정전장과 정자장(Electrostatics and Magnetostatics)

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1. 맥스웰 방정식

2. 전기장

3. 자기장

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(a) 커패시터에 생기는 전기장

(b) 인덕터에 생기는 자기장

[그림 1] 정전장과 정자장의 예시(출처: wikipedia.org)

전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 시간 변화가 없는 경우는 정전장(靜電場, electrostatics or static electric field)[7]과 정자장(靜磁場, magnetostatics or static magnetic field)으로 이름 붙인다. 정전장과 정자장은 모두 정역학(靜力學, statics)에 속하며, 이 두 장을 합쳐서 정적장(靜的場, static field)으로 부른다. 이때 시간 미분은 $\partial / \partial t$ = $0$이 되기 때문에, 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에서 전기장 $\bar E$와 자기장 $\bar H$는 완전히 분리되고 전자기파(electromagnetic wave)는 발생하지 않는다.

                          (1: 정전장)

                          (2: 정자장)

여기서 $\bar D$ = $\epsilon \bar E$, $\bar B$ = $\mu \bar H$, $\bar \nabla \cdot \bar J$ = $0$이다. 따라서 전기장은 정전장으로, 자기장은 정자장으로 간략화하며 이 둘을 따로 해석할 수 있다. 회로 이론(circuit theory) 관점에서 정전장과 정자장은 직류(直流, direct current, DC) 조건이며, 직류 회로 이론(DC circuit theory)의 근원이 된다.

도선을 구성하는 물질의 전기 전도도(electrical conductivity) $\sigma$가 유한한 경우는 정전장과 정자장이 옴의 법칙(Ohm's law)으로 서로 연결된다.

                          (3: 정전장과 정자장)

여기서 $\bar J$ = $\sigma \bar E$이다. 다만 $\sigma$를 사용할 때는 맥스웰 방정식에 어긋나지 않도록 $\bar J$와 $\bar E$의 조건을 면밀히 따져야 한다. 만약 $\sigma$가 무한대로 가면, 전류 밀도 $\bar J$가 발산하지 않도록 전기장은 $\bar E$ = $0$이 되어야 한다. 식 (1)로 인해 전하 밀도도 $\rho$ = $\bar \nabla \cdot (\epsilon \bar E)$ = $0$이다. 전기 전도도를 유한하게 제한한 경우는 매질 내부에 전기장이 존재할 수 있다. 하지만 전류 밀도의 발산은 0이기 때문에 $\bar \nabla \cdot \bar J$ = $\sigma/\epsilon (\bar \nabla \cdot \bar D)$ = $\sigma/\epsilon \cdot \rho$ = $0$이다. 즉, 매질에 전기 전도도가 조금이라도 있으면, 매질 내부에 남아있는 전하 밀도 $\rho$는 항상 0이다. 이는 시간에 대해 불변인 정전장 조건에 기인한다. 전하가 움직이는 상태는 정전장이 아니며, 전하가 다 움직여서 정지한 때가 바로 정전장의 조건이다. 하지만 전하가 이미 다 움직였다면 매질 내부에는 전하가 남아있지 않아서, 앞선 결과처럼 매질 내부에는 어떠한 전하도 없다.

정전장과 정자장은 시간 변화가 없고 서로 독립이라는 개념은 전자파에서 주파수를 0으로 만드는 조건과 분명하게 구별된다. 왜냐하면 전자파는 전기장과 자기장의 비율인 파동 임피던스(wave impedance) $\eta$가 요구하는 관계가 있기 때문에, 주파수를 낮추더라도 전기장과 자기장은 $\eta$ 비율을 항상 충족한다. 하지만 정전장과 정자장은 독립된 특성이므로, 정전장과 정자장은 어떤 관련도 가질 필요가 없다.

   1. 정전장(electrostatics or static electric field)   

정전장은 벡터장(vector field)이라 다루기 어려워서 전압(voltage), 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential), 혹은 정전 포텐셜(voltage or electrostatic potential) $\phi$를 도입해서 스칼라(scalar)로 처리한다.

                          (1.1: 푸아송 방정식)

여기서 $\rho_e$는 전하 밀도(electric charge density)이다. 이 푸아송 방정식을 풀면 어떤 전하 분포 $\rho$와 유전체 구성 $\epsilon$을 가지든지 정전 포텐셜의 배치를 알 수 있다. 이 정전 포텐셜의 구배(gradient)를 취해서 전기장도 $\bar E$ = $-\bar \nabla \phi$처럼 유도한다. 만약 2차원 문제인 경우는 맥스웰 방정식을 직접 풀지 않고 등각 사상(conformal mapping)으로 좌표 변환(coordinate transformation)을 해서 해석적으로 해결한다.

