2010년 8월 16일 월요일

자기장(磁氣場, magnetic field)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전류



[자기력선(magnetic lines of force)]

[그림 1] 자석이 만드는 자기장(출처: wikipedia.org)

Magnets and Electromagnets 그림을 누르면 시작됩니다.
[수치해석: 자석과 전자석(phet.colorado.edu)]

1785년에 전기력(electric force)을 정량적으로 설명한 쿨롱(Charles-Augustin de Coulomb)은 자기력(magnetic force)에 대해서도 동일한 실험을 수행했다. 놀랍게도 식 (1)에 소개한 자기력 $F_m$은 전기력과 매우 유사했다.

                           (1)

여기서 $k_m$는 자기력을 위한 상수이며 $m$과 $M$은 자석(磁石, magnet)의 세기, $R = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$은 자석이 서로 떨어진 거리이다. 쿨롱의 자기력에 대한 실험결과를 전기력과 유사하게 식 (1)로 표현한 과학자는 푸아종(Siméon-Denis Poisson)이었다. 1824년 푸아종은 $m$과 $M$을 전하(electric charge)와 비슷한 자하(磁荷, magnetic charge)로 생각했다.
하지만, 1820년 외르스테드(Hans Christian Ørsted)의 발견(배터리에서 나오는 전류를 개폐(開閉)하면 근처의 나침반이 움직임)에 의해 자기력은 자하로부터 나오는 것이 아니고 전류(electric current)로부터 나온다는 것은 분명해졌다.


[전류가 흐르는 도선 둘레의 자기장(magnetic field around current carrying conductors)]

이제 필요한 것은 자하 기반의 식 (1)이 아닌 전류에 의해 표현되는 자기력 식이 필요하게 되었다. 먼저 1820년에 실험적으로 명확하게 이 관계(배터리가 만드는 전류가 자기력을 생성)를 이끌어낸 학자들은 암페어(André-Marie Ampère: 프랑스어 발음으로는 앙뻬르), 비오(Jean-Baptiste Biot), 사바르(Felix Savart)이다.
1820년에 암페어는 두 개의 평행한 직선도선 사이에 작용하는 (force)의 관계를 실험하고 공식화했다. 동일한 해인 1820년에 비오와 사바르는 자석과 직선도선을 이용하여 자기력을 실험하고 그 관계식을 구체적으로 제안했다. 비오와 사바르가 제안한 단순한 공식을 다시 라플라스(Pierre-Simon, marquis de Laplace)가 수정하고 일반화했다. 이렇게 해서 생겨난 비오-사바르 법칙(Biot-Savart's law)은 식 (2)와 같다.


[그림 2] 비오-사바르 법칙의 방향(출처: wikipedia.org)

                           (2)

여기서 $\mu_0$(= $4 \pi \times 10^{-7}$ [H/m])는 진공중의 투자율(透磁率, permeability)이며 단위 벡터(크기가 1인 벡터) $\hat R$(= $(\bar r - \bar r')/R$)은 $I$와 $I'$를 연결하는 단위 벡터이다. 원천점(source point) $(x', y', z')$와 관측점(observation point) $(x, y, z)$은 $I'$와 $I$처럼 $(\cdot)'$를 이용하여 표현한다. 즉, 자기장을 만드는 원천 전류 $I'$가 위치 $(x', y', z')$에 있는 경우가 원천점이다. 비슷하게 관측점 $(x,y,z)$는 $I'$가 만든 자기장이 관측 전류 $I$에 자기력을 미치는 위치이다.
식 (2)가 표현하는 것은 전기를 자기로 바꾸는 방법이다. 즉, 배터리(전기)로부터 생겨난 전류가 자기력을 생성하는 수학적 공식을 보여주고 있다. 그 후 1826년에 암페어는 수학적으로 일반화된 암페어 주회 적분 법칙(周回積分 法則, Ampere's circuital law)을 발표했다.
전기장과 유사하게 자기력이 표현하는 원격 작용을 설명하기 위해 자기장 혹은 자속 밀도(磁束密度, magnetic flux density)를 도입한다.

                           (3)

여기서 벡터 $\bar B$는 자속 밀도이다.

전기장과 동일하게 현대적인 의미로 자기장을 정의하면 자기력이 전달되는 범위(마당)이다. 자기장(혹은 자속 밀도)이 전달되어야만 자기력이 식 (2)와 같이 생성된다. 자기장이 전달되지 않으면 관찰자 입장에서는 아무런 일도 일어나지 않는 것이다. 이 개념이 자기장 개념의 핵심이다.

[비오-사바르 법칙의 미분형(Biot-Savart's law in differential form): 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                           (4)

[증명]
먼저 식 (3)과 (5)를 비교하자.

                         (5)

즉, 자속 밀도는 식 (6)으로 표현될 수 있다.

                         (6)

벡터 항등식인 식 (7)을 식 (6)에 적용하면 식 (8)이 얻어진다.

                         (7)

        (8)

따라서, 자속 밀도는 식 (9)와 같이 회전 연산자로 표현된다. 발산 연산자의 영인자 특성으로 인해 당연히 자속 밀도의 발산은 0이다.

                         (9)
______________________________

비오-사바르 법칙의 미분형이 식 (4)와 같이 성립하므로 발산 연산자의 영인자 특성에 의해 자속 밀도는 어떤 함수의 회전으로 표현할 수 있다.

                         (10)

식 (10)에 제시한 벡터 $\bar A$는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) 혹은 간략히 벡터 포텐셜이라 부른다.
식 (10)의 벡터 포텐셜 $\bar A$는 1845년 노이만(Franz Ernst Neumann)에 의해 발견되었다[1].
헬름홀츠 정리에 의해 벡터 포텐셜 $\bar A$를 정확히 정의하려면 발산과 회전을 구해야 한다. 벡터 포텐셜 A의 회전은 자속 밀도이므로 $\bar A$의 발산을 정의해야 한다.
식 (10)에 있는 전류와 선미분소는 식 (11)로 표현할 수 있다.

                         (11)

여기서 선미분소의 방향과 전류 밀도의 방향은 동일한 것으로 잡았다(∵ 전류가 흐르는 방향이 전류 밀도의 방향이 되니 당연하다).
식 (11)을 식 (10)에 대입하면 새로운 체적 적분으로 벡터 포텐셜을 정의할 수 있다.

                         (12)

[자기 벡터 포텐셜의 발산: 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)]

                         (13)

[증명]
자기 벡터 포텐셜의 발산은 임의로 정할 수 있기 때문에(∵ 정해진 것은 벡터 포텐셜의 회전이 자속 밀도가 된다는 것 뿐이다) 식 (13)을 증명하는 것은 의미가 없지만 식 (12)는 특정 조건에서 식 (13)을 만족한다.
먼저 벡터 항등식인 식 (14)를 고려하자.

                         (14)

식 (14)와 (12)를 고려하면 식 (15)와 (16)을 얻을 수 있다.

                         (15)

                         (16)

식 (15)와 (16)을 결합하면 최종결과인 식 (17)이 얻어진다.

                         (17)

그러면 벡터 포텐셜의 발산은 아래로 바뀌게 된다.

                         (18)

식 (18)을 유도할 때 발산 정리를 사용하였다.
식 (18)에 정의된 체적을 무한대로 가져가면(∵ 체적은 우리 마음대로 잡을 수 있다) 식 (18)의 우변에 있는 표면 적분은 0으로 수렴해야 한다. 이는 식 (12)로 표현되는 체적 적분(체적이 무한대로 진행)이 유한하다고 가정하면 그 표면 적분(표면 적분이 무한히 모여 체적 적분이 되므로 부분합(部分合, partial sum) 개념으로 생각하면 쉽게 이해된다)은 반드시 수렴해야 한다.
따라서, 식 (18)은 식 (19)로 간편하게 표현된다.

                         (19)

식 (19)에 있는 전류 밀도의 발산($\bar \nabla \cdot \bar J = 0$)은 전하 보존 법칙에 의해 DC(직류, 直流, Direct Current) 조건에서는 0이 되어야 하므로 식 (13)이 증명된다.
______________________________

식 (13)의 의미를 쉽게 생각하려면 KCL(Kirchhoff Current Law)을 보면 된다. 자기 벡터 포텐셜은 식 (12)처럼 전류 밀도(electric current density)가 만든다. DC에서 전류는 들어온 만큼 나가기 때문에 전류 밀도의 발산은 항상 0이다. 따라서, 자기 벡터 포텐셜을 이루는 전류 밀도의 발산이 0이므로 자기 벡터 포텐셜의 발산도 0이 된다. 즉, 자기 벡터 포텐셜도 들어온 선속 만큼 반드시 같은 양이 나간다.

