2011년 5월 28일 토요일

전자기장의 경계 조건(電磁氣場의 境界條件, boundary conditions of electromagnetic fields)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자기장의 경계 조건"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 해답이 유일하려면 반드시 경계 조건(boundary conditions)을 명확히 설정해 주어야 한다. 이 경계 조건은 무엇을 말하는 것인가? 전자기파에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem for electromagnetic wave)를 다시 한 번 살펴보자.

                            (1)

여기서 $\bar E_d, \bar H_d$는 임의의 두 전자기장의 차이이며 다음으로 정의한다.

                            (2)

식 (1)에서 해답이 유일하기 위해서는 $\bar E_1 = \bar E_2, \bar H_1 = \bar H_2$ (or $\bar E_d = \bar H_d = 0$)이 성립해야 한다. 그럴려면 식 (1)의 좌변이 0이 되어야 한다. 좌변이 0이 되는 조건은 면적 벡터 방향($d \bar a$ 벡터 방향: 표면적을 뚫고나가는 법선 방향)으로 형성된 포인팅 벡터(Poynting vector: $\bar E \times \bar H$)가 0이 되어야 한다. 포인팅 벡터가 0이 되려면 이를 구성하는 전기장($\bar E_d$)과 자기장($\bar H_d$)의 접선 성분(면적 벡터 방향에 직각인 성분)이 0(or 접선 성분에서 $\bar E_1 = \bar E_2, \bar H_1 = \bar H_2$가 성립)이 되어야 한다. 따라서 문제를 정의한 면적 적분(식 (1)의 s)상에서 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)의 접선 방향 경계 조건(tangential boundary conditions)이 유일하게 정의되어야 맥스웰 방정식의 해가 유일해진다.
만약 전기장과 자기장의 접선 방향 경계 조건이 동시에 정의되면 어떻게 될 것인가? 이런 경우에는 전기장과 자기장 경계 조건은 서로 독립이 되지 못하고 종속 관계가 되어야 한다. 즉, 전기장 경계 조건이 정해지면 자동적으로 자기장 경계 조건이 얻어지며 그 반대도 성립해야 한다. 예를 들어 식 (1)의 면적 적분(면적 벡터 방향이 $z$축)에 대해 전기장의 접선 방향($x, y$축) 경계 조건이 정해지면 유일성 정리에 의해 내부 체적 전기장의 $x, y$축 성분($E_x, E_y$)이 유일하게 정해지게 된다. 그러면 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)에 의해 아래와 같이 $z$방향 전기장($E_z$)이 유일하게 정의된다.

                            (3)

여기서 편의상 전하 밀도(electric charge density)는 0이라 가정하였다. 식 (3)에서 $E_z$의 편미분(partial differentiation)을 얻었기 때문에 $E_z$가 유일하다는 것은 다소 문제가 있어 보인다. (∵ 어떤 함수의 편미분이 정해진 것과 어떤 함수가 정해진 것은 적분 상수 만큼 다르다.) 이 사소한 문제를 해결하려면 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)을 사용해야 한다. (∵ 임의의 전기장은 2차원 푸리에 변환으로 표현된다. $x, y, z$방향 전기장에 대한 푸리에 변환을 식 (3)에 대입하면 $E_z$가 유일하게 결정되는 것을 보일 수 있다.) 전기장이 모두 정의되었기 때문에 패러데이의 법칙(Faraday's law)을 이용하여 자기장까지 유일하게 정할 수 있다.

               (4: 패러데이의 법칙)

따라서, 자기장 경계 조건은 식 (4)에서 얻어진 자기장 경계면의 값과 동일해야 한다. 즉, 자기장 경계 조건은 마음대로 정할 수 없고 전기장에서 유도된 자기장값을 이용해서 정해야 한다.

[그림 1] 경계 영역

이상의 논의를 통해 얻은 결과를 보면 중요한 경계 조건은 접선 방향(接線方向, tangential direction) 성분이다. 따라서, [그림 1]과 같은 구조에 대해 전기장과 자기장의 접선 방향 경계 조건을 구해보자.

[그림 2] 접선 방향 경계 조건

[그림 2]와 같은 전기장의 접선 방향 경계 조건을 얻기 위해 식 (4)에 있는 패러데이 법칙에 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 적용하자.

                               (5)

여기서 면적 적분을 0으로 보내기 위해 선적분 구간 $C_2, C_4$가 0으로 가는 극한을 취하고 이 면적 적분에서 자속 밀도(magnetic flux density)는 발산하지 않는다고(or 유한하다고) 생각하자. 또한, 선적분 구간 $C_1, C_3$는 매우 작아서 이 적분 구간에서 전기장의 변화는 거의 없다고 가정하자. 마찬가지 논의를 식 (6)의 암페어 법칙(Ampere's law)에 적용하면 아래 경계 조건을 얻을 수 있다.