[그림 1.1] 개구면(aperture)을 통한 전기장의 침투(그림 출처: [2])

복잡한 전기장의 변화를 단순한 정전장으로 어림잡는 정전 근사(electrostatic approximation)는 전자기 간섭(electromagnetic interference, EMI)의 분석에 많이 사용된다. [그림 1.1]처럼 복사원에서 방출한 전기장이 금속 막(metallic screen)에 뚫린 개구면(aperture)으로 침투(penetration)하는 환경을 가정한다. 개구면이 뚫린 면의 법선 벡터는 $\hat z$이다. 이 현상을 공식화하기 위해 $z$방향으로 전기장만 있는 TM${}^z$ 모드(transverse magnetic mode for the $z$-axis)[$E_z \ne 0$, $H_z$ = $0$]를 가정하고 MNL 벡터 파동 함수(vector wave functions)를 도입한다.

                  (1.1)

여기서 $\bar e_n^E(\bar r)$ = $\bar N^E$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar M^E$, $\bar h_n^E(\bar r)$ = $\bar M^E$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar N^E$; $\bar e_n^E(\bar r)$과 $\bar h_n^E(\bar r)$는 개구면에 존재하는 $n$번 모드 함수(mode function), 위첨자 $E$는 전기장 경계 조건과 $z$방향으로 TM 모드를 의미, $E_n, H_n$은 각각 전자기장의 $n$번 모드 계수(modal coefficient), $k_0$은 자유 공간(free space)의 파수(wavenumber)이다. 물리학자 베테Hans Bethe(1906–2005)가 제안한 작은 구멍에 의한 회절 이론(theory of diffraction by small holes)[1]을 시작점으로 금속 막을 넘어 침투하는 전기장의 결합 계수 $C_n^E(z)$를 정의한다[3]. 금속 막에서 표면에 존재하는 접선 전기장은 0이 되어야 하므로, 아래 결합 계수 정의는 개구면에서만 정의되어서 유용하다.

                  (1.2)

여기서 $s$는 개구면의 면적, $d \bar a$ = $da \hat n$, $\hat n$ = $\hat z$; 결합 계수를 만들 때 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 써서 $z$방향 전력을 만들 수 있는 전기장만 고려하며, 개구면의 둘레에서 접선 전기장은 0이다. 개구면이 파장에 비해 작다고 생각해서 자기장의 모드 함수 $\bar h_n^E(\bar r)$을 다변수 테일러 급수(multivariate Taylor series)로 근사한다.

                  (1.3)

여기서 $z$ = $0$에 개구면 끝단이 위치하고 이 개구면의 기준점은 $\bar r$ = $\bar 0$이다. 식 (1.3)을 식 (1.2)에 대입함으로써 $z$ = $0$에서 $C_n^E(z)$의 근사식을 얻는다.

                  (1.4a)

                  (1.4b)

                  (1.4c)

식 (1.4)에 정전 근사인 $\bar E$ $\approx$ $- \bar \nabla \phi$를 적용해 정리한다.[정확하게는 $-\partial \bar A / \partial t$가 추가로 필요하다.]

                  (1.5a)

                  (1.5b)

                  (1.5c)

                  (1.5d)

여기서 $\partial_x h_{n,y}^E(\bar 0) - \partial_y h_{n,x}^E(\bar 0)$ = $k_0 e_{n,z}^E(\bar 0)$; $c$는 개구면 면적 $s$의 둘레를 따라 돈다. 최종적으로 TM${}^z$ 모드의 결합 계수 $C_n^E(0)$는 $E_z$ 전기장에 영향을 받고 [그림 1.1]처럼 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)에 의한 전기장과 비슷한 모양을 만든다. 따라서 투과 전기장 $\bar E_t$를 분극도(polarization) $\bar P$로 어림잡아서 전기 감수율(electric susceptibility) $\chi_e(z)$와 함께 표현한다.

                  (1.6a)

식 (1.5d)와 (1.6a)를 활용해서 평균 전기 감수율(mean electric susceptibility) $\langle \chi_e(z) \rangle$를 최대한 간단하게 공식화한다[4].

                          (1.6b)

여기서 $C_n^E(z)$ $\propto$ $\int_s \phi\,dxdy$ $\propto$ $E_{t,z}(\bar r)$; $A$는 개구면의 면적, 단위를 맞추기 위해 입사 전기장 $\bar E_i$ 대신 입사 정전 포텐셜 $\phi_i$를 사용한다.