그런데, 벡터 포텐셜의 발산은 왜 게이지(gauge)라는 표현이 붙었는가? 게이지라는 단어는 잣대라는 의미이다. 잣대이기 때문에 게이지는 우리 마음대로 선택할 수 있다. 예를 들면 우리가 길이를 잴 때 미터로 잴 수도 있고 인치로 잴 수도 있는 것처럼 게이지도 선택가능하다.
쉽게 생각하기 위해 게이지는 '방정식의 청소부'라고 하자. 청소부의 능력에 따라 깔끔한 정도가 차이나듯이 게이지 선택에 따라 최종방정식이 예뻐지기도 하고 지저분해지기도 한다. 이 예를 보려면 자기 벡터 포텐셜에 대한 파동방정식(wave equation) 유도를 보면 된다. 파동방정식 유도를 위해 방정식의 항들을 잘 모은 후 게이지를 이용해 깨끗하게 0으로 만들어 버린다.
벡터 포텐셜의 발산은 임의로 택할 수 있기 때문에 식 (19)에 DC 조건을 붙여 인위적으로 식 (13)을 증명했다. DC 조건은 정전장(static electric field) 조건과 비슷하므로 쿨롱의 잣대로 식 (13)을 정의했다고 이해하면 된다.
게이지 표현을 수학적으로 이해하려면 식 (10)을 보면 된다. 벡터 포텐셜의 회전을 자속 밀도로 정의하지만 수학적으로 보면 회전 연산자이다. 회전 연산자의 영인자는 구배 연산자이므로 벡터 포텐셜을 아래로 새롭게 정의할 수 있다.

                         (20)

식 (20)에 발산을 취해보자.

                         (21)

여기서 벡터 $\bar A$는 식 (13)을 만족하며 스칼라 $a_d$는 벡터 포텐셜의 발산을 정의하기 위한 임의의 값이다. 식 (21)의 우변은 푸아종 방정식이므로 스칼라 $a_d$를 만족하는 스칼라 $g$는 구해질 수 있다.

벡터 포텐셜 $\bar A$의 정의와 유사하게 자속 밀도 $\bar B$를 정확히 정의하려면 자속 밀도의 회전을 계산해야 한다. 이를 증명하는 것은 매우 어려우므로 아래 글을 읽을 때 마음을 단단히 먹자.

[암페어의 법칙(Ampere's law): 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                         (22)

[증명: 벡터 포텐셜]
번거로운 벡터 포텐셜의 발산을 식 (13)으로 정의했으므로 식 (23)를 고려하자.

                         (23)

즉, 자속 밀도의 회전은 벡터 포텐셜의 라플라시안(Laplacian)과 관계있다.
식 (23)의 우변을 계산하기 위해 벡터 항등식인 식 (24)를 보자.

                         (24)

여기서 벡터 $\bar A_0$는 미분에 대한 상수벡터이다.
식 (23)에 식 (12)를 대입하고 식 (24)의 관계를 사용하면 식 (25)를 얻는다.

                         (25)

구좌표계에 대해 발산을 적용하면 식 (26)처럼 $R \ne 0$인 경우는 0이 된다.

                             (26)

여기서 델 연산자($\bar \nabla$)는 간편성을 위해 $R$에 대한 미분으로 정의한다.
즉, 우리가 식 (25)를 체적 적분할 때 모든 체적을 고려할 필요없이 $R = 0$인 근방만 고려하면 된다. $R = 0$ 근방에서 전류 밀도는 상수로 취급할 수 있으므로(or 전류 밀도가 발산하지 않는다면) 식 (27)이 성립하여 식 (22)가 증명된다.

        (27)

식 (27)의 유도에서 전류 밀도는 원천점이 아닌 관측점을 나타내므로(∵ $R \to 0$) $\bar J' \to \bar J$로 변경했다.
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[증명: 자속 밀도]
벡터 포텐셜은 부수적인 개념이기 때문에 [증명: 벡터 포텐셜]과는 다르게 자속 밀도만을 고려해서도 증명가능하다. 먼저 식 (3)에 있는 자속 밀도의 회전을 고려하자.
벡터 항등식인 식 (28)을 이용하면 식 (29)의 관계를 얻을 수 있다.

                         (28)

      (29)

식 (29)의 우변 미분식은 완전 미분에 의해 식 (30)으로 표현할 수 있다.

                         (30)

또한, 식 (29)의 우변에 있는 발산은 식 (26)과 동일하다. 따라서, 식 (26), (29), (30)을 자속 밀도의 회전에 집어넣고 식 (27)의 유도 과정을 고려하면 식 (31)을 얻을 수 있다.

                         (31)
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[그림 3] 암페어 주회 적분 법칙(출처: wikipedia.org)

[암페어 주회 적분 법칙(Ampere's circuital law)]

                         (32)

[증명]
식 (22)에 제시한 암페어의 법칙을 면적 적분하고 스토크스 정리를 적용하면 식 (32)가 증명된다.
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암페어 주회 적분 법칙이 의미하는 바는 [그림 3]에 제시되어 있다. 즉, 자기장 방향으로 선적분을 하면 그 선적분이 만드는 평면을 뚫고 가는 방향의 전류를 구할 수 있다.
암페어 주회 적분 법칙 적용시 주의할 점이 하나 있다. 식 (13)을 이용해 식 (32)를 증명했으므로 도선 상을 흐르는 식 (32)의 전류 $I$는 반드시 $\bar \nabla \cdot \bar J = 0$을 만족해야 한다. 정상적인 DC 전류는 당연히 이 조건을 만족하지만 유한 도선처럼 전류가 흐르고 있지만 처음과 끝이 연결되지 않는 경우는 $\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$이므로 식 (32)를 사용해 자기장을 구할 수 없다.
$\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$인 경우에도 식 (32)가 적용되게 만들려면 변위 전류(displacement current) 개념을 도입해야 한다. 하지만 변위 전류가 들어오면 더이상 정자장(靜磁場, magnetostatics) 문제가 아닌 전자파 문제가 된다.

[참고문헌]
[1] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge,IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70-71, June 2001.

[다음 읽을거리]
1. 로렌츠 힘
2. 패러데이의 전자기유도 법칙
3. 맥스웰 방정식
4. 자기 쌍극자 모멘트
5. 자성체의 비밀

댓글 121개 :

  1. 델연산자에 프라임이 붙으면 뭐가 달라지는건가요? 원천에 대해서만 미분연산자를 쓰는건가요?

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  2. 예, 정확히 보셨습니다. 프라임이 붙은 것은 원천점, 없는 것은 관측점에 대한 미분입니다.

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  3. 아 감사합니다. 그러면 15번 식에서 델 도트 J프라임은 0이되서 없어진것 같은데 맞다면 그걸 관측점에서 어떤부피를 생각하고 그 부피 외부의 원천점의 전류밀도에 의한 발산이 되어 전류밀도가 들어오는만큼 빠져나가서 0이 되는건가요?

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  4. 단순하게 미분을 생각하면 됩니다. 그래서, ▽·­J' = 0은 당연합니다.
    ▽는 (x, y, z)에 대한 미분이고 J'는 (x', y', z')의 함수이기 때문에 미분하면 0이 됩니다. 즉, (x', y', z')는 (x, y, z)와는 관계없기 때문에 미분할 때 상수로 취급되어 0이 됩니다.

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  5. 감사합니다. 그렇게 쉽게 생각하면 되는군요

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  6. 델<->델프라임 하면서 부호가 변하는거 같은데 원천,관측점 사이 변위벡터 방향이 바껴서 그런가요?

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  7. 아닙니다. 원천점에 대한 미분은 ▽', 관측점에 대한 미분은 ▽이기 때문에 그렇습니다. 예를 들어 (x - x')를 x(관측점)에 대해 미분하면 1이 되고, x'(원천점)에 대해 미분하면 -1이 되는 원리와 같습니다.

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  8. 이해가 되는것 같습니다. 잘생각해보니까 원천 -> 관측점 방향인데 바뀌는게 말이안되는것 같네요. 감사합니다

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  9. 쿨롱 게이지 , 자기벡터 퍼텐셜의 발산이 0 이 되는 것을 다르게 설명할 수 있는 방법이 있을까요? 증명으로 봐선 잘 이해가 안가서요.ㅜㅜ

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    1. 기본적으로 게이지는 잣대이기 때문에 정의하는 것입니다. 증명하는 것이 아니고요.
      예를 들면 우리가 길이를 잴 때 미터를 사용할 수도 있고 인치를 사용할 수 있는 것처럼 파동방정식을 정리할 때 편한 게이지를 정의해서 사용하면 됩니다.
      아래 링크 보면 로렌츠 게이지에 대한 설명이 있습니다.
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/potential-wave-equation.html

      식 (13)에만 한정해서 설명하면 DC이기 때문에 자기 벡터 포텐셜의 발산이 0이 됩니다.
      자기 벡터 포텐셜을 만드는 것은 전류밀도이고 DC에서 전류밀도의 발산은 항상 0입니다.
      그래서, 자기 벡터 포텐셜의 발산이 0이 된다고 생각할 수 있습니다.

