조금은 느리게 살자: 푸리에 사인 및 코사인 변환(Fourier Sine and Cosine Transforms)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸리에 사인 및 코사인 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 푸리에 코사인 변환의 이산화와 필터 스펙트럼(filter spectrum) 특성(출처: wikipedia.org)

기함수(奇函數, odd function)와 우함수(偶函數, even function)에 대해 푸리에 급수(Fourier series)가 푸리에 사인 및 코사인 급수(Fourier sine and cosine series)로 바뀌는 성질처럼, 푸리에 변환(Fourier transform)도 기함수와 우함수 조건에 따라 적분 변환(integral transform)이 약간 달라질 수 있다. 먼저 함수 $f(t)$가 기함수라 가정한다. 그러면 $f(-t)$ = $-f(t)$인 조건에 따라 푸리에 변환은 다음처럼 변형된다.

(1)

(2)

식 (2)에서 새롭게 정의한 $S(\omega)$를 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)이라 부른다. 푸리에 사인 변환은 $\omega$에 대해 기함수가 된다. 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)에 따라 푸리에 사인 역변환(inverse Fourier sine transform)도 쉽게 정의된다.

(3)

식 (2)와 (3)의 결과를 모아서 푸리에 사인 변환쌍(Fourier sine transform pair)을 공식화한다.

(4)

푸리에 사인 변환된 함수를 역변환하면 다시 원래 함수로 돌아와야 하므로, 식 (4)로부터 다음과 같은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관계도 얻을 수 있다.

(5)

비슷한 방식으로 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform)도 정의한다. 이번에는 함수 $f(t)$를 우함수라 가정하면 $f(-t)$ = $f(t)$인 관계가 성립한다. 따라서 우함수의 푸리에 변환은 다음과 같아진다.

(6)

여기서 $C(\omega)$는 우함수 $f(t)$의 푸리에 변환의 일종인 푸리에 코사인 변환이 된다. 푸리에 코사인 변환은 우함수 성질을 가져서 식 (3)처럼 푸리에 코사인 역변환(inverse Fourier cosine transform)도 쉽게 구해진다.

(7)

식 (6)과 (7)을 합쳐서 푸리에 코사인 변환쌍(Fourier cosine transform pair)과 이에 관련된 디랙 델타 함수도 기술한다.

(8)

(9)

따라서 주어진 함수가 기함수 혹은 우함수인 경우는 푸리에 사인과 코사인 변환을 각각 적용해서 더욱 편리하게 주파수 특성을 분석할 수 있다.

푸리에 사인과 코사인 변환을 동시에 써서 $f(x)$를 바꾼 경우는 혼합 푸리에 변환(mixed Fourier transform, MFT)이라 명한다[1].

(10)

여기서 $\alpha$는 경계 조건을 표현하는 복소수인 혼합 계수(mixed coefficient), $x$가 무한대로 갈 때에 $f(x)$는 0으로 수렴한다. 혼합 푸리에 변환의 진정한 의미를 이해하고 싶으면, 식 (10)에 부분 적분을 적용해서 푸리에 사인 변환으로 형태를 바꾼다.

(11a)

(11b)

여기서 $\alpha$는 $m(0)$ = $0$을 만족시킨다. 경계 조건 $\alpha$ = $-f'(0)/f(0)$으로 인해, 물리학에서 $\alpha$는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)에 사용하는 임피던스(impedance) 역할이다. MFT를 적용한 $F(p)$의 역변환은 다소 복잡하다. 먼저 식 (11b)에 푸리에 사인 역변환을 적용한다.

(12)

여기서 $f_p(x), f_g(x)$는 각각 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)에 나오는 특수해(particular solution)와 일반해(general solution)이다. 함수 $F(p)$는 푸리에 사인 및 코사인 변환의 결과임을 기억해서 $f_p(x)$를 푸리에 사인 및 코사인 역변환으로 표현한다.

(13)

식 (12)로부터 일반해 $f_g(x)$는 $B e^{-\alpha x}$임을 쉽게 알 수 있다. 만약 $\Re[\alpha] \le 0$이면, $x$가 커질 때에 상수거나 발산해서 $f(x)$의 경계 조건을 만족 못한다. 이로 인해 $B$ = $0$으로 정해진다. 반면에 $\Re[\alpha] > 0$ 조건은 $f_g(x)$를 살린다. 상수 $B$를 구하기 위해 아래와 같은 지수와 삼각 함수의 직교성을 식 (12)에 곱한다.