배열 안테나(Array Antenna)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "배열 안테나"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 가장 쉬운 안테나 이론

2. 균일 평면파의 의미

3. 무한 급수

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[그림 1] 접힌 다이폴 안테나(folded dipole antenna)로 구성한 VHF(very high frequency) 대역용 배열 안테나(출처: wikipedia.org)

전자파를 공간상으로 복사(radiation)할 때 가장 큰 영향을 주는 소자는 안테나(antenna)이다. 안테나는 도선을 따라 흐르는 전류를 대부분 전자파로 바꾸는 변환기(transducer) 역할을 주로 수행한다. 그래서 전파 통신을 효율적으로 하기 위해서 좋은 안테나가 필수적이다. 좋은 안테나는 높은 안테나 이득(antenna gain), 넓은 대역폭(bandwidth), 작은 크기 등이 필요하다. 하지만 단일 안테나로 모든 측면에서 복사 특성이 우수한 안테나를 제작하기는 불가능하다. 무언가 좋은 방법이 있을까? 여기에 대한 해답을 찾은 사람이 음극선관(cathod-ray tube, CRT) 혹은 브라운관(Braun tube)으로 유명한 브라운Karl Ferdinand Braun(1850–1918)이다. 1905년브라운 55세, 대한제국 시절에 브라운은 전자파 복사에 인위적인 지향성(directivity)을 만들기 위해 안테나 3개를 배치하고 안테나의 입력 위상을 바꾸면서 사용했다. [그림 1]처럼 단순한 안테나를 공간적으로 나열한 안테나 집단을 요즘은 배열 안테나(配列, array antenna)로 부른다. 특히 각 안테나에 입력되는 신호의 위상을 바꾸어서 만든 배열 안테나는 위상 배열 안테나(phased array antenna, PAA)가 된다. 브라운은 배열 안테나와 위상 배열 안테나의 아버지이다.

[그림 2] $N$개의 단일 안테나가 만드는 배열 안테나

배열 안테나를 일반적으로 해석하기 위해 [그림 2]의 배치처럼 $N$개의 단일 안테나로 구성한 배열 안테나를 생각한다. 배열 안테나에 들어가는 단일 안테나는 원소 안테나(element antenna)로 이름 붙인다. 그러면 수신기에 입사하는 전체 전기장 ${\overline{E}}_t(\overline{r})$은 중첩 원리(superposition principle)에 따라 원소 안테나의 전기장을 모두 더해서 표현할 수 있다.

                          (1)

여기서 $k$ = $2\pi /\lambda$, ${\overline{R}}_n$ = $\overline{r}-{\overline{r}}_n^{\prime }$, $R_n$ = $|{\overline{R}}_n|$; $\overline{r}$ = $(x,y,z)$는 수신기의 관측점(observation point), ${\overline{r}}_n^{\prime }$ = $(x_n^{\prime },y_n^{\prime },z_n^{\prime })$은 $n$번 송신 안테나의 원천점(source point), ${\overline{E}}_{e,n}(\theta ,\varphi )$는 편파(polarization)까지 고려한 $n$번 원소 안테나의 복사 패턴(radiation pattern), $e^{-jkR}/(4\pi R)$은 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)이다. 식 (1)을 그대로 계산하기는 어려워서 원소 안테나 종류와 편파는 모두 동일하며, 수신기는 원천점에서 매우 먼 거리인 원역장(far-field)에 있다고 가정한다. 그러면 배열 안테나의 전체 전기장이 매우 간단히 공식화된다.

                   (2a)

                          (2b)

여기서 $R_n$ $\sim$ $r-{\overline{r}}_n^{\prime }\cdot \hat{r}$, ${\psi }_n$ = $k(r-R_n)$ $\sim$ $k{\overline{r}}_n^{\prime }\cdot \hat{r}$; $a_n$은 원소 안테나를 구동하는 복소수(complex number)인 여기 계수(excitation coefficient)이며 진폭 $A_n$과 위상 ${\varphi }_n$으로 $a_n$ = $A_n{e}^{j{\varphi }_n}$처럼 설정, $\text{AF}(\theta ,\varphi )$는 원소 인자(element factor) 혹은 원소 패턴(element pattern), $\text{AF}(\theta ,\varphi )$는 배열의 공간상 할당을 보여주는 배열 인자(array factor) 혹은 공간 인자(space factor)이다.

[그림 3] AWACS(Airborne Warning and Control System)에 쓰이는 슬롯 도파관 안테나(slotted waveguide antenna)(출처: wikipedia.org)

[그림 2]와 같은 단순한 배열 안테나 개념으로 무엇을 할 수 있을까란 생각도 들지만, 실제 배열 안테나 제품인 [그림 3]을 보면 달라진다. [그림 3]은 공중 조기 경보 및 제어(airborne early warning and control, AEW&C) 체계의 일종인 보잉(Boeing) E-3 센트리(보초, sentry) 혹은 AWACS(공중 경보 및 제어 체계, Airborne Warning and Control System)에 달린 슬롯 도파관 안테나(slotted waveguide antenna)를 보여준다. 사진에서 비스듬한 선으로 보이는 슬롯 혹은 긴 구멍은 하나의 안테나 역할을 하므로, 매우 많은 슬롯을 가진 도파관은 거대한 배열 안테나로 작동한다. [그림 3]과 같은 구조를 초기 설계할 때는 간략화가 필수적이어서 [그림 2]와 같은 추상화된 모형이 적절하다.

[그림 4] 균일 선형 배열(uniform linear array)의 구조

배열 안테나의 성질을 더 쉽게 파악하도록, [그림 4]처럼 원소 안테나를 같은 간격 $d$로 $z$축에 배치한다. 배열 안테나 중에서도 가장 간단한 설정에 해당하는 [그림 4]는 균일 선형 배열(uniform linear array, ULA)로 부른다. 균일 선형 배열의 배열 인자는 식 (2b)보다 간략화된다.

                          (3a)

여기서 $\varphi$ = $\varphi /2$, $\hat{r}$ = $\sin \theta \hat{y}+\cos \theta \hat{z}$, ${\overline{r}}_n^{\prime }$ = $(n-1)d\hat{z}$, ${\psi }_n$ = $k{\overline{r}}^{\prime }\cdot \hat{r}$ = $(n-1)kd\cos \theta$, ${\alpha }_n$ = ${\varphi }_n+{\psi }_n$이다. 다음 단계로 배열 인자가 등비 급수(geometric series)로 표현되게 진폭은 $A_n$ = $1$, 위상은 ${\varphi }_n$ = $(n-1){\varphi }_0$으로 둔다. 그러면 복소 지수 함수의 합으로부터 식 (3a)가 닫힌 형식(closed form)으로 나온다.

