리를 보면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/03/poyntings-theorem.html

      포인팅 정리는 언제나 성립하는 항등식이므로 DC에도 적용됩니다. 이때 에너지 전달은 전기장과 전류밀도의 곱이 합니다. 즉, 옴의 법칙으로 에너지가 전달됩니다.

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    6. 드디어 궁금증이 다 풀린것 같습니다. 진심으로 감사합니다. 그런데 옴의 법칙으로 에너지가 전달된다는 것은 선로의 매질이 무손실 매질이라면 전송선로에 전류가 흘러서 에너지가 전달된다고 생각할 수 있는 것인가요??

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    7. 뭘요. ^^
      Kh K님이 올리신 질문이 전자파 분야를 더욱 풍성하게 합니다. 질문 감사드립니다.

      맞습니다. 에너지 전달에 전류 밀도가 필요하므로 반드시 전송선로에 전류가 흘러야 합니다.

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    8. 진심으로 감사합니다. 많은 것을 배울수 있는 블로그라고 생각합니다. 한 주 마무리 잘하시고 좋은 주말 보내세요^^

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  7. 5번 식에서 전류를 반사전류에 -를 취해서 같은 방향으로 설정해주신 것은 이해가 갔습니다. 근데.. 이것이 계산하기에 더 편하다면 왜 전압은 전류와 똑같이 -로 취하지 않고 +를 취해 더해준 것인가요? 전압과 전류는 둘의 방향을 갖는 성질이 다른 것인가요?

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    1. 전압과 전류의 특성이 다르기 때문에 부호를 바꾸는 게 더 좋습니다. 하지만 어디까지나 선택의 문제입니다. 부호는 어느 것이든 선택할 수 있지만 선택했으면 끝까지 일관되게 가야 합니다.

      전송선의 전압 파동은 병렬 전압이 같은 성질에 의해 (+)를 택합니다. 전류 파동은 전류 흐름으로 부호를 정하는 게 합리적이어서 (-)를 택합니다. 회로 이론에서도 전류 흐름이 다르면 부호를 바꿉니다.

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  8. 전압과 전류는 각각 +와-인 두개의 해가 있는데 단지 둘 중 하나씩을 취한 것인가요.. 전압(+,-)과 전류(+,-) 둘 중에 아무 부호를 써도 상관없는 것인가요 ? 갑자기 질문 드려 죄송합니다..

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    1. 전압파와 전류파 부호는 파동의 전달 방향으로 택합니다. 아무거나 택하면 안됩니다.
      그리고 전압파 및 전류파와 회로 이론의 전압 및 전류는 반드시 구별해야 합니다. 서로 같지 않습니다.

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  9. 좀 많이 뜬금 없는 질문인데요. 한달째 질문을 어떻게 드려야 할지 몰라, 고민하다고~. 지송요.

    SI(Signal Integrity)쪽을 하고 있는데, return current path라른 걸 전자기학으로 설명 할 수 있는 지식을 가지고 싶어서 전자기학 공부를 했는데, 속시원한 답을 찾지 못하고 약간 EM 해석 상관있는 거 같습니다.

    질문은 return current라는게 reflection하고 같은 건가요?
    얼뜻 생각하기에는 머 결국 같은 이야기일 거 같기도 한데, 반사는 signal 쪽으로 반사되는 거 같고,
    return current는 GND쪽으로 하는거 같고, 그런 초딩 적인 생각이 드는데요.
    이건 어떻게 보면 결국 EM 해석적인 차이 같기도 하고....

    먼가 똑부러지게 이거다 하는게 없어서요.

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    1. 어렵지만 돈 되는 분야를 하시고 있네요, 곰유님.

      SI는 기본적으로 회로 이론이지만 모든 게 설명이 되지 않습니다. 물론 전자파로 모든 것이 설명되겠지만 전자파는 너무 어렵습니다. 그래서, 전송선 이론까지만 적용하는 것 같습니다.

      말씀하신 귀환 전류 경로(return current path)는 반사가 아닙니다. AC로 보면 전류 경로에 접지로 연결된 커패시턴스와 인덕턴스가 있기 때문에 전류가 접지로 빠집니다. 물론 명시적으로 커패시턴스와 인덕턴스가 있다는게 잘 보이지는 않지만 분명히 있고 더 잘 설명하려면 전송선까지도 고려해야겠지요.

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    2. 월급쟁이야 다 똑같지요. ㅋㅋㅋ.

      Return Path가 우회 할 경우 reflection이 좋지 않으니, 비슷한게 아닐까 혼돈이 왔었는데,
      참 거북이님의 답변을 보니 참으로 명확하면서도 간단히 이해가 되네요.
      괜히 어렵게 생각을 했었네요.