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  10. 안녕하세요. 전파 거북이님의 블로그 잘 보고 있습니다.
    궁금한게 있는데, 완전도체 내부에서 자기장은 어떻게 되나요?
    그리고 PEC와 진공 사이의 경계 조건을 보면, B_n=0, H_t=J_s 라고 되어있는데 어떻게 해서 그렇게 되는지도 알려 주시면 감사하겠습니다.

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    1. 위 자기장 경계조건은 PEC 내부 전자기장이 0이라는 조건 때문에 나온 것입니다. 금속 내부의 전기장은 항상 0이고 전자기파 조건 때문에 자기장도 자동적으로 0이 됩니다.

      하지만 DC가 되면 이 조건이 성립하지 않습니다. Bn1 = Bn2, n×(Ht1 - Ht2) = Js라는 일반적인 조건을 적용해야 합니다. 왜냐하면 PEC에서 성립하는 경계조건은 전기장과 관계있고 자기장과는 관계없기 때문입니다.

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    2. 좋은 답변 감사합니다. 잘 알았습니다.^^

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  11. [그림]3 암페어 주회적분 법칙의 그림을 보면, 엄지손가락(I :전류), 네손가락(B: 자속, magnetic flux)이라고 되어있는데, 여타의 다른 그림들이 네손가락을 자계(H: magnetic field)라고 되어있는데, 무엇이 맞는 건지요.
    B를 자속이아닌 자계혹은 자기장이라고도 부르나요?
    http://terms.naver.com/entry.nhn?cid=356&docId=747503&mobile&categoryId=356
    http://terms.naver.com/entry.nhn?cid=3439&docId=941024&mobile&categoryId=3439
    http://terms.naver.com/entry.nhn?cid=200000000&docId=1269563&mobile&categoryId=200000458

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    1. 진공 중에서는 B = μ0*H이므로 B로 하든지 H로 하든지 문제는 없습니다. 하지만 자성물질인 경우는 암페어 주회적분 법칙을 H로 표현합니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/secret-of-magnetic-material.html

      위 수식에서 암페어 주회적분 법칙을 B로 표현한 이유는 진공 중이며 비오-사바르 법칙이 B로 표현되었기 때문입니다. 자성물질로 확장하면 당연히 H를 써야 합니다.

      B는 학술적으로는 자속밀도입니다. B를 자기장이라 하면 원칙적으로 틀린 표현입니다. 하지만 B = μ0*H이므로 대충 자기장이라 해도 뜻은 통합니다.
      H는 자기장의 세기 혹은 간략히 자기장이라 합니다. 자기장의 일본식 표현이 자계(磁界)입니다. 전기장은 전계(電界)라고 표현할 수 있습니다.
      하지만 제가 볼 때 자계 혹은 전계는 옛날 표현입니다. 영어를 번역한 것이므로 magnetic field는 자기장이라 하는 것이 요즘 표현으로 맞습니다. 자기의 세계를 뜻하는 자계는 번역하면magnetic field라기 보다는 magnetic world가 맞지만 영어에서 magnetic world라 쓰지 않습니다.
      순우리말을 사랑하는 사람들은 전기마당, 자기마당을 쓰기도 하지만 극소수입니다.

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  12. 암페어 법칙을 계산할 때 경로안에 들어가는 전류의 방향과 닫힌 폐경로가 갖는 면벡터의 방향과의 알고싶습니다. 저는 암페어 고리안의 전류의 방향과 전류의 방향이 일치해야 할것같은데 애매하네요 즉, 일치하지않는다면 Icos쎄타 등을 통해서 방향을 고려해야 할 것 같은데 어떻게 생각하시나요??

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    답글
    1. 식 (31)을 보면 이미 내적을 이용해 벡터를 곱하고 있기 때문에 추가적인 고려는 필요가 없습니다. 진공인 경우 식 (31)은 완전한 식입니다.

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  13. 답변감사합니다. 죄송하지만 한가지 더 질문드려도 될까요?? 암페어 법칙의 경우 유한도선에는 적용할수 없는데.. 유한도선의 경우에도 도선의 이등분점에서는 대칭적이라서 사용가능할것 같기도한데 안되는 이유가 무엇인가요??

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    1. 아마 대칭성 이용해서 암페어 법칙으로 간단하게 계산하는 방식을 말씀하시는 것이지요?

      유한 도선은 좋은 지적입니다. 본문 끝부분에 관련 내용을 추가했습니다. 유한 도선은 식 (13)이 성립하지 않아 식 (32)가 맞지 않습니다.

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    2. 친절하신 답변감사합니다. 조금 더 질문 드리겠습니다. 처음과 끝이 연결되지 않은 경우 암페어 법칙이 적용불가라고 말씀하셨는데 그렇다면 반무한 도선이나 한쪽끝이 뚤려있는 동축케이블에 전류가 흐르는 경우에도 암페어 법칙을사용할 수 없는 것인지 궁금합니다.
      그리고 두개의 반무한 도선을 임의의 전도체를 통해서 연결하거나 끝이 뚤려있는 동축케이블을 워쉬어등을 통해서 연결할 경우는 어떤지도 궁금하네요ㅎㅎ
      질문이 너무 많아서 죄송합니다^^;;

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    3. 혹시나 해서 강조하면 식 (32)가 문제가 있는 것이고 식 (32)에 추가적으로 변위 전류를 도입하면 문제가 없어집니다.

      반무한이더라도 한쪽 끝이 열려있으면 DC에서는 전류가 흐르지 않고 AC면 반사나 복사를 고려해야 합니다. 이 경우 변위 전류를 가진 암페어 법칙을 써야 제대로 계산이 됩니다.

      $\bar \nabla \cdot \bar J = 0$의 의미는 들어온 전류와 나간 전류는 같다는 것이므로 말씀하신 구조가 이 관계를 만족하는 지 봐야 합니다. 두 개의 반무한 도선을 전도체로 연결하면 전류가 흐를 수 있어 암페어 법칙이 적용가능합니다. 동축선에는 와셔를 끼우더라도 전류 연속성 보장이 안되므로 문제가 있겠네요.

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    4. 답변 감사합니다.말씀하신 대부분은 이해가 되는데 동축케이블 부분이 조금 이해가안되서다시 여쭈어보겠습니다. 동축케이블의경우도 워셔를 끼우게되면 내부도체를흐르는전류가 모두 외부도체로흐르는것아닌가요?? 혹시 미소전류들의 연속성이 보장되지않는다는 말씀이신가요??

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    5. 와셔로 내부 도체와 외부 도체를 연결하는 방식이면 전류 연속성은 성립하겠네요.

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    6. 답변 감사합니다^^ 궁금증이 많이 해결된 것 같습니다. 다음에도 궁금한 것들이 생기면 질문해도 될까요??

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    7. 물론이지요. ^^ 언제든 환영합니다.

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    8. 네! 감사합니다. 종종 들리겠습니다. 전기공학도로서 정말 좋은 블로그라고 생각됩니다^^

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  14. 질문 드리겠습니다. 완전도체는 준정적근사가 아닌 시변계의 경우에도 등전위 인지 궁금합니다. 만약 그렇다면 전송선로의 경우에 거리에 따라서 전위값이 달라지는데 이건 왜 이렇게 되는것인지 궁금합니다.

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    1. 완전 전기 도체는 정의상 항상 등전위입니다.

      전송선로는 전자파를 전송하기 때문에 전기장(전압파)이 변해야 합니다. 전압파는 법선 방향으로 정하기 때문에 접선 방향 전기장이 0인 완전 전기 도체와는 구별해야 합니다.

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  15. 안녕하세요. 제가 논문을 보다가 헷갈리게 있어서 그러는데 한가지 물어볼게요

    제가 ▽B^2를 구하고 싶은데,
    어디 논문에서 이 값이 magnetic energy density(J/m^3)라고 하더라고요.
    근데 제가 알기로는 ▽B^2의 단위가(T^2/m)로 알고 있는데

    J/m^3와 T^2/m 의 차원이 같나요??

    그리고 자기장의 세기가 쌔진다는 것은 자기력과 이 자기력이 미치는 범위 또한 커진다고 할 수 있나요??

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    1. 1. 자기장의 에너지 밀도는 $\frac{dW_m}{dv} = \frac{1}{2} \bar B \cdot \bar H$입니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/energy-of-magnetic-field.html

      $\bar \nabla (\bar B \cdot \bar B)$의 단위를 비교해 보면 맞지 않습니다. 위의 식 참고하면 $J/m^3 = T^2 \cdot m/H$입니다.

