2010년 10월 23일 토요일

페이저를 이용한 맥스웰 방정식(Maxwell's equations using phasor)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "페이저를 이용한 맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 포텐셜 기반 파동 방정식
4. 정말 유용한 페이저 개념

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.


페이저를 이용하면 시간에 대한 미분 방정식을 이용하지 않고 대수적으로 맥스웰 방정식을 풀 수 있다.
이때 페이저에 대한 시간 약속(time convention)을 하게 된다. 시간 약속은 두 가지 종류가 있어 이를 처음 대하는 사람들은 많이 헷갈리게 된다.

                          (1)

맥스웰 방정식을 시간을 중심으로 접근하는 사람들은 식 (1)에 있는 $\exp(j\omega t)$ 시간 약속을 사용한다. 식 (1)에 있는 $\omega$는 각주파수(角周波數, angular frequency)이다. 이런 시간 약속은 회로, RF(Radio Frequency)소자, 전송선(transmission line), 도파(導波, waveguiding) 등을 연구하는 사람들이 많이 사용한다. $\exp(j\omega t)$ 시간 약속은 시간항의 위상(位相, phase)을 (+)로 정의하기 때문에 시간만 볼 때는 이 방식이 편하다.

                          (2)

또다른 시간 약속은 식 (2)에 있는 $\exp(-i\omega t)$ 다. $\exp(-i\omega t)$ 시간 약속은 공간을 중심으로 맥스웰 방정식을 연구하는 사람들이 사용한다. 즉, 전자파, 안테나, 산란을 연구하는 사람들은 보통 $\exp(-i\omega t)$ 시간 약속을 사용한다. 이 방식의 장점은 파동 방정식(wave equation)을 풀어봐야 이해할 수 있다.
두 가지 방식이 존재한다 해서 너무 힘들게 생각할 필요는 없다. 식 (1)과 (2)는 서로 켤레 복소수(complex conjugate)이다. 예를 들어, 식 (2)로 푼 결과에 켤레 복소수를 취하면 식 (1)로 구한 결과가 된다. 이것만 기억하면 쉽다.

먼저 다음의 맥스웰 방정식을 생각해보자.

                                (3: 쿨롱의 법칙)

                       (4: 패러데이의 법칙)

                                (5: 비오-사바르의 법칙)

                  (6: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

식 (4)와 (6)에 있는 시간 미분을 식 (2)의 $\exp(-i\omega t)$ 시간 약속을 이용해 복소수로 바꾸어보자.

                                (7: 쿨롱의 법칙)

                       (8: 패러데이의 법칙)

                                (9: 비오-사바르의 법칙)

                  (10: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

식 (7)에서 (10)까지의 맥스웰 방정식을 이용해 포텐셜(potential) 기반 파동 방정식을 아래와 같이 유도할 수 있다.

              (11)

                          (12)

여기서 $k$는 파수(波數, wavenumber)라 한다. 파수는 아래로 정의한다.

                          (13)

식 (11)과 (12) 같은 형태로 표현되는 미분 방정식(differential equation)은 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)이라 부른다.
파동 방정식의 특성으로 인해 파동의 속도 $v$는 유전율(誘電率, permittivity)과 투자율(透磁率, permeability)에만 관계된다.

                          (14)

여기서 $f$는 주파수(周波數, frequency), $\lambda$은 파장(波長, wavelength)이다.
[그림 1] 주파수의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 파장의 개념(출처: wikipedia.org)

