2010년 12월 29일 수요일

삼각 함수(三角函數, trigonometric function)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 피타고라스의 정리


공학에서 삼각 함수는 문제를 풀 때 항시 사용하는 중요한 함수이다. 이름에서도 알 수 있듯이 삼각 함수는 삼각형의 비율로 정의한다.
[그림 1] 직각 삼각형(출처: wikipedia.org)

[그림 1]을 이용하면 sin, cos, tan 함수를 아래와 같이 정의할 수 있다.

                        (1)

여기서 hypotenuse, adjacent, opposite은 보통 빗변, 밑변, 높이로 부른다.

[그림 2] 원에 있는 반현(출처: wikipedia.org)

함수 sin의 어원은 라틴어(Latin) 'sinus'이다. 사실 '접혀있음(fold, bosom, or bay)'을 뜻하는 'sinus'는 산스크리트어(Sanskrit)아라비아어(Arabic)로 반현(半弦, half the chord)을 의미하는 단어를 오역한 것이다. 반현은 [그림 2]에 있는 초록선이며 현(弦, chord)은 [그림 4]에 있는 파란선이다. 함수 'tan'의 어원도 라틴어 'tangens'이다. 'tangens'는 '붙어있음(touching)'을 의미하므로 접선(接線, tangent)의 의미가 된다. 함수 cos는 'complementary sine'의 약어이며 우리말로 번역하자면 '상호보완적인(complementary) 사인'이 된다. 즉, cos는 sin을 보완하는 함수라는 뜻이다.
고등학교 수학시간에 식 (1)을 소개하기 때문에 대부분 식 (1)의 정의는 잘 알지만 좀더 근본적인 질문을 해보자. 직각 삼각형인 경우 삼각형의 크기에 관계없이 끼인각([그림 1]에서 A)이 같으면 항상 식 (1)로 정의된 비율이 같은 이유는 무엇인가? 직각 삼각형에 대해 식 (1)을 증명할 수 있을까?
[그림 3] 닮은 직각 삼각형

[증명]
[그림 3]에서 파란 삼각형($a_1, b_1, h_1$으로 구성)과 분홍 삼각형($a_2, b_2, h_2$로 구성)은 세 각이 모두 같기 때문에 서로 닮아있다. 닮은 두 삼각형은 직각 삼각형이기 때문에 피타고라스의 정리에 의해 아래식이 성립한다.

                        (2)

또한, 두 삼각형의 크기는 서로 다르기 때문에 [그림 3]과 같은 녹색 삼각형($a_2-a_1$, $b_2-b_1$, $h_2-h_1$으로 구성)을 항상 만들 수 있다. 이 녹색 삼각형도 직각 삼각형이기 때문에 아래의 관계가 항상 성립한다.

                        (3)

식 (3)의 마지막 결과와 식 (2)를 서로 빼주면 항등식 (4)를 얻을 수 있다.

                        (4)

식 (4)에 $h_1$을 곱해주면 임의의 $a_1, b_1$에 대해 성립해야 하므로 아래 sin, cos 관계가 삼각형의 크기에 관계없이 항상 성립해야 한다.

                        (5)

식 (4)에서 $a_2, b_2, h_2$는 고정된 값이므로 $a_1, b_1$이 임의일 지라도 $a_1/h_1, b_1/h_1$은 변할 수 없고 고정되어야 한다.
______________________________

위의 증명은 직각 삼각형이 아닌 임의의 삼각형으로 쉽게 확장할 수 있다. 모든 임의의 삼각형은 하나 혹은 두개의 직각 삼각형으로 생각할 수 있기 때문이다.
[그림 4] 원에 접하는 직선(출처: wikipedia.org)

위의 증명에서 항등식이 마음에 들지 않으면 아래와 같이 대수 기하학(代數幾何學, algebraic geometry)적인 접근을 할 수 있다. 먼저 식 (2)를 $h_1^2, h_2^2$으로 나누고 $x_1, x_2$, $y_1, y_2$의 아래 정의(식 (6)의 첫째식)를 이용해 식 (2)와 (3)을 다시 쓰자.

                        (6)

식 (6)에 의해 궤적 $(x_1, y_1)$은 반지름이 1인 원(圓, circle)의 방정식이며 식 (4)처럼 $(x_2, y_2)$가 고정된 경우 식 (6)의 아래식은 궤적 $(x_1, y_1)$이 식 (7)과 같은 직선의 방정식이라는 것을 뜻한다.