      2. 자기장의 세기가 커진다는 것은 자기력이 미치는 범위가 확장된다고 볼 수 있습니다.

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    2. 답변 감사합니다^^

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  16. 좋은 글 잘 읽고 있습니다. 감사합니다.

    제가 드릴 질문은 도선에 작용하는 힘이 (2)나 (3)과 같은 식으로 주어지는 이유(원리)를 알고 싶습니다.
    특히, 힘의 방향에 대해서 굳이 저러한 방향으로만 힘이 생기게 되는 이유가 field의 변화(일그러짐) 같은 것으로 설명 가능한 지 궁금합니다.


    물론 실험에 의해 정립된 식이겠지만 좀 더 근본적인 원리에 대한 궁금증이 가시질 않네요.
    혹시 알고 계시면 도움을 주시면 감사하겠습니다.

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    1. 익명님, 저도 알고 싶어요. +.+

      자기장 관계식은 수학에 깊은 뿌리를 두고 있습니다. 이런 수학적 설명을 한 암페어는 물리학자이기는 하지만 수학자라고 해도 될 인물입니다. 외르스테드의 실험 결과를 듣고 거의 단 번에 오른손 법칙을 이용한 자기력 표현식을 만들었습니다.
      문제는 왜 오른손 법칙을 써야만 자기장이 설명되는가이지요.

      1. 맥스웰은 공간 상에 어떤 물질(에테르)이 있다고 가정했습니다. 무언가 움직이면서 이 물질을 회전시키면 회전에 의해 자기장이 발생하므로 오른손 법칙이 나온다고 생각했습니다. 그래서, 미분 연산자 중에 회전 연산자라는 게 있습니다.
      맥스웰이 이런 부분까지 고민한 이유는 大물리학자 켈빈 영향도 있습니다. 켈빈은 역학적 모형이 없는 맥스웰 방정식을 인정하지 않았습니다.

      -> 특수 상대성 이론으로 에테르는 폐기되어 현재는 맞지 않는 설명입니다.

      2. 좀 나은 설명은 특수 상대성 이론입니다. 상대성 이론으로 보면 자기장은 전기장의 다른 모습입니다. 우리가 보는 자기장은 사실 전기장인데 관찰자 속도에 따라 자기장으로 보일 수 있습니다. 이때 힘이 작용하는 방향은 오른손 법칙으로 주어집니다.

      -> 설명은 되지만 특수 상대성 이론에 이미 맥스웰 방정식이 포함되어 있어 동어 반복일 수도 있습니다.

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    2. 답변 감사합니다.
      혹시 아래와 같은 식의 설명에 대해서는 어떻게 생각하시는지요?
      (제가 궁금한 것은 자기장 속 이동 전하(전류)가 받는 힘의 방향이고, 전류가 흐를 때 오른손 법칙의 방향으로 자기장이 생성된다는 것은 그냥 받아 들이고 시작하는 것으로 하였습니다.)

      자기장이 오른쪽 방향으로 형성되어있고 전류가 화면 밖으로 나오는 방향으로 흐른다면

      -----> B
      O
      ----->

      위와 같은 자기장 분포에서 전류의 흐름에 의해서 아래 그림과 같은 자기장이 추가적으로 생성되고

      -<---> B
      O
      --->->

      아래쪽은 같은 방향의 자기장이 생성되어 자속밀도가 커지고 위쪽은 반대방향의 자기장이 생성되어 자속밀도가 작아진다.(즉, field의 일그러짐이 발생한다.) 이렇게 되면 자속밀도가 큰쪽에서 작은 쪽으로 밀어내는 힘이 생겨서 위쪽 방향으로 힘이 발생한다.

      이 설명에서 자속밀도가 압력과 같은 물리량이라면 설명이 가능할 것 같은데 자속밀도로 얘기하려니 적절치 않은 것 같기도 합니다.

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    3. 비오-사바르 법칙을 받아 들이면 전자장과 전하의 상호 작용은 로렌츠 힘으로 풀어야 합니다.

      위 예에서 자기장이 있고 움직이는 전하가 있으면 이 전하가 로렌츠 힘을 받고 궁극적으로는 전류가 흐르고 있는 도선이 힘을 받아 움직여야 합니다.

      위에 제시하신 자속 밀도의 변화는 미분 연산자로 치면 회전 연산자($\bar \nabla \times \bar B$)입니다. 이걸 사용하면 식 (22)와 같은 결과가 얻어집니다. 이 식의 최종 결과는 전류 밀도이기 때문에 이걸 압력과 연관 지을려면 연산이 더 필요할 것입니다. 좋은 결과가 나오면 저에게도 알려주세요. ^^

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  17. 식(2)는 두개의 도선에 대한 실험식이 되는건가요?
    I는 밧데리에 연결된 전류, I'은 자계에 의해서 다른 도선에 유도된 전류
    이렇게 되는건가요?

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    답글
    1. $I$와 $I'$는 상호 작용하는 단순한 전류입니다. 배터리에서 나온 것인지 유기된 것인지 관계없습니다.

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    2. 죄송요. 무슨 말씀이신지 전혀 모르겠어요. T.T
      "R ^ (= (r ¯ −r ¯ ′ )/R )은 I 와 I ′ 를 연결하는 벡터이다. 원천점(source point) (x ′ ,y ′ ,z ′ ) 와 관측점(observation point) (x,y,z) 은 I ′ 와 I 처럼 (⋅) ′ 를 이용하여 표현한다."
      원천점은 어디고, 관측점은 어디 인건가요?

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    3. $(\cdot)'$로 표시된 곳이 자기장을 만드는 원천점입니다. 예를 들면 $(x',y',z')$라고 표시된 지점, 전류 중에서 $I'$라고 표현된 전류입니다.

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    4. 표기법을 몰라서가 아니구요. 벡터항등식에서 그에 대한 인식은 좀 하였는데요.

      자기장을 만드는 원천은 전류라고 하니깐요.
      같은 도선에서의 조건이라면, 전류가 같을 거 같은데요.

      그럼 자기장을 만들어내는 전류(I')가 실제 측정의 전류(I)와는 다르게 나온다. 이런건가요?
      즉 원천점의 전류를 측정 할 수 없거나, 측정 하기 힘들다. 이건 순간 peak current 개념인뎅.

      정자계의 조건에서의 실험식이 아닌가요?

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    5. 전류는 두 개가 있다고 봐야 합니다. 자기장을 만드는 원천 전류와 관측점에 있는 전류요.

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  18. 그럼 이렇게 생각 해도 되겠습니다.
    I' 은 자기장을 만들어 내는 전류이고,
    I는
    나침반에서의 전류,
    다른 도선에서의 전류,
    임의 가상 패곡선에서의 전류
    등들을 모두 일반화한 관측점에서의 전류
    이렇게요?

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    답글
    1. 정말 유유 네요. T.T 왜 이런걸 고민 했는지 ㅠㅠ ~~~~
      감사드립니다.

      잘 모르겠는 부분이 너무 많은데요. 기초적인 부분입니다.
      1. 식(8)이 성립하려면, (∇ x I' dl¯' )/R = 0 이어야 하는데,
      이건 I' dl¯' = ∇(I' dl') 로 보기 때문인가요? 즉 회전의 0인자 구배.

      2. 식(9)를 보면, 회전 연산자가 적분식 밖으로 나왔는데요.
      B = ( μ_0 / 4pi ) ∮_c' (∇ x (I' dl¯'/R))
      적분에서 적분식 안에 있는게 밖으로 나올때는 상수 이거나 , 특정 조건에서 상수 취급을 할 수 있는 경우 일 것인데요, 여기서는 왜 이게 가능 한가요?

      3. 식(11)에서 편의상 원천점을 표시를 없애고 보면요.
      I dl¯ = (J¯ · da¯) dl¯ = (J J^ · da¯)dl J^
      이렇게 3번째 항까지는 알겠는데, 4번째 항으로 어떻게 가능한지 모르겟어요.

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    2. 1, 2: 원천점과 관측점을 잘 생각해보세요. $\nabla$는 관측점에 대한 미분입니다.

      3: 면적과 높이를 곱하면 부피가 된다는 성질입니다.

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    3. 1,2. T.T 감사합니다. 간단한것을 너무 어렵게 바라 보앗네요.
      3. 말씀 하신 부분은 4번째항에서 마지막 5번째 항으로 넘어가는 부분을 말씀 하신거 같구요.
      어럽게 느껴지는 부분이 우선 vector는 교환 결합 법칙들이 성립이 안되잖아요.
      3번째에서 4번째로 넘어가는게 좀 거시기 해서요.
      순서가 좀 일반 vector들의 곱과 다른 형태 같이 보여서요.
      혹시 dyad 인가요?

