2010년 10월 23일 토요일

대칭적인 맥스웰 방정식(Symmetric Maxwell's Equations)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "대칭적인 맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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맥스웰 방정식은 혁명적인 방정식이기는 하지만 전기장(electric field)자기장(magnetic field)에 대한 방정식이 서로 대칭적이지는 않다. 언제나 수학자와 물리학자는 단순성을 최고의 가치로 추구하기 때문에 무언가 만족스럽지 않다. 그래서 기존의 맥스웰 방정식을 대칭으로 만들기 위해 아래 식을 생각한다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

여기서 $\rho_e$와 $\rho_m$은 전하 밀도(electric charge density)와 자하 밀도(magnetic charge density)이며 $\bar J$와 $\bar M$은 전류 밀도(electric current density)와 자류 밀도(magnetic current density)이다. 아직까지 발견되지 않고 있는 자하(磁荷, magnetic charge)전하(電荷, electric charge)처럼 존재한다고 가정하면 위의 식처럼 맥스웰 방정식을 대칭적으로 만들 수 있다. 하지만 자하의 존재 가정이 틀리면 어떻게 하지? 걱정말아요 그대! 이 경우는 $\rho_m$ = $\bar M$ = $0$으로 두면 된다. 자하가 없다는 가정은 경험적인 관찰의 결과이므로 다른 곳에서 관측될 가능성은 언제나 있다. 예를 들면, [그림 1]의 안드로메다 은하(Andromeda galaxy)에서 발견될 수도 있다.

[그림 1] 안드로메다 은하의 관측 사진(출처: wikipedia.org)

식 (1)에서 (4)까지의 미분 방정식(differential equations)을 풀려면 원천을 전하와 자하로 구분하면 편리하다.

                       (5)

여기서 아래첨자 $e$는 전하가 만든 전자장이며 아래첨자 $m$은 자하가 만든 전자장이다. 식 (5)에 따라 대칭적인 맥스웰 방정식을 분해한다.

                       (6)

                       (7)

식 (6)은 우리가 지금까지 풀어온 맥스웰 방정식이다. 포텐셜(potential) 기반 파동 방정식(wave equation)을 고려하면 아래 식을 만족해야 한다.

                          (8)

                          (9)

                          (10)

                          (11)

여기서 벡터 $\bar A$는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)이며 식 (9)는 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)이다. 이와 같은 방법으로 자하에 대한 맥스웰 방정식인 식 (7)을 풀 수 있다. 먼저 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential) $\bar F$를 식 (12)로 정의한다.

                          (12)

그런데 식 (12)에 ($-$) 부호는 왜 있을까? 식 (2)에서 자류 밀도의 부호가 ($-$)이므로 전기 벡터 포텐셜 정의시 ($-$) 부호를 사용하면 편하다. 식 (6)의 유도와 동일한 방법으로 식 (7)을 정리하면 아래와 같다.

                          (13)

                          (14)

                          (15)

식 (13)에서 (15)의 증명은 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 이용해도 쉽게 증명된다. 지금까지 얻은 식 (6)과 (7)의 해인 $\bar A, \bar F$와 함께 식 (5)의 방식으로 전하와 자하 원천 기여를 합쳐서, 식 (1)–(4)를 모두 만족하는 결과식을 공식화한다.

                          (16)

                          (17)

식 (16)과 (17)에 있는 복잡한 항인 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar A)$와 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar F)$의 의미는 무엇일까? 전기장과 자기장이 원역장(far field)로 가는 경우를 생각한다. 이 경우 평면파(plane wave) 특성에 의해 나블라(nabla, $\bar \nabla$) 연산자는 다음처럼 바뀐다.

                         (18)

그러면 미분 연산으로 인해 복잡한 항이던 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar A)$와 $\bar \nabla (\bar \nabla \cdot \bar F)$는 다음처럼 파동의 진행 방향 $r$ 성분과 관계된 항이 된다.

                         (19)

여기서 $\bar \nabla \cdot \bar A$ $\sim$ $i k \hat r \cdot \bar A$ = $ik A_r$이다. 식 (19)를 식 (17)에 대입하면 전기장과 자기장은 원역장에서 다음처럼 간략화된다.

                         (20)

식 (20)의 의미는 분명하다. 원역장에서 전기장과 자기장은 파동의 진행 방향인 $r$과 관계된 항이 전혀 없다. 예를 들어, 식 (20)의 첫째식을 꼼꼼하게 본다. 자기 벡터 포텐셜 $\bar A$는 $r$방향 성분이 빼졌기 때문에[= $\bar A - A_r \hat r$] $r$방향 성분이 없다. 전기 벡터 포텐셜 $\bar F$는 벡터 $\bar r$에 대한 외적이 있기 때문에 $r$방향 성분은 존재하지 않는다. 따라서, 전기장은 원역장에서 $r$방향 성분이 전혀 없다. 이 사실은 평면파의 특징과 일치한다.
다이폴 안테나(dipole antenna)처럼 전류가 $z$방향으로 흘러서 자기 벡터 포텐셜이 $A_z$만 생기는 경우는 전자기장 표현식이 다소 복잡해진다. 먼저 $A_z$를 구 좌표계의 성분으로 분해한다.

