대칭적인 맥스웰 방정식(Symmetric Maxwell's Equations)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "대칭적인 맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 맥스웰 방정식

2. 전자기장 파동 방정식

3. 포텐셜 기반 파동 방정식

4. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식

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맥스웰 방정식은 혁명적인 방정식이기는 하지만 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)에 대한 방정식이 서로 대칭적이지는 않다. 언제나 수학자와 물리학자는 단순성을 최고의 가치로 추구하기 때문에 무언가 만족스럽지 않다. 그래서 기존의 맥스웰 방정식을 대칭으로 만들기 위해 아래 식을 생각한다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

여기서 $\rho_e$와 $\rho_m$은 전하 밀도(electric charge density)와 자하 밀도(magnetic charge density)이며 $\bar J$와 $\bar M$은 전류 밀도(electric current density)와 자류 밀도(magnetic current density)이다. 아직까지 발견되지 않고 있는 자하(磁荷, magnetic charge)가 전하(電荷, electric charge)처럼 존재한다고 가정하면 위의 식처럼 맥스웰 방정식을 대칭적으로 만들 수 있다. 하지만 자하의 존재 가정이 틀리면 어떻게 하지? 걱정말아요 그대! 이 경우는 $\rho_m$ = $\bar M$ = $0$으로 두면 된다. 자하가 없다는 가정은 경험적인 관찰의 결과이므로 다른 곳에서 관측될 가능성은 언제나 있다. 예를 들면, [그림 1]의 안드로메다 은하(Andromeda galaxy)에서 발견될 수도 있다.

[그림 1] 안드로메다 은하의 관측 사진(출처: wikipedia.org)

식 (1)에서 (4)까지의 미분 방정식(differential equations)을 풀려면 원천을 전하와 자하로 구분하면 편리하다.

                       (5)

여기서 아래첨자 $e$는 전하가 만든 전자장이며 아래첨자 $m$은 자하가 만든 전자장이다. 식 (5)에 따라 대칭적인 맥스웰 방정식을 분해한다.

                       (6)

                       (7)

식 (6)은 우리가 지금까지 풀어온 맥스웰 방정식이다. 포텐셜(potential) 기반 파동 방정식(wave equation)을 고려하면 아래 식을 만족해야 한다.

                          (8)

                          (9)

                          (10)

                          (11)

여기서 벡터 $\bar A$는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)이며 식 (9)는 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)이다. 이와 같은 방법으로 자하에 대한 맥스웰 방정식인 식 (7)을 풀 수 있다. 먼저 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential) $\bar F$를 식 (12)로 정의한다.

                          (12)

그런데 식 (12)에 ($-$) 부호는 왜 있을까? 식 (2)에서 자류 밀도의 부호가 ($-$)이므로 전기 벡터 포텐셜 정의시 ($-$) 부호를 사용하면 편하다. 식 (6)의 유도와 동일한 방법으로 식 (7)을 정리하면 아래와 같다.

                          (13)

                          (14)

                          (15)

식 (13)에서 (15)의 증명은 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 이용해도 쉽게 증명된다. 지금까지 얻은 식 (6)과 (7)의 해인 $\bar A, \bar F$와 함께 식 (5)의 방식으로 전하와 자하 원천 기여를 합쳐서, 식 (1)–(4)를 모두 만족하는 결과식을 공식화한다.

                          (16)

                          (17)

식 (16)과 (17)에 있는 복잡한 항인 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar A)$와 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar F)$의 의미는 무엇일까? 전기장과 자기장이 원역장(far field)로 가는 경우를 생각한다. 이 경우 평면파(plane wave) 특성에 의해 나블라(nabla, $\bar \nabla$) 연산자는 다음처럼 바뀐다.

                         (18)

그러면 미분 연산으로 인해 복잡한 항이던 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar A)$와 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar F)$는 다음처럼 파동의 진행 방향 $r$ 성분과 관계된 항이 된다.

                         (19)

여기서 $\bar \nabla \cdot \bar A$ $\sim$ $i k \hat r \cdot \bar A$ = $ik A_r$이다. 식 (19)를 식 (17)에 대입하면 전기장과 자기장은 원역장에서 다음처럼 간략화된다.

                         (20)

식 (20)의 의미는 분명하다. 원역장에서 전기장과 자기장은 파동의 진행 방향인 $r$과 관계된 항이 전혀 없다. 예를 들어, 식 (20)의 첫째식을 꼼꼼하게 본다. 자기 벡터 포텐셜 $\bar A$는 $r$방향 성분이 빼졌기 때문에[= $\bar A - A_r \hat r$] $r$방향 성분이 없다. 전기 벡터 포텐셜 $\bar F$는 벡터 $\bar r$에 대한 외적이 있기 때문에 $r$방향 성분은 존재하지 않는다. 따라서, 전기장은 원역장에서 $r$방향 성분이 전혀 없다. 이 사실은 평면파의 특징과 일치한다.

다이폴 안테나(dipole antenna)처럼 전류가 $z$방향으로 흘러서 자기 벡터 포텐셜이 $A_z$만 생기는 경우는 전자기장 표현식이 다소 복잡해진다. 먼저 $A_z$를 구 좌표계의 성분으로 분해한다.

                         (21)

식 (21)을 식 (16), (17)에 대입해서 $A_z$만 존재하는 때에 발생하는 전기장과 자기장을 각각 정의한다.

             (22)

             (23a)

             (23b)

                         (24)

여기서 $\partial A_z / \partial \phi$ = $0$이다. 식 (23), (24)는 그다지 단순화된 형태가 아니지만, $z$방향 전류가 만드는 전자기장을 구 좌표계에서 표현하는 여전히 유용한 공식이다. 원점에서 측정한 거리 $r$이 매우 커지면 식 (23), (24)는 거의 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 진행한다.

                         (25)

여기서 $\partial A_z / \partial r \sim i k A_z$, $\eta$ = $\sqrt{\mu / \epsilon}$이다. 만약 $r \to \infty$이면, $E_r$은 결국 없어져서 진행 방향에 수직인 성분만 남는다. 이는 전자파의 횡파 혹은 가로파(transverse wave) 특성을 보여준다.

[다음 읽을거리]

1. 헤르츠 벡터 포텐셜

2. 포인팅의 정리

3. 로렌츠 상반 정리

4. 맥스웰 방정식의 쌍대성

5. 프란츠 공식

6. 자기 단극자

7. 다양한 전자장 표현식