파장은 [그림 2]를 보면 쉽게 이해할 수 있다. 만약 우리가 전자파가 움직이는 모양을 사진으로 찍을 수 있다면 마치 [그림 2]처럼 정지된 것으로 보일 것이다. 이때 동일한 모양이 반복되는 공간적인 간격을 파장이라 부른다.
쉽게 생각해 시간의 주기(temporal period)를 흔히 $T$(= $1/f$)라 정하는 것처럼 공간의 주기(spacial period)를 파장이라 한다고 이해하면 된다.
또한, 주파수와 파장의 개념을 이해하면 주파수 × 파장 = 속도가 되는 관계도 쉽게 보일 수 있다. 주파수는 1초 동안 동일한 행동이 반복되는 회수이며 파장은 이 동일한 행동이 발생할 때 움직인 거리이므로 이를 종합하면 1초 동안 파동이 움직인 거리가 된다. 이 비율은 당연히 속도(velocity)이다.
파수는 이해가 다소 어렵다. 파수의 단위는 [rad/m]이므로 이를 통해 파수 개념을 이해할 수 있다.
즉, 1 [m] 거리 안에 존재하는 파동의 위상수가 파수이다. 쉽게 생각하면 1 [m] 안에 파동이 몇 개 있는가 하는 것이다. $2\pi$(= $360^\circ$)가 있으면 파동 1개가 있는 것이다.

[그림 3] 파면의 개념(출처: wikipedia.org)


[그림 4] 파동의 움직임(출처: wikipedia.org)

방정식을 쉽게 생각하기 위해 식 (11)과 (12)에서 전하 밀도(charge density)와 전류 밀도(current density)는 0이라 생각하자. 이런 방정식은 원천이 없는 파동 방정식(sourceless wave equation)이라 한다. 이 경우 파동 방정식의 답은 무엇인가?
먼저 라플라시안(Laplacian)을 생각하자.

                         (15)

그러면 파동함수(wave function) $f$는 아래로 가정할 수 있다.

                       (16)

식 (15)와 (16)을 원천이 없는 파동 방정식에 대입하면 다음 관계를 만족해야 한다.

                         (17)

식 (17)과 같이 파수와 각주파수가 이루는 관계는 분산 관계(分散關係, dispersion relation)라 한다.
[그림 3]의 빨간 사각형이 표현하는 파면(波面, wavefront)에 기준값 개념을 적용하면 식 (16)으로 표현된 파동의 진행 방향([그림 3]의 검정색 화살표)을 예측할 수 있다. 쉽게 이해하기 위해 [그림 4]를 보라. 어떻게 파동이 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인다는 것을 인지할 수 있을까? 왜냐하면 우리가 눈으로 파면(예를 들면 꼭대기나 골짜기 등)을 추적해서 움직임을 이해하기 때문이다.
예를 들어 파면 위상의 기준값을 0이라 하면 $t = 0$일 때 $\Phi = k_x x_0 + k_y y_0 + k_z z_0 = 0$을 만족해야 한다. 이걸 벡터적으로 쓰면 $\bar k \cdot \bar r_0 = 0$이 된다. 여기서  $\bar k$는 파수 벡터(wavenumber vector: 전자파가 진행하는 위상을 표현하는 벡터)이며 기준 위치 벡터는 $\bar r_0 = (x_0, y_0, z_0)$로 쓴다. 기준 위치 벡터는 파면 혹은 동위상 표면에 있는 임의의 점이다. 바로 얻어지는 결과중 하나를 보면 내적(inner product) 정의에 의해 파수 벡터 $\bar k$는 기준 위치 벡터 $\bar r_0$에 항상 수직이다. 3차원 공간 관점으로 보면 파수 벡터 $\bar k$는 평면의 법선 벡터가 되고 기준 위치 벡터는 평면(여기서는 파면)에 놓여 있는 임의의 점이 된다. 즉, 파수 벡터는 동위상 표면인 파면에 항상 수직이다.
다음으로 $t = \Delta t$가 되면 기준값 0을 만족하기 위해 $k_x x_1 + k_y y_1 + k_z z_1 = \omega \Delta t$가 되어야 한다.

