2010년 10월 24일 일요일

헤르츠 벡터 포텐셜(Hertzian vector potential)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헤르츠 벡터 포텐셜"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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논문을 읽다보면 헤르츠 벡터 포텐셜이라는 생소한 개념을 사용하는 경우가 있다.
두려워할 필요는 없다. 이미 공부했다. 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)과 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential)의 다른 이름이 헤르츠 벡터 포텐셜이다.
전자기 벡터 포텐셜 $\bar A$와 $\bar F$를 이용하여 헤르츠 벡터 포텐셜 $\bar \Pi_e, \bar \Pi_m$을 정의하면 식 (1)과 같다.

                          (1)

전자기 벡터 포텐셜과 헤르츠 벡터 포텐셜은 상수배만큼만 차이난다. 전자기 벡터 포텐셜을 이해하면 헤르츠 벡터 포텐셜도 쉽게 사용할 수 있다.
특히 헤르츠 벡터 포텐셜은 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)가 다음처럼 굉장히 간단하게 표현된다.

                          (2)

아래에 있는 전자기 벡터 포텐셜 $\bar A$와 $\bar F$에 대한 로렌츠 게이지와 식 (2)를 비교해보자. 헤르츠 벡터 포텐셜의 로렌츠 게이지는 스칼라 포텐셜과만 연계되므로, 식 (2)와 같이 표현식이 매우 단순해진다.

                          (3)

                          (4)

헤르츠 벡터 포텐셜이 만족해야 하는 미분 방정식은 아래와 같다.

                          (5)

                          (6)

식 (1)의 헤르츠 벡터 포텐셜 정의를 대칭적인 맥스웰 방정식으로부터 유도한  식 (7)과 (8)에 대입하자.

                          (7)

                          (8)

식 (7)에 식 (1) 정의를 적용하면 아래처럼 간단히 할 수 있다.

                          (9)

식 (5)를 식 (9)에 대입하고 라플라시안(Laplacian) 정의를 대입하면 최종식 (10)을 얻는다.

                          (10)

식 (8)과 (1)로부터 자기장 $\bar H$에 대해서도 동일한 관계식을 얻을 수 있다.

                          (11)

식 (6)을 식 (11)에 넣고 정리하면 최종 관계식 (12)를 유도할 수 있다.

                          (12)

댓글 4개 :

  1. 안녕하세요 :) 매번 잘 읽고 있습니다.
    혹시 자하의 존재를 가정하지 않고, 전기벡터퍼텐셜이나 자기스칼라퍼텐셜도 정의하지 않고,
    Πe만을 기존의 전기스칼라퍼텐셜과 자기벡터퍼텐셜의 근원으로 해석해도 상관없나요?
    만일 그렇다면 Πe는 수학적 도구가 아니라 물리적 실체로서 여겨볼 수 있을 것 같아서요 ㅎ

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    1. 벡터 포텐셜이 물리적 실체라고 주장한 논문들도 있지만, 저는 힘과 에너지를 잘 설명하기 위한 유용한 개념으로 장(field)과 포텐셜(potential)을 바라봅니다.

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    2. 답변 감사합니다 :) 앞서 질문한대로 Πe와 Πm을 별도로 생각하는건 상관 없나요?
      Πm은 자하를 가정해야지만 정의가 가능한 반면 Πe은 기존의 전자기법칙만으로도 정의 가능해보여서요.

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    3. 쌍대성이 성립하므로 두 포텐셜의 특성은 같습니다. 원천도 전기와 자기로 서로 분명하게 구별할 수 있고요.

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