                     (3b: 동일 진폭과 위상차)

여기서 $\alpha$ = $kd\cos \theta +{\varphi }_0$, ${\varphi }_0$은 인접한 원소 안테나간의 위상차이다. 식 (3b)에 나온 함수 $\sin (Nx)/\sin (x)$는 푸리에 급수(Fourier series)의 증명에 사용되는 디리클레 핵심(Dirichlet kernel) $D_N(x)$이다.

[그림 5] 배열 안테나의 빔 조향(beam steering) 모습(출처: wikipedia.org)

식 (3b)에서 $\alpha$ = $0$일 때 배열 인자의 최대값은 원소 안테나의 개수인 $N$으로 계산된다. 디리클레 핵심 $D_N(x)$로 표현된 배열 인자의 최대값을 $N$에서 $1$로 바꾸기 위해 정규화 배열 인자(normalized array factor) $\text{NAF}(\theta )$를 사용한다.

                          (3c)

또한 배열 안테나의 배치는 그대로 두고 [그림 5]처럼 주빔이 향하는 방향을 ${\theta }_m$으로 돌릴 때는 각 원소 안테나의 위상 ${\varphi }_n$ = $(n-1){\varphi }_0$을 조정한다.

                          (4)

이와 같은 방식으로 배열 안테나의 주빔 패턴을 전자적으로 바꾸는 기술은 빔 조향(beam steering)이라 부른다. 빔 조향에는 원소 안테나의 위상을 자유롭게 제어할 수 있는 위상 배열 안테나가 필수적이다. ULA의 간략화된 배열 인자의 1번과 2번 영점, $z_1$과 $z_2$는 각각 $N\alpha /2$ = $\pi$와 $2\pi$에서 생긴다. 이 중에서 $z_1$을 만드는 ${\alpha }_z$는 영간 빔폭(null-to-null beamwidth, NNBW)을 정의할 때 쓰인다.

                          (5a)

ULA의 반전력 빔폭(half power beamwidth, HPBW)는 식 (5)와 같은 닫힌 형식으로 구성되지 않으므로, 근 찾기 알고리즘(root-finding algorithm)으로 $\text{NAF}({\theta }_h)$ = $1/\sqrt{2}$를 만족하는 ${\theta }_h$를 찾아야 한다. 다만 $N$이 매우 커질 때 $\sin (\alpha /2)$ $\approx$ $\alpha /2$이 성립하기 때문에 HPBW를 표본화 함수(sampling function)에 의지해 근사화할 수 있다.

                          (5b)

여기서 $x_h$ = $N{\alpha }_h/2$, $s_{\text{hp}}$ = 1.39155737825$\cdots$이다. ULA의 부엽 수준(sidelobe level, SLL)을 계산하려면, 1번과 2번 영점인 $z_1$ = $\pi$과 $z_2$ = $2\pi$ 사이에 있는 식 (3c)의 극단점(extreme point) $x_p$ = $N{\alpha }_p/2$를 구한다.

                          (6a)

원소 개수 $N$이 커질 때는 $x_p$는 표본화 함수의 1번 극단점 $p_1$에 접근한다.

                          (6b)

여기서 $p_1$ = 4.493409457909064$\cdots$이다. 하지만 $N$이 아주 크지 않은 경우는 일일이 수치 해석으로 답을 찾아야 한다.

[표 1] 원소 안테나 개수 $N$에 대한 균일 선형 배열의 성질 변화

$N$	반전력 위치, $x_h$[= $N{\alpha }_h/2$]: $\sin x_h/[N\sin (x_h/N)]$ = $1/\sqrt{2}$	부엽 위치, $x_p$[= $N{\alpha }_p/2$]: $\tan x_p$ = $N\tan (x_p/N)$	부엽 수준, SLL: $|\sin x_p/[N\sin (x_p/N)]|$
2	$\pi /2$ = 1.1288045691429555717$\cdots \times s_{\text{hp}}$	-	-
3	1.0516420225517935094$\cdots \times s_{\text{hp}}$	$3\pi /2$ = 1.0487334894642617034$\cdots \times p_1$	1/3 = -9.542 dB
4	1.0280981022812003545$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0239547517723217585$\cdots \times p_1$	0.27216552697590867815 = -11.303 dB
5	1.0177156953657788829$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0145283882053692803$\cdots \times p_1$	1/4 = -12.041 dB
6	1.0122043162085145873$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0098161099276612429$\cdots \times p_1$	0.2391790669678294512 = -12.426 dB
7	1.0089235185183977883$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0070973382650392214$\cdots \times p_1$	0.23301861563441411684 = -12.652 dB
8	1.0068109257030435355$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0053788486127583912$\cdots \times p_1$	0.22915672614951199115 = -12.797 dB
9	1.0053700840569530506$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0042207657300628032$\cdots \times p_1$	0.22656841814285513803 = -12.896 dB
10	1.0043431961176965128$\cdots \times s_{\text{hp}}$	1.0034021565484414484$\cdots \times p_1$	0.22474579784005710437 = -12.966 dB
$\mathrm{\infty }$	$s_{\text{hp}}$	$p_1$	0.21723362821122166322 = -13.261 dB

원소 개수 $N$은 10 이상만 되어도 $x_h$ $\approx$ $s_{\text{hp}}$ 및 $x_p$ $\approx$ $p_1$이 성립하기 때문에, $N$을 아무리 늘려도 SLL은 -13.261 dB를 넘어설 수 없다. 이 한계를 넘기 위해서는 여기 계수 $a_n$의 진폭과 위상을 원소마다 바꾸고 원소 간격도 주기성을 깨면서 불균일하게 바꾸어야 한다.

[그림 6] 빔 조향(beam steering)에 따라 발생하는 격자엽(grating lobe)(출처: wikipedia.org)

SLL이 제한되는 약점 외에 ULA는 격자엽(grating lobe)이라는 심각한 취약점이 생길 수 있다. 원래 안테나 개수 $N$을 늘리면 [표 1]처럼 부엽이 줄어들어야 하나, UCA는 SLL = -13.261 dB보다 부엽이 작아질 수 없다. 더구나 안테나 개수를 늘릴수록 부엽이 점점 커져서 주엽과 비슷한 크기를 가진 부엽이 생길 수 있다. 배열의 주기성으로 인해 주엽만큼 커진 부엽은 격자엽이라 칭한다. 격자엽을 이해하려면 ULA에서 이런 현상이 생기는 원인을 파악해야 한다. 이를 위해 식 (3c)를 관찰한다. 위상 $\alpha$ = $0$이외에 주빔과 같은 크기인 1이 나오는 격자엽 조건은 $\alpha$ = $2\pi l$[$l$ = $\pm 1,\pm 2,\cdots$]이다. 이 조건과 배열 간격 $d$를 연립한다.

