조금은 느리게 살자: 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, Duality of Maxwell's Equations)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "맥스웰 방정식의 쌍대성"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식

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맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 일반화한 식 (1)-(4)의 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)은 그 식 자체로 아름다움을 가지고 있다.

(1: 쿨롱의 법칙)

(2: 패러데이의 법칙)

(3: 비오-사바르의 법칙)

(4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (1)-(4)를 동시에 생각하기는 어려우므로 식 (5)와 (6)과 같이 전기 원천(electric source)과 자기 원천(magnetic source)에 대한 방정식으로 분해해서 단순화할 수 있다.

(5)

(6)

식 (5)와 (6)을 방정식별로 더하면 정확하게 식 (1)–(4)가 얻어지게 때문에 식 (5)와 (6)은 잘 분해되었다. 다음으로 식 (5)와 (6)을 상호비교하면 약간의 차이는 있지만 상당히 비슷하다. 이런 유추를 바탕으로 식 (5)와 (6)이 서로 같아지는 조건을 찾으면 [표 1]의 쌍대성이 된다. 쌍대는 서로 짝꿍 관계를 의미한다.

[표 1] 맥스웰 방정식의 쌍대성

여기서 PEC(Perfect Electric Conductor)는 완전 전기 도체[접선 전기장이 0] PMC(Perfect Magnetic Conductor)는 완전 자기 도체[접선 자기장이 0]이다. 예를 들어 전기 원천이 만든 전자기장을 쌍대성으로 바꾸려면 $\bar E_e \to \bar H_m$, $\bar H_e \to -\bar E_m$처럼 하면 된다. 반대로 자기 원천이 만든 전자장은 $\bar E_m \to -\bar H_e$, $\bar H_m \to \bar E_e$가 된다. [표 1]을 이용하면 식 (5)의 방정식을 식 (6)에 있는 방정식으로 전환할 수 있다. 즉, 식 (5)의 방정식을 풀었으면 식 (6)을 다시 풀 필요가 없다는 뜻이다. 좌측의 전기량을 우측의 자기량으로 바꾸면 바로 답을 얻을 수 있다. 맥스웰 방정식의 쌍대성은 전자기 이론에서 그다지 중요한 부분은 아니다. 다만 매우 유용하다. 특히 물리적으로 존재하지 않는 자하(磁荷, magnetic charge)에 대한 특성을 유추할 때 쌍대성은 그 장점을 드러낸다. [표 1]에서 전하를 자하로 바꿀 수 있으므로 전하(電荷, electric charge)의 특성을 기반으로 자하의 특성을 정확하게 설명할 수 있다. [그림 1]과 [그림 2]를 비교하면 이러한 특성을 직관적으로 이해할 수 있다.

[그림 1] 전하가 만드는 전기장(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 자하가 만드는 자기장(출처: wikipedia.org)

실제로 자하는 존재하지 않으므로 [그림 2]처럼 자석의 자기장으로 유추한다. 이러한 쌍대성을 바탕으로 자하에 작용하는 자기력(magnetic force)을 아래와 같이 정의할 수 있다.

(7)

전류 관점으로 본 자기장은 식 (8)처럼 벡터 외적(outer product)에 의해 정의되지만 자하에 의한 자기력은 식 (7)과 같이 단순하게 정의된다.

(8)

즉, 자기장과 같은 방향으로 자하가 움직이게 된다. 이는 N극은 N극을 밀고 S극은 당긴다는 실험 결과와 매우 유사하다. 여기서 조심할 부분이 있다. 자석은 자하를 모은 물체가 아니라 [그림 3]과 같은 전류의 집합체이다.

[그림 3] 자석 내부의 전류(출처: wikipedia.org)

자석이 서로 밀거나 당기는 특성은 식 (8)의 비오-사바르 법칙(Biot-Savart law)으로 충분히 설명이 가능하다. 예를 들어 자석이 [그림 3]과 같이 자기장을 $z$축으로 형성한다고 가정하자. 그러면 자석에서 멀어진 자기장은 [그림 3]과 같은 모양으로 퍼지기 때문에 $\rho$축 자기장 벡터도 생기게 된다. 그래서 [그림 2]의 N극[전류 방향 $\phi$축]은 다른 자석에 있는 S극[전류 방향 $\phi$축]을 식 (8)에 의해 자기쪽으로 다음과 같이 당겨야 한다.