                       (18)

여기서 $\bar r_1 = (x_1, y_1, z_1)$는 시간이 $t = \Delta t$ 만큼 흐른 후 형성되는 평면을 표현하는 위치 벡터이다. 식 (18)에서 좌변이 0보다 크려면 새롭게 위치 벡터의 차이인 $\Delta \bar r = \bar r_1 - \bar r_0$가 벡터 $\bar k$ 방향으로 형성되어야 한다(∵ 내적(inner product)의 특성을 생각하라). 이를 수식으로 표현하면 $\bar r_1 = \bar r_0 + \Delta \bar r$이 된다. 즉, $\bar r_1 = (x_1, y_1, z_1)$은 $\bar r_0 = (x_0, y_0, z_0)$로부터 $\bar k = (k_x, k_y, k_z)$ 방향으로 $|\Delta \bar r|$ = $\omega \Delta t / k$ = $v \Delta t$ 만큼 진행한 형태가 된다. 이 개념이 헷갈리면 3차원 공간의 평면 방정식을 다시 고민해 보라.
좀더 쉬운 이해를 위해 예를 하나 들자. $\bar k$가 $z$방향인 경우 $\bar r_0 = (x, y, 0)$이 되어 $x$-$y$ 평면에 있는 임의의 점이 된다. 시간이 $\Delta t$ 만큼 지나면 $\Delta \bar r = (0, 0, \Delta z)$가 되어 $t = \Delta t$에서 $\Phi = 0$ 파면은 $\bar r_1 = (x, y, \Delta z)$ 위치에 있다. 이 $\bar r_1$ 위치를 $\bar r_0 = (x, y, 0)$과 비교하면 $z = 0$ 평면이 이동하여 $z = \Delta z$ 평면이 된 것과 동일하다.
이런 특성으로 인해 파동은 벡터 $\bar k$ 방향으로 분명히 진행한다. 그래서, 전자파의 공간적 진행을 연구하는 사람들은 $\exp(-i\omega t)$ 시간 약속을 주로 사용한다.
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댓글 17개 :

  1. 식 (18)의 평면 방정식에 관련된 질문인데요.

    http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/vector.html
    에서는 k는 자체가 외적이어서 평면의 수직 방향을 나타 냈으며, r1은 k평면위의 위치가 되어서, 두 벡터가 이루는 각이 90도이므로, 내적하면 0이 되는 조건이었다.

    . 그런데 우선 scalar product이기 때문에 방향은 없어지는데, 면적 vector k의 방향이라는 것이 이해 말하는 것은 식(18)로 설명될 수 있다는 게 좀 이해가 안가서요.


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    1. $\bar k$는 파수 벡터입니다. 등방 매질인 경우 이 벡터의 방향은 포인팅 벡터와 같습니다. 아마 포인팅 벡터 방향과 $\bar k$ 방향이 같기 때문에 질문에서 외적이란 표현이 나온 것 같네요.

      식 (18)은 파면의 특성으로부터 유도된 것입니다. 포인팅 벡터까지 갈 것도 없습니다.

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    2. http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/vector.html
      에서 vector n이 vector a와 b의 vector product로 이루어 져 있어서, 여기에서는 vector k가 이에 해당 하는 거 같구요.

      그런데 위 내용중에는 vector k에 대한 식이 식(18)밖에 없는대요.
      여기서는 스칼라 프러덕트 라서 k가 진행 방향을 가르킨다는 정보를 어디서 얻어야 하나요?

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    3. 설명을 좀더 추가했습니다, 익명님.

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    4. 감사드립니다.
      우선 죄송합니다. 블로그에 메모한 내용을 복사하다보니, 말이 좀 짧아졌습니다. 헤~
      그런데, 자꾸 생각이 고정이 되어 있어서 인지 T.T

      1. 재가 이해가 안가는 부분은 vector가 k와 (r_1 - r_0) 이렇게 두개인데, 진행 방향은 면에 수직인 방향 k만 해당 되는가 입니다.