                          (7)

주빔 방향을 ${\theta }_m$ = ${90}^{\circ }$로 두면, 1번 격자엽이 생기는 최소 간격은 $l$ = $1$을 대입해서 $d$ = $\lambda$이다. 파장보다 $d$가 커지면 $\theta$ = ${\cos }^{-1}(\lambda /d)$에서 격자엽이 출현한다. 이번에는 주빔 방향을 ${\theta }_m$ = $0^{\circ }$로 설정한다. 그러면 $\theta$ = ${180}^{\circ }$에서 -1번 격자엽이 생길 수 있다. 이 조건은 $d$ = $\lambda /2$이다. 따라서 [그림 6]과 같은 다양한 빔 조향을 하더라도 격자엽이 절대 발생하지 않는 배열 간격은 $d\le \lambda /2$이다. 하지만 $d$ = $\lambda /2$는 너무 작은 간격이라서 안테나 이득에서 약점이 생긴다. 이 모든 성질을 종합하여 공학적으로 선택하는 ULA의 배열 간격은 $0.75\lambda$이다. 이 간격은 특정 빔 조향에서 격자엽이 발생할 수 있는 조건이지만, 원소 안테나의 복사 패턴이 배열 인자로 인해 생기는 격자엽을 억제한다는 생각은 $d$ = $0.75\lambda$를 선호한다.

(a) 측면 발사(broadside) 혹은 일제 발사

(b) 종단 발사(endfire)

[그림 7] 측면 발사 및 종단 발사 배열 안테나의 명칭 유래(출처: wikipedia.org)

빔 조향을 통해 배열 안테나의 주빔 방향(main beam direction) ${\theta }_m$을 임의 방향으로 설정할 수 있다. 여러 주빔 방향 중에서 ${\theta }_m$ = ${90}^{\circ }$과 $0^{\circ }$에는 각각 측면 발사 배열(broadside array)과 종단 발사 배열(endfire array)이라는 특이한 이름이 붙어 있다. 측면과 종단 발사라는 명칭은 전함의 함포 발사에서 유래한다. [그림 7(a)]처럼 전함이 함포를 일제 사격(broadside)하는 방식처럼 함포에 비유하는 원소 안테나가 배열이 나열된 방향에 수직인 방향으로 전자파를 강하게 복사해서 측면 발사란 용어가 생겼다. 드문 경우지만 함정의 전방이나 후방으로 함포를 쏘는 경우는 [그림 7(b)]와 같이 종단 발사에 해당한다. 함포에 빗댄 원소 안테나가 이번에는 배열의 나열 방향에 평행하게 쏘므로, ${\theta }_m$ = $0^{\circ }$ 혹은 ${180}^{\circ }$는 종단 발사 배열이 된다.

(a) 기판에 형성한 마이크로스트립 패치 배열 안테나

(b) 측면 발사 배열의 복사 패턴

[그림 8] 측면 발사 배열의 예시인 마이크로스트립 패치 배열 안테나(출처: [2])

측면 발사 배열의 흔한 예는 마이크로스트립 패치 배열 안테나(microstrip patch array antenna)이다. [그림 8]과 같이 μ스트립 패치를 기판에 동일한 간격으로 배치하고 동위상으로 패치를 여기한 경우, 복사되는 전자파는 기판에 수직한 방향으로 전파한다. 이 모습은 측면 발사 형태를 가진다.

(a) 야기–우다 안테나의 구조

(b) 종단 복사 배열의 복사 패턴

[그림 9] 종단 발사 배열의 예시인 야기–우다 안테나(출처: [3])

다이폴 안테나(dipole antenna)의 배열인 야기–우다 안테나(Yagi–Uda antenna)는 종단 발사 배열의 유명한 예이다. 야기–우다 안테나는 다이폴 안테나 모양인 여러 개의 방향자(director)를 일직선에 배치해서 배열 안테나가 놓인 방향으로 종단 발사에 해당하는 강한 전자파 복사를 만든다.

[그림 10] 다양한 배열 안테나의 배치 구조(출처: [4])

(a) 균일 사각형 배열(URA) (b) 균일 원형 배열(UCA) (c) 불균일 배열(NUA) (d) 공형 배열(CA)

균일 선형 배열을 시작으로 배열 안테나는 [그림 10]처럼 다양하게 원소 안테나를 배치할 수 있다. 대표적인 예는 균일 사각형 배열(uniform rectangular array, URA), 균일 원형 배열(uniform circular array, UCA), 불균일 배열(nonuniform array, NUA), 공형 배열(共形配列, conformal array)이다.

a. 균일 사각형 배열(uniform rectangular array, URA)

URA는 ULA를 2차원 평면으로 확장한 모양을 가진다. 원소 안테나가 놓인 평면에서 가로와 세로 방향의 원소 간격은 $d_x$와 $d_y$로 각 좌표축에 대해 모두 동일하다.

• 원소 개수 $N$을 늘림으로써 쉽게 고이득 안테나(high-gain antenna, HGA)를 설계 가능
• 대역폭(bandwidth)을 증가시킬 때는 보통 URA를 쌓아올리는 적층을 사용
• 하지만 원소 간격 $d_x,d_y$를 너무 늘리면 격자엽이 생기기 때문에 보통 $d_x$ = $d_y$ = $0.75\lambda$로 선택
• 원소 개수 $N$을 아무리 증가시켜도 배열 인자의 SLL은 -13.261 dB보다 큼; URA의 SLL을 늘려면 원소 안테나의 SLL을 줄여야 함

b. 균일 원형 배열(uniform circular array, UCA)

원소 안테나를 가로와 세로로 배치하는 대신 [그림 10(b)]처럼 방위각 방향으로 균등하게 놓는다. 방위각 간격을 $\mathrm{\Delta }\varphi$ = $2\pi /N$으로 둔 경우, 원소 간격은 $d$ = $2\rho \sin (\mathrm{\Delta }\varphi /2)$ $\approx$ $\rho \mathrm{\Delta }\varphi$이다. 여기서 $\rho$는 UCA를 구성한 반지름이다.

• 원점 $\rho$ = $0$의 외부에서 들어오는 신호의 방향을 쉽게 탐지 가능
• URA처럼 적층할 필요없이 동일 평면에서도 $\rho$가 다른 UCA를 채택해서 대역폭을 늘릴 수 있음
• 방위각을 따라 전자파의 위상이 돌아가는 OAM 무선(orbital angular momentum radio)용 안테나[5]가 UCA로 쉽게 구현이 됨
• 중심이 비어 있어서 URA에 비해 UCA는 안테나 이득(antenna gain)이 다소 작음

c. 불균일 배열(nonuniform array, NUA)

각 원소 안테나의 복사 특성이 주기성를 가지지 않도록 원소 안테나의 위치를 무작위 혹은 계획된 방식으로 변화시키거나 벌여 놓는다.

