2022년 7월 2일 토요일

하위헌스 원리(Huygens Principle)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "하위헌스 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 하위헌스 원리로 설명하는 빛의 굴절(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 평면파의 파면이 만드는 점 전원(출처: wikipedia.org)

[그림 1, 2]에 보인 하위헌스 윈리(Huygens principle)는 빛이 가진 파동적 특성을 설명하는 근본 원리이다. 하위헌스 원리에 따르면, 빛의 움직임은 파동(波動, wave)이며 빛의 모든 파면(波面, wavefront)은 새로운 원천으로 작용하여 순차적으로 전달되는 다음 파면을 계속적으로 만든다. 즉, 원천에서 만들어진 파면이 다시 원천을 생성하는 반복적 원천 생성과 파면 전달 과정을 통해 빛은 파동 형태로 전파된다. 하위헌스 원리는 최초의 이론 물리학자란 별명을 가진 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)가 1678년하위헌스 49세, 조선 숙종 시절에 제안했다[1]. 하위헌스의 미국식 발음은 호이겐스이다.[하위헌스를 호이겐스라 부르는 이는 옛날 사람이다.] 파동 측면의 광학(光學, optics) 이론을 완성한 프레넬Augustin-Jean Fresnel(1788–1827)의 업적까지 기려서 하위헌스 원리를 하위헌스–프레넬 원리(Huygens–Fresnel principle)라고 부르기도 한다.

[그림 3] 하위헌스 원리로 설명하는 굴절(출처: wikipedia.org)

수학과 물리학에 다재다능했던 만물박사 크리스티안 하위헌스는 신생 독립국 네델란드 헤이그[헤이그(The Hague)는 미국식 발음이며 네델란드어로는 덴 하흐(Den Haag)임]에서 1629년조선 인조 시절에 태어났다. 당시 네델란드는 1567년조선 명종 시절부터 시작된 80년 전쟁 혹은 네델란드 독립 전쟁(The Eighty Year's War or Dutch War of Independence)의 주인공이었다. 또한 1617년조선 광해군 시절부터 독일을 무대로 벌어진 30년 전쟁(The Thirty Years' War)까지 일어나 네델란드는 전쟁 넘어 전쟁인 상황에 서게 되었다. 다행히 하위헌스 집안은 네델란드에서 부유하고 영향력이 큰 가문이었기 때문에, 두 전쟁의 와중에도 하위헌스는 집안에서 제대로 된 교육을 받았고 기하학(geometry)에 재능을 보였다. 또한 크리스티안의 아빠는 데카르트René Descartes(1596–1650), 메르센Marin Mersenne(1588–1648), 갈릴레오Galileo Galilei(1564–1642)와 교류하는 유명인이어서, 하위헌스는 데카르트와 메르센의 조언을 받으면서 성장했다. 80년 전쟁과 30년 전쟁은 1648년하위헌스 19세, 조선 인조 시절 베스트팔렌 조약(Peace of Westphalia)이 체결되면서 끝났다. 종전 조금 전인 1645년에 하위헌스는 네델란드의 레이던 대학교(Leiden University)에 입학해서 법학과 수학을 본격적으로 공부했다. 이때부터 하위헌스는 기하학이란 도구를 이용해서 현수선(懸垂線, catenary)과 같은 물리 문제를 공략했다. 하위헌스의 기하학 사랑은 죽을 때까지 계속 되었다. 하위헌스의 연구 방법은 형이상학에 바탕을 둔 연역법보다는 현실 문제에서 원리를 찾는 귀납법에 가까웠다. 그래서 구심력 혹은 원심력 공식을 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)보다 먼저 발견했지만, 운동 법칙을 연역해서 풀지 않고 기하학과 중력에 대한 특성[물체는 항상 지구 중심으로 연직해서 떨어지는 성질]만 사용했다.

[그림 4] 하위헌스 원리에 따라 빛 파면의 이동

망원경과 렌즈 제작에 전문가였던 하위헌스는 기하학을 바탕으로 빛을 파동으로 설명하였다. 사실 하위헌스 원리는 렌즈 설계에 쓰이는 기하 광학(幾何光學, geometrical optics)의 근원을 설명하는 도구로 제안되었다. 하위헌스 원리를 쓰면, 파면의 이동, 반사, 굴절을 직관적으로 설명할 수 있다. 먼저 [그림 4]처럼 속도 $v$로 이동하는 빛 파면의 이동을 생각한다. 현재 파면의 모든 점이 빛을 발생시키는 새로운 원천(source)이 되므로, 이 원천은 모든 방향으로 구면파를 다시 발생시킨다. 하지만 시간 $\Delta t$가 흐른 후에 생기는 새 파면(new wavefront)은 예전 파면(old wavefront)에 수직인 방향으로만 생긴다. 왜냐하면 빛이 모든 방향으로 퍼지더라도 빛의 속도는 유한하기 때문에, $\Delta t$ 후에는 갈 수 있는 최대 길이는 수직으로 $v \Delta t$인 길이이다. 그래서 파면이 정면으로 진행하는 모양으로 빛이 퍼져나간다.

