2012년 8월 11일 토요일

복소 함수론(complex analysis)의 쉬운 이해


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "복소 함수론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 복소수
2. 완전 미분


수학 분야에 멋지고 아름다운 이론이 많지만 수학적 아름다움의 최상은 복소 함수론(complex analysis)이다. 인간이 지금까지 제안한 이론 중에서 가장 단순하면서도 심오하고 그러면서도 너무나 아름다운 이론이 복소 함수론이다.

[그림 1] 미켈란젤로의 피에타(출처: wikipedia.org)

복소 함수론의 시작과 끝이며 가장 중요한 정리는 다음 식 (1)에 제시한 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)이다. 이 정리는 복소 함수론을 만든 수학자 코쉬(Augustin-Louis Cauchy)가 1814년에 제안하고 1825년에 증명했다[2]. 자, 그럼 복소 함수론의 아름다움을 느낄 수 있는 다음 식을 보자.

                       (1)

여기서 닫힌 경로 $c$는 단순 연결(simply connected) 경로이며, $f(z)$는 닫힌 경로 $c$가 만든 내부 면적에서 항상 해석적인 함수(analytic function)이다.
단순 연결 경로는 [그림 1]처럼 경로를 줄여갔을 때 점으로 수축될 수 있는 경로이다. [그림 2]처럼 경로 내부에 구멍이 있으면 단순 연결이 아니다.

[그림 1] 구표면에 형성한 단순 연결 경로(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 내부 구멍으로 인해 단순 연결 경로가 아닌 예(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 복소 평면에 표시한 복소수(출처: wikipedia.org)

해석 함수의 원뜻은 해석학(analysis)으로 분석가능한 함수이다. 해석학이라는 학문은 무한(infinity)과 극한(limit)을 다루는 학문이므로 해석 함수는 우리가 생각하는 영역에서 극한이 존재하고 무한 급수(infinite series)로 표현가능해야 한다. 따라서 실해석 함수(real analytic function)라면 반드시 식 (2)의 테일러 급수(Taylor series)로 표현가능하고 수렴해야 한다.

              (2)

복소 해석 함수(complex analytic function)는 특정한 복소 평면(complex plane)에서 테일러 급수와 같은 무한 급수가 존재해서 반드시 수렴한다.

                        (3)

식 (1)의 $f(z)$는 정확하게는 복소 해석 함수이지만 간단하게 해석 함수라고도 한다. 식 (3)를 이용하면 식 (1)을 쉽게 증명할 수 있다. 닫힌 경로를 반지름이 $R$인 (circle)이라 가정하면 다음이 성립한다.

                        (4)

식 (4)가 0이 되는 이유는 분명하다. 복소 지수 함수(complex exponential function)의 의미가 [그림 4]처럼 복소 평면을 회전하는 것이므로 $m > 0$인 경우는 항상 0이다. (∵ 복소 지수 함수에 대한 경로 $c$의 시작점과 끝점이 같기 때문에 적분하면 당연히 0이 된다. or 식 (4)의 적분 자체가 회전을 의미하는 것이므로 아무리 돌려도 제자리로 돌아오기 때문에 0이 된다. 한 바퀴, 두 바퀴, 혹은 아무리 많이 돌더라도 정수배로만 돈다면 항상 제자리이므로 적분값은 항상 0이 된다.)
여기서 가져야 하는 또 하나의 의문은 폐곡선의 내부와 외부를 어떻게 나누는가이다. 아주 일반적인 경우라면 조르당 곡선 정리(Jordan curve theorem)를 이용해 폐곡선의 내부와 외부를 정의할 수 있겠지만, 우리가 고민하는 것은 단순한 경우이므로 오른손 법칙만으로도 충분하다. 즉, 폐곡선이 휘어진 방향으로 엄지를 제외한 오른쪽 손가락을 위치시켰을 때 엄지가 위치한 부분이 폐곡선의 내부이다. 예를 들어, 오른손으로 돌려보면 [그림 1]의 폐곡선은 엄지가 구의 위쪽에 위치하므로 오른손 법칙에 의해 구의 위쪽이 폐곡선의 내부가 된다. 폐곡선이 휘지 않은 직선인 경우라면 폐곡선의 내부와 외부를 결정할 수 없다. 일반적으로 가면 더 어려워진다. 우리가 폐곡선의 내부와 외부를 판단하는 기준은 곡선이 휜 특성이다. 이 부분은 미분과 관련되기 때문에 미분할 수 없는 곡선(예를 들면 프랙털 곡선(fractal curve))이라면 상황은 더 복잡해진다.

[그림 4] 복소 지수 함수의 기하학적 의미(출처: wikipedia.org)

그런데 복소 함수를 미분하든지 적분하려면 그 미분이 반드시 존재해야 한다. 복소수는 2차원 복소 평면에 존재하기 때문에 복소수의 미분은 2차원 평면에서 정의되어야 한다. 따라서, 복소 평면에서 미분할 수 있는 방법은 [그림 5]처럼 무한히 많다.

[그림 5] 복소 평면에서 미분 방법

복소 함수의 미분이 정상적으로 정의되기 위해서는 어떤 경로를 따라 미분하더라도 그 값이 같아야 한다. (이런 함수는 정칙 함수(正則函數, holomorphic function)라고 한다. 로랑 급수(Laurent series)를 이용하면 복소수 범위에서 정칙 함수와 해석 함수는 서로 등가라는 것을 증명할 수 있다.) 예를 들어 실수축($x$축)과 허수축($y$축)을 따라 미분하면 다음을 얻는다.

                        (5)

$x$축을 따라 미분한 결과와 $y$축을 따라 미분한 결과를 같다고 연립하면 식 (5)로부터 다음 방정식을 얻을 수 있다.

