[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 곡률"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 안장 표면(saddle surface)에서 주곡률(principal curvature)을 정의하는 방법(출처: wikipedia.org)
[그림 2] 3차원 곡선의 곡률을 정의하는 방법(출처: wikipedia.org)
[그림 2]처럼 3차원 곡선(curve)의 곡률(curvature)을 정의하는 방법을 잘 이해하고 있다면, 3차원 표면(surface)을 표현하는 곡률을 [그림 1]과 같이 새롭게 만들 수 있다. 곡선의 곡률은 특정 위치 $\bar r(t)$에서 접선(tangent) $\bar T$를 긋고, 단위 접선 벡터(unit tangent vector) $\hat T$가 $\bar r(t)$ 근방에서 변하는 비율로 곡률 $\kappa$를 계산한다. 이 개념을 3차원 표면으로 확대하는 방식은 [그림 1]에서 볼 수 있다[1], [2]. 접선을 표면으로 확장한, 표면에 접하는 접평면(tangent plane)을 우선 생각한다. 이 접평면을 나타내는 단위 법선 벡터(unit normal vector)도 필요하다. 우선 2차원인 표면을 가리키는 위치 벡터 $\bar P$ = $\bar r(u, v)$를 생각한다. 여기서 $u,v$는 서로 독립인 매개변수이다. 이 위치 벡터의 미분 $d \bar r(u,v)$로 2가지 접선 벡터 $\bar T_u$와 $\bar T_v$가 생기며, 단위 법선 벡터 $\hat N$도 만들어진다.
(1)식 (1)을 써서 곡선의 법곡률 관계식에 따라 법곡률 $\kappa_n$과 곡률 벡터(curvature vector) $\bar \kappa$로 접선 벡터의 미분과 법선 벡터의 관계식을 구한다.
(2)여기서 표면에 있는 어떤 곡선[그림 1에서 빨간색 파선]의 매개변수는 $t$, $s$는 $t$ = $0$부터 잰 호의 길이(arc length), $ds^2$ = $du^2 + dv^2$, $\hat T$ = $d \bar r \mathbin{/} ds$는 $t$를 따라가는 단위 접선 벡터이다. 그러면 식 (2)에 따라 $\kappa_n$이 간략화된다.
(3)여기서 $\hat T \cdot \hat N$ = $0$이다. 식 (3)에서 유도한 분모와 분자를 각각 제1 기본 형식(the first fundamental form) $\mathrm{I}(du, dv)$와 제2 기본 형식(the second fundamental form) $\mathrm{I\!I}(du, dv)$로 이름 붙임으로써 법곡률 $\kappa_n$을 단순화시킨다.
(4)제1 기본 형식은 거리, 면적, 각도 등에 쓰이는 공간의 계량(metric) 혹은 측도에 관계된다.
(5a)계량 텐서(metric tensor)를 적용해서 식 (5a)를 행렬로 써도 된다.
(5b)접평면의 접선 벡터로 면적 미분소(differential area) $da$를 만들어서 표면적을 계산하기도 한다.
(6)제2 기본 형식은 법선 벡터의 변화 $d \hat N$을 포함하고 있기 때문에 표면의 휘어진 정도를 드러낸다. 식 (5a)와 비슷한 방식으로 $\mathrm{I\!I}(du, dv)$를 풀어낸다.
(7a)
(7b)여기서 $\hat N \cdot d \hat N$ = $0$[∵ $\hat N \cdot \hat N$ = $1$]; $\bar N_u, \bar N_v$는 법선 기준 접선 벡터이다. 식 (7b)를 더 간단히 만들기 위해 직교성 $\bar T_u \cdot \hat N$ = $\bar T_v \cdot \hat N$ = $0$을 활용한다.
(7c)
(7d)여기서 $\bar T_{uv}$ = $\bar T_{vu}$이다. 식 (7c)와 (7d)를 식 (7b)에 넣어서 간소화된 표현식을 도출한다.
(8a)
(8b)식 (5a)와 (8a)를 식 (4)에 넣어서 공간의 특성인 제1 및 제2 기본 형식으로 법곡률을 풀어쓴다.
(9)여기서 $ds^2$ = $du^2 + dv^2$ $>$ $0$이다. 따라서 주어진 위치 벡터 $\bar P$ = $\bar r(u, v)$에서 법곡률 $\kappa_n$은 $\bar P$를 지나는 접선의 방향수(direction number) $du:dv$에만 종속되어 연속적으로 변한다. 여기서 $\bar r(u, v)$이 선택되면 계량 성분(metric component)인 $(E,F,G)$와 곡률 성분(curvature component)인 $(L,M,N)$도 딱 하나로 선정된다. 추가적으로 식 (4)에 의해 $\mathrm{I}(du, dv) > 0$이므로 $\kappa_n$의 부호는 $\mathrm{I\!I}(du, dv)$가 결정한다.
