2010년 10월 23일 토요일

대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "대칭적인 맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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맥스웰 방정식은 혁명적인 방정식이기는 하지만 전기장(electric field)자기장(magnetic field)에 대한 방정식들이 서로 대칭적이지는 않다.
언제나 수학자와 물리학자는 단순성을 최고의 가치로 추구하기 때문에 무언가 만족스럽지 않다.
그래서, 기존의 맥스웰 방정식을 대칭으로 만들기 위해 아래 식들을 생각해 보자.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

여기서 $\rho_e$와 $\rho_m$은 전하 밀도(electric charge density)와 자하 밀도(magnetic charge density)이며 $\bar J$와 $\bar M$은 전류 밀도(electric current density)와 자류 밀도(magnetic current density)이다.
아직까지 발견되지 않고 있는 자하(磁荷, magnetic charge)전하(電荷, electric charge)처럼 존재한다고 가정하면 위의 식처럼 맥스웰 방정식을 대칭적으로 만들 수 있다.
자하의 존재 가정이 틀리면 어떡하지? 걱정할 필요없다. $\rho_m = \bar M = 0$으로 두면 된다.
자하가 없다는 가정은 경험적인 관찰의 결과이므로 다른 곳에서 관측될 가능성은 언제나 있다.
예를 들면 [그림 1]의 안드로메다 은하(Andromeda galaxy)에서 발견될 수도 있는 것이다.

[그림 1] 안드로메다 은하의 관측 사진(출처: wikipedia.org)

식 (1)에서 (4)까지의 미분 방정식(differential equations)을 풀려면 원천을 전하와 자하로 구분하는 것이 편리하다.

                       (5)

여기서 아래첨자 $e$는 전하가 만든 전자장이며 아래첨자 $m$은 자하가 만든 전자장이다. 식 (5)에 따라 대칭적인 맥스웰 방정식을 분해하자.

                       (6)

                       (7)

식 (6)은 우리가 지금까지 풀어온 맥스웰 방정식이다. 포텐셜(potential) 기반 파동방정식(wave equation)을 고려하면 아래 식을 만족해야 한다.

                          (8)

                          (9)

                          (10)

                          (11)

여기서 벡터 $\bar A$는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)이며 식 (9)는 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)이다.
이와 같은 방법으로 자하에 대한 맥스웰 방정식인 식 (7)을 풀 수 있다. 먼저 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential)을 식 (12)로 정의하자.

                          (12)

그런데, 식 (12)에 (-) 부호는 왜 있지? 식 (2)에서 자류 밀도의 부호가 (-)이므로 전기 벡터 포텐셜 정의시 (-) 부호를 사용하는 것이 편하다.
식 (6)의 유도와 동일한 방법으로 식 (7)을 정리하면 아래와 같다.

                          (13)

                          (14)

                          (15)

식 (13)에서 (15)의 증명은 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 이용해도 쉽게 증명된다.
지금까지 식 (6)과 (7)을 모두 해결했으므로 식 (5)의 방식으로 전하와 자하 원천 기여를 합치면 식 (1)에서 (4)를 해결할 수 있다.

                          (16)

                          (17)

식 (16)과 (17)에 있는 복잡한 항인 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar A)$와 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar F)$의 의미는 무엇일까? 전기장과 자기장이 원역장(far-field)로 가는 경우를 생각해 보자. 이 경우 평면파(plane wave) 특성에 의해 나블라(nabla, $\bar \nabla$)는 다음처럼 바뀐다.

                         (18)

그러면 미분 연산으로 인해 복잡한 항이었던 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar A)$와 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar F)$는 다음처럼 파동의 진행 방향 $r$ 성분과 관계된 항이 된다.

                         (19)

식 (19)를 식 (17)에 대입하면 전기장과 자기장은 원역장에서 다음처럼 간략화된다.