[그림 5] 하위헌스 원리로 설명하는 빛의 반사 법칙

하위헌스 원리는 빛의 반사와 굴절 법칙을 유도할 때에 매우 유용하다. [그림 5]는 평평한 표면에서 빛이 반사되는 특성을 [그림 4]에 기반을 두고 가시화한다. 반사 법칙(law of reflection)은 표면에 의한 반사각 $\theta_r$이 빛의 입사각 $\theta_i$와 항상 같다는 의미이다. 파란색 입사 파면(incident wavefront)은 표면에서 반사되어 빨간색 반사 파면(reflected wavefront)을 만든다. 이때 [그림 4]처럼 반사 파면이 동일한 모양을 가지기 위해서는 모든 입사 파면의 경로차가 같아야 한다.[∵ 입사와 반사 파면은 동일한 매질에 있기 때문에 파동의 속도가 같다.] 따라서 원천 $A, B$를 만드는 두 광선(ray)만 한정해서 보면, $\overline{AC}$ = $\overline{BD}$이 모든 입사각 $\theta_i$에 대해 성립한다. 또한 직각 삼각형 $\triangle ABC$ 조건에 의해 $\overline{AC}$ = $\overline{AB} \sin \theta_r$을 만든다. 마찬가지로 직각 삼각형 $\triangle ABD$ 조건을 사용해 $\overline{BD}$ = $\overline{AB} \sin \theta_i$도 얻는다. 따라서 $\sin \theta_i$ = $\sin \theta_r$이 되어서 반사 법칙인 $\theta_i$ = $\theta_r$이 유도된다.

[그림 6] 하위헌스 원리로 설명하는 빛의 굴절 법칙

[그림 5]와 비슷한 방식으로 빛이 물질속으로 투과할 때 성립하는 굴절 법칙을 [그림 6]과 같이 증명한다. 굴절 법칙(law of refraction)은 두 매질의 속도 차이에 의해 빛의 굴절각(refracted angle) 혹은 투과각(transmitted angle) $\theta_t$가 결정된다고 설명한다. 반사 법칙과 비슷하게 굴절 법칙을 유도하기 위해, 입사와 투과에서 동일 파면을 만드는 길이를 각각 $\overline{BC}$와 $\overline{AD}$로 둔다. 또한 매질이 다르기 때문에 $\overline{BC}$ = $v_i \Delta t$, $\overline{AD}$ = $v_t \Delta t$로 가정한다. 그러면 공통 길이 $\overline{AB}$에 대해, $\overline{AB}$ = $\overline{BC} \mathop{/} \sin \theta_i$ = $\overline{AD} \mathop{/} \sin \theta_t$이 성립한다. 최종적으로 굴절 법칙은 두 매질에서 파동의 속도 비율로 기술된다.

                  (1)

여기서 빛의 속도는 $v$ = $1 \mathop{/}\sqrt{\mu \epsilon}$, $\mu$와 $\epsilon$은 각각 투자율(permeability)유전율(permittivity)이다. 빛을 제어하는 대부분의 물질은 자성이 없어서 투자율은 같다. 그래서 유전율만을 이용해서 식 (1)을 간략히 쓸 수도 있다.

                  (2)