      감사드립니다.

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  10. 전에 이 블로그에서 전자기학에 대해 많이 알아갔었는데
    손실이 없는 무한선로 특성에 대해 찾아보면서
    이 게시물 저 게시물 계속 읽다보니 궁금증이 하나 생겼네요.
    손실없는 무한선로에서 특성임피던스를 Zo라고 할때 Zl(부하저항)이
    특성임피던스와 같을 때 0일 때(단락) 무한일 때(개방)의 경우는 이해가 가는데요
    만약에 부하 저항을 '순수한 인덕터' 또는 '순수한 커페시터'로 연결하면 입력 임피던스는 어떻게 되는지
    궁금하네요 언뜻 생각하기에 dc에서는 인덕터는 단락 커페시터는 개방이므로
    Zl이 단락, 개방이라고 생각했는데 당연히 dc는 아니므로 답이 안나와서 질문합니다.
    결과를 밝히는데 수식적으로 복잡해지면 방향성을 제시해 주시면 다시 고민하고
    질문드리겠습니다.
    아 그리고 계속해서 부하 임피던스에 따른 임의의 한 점에서의 입력 임피던스를
    찾으려는 이유가 회로이론에서의 옴의 법칙이 통하지 않으므로 반사계수를 이용하여 찾아낸
    입력 임피던스를 기존의 회로이론에서의 옴에법칙에 대입하여 임의의 한 점에서의
    전압, 전류 또는 전력을 구하려는 것이 맞는건지 궁금하네요.
    쓰고보니 질문이 너무 많군요. 답변 기다리겠습니다. 감사합니다.

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    1. 반갑습니다, Smileman님. ^^

      1. 커패시터와 인덕터의 경우도 특별히 다르지 않습니다. 해당 소자의 임피던스를 구해, 부하 임피던스로 취급하면 됩니다. 결론만 보면, 당연히 전송선과 회로 이론의 결과는 같습니다. 아래 링크의 [표 1]을 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/09/input-impedance-of-transmission-line.html

      2. 네 맞습니다. 선로의 길이가 있기 때문에 회로 이론을 직접 적용하기 어렵습니다. 그래서, 부하부터 환산하여 전송선 이론 효과를 반영한 후 회로 이론으로 계산하면 쉽습니다.

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  11. 좋은 자료 잘봤습니다.
    질문 몇개 드려도 될까요..?
    만약 부하가 저항성 부하인 경우 R이 특성 임피던스보다 클때와 같을때 작을때 각각의 선로 길이 z=0부터 l까지 전압파의 진행 상태는 어떻게 되나요..? 과제문제인데 도무지 해결이 안되네요ㅠㅠ 도움 부탁드립니다..

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    1. 부하에서의 반사도를 계산한 다음에, 아래처럼 $z = -l$에서의 특성을 구하면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/09/reflection-coefficient-of-voltage-wave.html

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    2. 답변 감사합니다. 그렇다면 부하가 용량성, 유도성일경우에도 반사도를 이용해 라플라스 변환을 통해 반사파, 그리고 입사파와 반사파와의 합성도 구할 수 있나요?

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    3. 전송선 이론에 라플라스 변환을 쓸 필요는 없습니다. 기본적으로 AC 이론입니다.

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  12. 저의 전공과는 전혀 별개의 분야이지만, 너무 정리를 잘해 놓으셔서 매우 재미있게 보고 있습니다.
    너무 초보적인 질문인지는 모르겠지만 식 (5)에서 V(z)=V^(+)e^(rZ)+V^(-)e^(-rZ)로 표시 할 수는 없는지요? 즉 페이저의 방향과 전파상수의 부호가 동일한 경우는 성립되지 않는지요?
    만일 가능하다면 위의 식(5)의 표현과의 차이점에 대한 설명 부탁 드립니다.
    V^+ , V^- 방향의 의미에 대하여 이해가 잘 되지 않아서요.

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    1. 질문하신 부분은 시간 약속에 대한 것입니다. 물리학 전공자는 주로 질문하신 것처럼 정의해 사용합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