평균 전기 감수율의 유도가 약간 엉성하다고 생각할 수 있다. 하지만 개구면의 모양과 금속 막의 두께 영향을 상대적으로 비교하기 위한 기법이라서 난처함은 없다. 우리가 이론을 일관되게 적용하고 있으며 DC에서 실험하기가 좋기 때문에 식 (1.6b)는 나무랄 곳이 없는 결과물이다. 또한 전자파의 투과를 다룰 때 DC인 정전 근사를 쓰는 방식은 문제가 있다고 생각할지도 모른다. 그러나 전송선 이론(transmission line theory)에서 정적 근사(static approximation)를 써서 단위 길이당 유도 용량(inductance, L)과 전기 용량(capacitance, C)을 구하는 방식을 기억해야 한다. DC에서 구한 $L, C$이지만 전압파와 전류파를 다루는 전송선에 충분히 쓸 수 있다. 마찬가지로 정전 근사로 유도한 식 (1.6b)는 분명한 근사이지만, 혼란스러운 전자파 침투를 분석하는 훌륭한 기준이 된다.

[그림 1.2] 무한히 긴 도선을 흐르는 전류(출처: wikipedia.org)

[그림 1.2]의 구조처럼 무한히 긴 도선을 흐르는 전류 $I$는 옴의 법칙에 따라 도선 내부에 $E_0$ = $J / \sigma$ = $I \mathbin{/} (\sigma A)$인 전기장을 만든다. 하지만 무한히 긴 도선이라서 도선 내부에 전하가 쌓일 공간은 없어서 전하 밀도는 항상 0다. [그림 1.2]의 정전장 해는 다음과 같다.

                  (1.7)

여기서 $a$와 $A$는 각각 도선의 반지름과 단면적, 전류는 $z$방향으로 흐른다. 식 (1.7)에 가우스 정리(Gauss' theorem)를 쓰면 $\oint_s \bar E \cdot d \bar a$ = $0$이 되기 때문에, 도선의 모든 영역에서 전하는 없다.

[그림 1.3] 직류 회로에 발생하는 전기장 분포(출처: wikipedia.org)

하지만 [그림 1.3]처럼 도선이 유한해서 휘어지면 [그림 1.2]에서는 없던 표면 전하 밀도(surface charge density) $\rho_s$가 출현한다. 왜냐하면 도선은 전기 전도도가 무한대라서 전기장은 없고 저항 내부에는 식 (1.7)과 같은 전기장 $E_0$이 있는 전기장의 불균일성이 생기기 때문이다. 이 경우 발생하는 표면 전하 밀도는 $\rho_s$ = $Q/A$ = $E_0 - 0$이다. 간단한 막대형 저항인 경우는 $\rho_s$가 $V$ = $IR$로 쉽게 연결된다.

                  (1.8)

여기서 $l$은 저항의 길이이다. 또한 전류가 저항 내부를 균일하게 흘러서 전류 밀도가 일정하고 전기장의 변동도 없으면, 저항 내부에는 전하가 만들어지지 않는다. 대신 도선과 저항이 만나는 지점에만 표면 전하 밀도가 나타난다. 다른 관점으로 저항이 복잡한 모양과 다른 전기 전도도를 가지면 직류 회로의 전하 분포는 [그림 1.3]보다 더욱 복잡하게 발생한다[6]. 식 (3)의 맥스웰 방정식을 풀어서 전하 분포를 계산할 수도 있지만, 저항의 직렬과 병렬 근사를 활용할 여지도 존재한다. 

   2. 정자장(magnetostatics or static magnetic field)   

[그림 2.1] 두 개의 자석이 만드는 자기 쌍극자의 자기장(출처: wikipedia.org)

정전 포텐셜 $\phi$에 대응하는 개념으로 자기장 $\bar H$를 위한 자기 스칼라 포텐셜(magnetic scalar potential) 혹은 정자 포텐셜(magnetostatic potential) $\psi$가 존재한다. 선 적분 $c$의 내부에 전류가 없다면, 자기장은 정자 포텐셜의 구배(gradient)로 정의될 수 있다.

                          (2.1)

여기서 $\oint_c \bar H \cdot d \bar l$ = $0$이다. 식 (1.1)처럼 자기장의 푸아송 방정식도 만든다.

                          (2.2)

여기서 $\bar \nabla \cdot \bar B$ = $0$; $\rho_m$은 자하 밀도(magnetic charge density), 전하처럼 자하(magnetic charge)에 의해 자기장이 생긴다고 생각해서 $\bar \nabla \cdot (\mu_0 \bar H)$ = $\rho_m$으로 설정한다.

