2012년 8월 11일 토요일

리만-르베그 보조 정리(Riemann-Lebesgue lemma)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "리만-르베그 보조 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 적분법의 의미


푸리에 급수(Fourier series)의 원래 함수 수렴성을 증명할 때 필수적으로 등장하는 것이 리만-르베그 보조 정리(Riemann-Lebesgue lemma)이다[1]. 리만-르베그 보조 정리는 삼각 함수(trigonometric function)의 극한(limit)에 대한 적분이어서 적분법(integration)의 의미를 명확하게 생각해야 한다. 이 보조 정리를 증명한 리만과 르베그가 각각 [그림 1]의 리만 적분(Riemann integral)과 르베그 적분(Lebesgue integral)을 제안한 것은 우연이 아니다.

[그림 1] 리만 적분(파란색)과 르베그 적분(빨간색)의 차이점(출처: wikipedia.org)

정성적으로는 쉽게 이해가 되는 리만-르베그 보조 정리를 엄밀하게 수학적으로 증명하려면 탄탄한 적분 정의가 필요하다.

[1. 리만-르베그 보조 정리: 사인 함수(sine function)]
함수 $f(t)$가 리만 적분 가능하면 다음이 성립한다.

                       (1)

[증명: 리만 적분]
함수 $f(t)$가 리만 적분 가능이므로 다음이 성립한다.

                       (2)

여기서 $t_n$은 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에 있는 임의의 $x$값이다.
다음으로 함수 $g(t_n)$은 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에서 상수인 함수로서 함수 $f(t_n)$의 최소값으로 정한다. 즉, $g(t_n) \le f(t_n)$이 항상 성립한다.
식 (2)를 변형하기 위해 다음 부등식을 고려하자.

                       (3)

그러면 다음을 얻을 수 있다.

                       (4)

함수 $f(t)$가 리만 적분 가능하므로 $N$이 커져갈 때 식 (4)의 둘째줄 식은 반드시 다음이 성립한다.

                       (5)

여기서 $\epsilon$은 임의의 양수이다. 구간 $[x_{n+1}, x_n]$에서 함수 $g(t_n)$은 상수이므로 식 (4)의 세째줄 식은 다음처럼 변형할 수 있다.

                       (6)

따라서, $m$이 커질 때 식 (6)의 절대값은 항상 $\epsilon/2$보다 작게 만들 수 있다.
______________________________

[증명: 부분적분]
구간 내에서 함수 $f(t)$의 미분이 존재하고 유한하다면 부분 적분(integration by parts)을 이용해서 쉽게 식 (1)을 증명할 수 있다.

                       (7)
______________________________

식 (1)에서 $m$이 커진다는 것은 [그림 2]처럼 사인 함수가 매우 빠르게 변한다는 것이다.

[그림 2] 진동하는 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

구간 $[\pi/(2m), 3\pi/(2m)]$에서 식 (2)를 보면 다음을 알 수 있다.

                       (8)

즉, 이 구간에서 $f(x)$는 천천히 변하지만 사인 함수는 매우 빨리 변해서 그 합은 0으로 수렴한다. 식 (1)은 이 말을 수학식으로 표현한 것이다.
리만-르베그 보조 정리는 다음처럼 변형해서 사용할 수도 있다.

                       (9)

                       (10)

식 (9), (10) 증명은 위와 동일한 방법으로 할 수 있다.

[참고문헌]
[1] B. Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (About the Description of a Function by a Trigonometric Series), 1853.

댓글 15개 :

  1. [그림 1]과 [1. 리만-르베그 보조정리: 사인 함수(sine function)] 사이에
    적분 정이==> 정부의 정의

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    1. 오타 지적 항상 감사합니다, 곰유님. ^^

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    2. 식(6) 두번째줄에서요.
      g(t_n)이 t_n의 함수로 되어 있는데, tn의 적분식 밖으로 어떻게 빠져 나올 수 있는건가요?

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  2. 이 증명과 관련 없는 질문인데요.
    일정구간내에서에 무한대로 진동하는 것을 적분하는 것이 0에 수렴 한다는 것인데요.