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  13. 아...!!! 장난 아닙니다...올려주신 글들에 진심으로 감탄하고 또 감탄하고, 또 한편 너무너 감사하게 생각하고 있습니다. 저는 멕시코 의대를 다니다가 중퇴하고 2008년부터 한국에서 고졸출신으로 각종 노가다 및 공장 생산직 일을 하였습니다. 배움의 뜻을 다시 키워 2010년 인천인력개발원에서 전기를 공부하고 전문학사를 취득했고 후에 취업하여 전기설계직에 종사하게 되었습니다. 회사를 다니며 부족한 실력, 주경야독 공부하며 전기기사, 전기공사산업기사 등 자격증을 취득했고 지금은 낮에는 야간대학교인 인천폴리텍 학위전공심화과정 4학년을 다니고 있습니다. 현재 다니고 있는 새로운 직장에서 PD(부분방전)에 대해 알게 되었고 공부를 하고 있습니다. 일주일간 인터넷 검색끝에 전파거북이님같은 훌륭하신 분이 대한민국에도 있다는 사실을 알게되었고 지금 열심히 게시글 보며 전송선이론을 공부중입니다. 너무너무 감사하고 또 존경합니다.. 어렵고 귀하게 공부하신 전파거북이님의 한평생 공부를 저와 같은 후학들에게 베풀어주시는 은혜 넓고도 크고 또 큽니다. 너무 감사합니다. 자주 인사드리겠습니다.^^

    -남기사 드림. blog.naver.com/nst4309

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    1. 너무 큰 극찬을 하셨네요, 남기사님. ^^ 감사드립니다.
      여러 경험을 하시고서 좋은 글도 남겨주시니 더 감사해요.

      지속적인 공부하셔서 계획하신 일들이 2016년에도 많이 이루어지길 바랍니다. ^^

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  14. " 전송선 방정식(transmission line equation)으로부터 직접적으로 얻어지는 결론은 전송선 이론(transmission line theory)의 전압과 전류는 더이상 회로 이론(circuit theory)의 전압과 전류가 아니라는 것이다."
    회로이론의 전압과는 시간에 관한 것이고, 위의 전압과 전류는 위치, 즉 공간의 함수라는 의미인가요? 아니면 또다른 뜻이 있는건가요?

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    1. 시간과 공간의 함수이며, 파동으로 생각하라는 뜻입니다.

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  15. 수식의 풀이를 위한것이 아닌 질문하나 드리겠습니다
    전송선로 방정식에 패이저형태의 해를 구하는 이유가 무엇입니까?
    제가 생각하는 것으로는 특성임피던스의 이해를 위한것이라 생각하고 있는데
    틀린것인가요?

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    1. 그것보다는 미분 방정식을 쉽게 풀기 위해서입니다. 페이저를 쓰면 복소수 연산으로 미분 방정식의 해를 표현할 수 있습니다.
      이 방법의 부수적인 결과 중 하나가 특성 임피던스입니다.

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    2. 정말 감사합니다 속이 시원하네요 앞으로도 자주 질문드릴탠데 잘 부탁 드립니다^^

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  16. 안녕하세요.
    "식 (4)를 식(3)에 대입하면 식(2)를 만족하는 해는 두 개라는 것을 알수있다."
    (5)식 유도 과정을 재세히 수식으로 전개 해 주시면 감사 하겠습니다.
    잘 몰라서요...

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    1. 일반적인 상수 계수 선형 상미분 방정식입니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/ordinary-differential-equation.html

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  17. 안녕하세요 글 정말 잘보고있습니다 다름이 아니라 관내파장에 대해서 질문드릴려하는데요 입사파가 만드는 파장이랑 반사파가 만드는 파장의 합인건가요??

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    1. 아닙니다. 관내 파장은 말 그대로 도파관(혹은 전송선) 내부에 존재하는 파장입니다. 도파관의 매질과 기하 구조에 의해 결정됩니다.

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    2. 답변해주셔서 감사합니다 ㅠㅠ

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  18. 안녕하세요. 궁금한게 있어서 여쭤봐도될까요?

    1. 일반적으로 인가전압의 주파수가 높아지게되면 절연내력이 낮아지고 전계강도가 높아지는걸로 알고있습니다. 그래서 기존보다 낮은 전계강도에서 절연파괴가 일어날텐데 이것을 수식적으로 증명이 가능한가요?

    2. 애자는 C성분으로 된거같은데 맞나요? 아니면 R성분으로만 되어있나요?,, 여기서 애자에서도 표피효과가 적용이 되는지 궁금합니다. 고전압이 걸리면 애자 표면에 누설전류가 형성되는데 이것이 표피효과랑 관련이 있는것인가요?

    3. 마지막으로 도전율과 주파수는 서로 관계가 없는것인지 궁금합니다.

    감사드립니다 ...

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    1. 1. C의 절연 파괴(dielectric breakdown)는 보통 직류에서 정의합니다. 교류가 되면 C에 변위 전류가 흐르기 때문에 절연이란 개념을 적용하기 애매하지만 적용할 수는 있겠지요. 이 경우 절연 파괴 전압의 주파수 특성은 물성과 관계되어 단순하지 않을 겁니다.