[그림 2.2] 동축선의 단면 구조(그림 출처: wikipedia.org)

자기장의 선 적분 내부에 전류가 없는 경우는 정전 포텐셜과 정자 포텐셜의 특성은 같다. 그러나 내부에 전류가 생기면 정자 포텐셜은 보존적이지 않아서 선 적분의 회전 회수에 따라 값이 달라진다[5]. 예를 들어, [그림 2.2]와 같은 동축선의 자기장을 관찰한다. 암페어 주회 적분 법칙(Ampere's circuital law)으로 자기장 $\bar H$를 구한 후, $\phi$에 대해 적분해서 $\psi$를 결정한다.

                          (2.3)

여기서 $I$는 내부 도체를 흐르는 전류이다. 방위각 $\phi$에 따라 정자 포텐셜 $\psi$는 계속 커질 수 있지만, 같은 각도인 $\phi$와 $\phi + 2 \pi$에서 $\psi$가 달라지는 결함이 있다. 이는 선 적분 $\oint_c \bar H \cdot d \bar l$ 안에 전류 $I$가 존재하기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 적당한 방위각 위치에 가지 자름(branch cut)을 정의한다. 예시로서 $\phi$ = $0$을 가지 자름으로 선언하고 $\phi$의 범위를 $0 \le \phi < 2 \pi$로 제한한다. 그러면 식 (2.3)은 $\phi$의 정의역에서 일가성(single-valuedness)을 만족한다. 대신 가지 자름을 지날 때는 $2 \pi$를 더하거나 빼야 한다. 즉, 가지 자름인 $\phi$ = $0$에서는 가지 상수(branch constant) $B_0$ = $2 \pi$만큼 불연속이 필연적으로 생긴다.

[그림 2.2] 금속 막에 만들어진 2개의 개구면(그림 출처: [5])

정자 포텐셜의 일가성을 형성하는 가지 자름은 3차원 구조에도 필요하다[5]. [그림 2.2]에 나온 2개의 개구면을 통과하는 빨간색 폐경로 $c$ 내부에는 금속이 있어서, 이 경로 안에 전류가 있을 수 있다. 이때는 식 (2.3)처럼 다가성이 생기기 때문에, 문제를 풀 때 중첩 원리(superposition principle)로 도출하는 두 영역에 가지 상수 $B_0, B_1$을 각각 도입한다. 가지 상수 $B_0, B_1$은 두 영역의 어떤 경계면에서 $B_1 - B_0$인 불연속성을 만들지만, $\psi$는 일가성을 가지도록 도운다.

[그림 2.3] 개구면(aperture)을 통한 자기장의 침투(그림 출처: [2])

접선 전기장이 개구면을 제외한 금속 막에서 0이 되는 경계 조건을 활용하기 위해, $z$방향으로 전기장이 없는 TE${}^z$ 모드[$H_z \ne 0$, $E_z$ = $0$]에 대해 식 (1.2)와 유사한 결합 계수 $C_n^H(z)$를 정의한다.

                          (2.4)

여기서 $\bar e_n^H(\bar r)$ = $\bar M^H$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar N^H$, $\bar h_n^H(\bar r)$ = $\bar N^H$ = $1/k_0 \cdot \bar \nabla \times \bar M^H$이다. 식 (1.4)와 (1.5)를 TE${}^z$ 모드에 적용하면, 개구면의 끝인 $z$ = $0$에서 식 (2.4)가 간략화된다[3].

                          (2.5a)

                          (2.5b)

여기서 $z$방향 전기장이 없어서 $P_n^H$ = $0$, $H_z$는 TE${}^z$ 모드의 $z$방향 자기장이다. 식 (2.5b)는 물리적 설명이 추가로 필요하다. 자기장 $H_z$가 개구면으로 입사한 경우, 투과된 자기장은 [그림 2.3]처럼 생기며 그 벡터 방향은 $x, y$축이 된다. 그래서 투과 자기장 $\bar H_t$는 금속 막에 평행한 $x, y$방향을 모두 고려해야 한다. 이 특성은 자화도(magnetization) $\bar M$을 잣대로 벡터량인 자기 감수율(magnetic susceptibility) $\bar \chi_m (z)$로 근사된다.

                          (2.6a)

식 (2.5b)에 나온 $H_z$에 정자장을 쓰는 정자 근사(magnetostatic approximation)를 써서 $H_z$ = $-\partial \psi / \partial z$로 둔다.[포텐셜 이론을 쓰면 $\bar H$ = $-\partial \bar F/\partial t - \bar \nabla \psi$이다.] 그러면 식 (1.6b)처럼 $x,y$방향에 대한 평균 자기 감수율 $\langle \chi_{mx}(z) \rangle$과 $\langle \chi_{my}(z) \rangle$가 각각 정의된다.

