2010년 12월 29일 수요일

삼각 함수(三角函數, Trigonometric Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 피타고라스의 정리


공학 문제에 빠지고 않고 등장하는 삼각 함수(trigonometric function)는 오랜 역사를 가지고 있지만 새로운 관점이 계속 발견되는 마르지 않는 샘물같은 존재이다. 함수 이름에서도 알 수 있듯이 삼각 함수는 삼각형, 특히 직각 삼각형의 비율로 정의한다. 삼각법(三角法, trigonometry)의 영어 어원은 고대 그리스어 트리고노메트론(τρίγωνομέτρον, 삼각 측량)이다. 고대 수메르와 바빌론의 천문 관측술을 전해 받은 고대 그리스인이 닮음 삼각형의 특성을 이용하여 변과 각도의 비율 관계를 발견했던 역사에서 삼각 함수의 시초를 찾을 수 있다. 기원전 300년경부여 건국 약 60년 전 기하학의 아버지 유클리드Euclid(대략 기원전 325–265) 직각 삼각형의 특징을 체계적으로 논증했으며, 기원전 140년경위만조선 멸망 약 30년 전 삼각법의 아버지 히파르쿠스Hipparchus of Nicaea(대략 기원전 190–120)는 초보적인 삼각 함수표를 만들어 천문학에 성공적으로 응용하였다.

[그림 1] 직각 삼각형(출처: wikipedia.org)

[그림 1]을 이용하면 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent) 함수를 아래와 같이 정의할 수 있다.

                        (1)

여기서 빗변(hypotenuse), 밑변(adjacent), 높이(opposite)는 각각 $h$, $b$, $a$로 표기한다.

[그림 2] 원에 있는 반현(출처: wikipedia.org)

함수 사인(sin)의 어원은 라틴어(Latin) 시누스(sinus)이다. 접혀 있음(fold, bosom, or bay)을 뜻하는 시누스는 산스크리트어(Sanskrit)로 활 시위(bowstring)를 뜻하는 지바를 아라비아인이 소리나는 대로 표기하면서 문제가 시작되었다. 아라비아어(Arabic) 입장에서 외래어인 지바는 자신들에게 없는 단어였기 때문에, 지바와 자음이 같은 접혀 있음이란 단어로 오인하여 잘못 사용되었다. 이런 실수가 수정되지 않고 유럽에도 전해져 접혀 있다는 시누스로 재번역되어 오늘날에 이르고 있다. 산스크리트어를 제대로 번역했다면, 시누스 대신 활 시위가 만드는 반현(半弦, half the chord)에 해당하는 다른 단어가 되었어야 한다. 여기서 반현(半弦, half the chord)은 [그림 2]에 있는 초록색 선이며 현(弦, chord)은 [그림 4]에 있는 파란색 선이다. 이탈리아에서는 시누스에 해당하는 세노(오목함, seno)를 줄여 사인 함수를 $\operatorname{sen} x$로 표기하기도 한다. 함수 탄젠트(tan)의 어원도 라틴어 탕겐스(tangens)이다. 단어 탕겐스는 붙어있음(touching)을 의미하므로 접선(接線, tangent)의 의미가 된다. 함수 코사인(cos)은 상보적 사인(complementary sine) 혹은 여현(餘弦)의 약어이며, 우리말로 더 풀어쓰면 사인을 도우는 상호 보완적인 함수가 된다. 더 정확하게 보면 코사인은 각도 측면에서 사인을 보완한다.[직각 삼각형 관점에서 $\sin(90^\circ - \theta)$ = $\cos \theta$이므로 당연히 상보적이다. 혹은 사인과 코사인 함수값은 반지름이 1인 원을 따라 움직여야 하므로 서로 연계되어 있다.] 고등학교 수학 시간에 식 (1)을 소개하기 때문에 대부분 식 (1)의 정의는 잘 알지만, 우리는 좀더 근본적인 질문을 할 필요가 있다. 예를 들면, 직각 삼각형인 경우 삼각형의 크기에 관계없이 끼인각[그림 1에서 $A$]이 같으면 식 (1)로 정의된 비율이 항상 같은 이유는 무엇인가? 직각 삼각형에 대해 식 (1)을 증명할 수 있을까? 닮은 삼각형은 말 그대로 서로 비슷하기 때문에 비례 관계에 의해 삼각 함수값은 일정하다고 할 수 있다. 하지만 고민을 더 깊게 해서 삼각형이 서로 닮은 경우에 식 (1)과 같은 비례가 성립하는 근본 원인을 찾아본다.
[그림 3(a)]에 있는 큰 직각 삼각형의 길이[$a_2$, $b_2$, $h_2$]가 정해진 경우, 이보다 작은 직각 삼각형[$a_1$, $b_1$, $h_1$으로 구성]을 임의로 그릴 수 있다. 이 경우 큰 직각 삼각형과 작은 직각 삼각형의 삼각비가 일정한지 증명한다.