여기서 $n_i$와 $n_t$는 각각 입사와 투과 영역의 굴절률(屈折率, refractive index), $n$ = $\sqrt{\epsilon \mathop{/} \epsilon_0}$ = $\sqrt{\epsilon_r}$, $\epsilon_0$는 진공중의 유전율, $\epsilon_r$은 비유전율(relative permittivity) 혹은 유전 상수(dielectric constant)이다. 굴절률 $n$은 매질내에서 빛의 속도가 줄어들어 입사각이 굴절되는 비율을 나타낸다. 굴절 법칙은 기여자 이름을 붙여서 스넬의 법칙(Snell's law)이라고도 한다. 굴절 법칙은 예전부터 많이 알려져 있었지만, 1621년스넬 41세, 조선 광해군 시절에 식 (2)와 같은 형태를 제안한 네델란드 천문학자 스넬리우스Willebrord Snellius(1580–1626) 혹은 스넬이 유명하다.
하위헌스 원리는 빛의 성질을 연역적으로 증명하는 훌륭한 개념이지만 아래와 같은 한계도 분명하다.
  • 파동에 위상을 도입하지 않고 오직 진폭만 고려했다.
  • 횡파(transverse wave) 혹은 가로파인 빛을 종파(longitudinal wave) 혹은 세로파로 착각했다.
  • 벡터 특성을 표현하는 편파(偏波, polarization) 개념이 원래부터 없었다.

하위헌스가 주장한 빛의 파동론(wave theory of light)에 대비되는 이론은 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)이 1704년뉴턴 61세, 조선 숙종 시절에 집대성한 빛의 미립자론(corpuscular theory of light)이다. 뉴턴은 20대부터 프리즘 실험을 통해 경험한 사실들을 바탕으로 1675년뉴턴 32세, 조선 숙종 원년에 미립자론 논문을 출판했고, 1704년에는 위대한 광학 책도 저술했다[2]. 지금 기준으로 뉴턴의 미립자론은 완전히 틀렸다고 할 수 있지만, 당시 뉴턴은 철저하게 귀납적으로 자신의 이론을 논증했다.[반면에 뉴턴의 프린키피아(Principia)는 빈틈없이 연역적으로 기술되어 있다.]

[그림 7] 뉴턴의 미립자론으로 설명하는 빛의 굴절 법칙

빛을 세밀히 관찰하면, 빛이 미립자라는 주장을 믿게 된다. 직사광선이란 표현도 있듯이 빛은 직진성이 매우 강하기 때문에, 빛은 주변으로 퍼지는 파동이 아닌 운동량을 가지고 직선 운동을 하는 미립자라는 믿음은 근거가 있었다. 빛의 미립자론으로 [그림 5]에 나온 반사 법칙을 바로 증명할 수 있다. 공을 벽에 던지면 [그림 5]처럼 같은 각도로 튕긴다. 그래서 빛이 미립자라면, 평평한 표면에서 반사될 때도 [그림 5]와 같은 성질을 당연히 가지게 된다. [그림 6]과 같은 빛의 굴절 법칙을 [그림 7]과 같은 미립자론으로 설명하려면 고민을 많이 해야 한다. 뉴턴의 자신의 만유인력 법칙을 빛에 적용했다. 미립자가 물질 속에 들어가면, 모든 방향에서 인력이 작용하기 때문에 미립자에 미치는 알짜 힘이 $0$이다. 그래서 물질 속에서 광속은 일정해야 한다. 하지만 미립자가 물질의 경계면에 다가가면, 경계면과 평행인 속도 $\bar u_{\parallel}$ 방향으로는 알짜 힘이 없어 가속되지 않고, 수직인 속도 $\bar u_{\bot}$ 방향으로 만유인력을 받는다. 왜냐하면 경계면에 수직인 방향으로 물질이 질량을 가진 미립자를 끌어당기기 때문이다. 결국 $\bar v_{\bot} > \bar u_{\bot}$가 성립해서 물질 속에 들어가면, 빨라진 광속으로 인해 스넬의 법칙이 생긴다. 스넬의 법칙을 보고 파동론이나 미립자론 중에서 누가 맞을지를 확인할 수 있는 방법이 떠오르는가? 맞다. 물질 속의 광속을 재서 하위헌스와 뉴턴 이론을 검증할 수 있다. 하지만 애석하게도 18세기초에는 광속을 잴 수 없었기 때문에 두 과학자의 이론을 검증할 수 없었다. 지금은 물질의 유전율이나 투자율에 따라 광속이 느려진다는 사실을 알고 있으므로, 뉴턴이 아닌 하위헌스의 승리이다. 또한 뉴턴의 미립자론은 파동론이 설명할 수 없는 빛의 편파 혹은 편광(偏光, polarization) 특성도 설명했다. 미립자가 매끈한 구형이면 편광은 생길 수가 없으므로, 울퉁불퉁한 미립자를 상상해서 빛의 진행이 편광에 따라 달라지는 모습을 상상했다.