                          (2.6b)

여기서 $\psi_i$는 입사 정자 포텐셜이다. 정자 포텐셜과 자기장의 관계성을 명확히 하기 위해 식 (2.6b)에 부호 ($-$)를 붙이기도 한다.

[참고문헌]

[1] H. A. Bethe, "Theory of diffraction by small holes," Phys. Rev., vol. 66, no. 7–8, pp. 163–182, Oct. 1944.

[2] F. de Meulenaere and J. van Bladel, "Polarizability of some small apertures," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 25, no. 2, pp. 198–205, Mar. 1977.

[3] R. L. Gluckstern, R. Li, and R. K. Cooper, "Electric polarizability and magnetic susceptibility of small holes in a thin screen," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 38, no. 2, pp. 186–192, Feb. 1990.

[4] J. H. Lee and H. J. Eom, "Electrostatic potential through a circular aperture in a thick conducting plane," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 44, no. 2, pp. 341–343, Feb. 1996.

[5] H. J. Eom, J. W. Zeong, J. S. Seo, and J. G. Lee, "Magnetostatic potential penetration into two circular apertures in a thick conducting plane," IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 43, no. 3, pp. 399–402, Aug. 2001.

[6] 유태훈, "전기 회로에서 저항성 도체의 표면전하 분포와 정상전류 및 에너지 흐름", 전자공학회논문지, 제59권, 제9호, pp. 111–120, 2022년 9월.

[7] F. Olyslager and I. V. Lindell, "Closed form solutions of Maxwell's equations in the computer age," URSI Radio Sci. Bull., vol. 2003, no. 305, pp. 30–37, Jun. 2003.

[다음 읽을거리]

1. 라플라스 방정식용 등각 사상

직교 다항식(Orthogonal Polynomial)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "직교 다항식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 스튀름–리우빌 이론

2. 르장드르 함수

3. QR 분해

[그림 1] 기하학에서 쓰이는 직교성(출처: wikipedia.org)

[그림 1]처럼 기하학에서 직각(right angle)의 의미로 쓰이는 직교성(orthogonality)은 함수상 내적(inner product on function) $\langle f, g \rangle$로 추상화해서 사용 범위를 적분(integration)으로 확장할 수 있다. 함수의 직교성은 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)의 결과이면서 완비성(completeness)을 증명하는 중요 수단이다.

                  (1)

여기서 $r(x)$는 스튀름–리우빌 이론에 나오는 밀도 함수(density function) 혹은 가중치 함수(weighting function)이며 항상 0보다 크다.[∵ $f(x)$ = $g(x)$인 경우 식 (1)을 항상 0보다 크게 만드는 조건이다.] 직교 다항식(orthogonal polynomial)은 식 (1)의 함수 $f(x), g(x)$가 다항식이며 그 내적은 0이 되는 다항식이다.

                        (2)

여기서 $\psi_n(x)$의 차수(degree)는 $n$이다. 직교 다항식의 대표적인 예는 르장드르 다항식(Legendre polynomial)이다.

주어진 적분 구간 $[a, b]$에서 직교 다항식을 생성하는 표준 방법은 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)이다. 다항식의 기저(basis)를 $1$, $x$, $\cdots$, $x^{n-1}$, $x^n$으로 두고, 주어진 다항식에 직교하는 또 다른 직교 함수를 차례로 생성한다. 먼저 그람–슈미트 과정에 따라 $\psi_0(x)$ = $a_0$으로 둔다. 다음으로 $\psi_1(x)$의 기저 $x$의 계수는 $a_1$로 설정하고 $\psi_0(x)$와 평행한 부분을 제거해서 $\langle \psi_1(x), \psi_0(x) \rangle$ = $0$으로 만든다.

                  (3a)

여기서 $a_n$은 $\psi_n(x)$에서 $x^n$의 실수 계수이다. 비슷한 방법으로 저차 다항식에 모두 직교하는 고차 다항식을 계속 만들 수 있다. 예를 들어, $\psi_0(x)$와 $\psi_1(x)$에 직교하도록 $\psi_2(x)$를 생성한다.

                  (3b)

임의의 $\psi_n(x)$도 식 (3b)와 비슷한 절차로 공식화된다.

                        (3c)

또한 $\psi_0(x), \psi_1(x), \cdots, \psi_n(x)$는 직교 기저(orthogonal basis)이기 때문에 $x^m$과도 항상 직교한다.