• 원소 간격이 불균일하기 때문에 격자엽이 잘 생기지 않음
• 주기성에 의한 SLL의 한계인 -13.261 dB보다 더 작은 SLL을 설계할 수 있음
• 대부분의 경우 안테나 밀도가 URA보다 성기므로 NUA의 안테나 이득은 URA보다 작음
• 설계 변수와 경우의 수가 매우 많기 때문에 NUA 설계는 까다로움

d. 공형 배열(conformal array, CA)

URA, UCA, NUA는 원소 안테나가 모두 같은 평면에 있지만, CA는 안테나가 장착되는 곡면을 따라서 원소 안테나가 놓인다[6].

• 안테나가 외부로 돌출되지 않고 통신 시스템의 굴곡진 외형을 따라 만들어지므로, 구조 모드(structural-mode) RCS가 매우 축소; 하지만 여전히 안테나로 동작하기 때문에 안테나 모드(antenna-mode) RCS는 개선이 안됨
• 통신 시스템의 기구물에 부착할 수 있어서 낮은 외형(low profile) 안테나에 적합; 안테나의 외형은 주로 안테나가 차지하는 부피를 뜻함
• 원소 안테나가 같은 평면에 없어서 위상 보상을 제대로 하지 못하면, 안테나 이득은 URA보다 많이 낮아짐

위상 배열 안테나(phased array antenna, PAA)에서 빔 조향을 실현하는 방법은 수동 전자 주사식 배열(passive electronically scanned array, PESA, 페사)과 능동 전자 주사식 배열(active electronically scanned array, AESA, 에이사)로 나눈다. 흔히 위상 배열 안테나라고 하면 PESA를 뜻한다. PESA는 [그림 5]처럼 하나의 송신기와 하나의 수신기를 가진다. 이때 원소 안테나로 진행하는 파동의 위상을 조정하기 위해 경로 중간에 원소 안테나별로 위상 천이기(phase shifter)를 둔다. 송신기에 있는 하나의 RF(radio frequency) 원천(source)으로 모든 원소 안테나를 여기하기 때문에, PESA의 RF 원천은 10 kW 이상의 고출력이 가능한 TWT(traveling-wave tube)와 클라이스트론(klystron) 등을 사용한다. 표적 추적을 위한 고도화된 다중빔(multi-beam)을 처리할 때는 송신기 하나에 수신기가 여러 개인 PESA도 활용할 수 있다.

[그림 11] AWACS에 쓰이는 수동 전자 주사식 배열(passive electronically scanned array, PESA)의 특성(출처: [7])

PESA의 대표 사용처는 [그림 11]에 나오는 AWACS의 감시 및 추적 레이다(surveillance and tracking radar)이다. AWACS는 RF 원천으로 1 MW 이상의 출력을 내는 클라이스트론을 2대 사용한다. [그림 3]에 보인 슬롯 도파관 안테나의 위상을 바꾸는 위상 천이기는 고출력을 견디는 페라이트(ferrite) 기반이다. PESA의 수신기는 송신기당 하나를 쓰므로, 클라이스트론 하나에 수신기를 하나 배정해서 시분할(time-sharing)로 다중 표적을 추적한다.

[그림 12] 능동 전자 주사식 배열(active electronically scanned array, AESA)의 개념도(출처: wikipedia.org)

[그림 5]에 제시한 PESA와 다르게 [그림 12]에 소개한 AESA는 원소 안테나마다 송수신기를 각각 하나씩 가진다. 요즘에 와서 AESA가 가능해진 이유는 RF 회로 설계의 발달로 RF 원천을 반도체 전력 증폭기인 SSPA(solid-state power amplifier)로 만들 수 있기 때문이다. 개별 원소 안테나에 송신기를 하나씩 장착해서 SSPA는 [그림 5]의 RF 원천과 같은 아주 큰 출력을 낼 필요는 없다. 보통 AESA에 사용하는 SSPA는 수십~수백 W 정도의 RF 전력만 생산한다. 각 송신기가 내는 출력은 작더라도 배열 안테나이기 때문에, 주빔에 집속된 전자파 전력은 굉장히 커질 수 있다. 또한 각 원소 안테나마다 독립적으로 기능하는 송수신기로 인해 AESA는 디지털 빔형성(digital beamforming)까지 완벽히 지원한다. 디지털 빔형성은 기저 대역(baseband)에서 디지털적으로 신호 처리하여 필요한 다중빔을 자유롭게 제어한다.

[그림 13] 항공기용 능동 전자 주사식 배열 안테나의 분해도(출처: [8])

아직까지 AESA는 매우 고가의 장치이기 때문에 주로 항공기용 레이다에 사용되고 있다[8]. [그림 13]에 보인 AESA의 각종 부품은 외형(profile), 성능(performance), 기능(function), 방열(heat) 관점에서 종합적으로 규격을 조정한다.

[참고문헌]

[1] 정용진, 김은지, 한승수, 민종식, 오승원, 이한림, "차세대 통신을 위한 배열 안테나 기술동향", 한국전자파학회지 전자파기술, 제35권, 제4호, pp. 62–71, 2024년 7월.

[2] M. Borgarino, A. Polemi, and A. Mazzanti, "Low-cost integrated microwave radiometer front-end for industrial applications," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 57, no. 12, pp. 3011–3018, Dec. 2009.

[3] Application Gallery, "Wi-Fi booster Yagi–Uda antenna," COMSOL, Application ID: 99891. (방문일 2025-03-14)

[4] 조용희, "초연결 미래전에 대비한 위상 배열 안테나 기술", 한국정보기술학회지, 제17권, 제1호, pp. 11–20, 2019년 6월.

[5] 변우진, 홍주연, 이왕주, 김중빈, 김봉수, 강민수, 김광선, 송명선, 이호진, 조용희, "전파 궤도 각운동량 모드 기술 동향", 전자통신동향분석, 제32권, 제3호, pp. 46–55, 2017년 6월.

[6] 박동철, 권오혁, 류홍균, 이규송, "컨포멀 위상 배열 안테나의 패턴 합성에 대한 고찰", 한국전자파학회논문지, 제26권, 제12호, pp. 1031–1043, 2015년 12월.