[그림 8] 페르마의 원리로 설명하는 빛의 반사 및 굴절 법칙

파동론 혹은 미립자론과 직관적으로 구별되는 개념은 페르마의 원리(Fermat's principle)이다. 잘 알려진 스넬의 법칙을 설명하기 위해, 1662년페르마 55세, 조선 현종 시절에 페르마Pierre de Fermat(1607–1665)는 빛이 이동하는 시간이 최소가 되는 경로로 반사와 굴절이 일어난다는 원리를 주장했다. 이로 인해 페르마의 원리를 최소 시간의 원리(principle of least time)라고도 부른다.
페르마의 원리에 따르면, 빛의 반사 법칙은 초록색 선분 $\overline{PA'}$이 가장 짧아지는 조건이다. 즉, $\overline{PA'}$를 $x$축에 대칭한 선분은 $\overline{AP}$와 합쳐져서 기울기가 같은 직선이 되어야 한다. 따라서 빛은 [그림 6]처럼 입사각과 동일한 각도로 반사가 되어야 한다. 빛의 굴절 법칙 혹은 스넬의 법칙에 페르마의 원리를 적용할 때는 약간의 고민이 필요하다. 점 $A, P, B$를 따라 광선이 이동할 때 걸리는 시간 $T$를 정의한다.

                  (3)

여기서 $l_1$ = $\overline{AP}$ = $\sqrt{(x-x_1)^2 + y_1^2}$, $l_2$ = $\overline{PB}$ = $\sqrt{(x-x_2)^2 + y_2^2}$, $v_1$과 $v_2$는 매질 1과 2에서 빛의 속도이다. 가장 시간이 짧아지는 $x$를 구하기 위해, $x$에 대해 미분해서 $T$의 미분인 $\delta T$를 구한다.

                  (4)

미분 $\delta T$가 $0$이 되는 $x$의 조건은 식 (1)에 나온 스넬의 법칙과 동일하다.

                  (5)

스넬의 법칙은 하위헌스 원리로 증명이 가능하지만, 페르마의 원리는 과정을 더욱 쉽고 직관적으로 만든다. 페르마의 원리를 단순화시켜서 이해하기 위해 [그림 8]에 보인 점 $A$에서 점 $B$로 가는 경로를 다시 본다. 두 점을 최소 시간으로 이동하려면, 속도가 빠른 매질에서는 많이 이동하고, 속도가 느린 매질에서는 더 적게 움직여야 한다. 예를 들어, 매질2가 매질1보다 더 밀집되어 있는 경우[$n_1 < n_2$]에 $\overline{AP} > \overline{PB}$를 만족해야 한다. 그래서 입사각 $\theta_1$보다 투과각 $\theta_2$가 더 작아진다. 즉, 성긴 매질에서 빽빽한 매질로[$n_1 < n_2$] 입사하는 빛은 최소 시간으로 진행하기 위해 경계면에 수직인 방향[혹은 빽빽한 매질 방향]으로 더 굴절된다. 
페르마의 원리는 스넬의 법칙을 증명하기 위해 제안된 개념이지만 역사적 의미는 매우 크다. 뉴턴의 미립자론은 틀렸기 때문에 오래전에 사장되었다. 하위헌스의 파동론은 빛의 파동적 본질을 밝힌 의미를 가지지만 양자 역학에 의해 대체되었다. 하지만 간단하지만 강력한 페르마의 원리는 현재까지도 물리학의 가장 근원적 원리로 입지가 굳건하다. 파동론과 미립자론 이전에 제안된 단순한 페르마의 원리가 다른 이론보다 더 오래 살아남아 있다는 사실은 물리학의 아름다움을 보여준다. 페르마의 원리가 나온 당대에는 비판도 조금 받았다. 무생물인 빛이 지능이나 감정이 있어서 다른 여러 경로 중에서 진행 시간이 가장 짧은 경로를 택한다는 주장은 선뜻 받아들이기 어려웠다. 하지만 사람들의 비판과 관계없이 자연계는 경로를 따라 진행하는 시간이 최소가 되도록 운동체의 경로를 선택한다. 페르마의 원리 혹은 최소 시간의 원리는 선 적분(line integral)으로 깔끔하게 공식화된다.

                  (6)

여기서 $v$는 경로 $s$에서 속도이다.

[참고문헌]
[1] C. Huygens, Traité de la Lumière: Où Sont Expliquées les Causes de ce qui Luy Arrive Dans la Reflexion & Dans la Refraction (Treatise on Light: in Which Are Explained the Causes of That Which Occurs in Reflection & Refraction), 1690.
[2] I. Newton, Opticks: or, a Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours of Light, London: Sam. Smith and Benj. Walford, 1704.

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