                         (20)

식 (20)이 의미하는 것은 분명하다. 원역장에서 전기장과 자기장은 파동의 진행 방향인 $r$과 관계된 항이 전혀 없다. 예를 들어 식 (20)의 첫째식을 보자. 자기 벡터 포텐셜 $\bar A$는 $r$방향 성분이 빼졌기 때문에(= $\bar A - A_r \hat r$) $r$방향 성분이 없다. 전기 벡터 포텐셜 $\bar F$는 벡터 $\bar r$에 대한 외적이 있기 때문에 $r$방향 성분은 존재하지 않는다. 따라서, 전기장은 원역장에서 $r$방향 성분이 전혀 없다. 이 사실은 평면파의 특징과 일치한다.

[다음 읽을거리]
1. 헤르츠 벡터 포텐셜
2. 포인팅의 정리
3. 로렌츠 상반정리
4. 맥스웰 방정식의 쌍대성
5. 프란츠 공식
6. 자기 단극자

댓글 8개 :

  1. 단극이 존재할 수 있다는 가정하인가요???
    아니면 제가 전제를 읽지 않아서 '바보'가 된 것인가요ㅎ
    잘 읽고 갑니다.

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  2. 자기단극자(magnetic monopole)가 존재하지 않을 이유는 없습니다. 단지 아직 발견한 사람이 없는 것이지요. 위에서 이야기한 것이 이 부분입니다.
    실제 위 방정식을 적용할 때는 표면등가의 원리 관점에서 씁니다. 인위적으로 전기장을 불연속으로 만들 때 집어넣어야 하는 자류밀도(magnetic current density) 부분을 보시면 됩니다.

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  3. 재밌네요. 자하 관련해서 생각하다가 비슷한 방식을 써 보았다가 도저히 운동방정식이 구상이 안 되어서 포기했는데 혹시 A와 F를 이용한 라그랑지안은 없나요? covariant한 형식으로요.

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    1. 로렌츠 힘 공식부터 출발하면 전하에 대한 라그랑지안을 얻을 수 있습니다. 즉, 자기 벡터 포텐셜 A에 대해 힘 공식을 풀어쓰고 항별로 모으면 됩니다.

      자하에 대한 것은 전하의 쌍대성으로 쓰시면 되고요.

      로렌츠 변환에 대한 공변을 하려면 관련된 공변항들(전자파 텐서, 4-전류, 4-포텐셜 등)로 최종결과를 표현해야 합니다.

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    2. 전하에 대한 라그랑지안이 A와 phi(V로 쓰는 경우도 있지만)로 이루어진 4vector로 쓰이는 것은 봤는데, 전하에 대한 라그랑지안이 F와 그에 대응하는 다른 스칼라 필드로 이루어진 4vector로 쓸 방법은 도저히 떠오르지가 않아서요. totally antisymmetric tensor를 도입하는 방법도 생각해 봤지만 약간은 이상하게 결과가 나왔던 것 같네요.

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    3. 자하를 도입하면 맥스웰 방정식은 완전히 대칭이 되기 때문에 아래의 쌍대성을 쓰면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/05/duality-of-maxwells-equations.html

      예를 들면 전하(qe)의 라그랑지안과 관련된 qe(A·­v - Ve)의 자하(qm) 쌍대는 qm(F·­v - Vm)으로 쓸 수 있습니다.

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    4. 약간의 전달이 잘못 된 것 같네요. 저는 qe의 라그랑지안을 F와 Vm을 이용해 쓰는 방법은 없는지 궁금했었던 거라서요. 예전에 찾아놓고 아직 안 읽은 논문 중 A와 Ve만 이용해서 전하와 자하 모두의 운동방정식을 만족시키는 라그랑지안은 구성할 수 없다는 것이 있었는데 그것 때문에 질문드린 것이었습니다.

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    5. 제 생각에도 그럴 것 같은데요.
      qe가 원천이면 생성되는 포텐셜은 A와 Ve입니다. F와 Vm은 생기지 않습니다. 즉, qe와 F, Vm의 상호작용이 없기 때문에 qe의 라그랑지안에 F와 Vm을 쓰는 것은 이상하네요.

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