(a) 닮은 직각 삼각형

(b) 등간격으로 나눈 직각 삼각형
[그림 3] 직각 삼각형의 다양한 닮은꼴

[증명: 대수 기하학]
[그림 3(a)]에서 파란색 삼각형[$a_1, b_1, h_1$으로 구성]분홍색 삼각형[$a_2, b_2, h_2$로 구성]은 세 각이 모두 같기 때문에 서로 닮아있다. 닮은 두 삼각형은 직각 삼각형이기 때문에 피타고라스의 정리에 의해 아래식이 성립한다.

                        (2)

또한, 두 삼각형의 크기는 서로 다르기 때문에 [그림 3(a)]과 같은 녹색 삼각형[$a_2-a_1$, $b_2-b_1$, $h_2-h_1$으로 구성]을 항상 만들 수 있다. 이 녹색 삼각형도 직각 삼각형이기 때문에 아래의 관계가 항상 성립한다.

                        (3)

여기서 식 (3)의 둘째식은 첫째식을 전개한 후 식 (2)의 피타고라스 정리를 대입하여 얻었다. 식 (3)의 마지막 결과와 식 (2)를 서로 빼주면 항등식 (4)를 얻을 수 있다.

                        (4)

식 (4)에 $h_1$을 곱해주면 임의의 $a_1, b_1$에 대해 성립해야 하므로 아래 사인과 코사인 함수 관계가 삼각형의 크기에 관계없이 항상 성립해야 한다.

                        (5)

식 (4)에서 $a_2, b_2, h_2$는 고정된 값이므로 $a_1, b_1$이 임의일 지라도 $a_1/h_1, b_1/h_1$은 변할 수 없고 고정되어야 한다.

[증명: 유클리드 기하학]
유클리드 기하학(Euclidean geometry)을 사용하면 더 직관적으로 삼각비가 일정함을 보일 수 있다. [그림 3(b)]에 있는 왼쪽 직각 삼각형처럼 빗변의 중점을 잡고 밑변과 높이에 평행한 선을 2개 그어서 작은 직각 삼각형 2개를 만들 수 있다. 그러면 두 직각 삼각형은 ASA(angle-side-angle) 합동이기 때문에 밑변과 높이가 서로 같다. 따라서 큰 직각 삼각형과 작은 직각 삼각형의 삼각비는 서로 같다. 비슷한 논리로 [그림 3(b)]의 오른쪽 직각 삼각형처럼 빗변을 등간격으로 $m$등분해서 각 점을 기준으로 밑변과 높이에 평행한 선을 긋는다. 그러면 밑변과 높이도 빗변과 같이 등간격으로 균등하게 나누어짐을 볼 수 있다. 즉, 빗변 분할로 생긴 임의의 직각 삼각형은 서로 닮아있고 변의 비율도 같다. 이로 인해 원래 직각 삼각형과 $m$등분으로 생긴 임의의 직각 삼각형의 삼각비는 항상 동일하다. 예를 들어, 빗변 길이가 $10$인 직각 삼각형과 닮은 빗변 길이가 $1.2$인 직각 삼각형을 비교해본다. 두 삼각형의 빗변 비율이 $10:1.2$ = $25:3$이므로, [그림 3(b)]의 오른쪽 삼각형처럼 길이가 $10$인 빗변을 25등분해서 균등한 길이 조각을 25개 만든다. 꼭지점부터 헤아려서 처음 3개 길이 조각이 구성하는 직각 삼각형은 빗변이 $1.2$이다. 그러면 ASA 합동에 의해 등간격으로 나눈 두 삼각형의 삼각비는 완전히 같다. 결국 직각 삼각형의 빗변을 등간격으로 나누는 과정은 매우 작은 길이까지 계속 진행될 수 있으므로, 모든 닮은 직각 삼각형의 삼각비는 항상 같다. 
______________________________

위의 증명은 직각 삼각형이 아닌 임의의 삼각형으로 쉽게 확장할 수 있다. 왜냐하면 모든 임의의 삼각형은 하나 혹은 두 개의 직각 삼각형으로 생각할 수 있기 때문이다.[∵ 점과 직선의 관계를 생각하면, 항상 점에서 직선으로 수선을 그을 수 있다.] 또한 삼각비와 같은 비례 성질은 좌표계의 특성과 밀접하게 연결되어 있다. 삼각비의 항등성과 같은 유클리드 기하학이 적용되는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)는 모든 좌표축으로 선형의 비례 관계가 성립한다. 따라서 삼각비가 성립함은 전제하고 있는 공간이 유클리드 공간(Euclidean space) 혹은 데카르트 좌표계라는 뜻이다. 다른 관점으로 보면, 비유클리드 공간(non-Euclidean space)에서는 삼각비의 항등성이 데카르트 좌표계와는 전혀 다르게 구성되어야 한다. 그래서 임의 공간의 특성을 감지하는 잣대로 삼각비의 항등성은 매우 유용하다.