                  (6: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

                            (7)

접선 방향 경계 조건에 부수적이기는 하지만 동일한 방법으로 [그림 3]의 법선 방향(法線方向, normal direction) 경계 조건도 생각할 수 있다.

[그림 3] 법선 방향 경계 조건

식 (8)의 쿨롱 법칙(Coulomb's law)가우스 정리(Gauss' theorem)를 적용하면 식 (9)를 얻을 수 있다.

                                (8: 쿨롱의 법칙)

                               (9)

여기서 체적 적분을 0으로 만들기 위해 [그림 3]의 원통의 높이를 0이 되게 하고 전하 밀도는 유한하다고 가정했다. 또한, 면적 적분 $S_1, S_2$는 매우 작아서 전속 밀도(electric flux density)의 변화는 거의 없다고 생각하였다. 마찬가지로 자속 밀도(magnetic flux density)에 대해서도 동일한 계산을 수행하면 아래를 얻는다.

                                (10: 비오-사바르의 법칙)

                            (11)

여기에서 생각할 부분이 하나 있다. 법선 방향 경계 조건이 부수적이라는 의미는 접선 방향 경계 조건을 통해 법선 경계 조건을 얻을 수 있다는 것이다. 그런데, 어떻게 이것을 증명할 수 있을까? [1]에서는 아주 손쉬운 방법으로 법선 방향 경계 조건이 접선 방향에 종속이라는 것을 증명했다. 쉽게 접근하기 위해 [그림 1]에서 $\hat n = \hat z$, 접선 방향은 $x, y$축에 있다고 가정하자. 전기장의 접선 경계 조건이 자속 밀도의 법선 경계 조건을 만드는 것을 증명하기 위해 $\bar M = 0$이라 놓고 식 (4)를 영역 (I), (II)에 대해 정리해보자.

                            (12)

식 (12)의 위식과 아래식을 서로 빼주면 아래 결과를 얻는다[1].

                            (13)

접선 성분이 연속이면 접선 성분의 접선 방향 편미분도 서로 같다는 사실에 주의해야 한다. 이것은 미분(differentiation)의 정의를 가지고 쉽게 증명할 수 있다. 예를 들어 $y$축 성분의 $x$방향 편미분 증명은 아래와 같다.

             (14)

$\bar M \ne 0$이면 증명이 더 복잡해지지만 여전히 접선 방향 경계 조건을 이용해 법선 방향 경계 조건을 유도할 수 있다.

                            (15)

식 (15)의 식들을 서로 빼주고 전기장의 접선 방향 경계 조건 (5)를 적용하면 아래식을 얻을 수 있다.
           (16)

식 (16)의 $\Delta z$를 0으로 보내고 식 (17)의 자하 보존 법칙(conservation of magnetic charge)을 식 (16)에 대입하면 정확하게 식 (11)에 있는 법선 방향 경계 조건을 얻을 수 있다.

                            (17)

여기서 $M_{sx} = M_x \Delta z$, $M_{sy} = M_y \Delta z$, $M_{sz} = M_z \Delta z$, $\rho_{ms} = \rho_m \Delta z$. 식 (17)은 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)쌍대성(duality)을 이용하면 쉽게 유도된다. 이와 유사한 방식으로 자기장의 접선 경계 조건이 전속 밀도의 법선 경계 조건이 되는 것을 쉽게 증명할 수 있다.

전자기파의 유일성 정리와 경계 조건을 동시에 생각하면 한 가지 미심쩍은 점을 발견할 수 있다. 주어진 체적내에서 전자기장값이 유일하기 위해서는 면적 적분상의 전기장이나 자기장이 고정되면 된다. 하지만, 일반적으로 경계 조건을 적용할 때는 전기장과 자기장의 접선 경계 조건을 동시에 적용하게 된다. 어디에 문제가 있는 것일까? 이런 고민을 통해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 참맛을 조금씩 느낄 수 있다.
위에서 제시한 딜레마는 이렇게 해결할 수 있다. 먼저 전기장의 접선 경계 조건이 주어졌다고 가정하자. [그림 1]의 영역 (II)가 PEC(Perfect Electric Conductor)라면 전기장의 접선 성분은 항상 0으로 고정되기 때문에 영역 (I)의 전자기장은 유일하게 정의된다. 즉, 문제의 답을 구할 수 있다는 뜻이다. 영역 (II)의 매질이 PEC가 아니라면 자기장의 접선 경계 조건까지 고려해야 유일한 답을 얻을 수 있다. 왜냐하면 영역 (I) 뿐만 아니라 영역 (II)에서도 유일성 정리가 적용되기 때문이다. 즉, 영역 (I)의 유일성을 위해 전기장의 접선 경계 조건을 쓸 수는 있지만 영역 (II)의 전기장도 미지수이기 때문에 경계 조건이 고정되지 않는다. 따라서, 영역 (II)의 유일성을 위해 전기장의 접선 경계 조건을 다시 사용할 수는 없다. 이렇게 되면 동일한 조건을 쓰는 것이기 때문에, 경계 조건이 고정되지 않고 변수처럼 변동되는 지금과 같은 경우에는 문제가 풀리지 않는다. 그래서 영역 (II)의 유일성을 얻기 위해서는 사용하지 않았던 자기장의 접선 경계 조건을 써야 한다. 만약 자기장의 접선 경계 조건이 먼저 주어졌다면 영역 (II)의 매질이 PMC(Perfect Magnetic Conductor)인가 봐야 한다. PMC라면 자기장의 접선 성분이 항상 0으로 고정되기 때문에 영역 (I)의 전자기장 역시 유일하게 정의된다. 만약 PMC가 아니라면 전기장의 경우와 동일하게 자기장의 접선 경계 조건까지 사용해야 영역 (I)과 (II)의 전자장을 유일하게 정할 수 있다.