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    4. 벡터 내적이라서 교환과 결합 법칙 성립합니다. 다이애드는 아니며 단순 벡터입니다. 어렵게 보실 필요 없습니다.

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    5. 감사드립니다.

      식 (2)를 보다가 궁금한게 생겼는데요.
      관측점이 진공, 즉 원천점고 관측점이 모두 진공 상태라면, 어떻게 I 에서 전류가 흐르는게 가능한건가요?
      μ_0 가 진공중의 거시리라고 나오는것을 봐서는 진공중에서 성립을 한다는 거 같은데요.
      전류는 시간에 따른 전하량의 변화 인데요. 즉 전자가 있어야 할 건데, 진공상태라면 공기도 없을 거구요. 어떤 원자들이 있어야 주변에 전자가 있고, 전자가 이동 할 수 있을 것인데요.

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    6. 전류에 의한 자기력을 발견한게 1820년 즈음입니다. 이때는 전자(electron) 개념이 없을 때라서 현재 관점으로 보면 좀 이상할 수 있습니다.
      식 (2)의 조건은 전류가 흐른다는 것입니다. 전류가 흐를 경우 자기장이 어떻게 표현되는 지가 식 (2)의 관점입니다. 질문하신 전류가 어떻게 흘러야 하는 지는 다른 방정식인 전류의 연속 방정식 관점으로 봐야 합니다.

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    7. 재가 아직 볼 방정식은 아닌거 같습니다.
      기초적인거 좀더 보고 추후에 문의 드리겠습니다.
      감사드립니다.

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    8. 위글은 결국 헬름홀즈의 정리에 의해서 B와 A의 발산과 회전을 정의하여, B가 무엇이냐를 정의 하려는 거 같은데요. 정의에 의하면, 한가지 더 필요한 것은 경계조건인데요.

      재가가 경계조건(Boundary condition)이라는 것이 개념이 잘 안들어 와서 그러는데요.
      보통 폐곡면의 경우 폐곡면 외곽 line을 경계라고 하는거 같더라구요.
      이런경우은 해석을 하는 범위를 말하는 거 같구요.
      잘몰라서 하는 질문이니, 매번 그렇기는 하지만, 이해를 좀 부탁 드리니다. (지송요)

      식 (26)(27)의 경우에 R 이 0인 경우와 0이 아닌경우가 있잖아요.
      이거 자체도 경계조건이 되는 건가요?

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    9. 경계 조건은 미분 방정식을 위한 것입니다. 보통 양 끝이나 바깥쪽(외곽) 값입니다. 그래서, 경계 조건이지요.

      하지만, 함수가 유한하다든지 이런 것도 (경계값은 아니지만) 경계 조건이라 부릅니다.
      더 확장하면 미분 방정식을 풀기 위해 사용하는 조건이 경계 조건입니다.
      그래서, $R = 0$ 근방의 조건은 경계 조건이라 할 수 있습니다.

      질문은 언제나 환영입니다. ^^

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    10. 아 이 은혜를 어찌 다 갚아야 할지~.
      공부를 좀 하고 싶었는데, 환경 탓만 했던 재가 부끄러워 지네요.
      감사드립니다.

      또 기초적인 질문인데요. ㅋㅋㅋ
      지하철에서 보다 보니, 식 (3)에서는 R^2 분모가 공통으로 있는데.
      식(6)에서는 I'dl¯'에는 R^2 분모가 있어야 하거 같아서요. 맞나요?

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    11. 식 (5)를 보면 $1/R^2$항이 있습니다. $1/R$을 미분하면 $1/R^2$항이 나옵니다.

      건공하세요. ^^

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    12. 죄송요. 덧셈과 착각을 ...
      좋은 주말 되십시오.

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    13. 기초이론을 아직 습득하지 못한 이의 좀 밑도 끝도 없는 말도 안되는 질문이라는 것을 아는데요. 궁금해서요 헤^^

      발산은 원천검출기, 회전은 회전 검출기.
      발산의 0인자는 회전.
      어떠한 것도 없다면, 어떤 무의 상태라면, 발산의 0인자가 될 수 있은거 아닌가요?
      만일 무의 상태라는 것은 스칼라로 표현이 되어야 하기 때문이리면, 발산연산자와 연산이 되지 않은 조건이기 때문인가요?
      그렇다면, 상수 vector도 0이 될수 있잖아요.

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    14. 예, 맞습니다. 맥스웰 방정식은 미분 방정식이라 상수를 넣으면 항상 답을 만족합니다. 그래서 이런 자명한 해는 고려 대상에서 제외합니다, 풀어보지 않더라도 알기 때문에... ^^

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    15. 감사드립니다. 한가지 더 궁금한게 있는데요,
      원래 위 질문을 드렸던 이유는 아래의 고민에서 부터시작이 되었습다.
      암기를 잘 못하는 까닭에 나름대로 이해하는 방식을 만들어야 하는 뇌 구조인지라서요.
      저 자신도 질문을 어떻게 해야 할지 정리가 안되서 우선 좀 더 기초 이론들을 공부하고 질문을 드릴려다가...
      좀 거시기한 질문이라는 것을 저도 압니다. 헤~~

      질문의 요지는 식(4)가 왜 0이 되는가 입니다. <-- 왜 자명한 것을 물어보냐고 할 수도,... T.T.
      발산은 원천 검출기, 자하라는 것이 존재 하지 않으므로 당연히 0이다.
      여기서 잠깐, 자기장의 원인은 전류라고 하지 않았는가? 그러면, 식사는 전류와 관련된 term이 나오거나 전자의 이동에 관련된 수식이 나와야 하지 않을까?

      수리적으로 증명을 하여, 자기장(B)은 벡터 vector potential(A)의 회전이므로, 당연히 0이다.
      그리고 A는 게이지를 써서 청소를 해서 이쁘게 만들었다. 그런데 어떤 게이지를 쓰는 야에 따라서 달라질 수 있다.
      그럼 이런 가정을 해보았습니다. 게이지를 먼가 다르게 표현하면, A의 회전이 먼가다른 수식으로 표현 될 수 있지 않을까? <-- 일단 여기에서 사고의 오류가 있어 보입니다.
      그리고 좀더 단순하게 생각 하면, 어떤 실체가 존재를 하는데, 이 것이 상수 vector 처럼 작용하여, 결국 미분 연산을 하면 없어지므로 0이 되는데, 실체가 있다는 것을 인식하지 못하는 것이 아닐가?

      그리고 이 방정식들의 출발은 인간이 행한 실험과 관찰의 결과를 모델링한 기반으로 수식을 전계를 하고, 또한 전계를 하다가 인간이 편의 대로 수식을 전계를 하였으니, 그러는 것은 아닐까?
      어쩌면, 결론을 이미 내 놓고, 즉 생각을 이미 정리한 상태에서 수식을 만들었으니 저렇게 나오는것이 아닐가? 그 예가 게이지가 아닐까?


      질문이 참 거시기 하조? 답을 잘해 주시니, 계속 이렇게 말도 안되는 질문을 하게 되네요. 지송요.

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    16. 질문하신 관점은 저도 동의합니다. 비오-사바르 법칙은 실험식이므로 실험에 의해 식 (4)가 나오게 됩니다. 그래서, 자하가 없다는 것은 실험적으로 생각하는 것이지 실제로는 이렇지 않을 가능성도 있습니다.

      자기 벡터 포텐셜 $\bar A$는 포텐셜이라 실제 현상을 나타낸다고 보기 어렵습니다. 미분에 해당하는 자기장이 실제 관측 가능한 양입니다. 물론 어떤 물리학자들은 $\bar A$가 실재한다고 ( $\bar A$의 미분이 아니라 $\bar A$ 그 자체가 의미 있다고) 주장하지만 대세는 아닌 것 같습니다.

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    17. 헉 동의 하시면 안되는데, 여기 저기가 잘못된 생각이라 찝어 주셔야 하는뎅.ㅋㅋㅋ
      답변과 다른 글을 잘못 이해 하면, 어떤이는 이는 이렇게 이해 할 수도 있겠습니다.
      "한편 EM_turtle 이름으로 활동하는 블로거는 안드로메다에는 자하가 존재한다고 주장하고 있다"
      ㅋㄷㅋㄷ
      아무튼 감사드립니다. 다른 page에서 기초질문들 드리겠습니다.
      좋은 하루 되십시오.