                         (21)

식 (21)을 식 (16), (17)에 대입해서 $A_z$만 존재하는 때에 발생하는 전기장과 자기장을 각각 정의한다.

             (22)

             (23a)

             (23b)

                         (24)

여기서 $\partial A_z / \partial \phi$ = $0$이다. 식 (23), (24)는 그다지 단순화된 형태가 아니지만, $z$방향 전류가 만드는 전자기장을 구 좌표계에서 표현하는 여전히 유용한 공식이다. 원점에서 측정한 거리 $r$이 매우 커지면 식 (23), (24)는 거의 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 진행한다.

                         (25)

여기서 $\partial A_z / \partial r \sim i k A_z$, $\eta$ = $\sqrt{\mu / \epsilon}$이다. 만약 $r \to \infty$이면, $E_r$은 결국 없어져서 진행 방향에 수직인 성분만 남는다. 이는 전자파의 횡파 혹은 가로파(transverse wave) 특성을 보여준다.

[다음 읽을거리]

댓글 10개 :

  1. 단극이 존재할 수 있다는 가정하인가요???
    아니면 제가 전제를 읽지 않아서 '바보'가 된 것인가요ㅎ
    잘 읽고 갑니다.

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  2. 자기단극자(magnetic monopole)가 존재하지 않을 이유는 없습니다. 단지 아직 발견한 사람이 없는 것이지요. 위에서 이야기한 것이 이 부분입니다.
    실제 위 방정식을 적용할 때는 표면등가의 원리 관점에서 씁니다. 인위적으로 전기장을 불연속으로 만들 때 집어넣어야 하는 자류밀도(magnetic current density) 부분을 보시면 됩니다.

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  3. 재밌네요. 자하 관련해서 생각하다가 비슷한 방식을 써 보았다가 도저히 운동방정식이 구상이 안 되어서 포기했는데 혹시 A와 F를 이용한 라그랑지안은 없나요? covariant한 형식으로요.

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    1. 로렌츠 힘 공식부터 출발하면 전하에 대한 라그랑지안을 얻을 수 있습니다. 즉, 자기 벡터 포텐셜 A에 대해 힘 공식을 풀어쓰고 항별로 모으면 됩니다.

      자하에 대한 것은 전하의 쌍대성으로 쓰시면 되고요.

      로렌츠 변환에 대한 공변을 하려면 관련된 공변항들(전자파 텐서, 4-전류, 4-포텐셜 등)로 최종결과를 표현해야 합니다.

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    2. 전하에 대한 라그랑지안이 A와 phi(V로 쓰는 경우도 있지만)로 이루어진 4vector로 쓰이는 것은 봤는데, 전하에 대한 라그랑지안이 F와 그에 대응하는 다른 스칼라 필드로 이루어진 4vector로 쓸 방법은 도저히 떠오르지가 않아서요. totally antisymmetric tensor를 도입하는 방법도 생각해 봤지만 약간은 이상하게 결과가 나왔던 것 같네요.

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    3. 자하를 도입하면 맥스웰 방정식은 완전히 대칭이 되기 때문에 아래의 쌍대성을 쓰면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/05/duality-of-maxwells-equations.html

      예를 들면 전하(qe)의 라그랑지안과 관련된 qe(A·­v - Ve)의 자하(qm) 쌍대는 qm(F·­v - Vm)으로 쓸 수 있습니다.

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    4. 약간의 전달이 잘못 된 것 같네요. 저는 qe의 라그랑지안을 F와 Vm을 이용해 쓰는 방법은 없는지 궁금했었던 거라서요. 예전에 찾아놓고 아직 안 읽은 논문 중 A와 Ve만 이용해서 전하와 자하 모두의 운동방정식을 만족시키는 라그랑지안은 구성할 수 없다는 것이 있었는데 그것 때문에 질문드린 것이었습니다.

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    5. 제 생각에도 그럴 것 같은데요.
      qe가 원천이면 생성되는 포텐셜은 A와 Ve입니다. F와 Vm은 생기지 않습니다. 즉, qe와 F, Vm의 상호작용이 없기 때문에 qe의 라그랑지안에 F와 Vm을 쓰는 것은 이상하네요.

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  4. 식 19번에 Ar이 갑자기 어떻게 나온건지 모르겠습니다. Ax Ay Az 직교좌표계여야 델연산자가 ik r로 표현되는거 아닌가요? Ax(r) 이란 의미인지 구면좌표계 변환인지

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    1. 평면파 근사를 사용합니다. 아래 링크의 식 (11)을 보세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2012/06/uniform-plane-wave.html

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