[7] AWACS Surveillance Radar - The Eyes of the Eagle, Northrop Grumman Electronic Systems. (방문일 2025-03-14)

[8] 황인수, 이유리, 김종필, 장성훈, 김선주, "항공기탑재 레이다용 X-대역 Low-Profile 능동위상배열 안테나 설계 및 제작", 한국전자파학회논문지, 제32권, 제2호, pp. 127–143, 2021년 2월.

준정전장과 준정자장(Electro-quasistatics and Magneto-quasistatics)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "준정전장과 준정자장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 정전장과 정자장

2. 맥스웰 방정식

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[그림 1] 인덕터(inductor)와 커패시터(capacitor)로 구성한 회로 부품(출처: wikipedia.org)

맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 쓰면 고전적인 전기와 자기 문제를 모조리 정확하게 계산할 수 있다. 하지만 맥스웰 방정식의 해법은 복잡하기 때문에 적절한 근사를 해서 문제를 더 쉽게 해결하고 물리적 의미를 좀더 직관적으로 파악한다. 이 맥스웰 방정식을 근사하거나 처리하는 방식은 다음처럼 분류한다.

• 정전장(靜電場, electrostatics): 시간 변화를 무시하고 오로지 전기장(electric field)만 고려[$\partial \overline{E}/\partial t$ = $0$]
• 정자장(靜磁場, magnetostatics): 정전장처럼 시간 변화 없이 자기장(magnetic field)만 감안; 다만 옴의 법칙(Ohm's law)을 써서 정전장과 정자장을 연결 가능[$\partial \overline{H}/\partial t$ = $0$]
• 준정전장(準靜電場, electro-quasistatics): 전기장의 시간 변화를 헤아려서 자기장을 만들지만, 자기장은 전기장을 출현시키지 않음; 커패시터(capacitor)를 근사하는 방식[$\partial \overline{E}/\partial t\ne 0$, $\partial \overline{H}/\partial t\approx 0$]
• 준정자장(準靜磁場, magneto-quasistatics): 준정전장과 반대로 자기장의 시간 변화를 계산하여 전기장을 발생시키지만, 이 전기장이 자기장을 파생하지 않음; 인덕터(inductor)를 위한 근사 방법[$\partial \overline{H}/\partial t\ne 0$, $\partial \overline{E}/\partial t\approx 0$]
• 전자기파(電磁氣波, electromagnetic wave): 시간적으로 바뀌는 전기장과 자기장이 서로를 꼬리에 꼬리를 물고 생성[$\partial \overline{E}/\partial t\ne 0$, $\partial \overline{H}/\partial t\ne 0$]

직류 회로 이론(direct-current circuit theory)은 옴의 법칙이 포함된 정전장 및 정자장으로 분석한다. 반면에 교류 회로 이론(alternating-current circuit theory)은 커패시터와 인덕터가 있기 때문에 준정전장과 준정자장이 필요하다. 전자파가 온전히 필요한 안테나(antenna)와 도파관(waveguide)에서는 맥스웰 방정식만 사용 가능하다.

   1. 준정전장(electro-quasistatics)   

준정전장은 자기장의 시간 변화를 억제한 맥스웰 방정식을 가정한다.

                          (1.1: 준정전장)

식 (1.1)에 표현한 근사화된 맥스웰 방정식을 [그림 1.1]에 보인 커패시터 구조에 적용해서 준정전장이 성립하는 조건을 탐구한다.

[그림 1.1] 커패시터 구조에 적용한 준정전장 근사(그림 출처: [1])

[그림 1.2] 준정전장의 성립 조건을 구하기 위한 커패시터의 단면(그림 출처: [1])

준정전장으로 어림한 $\rho \approx 0$ 근방의 전기장을 $E_{z,q}$로 두고 식 (1.1)의 넷째식을 계산한다.

                          (1.2a)

그 다음에 [그림 1.2]의 구조에 패러데이의 법칙(Faraday's law)을 적용해서, 생성되는 전기장이 거의 없어지는 조건을 찾는다.

                          (1.2b)

여기서 $E_z$는 중심에서 멀어진 $\rho \approx a$ 근처의 전기장이다. 따라서 자기장의 시간 변화가 얼추 0이 되는 준정전장의 조건은 파장 $\lambda$에 관계된다.

                          (1.3)

여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu ϵ}$ = $2\pi /\lambda$이다.

   2. 준정자장(magneto-quasistatics)   

준정자장은 식 (1.1)과 비슷하지만 전기장의 시간 변화가 사라진 맥스웰 방정식을 선택한다.

                          (2.1: 준정자장)

식 (2.1)이 좋은 근사가 되는 [그림 2.1]에 소개한 인덕터의 예를 들어서 준정자장이 성립하는 조건도 유도한다.

[그림 2.1] 인덕터 구조에 도입한 준정자장 근사(그림 출처: [1])

[그림 2.2] 준정자장 조건을 유도하기 위한 인덕터의 단면(그림 출처: [1])

식 (1.2)처럼 준정자장에 대해서 전기장의 시간 변화를 고려하지 않아도 되는 조건을 암페어의 법칙(Ampere's law)으로 탐색한다.

                          (2.2a)

                          (2.2b)

여기서 $H_{z,q}$와 $H_z$는 각각 $y\approx 0$과 $y\approx b$ 근방의 자기장이다. 식 (2.2b)에서 $H_z\approx H_{z,q}$를 만들면, 전기장의 시간 변화가 0에 수렴하는 준정자장의 조건이 나온다.

                          (2.3)

식 (1.3)처럼 준정자장의 조건도 인덕터의 크기가 파장보다 확실히 작으면 된다.

[참고문헌]

[1] MIT, "Limits to statics and quasistatics," Electromagnetic Energy: From Motors to Lasers, MIT OpenCourseWare, USA, 2011.

정전장과 정자장(Electrostatics and Magnetostatics)

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1. 맥스웰 방정식

2. 전기장

3. 자기장

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(a) 커패시터에 생기는 전기장

(b) 인덕터에 생기는 자기장

[그림 1] 정전장과 정자장의 예시(출처: wikipedia.org)

전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 시간 변화가 없는 경우는 정전장(靜電場, electrostatics or static electric field)[7]과 정자장(靜磁場, magnetostatics or static magnetic field)으로 이름 붙인다. 정전장과 정자장은 모두 정역학(靜力學, statics)에 속하며, 이 두 장을 합쳐서 정적장(靜的場, static field)으로 부른다. 이때 시간 미분은 $\partial /\partial t$ = $0$이 되기 때문에, 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에서 전기장 $\overline{E}$와 자기장 $\overline{H}$는 완전히 분리되고 전자기파(electromagnetic wave)는 발생하지 않는다.