                  (4)

여기서 $\alpha_i$ = $\langle x^m, \psi_i(x) \rangle \mathbin{/} \langle \psi_i(x), \psi_i(x) \rangle$이다. 이와 같이 직교 다항식을 구성하는 계수 $a_0, a_1, \cdots, a_n$은 임의의 실수가 될 수 있으므로, 직교 다항식은 무수히 많이 존재한다.

직교 다항식 $\psi_n(x)$는 직교성인 식 (2)를 변형해서 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)에 포함시킬 수 있다[1]. 그러면 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)의 다양한 결과가 직교 다항식에도 바로 적용된다. 상상력만으로 직교 다항식의 미분 방정식을 만들기는 어렵기 때문에, 스튀름–리우빌 미분 방정식을 나침반으로 삼아 한 걸음씩 전진한다. 여분의 다항식 $p(x)$를 가진 새로운 항을 식 (2)에 추가해서  스튀름–리우빌 이론의 직교성을 강제로 만든다.

                  (5a)

여기서 함수 행렬식(Wronskian)은 $W[u, v]$ = $uv'-u'v$, $\lambda_n$은 직교 다항식 $\psi_n(x)$의 고유치(eigenvalue), 추가한 항이 $\psi_n(x)$에 관계없이 항상 0이 되도록 $p(a)$ = $p(b)$ = $0$이 되는 다항식을 선택한다. 식 (5a)에 나온 함수 행렬식을 풀어서 새로운 미분 방정식을 하나 찾는다.

                        (5b)

                  (5c)

여기서 $p(a)$ = $p(b)$ = $0$, 식 (7a)에 따라 구간 $(a, b)$에서 $p(x) > 0$이다. 최종적으로 식 (5c)는 직교 다항식에 대응하는 미분 방정식이며, 스튀름–리우빌 미분 방정식에 포함되기 때문에 직교 다항식은 다시 고유 함수(eigenfunction)가 되어서 스튀름–리우빌 이론의 모든 결과가 직교 다항식에도 성립한다. 식 (5c)를 더 일반화하기 위해 $r(x)$로 나눈다.

                  (6)

여기서 $p'(x)$ = $dp(x)/dx$; $p(x)$의 조건으로 인해 $Q(a)$ = $Q(b)$ = $0$이다. 식 (6)에서 모든 항의 다항식 차수가 같으려면, $Q(x)$는 2차 함수(quadratic function), $L(x)$는 선형 함수(linear function)가 되어야 한다. 그래서 $Q(x)$ = $q_0(x-a)(x-b)$, $L(x)$ = $cx+d$로 둘 수 있다. 만약 $Q(x)$가 완전한 2차 함수[$q_0 \ne 0$]인 때는 롤의 정리(Rolle's theorem)에 의해 $Q'(x_0)$ = $0$을 만족하는 $x_0$이 $(a, b)$ 사이에 존재한다. 이는 $L(x)$의 근이 $(a, b)$ 구간 안에 있다는 의미이다.

식 (6)으로부터 식 (5c)를 생성할 때는 적분 인자(integration factor)에 해당하는 $m(x)$가 필요하다.

                  (7a: 적분 인자)

                  (7b: 밀도 함수 혹은 가중치 함수)

                  (7c)

여기서 $r(x) > 0$, $p(x) > 0$이므로 $Q(x) > 0$이 된다. 르장드르 다항식의 경우에 $Q(x)$ = $1-x^2$, $L(x)$ = $-2x$, $\lambda_n$ = $n(n+1)$인 식 (6)의 미분 방정식을 만족한다. 여기서 $Q(x)$의 근은 $\pm 1$이고 $L(x)$의 근은 $(-1, 1)$의 내부인 $x$ = $0$에 근이 있다. 식 (7a)를 가지고 르장드르 다항식의 $p(x)$도 구한다.

                  (8)

여기서 $p(x)$는 $(-1, 1)$에서 0보다 크도록 부호를 택한다. 식 (7a)와 같은 형태는 피어슨 미분 방정식(Pearson differential equation)으로 분류한다. 이 미분 방정식의 해인 $p(x)$를 이용해서 만든 연속 확률 분포(continuous probability distribution)는 피어슨 분포(Pearson distribution)가 된다. 피어슨 분포는 $Q(x), L(x)$의 계수를 바꾸어서 다양한 확률 분포를 생성할 수 있다. 다양성이 많은 만큼 피어슨 분포는 생물, 환경, 경제, 주식 등의 많은 분야에 쓰인다.

직교 다항식과 스튀름–리우빌 이론을 종합해서 직교 다항식이 내포한 다양한 성질을 증명한다.

• $\psi_n(x)$의 차수는 $n$

그람–슈미트 과정으로 얻은 식 (3c)에 의해 $\psi_n(x)$의 고차 항은 $x^n$이다.

