자율 미분 방정식(Autonomous Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자율 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분 방정식의 의미

2. 선형 상미분 방정식

[그림 1] 자율계의 예인 시불변 시스템: $y_2(t)$ = $y_1(t-t_0)$(출처: wikipedia.org)

자율 미분 방정식(autonomous differential equation) 혹은 자율계(autonomous system)는 미분 방정식을 규정하는 항에 독립 변수 $x$는 없고 오직 종속 변수 $y$의 함수 $f(y)$만 있는 식이다. 예를 들면, 아래와 같은 1계 상미분 방정식은 우변에 $x$의 영향이 없기 때문에 1계 자율 미분 방정식(the first-order autonomous differential equation)으로 분류된다.

                          (1)

미분 $dy/dx$를 미분소 $dx, dy$의 나눗셈으로 생각해서 식 (1)의 해를 구한다.

                          (2)

식 (2)의 우측식과 같은 음함수(implicit function)는 라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)를 써서 양함수(explicit function) 형태 혹은 역함수(inverse function)인 $y$ = $g(x)$로 만들 수 있다. 독립 변수 $x$가 시간 $t$인 경우는 시간 이동에 대해 시스템 특성이 변하지 않는 [그림 1]과 같은 시불변 시스템(time-invariant system)이 된다. 왜냐하면 항상 $dt$ = $d(t-t_0)$이기 때문이다.

2계 자율 미분 방정식(the second-order autonomous differential equation)은 $u(y)$ = $dy/dx$ = $y'$인 변수 치환을 통해 해결한다.

                          (3)

식 (3)에 $u$ = $dy/dx$를 대입해서 $u$의 미분에 대해 정리한다.

                          (4a)

식 (4a)의 최종 결과는 1계 상미분 방정식의 표준형이라서 그 해를 $u$ = $g(y)$로 둘 수 있다. 이를 다시 $u(y)$ = $dy/dx$로 치환해서 1계 자율 미분 방정식으로 만들면, 식 (2)에 의해 최종해가 결정된다.

                          (4b)

여기서 $du/dy$를 풀 때 필요한 적분 상수는 $g(y)$에 포함되어 있다.

[다음 읽을거리]

1. 라그랑주 반전 정리

포스터의 리액턴스 정리(Foster's Reactance Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포스터의 리액턴스 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 페이저를 이용한 임피던스 정의

2. 포인팅의 정리

[확인] 본 페이지는 exp(jωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

[그림 1] 주파수에 대해 리액턴스가 증가하는 모습(출처: wikipedia.org)

교류 회로(alternating current or AC circuit)에 나오는 임피던스(impedance)의 주파수 응답(frequency response)을 꼼꼼하게 관찰하면 쉽게 이해할 수 있는 단순한 정리로 포스터의 리액턴스 정리(Foster's reactance theorem)가 있다. 매우 간단한 정리이지만, 이 정리의 내면에는 필터(filter) 설계를 위한 거대한 방법론이 자리한다.

[포스터의 리액턴스 정리] [1]

무손실 임미턴스(immitance)의 허수부는 주파수에 대해 항상 단조 증가한다.

                          (1)

여기서 $X, B$는 각각 리액턴스(reactance)와 서셉턴스(susceptance)이다.

[증명: 회로 이론]

임미턴스는 임피던스와 어드미턴스(admittance)를 모두 포함하는 용어이므로, 먼저 임피던스 $Z$의 허수부인 리액턴스(reactance) $X$의 주파수 특성을 관찰한다. 회로 내부에 인덕터나 커패시터가 하나만 있으면, $X$ = $j \omega L$ 혹은 $-j \mathbin{/} (\omega C)$로 표현되어서 $dX/d\omega$는 단조 증가한다. 이 리액턴스가 직렬(series)로 연결된 경우는 $jX_s$ = $jX_1 + jX_2$가 되며 두 단조 증가 함수를 합친 함수도 단조 증가한다. 그래서 직렬 회로는 항상 주파수에 대해 리액턴스가 계속 커진다. 병렬(parallel) 회로 $X_p$는 약간 복잡해서 $\omega$에 대한 미분으로 증명한다.

                  (1)

여기서 $dX_1 / d\omega > 0$, $dX_2 / d\omega > 0$이다. 또한 손실 없는 모든 종류의 전기 회로망(electrical network)은 $L$과 $C$의 직렬이나 병렬 결합이다. 따라서 직렬이든 병렬이든 리액턴스만으로 구성한 회로망의 전체 리액턴스는 주파수에 따라 항상 증가한다.

