리만–르베그 보조 정리(Riemann–Lebesgue Lemma)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "리만–르베그 보조 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 적분법의 의미

푸리에 급수(Fourier series)의 원래 함수 수렴성을 증명할 때 필수적으로 등장하는 부분은 리만–르베그 보조 정리(Riemann–Lebesgue lemma)이다[1]. 리만–르베그 보조 정리는 삼각 함수(trigonometric function)의 극한(limit)에 대한 적분이어서 적분법(integration)의 의미를 명확하게 생각해야 한다. 이 보조 정리를 증명한 리만Bernhard Riemann(1826–1866)과 르베그Henri Lebesgue(1875–1941)가 각각 [그림 1]의 리만 적분(Riemann integral)과 르베그 적분(Lebesgue integral)을 제안한 역사는 결코 우연이 아니다.

[그림 1] 리만 적분(파란색)과 르베그 적분(빨간색)의 차이점(출처: wikipedia.org)

정성적으로는 쉽게 이해가 되는 리만–르베그 보조 정리를 엄밀하게 수학적으로 증명하려면 탄탄한 적분 정의가 필요하다.

[리만–르베그 보조 정리: 사인 함수(sine function)]

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능하면 다음이 성립한다.

                       (1)

[증명: 리만 적분]

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능이므로 정적분을 무한 급수의 극한으로 바꾼다.

                       (2)

여기서 $t_n$은 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에 있는 임의의 $x$값이다. 다음으로 함수 $g(t_n)$은 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에서 상수인 함수로서 함수 $f(t_n)$의 최소값으로 정한다. 즉, $g(t_n) \le f(t_n)$이 항상 성립한다. 식 (2)를 변형하기 위해 다음 부등식을 고려하자.

                       (3)

그러면 다음을 얻을 수 있다.

                       (4)

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능하므로 $N$이 커져갈 때 식 (4)의 둘째줄 식은 반드시 다음이 성립한다.

                       (5)

여기서 $\epsilon$은 임의의 양수이다. 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에서 함수 $g(t_n)$은 상수이므로 식 (4)의 셋째줄 식은 다음처럼 변형할 수 있다.

                       (6)

따라서, $m$이 커질 때 식 (6)의 절대값은 항상 $\epsilon/2$보다 작게 만들 수 있다.

[증명: 부분 적분]

구간 내에서 함수 $f(t)$의 미분이 존재하고 유한하다면 부분 적분(integration by parts)을 이용해서 쉽게 식 (1)을 증명할 수 있다.

                       (7)
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식 (1)에서 $m$이 커짐은 [그림 2]처럼 사인 함수가 매우 빠르게 변한다는 의미이다.

[그림 2] 진동하는 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

구간 $[\pi/(2m), 3\pi/(2m)]$에서 식 (2)를 보면 다음을 알 수 있다.

                       (8)

즉, 이 구간에서 $f(x)$는 천천히 변하지만 사인 함수는 매우 빨리 변해서 그 합은 0으로 수렴한다. 식 (1)은 이 말을 수학식으로 표현했다. 리만–르베그 보조 정리는 다음처럼 변형해서 사용할 수도 있다.

                       (9)

                       (10)

식 (9), (10) 증명은 위와 동일한 방법으로 할 수 있다.

[참고문헌]

[1] B. Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (About the Description of a Function by a Trigonometric Series), 1853.

[다음 읽을거리]

1. 힐베르트 공간