                          (1: 정전장)

                          (2: 정자장)

여기서 $\overline{D}$ = $ϵ\overline{E}$, $\overline{B}$ = $\mu \overline{H}$, $\overline{\mathrm{\nabla }}\cdot \overline{J}$ = $0$이다. 따라서 전기장은 정전장으로, 자기장은 정자장으로 간략화하며 이 둘을 따로 해석할 수 있다. 회로 이론(circuit theory) 관점에서 정전장과 정자장은 직류(直流, direct current, DC) 조건이며, 직류 회로 이론(DC circuit theory)의 근원이 된다.

도선을 구성하는 물질의 전기 전도도(electrical conductivity) $\sigma$가 유한한 경우는 정전장과 정자장이 옴의 법칙(Ohm's law)으로 서로 연결된다.

                          (3: 정전장과 정자장)

여기서 $\overline{J}$ = $\sigma \overline{E}$이다. 다만 $\sigma$를 사용할 때는 맥스웰 방정식에 어긋나지 않도록 $\overline{J}$와 $\overline{E}$의 조건을 면밀히 따져야 한다. 만약 $\sigma$가 무한대로 가면, 전류 밀도 $\overline{J}$가 발산하지 않도록 전기장은 $\overline{E}$ = $0$이 되어야 한다. 식 (1)로 인해 전하 밀도도 $\rho$ = $\overline{\mathrm{\nabla }}\cdot (ϵ\overline{E})$ = $0$이다. 전기 전도도를 유한하게 제한한 경우는 매질 내부에 전기장이 존재할 수 있다. 하지만 전류 밀도의 발산은 0이기 때문에 $\overline{\mathrm{\nabla }}\cdot \overline{J}$ = $\sigma /ϵ(\overline{\mathrm{\nabla }}\cdot \overline{D})$ = $\sigma /ϵ\cdot \rho$ = $0$이다. 즉, 매질에 전기 전도도가 조금이라도 있으면, 매질 내부에 남아있는 전하 밀도 $\rho$는 항상 0이다. 이는 시간에 대해 불변인 정전장 조건에 기인한다. 전하가 움직이는 상태는 정전장이 아니며, 전하가 다 움직여서 정지한 때가 바로 정전장의 조건이다. 하지만 전하가 이미 다 움직였다면 매질 내부에는 전하가 남아있지 않아서, 앞선 결과처럼 매질 내부에는 어떠한 전하도 없다.

정전장과 정자장은 시간 변화가 없고 서로 독립이라는 개념은 전자파에서 주파수를 0으로 만드는 조건과 분명하게 구별된다. 왜냐하면 전자파는 전기장과 자기장의 비율인 파동 임피던스(wave impedance) $\eta$가 요구하는 관계가 있기 때문에, 주파수를 낮추더라도 전기장과 자기장은 $\eta$ 비율을 항상 충족한다. 하지만 정전장과 정자장은 독립된 특성이므로, 정전장과 정자장은 어떤 관련도 가질 필요가 없다.

   1. 정전장(electrostatics or static electric field)   

정전장은 벡터장(vector field)이라 다루기 어려워서 전압(voltage), 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential), 혹은 정전 포텐셜(voltage or electrostatic potential) $\varphi$를 도입해서 스칼라(scalar)로 처리한다.

                          (1.1: 푸아송 방정식)

여기서 ${\rho }_e$는 전하 밀도(electric charge density)이다. 이 푸아송 방정식을 풀면 어떤 전하 분포 $\rho$와 유전체 구성 $ϵ$을 가지든지 정전 포텐셜의 배치를 알 수 있다. 이 정전 포텐셜의 구배(gradient)를 취해서 전기장도 $\overline{E}$ = $-\overline{\mathrm{\nabla }}\varphi$처럼 유도한다. 만약 2차원 문제인 경우는 맥스웰 방정식을 직접 풀지 않고 등각 사상(conformal mapping)으로 좌표 변환(coordinate transformation)을 해서 해석적으로 해결한다.

[그림 1.1] 개구면(aperture)을 통한 전기장의 침투(그림 출처: [2])

복잡한 전기장의 변화를 단순한 정전장으로 어림잡는 정전 근사(electrostatic approximation)는 전자기 간섭(electromagnetic interference, EMI)의 분석에 많이 사용된다. [그림 1.1]처럼 복사원에서 방출한 전기장이 금속 막(metallic screen)에 뚫린 개구면(aperture)으로 침투(penetration)하는 환경을 가정한다. 개구면이 뚫린 면의 법선 벡터는 $\hat{z}$이다. 이 현상을 공식화하기 위해 $z$방향으로 전기장만 있는 TM${}^z$ 모드(transverse magnetic mode for the $z$-axis)[$E_z\ne 0$, $H_z$ = $0$]를 가정하고 MNL 벡터 파동 함수(vector wave functions)를 도입한다.

                  (1.1)

여기서 ${\overline{e}}_n^E(\overline{r})$ = ${\overline{N}}^E$ = $1/k_0\cdot \overline{\mathrm{\nabla }}\times {\overline{M}}^E$, ${\overline{h}}_n^E(\overline{r})$ = ${\overline{M}}^E$ = $1/k_0\cdot \overline{\mathrm{\nabla }}\times {\overline{N}}^E$; ${\overline{e}}_n^E(\overline{r})$과 ${\overline{h}}_n^E(\overline{r})$는 개구면에 존재하는 $n$번 모드 함수(mode function), 위첨자 $E$는 전기장 경계 조건과 $z$방향으로 TM 모드를 의미, $E_n,H_n$은 각각 전자기장의 $n$번 모드 계수(modal coefficient), $k_0$은 자유 공간(free space)의 파수(wavenumber)이다. 물리학자 베테Hans Bethe(1906–2005)가 제안한 작은 구멍에 의한 회절 이론(theory of diffraction by small holes)[1]을 시작점으로 금속 막을 넘어 침투하는 전기장의 결합 계수 $C_n^E(z)$를 정의한다[3]. 금속 막에서 표면에 존재하는 접선 전기장은 0이 되어야 하므로, 아래 결합 계수 정의는 개구면에서만 정의되어서 유용하다.

                  (1.2)

여기서 $s$는 개구면의 면적, $d\overline{a}$ = $da\hat{n}$, $\hat{n}$ = $\hat{z}$; 결합 계수를 만들 때 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 써서 $z$방향 전력을 만들 수 있는 전기장만 고려하며, 개구면의 둘레에서 접선 전기장은 0이다. 개구면이 파장에 비해 작다고 생각해서 자기장의 모드 함수 ${\overline{h}}_n^E(\overline{r})$을 다변수 테일러 급수(multivariate Taylor series)로 근사한다.