임피턴스 결과를 이용해서 어드미턴스에 대한 증명도 완성한다. 어드미턴스 $Y$의 허수부인 서셉턴스(susceptance) $B$는 $Y$ = $jB$ = $1 \mathbin{/} ( jX)$ = $-j/X$이다. 리액턴스 $X$는 항상 커지므로, $X$의 역수를 취하고 부호를 바꾼 $B$도 주파수에 대해 단조 증가한다.

[증명: 맥스웰 방정식] [2]

각주파수 $\omega$로 미분한 맥스웰 방정식은 아래와 같다.

                  (2)

여기서 $\bar E, \bar H$의 시간 약속은 $e^{j \omega t}$이다. 포인팅의 정리(Poynting's theorem)와 비슷한 방식으로 식 (2)에 $\bar E, \bar H$를 곱해서 발산(divergence)을 적용한다.

                  (3a)

식 (3a)를 체적 $v$에 대해 적분해서 새로운 전자기장의 에너지 관계를 만든다. 

                  (3b)

여기서 $d \bar a$는 $v$를 뚫고 외부로 나가는 방향으로 계산한다. 로렌츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)을 유전체와 자성체에 적용하면, 식 (3b)의 우변은 각각 전기장과 자기장의 에너지 $W_e, W_m$을 4배한 값이 된다.[∵ $1/2$는 에너지 정의, $1/2$는 평균 전력에서 나온다.] 전기장과 자기장을 전압파와 전류파(voltage and current waves)로 연결하기 위해, 접선 전기장(tangential electric field) $\bar E_t$를 전압파 $V_0 e^{-j \beta z}$로 공식화한다.

                  (4a)

여기서 전력 전달은 $z$방향, $\beta$는 위상 상수(phase constant), $\bar e(x, y)$는 편파(polarization)를 나타내는 실수 벡터이다. 식 (4a)를 맥스웰 방정식에 대입함으로써 접선 자기장(tangential magnetic field) $\bar H_t$도 얻는다.

                  (4b)

여기서 $Z_0$ = $V_0 / I_0$, $\bar e$ = $\bar h \times \hat z$이다. 반사가 없는 전송선 내부에서 평균 전력(average power) $P_\text{av}$는 일정하므로, 편파 벡터 $\bar e(x, y)$의 조건이 정해진다.

                  (4c)

여기서 $\bar e, \bar h$의 단위는 모드 1/m이다. 식 (4)를 식 (3b)의 좌변에 넣어서 전압파와 전류파의 주파수 변화 특성을 생성한다.

                  (5a)

여기서 식 (4b) 조건으로 인해 $\partial \bar e / \partial \omega \times \bar h$ = $\bar e \times \partial \bar h / \partial \omega$ = $\hat z (\bar e \cdot \partial \bar e / \partial \omega)$이다. 리액턴스 $X$만 있다는 가정인 $V_0$ = $j X I_0$을 식 (5a)에 넣어 정리한다.

                  (5b)

여기서 $z < 0$ 영역에서 입사하는 전자파가 $z$ = $0$인 표면에 들어간다고 생각해 $d \bar a$ = $-da \hat z$로 바꾼다.

______________________________

포스터의 리액턴스 정리는 필터 설계의 기본 원리를 제공한다. 리액턴스로 만든 무손실 필터(lossless filter)는 인덕터나 커패시터의 조합이므로, 임피던스 $Z(\omega)$는 분자와 분모가 다항식인 유리 함수 $P(\omega) / Q(\omega)$로 표현된다. 여기서 필터 설계법은 필터 규격으로 고차 다항식 $P(\omega), Q(\omega)$를 유일하게 결정하는 수학적 절차이다. [그림 1]처럼 포스터의 리액턴스 정리에 따라 $X$는 계속 커지고 있어서, 주파수 응답에는 영점(zero)과 극점(pole)이 반드시 존재한다. 따라서 필연적으로 존재하는 $Z(\omega)$의 영점과 극점 위치를 필터 규격으로 맞춤으로써, 필터에 항상 원하는 주파수 응답을 만들 수 있다.