[그림 3] 법곡률 혹은 제2 기본 형식의 부호로 표면 분류: 쌍곡면(hyperboloid)[$D < 0$], 원기둥(cylinder)[$D$ = $0$], 구(sphere)[$D > 0$](출처: wikipedia.org)
제2 기본 형식에 원뿔 곡선의 판별식(discriminant of conic section) $D$를 적용함으로써 곡선 판별식(discriminant of curves) $D$ = $LN-M^2$의 부호로 표면을 분류한다.
- 타원면(ellipsoid): $LN-M^2 > 0$; [그림 3]의 구처럼 외부로 부푼 형태; [그림 1]과 같이 접평면이 표면과 한 점에서만 접함
- 포물면(paraboloid): $LN-M^2$ = $0$이며 $L^2 + M^2 + N^2$ $\ne$ 0; [그림 3]의 원기둥처럼 특정 방향으로만 평탄한 모양
- 평면(plane): $LN-M^2$ = $0$이며 $L$ = $M$ = $N$ = $0$; 모든 방향으로 평평한 평면
- 쌍곡면(hyperboloid): $LN-M^2 < 0$; [그림 3]의 쌍곡면과 같이 내부로 축소된 외형; [그림 1]에 제시한 접평면이 표면의 한 점에서 만나지만 다른 평면도 통과함
접선의 방향에 따라 법곡률은 연속적으로 변하기 때문에, [그림 1]처럼 법곡률은 최대값과 최소값[그림 1에서 빨간색 파선]을 가진다. 최대 및 최소 법곡률은 주곡률(principal curvature)이라 명하고, 각각 $\kappa_1$과 $\kappa_2$로 표기한다. 주곡률 $\kappa_1, \kappa_2$의 평균과 곱은 각각 평균 곡률(mean curvature) $H$와 가우스 곡률(Gaussian curvature) $K$로 이름 붙인다. 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)는 1827년가우스 50세, 조선 순조 시절에 가우스 곡률 $K$를 제안하면서 미분 기하학(differential geometry)의 새로운 시대를 열었다.
(10)구에서는 모든 위치의 법곡률이 $1/r$로 같아서[∵법곡률은 곡선 곡률의 일반화이므로] $H$ = $\kappa_n$ = $1/r$, $K$ = $\kappa_n^2$ = $1/r^2$이다. 여기서 $r$은 구의 반지름이다. 극값(extreme value) 조건을 이용해서 식 (10)에 나온 평균 및 가우스 곡률을 $(E,F,G)$와 $(L, M, N)$으로 이론화한다.
[평균 곡률 $H$와 가우스 곡률 $K$] [2]
(11a)
(11b)
(11c)간략화를 위해 우선 $x$ = $du$, $y$ = $dv$로 둔다. 최대값과 최소값은 극값에서 발생하므로, 법곡률의 편미분은 0이 되어야 한다.
(12a)
(12b)여기서 $\mathrm{I}_x$ = $\partial \mathrm{I} / \partial x$ = $2(Ex+Fy)$, $\mathrm{I}_y$ = $\partial \mathrm{I} / \partial y$ = $2 (Fx + Gy)$, $\mathrm{I\!I}_x$ = $\partial \mathrm{I\!I} / \partial x$ = $2(Lx+My)$, $\mathrm{I\!I}_y$ = $\partial \mathrm{I\!I} / \partial y$ = $2(Mx+Ny)$; 극값이 생기는 위치는 $(x_0, y_0)$, 극값에서 법곡률은 $\kappa_0$이다. 조건 $x^2 + y^2$ $\ne$ $0$에서 식 (12)가 만족되려면 연립 방정식의 행렬식(determinant)이 0으로 나와야 한다.
(13)______________________________
접선 벡터 $\bar T_u, \bar T_v$의 벡터 외적(outer product on vector)과 법선 기준 접선 벡터 $\bar N_u, \bar N_v$의 벡터 외적에 대한 비례 상수로 가우스 곡률 $K$가 쓰이기도 한다.