[그림 4] 원에 접하는 직선(출처: wikipedia.org)

위의 증명에서 항등식이 마음에 들지 않으면 아래와 같이 대수 기하학(代數幾何學, algebraic geometry)적인 접근을 할 수 있다. 먼저 식 (2)를 $h_1^2, h_2^2$으로 나누고 $x_1, x_2$, $y_1, y_2$의 정의인 식 (6)의 첫째식을 이용해 식 (2)와 (3)을 다시 쓴다.

                        (6)

식 (6)의 둘째식에 의해 궤적 $(x_1, y_1)$은 반지름이 1인 원(圓, circle)의 방정식이 된다. 또한, 식 (4)처럼 $(x_2, y_2)$가 고정된 경우, 식 (6)의 셋째식이 표현하는 궤적 $(x_1, y_1)$은 원에 접하는 직선의 방정식 된다. 이를 증명하기 위해 미분 개념을 원에 적용하면 다음과 같다.

   
                        (7)

식 (7)을 보면 고정점 $(x_2, y_2)$를 지나면서 반지름이 1인 원에 접하는 접선식[tangent equation: 그림 4에서 빨간선]이다. 따라서, 식 (6)의 둘째식과 셋째식을 동시에 만족하기 위해서는 $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$가 되어야 한다. 즉, 임의점 $(x_1, y_1)$은 원의 방정식[식 (6)의 둘째식]이어서 반지름이 1인 원 상의 모든 점이 될 수 있지만, 접선의 방정식[식 (6)의 셋째식]에 의해 임의점 $(x_1, y_1)$는 고정점 $(x_2, y_2)$에 접해야 하므로 $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$가 된다. 따라서, 이 결과는 식 (5)와 동일하다.


[그림 5] 삼각 함수의 확장(출처: wikipedia.org)

식 (6)과 같은 원의 방정식을 이용하면 삼각 함수 개념을 [그림 5]와 같이 확장할 수 있다. 먼저 [그림 1]의 빗변을 $1$로 잡으면, 코사인과 사인 함수는 각각 직각 삼각형의 밑변과 높이에 대응한다. [그림 5]처럼 직각 삼각형을 데카르트 좌표계 상에 그리고 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)를 적용한 경우, 직각 삼각형의 밑변과 높이는 원을 구성하는 좌표 성분 $x, y$가 된다. 그러면 삼각 함수는 더 이상 식 (1)과 같은 길이에 한정되지 않고 좌표계를 이용하여 식 (8)처럼 일반적으로 정의된다.

                        (8)

                        (9)

여기서 점 $(x, y)$는 식 (6)과 같이 반지름이 1인 원[$x^2 + y^2 = 1$] 위에 있고, $\sec \theta$, $\csc \theta$, $\cot \theta$는 각각 시컨트(secant), 코시컨트(cosecant), 코탄젠트(cotangent) 함수라 부른다. [그림 5]를 통해 사인과 코사인 함수의 주기(週期, period: 값이 반복되는 범위)는 $2 \pi$[= $360^\circ$], 탄젠트 함수의 주기는 $\pi$[= $180^\circ$]가 됨을 쉽게 알 수 있다.[∵ 그림 5에서 사인 함수는 $y$축값, 코사인 함수는 $x$축값, 탄젠트 함수는 직선의 기울기이므로]
식 (8)과 (9)의 개념을 이용하면 다양한 삼각 함수 공식을 쉽게 증명할 수 있다.

                        (10)

                        (11)

[그림 6] 법선을 가진 삼각형(출처: wikipedia.org)

[사인 법칙(law of sines)]

                        (12)

[증명]
[그림 6]과 같은 법선(法線, normal)을 가진 삼각형을 고려하면 아래 관계식이 항상 성립한다.

                        (13)
______________________________

[코사인 제1 법칙(the first law of cosines)]

                        (14)

[증명]
[그림 6]의 삼각형과 법선을 고려하면 식 (14)가 쉽게 증명된다.
______________________________

[코사인 제2 법칙(the second law of cosines)]

                        (15)

[증명]
식 (14)의 위쪽 두 개 식에 $a, b$를 각각 곱하면 다음을 얻을 수 있다.

                        (16)

식 (14)의 셋째식에 $c$를 곱한 후 식 (16)을 대입하면 식 (15)가 증명된다.

                        (17)
______________________________

[탄젠트 법칙(law of tangents)]

                        (18)

[증명]
식 (12)에 제시한 사인 법칙을 적용하면 변과 각은 다음 관계를 가진다.