                        (6)

식 (6)은 복소 함수론에서 매우 중요하기 때문에 이름도 붙어있다. 바로 코쉬-리만 방정식(Cauchy-Riemann equation)이다[1]. 코쉬-리만 방정식은 리만(Bernhard Riemann)의 박사학위 논문[1]에 처음 등장한다. 이토록 중요한 방정식을 스물다섯살 청년 리만이 제안했다는 것이 놀랍다. 박사학위 지도교수인 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 입이 닳도록 칭찬한 논문이 리만의 박사논문이다. 성격 자체가 까칠한 가우스가 리만을 칭찬한 것 자체가 리만의 위대성을 나타낸다. 수학책에도 나오는 데데킨트(Richard Dedekind)는 가우스의 마지막 제자였다. 하지만 가우스 교수는 리만 학생과 비슷한 시기에 심사를 받은 데데킨트 학생의 논문에는 별다른 평을 하지 않았다. 그만큼 수준 차이가 났다는 뜻이다. 그도 그럴 것이 리만의 논문[1]에는 코쉬-리만 방정식, 가지 자름(branch cut) 방법, 등각 사상(等角寫像, conformal mapping), 리만 표면(Riemann surface) 등이 있었다. 리만은 코쉬의 복소 함수론을 기하학(geometry)적 관점으로 새롭게 봤다. 이 점을 가우스가 높게 본 것이다.

자, 그럼 코쉬-리만 방정식을 증명해보자. 복소 함수의 미분은 다음으로 표현가능하다.

                        (7)

복소 함수는 $x, y$ 이변수 함수이므로 완전 미분(exact differential)을 이용해 미분(differentiation)을 구해야 한다. 이 점을 이해하지 못하면 코쉬-리만 방정식의 의미를 알 수 없다.

                        (8)

식 (6), (8)을 식 (7)에 대입해보자.

                        (9)

식 (9)를 다시 식 (7)에 넣으면 복소 함수 $f(z)$의 미분을 구할 수 있다.

                        (10)

식 (10)은 어떤 미분 경로를 택하더라도 미분값은 고정이므로 코쉬-리만 방정식이 잘 성립한다. 물론 이런 방식으로 리만이 증명한 것은 아니다. 이것은 수학적으로는 부실하지만 코쉬-리만 방정식이 성립하는 것을 편하게 보일 수 있다. 실제 리만은 켤레 복소수(complex conjugate)를 이용해 식 (6)을 증명했다.
   (11)

식 (11)의 결과를 식 (7)에 넣으면 다음을 얻는다.

                        (12)

미분 경로 $dz$에 관계없이 복소 함수의 미분이 일정하기 위해서는 식 (12)의 세째줄이 0이 되어야 한다. 이 조건이 바로 식 (6)의 코쉬-리만 방정식이다.

코쉬-리만 방정식은 복소 함수론에서 풍성한 결과를 만들어낸다. 대표적인 것이 식 (1)의 증명이다. 코쉬의 적분 정리를 실수부와 허수부로 쓰면 다음을 얻는다.

                        (13)

식 (13)의 선적분(line integral)을 위해 다음 그린 정리(Green's theorem)를 생각하자.

                        (14)

식 (14)를 이용하면 식 (13)은 다음의 면적적분(surface integral)으로 바뀐다.

                        (15)

식 (15)가 0이 되려면 반드시 복소 함수 $f(z)$가 식 (6)의 코쉬-리만 방정식을 만족해야 한다.

[그림 6] 원형 경로의 합으로 표현한 임의의 경로

식 (4)의 원형 경로 선적분이 0이 되는 결과를 이용하면 식 (1)의 코쉬 적분 정리를 더욱 직관적으로 증명할 수 있다. [그림 6]처럼 임의 경로(빨간색)를 원형 경로(녹색)의 무한합으로 완벽히 표현할 수 있기 때문에(∵ 유한한 원형 경로로 표현하면 [그림 2]처럼 내부에 구멍이 생기지만 그 구멍을 다시 원형 경로로 만들면 구멍 크기를 한없이 줄일 수 있으므로) 임의 경로의 선적분은 식 (1)처럼 0이 된다.

이상 소개한 코쉬-리만 방정식과 코쉬의 적분 정리를 바탕으로 복소 함수론의 다양한 정리들을 증명해보자. 식 (1)의 코쉬 적분 정리로부터 직접 유도가 되는 유수 정리(residue theorem)를 먼저 살펴보자. 유수 정리는 코쉬가 1831년에 증명했다. 하지만 유수(留數, residue)라는 말은 코쉬가 이미 1826년에 제안했었다.

[그림 7] 적분 경로 내부의 극점들

[16. 유수 정리(留數定理, residue theorem)]

                        (16)

여기서 $f(z)$는 [그림 7]처럼 $z_m$에서 극점(pole: 함수가 무한대로 발산하는 점)을 가진다.

[증명]
먼저 함수가 발산하는 극점은 하나라 하고 이 점을 $z_0$라 하자. 그러면 적분 경로를 다음처럼 변형할 수 있다.

[그림 8] 극점을 위한 적분 경로 변형

그러면 새롭게 변형된 적분 경로 내부에는 극점이 없기 때문에 $f(z)$는 영역 내부에서 해석적이다. 그래서 식 (1)의 코쉬 적분 정리를 사용할 수 있다.

                        (17)

여기서 경로 $c_1, c_2$는 한없이 가까이 접근한다고 가정했다. 식 (17)이 의미하는 것은 이렇다: 극점이 있는 복소 함수를 닫힌 경로(c)로 적분한 값은 극점 근방 $-c_0$의 적분값과 같다.
또한, 복소 함수 $f(z)$는 극점에서 발산하므로 식 (3)의 무한 급수를 확장해서 $z = z_0$ 근방에서는 다음으로 표현할 수 있다.

                        (18)

식 (18)은 테일러 급수와 비슷하지만 시작점이 0이 아닌 음의 무한대이다. 식 (18)과 같은 급수는 제안자 로랑(Pierre Alphonse Laurent)의 이름을 따서 로랑 급수(Laurent series)라고 한다.
적분 경로 $-c_0$는 마음대로 택할 수 있으므로 가장 쉬운 (circle)으로 잡자. 그러면 식 (4)를 그대로 쓸 수 있다.
사실 원을 따라 복소 지수 함수의 선적분을 한다는 것은 복소 평면을 몇 바퀴를 도는가 하는 것이다. $m \ge 0$인 경우는 반시계방향으로 1, 2, 3, ... 바퀴씩 돌아서 제자리로 돌아오므로 선적분이 0이다. $m \le -2$인 경우는 시계방향으로 1, 2, 3, ... 바퀴씩 돌므로 적분이 0이다.
특이한 경우가 $m = -1$이다. 이 경우는 복소 지수 함수의 지수부가 0이 되므로 선적분을 하더라도 복소 지수 함수는 변하지 않는다. 따라서, 선적분값은 다음처럼 얻어진다.