 

• $\psi_n(x)$의 모든 근은 실수이며 단순근(simple root)

스튀름의 분리 정리(Sturm's separation theorem)로 인해 $\psi_n(x)$의 근은 모두 단순근이다. 또한 스튀름의 진동 정리(Sturm's oscillation theorem)를 적용하면, $\psi_{n+1}(x)$의 영점은 실수축에 있으며 $\psi_{n}(x)$보다 하나 더 많다. 어려운 스튀름–리우빌 이론을 적용할 필요 없이, 직교 다항식을 $\psi_n(x)$ = $a_n \pi_n(x)$로 가정해도 근의 분포를 증명할 수 있다. 여기서 $\pi_n(x)$는 $n$차 다항식을 인수 분해한 $\pi_n(x)$ = $(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$이다. 먼저 직교 다항식의 근 $x_i$가 복소수라면, 켤레 복소수가 반드시 존재해서 $(x-x_i)(x-x_i)$ = $|x-x_i|^2$이 되므로 내적을 0으로 만들 수 없다. 그래서 모든 근은 실수가 되어야 한다. 또한 모든 근이 구간 $(a, b)$ 바깥에 있으면, $\pi_n(x)$는 $[a, b]$에서 부호를 바꾸지 않아서 식 (2)가 나올 수 없다. 이로 인해 근 $x_i$는 항상 구간 $(a, b)$ 안에 존재한다. 마지막으로 다중근(multiple root)이 있다는 가정은 식 (4)에 위배된다. 왜냐하면 $\pi_n(x)$의 모든 인수가 항상 양수가 되도록 인수 $(x-x_i)$를 선별해서 생성한 다항식 $p_m(x)$는 직교 다항식과의 곱 $\pi_n(x) p_m(x)$가 항상 0보다 커서 그 적분은 0이 될 수 없기 때문이다. 즉, $p_m(x)$의 차수 $m$이 $\pi_{n}(x)$의 차수 $n$보다 작으면 식 (4)에 따라 내적이 0이라는 직교성 조건은 다중근 설정과 충돌한다.

 

• $\lambda_n$ = $\displaystyle{-n \left(\frac{n-1}{2}Q''(x) + L'(x) \right)}$

식 (6)에서 $x^n$의 계수를 모으면 $q_0 n(n-1) + c n + \lambda_n$ = $0$을 얻는다. 여기서 $Q''(x)$ = $2 q_0$, $L'(x)$ = $c$이다. 이로 인해 상수 함수인 $\psi_0(x)$의 고유치는 항상 $\lambda_0$ = $0$이다. 다음번 고유치는 $\lambda_{n+1}$ = $\lambda_{n} - n Q''(x) - L'(x)$로 유도된다.

 

• 로드리그의 공식(Rodrigues' formula)

                  (9)

여기서 $c_n$은 정규화 상수이다. 최초의 로드리그 공식은 르장드르 다항식 $P_n(x)$에서 나왔기 때문에, $P_n(x)$의 로드리그 공식을 염두에 두고 식 (4)의 $x^m$과 직교하는 다음 다항식을 도입한다.

                  (10a)

여기서 $P_n(x)$는 $Q(x)$ = $1-x^2$으로 설정된다. 식 (10a)를 식 (4)에 넣어서 $P_n(x)$와 같은 직교성이 생기는지 확인한다.

                  (10b)

여기서 $Q(x)$ = $q_0(x-a)(x-b)$; 부분 적분으로 나온 항은 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)으로 인해 0이다. 식 (10b)의 절차는 $x^{m-1}$이 미분으로 0이 될 때까지 계속 진행할 수 있기 때문에, 식 (10a)는 $x^m$과 직교성이 성립한다. 다음 단계로 식 (10a)가 식 (6)의 해로 바뀌도록 $n$과 무관한 $f(x)$를 추가한다.

                  (10c)

함수 $f(x)$가 곱해지더라도 식 (10c)는 식 (10b)의 방식에 따라 직교성이 유지된다. 특별한 경우로 $n$ = $1$을 선정하고 식 (6)에 대입해서 $f(x)$를 결정한다.

                  (10d)

여기서 $C$는 적분 상수이다. 따라서 $f(x)$ = $r(x)$로 뽑으면 식 (9)가 증명된다. 특히 식 (7)의 조건으로 $\psi_1(x)$ = $c_1 L(x)$가 나온다.

                  (10e)

식 (9)의 특성을 확인하기 위해 $\psi_{n+1}(x)$를 로드리그의 공식으로 나타낸다[2].