                  (1.3)

여기서 $z$ = $0$에 개구면 끝단이 위치하고 이 개구면의 기준점은 $\overline{r}$ = $\overline{0}$이다. 식 (1.3)을 식 (1.2)에 대입함으로써 $z$ = $0$에서 $C_n^E(z)$의 근사식을 얻는다.

                  (1.4a)

                  (1.4b)

                  (1.4c)

식 (1.4)에 정전 근사인 $\overline{E}$ $\approx$ $-\overline{\mathrm{\nabla }}\varphi$를 적용해 정리한다.[정확하게는 $-\partial \overline{A}/\partial t$가 추가로 필요하다.]

                  (1.5a)

                  (1.5b)

                  (1.5c)

                  (1.5d)

여기서 ${\partial }_x{h}_{n,y}^E(\overline{0})-{\partial }_y{h}_{n,x}^E(\overline{0})$ = $k_0{e}_{n,z}^E(\overline{0})$; $c$는 개구면 면적 $s$의 둘레를 따라 돈다. 최종적으로 TM${}^z$ 모드의 결합 계수 $C_n^E(0)$는 $E_z$ 전기장에 영향을 받고 [그림 1.1]처럼 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)에 의한 전기장과 비슷한 모양을 만든다. 따라서 투과 전기장 ${\overline{E}}_t$를 분극도(polarization) $\overline{P}$로 어림잡아서 전기 감수율(electric susceptibility) ${\chi }_e(z)$와 함께 표현한다.

                  (1.6a)

식 (1.5d)와 (1.6a)를 활용해서 평균 전기 감수율(mean electric susceptibility) $⟨{\chi }_e(z)⟩$를 최대한 간단하게 공식화한다[4].

                          (1.6b)

여기서 $C_n^E(z)$ $\propto$ ${\int }_s\varphi dxdy$ $\propto$ $E_{t,z}(\overline{r})$; $A$는 개구면의 면적, 단위를 맞추기 위해 입사 전기장 ${\overline{E}}_i$ 대신 입사 정전 포텐셜 ${\varphi }_i$를 사용한다.

평균 전기 감수율의 유도가 약간 엉성하다고 생각할 수 있다. 하지만 개구면의 모양과 금속 막의 두께 영향을 상대적으로 비교하기 위한 기법이라서 난처함은 없다. 우리가 이론을 일관되게 적용하고 있으며 DC에서 실험하기가 좋기 때문에 식 (1.6b)는 나무랄 곳이 없는 결과물이다. 또한 전자파의 투과를 다룰 때 DC인 정전 근사를 쓰는 방식은 문제가 있다고 생각할지도 모른다. 그러나 전송선 이론(transmission line theory)에서 정적 근사(static approximation)를 써서 단위 길이당 유도 용량(inductance, L)과 전기 용량(capacitance, C)을 구하는 방식을 기억해야 한다. DC에서 구한 $L,C$이지만 전압파와 전류파를 다루는 전송선에 충분히 쓸 수 있다. 마찬가지로 정전 근사로 유도한 식 (1.6b)는 분명한 근사이지만, 혼란스러운 전자파 침투를 분석하는 훌륭한 기준이 된다.

[그림 1.2] 무한히 긴 도선을 흐르는 전류(출처: wikipedia.org)

[그림 1.2]의 구조처럼 무한히 긴 도선을 흐르는 전류 $I$는 옴의 법칙에 따라 도선 내부에 $E_0$ = $J/\sigma$ = $I/(\sigma A)$인 전기장을 만든다. 하지만 무한히 긴 도선이라서 도선 내부에 전하가 쌓일 공간은 없어서 전하 밀도는 항상 0다. [그림 1.2]의 정전장 해는 다음과 같다.

                  (1.7)

여기서 $a$와 $A$는 각각 도선의 반지름과 단면적, 전류는 $z$방향으로 흐른다. 식 (1.7)에 가우스 정리(Gauss' theorem)를 쓰면 ${\oint }_s\overline{E}\cdot d\overline{a}$ = $0$이 되기 때문에, 도선의 모든 영역에서 전하는 없다.

[그림 1.3] 직류 회로에 발생하는 전기장 분포(출처: wikipedia.org)

하지만 [그림 1.3]처럼 도선이 유한해서 휘어지면 [그림 1.2]에서는 없던 표면 전하 밀도(surface charge density) ${\rho }_s$가 출현한다. 왜냐하면 도선은 전기 전도도가 무한대라서 전기장은 없고 저항 내부에는 식 (1.7)과 같은 전기장 $E_0$이 있는 전기장의 불균일성이 생기기 때문이다. 이 경우 발생하는 표면 전하 밀도는 ${\rho }_s$ = $Q/A$ = $E_0-0$이다. 간단한 막대형 저항인 경우는 ${\rho }_s$가 $V$ = $IR$로 쉽게 연결된다.

                  (1.8)

여기서 $l$은 저항의 길이이다. 또한 전류가 저항 내부를 균일하게 흘러서 전류 밀도가 일정하고 전기장의 변동도 없으면, 저항 내부에는 전하가 만들어지지 않는다. 대신 도선과 저항이 만나는 지점에만 표면 전하 밀도가 나타난다. 다른 관점으로 저항이 복잡한 모양과 다른 전기 전도도를 가지면 직류 회로의 전하 분포는 [그림 1.3]보다 더욱 복잡하게 발생한다[6]. 식 (3)의 맥스웰 방정식을 풀어서 전하 분포를 계산할 수도 있지만, 저항의 직렬과 병렬 근사를 활용할 여지도 존재한다. 

   2. 정자장(magnetostatics or static magnetic field)   

[그림 2.1] 두 개의 자석이 만드는 자기 쌍극자의 자기장(출처: wikipedia.org)

정전 포텐셜 $\varphi$에 대응하는 개념으로 자기장 $\overline{H}$를 위한 자기 스칼라 포텐셜(magnetic scalar potential) 혹은 정자 포텐셜(magnetostatic potential) $\psi$가 존재한다. 선 적분 $c$의 내부에 전류가 없다면, 자기장은 정자 포텐셜의 구배(gradient)로 정의될 수 있다.

                          (2.1)

여기서 ${\oint }_c\overline{H}\cdot d\overline{l}$ = $0$이다. 식 (1.1)처럼 자기장의 푸아송 방정식도 만든다.

                          (2.2)

여기서 $\overline{\mathrm{\nabla }}\cdot \overline{B}$ = $0$; ${\rho }_m$은 자하 밀도(magnetic charge density), 전하처럼 자하(magnetic charge)에 의해 자기장이 생긴다고 생각해서 $\overline{\mathrm{\nabla }}\cdot ({\mu }_0\overline{H})$ = ${\rho }_m$으로 설정한다.