                        (19)

여기서 $a_{-1}$은 선적분하고 남은 찌꺼기 숫자라고 해서 유수(留數, residue)라 한다. 다시 말하면 유수는 복소 함수 $f(z)$의 특성이 $1/z$로 변할 때의 계수로 정의한다. 좀더 고상하게는 다음으로 표기할 수 있다.

                        (20)

극점이 한 개가 아니고 여러 개라면 식 (17)처럼 각 극점에 대해 적분 경로를 변형하면 식 (16)이 증명된다.
______________________________

유수 정리를 이용하면 다음에 있는 다양한 공식들을 증명할 수 있다. 먼저 코쉬가 유수 정리와 함께 1831년에 증명한 코쉬의 적분 공식을 보자.

[21. 코쉬의 적분 공식(Cauchy's integral formula)]

                        (21)

여기서 $f(z)$는 해석 함수이다.

[증명: 유수 정리]
$f(z)$는 해석 함수이므로 식 (3)을 이용해 다음처럼 표현할 수 있다.

                        (22)

따라서, 식 (22)에 나타난 무한 급수의 유수는 식 (16)에 의해 $a_0$이므로 식 (21)이 증명된다.
______________________________

[증명: 적분 경로 변형]

                        (23)

여기서 임의의 경로 $c$는 [그림 8]과 같은 적분 경로 변경을 통해 반지름 $R$인 원으로 바뀔 수 있다.
______________________________

[코쉬의 미분 공식(Cauchy's differentiation formula)]

                        (24)

여기서 $f^{(n)}$은 복소 함수 $f(z)$를 $n$번 미분했다는 뜻이며 $f(z)$는 해석 함수이다.

[증명]
$f(z)$가 해석적이므로 다음 무한 급수로 미분을 표현할 수 있다.

                        (25)

여기서 계수 $a_n$과 $f(z)$ 미분과의 관계는 테일러 급수 개념을 쓰면 쉽게 얻어진다.
다음으로 식 (22) 증명과 마찬가지로 식 (16)의 유수 정리를 쓰면 식 (24)가 증명된다.
______________________________

식 (24)가 의미하는 것은 참 재미있다: $f(z)$가 $z = z_0$ 근방에서 해석 함수라면 $z = z_0$에서 무한번 미분가능하다는 것이다. 즉, 해석 함수의 표면은 날카로운 부분없이 항상 매끈하다것을 의미한다.
또한, 복소 함수에서는 실제 미분할 필요없이 $z = z_0$ 주변으로 선적분하면 미분계수가 얻어진다. 혹은 로랑 급수를 구할 때 선적분을 통해 계수 $a_m$을 구할 수 있다는 뜻이다. 그래서 이 개념을 이용하면 식 (24)를 변형해 다음 공식을 얻을 수 있다.

                        (26)

여기서 반전 한가지. 식 (1)의 제안자는 분명히 大수학자 코쉬이다. 하지만 식 (1)의 최초 발견자는 가우스(Carl Friedrich Gauss)이다. 가우스 사후에 재발견된 그의 학술 일기[3](19쪽, 146항목)에 식 (1)이 나온다. 코쉬 입장에서는 황당할 것이다. 이 아름다운 정리의 최초 발견자가 자기가 아니라니... 코쉬에게 위로의 말을 하자면, 가우스의 결벽증으로 인해 심한 정신적 피해를 본 수학자가 한둘이 아니라는 것이다. 사원수(四元數, quaternion)를 제안한 해밀턴(Sir William Rowan Hamilton)도 최초 발견자가 아니며 비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)의 제안자인 보이아이(János Bolyai)와 로바체프스키(Nikolai Ivanovich Lobachevsky)도 최초가 아니다. 모두 가우스가 먼저 한 일이다.
학술 일기는 아주 개인적인 일기이기 때문에 가우스가 공개적으로 발표하지 않았지만 그의 사후인 1897년에 재발견된 후 수학자 클라인(Felix Klein)이 주석을 붙여 1903년에 출판했다[3]. 가우스의 학술 일기에는 정수론(number theory), 무한 급수(infinite series), 복소 함수론(complex analysis), 사원수, 비유클리드 기하학 등과 같은 당시 수학 이론을 훨씬 뛰어넘는 다양한 내용들이 들어있다. 하지만 이 모든 것들이 라틴어로 함축되어 쓰여 있고 어떤 항목들은 암호처럼 기술되어 있기 때문에 가우스의 학술 일기에는 이해 못할 부분들이 아직까지도 많다.

[참고문헌]
[1] B. Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Foundations for a General Theory of Functions of One Variable Size Complex Number), Inaugural Dissertation, Göttingen, Dec. 1851.
[2] A.-L. Cauchy, "Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (Memorandum on definite integrals taken between imaginary limits)," Académie des Sciences, Feb. 28, 1825.
[3] C. F. Gauss and F. Klein, Gauss' wissenschaftliches Tagebuch: 1796 - 1814 (Gauss' Scientific Diary: 1796-1814), Teubner, 1903.

[다음 읽을거리]
1. 로랑 급수
2. 복소 함수의 다가성
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댓글 95개 :

  1. 정말 좋은글 잘 봤습니다. 책에는 보통 유수가 뒤에 나오는것 같던데 거꾸로 하니까 더 쉬운거 같네요.

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    1. 예, 맞습니다. 복소함수론도 정상적인 순서보다 거꾸로 보는 것이 좋습니다. 그래야 우리가 왜 복소함수론을 배우는 지 쉽게 알 수 있습니다.

      코쉬가 발견한 것도 유수정리가 먼저이고 이를 설명하고자 해석함수를 제안했을 겁니다. 해석함수의 의미를 복소함수의 미분으로 확장한 것은 그 뒤 수학자인 리만이고요.

      책에는 이 순서로 나오지 않지요. 리만이 제안한 복소함수의 미분을 기반으로 코쉬-리만 방정식을 만들고 이를 바탕으로 해석함수, 적분 정리, 유수정리가 쏟아지지요.