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    18. 수학적으로 우아한 미분 연산자를 썼다 하더라도 맥스웰 방정식은 실험식에 기반을 두고 있습니다. 양자 역학에서 이미 변형을 가했지만 거시적인 부분에서도 나중에 변경될 여지는 분명히 있습니다. 증명되지 않은 것은 어떤 것도 믿지 맙시다. ^^

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    19. 재가 우려하실만큼의 수준이 되지 않습니다. ㅋㅋㅋ
      이제 기초 이론들을 받아들여야 하는 입장인데요.
      암기를 잘 못하는 뇌구조라서요. T.T
      ( 메모리 용량이 딸리는 지라 비트맵(bmp)으로 저장을 못하고, 백터라이징으로 저장을 해야 합니다.)
      있는 그대로 받아 들이는 것이 좋은 것은 알지만, 그렇지 못한 이의 비애 입니다.
      그러다가 이해가 잘 안되거나, 정리가 잘 안되면, 그 이미지가, 완정 엉망이 되버리거던요.
      많은 책과 동영상 강의들이 있으나, 거북이님 자료로 공부하는 이유는, 모든 것이 순서대로 논리적으로 전개를 하시고, 필요한 기초적인 부분들을 모두 링크를 해주시니, 저에게 꿀입니다. ㅋㅋ
      감사드립니다.

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  19. 전하는 D(전속밀도?맞나요?)와 직접 연결되는데(div D=rho) 전류는 왜 자속밀도가 아닌 자기장과 직접 연결될까요??전하가 만들어내는 전기력선의 밀도는 물질과 상관이 없을 테니 이해가 가는데, 전류가 만드는 자기력선의 밀도도 물질과 상관없어야 하는 게 아닌가 하는 생각이 드네요

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    1. 그 부분은 실험을 설명하기 위한 맥스웰 방정식의 특성을 고려하셔야 합니다. 전기력은 전기장과 관련되고 자기력은 자속 밀도와 관련됩니다. 즉, 힘 관점에서는 전기장과 자속 밀도가 하나의 쌍이 됩니다. 비슷한 이유로 전하 밀도는 전속 밀도와 관계되고 전류 밀도는 자기장과 관계됩니다.
      물론 전자기파는 전기장과 자기장을 연관시키고 있습니다.

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    2. 그렇게 되는 근본 이유가 궁금하네요. 이전에 배운 기억을 떠올려 보면 자속밀도가 높은 곳과 낮은 곳이 있으면 그 밀도 차이에 의해 힘을 받는다고 하던데 그런 까닭일까요?
      카시미르 힘이라는 것도 두 금속 판 사이의 양자화된 에너지와 바깥의 에너지 밀도 차이 때문에 생기는 인력이라고 들었는데 그와 비슷하게 자기력에 의한 에너지 차이에 의해 생기는 것일까요?

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    3. 자기장을 자기 스칼라 포텐셜(magnetic scalar potential)의 구배로 설명할 수 있지만 그건 설명 차원이고 실재는 자기력입니다. 정자기력 연구의 선구자들이 자속 밀도를 자기력의 근원으로 공식화했기 때문에 우리가 현재 모양대로 쓰는 것입니다. 물론 자기력 공식 때문에 자속 밀도의 발산이 0이라는 공식도 도출됩니다.

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  20. transformer와 hysteresis를 공부하다가 막혀서 질문 드립니다.

    1. 삼각함수 전압이 트랜스포머에 가해지면, 인덕터들을 타고 흐르는 전류들이 푸리에 급수로 표현 가능한 삼각함수와 비스 무리한 형태를 띠고, 트랜스포머를 타고 흐르는 magnetic flux는 삼각함수 형태를 띤다고 합니다. 패러데이의 법칙을 쓰면 사실 시간에 대해 적분만 하면 되기 때문에 일견 말이 되는 것 같은데요.

    그런데 비오-사바르 법칙과 암페어 법칙에 따르면 자기장은 전류에 대한 함수기 떄문에 만약 전류가 삼각함수가 아니면 자기장도 삼각함수의 형태가 나오지 않겠지요. 그리고 자기장이 삼각함수 형태가 아니면 자기 플럭스도 마찬가지구요.

    하지만 유전율이 과거 시스템의 상태에 영향을 받는 변수기 때문에 (자기장이 얼마나 align되어 있냐에 따라) 이게 어찌저찌 푸리에 시리즈로 표현 가능한 삼각함수 비스무리한 전류 함수를 잡아주면 플럭스가 삼각함수 형태라는 게 설명 됩니다만.. 이게 좀 직관적이지 않아서요.. 너무 헷갈리네요. 아니면 유전율이 계속 변하기 때문에 애초에 비오-사바르 법칙과 앙페르 회로 법칙을 못쓰나요?

    전류는 인덕턴스가 유전율에 영향을 받으므로 들쭉날쭉한게 약간 이해가 가는 것 같기도 한데.. 플럭스가 삼각함수 형태를 유지하는 이유를 모르겠네요...

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    1. 자기 투과성이요 ㅠㅠ 유전율이 아니라ㅠㅠ

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    2. 자기 이력(magnetic hysteresis) 특성은 비선형 특성입니다. 자기장(H)이 입력된 경우 매질의 자화(M) 혹은 자속 밀도(B)가 변화되는 특성은 선형으로 가정하지만, 강자성체 같은 경우는 비선형으로 표현되고 이것을 자기 이력이라 부릅니다.

      말씀하신 질문을 바탕으로 생각해 보면, 입력 자기장에 삼각 함수를 넣으면 매질(이 경우는 변압기)에 의해 생긴 자화도(M) 혹은 자속 밀도(B)는 비선형 특성으로 인해 왜곡이 생기게 됩니다. 왜 비선형이 되는가 하는 것은 해당 물질의 근원적 특성입니다.

      질문에서 자속(magnetic flux)가 삼각 함수 형태를 유지한다고 했는데, 아마 입력 자속인 것 같습니다. 변압기 내의 자속은 왜곡이 생겨야 합니다. 왜냐하면 자속은 자속 밀도의 적분이기 때문입니다.

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    3. 죄송합니다. 제가 헷갈리게 썼네요..
      책에서 주어진 조건은,


      1. 입력 전압은 삼각함수다.

      2. 전류를 측정해보면, 1차권선과 2차권선에서 흐르는 전류는 푸리에 급수로 표현 가능한 왜곡된 삼각함수로 나타난다.

      3. 자속은 삼각함수로 나타난다.


      제가 여기서 헷갈리는 부분은요..

      (1). N*dΦ/dt=-emf 이고, 입력 전압이 삼각함수 이므로 시간에 대해 적분하면 자속은 삼각함수로 나타낼 수 있다.

      (2). 비오-사바르 법칙과 암페어 법칙에 의하면 자속 밀도는 전류에 대한 함수이다. 만약 전류가 삼각함수의 형태를 띠지 않는다면, 자속 밀도 또한 삼각함수 형태를 띠지 않을 수 있다. 다만 자기 투과율은 자기이력에 따라 변하는 변수이므로, 이것도 고려해야 한다.

      (3). (1)에 의하면 자속은 삼각함수다. (2)에 의하면 자속은 삼각함수가 아닐 수도 있다.

      --------------------------------------------------------------------------------------------------------
      (3)에 대해 알려 주셨으면 좋겠어요 ㅠㅠ (1)의 값이 맞으면 (2)도 자연스럽게 맞게 되는 지.. 직관적이지 않아서.. 전자기학을 듣기 전이라서 더 헷갈리는 것도 같아요.

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    4. 1. 비오-사바르 법칙을 사용하면 변압기의 1차-2차 권선에서 자속이 반드시 연속인 것을 알 수 있습니다. 또한, 자기 이력의 비선형 특성으로 인해 변압기의 자속은 왜곡이 발생하는 것도 알 수 있습니다.

      2. 따라서, 변압기 내의 자속은 왜곡된 형태로 나타나야 합니다. 자속의 시간 미분을 취하면 기전력도 비선형이 됨을 보일 수 있습니다. 이 기전력에 의해 변압기 권선에 흐르는 전류(전체 회로를 해석하면 전류가 나옴)도 비선형이 됩니다.

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    5. http://www.vias.org/eltransformers/lee_electronic_transformers_02_07.html

      제 책에서 나온 그래프도 이것과 같았는데.. 이게 입력 자속만 삼각함수의 형태를 띠고 그 다음부터는 전류처럼 왜곡되는 건가요? 제 생각도 플럭스가 왜곡 되어야 하는데 그래프가 저래 생겨가지고 엄청 헷갈리네요..

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    6. 아마 그 책에서는 입력 전압이 바로 변압기에 들어간다고 가정한 모양이네요. 그러면 KVL에 의해 변압기의 전압은 입력을 따라가야 합니다.
      변압기의 손실을 제외한다면 변압기 전압은 기전력이므로, 기전력을 적분한 자속도 삼각 함수처럼 나옵니다. 하지만, 자기 이력 곡선 특성도 만족해야 하므로 자속이 왜곡되는 대신 입력 자기장(전류)이 바뀌어야 합니다.