[접선 벡터 $\bar T_u, \bar T_v$와 $\bar N_u, \bar N_v$] [2]
(14)접선 벡터의 벡터 외적은 모두 같은 방향인 $\hat N$을 지향하므로, 식 (14)에서 비례 상수 $K$만 얻으면 증명이 마무리된다. 우선 법선 기준 접선 벡터 $\bar N_u, \bar N_v$를 $\bar T_u, \bar T_v$의 선형 결합으로 표시한다.
(15)식 (15)에 $\bar T_u, \bar T_v$를 벡터 내적하고 식 (7b)와 연결해서 연립 방정식을 만든다.
(16)______________________________
행렬식을 쓰지 않고 식 (16)에 역행렬(inverse matrix)을 적용한 경우, 바인가르텐Julius Weingarten(1836–1910)이 1861년바인가르텐 25세, 조선 철종 시절에 발견한 바인가르텐 방정식(Weingarten equation)을 도출할 수 있다.
(17a)
(17b)바인가르텐 방정식은 단위 법선 벡터의 편미분이 접평면의 접선 벡터 $\bar T_u, \bar T_v$로 구성되는 정확한 수식을 보여준다.
매개변수 $(u, v)$를 좌표 변환(coordinate transformation)해서 $(u', v')$ = $\left(u'(u, v), v'(u, v) \right)$로 둔 경우, 제1 및 제2 기본 형식의 성분은 각각 $(E, F, G)$ $\rightarrow$ $(E', F', G')$ 및 $(L, M, N)$ $\rightarrow$ $(L', M', N')$처럼 바뀐다. 야코비 행렬식(Jacobian determinant or Jacobian)과 면적 미분소 관계를 식 (6)에 넣으면, 계량 행렬식(metric determinant) $\mathcal{G}$ = $EG-F^2$은 야코비 행렬식 $|{\bf J}|$ 기반의 단순한 공식으로 변환된다.
(18a)비슷한 논리로 좌표 변환에 관계없이 가우스 곡률 $K$는 일정하므로, 판별식 $LN-M^2$도 식 (18a)와 동일한 변환 관계를 가진다.
(18b)왜냐하면 좌표 표현에 무관하게 우리가 고려하는 기하학적 대상체는 불변이라서 $K$가 언제나 일정하기 때문이다.
[그림 4] 등장 사상으로 곡면을 변환(출처: wikipedia.org)
이번에는 거리(distance) $d(\bar a, \bar b)$를 유지하면서 3차원 공간의 점 $\bar a, \bar b$를 변환시키는 등장 사상(等長寫像, isometry) 혹은 등거리 사상(等距離寫像) $f: X \to Y$를 고려한다. 여기서 $\bar a, \bar b$는 $X$의 원소이다. 등장 사상에 필수적인 거리 개념은 다음 거리 공리(axioms of distance)를 만족하면 어떤 함수든지 가능하다.
- 같은 점: $d(\bar a, \bar a)$ = $0$
- 다른 점: $\bar a, \bar b$가 다르면 $d(\bar a, \bar b) > 0$
- 대칭성(symmetry): $d(\bar a, \bar b)$ = $d(\bar b, \bar a)$
- 삼각 부등식(triangular inequality): $d(\bar a, \bar c) \le $ = $d(\bar a, \bar b) + d(\bar b, \bar c)$
따라서 등장 사상 $f: X \to Y$를 거리 연산으로 분명하게 기술할 수 있다.
(19)여기서 $X$에 속한 3차원 벡터 $\bar a$는 등장 사상 $f$에 의해 새로운 3차원 벡터 $f(\bar a)$로 바뀐다. 이러한 성질로 인해 등장 사상은 기하 변환(geometric transformation)인 운동(motion)의 범주에 속한다. 운동의 종류는 평행 이동(translation), 회전(rotation), 반사(reflection) 등이 있다.
등장 사상 $f$를 제1 기본 형식과 연결할 때는 식 (5a)를 이용한다. 먼저 등장 사상을 가지고 이동시킨 점은 $\bar a^*$ = $f(\bar a)$로 표기한다. 이에 따라 $(E, F, G)$ $\to$ $(E^*, F^*, G^*)$로 쓸 수 있다. 그러면 변환 전과 후에 거리 혹은 호의 길이 $s$는 같기 때문에 식 (5a)의 적분이 동일해야 한다.
(20a)
(20b)임의의 $u,v$에 대해 식 (20b)는 항등식이 되어야 해서, 등장 사상에 대해 제1 기본 형식은 불변이다.