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  2. 크기를 줄였을 때 점으로 수축될 수 있는 경로를 닫힌 경로라고 한다는 정의는 잘 이해가 가지 않지만 그림으로 보니 확 이해가 되는군요.

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    1. 그림만큼 수학 이해에 좋은 도구도 없지요! 저도 어떻게든지 수학 개념을 시각적으로 생각하려 노력합니다.

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  3. 처음으로 글을 달아보네요.
    수학과 전공 학생으로써 복소를 공부하는데 정말 큰 도움이 되고 있습니다.
    감사합니다!

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    1. 방문 감사합니다.
      수학과 관점에서 보면 글들의 엄밀성이 많이 떨어지지만 초반의 엄밀성은 다소 포기하고 직관적 이해를 돕도록 글을 작성했습니다. (끝까지 가면 이 관점도 엄밀성에서 뒤지지는 않습니다.)
      너그럽게 이해해주세요. ^^

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  4. 안녕하세요??
    bessel함수나 frobenius 함수를 보다가 analytic하다는 뜻이 어려워서
    이쪽으로 넘어오게되었는데요..
    식을 테일러 급수 전개표현이 가능하고 그 값이 발산하지 않고 수렴구간이 존재 할때 analytic한것인가요?
    그럼 식을 보고 빠르게 analytic 하다는걸 파악할 수 있는 방법이 따로있을까요? ㅜㅜ 일일이 급수전개를 하기가 번거롭거든요 ㅜㅜ
    수준낮은 질문이라.. 죄송스러울다름입니다..ㅎㅎ

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    1. 방문 감사합니다. ^^
      해석 함수는 복소 영역에서 미분가능한 함수입니다. 쉽게 생각해 미분가능하면 해석적입니다.

      테일러 급수 형태도 잘 보면 (수렴성은 따져야 하지만) 항상 미분가능해서 해석 함수입니다.

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  5. 안녕하세요^^ 거북이님 식 11에 오류가 있어요, 각각 1/2랑 1/2i를 곱해줘야 해요 좋은 글 감사해요~

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    1. 아니구나, 그냥 전부 1/2를 곱해주면 되겠네요

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    2. 아이쿠, 오타가 났네요. 익명님 아니면 못 찾을 뻔했네요. 정말 감사합니다. ^^

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  6. 아~...
    점점 저로부터 멀어지는 수학이로군요.
    음...

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  7. 안녕하세요...
    저는 공대 전기공학과 학생인데요;;
    전자기학,회로이론 에 나오는 어려운;;수학들이 다 여기서 나온거였군요ㅠ
    혹시 질문하나만 드려도 될까요?
    라플라스 역변환 증명과정이 복소변수론 책보면 나오나요??
    전공서적에는 그냥 공식만 나오고 변환표를 이용해서 미분방정식을 빠르게 푸는법만 나와있어요ㅠ

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    1. 라플라스 역변환 증명은 매우 까다롭습니다. 복소 함수론을 이용해 증명한 것은 맞지만 왠만한 책에는 나오지 않을 것 같네요. 브롬위치 적분(Bromwich integral)으로 검색해 보세요.

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  8. 기초적인 질문 입니다. T.T

    1. 위 내용중에
    "복소 함수의 미분이 정상적으로 정의되기 위해서는 어떤 경로를 따라 미분하더라도 그 값이 같아야 한다."
    로부터 풀어 나가는거 같은데요. 이건 왜 그런가요?

    2. 식(5)가 - 가 생기는게, 복소수가 분모에서 분자로 가면서 생기는건가요?
    _____
    전파곰

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    1. 1. 혹시 완전 미분에서 식 (4)와 같은 내용인가요?

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    2. 1. 특정 경로에만 미분이 정의되면 수학의 강점인 일반성을 잃게 됩니다. 어떻게 미분하든지 값이 같아야 일반적이면서 아름다우니 이렇게 정의하는 것입니다. 수학자들은 군더더기를 싫어합니다. ^^

      2. 예 맞습니다.

      3. 식 (4)는 단순한 원주상의 선적분입니다.

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    3. "복소 함수의 미분이 정상적으로 정의되기 위해서는 어떤 경로를 따라 미분하더라도 그 값이 같아야 한다."

      완전미분의(http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/exact-differential.html)
      예전에 여쭈어 보았던 식 (4)
      ∂A(x,y)/∂y = ∂B(x,y)/∂x = ∂∂f/∂x∂y
      이거와 관련이 있지 않을까 했는뎅. 아닌가 부네용.

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    4. 식 (7)부터 소개된 리만의 증명을 따라가야 정확히 증명됩니다.

      식 (14)에 나오는 그린 정리가 완전 미분과 밀접히 관계되어 있지만 복소수 개념이 들어가야 해서 완전 미분만으로는 부족합니다.

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    5. "복소 함수의 미분이 정상적으로 정의되기 위해서는 어떤 경로를 따라 미분하더라도 그 값이 같아야 한다."

      증명보다는 개념적으로, 완전 미분의 기하학적의미에서 어떤 경로를 가더라도 f(x+Δx, y+Δy)로 도달하게 되니, 이렇게 이해를 하고 있어도 무리 없지 않을까 해서요.

      삭제
    6. 코쉬-리만 방정식은 복소 함수들의 예외적인 경우입니다. 완전 미분만으로는 경로 무관한 미분 정의가 가능하지 않습니다. 이게 가능했다면 [1]에 있는 리만의 박사 학위 논문에 코쉬-리만 방정식 증명을 싣지 않았겠지요.

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    7. 헉 무슨 말씀이신지 전혀 모르겠습니다.
      끝까지 읽어보고 문의 드리겠습니다.