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    7. 감사합니다. 하루동안 고민했었는데.. 드디어 의문이 풀렸네요..ㅎㅎ

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  21. 27식에서 J'이 원래 원천점인가요? 그러면 왜 R이 0으로 가면 J가 되나요?

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    1. 네, $\bar J'$는 원천점입니다. 식 (27) 유도에서 $R$이 0으로 가서, 원천점 = 관측점이 되기 때문에 관측점으로 바꾼 것입니다. 이런 관점은 디랙의 델타 함수와 동일한 특성입니다.

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  22. R이 0 으로가면 식 [(x-x')+(y-y')+(z-z')]^0.5=0 이 되서, 이 식에서 x=x',y=y',z=z'이 되어 그렇다는 말인가요?

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  23. 답변을 달아주시니 매우 고맙습니다!!. 26식에서 델연산자는 r=(x,y,z)에 대한 미분이 아니라 R에 미분같은데 r이든 R이든 0으로 똑같이 나오나요??

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    답글
    1. $R$에 대한 미분이 맞습니다. $R$이 0만 아니면, 자동적으로 식 (26)은 0이 됩니다.

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  24. 15식도 델연산자는 R에 대한 미분인가요? 그런데 ▽'은 x'y'z' 미분인것 같은데 R에 대한 ▽은 r'에 대한▽'으로 변환 된것인가요?

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    1. 아닙니다. 관측점 $(x, y, z)$에 대한 미분입니다.

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  25. 그런데 갑자기 궁금한데 식26은 R에 대한 미분인가요? r에 대한 미분은 결론이 같지 않나요?

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    1. 식 (26)은 $R$에 대한 미분입니다. 만약 델 연산자를 $r$에 대한 미분으로 정하면, 식 (26)은 더 복잡하게 나오며, 일반적으로 0이 되지도 않습니다.

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  26. R 또는r에대해 미분 할 때 기준이 무엇인가요?

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    1. 1. 그건 이론 전개하는 사람 마음입니다. 미분할 때 변수를 $R$로 쓰는 게 유리하면 $R$에 대한 미분을 쓰고, $r$이 편하면 $r$을 쓰면 됩니다.

      2. 만약 식 (26)을 $r$로 미분하면 결과가 매우 복잡하게 얻어집니다. 한 번 시도해 보시길.

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  27. 전자기 공부를 해오고 있지만 아직도 모르는 부분이 너무 많아서 걱정입니다. ^^;
    책에서 이해가 부족했던 부분에 대해 많이 많이 ~~~ 배우고 갑니다.
    좋은 내용 감사합니다.

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^
      전자기학 분야 정복이 쉽지 않죠. 계속 도전하시면 좋은 결과 있을 것입니다.

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  28. 한가지 궁금한게 있는데요 일정한 자기장 영역에 ㄷ자도선을 넣었을때 힘은 ㄷ자도선 넣는곳의 반대방향으로 힘이 발생하나요?

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    1. 힘은 식 (3)처럼 생깁니다. 'ㄷ'자 도선 전류에 대해 식 (3)을 적용해서 생기는 합력을 봐야 합니다.

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  29. 오늘 여기에 여러 질문을 올리게 됐는데 귀찮으실까봐 죄송하네요ㅜㅜ 그래도 답볍해 주시면 감사하겠습니다 ㅜㅜ

    위에서 보면 비오사바르 법칙의 미분형 이라고 해서 div B=0 을 유도 하셨는데 정상전류인 경우 말고 점전하가 움직이는 경우에는 div B=0 를 어떻게
    알아 낼수 있는건가요? 그리피스 전자기학 책을 공부하다 보면 점전하의 경우는 정상전류와 같은 비오사바르 법칙은 성립하지 않는다고 하는데
    그럼 이런 경우에는 div B=0 는 어떻게 알수 있는건가요? 대부분 전자기학 책들에서 div B=0 는 거의 공리처럼 다루고 별다른 증명을 다루지 않는데
    그냥 받아 들여야 하는 부분인가요?


    흐음.. 제가 제대로 된 질문을 드리는건지조차 헷갈리고 좀 혼란스럽네요..
    전자기학은 정말 너무 어렵습니다..ㅜ

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    1. 질문은 항상 환영합니다, 피카피카님. ^^ 시간나면 답변합니다.

      1. 먼저 움직이는 점전하부터 정확히 정의해야 합니다. 이론적으로는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)로 등속도 이동 점전하를 공식화해요. 디랙 델타 함수를 푸리에 변환으로 생각하면 모든 주파수가 포함된 운동입니다. 그래서, 교류 현상의 하나로 점전화 이동을 생각할 수 있습니다. 당연히 비오-사바르 법칙도 성립하고요.

      2. 이 관점을 사용한 경우의 풍성한 결과중 하나가 체렌코프 복사(Cherenkov radiation)입니다.

      3. 전자파가 쉽다는 사람은 없습니다. 하지만, 굉장히 재미있는 학문이에요. ^^

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  30. 식 18)의 표면 적분이 어떻게 0이 되는 이유는 체적이 무한대가 되면 J가 0으로 수렴하기 때문인가요?

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    1. 그런 설명보다는 체적 적분을 0으로 가정했기 때문입니다. 무한 급수에서 항의 개수가 무한대로 갈 때, 부분합이 수렴하면 수열항은 0이 되어야 하는 것과 같은 이치입니다.

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    2. 감사합니다. 혹시 R이 0에 가까워질 때는 어떻게 하나요 ㅎㅎ

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    3. 관측점이 원천점에 있더라도 상관 없습니다. 중요한 것은 원천에 대한 적분이 모든 원천을 다 포함하면 식 (13)이 성립합니다.

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  31. 항상 좋은 글 너무 감사합니다. 책으로 공부를 하던중에 비오사바르 법칙을 보다가 진공의 투자율이 없는 식이 나오던데 이건 이유가 어덯게 되는건가요??
    책에서 그나마 나온말은 자유공간에서 직류전류소에 의한 자계만을 다룬다 라고 먼저 조건이 있지만 연관이 없어보여서요 ㅠㅠ

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    1. vicent님, 질문하신 부분은 자기장과 자속 밀도의 관계인 것 같습니다. 자기장에 투자율을 곱하면 자속 밀도가 됩니다.

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  32. 자기력이 어떻게 Qv×B로 정리된건가 했더니 오히려 자기력이 먼저고 자속이 자기력을 설명하기 위해 만들어진 개념이었군요! 무식하게 전자기학 책만 붙들고서 공부할게 아니라 과학사에도 관심을 가지면서 공부해야 한단걸 또한번 깨닫고갑니다.

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    1. 저도 익명님 생각에 동의합니다. ^^
      한국인이 수학이나 과학을 잘하려면 이 분야에서 사람 냄새를 먼저 맡아야 합니다. 유명 수학자나 과학자는 대부분 외국인이라 우리 입장에서는 다른 별천지입니다. 이걸 해결하는 쉬운 방책은 수학사나 과학사를 공부하는 거라 생각해요.

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  33. 안녕하세요. 전자기학을 자세히 공부하지는 않아 배경지식이 깊지 않은 사람입니다.

    제가 강자성체와 전류가 흐르는 코일 간의 상호 작용에서 발생하는 전자기력과 둘 사이 거리에 따른 퍼텐셜에너지를 다뤄야 할 듯 한데, 어느 부분을 공부하면 관계식을 유도할 수 있을지 궁금하여 질문드립니다.

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    1. 강자성체의 비선형성을 고려하지 않는다면, 비오-사바르 법칙과 패러데이 법칙을 보면 됩니다.

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    2. 자기 벡터 포텐셜을 임의로 택할수 있다는 말이 헤깔립니다. 분명 두 식의 결합으로 만들어진 형태인데 임의로 택한다는 말이 옳은지 모르겠습니다.
      제가 어제부터 나름대로 학부책을 뒤져보고 거북이님의 글들을 읽었는데 답이 나오지 않는것 같습니다.
      일단 생각하기로는 회전으로 나온 틀에 기존에 있던 식(전하보존법칙)을 대입하여 발산을 새로운 형태로 만드는것 같기는 한데
      파동방정식을 깔끔하게 하기 위해서 만드는 식이라고 하니 정말 모르겠습니다.
      짧게 요약하면
      1. 식을 간단히 하기위해 임의로 선택한것이다.
      2. 전류의 연속성으로 부터 유도된 식이다.
      이 두개가 헤깔립니다.
      학부책이랑 거북이님글에는 둘다 맞다 되있는데 모순아닌가요????
      //////////////////////////////////////////////////

      그리고 로렌츠 게이즈식에서 '한공간(A)을 감싸는 부피의 표면을 지나가는 벡터포텐셜은 공간내(B) 전위의 크기와 비례한다'는 표현에서
      A와 B의 공간을 구분하지 못하겠습니다.
      A는 임의의 공간이고 B는 영역경계에서의 전위와 영역 내의 전하 분포가 결정 된 영역인가요? 아니면 A와 B가 같은 공간인건가요?????