                  (11a)

여기서 $c_n$ = $1$로 가정, $r(x) \psi_1(x)$ = $r'(x) Q(x) + r(x) Q'(x)$이다. 식 (11a)의 마지막 결과에 일반 라이프니츠 규칙을 적용해서 $r(x)Q^n(x)$와 $\psi_1(x) + nQ'(x)$를 따로 전개한다.

             (11b)

여기서 $\psi_1(x) + nQ'(x)$는 선형 함수이다. 식 (11b)에 $n$ = $1$을 넣을 때, $\psi_2(x)$ = $[L'(x) + Q''(x)] Q(x)$ + $L(x)[L(x) + Q'(x)]$로 간략화된다. 식 (11a)의 좌변을 $r(x)Q^n(x)$와 $Q(x)$에 대해 미분할 수도 있다.

             (11c)

식 (11b)와 (11c)를 연립하면 식 (5b)가 나오기 때문에, 식 (9)는 모든 $n$에 대해 직교성과 관련 미분 방정식을 만족하는 공식이다.

             (11d)

여기서 식 (10e)로 인해 $\psi_1(x)$ = $L(x)$이다.

 

• 재귀 관계(recurrence relation)

                  (12)

여기서 $\psi_{n}(x)$ = $a_n \pi_n(x)$ = $a_n x^n + b_n x^{n-1} + \cdots$이다. 식 (11b)가 내포하는 성질처럼 직교 다항식은 반드시 재귀 관계를 가진다. 편리하게 증명하기 위해 식 (3c)에 나온 선형 결합(linear combination)에 바탕을 두고 인수 분해식으로 공식화한다.

             (13a)

여기서 $\pi_n(x)$ = $(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$; $\pi_{n+1}(x)$와 $\pi_n(x), \pi_{n-1}(x)$의 직교성을 맞추는 용도로 $\alpha_n, \beta_n$을 끌어들인다. 그래서 식 (13a)를 식 (2)에 대입해서 직교성을 만족시킨다.

             (13b)

             (13c)

여기서 $\gamma_n$ = $\langle \pi_{n}, \pi_{n} \rangle$이다. 식 (13c)는 약간 복잡해보여서 더 단순화한다.

             (13d)

선형 결합의 계수 $\alpha_n$은 식 (13a)에서 $x^n$ 항의 계수를 비교해서 유도할 수도 있다.

             (13e)

여기서 $\psi_{n+1}(x)$ = $a_{n+1} \pi_{n+1}(x)$ = $a_{n+1} x^{n+1} + b_{n+1} x^{n} + \cdots$이다.

수학 이론의 끄트머리에 있는 직교 다항식은 여러 기본 개념들과 서로 연결되어 있다. 직교 다항식이 인기 있는 이유는 다루기 편한 다항식이기 때문이다. 모든 근이 실수이고 우리가 다루는 구간 $(a, b)$ 안에 존재하고 있어서, 직교 다항식은 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)로 인수 분해된다. 그리고 우리가 직교 다항식을 노래 부르는 또 다른 까닭은 바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass approximation theorem)에 기인한다. 아무리 복잡하게 변하는 함수라도 연속성만 전제되면, 다항식의 차수를 높여서 원하는 정밀도로 목표 함수를 근사할 수 있다. 다만 고계 미분이 커지는 연속 함수는 룽에 현상(Runge's phenomenon)이 생기므로 주의가 필요하다. 직교 다항식의 근원으로는 적분 방정식(integral equation)에서 발견한 함수상 내적(inner product on function)과 미분 방정식 이론의 본류인 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)이 있다. 또한 직교 다항식의 두드러진 응용으로 가우스 구적법(Gaussian quadrature)이 있다. 직교 다항식이 가진 대부분의 성질을 활용해서 수치 적분(numerical integration)의 중요 도구인 가우스 구적법을 유도한다. 추가적으로 직교 다항식은 확률 분포(probability distribution)와 연결된다. 전혀 관계없어 보이지만 직교 다항식의 적분 인자에는 피어슨 미분 방정식(Pearson differential equation)이 출현한다. 피어슨 미분 방정식의 해는 피어슨 분포(Pearson distribution)의 확률 밀도 함수(probability density function)가 된다.

[참고문헌]

[1] J. Shohat, "A differential equation for orthogonal polynomials," Duke Math. J., vol. 5, no. 2, pp. 401–417, Jun. 1939.

[2] J. V. Iseghem, "Rodrigues formula and orthogonality," Université des Sciences et Technologies de Lille (University of Science and Technology of Lille), France, 1995. (방문일 2025-01-11)

[다음 읽을거리]

1. 가우스 구적법