      2. 위에서 언급하는 위상은 공간의 위치에 대한 것이지요?
      물론 시간에 따란 위치가 바뀌니 시간에서의 위상과도 같은 이야기 일거 같은데요. 맞나요?

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    5. 1. 기준 위상($\Phi = 0$)부터 보시기 바랍니다. 기준 위상의 시작점인 $\bar r_0$를 정의할 때 $\bar r_0$는 $\bar k$에 수직이라는 결과가 나옵니다.

      2. 위상은 시간과 공간 모두를 합한 값입니다. 시공간을 고려해야 파동 특성이 나옵니다.

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    6. 1. scalar product가 0이라는게 직각이라는 vector K의 평면위의 임의 위치. 이걸 시작점일 것인데요. Δt에 위치가 r_1이라는 것도 알겟습니다.
      아~~
      혹시 Δt일때 위치가 r_1이지면, 이 위치는 역시 vector K에 있는 건가요?
      r_1이 공간의 임의점으로 생각을 했었습니다.

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    7. 질문에 오타가 있는거 같아서 다시 적으면요.
      Δt일때 위치 vector r_1이 평면 vector K 위에 있는 건가요?

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    8. $\bar r_1 = \bar r_0 + \Delta \bar r$입니다. 식 (18)에 의해 $\Delta \bar r$은 $\bar k$ 방향입니다. 이해를 위해 본문 마지막 부분도 약간 추가했습니다. ^^

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    9. 아~ 이해를 한듯 했다가. 다시 T.T.
      예는 이해를 하였는데요. t.T
      그런데, 예에서는 K방향(z방향)의 진행을 가정하고, 논리를 전계 하였기 때문에 같은 방향이 된거 같습니다.

      어떠한 특성때문에 K방향으로 진행을 한다고 하셨는데, 어떠한 특성이 먼지 모르겠습니다.

      그래서 자꾸 K 방향이라는게 임의 한방향이 아니고, 모든 방향이 되어야 하는 것이 아닌가 하는 생각이 머리를 지배하게 되버립니다.

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    10. $\bar k$는 임의의 한 방향입니다. 이게 바로 파동의 진행 방향입니다. 평면파이기 때문에 평면의 방정식을 고민해보세요. ^^

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    11. 감사드립니다. 좀더 고민하고 문의 드리겟습니다.

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    12. 이해를 한것 같긴 한데요. 왜 이걸 어렵게 생각을 했을까 하는...
      인터넷 영부인 사진을 보고 나서, 갑자기 생각이 났어요. ㅋㅋ
      맞는지 확인차 여쭈어보면,
      1. 시작점 r_0에서 vector K가 방향이 평면의 수직 방향이고, 이 수직 방향으로 진행을 할 것이니, Δt 후에 Δr 만큼 진행한 평면이 당연히 vector K 방향이었던 거지요?

      2. vector K가 방향이 꼭 진선으로 진행하는 것은 아니지요?
      전기장이나 자기 장에서 보면, 전자기력선이 곡선도 있으니, 곡선으로도 진행을 할 수 있는 거지요? 물론 직각이구요.

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    13. 예, 맞습니다.

      간단하게 생각하려 평면파로 가정한 것이고 일반화시킬려면 푸리에 변환 기법 개념을 도입해야 합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/11/fourier-transform-technique-using-plane.html

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    14. 감사드립니다.

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  2. 식 1번과 2번은 과정은 비슷하지만 결과는 다릅니다. 왜 회로에선 d/dt = jw 가 되고 전파에선 d/dt=-jw가 되는지(어짜피 i랑 j 랑 같은 허수니깐...) 여쭤보고자 합니다.

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    답글
    1. 시간 약속을 식 (1)로 할 것인지 식 (2)로 할 것인지는 선택 사항입니다. 시간에 집중하는 분야라면 식 (1)을 쓰고(시간쪽 위상을 +로 설정), 공간이 중요한 분야라면 식 (2)를 씁니다(공간쪽 위상을 +로 설정).

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