      2. 애자의 세라믹은 절연 파괴 전압을 높이는 역할입니다. 당연 C이지만, 누설이 있기 때문에 R도 있다고 봅니다. 이 누설 전류는 표피 효과랑은 관계 없습니다.

      3. 주파수가 매우 높을 경우 전도도는 주파수에 종속적입니다. 드루데(Drude), 로렌츠(Lorentz), 디바이(Debye) 물질로 검색해보세요.

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    2. 감사합니다... 많은 도움이 되었습니다!

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  19. 안녕하세요
    글 잘보고 있습니다~
    전송선과 균일 평면파에 대해서 질문이 있습니다!
    동차 헬름홀츠 방정식에서 나오는 파수(wavenumber)와 전송선 이론에서 나오는 위상상수 beta사이의 관계에 의문이 생겼습니다.
    두 개의 단위를 살펴보니 동일하고, 정의한 내용도 얼추 비슷한거 같습니다.
    그리고 무손실 조건에서는 k=베타이더라구요.
    그래서 처음공부할때는 k랑 베타랑 같은데 왜 따로 정의한건지 궁금했었습니다.
    그러고 나서 저손실 전송선을 보니 저게 근사된 식이지 이항전개 후 근사를 2차 까지 하게 되면 beta랑 파수랑 다르더라구요.
    그래서 책을 뒤져보면서 파수와 위상상수의 관계를 살펴보니 중간에 전파상수라는 애가 있더라구요.
    전파상수 감마 = jk = 알파 + j베타
    그러면 k랑 베타는 다른게 되더라구요
    근데 여기서 본격적인 의문이 생깁니다.. 정의상으론 파수나 위상상수나 비슷한걸 가리키는거같은데 바로 위에 식으론 다른 값이고.. 너무 혼동됩니다
    혼자서 나름 정리해본 바로는, 파수 k는 균일 평면파에서 쓰이는 개념이고, 위상상수 베타는 전송선 이론에서 쓰기 위한 개념이다 라고 생각하는데 맞는지 모르겠습니다. 조언 부탁드립니다!

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    1. 위처럼 생각할 수 있지만, 원래 이름으로 판단하면 무리 없습니다.
      - 파수: 단위 길이당 파의 개수를 헤아리는 기능, 주로 자유 공간 전파에 활용
      - 위상 상수: 특정 길이를 진행할 때 생기는 위상 변화 계산, 주로 전송선에 활용

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  20. 안녕하세요. 좋은글 감사합니다.
    궁금한 것이 있는데 여쭈어봐도 될까요?

    전압,전류파의 파동 속도와 드리프트 속도의 차이점에 대해 궁금한것이 있습니다.

    전류가 흐른다는게 전자의 흐름이 있다는 것이며 이 전자가 전기장 위에서 움직이는 평균 속도가 드리프트 속도라고 알고 있는데,
    전압,전류파 라는 파동속도의 개념과 어떤 연관이 있고 차이점이 있는지 의견을 듣고 싶습니다.

    감사합니다.

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    답글
    1. 전압/전류 파동의 속도는 거의 광속이고, 유동 속도(drift velocity)는 매우 느립니다.
      이는 전기력이 파동 형태로 전달되느냐(전압/전류 파동 속도) 전자가 직접 움직이느냐(유동 속도)에 따라 결정됩니다. 전자가 직접 움직이려면(정확히는 통계적인 움직임입니다.) 당연히 느리겠죠.

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    2. 답변해주셔서 정말 감사합니다.
      그렇다면.. 1)파동형태로 전달되는 경우 or 2)전자가 직접 움직이는 경우
      위 두 경우에 대해 대표적인 예가 있을 수 있을까요?
      아직 부족한 지식으로 질문드려 정말 죄송합니다.. 다이오드같은 경우 pn접합에 대해서 유동속도의 개념을 가지고 드리프트전류를 설명을 하게되는데 이러한 소자에 대해서 파동형태로 에너지가 전달되는 경우로의 해석은 할 수 없는 것인가요?

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    3. 도선에 전기장을 가하면 내부 전자가 전기력을 받아 움직이기 시작합니다. 이 힘의 전달 속도는 거의 광속입니다. 하지만 전달이 빠르다고 해서 전자가 평균적으로 많이 움직이지는 않습니다. 전기력이 커져야 전자가 많이 움직일 수 있습니다.
      즉 전류의 전달 속도와 전류 크기 자체는 구별해서 생각해야 합니다. (봉화(파동)와 파발마(유동 속도) 관계와 유사해요.)

      고주파 영역에서는 전압/전류파로 에너지 전달을 해석합니다. 그걸 이루는 근본이 전송선 이론이고요.

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    4. 친절한 답변 감사합니다. 많은 도움이 되었습니다.

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