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    8. 죄송합니다.
      식(10)까지만 읽고, 식 (6) 방정식을을 증명하는데, 왜 식(6)을 사용할까 해서, 먼거 전제가 있는가 했습니다. 식(10) 이후에 설명이 나와 있네요.
      지송요. T.T

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  9. 공업수학2 전체적인 내용의 흐름을 알수있게 정말 간결하고 핵심적인 글을 써주셨네요 감사합니다

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    1. 공업 수학책에는 코쉬-리만 방정식과 같은 중요식의 증명을 건너뛰고 있는 부분이 많아 다시 증명해 본 것입니다. ^^

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  10. 안녕하세요...
    오랜만에 또들어왔네요 라플라스역변환 질문했던 공대생입니다ㅋ
    '즐겨찾기'에 추가가 되있길래;;;
    그때이후로 Complex analysis(알포스) 보고있는데여....
    진짜진짜 어려워요ㅠㅜ
    혼자서는 이거.....보조적인 자료가 필요할것 같습니다ㅠ

    에휴 비싼책샀으니 어떻게든 끝까지 해봐야겠죠?

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    1. 공부하는 과정이라고 생각하세요. ^^
      물리학 밑바닥까지 이해하려면 복소 함수론은 필수입니다. 그냥 대충 배울려면 공식 몇 개만 알고 있으면 되죠.

      복소 함수론은 보조 교재 찾아도 별 도움 안될겁니다. 스스로 유도해보는 게 가장 좋은 방법입니다. 힘내세요. ^^

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  11. 혹시....복소함수 선적분의 물리적 의미를 알 수 있을까요...???

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    1. 복소 함수론은 굉장히 수학적인 내용입니다. ^^
      굳이 물리적인 의미를 찾자면 식 (16)을 보기 바랍니다. 식 (16)을 보면 영역 내부($z = z_m$)로 들어가지 않더라도 외부 관측(경로 $c$)을 통해 영역 내부의 특성을 알 수 있습니다.

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  12. 고맙습니다.. 번번히 글을 읽고 가는데 감사의 말을 전했던 적이 없네요.

    저는 물리과 대학원 재학중인 학생입니다.

    그럼 수고하세요 또오겠습니다.

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    1. 익명님, 방문 감사합니다. 새로운 물리학 소식도 가끔씩 전해주세요. ^^

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  13. 정말 감사합니다!
    Complex analysis책 보면서 수업도 들었지만.. 대체 무슨 내용인지 어디서부터 시작인지 감이 안왔는데..
    이 글을 읽고 기본적인 틀이 갖춰진 느낌이에요. 왜 복소함수에 대해 배우는지도 알게됐구요 정말 감사합니다. 정보 많이 얻고 가요^^

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^
      익명님 같은 분들을 위해서 이 글을 적은 것입니다. 저도 처음 배울 때는 복소 함수론을 왜 배워야 하는지 몰라서 고민한 적이 많습니다. 도움이 되었다니 기분이 좋습니다.

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  14. 죄송한데 참고문헌1 영어번역본 어디서 구할 수 있나요? 찾기가 어려워서ㅠ

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    1. 영어 번역은 저도 못봤습니다.
      다만 독일어, 영어는 같은 게르만 어족이라 구글 번역으로 돌리면 거의 완벽하게 번역됩니다. 저도 그렇게 해서 논문을 읽었습니다.

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  15. 참 복소파트는 용어도 생소하고 해서 덜컥 겁먹고 심란했는데
    맥을 잘 짚어주시니 감사합니다^^ 2년째 뭐 모를때마다 들어오고 있네요 ㅎㅎ
    항상 감사합니다!

    공수 책에 보면 유수정리 다음쪽에 '주치'가 어쩌구 하면서 나오는데 중요한 파트인가요?
    사실은 담주에 셤보는데 셤범위가 '복소적분' 까지라서 공부할까 말까 고민고민.. 입니다..
    으.. 어렵나요? ㅠㅠ 또 덜컥 겁먹고 ㅠㅠ

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  16. 써놓고 보니 공부하기 싫어서 떠맡겨 버리는거 같네요 ㅎㅎ 사실이지만 ㅠㅠ 윽

    SOS!
    감사합니다.

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    1. 알고 보면 "주치"도 별 것 없습니다. 선택의 문제일 뿐입니다. 아래 링크 참고하세요. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/08/multi-valuedness.html

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  17. "미분 경로 dz에 관계없이 복소 함수의 미분이 일정하기 위해서는 식 (12)의 세째줄이 0이 되어야 한다."
    셋째 줄에 dz 항이 있어서 없어야 한다는 건가요?

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    1. 맞습니다. $dz$가 바뀌더라도 $df/dz$가 일정하려면 식 (12)의 세째줄이 0이 되어야 합니다.

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    2. 1. 그런데, 그게 직관적으로 이해가 간듯 만듯 감이 좀 안옵니다. T.T
      이건 재가 좀더 봐야 할거 같구요.

      작년에 도저히 이해가 안되서 OTL 이었는데, 원부터 이해를 하고, 식(4)를 대략적으로 유도해보고 해보니, 그래도 좀 할만한 거같습니다. . 야호~ ~
      (실은 작년에 볼때, 제목이 "~의 쉬운 이해"라고 해서 더 OTL 이었습니다. ㅋㅋ)
      이게 다 그동안의 거북이님의 가르침덕인듯 합니다. 감사 드립니다.

      2. 식(15)에서 각각 적분한 것이 0이 될 수도 있는거 아닌가요?

      3. 식(16)의 표현 법은 z=z_m 이 아닌 경우에는 적분 결과가 0(zero)이라는 뜻도 내포가 되는건가요?

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    3. 2-1. 식(15)에서 면적이 0되는 것은 어떻게 이해를 해야 할까요?
      선적분을 면적분 하는 거와 같은 스톡스 정리나 그린 정리에서 면적이 0이 되는 것은 어떻게 이해를 해야 하나요? 선적분으로 하면 이해를 하겠는데요. 면적이 0이 된다는 것은 머리속에서 딱 떠오르지가 않아서요.

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    4. 복소 함수론은 쉽지 않습니다. 이 분야는 예전에 천재들의 놀이터였고 지금도 전자파 이론에 아주 중요한 의미를 갖습니다. 복소 함수론을 이해 못하면 전자파 이론도 더 깊이 들어갈 수 없습니다.

      2. 복소 함수 $f(z)$가 임의입니다.

      2-1. 아래 회전의 의미 참고하세요. 특히 [그림 6].

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/curl.html

      3. 맞습니다. 식 (1)을 이용해 유도한 것입니다.