   
                        (7)

식 (7)을 보면 고정점 $(x_2, y_2)$를 지나면서 반지름이 1인 원에 접하는 접선의 방정식(tangent equation: [그림 4]에서 빨간선)이다. 따라서, 식 (6)의 세가지식을 동시에 만족하기 위해서는 $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$가 되어야 한다. 즉, 임의점 $(x_1, y_1)$은 원의 방정식(식 (6)의 둘째식)이어서 반지름이 1인 원 상의 모든 점이 될 수 있지만 접선의 방정식(식 (6)의 세째식)에 의해 임의점 $(x_1, y_1)$는 고정점 $(x_2, y_2)$에 접해야 하므로 $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$가 된다. 따라서, 이 결과는 식 (5)와 동일하다.


[그림 5] 삼각 함수의 확장(출처: wikipedia.org)

식 (6)과 같은 원의 방정식을 이용하면 삼각 함수 개념을 [그림 5]와 같이 확장할 수 있다. 삼각 함수는 더이상 식 (1)과 같이 길이로 정의하지 않고 좌표계를 이용하여 식 (8)과 같이 정의한다.

                        (8)

                        (9)

여기서 점 $(x, y)$는 식 (6)과 같이 반지름이 1인 원($x^2 + y^2 = 1$) 위에 있다. [그림 5]를 통해 사인과 코사인 함수의 주기(週期, period: 값이 반복되는 범위)는 $2 \pi$(= 360도), 탄젠트 함수의 주기는 $\pi$(= 180도)가 되는 것을 쉽게 알 수 있다. (∵ [그림 5]에서 사인 함수는 $y$축값, 코사인 함수는 $x$축값, 탄젠트 함수는 직선의 기울기이므로)
식 (8)과 (9)의 개념을 이용하면 다양한 삼각 함수 공식을 쉽게 증명할 수 있다.

                        (10)

                        (11)

[그림 6] 법선을 가진 삼각형(출처: wikipedia.org)

[사인 법칙(law of sines)]

                        (12)

[증명]
[그림 6]과 같은 법선(法線, normal)을 가진 삼각형을 고려하면 아래 관계식이 항상 성립한다.

                        (13)
______________________________

[코사인 제1법칙(the first law of cosines)]

                        (14)

[증명]
[그림 6]의 삼각형과 법선을 고려하면 식 (14)가 쉽게 증명된다.
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[코사인 제2법칙(the second law of cosines)]

                        (15)

[증명]
식 (14)의 위쪽 두 개 식에 $a, b$를 각각 곱하면 다음을 얻을 수 있다.

                        (16)

식 (14)의 세번째 식에 $c$를 곱한 후 식 (16)을 대입하면 식 (15)가 증명된다.

                        (17)
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식 (9)에 있는 함수 sec는 어원이 라틴어 'secans'이다. 'secans'는 '자르기(cutting)'를 의미한다. 우리말로는 할선(割線, secant)이라 한다.
그런데, 어디를 자른다는 것인가? 이를 이해하기 위해 [그림 7]을 보자.

[그림 7] 원으로 정의한 삼각 함수들(출처: wikipedia.org)

함수 sec는 원에 접선인 tan가 $x$축과 만나는 점까지의 길이이다. 이 관계는 식 (6)에 있는 접선의 방정식을 식 (18)로 쓰면 명확히 보인다.

                        (18)

또한, 식 (11)의 관계식으로 인해 함수 sec, tan는 직각 삼각형을 [그림 7]과 같이 이룬다.
다시 [그림 7]을 보면 함수 sec는 원을 뚫고 나오고 있다. 즉, 자르는 선인 할선이 된다.

[그림 8] 라디안의 개념(출처: wikipedia.org)

삼각 함수에서 빠질 수 없는 개념은 [그림 8]로 정의하는 라디안(radian)이다. 라디안은 빛줄기(ray or beam)를 뜻하는 라틴어 'radius'에 뿌리를 두고 있다.

                        (19)

여기서 $l$은 호의 길이(arc length), $r$은 반지름(radius), $\theta$는 라디안으로 정의한 각도이다. 식 (19)의 우변식이 의미하는 것은 라디안(Radian)을 각도(Degree)로 바꾸는 식이다. Radian = $\pi$를 대입하면 Degree = $180/\pi \cdot \pi$ = 180도를 얻을 수 있다.