    위 수식들과 모두 같은 조건인데, 조건을 조금 바꾸어서, 진동하는 것이 무한대로 적분하면 0으로 수렴한다고 볼수도 있을까요?

    직관적으로는 생각 할 때는 같은 이야기일거 같은데요.

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    1. 질문이 잘 이해가 가지 않는데요: "진동하는 것이 무한대로 적분하면"

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    2. 좀 애매했네요.
      위에 그림2와같이 zero에 크로싱 되는 거요.
      위 수식들과 조건은 다 같구요.
      즉 식(10)에서 구간 극한은 없애고, 적분구간을 (-)무한대에서 (+)무한대로 할때요.

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    3. 식 (10)을 예로 들면 말씀하신 조건은 푸리에 변환이 됩니다.
      푸리에 변환에서 주파수가 무한대로 가면 푸리에 변환값은 항상 0이 될까요?

      식 (1)의 조건은 리만 적분 가능입니다. 적분 구간이 무한대로 가는 것은 리만 적분의 극한으로 정의해야 합니다. 이 극한의 수렴성 여부는 식 (1)의 증명과는 다른 문제입니다. 따라서, 리만-르베그 보조 정리가 성립하지 않을 수 있습니다.

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    4. ㅋㅋㅋ 마음을 읽는 능력도 갖추셨네요.
      감사드립니다.

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    5. 궁금한게 생겼는데,
      어떤 진동 함수를 fft를 하여 나타냈는데 이때의 y축이 amplitude인데
      원래 진동함수의 amplitude와 값이 다르던데 이건 어떤 값이 되는건가요?
      또..fft를 한 값을 적분하여 (면적)을 구하면 이것도 에너지가 되는 건가요?
      그럼...어떤 에너지값이 되는거죠??

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    6. 1. 함수가 불연속만 아니면 반드시 같아야 합니다. 그게 수학이니까요!
      하지만 현실에서는 다를 수 있고 그게 오차가 되지요. FFT의 역변환에서는 고주파 성분은 0으로 간주하니 아마 고주파 성분의 기여도가 될 것 같네요.

      2. 에너지인지 아닌지는 함수에 달려 있습니다. 그 속에 있는 수학은 파르세발의 정리(Parseval's theorem)이니 이걸로 보시면 됩니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/07/fourier-series.html

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  3. 질문하겠습니다.
    1. 리만르벡보조정리를 증명함에 있어 2가지 방법을 쓰셨는데, 하나는 리만적분을 이용하여 필요한 조건이 f(t)가 리만적분가능할것. 이고, 하나는 부분적분을 이용하여 함수 f(t)가 미분가능하고 그 값이 유한할 것이었습니다.
    그럼 프랙탈 함수는 어떻게 되는건가요? 리만적분정의에 따라 시그마[.]로 표현이 가능하기에 리만적준 가능하니 첫번째 방법에 따라 리만르벡보조정리가 성립하는데, 두번째 방법을 시도했을때에는 미분불가능이므로 리만르벡보조정리가 성립하지 않습니다.
    그럼 이 경우에는 어떻게 해야하는지...혹시 프랙탈함수는 리만적분이 불가능한건가요?
    푸리에 급수를 읽어보니 결국 리만르벡보조정리 못 쓴다! 라고 되어있는데 그럼 결론은 프랙탈함수는 리만적분 불가능이기에 리만르벡보조정리를 못 쓴다는건가요?

    2. [그림3]의 진동하는 함수는 sin(mx) 그래프는 아니죠? f(x)sin(mx) 그래프도 아니고요? 빠르게 진동하는것 뿐 아니라 위 아래로 함수값마저 크기가 달라지고 있어 조금 헷갈리네요..

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    1. 1. 프랙털(fractal) 함수가 가능한가요? 함수 $f$가 프랙털 특성을 가진다면, 임의의 $x$에 대해 $f(x)$를 정할 수 없습니다.

      2. [그림 2]를 말씀하신 것이죠? 그냥 진동하는 함수의 예입니다.

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  4. (5)번의 엡실론 부등식은 어디에서 온 건지 알 수 있을까요?

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    1. 설명을 위해 내용을 좀더 추가했습니다, 익명님.

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