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    5. 이건 물어 볼게 아니고, 재가 생각을 좀더 해봐야 할 문제인것은 알지만, 아무리 생각해도 감이 안와서요. T.T
      2-1. 3차원의 면적 적분의 0의 결과를
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/curl.html
      의 그림[7]와 식(10)으로, 즉 같은 면적에 방향(z축)이 반대이므로 상쇄되어서,
      0이 되는 것으로 이해를 했습니다. 선적분도 같은 크기의 닫힌 구간 C가 있고, 방향이 반대 이므로, 0이되는 것이 이해가 가구요.

      그런데 이를 2차원에서의 임의의 닫힌 C에서의 선적분으로는 0이 되는게 진관적으로도 감이 오는데, 그럼 2차원에서 이 면적이 0이 되는 것이 직관적으로 이해가 되지 않아서요.
      예를 들어 현재 page(~의 쉬운이해)의 위에 있는 그림[6]이나 그림[7]을 볼때, ....

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    6. 식 (1)의 기하학적 설명이 식 (4)입니다, 수식이기는 하지만...
      간단히 보면 닫힌 선적분한다는 것은 원주상을 도는 것입니다. 이게 한 바퀴, 두 바퀴, 혹은 여러 바퀴 돌더라도 제자리로 돌아오기 때문에 항상 0입니다. 코쉬의 증명은 이걸 수학적 허점이 없게 잘 정리한 것입니다.

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  18. 항상 많이 배워갑니다.
    수리물리학 수업때 contour integral을 처음 배우면서 복소해석학을 접했던게 기억이 나네요.
    그 때도 새로운 세계를 만난 기분을 느꼈었는데, 지금 다시 한번 그 때의 감동을 느끼고 갑니다.

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    1. 방문 감사합니다, 박성빈님.
      복소 해석학을 모르면 고급 물리학을 공부한 것이 아니지요. 열심히 공부합시다!

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  19. 복소함수론에서 많이 헤매기도 했고, 교수님도 답을 못한 부분이 생각나서 질문드려요.
    f(z)=1/z일 때, z=0을 포함하는 폐경로 C를 따라 적분하면, 유수 정리를 적용하면 1이 되어야 하는 거 같은데, z=e^i theta라고 놓고, integral theta=0 to 2 pi e^(-i theta) d theta를 구하면 0이 되지 않나요?
    어떤 부분에서 문제가 생긴 건지 모르겠네요..

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    1. $dz$ 기여분도 생각해야 합니다. 식 (19)를 다시 한 번 보세요.

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    2. ;;;;저도 써놓고도 이상하다고 생각했어요. dz를 생각하지 않다니...이 글을 쓸 때에 피곤하긴 했어도 좀 심했네요 ㅠㅠ 헌데 당시엔 분명 뭔가 이상했는데, 몇 년 전 일이라 뭔가 다른 문제를 착각한 거 같네요...

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  20. 공업 수학에서 복소론을 배운지 얼마 되지 않은 학생입니다. 궁금한 점이 있어서 질문합니다.

    1. 코시-리만 조건은 z=x+iy의 평면에서 x로 편미분을 했을 때와 y로 편미분을 했을 때로 나누잖아요? 즉 코시-리만 조건은 미분의 방향을 2가지 방향으로만 잡은 건데 이게 미분 가능성을 일반적으로 정의할 수 없지 않나요? 미분 가능성을 보이려면 모든 방향으로 편미분을 해야 되는데 코시-리만은 x, y 방향으로만 미분을 했으니.. 제가 알고 있기로는

    a. analytic하면 코시-리만 조건이 성립하는 건 보이기 쉬움

    b. 코시-리만 조건이 성립하면 analytic한 건 사실이지만 이건 보이기 까다로움

    이렇게 알고 있는데 맞나요?

    2. 경로의 내부를 판단할 때 궁금한 점이 있습니다. 보통 수학에서 폐적분을 할 때 내부를 정의하는 방법 중 하나는 경로를 따라 이동할 때 왼쪽을 내부로 정의하는 것으로 알고 있습니다.

    그런데 유수 적분에서 보통은 폐경로가 있으면 만일 반시계 방향으로 주어지면 아시다시피 유수를 찾으면 적분을 계산할 수 있잖아요? 반대로 시계 방향으로 주어지면 마이너스를 붙여서 경로를 반시계로 바꾼 후에 계산을 하는 것이 보통인데..

    이런 경우가 있더라구요? 만일 polynomial p, q가 주어졌을 때 p/q를 반시계 방향으로 폐적분을 할 때 q가 p보다 차수가 2 이상이면 inside outside theorem에 의해서 경로 내부의 pole이 아니라 경로 외부의 pole을 이용해 적분을 계산할 수 있더라구요. 즉 적분의 경로를 시계 방향으로 바꾼 후에 외부에 있는 pole의 유수를 이용해 적분을 구하는데 이 때 당연히 시계 방향이기 때문에 마이너스를 붙이구요.

    질문이 굉장히 난잡해진 것 같은데.. 정리해서 질문하자면

    a. 주어진 임의의 폐경로가 있으면 경로의 왼쪽을 내부로 정의하는 것은 문제가 있나요? inside outside theorem을 보니까 이렇게 할 수 있는 경우를 p/q에서 q의 차수가 2보다 큰 경우로 제한한 것을 보니까 이게 맘대로 되는 것 같지는 않더라구요.

    b. 위의 질문이랑 겹치는 것 같은데.. 폐경로에서 내부는 정의가 어떻게 되는 건가요? 제가 지금까지 알기론 경로를 따라 움직일 때 왼쪽이라 알고 있었는데 유수 적분에서는 이게 무조건 성립하는 건 아닌 거 같더라구요.

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  21. 위에 질문한 사람입니다.

    2번 질문을 다시 정리해 말하자면..

    inside outside theorem에서는 p/q에서 q가 p의 차수보다 2 이상 크다는 조건이 주어졌을 때 폐경로의 방향을 바꾼 후에 외부의 pole을 마치 내부의 pole처럼 봐서 계산을 하더라구요. wolfram alpha에서 읽은 것을 참고하자면.. inside outside theorem은 w=1/z를 통해 z평면을 w로 사상을 시켜서 이걸 가능하게 했다는데..