(21)식 (21)을 식 (6)에 적용하면, 등장 사상으로 변환한 면적도 변하지 않는다. 식 (21)을 벡터 관점으로도 음미한다. 계량 성분 $E, G$가 같다는 뜻은 접선 벡터 $\bar T_u, \bar T_v$의 크기가 일치한다는 의미이다. 또한 $F$ = $F^*$에 따라 두 벡터의 벡터 내적이 같기 때문에 벡터가 이루는 각도도 합치한다. 따라서 등장 사상은 각도가 유지되는 등각 사상(conformal mapping)에 속한다. 등장 사상을 더 일반화한 개념은 국소 등장 사상(local isometry)이다. 일반화된 곡선은 [그림 4]처럼 끊어질 수도 있기 때문에, 적분으로 된 $s$를 보는 대신, 국소 등장 사상에서는 근방 $ds$만 고려한다. 식 (20b)로 인해 국소 등장 사상에서도 식 (21)이 잘 성립한다.
이제부터 냉정한 가우스가 빼어난 정리(remarkable theorem)로 놀라움을 표출한 테오레마 에그레기움(theorema egregium)을 완벽히 증명한다.
[테오레마 에그레기움(theorema egregium) 혹은 빼어난 정리(remarkable theorem)] [1]
국소 등장 사상(local isometry) 하에서는 가우스 곡률 $K$가 보존된다.
[증명]
(22a)
국소 등장 사상 $f: X \to Y$에서는 식 (21)을 만족하기 때문에, $f$에 대해 판별식 $LN-M^2$이 보존됨을 보이면 정리가 증명된다. 일단 어떤 정규 직교 기저(orthonormal basis) $(\hat A, \hat B, \hat N)$을 가정한다. 여기서 $\hat N$ = $\hat A \times \hat B$이다. 기저 $\hat A, \hat B$의 편미분을 $(\hat A, \hat B, \hat N)$의 선형 결합으로 나타낸다.
(22a)여기서 $\hat A \cdot d\hat A$ = $0$, $\hat B \cdot d\hat B$ = $0$, $\bar A_u$ = $\partial \hat A / \partial u$, $\bar A_v$ = $\partial \hat A / \partial v$; $\bar A_u \cdot \hat B + \hat A \cdot \bar B_u$ = $a-\alpha$ = $0$, $\bar A_v \cdot \hat B + \hat A \cdot \bar B_v$ = $c-\gamma$ = 0[∵ $\hat A \cdot \hat B$ = $0$]이다. 기저 $\hat A$에 대해 $\bar B_u, \bar B_v$와의 벡터 내적을 다시 한 번 편미분해본다.
(22b)
(22c)또한 $LN-M^2$과 연계성을 얻기 위해 식 (14)와 (6)을 활용한다.
(22d)
(22e)여기서 $a$ = $\bar A_u \cdot \hat B$, $c$ = $\bar A_v \cdot \hat B$이다. 마지막으로 기저 $\hat A, \hat B$를 $\bar T_u, \bar T_v$ 및 $(E, F, G)$로만 수식화하면 논증이 완결된다.[∵ $\bar N_u, \bar N_v$ 및 $(L, M, N)$에 종속되지 않기 때문이다.] 이 기저는 임의라서 정규 직교를 이루도록 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)에 따라 비례 상수 $g, h$를 도입해 계산한다.
(23a)
(23b)
(23c)식 (23)을 종합하면 $\hat A, \hat B$는 오직 $\bar T_u, \bar T_v$ 및 $(E, F, G)$로만 표현된다. 이에 따라 $\hat A, \hat B$로 만드는 $a,c$도 $(E, F, G)$ 및 그 편미분에만 연동된다.
(24a)
(24b)
(24c)여기서 $(\cdot)_u$는 $u$에 대한 편미분이다. 최종적으로 식 (22e)에 나온 가우스 곡률도 $(E, F, G)$만의 함수이므로, 국소 등장 사상으로 표면상의 모든 점을 변환해도 가우스 곡률은 바뀌지 않는다.
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테오레마 에그레기움이 함의하는 성질은 거대하다. 상식적으로 표면을 벗어난 전지적 시점으로 대상체를 바라봐야 곡률이 상상된다. 하지만 테오레마 에그레기움에 의해 표면에서 국소적인 편미분만 측정해도 표면의 가우스 곡률이 얻어지고, 등장 사상으로 표면을 바꾸어도 가우스 곡률은 항상 동일하다. 예를 들어, [그림 3]에 나온 원기둥은 가우스 곡률 $K$가 0이다. 이는 평면과 같기 때문에, 평면과 원기둥은 기하 변환 혹은 운동을 적용해서 서로 상대편 도형으로 변경될 수 있다. 다시 말해 평면을 둥글게 말면 원기둥이 되고, 원기둥을 잘라서 펴면 평면을 만들 수 있다.