[그림 2] 연산 증폭기의 반전 모드(출처: wikipedia.org)

포스터의 리액턴스 정리가 성립하지 않는 회로는 비포스터 회로망(non-Foster network)이라 부른다. 기존 전기 회로에 비포스터 회로를 추가하면 통상적인 커패시터나 인덕터 효과를 없앨 수 있어서 광대역 특성 설계에 유용하게 사용된다[3]. 비포스터 회로는 유전체나 자성체의 공진(resonance)으로 만들 수 있지만, 공진 주파수가 너무 높고 매질 특성이 들어가서 원하는 성질을 구성하기 어렵다. 그래서 비포스터 회로는 주로 증폭기(amplifier)로 설계한다. 예시적으로 [그림 2]는 저주파에 쓰는 연산 증폭기(operational amplifier, op-amp: 예전 아날로그 컴퓨터(analog computer)를 제작할 때 쓴 방식이라 연산이란 이름이 붙음)의 반전 모드(inverting mode: 입력을 넣으면 출력의 극성이 바뀜)를 이용해 부성 저항이나 임피던스(negative resistance or impedance)를 생성하는 방법을 보여준다. 물론 연산 증폭기 대신 임의 종류의 차동 증폭기(differential amplifier)를 써도 같은 결과가 얻어진다. 연산 증폭기 해석은 가상 접지(virtual ground: 실제 접지는 아니지만 접지와 같은 전압)부터 출발한다. 연산 증폭기는 개회로(開回路, open-loop) 이득 $A_\text{OL}$이 매우 커서 입력 전압 $V_-$는 다른 입력 $V_+$를 그대로 따라간다. [그림 2]에서 $V_+$ = $0$이므로, $V_-$는 가상 접지처럼 0V로 가정한다. 다만 통상적인 접지와 다르게 증폭기의 입력부라서 증폭기로 들어가는 전류는 거의 0이다. 그러면 $V_\text{in}$이 만든 입력 전류 $I_\text{in}$ = $V_\text{in} / R_\text{in}$은 증폭기로 들어가지 않고 모두 피드백 혹은 되먹임 저항(feedback resistor) $R_f$를 거쳐 출력부로 나간다. 결국 출력 전압 $V_\text{out}$은 입력과 피드백 저항의 비율로만 결정된다.

                          (1)

여기서 $V_\text{out}$을 걸어도 전류는 저항에 들어가지 않고 $V_\text{out}$ 쪽으로 나와서 ($-$)를 붙인다.[다른 말로 옴의 법칙에서 전압의 극성과 전류의 방향이 반대이다.] 전압 $V_\text{out}$과 입력 전류 $I_\text{in}$을 기준으로 옴의 법칙(Ohm's law)을 적용하면, 부성 저항 $-R_f$가 정확히 만들어진다. 교류 회로에서는 저항 대신 인덕터와 커패시터를 $R_f$ 위치에 쓸 수 있기 때문에, [그림 2]의 회로로 부성 인덕터(negative inductor)와 부성 커패시터(negative capacitor)를 쉽게 구성할 수 있다. 부성 인덕터와 커패시터로 짜맞춘 회로망은 주파수가 증가할 때 임미턴스의 허수부는 단조 감소해서 비포스터 회로망이 된다. 이를 이용하면 우리가 설계한 회로의 대역폭을 많이 개선할 수 있다. 예를 들어, 회로의 입력 임피던스가 $Z_\text{in}$ = $R_\text{in} + jX_\text{in}$로 측정되면, $-X_\text{in}$ 특성을 가진 비포스터 회로를 부착한다. 그러면 주파수에 따라 커지는 $X_\text{in}$을 넓은 대역에서 $-X_\text{in}$으로 상쇄시킬 수 있다. 대신 증폭기를 쓰고 있어서 회로의 외부에서 지속적인 전력 공급이 있어야 한다.

[참고문헌]

[1] R. M. Foster, "A reactance theorem," Bell Syst. Tech. J., vol. 3, no. 2, pp. 259–267, Nov. 1924.

[2] D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2012.

[3] 이용혁, 정재영, "소형 안테나의 광대역 정합 및 수신전력 개선을 위한 비-포스터 회로 설계", 한국전자파학회논문지, 제30권, 제7호, pp. 533–541, 2019년 5월.

[다음 읽을거리]

1. 로렌츠 진동자 모형

로렌츠 진동자 모형(Lorentz Oscillator Model)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로렌츠 진동자 모형"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전기 쌍극자 모멘트

2. 유전체의 비밀

3. 탄성에 대한 훅의 법칙

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt)와 exp(jωt) 시간 약속을 둘 다 사용하고 있습니다.