      정말 전자계를 공부할때마다 궁금증은 끊임없이 나오는데 해결할 때가 없는것 같아요 ㅠㅠ

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    3. 1. 게이지 조건을 이해하시려면 포텐셜 기반 파동 방정식을 한 번 유도해보시면 됩니다. 게이지가 "방정식의 청소부"라는 뜻을 명확히 이해할 수 있습니다.

      2. 우리가 다루는 전자파는 에너지 -> 힘 -> 전기장/자기장으로 유추되어 정한 것입니다. 포텐셜은 전기장과 자기장 표현이 번거로워 정의된 양일 뿐입니다. 예를 들어 자기 벡터 포텐셜은 회전만 정의되어 있습니다. 자기 벡터 포텐셜의 발산은 자속 밀도와의 관계식에 없으므로, 임의로 정해도 됩니다.

      3. 체적과 표면적 관계는 아래 발산 정리를 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/divergence.html

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  34. 안녕하세요! 항상 여기에서 많은 도움을 받고 있는 학생입니다.

    궁금한 것이 있는데요,

    비오-사바르 법칙에서

    자속밀도와 자기벡터퍼텐셜의 관계는

    분모에 있는 두 지점간의 거리와 퍼텐셜 세기에 의한 함수로 보이는데요,

    이게 두 지점 사이에 아무것도 없을 때는 문제가 없을 듯하지만,

    두 지점 사이에 자기장이 투과 할 수 없는 물체가 들어 왔을 때는

    성립하지 않을 수 있을 것이라는 생각이 들었습니다.

    혹시 이러한 경우에도 동일한 비오-사바르 법칙을 적용 할 수 있는지,

    혹시 없다면 이러한 경우에는 어떻게 하는 것이 좋은지 궁금합니다.

    제가 전기전자를 전공하는 학생이 아니어서요

    질문이 잘 이해가 가지 않으신다면,

    jo05042001@naver.com 이쪽 이메일로 연락주시면 제가 다시 말씀드리겠습니다.

    감사합니다!

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    1. 비오-사바르 법칙은 자성체 유무에 관계 없이 성립한다. 자성체 효과를 고려하기 위해서는 자기장과 자속 밀도 개념을 사용합니다.

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    2. 만약에 자기장을 발생하는 전선과 자기력을 측정하고자 하는 지점 사이에 만약 자기장이 통과할 수 없는 물체가 있다면,
      이때 자기력을 전선과 측정지점간의 거리만의 함수로 나타내는 것이 타당하지 않다라고 생각해서요....
      제가 설명을 잘 못드려 죄송합니다.

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    3. 지금 제가 푸는 문제와 비슷한 상황을 가정하면
      전류가 흐르는 도선과 자기장의 세기를 측정하고 싶은 위치 사이에 자기장이 통과 할 수 없는 구가 있는 상황입니다.
      이럴때에도 비오사바르 법칙에서는 전선과 측정지점 간의 거리와 전류의 세기만이 변수로 들어가기 때문에 구가 있을 때나 없을 때나 값이 동일하게 나오게 됩니다. 제 생각엔 달라야 할것 같은데 말이죠.
      이러한 경우 전자기학에서는 문제를 어떻게 푸는지 알고 싶습니다.

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    4. 1. 전자기학으로 풀려면 조건을 정확히 주어야 합니다. "자기장이 통과할 수 없다"는 표현보다는 경계 조건을 제시해야 합니다. 예를 들면 "이 구 표면에서 자기장의 접선 성분은 0이다"는 조건이 필요합니다.

      2. 이런 구 존재 유무에 따라, 당연히 비오-사바르 법칙 결과는 다르게 나옵니다.

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  35. 암페어의 주회적분과 비오-사바르 법칙에서 직선도체에서의 연관성을 알고싶습니다.

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    1. 질문의 의도를 정확하게는 모르겠지만, 무한한 직선 도선의 자기장은 비오-사바르 법칙이나 암페어 법칙으로 모두 구할 수 있습니다.

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  36. 평소 해소하지 못하고 있는 궁금증을 한가지 여쭙고자 합니다.
    표피효과와 관련된 것일 수 있는데요.
    전류가 흐르는 도체의 내부에는 자속이 존재하는가요?
    초전도체의 성질 중 마이스너 효과라고 해서 외부의 자속이 접근하면 밀어낸다고 합니다만
    일상 상도체 내부에 전류가 흐를 때에는 어떤 상태가 되는지 참 궁금합니다.

    얼핏 상상을 해보기로는
    직류가 흐르는 상황은 미소 선전류가 무한히 있는 것으로 간주할 때 각각의 선전류 주변에 생기는 자속은 도체 내부에서는 서로 반대방향이므로 상쇄되고 도체의 표면에서는 동일방향으로 중첩되어 남아 있지 않을까 생각해보았습니다.

    그리고 도체에 교류가 흐르면 교번 자속을 방해하려는 방향의 전류가 흘러서(도체의 저항을 0으로 가정할 때) 결과적으로 원래의 교번 자속을 상쇄시키고 이 전류가 도체의 중심부에서는 원래의 전류를 상쇄시켜서 흐르지 않게 되고 표면으로만 흘러서 표피전류가 되는 것이 아닐까 생각해보았습니다.

    결론적으로 직류이든 교류이든 도체에 전류가 흐르면 도체 밖의 자유공간 또는 도체의 표피에는 자속이 존재하지만 도체의 내부에는 자속이 상쇄되어 0 이 되지 않을까 생각하는데 실제로는 어떻게 되는지요?

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    1. 초전도체의 경우만 예외적으로 도선 내부의 자기장이 0입니다. 저항이 0이라서 침투 자기장을 상쇄한 회오리 전류가 사라지지 않습니다.
      하지만 일반 도체 내의 자기장은 0이 되지 않습니다. 저항이 존재해서 회오리 전류가 작아지기 때문입니다. 이런 특성으로 인해 저주파 자기장 차폐는 매우 어렵습니다. (초전도체를 쓴다면 가능하고요.)

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  37. 거북이님 항상 감사하게 블로그 보고있습니다.

    비오사바르 법칙에서 curl( i'dl')/R이 0되는 이유가 위 댓글에서 답변해주신것을 보니 관측점에서의 미분이기때문에 원천점의 성분을 미분한것은 0이 된다. 라고 해석했는데 이 개념이 잘 이해가 안가서 질문합니다.

    질문:결국 왜 curl( i'dl')/R=0 인가

    관측점 주위의 공간에서 i'dl'(원천점의 전류)의 회전성분은 0이다. 인데요

    관측점주위에는 원천점의 전류가 존재하지 않기 때문에 0으로 생각하면 되는 걸까요? 아니면 다른 이유인가요?

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    답글
    1. 원천점과 관측점은 서로 독립이기 때문에 미분이 0이 됩니다. 예를 들면, $f(x)$를 $y$에 대해 편미분하면 0이 되는 것과 동일한 이유입니다.

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  38. 안녕하세요. 내용이 정말... 좋네요. 대단하세요..

    질문좀 드려도 될까요? ㅜ

    1) 식 (27)의 유도에서 전류 밀도는 원천점이 아닌 관측점을 나타내므로(∵ R→0
    R→0
    J ¯ ′ →J ¯
    J¯′→J¯
    로 변경했다. 이부분이 이해가 잘 안되는데 원천에서의 전류밀도를 어떻게 관측점에서의 것으로 바꾸는 건가요? 반경을 0으로 주기 때문에 극한값이 동일하기 때문에 J라고 표현해주는건가요?


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    답글
    1. 칭찬 감사합니다, 익명님. ^^

      $R$이 0으로 가기 때문에 원천점과 관측점이 근접합니다. 이 경우는 관측점의 전류 밀도로 간주할 수 있습니다.

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  39. 안녕하세요. 정말로 유익한 자료 감사합니다.

    그런데 자료를 일가보니 도체의 성질에 대해서 궁금한 것이 생겼습니다.

    도체 내부에 자기장이 존재할 수 있나요?

    전파거북이 님이 위의 뎃글에서 시변자기장은 없다고 하셨는데,

    혹시 시불변자기장은 도체 내부에도 존재할 수 있나요?

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    답글
    1. 시변과 시불변 관계없이 도체 내부에 자기장 존재 가능합니다. 다만 도체의 전도도가 무한대라면, 전자기 유도에 의해 시변 자기장은 도체 내부에서 항상 0입니다.

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