[참고문헌]
[1] C. Yeh, "Boundary conditions in electromagnetics," Phys. Rev. E, vol. 48, no. 2, pp. 1426-1427, Aug. 1993.

[다음 읽을거리]
1. 표면 등가의 원리

댓글 9개 :

  1. 접선부분 선적분할때 경로3에서 -부호가 붙는이유가 뭔가요??

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    답글
    1. 전자장의 방향은 같은데 경로만 반대 방향이기 때문입니다. [그림 2]에 있는 $C_1$과 $C_3$를 보세요.

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  2. 전파거북이님 항상 감사히 자료 잘 보고있습니다^^

    제가 경계조건에 대해 공부를 하다가
    정전장에서 두 경계에서의 전류밀도의
    수직성분이 같다고 배웠는데 왜 그런건지는
    모르겠습니다.

    바쁘시겠지만 답변 해주시면 감사하겠습니다.

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    답글
    1. 칭찬 감사합니다, 익명님.

      정전장에서는 전기장과 전류 밀도는 별개입니다. 그래서 전류 밀도를 전기장에 연결할 수는 없습니다.

      말씀하신 조건은 직류 조건(or 시간 불변)이란 생각이 드네요. 이 경우는 전하 보존 법칙을 쓰면 증명할 수 있습니다. 아래 링크 확인하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/electric-current.html

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    2. 아침부터 답변 정말 감사합니다.

      링크의 글을 읽어보았습니다.

      DC조건에서는 전하 축적이 없을경우에는 들어가는 전류의 총 합과 나가는 전류의 총 합이 같고
      그러므로 인접한 두 경계에서의 전류 밀도의 법선벡터는 연속이다 라고 이해가 되었습니다.

      그런데 여기서 전하 축적이 일어난다면 어떻게 전하 축적이 되는건지 궁금합니다.

      그리고 정전장에서는 전기장과 전류 밀도가 별개라고 말씀 해주셨는데 링크의
      식 (8)번 옴 법칙의 미분형에서 보면 전류 밀도는 전기장과 전도도의 곱으로 나타낼 수 있다는 것 같은데
      왜 별개가 되는건지도 궁금합니다.

      항상 큰 도움 얻고 있습니다. 답변 해주시면 감사하겠습니다.

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    3. 전하 축적이 일어난다는 것은 그 부분에 커패시터가 있다는 말입니다.

      옴의 법칙은 현실적인 이유 때문에 제안된 것이며 원칙만 보면 정전장에서 전기장은 전류 밀도와 관계 없습니다. 맥스웰 방정식을 보면 알 수 있습니다. (or 전하가 움직이지 않는 것이 정전장입니다.)
      하지만 실제 실험에서는 전류를 흘리는 경우가 많으므로 실험적으로 제안된 것이 옴의 법칙, 즉 전기장과 전류 밀도를 연결시키는 관계식입니다. 이걸 제대로 계산하려면 전자파까지 고려해야 됩니다. 하지만 이건 너무 어려워 옴 법칙 정도로 계산하는 것입니다.

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    4. 답변 정말 감사드립니다

      공부하는데에 정말 큰 도움 되었습니다

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  3. 좋은 자료들 감사합니다. 공부하는데 도움 많이 되었습니다.
    지금 전기 자기의 경계조건에 대해 공부 중 입니다 교수님이 이 부분 수업 중 소리가 잘나오는 라디오를 넓은 면적의 알루미늄 혹은 금속 위에 두면 소리가 안나오는데 이 현상을 경계조건을 이용하면 설명할 수 있다고 하셨습니다. 대략 금속은 공기에 비해 뭐 어떤값이 다르니 이게 어디에 영향을 미쳐 전파 수신에 방해를 줘 소리가 안나오겠구나 정도는 알겠는데 구체적으로 알루미늄의 어떤게 어디에 영향을 줘 소리가 안나오는지 구체적으로는 모르겠어서 질문드립니다.
    혹시 시간될 때 답변 해주시면 감사하겠습니다.^^

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    답글
    1. 아래 링크에 있는 "영상 전하법"을 읽으면 답을 찾을 수 있을겁니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/method-of-image-charges.html

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