[그림 1] 로렌츠 진동자 모형으로 근사화한 복소 유전율(출처: wikipedia.org)

원자(atom)의 내부 구조를 모르던 시절에 나온 로렌츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)은 전자(electron)와 양성자(proton) 간의 전기력만 이용한 이론화인데도 유전율(permittivity) $\epsilon$의 주파수 변동성을 잘 설명한다[1]. 로렌츠 진동자 모형은 전기력, 훅의 법칙(Hooke's law), 견인 계수(drag coefficient) $\gamma$가 전자에 함께 작용한다고 생각해서 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 적용한다.

                  (1)

여기서 $\bar r$은 양성자를 원점으로 정한 전자의 위치, $\bar E$는 전기장(electric field), $m_e$와 $e$는 각각 전자의 질량과 전하량, $k$는 스프링 상수(spring constant); 견인 계수 $\gamma$는 손실(loss)을 설명하며 전자의 평균 자유 시간(mean free time) $\tau$에 대한 역수인 $\gamma$ = $1/\tau$이다. 견인 계수 기호로 $\gamma$ 대신 대문자인 $\Gamma$를 쓰는 경우도 있다.

전자가 만드는 분극 밀도(polarization density)를 $\bar P$ = $-n_e e \bar r$로 두고 식 (1)을 변형한다.

                  (2)

여기서 $n_e$는 단위 부피당 존재하는 전자 개수인 전자 농도(electron concentration)이다. 드루데 모형(Drude model)으로 유도한 전기 전도도 $\sigma$를 써서 식 (2)를 간단히 표현한다.

                  (3)

여기서 $\sigma$ = $n_e e^2 \mathbin{/} (\gamma m_e)$, 진동자(oscillator)의 공진 각주파수(resonant angular frequency)는 $\omega_0$ = $\sqrt{ k / m_e}$이다.

   1. exp(-iωt) 시간 약속   

전기장과 전자의 위치는 주기성이 있다고 가정해 페이저(phasor) 기반으로 $\bar E$ = $\bar {\bf E}(\omega) e^{-i \omega t}$, $\bar r$ = $\bar {\bf r}(\omega) e^{-i \omega t}$로 둘 수 있다. 이를 식 (1)에 대입해서 $\bar {\bf r}(\omega)$를 구한다.

                          (1.1)

외부 전기장에 의해 양성자에서 멀어진 전자는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) $\bar {\bf p}(\omega)$를 형성한다.

                          (1.2)

체적 $V$에 존재하는 $N$개의 전기 쌍극자 모멘트는 모두 같은 방향을 향한다고 간략화함으로써 분극 밀도 $\bar {\bf P}(\omega)$를 쉽게 얻는다.

                          (1.3)

여기서 $n_e$ = $N/V$는 전자 농도(electron concentration), 플라즈마 각주파수(plasma angular frequency)는 $\omega_p$ = $\sqrt{n_e e^2 \mathbin{/} (m_e \epsilon_0)}$, $\chi_e (\omega)$는 전기 감수율(electric susceptibility)이다. 전기장이 생성하는 물질 내부의 분극 밀도를 알기 때문에, 구성 관계식(constitutional relation)을 써서 주파수에 따라 변하는 복소 유전율(complex permittivity) $\epsilon(\omega)$를 공식화한다.

                          (1.4)

여기서 $\chi_e(\omega)$ = $\chi_e'(\omega) + i \chi_e''(\omega)$이다. 공진 주파수 $f_0$ = $\omega_0 \mathbin{/} (2 \pi)$는 수십 THz 이상으로 매우 높고 다수의 공진이 생길 수 있기 때문에, 실제 측정 결과를 보정하는 공식은 식 (1.4)를 더 일반화해서 사용한다.

                          (1.5)

여기서 $\epsilon_\infty$는 무한대에서 측정한 유전 상수[이론적으로는 1이지만 실험에서는 1이상 나옴], $f_j$는 $j$번 공진의 가중치, $N_r$은 공진 개수이다. 식 (1.5)에서 $s_j$ = $\omega_p^2 f_j$, $\Gamma_j$ = $\gamma_j$로 쓰기도 한다.

복소 유전율 대신 광학 전도도(optical conductivity)에 로렌츠 진동자 모형을 쓰기도 한다. 광학 전도도는 전기 전도도(electrical conductivity)를 광학 영역으로 일반화한 지표이다. 복소 유전율에서 정의한 손실 탄젠트(loss tangent)를 전기 전도도 형태로 바꾸어서 광학 전도도 $\sigma(\omega)$를 정의한다. 그래서 광학 전도도는 광학 영역에서 물질에 흡수되는 양과 관련된다.