    즉 inside outside theorem에 의하면 폐경로의 왼쪽을 내부로 보려면 어떤 특정한 조건이 붙는다는 건데..

    폐경로의 내부의 정의가 왼쪽이 아니면 무엇인가요? 유수 적분을 할 때 보면 언제나 폐경로의 내부는 시각적으로 내부처럼 보이는 곳을 내부로 정하잖아요? 물론 폐경로의 방향이 반시계냐 시계냐에 따라서 부호는 바뀔 수 있지만..

    제가 모르고 있는 폐경로의 내부의 정의가 있나요?

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    1. 1. 말씀하신 b항 증명이 쉽지는 않죠. b항은 리만이 박사 학위 논문에서 증명한 것입니다. 증명이 어렵지는 않기 때문에 식 (12)에 이미 제시했습니다.

      2. 복소 함수론은 2차원상의 단순 연결선을 다루기 때문에 [그림 1]만으로도 충분합니다. 복잡하게 갈 이유가 없습니다. 그래서, 폐곡선의 내부는 곡선을 따라 오른손 법칙을 돌렸을 때 엄지 손가락이 위치한 지점이 내부입니다.

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  22. 늦은 밤입니다. 공수2 공부를 하다가 늦은 밤 이 글을 우연히 보고 감동이 오네요. 보통 복소함수의 정의에서 코시 공식으로 유수로 넘어가는데 이런 내용 전개와 그림을 통해 설명을 보니 왜 도입부에서 가장 아름답다고 하는지 느끼게 되네요. 단순히 설명과 공식만으로 넘어가던 수업에서 그 의미를 다시금 생각하게 하는 글이네요

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    1. 늦은 밤 열공하시느라 고생이 많으시네요, 익명님. ^^
      수학은 순서상 거꾸로 공부해야 한다고 믿는 전파거북이가 쓴 글이라, 일반책과는 거의 반대 순서로 기술되어 있습니다.

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  23. 저기 맨위식중에서 z=z0+Re^iΦ가 어떻게 나왓고 무엇을뜻합니까?!?

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    1. 적분 경로를 원이라고 가정했습니다. 중심이 $z_0$에 있고 반지름이 $R$인 원입니다.

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    2. 그러면 e^iΦ는 오일러공식을이용하여 나온건가요????

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    3. 오일러 공식의 기하학적 의미는 원입니다.

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  24. 식(3)은 어떻게해서 나온겁니까?!

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    1. 복소 영역에서 표현한 테일러 급수라고 생각하면 됩니다.

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  25. 안녕하세요 전파거북이님. 요전에 군제대하고 복학한 물리학과 학부생입니다.
    보통 실수평면에서 함수가 있고 함수의 임의의 한 점에서 미분을 한다는건 그 점에서 변하는 정도를 나타내는 기울기를 구하는걸로 알고 있습니다. 제 생각으론 실수평면에서 한 점을 미분하는 방법은 그 점으로 한없이 가까이 가는 기울기의 좌극한값과 우극한 값을 구하는 한가지 방법이 있다고 생각합니다.
    그런데 복소수의 미분은 2차원 평면에서 정의되고, 미분 할 수 있는 방법은 그림5 처럼 무한히 많다고 하셨는데 그림을 봐도 미분 할수 있는 방법이 무한히 많다는게 잘 와닿지가 않습니다.. ㅜㅜ

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    1. 1. 실수 평면은 1차원이고, 복소 평면은 2차원이어서 경우의 수가 훨씬 많습니다.

      2. 미분 방향(빨간색 화살표)에 집중해보세요. 고정점(초록색)에서의 미분은 방향에 따라 여러 가지 값이 나올 가능성이 있습니다.

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  26. 음.. 식 (5)에서 편미분은 yi에 대해 정의되어 있는데, (14)에서는 왜 y에 대해 정의되어 있는지 알려 주실 수 있을까요?

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    1. 식 (14)는 면적 적분을 표현하고 있습니다. 식 (5)는 복소 평면에서의 변화 특성입니다.

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  27. 공학수학 기말고사를 공부하다가 우연히 좋은 블로그를 찾게 되었네요
    공부를 하면서 전혀 그림이 그려지지 않았는데 덕분에 많이 배워갑니다~^^

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  28. 언제나 많은 것을 배워갑니다. 감사합니다.

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  29. 요즘 복소함수론 보고 있는데요. holomorphic condition이 뭔지 생각해봤거든요. 왜 실변수 벡터필드는 야코비 행렬로 표현되고 복소수는 하나의 미분으로 표현될까.

    결국 다다른 결론은 실변수함수 f(x)의 미분을 f(z) 복소수 집합 위에서 일반화 시켰다는 결론에 이르렀는데 맞을까요? 이건 그냥 제 conjecture인데 그럴 경우 복소수를 일반화 시킨 사원수나 팔원수 위에서도 같은 조건이 성립해야 하고 그게 holomorphicity라고 이해했는데 맞을까요?

    https://www.physicsforums.com/attachments/complexanalysis-png.102128/

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    답글
    1. 맞습니다. 실수 함수를 복소 영역으로 확장한 것이 복소 함수입니다. 여기에 코쉬-리만 방정식 조건이 도입되면, 이 복소 함수는 복소 해석 함수가 됩니다.

      복소수를 확장해 사원수를 정의한 것처럼 복소수의 미분을 확장해 사원수의 미분을 만들 수 있겠지만, 복소수 경우처럼 아름다운 관계식이 만들어지지는 않습니다. 사원수는 교환 법칙이 성립하지 않고 나눗셈도 예쁘지가 않아서, 사원수의 미분은 왼쪽 미분과 오른쪽 미분 두 가지가 생기며 멱급수(power series) 조차도 정칙이 안됩니다.

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    2. 전파거북이님 수렴반경 구조요청 좀 할수 있을까요 ㅠㅠ
      https://www.physicsforums.com/attachments/2016-06-21-4-01-05-png.102333/
      이 증명이 조금 찝찝해서 제가 해봤는데

      https://www.physicsforums.com/attachments/radiusofconvergence-png.102369/
      이렇게 나오더라구요. 어디서 잘못했을까요;;

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    3. 너무 어렵게 접근한 거 아닐까요? $r < 1$이면 기하 급수가 수렴하기 때문에, 멱급수 항도 이에 준하게 부등식이 성립된다고 하면 쉽게 증명이 될 것 같은데요.