[그림 9] 사인 함수의 모양(출처: wikipedia.org)

삼각 함수의 입력값은 위상(位相, phase)이라 부른다. 위상을 쉽게 표현하면 "현재 위치의 모양"이란 의미다. 사실 위상은 주기함수의 주기성 때문에 사용한다. 주기함수는 [그림 9]처럼 동일한 모양이 반복된다. 이 반복되는 모양에서 특정한 $x$축 위치를 제대로 가리키기 위해 위상을 쓴다. 그러면 모양이 반복되더라도 $x$축의 특정위치를 지칭할 수 있다.
그런데, 편리한 각도 개념을 두고 라디안은 왜 사용하는 것일까? 이 개념을 이해하려면 삼각 함수의 미분을 공부해야 한다. 라디안으로 정의하면 삼각 함수의 미분이 식 (20)처럼 매우 간단해진다.

                        (20)

삼각 함수의 미분이 간단해지므로 삼각 함수의 테일러 급수(級數, Taylor series)도 아래와 같이 쉽게 표현된다.

                         (21)

                         (22)

기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.

                       (23)

[다음 읽을거리]
1. 삼각 함수의 합차 공식
2. 원의 방정식
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댓글 15개:

  1. 헐 정말 대박이네요..좋은정보 감사합니다

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  2. 정말 깜짝 놀랐습니다!! 제가 진짜 인터넷 보고 댓글 다는게 처음 입니다!!!
    좋은 자료 감사하게 잘 보겠습니다!!!!

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    1. 제 블로그 때문에 댓글을 처음 다셨다니 영광이네요. 자주 놀러와서 조언해주십시오. ^^

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  3. 거북이님... 보다가 이해 안가는 부분이 있어서 질문드립니다. (4) (5) 번 식을 대수기하학으로 증명하는 과정에서 갑자기 x_1,2 = b1,2/h1,2 와 y_1,2 = a1,2/h1,2 를 이용해 x_1^2+y_1^2=1 을 유도하고 있는데, x_1,2 의 정의가 무엇인지와 어떻게 원의 방정식이 유도되었는지 많은 내용이 생략되어 이해하기 힘드네요... 대수기하학이 뭔지 몰라 위키피디아를 살펴보아도 x1,2 와 같은 정의는 없네요... 바쁘시겠지만 간략하게 보충설명해주시면 감사하겠습니다.

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    1. 귀찮아서 많이 생략하기는 했네요. 본문 수정했습니다.
      혹시 부족하면 또 지적해주십시오.

      식 (6)에서 x_(1,2)와 y_(1,2)는 x_1, x_2, y_1, y_2를 줄여서 위와 같이 표현했습니다.

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  4. 아... 정말 감사합니다.ㅎㅎ 출처가 궁금합니다.ㅎㅎ

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    1. 방문 감사합니다, CRIS님. ^^
      삼각 함수는 왠만한 책에 다 나오니 출처를 달지 않았습니다.

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  5. 식(19)에서요 180(degree)=pi(radian) 이므로 1(degree)=pi/180(radian)
    이죠... 식(19) 바로 위에 그림에도 나와 있네요.. 제가 뭔가를 잘못 해석한 건가요?

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    1. 맞는데요. ^^

      식 (19)는 Radian값을 넣어 Degree값을 구하는 공식입니다. 익명님은 Degree값를 넣어 Radian값을 구했네요. 식 (19)에서 Degree = 1을 대입해서 Radian에 대해 풀면 똑같은 결과 나옵니다.

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  6. 우연히 보게 되서 처음부터 보네요. 잘 보겠습니다~

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    1. 우연한 방문 감사드립니다, 익명님. ^^

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  7. 여러 수학블로그를 보았지만 가장 자세한 곳입니다. 처음 감마함수에 대한 글을 이해할려고 이곳 저곳 떠돌다가 결국 고등학생이라 이해는 못했지만 이 곳을 발견하였습니다.
    궁금한 것은 직업은 무엇인가요? 어느 대학의 교수라도 되시는지요?

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  8. 아..이걸 이렇게 증명할 수 있군요. 전 그냥 직각삼각형들은 닮았다는 걸로 대충 넘어갔는데..

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    1. 당연하다고 생각하는게 수학에서는 더 중요하고 의미있는 것 같습니다. 계속 의심하고 고민해야 발전이 있겠지요, Ingyer Kim님. ^o^

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