                          (1.6)

여기서 주파수가 매우 커지면 광학 전도도는 0에 수렴한다.[∵ $\epsilon(\omega)$는 $1/\omega^2$ 비율로 작아진다.]

   2. exp(jωt) 시간 약속   

[그림 2.1] RLC 직렬 공진 회로(출처: wikipedia.org)

독특하게 생긴 로렌츠 진동자 모형을 [그림 2.1]에 보인 전기 회로의 RLC 직렬 공진 회로(series resonant circuit)로 등가화해 상상할 수 있다[2]. 분극 전류 밀도(polarization current density) $\bar J_p$ = $d \bar P / dt$를 식 (3)에 대입한다.

                  (2.1)

식 (2.1)에 $e^{j \omega t}$ 시간 약속을 가진 페이저를 적용한다.

                  (2.2)

여기서 $LC$ = $1/\omega_0^2$이다. 식 (2.2)는 기존 운동 방정식인 식 (1)을 RLC 직렬 공진 회로로 단순히 바꾼다는 측면이 있지만, 당연히 RLC가 가진 물리적 성질에 기반을 두고 있다. 먼저 인덕턴스(inductance) $L$은 전류의 관성과 관계되므로, 전자의 관성 질량(inertial mass)인 $m_e$는 $L$과 연결된다. 역수 $1/C$는 일래스턴스(elastance)이므로 스프링의 탄성 비율에 해당한다. 식 (2.2)에 임피던스(impedance) $\bf Z$를 정의해서, RLC 직렬 공진 회로의 $\bar {\bf J}_p (\omega)$를 구한다.

                  (2.3)

다음 단계로 분극 전류 밀도를 분극 밀도와 전기장으로 바꾸어서 전기 감수율 $\chi_e(\omega)$를 얻는다.

                          (2.4)

이때 로렌츠 진동자 모형에 저장되는 에너지 밀도는 $L, C$에 대해 $u_m, u_e$로 각각 정의한다. 여기서 $u_m$은 관성 질량 $m_e$에 의한 운동 에너지(kinetic energy) 밀도, $u_e$는 스프링 $k$와 관계된 위치 에너지(potential energy) 밀도이다.

                  (2.5)

여기서 $u_t$는 전체 에너지 밀도이며 0보다 크거나 같다. 시스템에 저장된 에너지 밀도인 식 (2.5)의 마지막식을 보면, 리액턴스의 주파수 변화율은 항상 0보다 커야 한다. 이 결과는 잘 알려진 포스터의 리액턴스 정리(Foster's reactance theorem)로도 예측 가능하다. 최종적으로 식 (2.5)의 $u$를 가지고 로렌츠 진동자 모형에 저장된 전기장의 에너지(energy of electric field) $W_e$를 공식화한다.

                  (2.6)

회로량 $R, X$를 포함한 식 (2.6)을 매질 특성인 유전율의 관계식으로 변형하기 위해 $\chi_e'$의 미분을 고려한다.

                  (2.7)

저손실(low loss) 혹은 공진(resonance)을 벗어난 조건, $R \ll |X|$에서 항 $R/X$를 무시한 식 (2.7)을 식 (2.6)에 대입한다[2].

                          (2.8a)

여기서 $\epsilon'$ = $\epsilon_0 (1 + \chi_e')$이다. 저항 $R$ = $0$인 때, 식 (2.8a)는 근사식이 아닌 등식이 된다. 어떤 크기의 체적 $v$를 선택하든지 저장된 에너지 $W_e$는 0보다 커야 하므로,[∵ 식 (2.6)에서 $dX/d\omega > 0$] 저손실 혹은 비공진(nonresonance) 가정에서 유전율 실수부의 주파수 특성은 다음 부등식을 따른다.

                          (2.8b)

하지만 직렬 공진(series resonance)에 가까운 대역에서 $X \approx 0$이 발생하기 때문에, 공진 주파수의 근방에서 식 (2.7)의 매질 기울기 $d (\omega \chi_e') \mathbin{/} d\omega$는 0보다 작아진다. 물론 공진 주파수를 벗어난 지점에서는 식 (2.8b)가 잘 성립한다.

[참고문헌]

[1] T. Hirosige, "Origins of Lorentz' theory of electrons and the concept of the electromagnetic field," Hist. Stud. Phys. Sci., vol. 1, pp. 151–209, Jan. 1969.

[2] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd ed., New York, NY, USA: Wiley-IEEE Press, 2001, pp. 33–39.