[그림 5] 둥근 지구본(출처: wikipedia.org)
[그림 6] 평면으로 바꾼 세계 지도(출처: wikipedia.org)
다른 관점으로 $K$ = $1/r^2$인 구 모양의 지구본(globe)은 절대 $K$ = $0$인 평면 세계 지도(world map)로 변환될 수 없다. 그래서 [그림 6]처럼 강제로 평면화한 세계 지도는 등장 사상을 만족할 수 없기 때문에, 길이, 각도, 면적 등에서 왜곡이 반드시 생긴다.
1. 기본(basics)
[이변수 함수(bivariate function): $z$ = $f(x, y)$]
(1.1)여기서 $f_x$ = $\partial f / \partial x$, $f_{xy}$ = $\partial^2 f / \partial x \partial y$이다.
위치 벡터 $\bar r$ = $(x, y, f(x, y))$로 놓고 식 (11b)에 대입한다.
(1.2a)
(1.2b)
(1.2c)여기서 $\mathcal{G}$ = $EG-F^2$ = $1+f_x^2+f_y^2$이다.
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[직교 접선 벡터: $F$ = $\bar T_u \cdot \bar T_v$ = $0$]
(1.3)여기서 $(\cdot)_u$는 $u$에 대한 편미분이다.
조건 $F$ = $0$에 의해 식 (23b)의 비례 상수는 $g$ = $0$, $h$ = $1/\sqrt{G}$이다. 이 결과를 식 (24)와 (22e)에 넣는다.
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[해석 함수(analytic function): $f(z)$ = $u(x, y) + i v(x, y)$]
(1.4)여기서 $z$ = $x + iy$이다.
[증명]
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식 (1.4)는 실수 함수 $u, v$의 가우스 곡률은 항상 음임을 보이기 때문에, $u, v$의 표면은 쌍곡면인 [그림 3]과 비슷한 모양을 가진다. 예외적이게 $f$ = $z$ = $x+iy$인 복소 평면은 $K$ = $0$[이 곡면은 평면]으로 나온다.
복소 평면의 계량으로 복소수의 각도를 보존하는 등각 계량(conformal metric)이 쓰이기도 한다.
(1.5)여기서 $h(z)$ = $e^{\psi(z)}$; 실수인 척도 인자(scale factor) $h(z)$는 $h(z) > 0$을 만족, $\psi(z)$는 계량 포텐셜(potential of metric)이다.
[등각 계량(conformal metric)]
(1.6)여기서 $\nabla^2$ = $\partial^2 / \partial x^2 + \partial^2 / \partial y^2$이다.
[증명]
(1.7)
식 (1.5)에 나온 등각 계량을 제1 기본 형식으로 보면 $ds^2$ = $h^2 dx^2 + h^2 dy^2$이므로 $E$ = $G$ = $h^2$, $F$ = 0이다. 접평면의 접선 벡터가 0이어서 식 (1.3)을 사용할 수 있다.
(1.7)______________________________
계량 포텐셜 $\psi(z)$는 라플라스 방정식 형태인 $\nabla^2 \psi + K e^{2 \psi}$ = $0$의 해이므로 포텐셜의 일종이다.
2. 다양한 표면(various surfaces)
푸엥카레 계량(Poincaré metric)은 모든 표면에서 상수인 음의 가우스 곡률을 가진다.
[푸엥카레 계량(Poincaré metric): $K$ = $-1$]
(2.1a)
(2.1b)
(2.1c)여기서 $z$ = $x +iy$; 척도 인자는 항상 $h(z) > 0$이다;
(2.2a)식 (2.1b)와 (2.1c)의 $K$는 라플라시언(Laplacian)의 뜻대로 $x, y$에 대한 편미분으로 쉽게 계산한다.
(2.2b)______________________________
상수인 양의 가우스 곡률은 구를 상상하면 되고, 상수인 음의 가우스 곡률은 푸엥카레 계량을 가진 표면을 생각하면 수월하다.
[참고문헌]
[1] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, 2nd ed., London, UK: Springer-Verlag, 2001.
[2] M. M. Lipschutz, Schaum's Outline of Theory and Problems of Differential Geometry, New York, NY, USA: McGraw-Hill, 1969.
[다음 읽을거리]