[그림 2.2] 동축선의 단면 구조(그림 출처: wikipedia.org)

자기장의 선 적분 내부에 전류가 없는 경우는 정전 포텐셜과 정자 포텐셜의 특성은 같다. 그러나 내부에 전류가 생기면 정자 포텐셜은 보존적이지 않아서 선 적분의 회전 회수에 따라 값이 달라진다[5]. 예를 들어, [그림 2.2]와 같은 동축선의 자기장을 관찰한다. 암페어 주회 적분 법칙(Ampere's circuital law)으로 자기장 $\overline{H}$를 구한 후, $\varphi$에 대해 적분해서 $\psi$를 결정한다.

                          (2.3)

여기서 $I$는 내부 도체를 흐르는 전류이다. 방위각 $\varphi$에 따라 정자 포텐셜 $\psi$는 계속 커질 수 있지만, 같은 각도인 $\varphi$와 $\varphi +2\pi$에서 $\psi$가 달라지는 결함이 있다. 이는 선 적분 ${\oint }_c\overline{H}\cdot d\overline{l}$ 안에 전류 $I$가 존재하기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 적당한 방위각 위치에 가지 자름(branch cut)을 정의한다. 예시로서 $\varphi$ = $0$을 가지 자름으로 선언하고 $\varphi$의 범위를 $0\le \varphi <2\pi$로 제한한다. 그러면 식 (2.3)은 $\varphi$의 정의역에서 일가성(single-valuedness)을 만족한다. 대신 가지 자름을 지날 때는 $2\pi$를 더하거나 빼야 한다. 즉, 가지 자름인 $\varphi$ = $0$에서는 가지 상수(branch constant) $B_0$ = $2\pi$만큼 불연속이 필연적으로 생긴다.

[그림 2.2] 금속 막에 만들어진 2개의 개구면(그림 출처: [5])

정자 포텐셜의 일가성을 형성하는 가지 자름은 3차원 구조에도 필요하다[5]. [그림 2.2]에 나온 2개의 개구면을 통과하는 빨간색 폐경로 $c$ 내부에는 금속이 있어서, 이 경로 안에 전류가 있을 수 있다. 이때는 식 (2.3)처럼 다가성이 생기기 때문에, 문제를 풀 때 중첩 원리(superposition principle)로 도출하는 두 영역에 가지 상수 $B_0,B_1$을 각각 도입한다. 가지 상수 $B_0,B_1$은 두 영역의 어떤 경계면에서 $B_1-B_0$인 불연속성을 만들지만, $\psi$는 일가성을 가지도록 도운다.

[그림 2.3] 개구면(aperture)을 통한 자기장의 침투(그림 출처: [2])

접선 전기장이 개구면을 제외한 금속 막에서 0이 되는 경계 조건을 활용하기 위해, $z$방향으로 전기장이 없는 TE${}^z$ 모드[$H_z\ne 0$, $E_z$ = $0$]에 대해 식 (1.2)와 유사한 결합 계수 $C_n^H(z)$를 정의한다.

                          (2.4)

여기서 ${\overline{e}}_n^H(\overline{r})$ = ${\overline{M}}^H$ = $1/k_0\cdot \overline{\mathrm{\nabla }}\times {\overline{N}}^H$, ${\overline{h}}_n^H(\overline{r})$ = ${\overline{N}}^H$ = $1/k_0\cdot \overline{\mathrm{\nabla }}\times {\overline{M}}^H$이다. 식 (1.4)와 (1.5)를 TE${}^z$ 모드에 적용하면, 개구면의 끝인 $z$ = $0$에서 식 (2.4)가 간략화된다[3].

                          (2.5a)

                          (2.5b)

여기서 $z$방향 전기장이 없어서 $P_n^H$ = $0$, $H_z$는 TE${}^z$ 모드의 $z$방향 자기장이다. 식 (2.5b)는 물리적 설명이 추가로 필요하다. 자기장 $H_z$가 개구면으로 입사한 경우, 투과된 자기장은 [그림 2.3]처럼 생기며 그 벡터 방향은 $x,y$축이 된다. 그래서 투과 자기장 ${\overline{H}}_t$는 금속 막에 평행한 $x,y$방향을 모두 고려해야 한다. 이 특성은 자화도(magnetization) $\overline{M}$을 잣대로 벡터량인 자기 감수율(magnetic susceptibility) ${\overline{\chi }}_m(z)$로 근사된다.

                          (2.6a)

식 (2.5b)에 나온 $H_z$에 정자장을 쓰는 정자 근사(magnetostatic approximation)를 써서 $H_z$ = $-\partial \psi /\partial z$로 둔다.[포텐셜 이론을 쓰면 $\overline{H}$ = $-\partial \overline{F}/\partial t-\overline{\mathrm{\nabla }}\psi$이다.] 그러면 식 (1.6b)처럼 $x,y$방향에 대한 평균 자기 감수율 $⟨{\chi }_{mx}(z)⟩$과 $⟨{\chi }_{my}(z)⟩$가 각각 정의된다.

                          (2.6b)

여기서 ${\psi }_i$는 입사 정자 포텐셜이다. 정자 포텐셜과 자기장의 관계성을 명확히 하기 위해 식 (2.6b)에 부호 ($-$)를 붙이기도 한다.

[참고문헌]

[1] H. A. Bethe, "Theory of diffraction by small holes," Phys. Rev., vol. 66, no. 7–8, pp. 163–182, Oct. 1944.

[2] F. de Meulenaere and J. van Bladel, "Polarizability of some small apertures," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 25, no. 2, pp. 198–205, Mar. 1977.

[3] R. L. Gluckstern, R. Li, and R. K. Cooper, "Electric polarizability and magnetic susceptibility of small holes in a thin screen," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 38, no. 2, pp. 186–192, Feb. 1990.

[4] J. H. Lee and H. J. Eom, "Electrostatic potential through a circular aperture in a thick conducting plane," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 44, no. 2, pp. 341–343, Feb. 1996.

[5] H. J. Eom, J. W. Zeong, J. S. Seo, and J. G. Lee, "Magnetostatic potential penetration into two circular apertures in a thick conducting plane," IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 43, no. 3, pp. 399–402, Aug. 2001.

[6] 유태훈, "전기 회로에서 저항성 도체의 표면전하 분포와 정상전류 및 에너지 흐름", 전자공학회논문지, 제59권, 제9호, pp. 111–120, 2022년 9월.

[7] F. Olyslager and I. V. Lindell, "Closed form solutions of Maxwell's equations in the computer age," URSI Radio Sci. Bull., vol. 2003, no. 305, pp. 30–37, Jun. 2003.

[다음 읽을거리]

1. 라플라스 방정식용 등각 사상

2. 준정전장과 준정자장