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    4. 네 그렇긴 한데, L+eps을 쓴 이유가 결국 bound하기 위해선데 |Z|=R-eps<R 을 쓰면 R<1일 때만 bound가 돼서 그게 걸리거든요 ㅠㅠ 찝찝해서 저 페이지를 넘어가질 못하네요 ㅠㅠ



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  30. 전파거북이님, 질문 하나 여쭤볼 수 있을까 오랜만에 들려봅니다 ㅎㅎ

    코쉬 리만 방정식은 x와 y축에 두 방향에 대한 미분이 같다는게 holomorphic에 대한 필요 충분조건이라는데, 살짝 찝찝해서요. 복소함수는 2차 평면에 대한 벡터필드로도 생각할 수 있으니 directional derivative가 u(x,y), v (x,y)에 대해 정의 될 수 있는데 어떻게 x와 y 축에 대한 미분이 모든 방향으로 일반화될 수 있나요?

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    1. 음 다시 말하자면 x와 y축에 대한 미분이 같다는게 어떻게 다른 모든 방향에 대한 미분이 같다는걸 함축하고 있을까요?

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    2. 그런 의문을 풀어준 수학자가 리만입니다.
      증명이 있는 리만 박사학위 논문은 [1]에 있고, 증명을 쉽게 풀어 쓴 것은 식 (7) 부근에 써두었습니다.

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  31. 안녕하세요 ㅎㅎ
    우연히 들렸다가 많은 정보 어디고갑니당
    질문하나만 해두 될까요??
    complex analysis에서 도메인 D를 가정하고 D에서 모든 수 x0+iy0 (여기서 x0와 y0는 유리수)를 제거한 집합은 Domain의 정의에 부합하는지 궁금합니당.

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    1. 복소 평면에서 유리수 점을 제외한 영역 $D$는 [그림 2]와는 다릅니다.

      1. [그림 2]의 구멍 근처에서는 정의역에 포함되지 않는 영역이 있어, 함수가 불연속인 부분이 생깁니다.

      2. 하지만 $D$에서는 두 무리수의 간격을 계속 줄여갈 수 있고, 함수를 연속되게 할 수 있습니다. (일반 복소 평면에서 함수가 연속이라면) 따라서 $D$에서는 단순 연결 경로 $c$를 정의할 수 있기 때문에 복소 함수론을 적용할 수 있습니다.

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    2. 답변감사드려요!

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  32. 복소선적분에 대하여 검색하다가 우연히 방문하게 되었는데요~ㅎ
    뭐 하나 물어봐도 될까요??
    그 복소수 함수에 관한 선적분과 벡터함수에 대한 선적분의 차이점 뭐가 있을지 궁금합니다 ㅜㅜ 뭔가 비슷하면서도 비슷하지 않은 것 같아서요 ㅜㅜ

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    1. 복소 함수의 적분은 복소수 연산(곱셈)을 이용한 적분이며, 경로는 복소수입니다. 벡터 함수의 적분 중 특정 선을 따라 적분하는 선 적분은 주로 벡터 내적으로 계산하며 경로 자체는 실수(real number)입니다.

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  33. 좋은 강의 감사합니다~~! 제가 공업수학 부분을 공부하다가 궁금한게 있는데... 복소수 적분을 할때 pole 값이 뭘 의미 하는지 궁급합니다~~!!

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    1. 극점(pole)은 복소 함수가 발산하는 점입니다. ^^

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  34. 글 잘 보고 있습니다.
    유수 정리에서 극점이 여러 개일 때 증명하는 부분에서 식(7)이 아니라 식(17)아닌가요?

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    1. 익명님, 지적 정말 감사해요. ^^ 오타 고쳤습니다.

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  35. 전파거북이님 너무 감사하게 잘보고 있습니다!
    혹시 유수는 복소 함수 f(z)f(z)의 특성이 1/z1/z로 변할 때의 계수로 정의한다. 이부분이 이해가 잘안되는데 알려주실수 있나요???

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    1. 그리고 식 22에 A0가 왜 F(Z0) 인지도 궁금해요ㅠㅠ

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    2. 1. 정확히 어떤 것을 질문하시는지 헷갈리는데요, 혹시 식 (19)에 대한 것이라면 복소 평면에서의 적분입니다. 원의 둘레를 따라 복소 평면을 한 바퀴 돌면 보통 0이 나오지만, 복소 함수 변화가 상수라면 원의 둘레 길이가 나온다는 것입니다.

      2. 식 (16)의 유수 정리 때문입니다.

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  36. 거북이님이 당연히 맞으시다는것을 알고있지만
    제 관점에서는 이해가 안가는 부분 이있는데
    코시적분정리를 유수정리로 증명할때 코시적분이 되려면 해석함수여야 하고
    유수정리가 되는건 극점을 가질때의 함수인데
    유수정리가 적용이 되는게 맞는건가요???

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    1. 유수 정리 적용할 때는 주어진 영역 내에 유한한 극점이 있을 수 있어요. 해당 영역에서 해석적이면 유수가 0이 나옵니다. ^^

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  37. 단순연결영역에대해 질문하나만 드려도 될까요ㅠㅠ? 그 가우스의 발산정리를 적용할때 원점에서 불연속인 벡터장에 대해 발산정리를 적용할수 없으니까 만약 반지름이5인 구면에대해 발산정리를 적용하려면 원점을 중심으로갖는 반지름이 1인구면을잡아 두구면이 유계하는영역에대해 발산정리를 적용하는데.. 이때 발산정리의 전제조건이 단순연결영역인데 내부가뚤린 구의 영역도 단순 연결 영역이 되는 것인가요?? 그러면 두루마리 휴지모양의 내부가 뚤린 원통도 단순연결 영역인가여?? 궁금합니다ㅠㅠ

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    1. 손슬기님, 본문에 있는 단순 연결은 선을 위해서 정의한 것입니다.
      발산 정리는 부피에 대한 것이므로, 이 부피가 표현하는 표면적을 생각하셔야 합니다. 단순 연결 개념으로 접근할 필요가 없어요.

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