포텐셜(Potential) 기반 파동 방정식(Wave Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포텐셜 기반 파동 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식

1864년맥스웰 33세, 조선 고종 시절에 이미 전자기장에 대한 파동 방정식을 제안했던 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)이 왜 다시 포텐셜 기반 파동 방정식을 유도했을까?[맥스웰 방정식과 관계된 정확한 날짜[2]: 논문 투고 1864년 10월 27일, 논문 공개 1864년 12월 8일, 논문 출판 1865년 1월] 전자기장 파동 방정식의 최종 표현식을 보면 이 질문에 대한 답을 할 수 있다.

                         (1)

                         (2)

전자기장 파동 방정식의 원천 항(source term: 식 (1)과 (2)의 우변 항)이 단순하게 표현되어 있지 않다. 이를 더 아름답게 표현하려면 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi$와 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) $\bar A$를 이용해야 한다[1]. 전기장(electric field)과 스칼라 및 벡터 포텐셜 관계를 얻기 위해 아래의 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 보자.

                       (3)

                                (4)

식 (4)와 발산(divergence) 연산자의 영인자(nullity)로부터 벡터 포텐셜 $\bar A$를 아래처럼 정의할 수 있다.

                                (5)

식 (5)를 식 (3)에 대입해서 정리하면 다음과 같다.

                                (6)

식 (6)에서는 회전(curl) 연산자의 영인자를 이용한다. 식 (6)을 이용하면 전기장을 스칼라 및 벡터 포텐셜로 표현할 수 있다.

                                (7)

DC[$\partial / \partial t = 0$]인 경우, 전기장($\bar E$)은 스칼라 포텐셜 혹은 전압($\phi$)으로만 표현된다. AC[$\partial / \partial t \ne 0$]에서는 스칼라 및 벡터 포텐셜이 다 있어야 전기장을 표현할 수 있다. 또한 맥스웰 방정식을 헛되이 중복해서 쓰지 않도록, 식 (7)은 내부적으로 맥스웰 방정식 (3)과 (4)를 포함하고 있음을 꼭 기억해야 한다.

식 (7)을 쿨롱의 법칙인 식 (8)에 대입하고 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)인 식 (9)를 적용하면 식 (10)을 얻을 수 있다.

                                (8)

                                (9)

                                (10)

식 (10)을 정리하면 스칼라 포텐셜에 대한 파동 방정식을 얻는다.

                                (11)

DC[$\partial / \partial t = 0$]인 경우 식 (11)은 푸아송 방정식(Poisson's equation)이 된다. 마지막으로 남은 맥스웰 방정식인 변위 전류(displacement current) 포함 암페어의 법칙 (12)에 식 (5)와 (7)을 대입하자.

                  (12)

그러면 다음이 얻어진다.

                  (13)

식 (13)에 로렌츠 게이지인 식 (9)를 다시 적용하면 벡터 포텐셜에 대한 파동 방정식을 얻는다.

                  (14)

최종적으로 식 (11)과 (14)의 우변을 보면 원천 항이 매우 간략해짐을 알 수 있다. 또한, 전하 밀도(electric charge density) $\rho$가 스칼라 포텐셜을 생성하고 전류 밀도(electric current density) $\bar J$가 벡터 포텐셜을 생성함이 확연히 드러난다.

[참고문헌]

[1] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, vol. 1 and vol. 2, 1873.

[2] G. Pelosi, "A tribute to James Clerk Maxwell on the 150th anniversary of his equations (1864–2014)," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 56, no. 6, pp. 295–298, Dec. 2014.

[다음 읽을거리]
1. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
2. 대칭적인 맥스웰 방정식
3. 헤르츠 벡터 포텐셜