                        (19)

식 (19)에 삼각 함수의 합차 공식을 적용하면 식 (18)이 증명된다.
______________________________

식 (9)에 있는 함수 시컨트(sec)는 어원이 라틴어 세칸스(secans)이다. 단어 세칸스는 자르기(cutting)를 의미한다. 우리말로는 할선(割線, secant)이라 한다. 그런데 시컨트를 정의하기 위해 원에서 어느 부분을 자를까? 이를 이해하기 위해 [그림 7]을 세심하게 본다.

[그림 7] 원으로 정의한 삼각 함수(출처: wikipedia.org)

시컨트 함수는 원에 접선인 탄젠트 함수가 $x$축과 만나는 점까지의 길이이다. 이 관계는 식 (6)에 있는 접선의 방정식을 식 (20)처럼 쓰면 명확히 보인다.

                        (20)

또한 식 (11)의 관계식으로 인해 함수 시컨트(sec), 탄젠트(tan)는 직각 삼각형을 [그림 7]과 같이 이룬다. 따라서 [그림 7]을 다시 보면, 시컨트는 원을 뚫고 나오고 있다. 즉, 자르는 선인 할선이 된다.

[그림 8] 라디안의 개념(출처: wikipedia.org)

삼각 함수에서 빠질 수 없는 개념은 [그림 8]로 정의하는 라디안(radian)이다. 라디안을 이용한 각도 표현법은 호도법(弧度法, circular measure)이라 한다. 또한 라디안은 빛줄기(ray or beam)를 뜻하는 라틴어 라디우스(radius)에 뿌리를 두고 있고, 라디안의 끝에 있는 접미사 안(-an)은 도구를 뜻한다. 그래서 라디안을 순우리말로 직역하면 빛개가 된다. 라디안 개념을 바탕으로 각도 $\theta$를 표현하면 다음과 같다.

                        (21)

여기서 $l$은 호의 길이(arc length), $r$은 반지름(radius), $\theta$는 라디안으로 정의한 각도, $\vartheta$는 360˚ 기준 각도이다. 식 (21)의 우변 식은 라디안 $\theta$를 360˚ 기준 $\vartheta$로 바꾸기를 의미한다. 예를 들어, $\theta = \pi$ rad를 대입하면 $\vartheta = 180/\pi \cdot \pi = 180^\circ$를 얻을 수 있다. 자세한 라디안과 각도 관계는 [표 1]을 참고한다.

[표 1] 라디안(radian)과 도(degree)로 표현한 각도 관계식

[그림 9] 사인 함수의 모양(출처: wikipedia.org)

삼각 함수의 입력값은 위상(位相, phase)이라 부른다. 위상을 쉽게 표현하면 현재 위치의 모양[혹은 양상]이란 의미다. [그림 9]의 삼각 함수처럼 특정 모양이 주기적으로 반복되는 함수는 주기 함수(periodic function)라 부른다.

                        (22)

여기서 $T$는 주기이다. 사인이나 코사인 함수의 주기는 $2 \pi$[= 360˚], 탄젠트 함수는 $\pi$[= 180˚]이다. 사실 위상은 주기 함수의 주기성 혹은 반복 특성 때문에 사용한다. 이 반복되는 모양에서 특정한 $x$축 위치를 제대로 가리키기 위해 위상을 쓴다. 그러면 같은 모양이 반복되더라도 $x$축의 특정 위치를 정확히 선택할 수 있다.
그런데 편리한 각도 개념을 두고 왜 라디안을 사용할까? 이 개념을 이해하려면 삼각 함수의 미분을 공부해야 한다. 라디안으로 정의하면 삼각 함수의 미분이 식 (23)처럼 매우 간단해진다.

                        (23a)

                        (23b)

                        (23c)

여기서 $\sec x$ = $1 \mathbin{/} \cos x$, $\csc x$ = $1 \mathbin{/} \sin x$, $\cot x$ = $\cos x \mathbin{/} \sin x$이다.

[그림 10] 사인 및 코사인 역함수의 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 11] 시컨트 및 코시컨트 역함수의 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 12] 탄젠트 및 코탄젠트 역함수의 모습(출처: wikipedia.org)

[표 1] 역삼각 함수의 정의역과 치역
역삼각 함수정의역치역의 주치
$\sin^{-1} x$$-1 \le x \le 1$$-\pi/2 \le y \le \pi/2$
$\cos^{-1} x$$-1 \le x \le 1$$0 \le y \le \pi$
$\sec^{-1} x$$x \le -1$ 혹은 $x \ge 1$$0 \le y < \pi/2$ 혹은 $\pi/2 < y \le \pi$
$\csc^{-1} x$$x \le -1$ 혹은 $x \ge 1$$-\pi/2 \le y < 0$ 혹은 $0 < y \le \pi/2$
$\tan^{-1} x$모든 실수$-\pi/2 < y < \pi/2$
$\cot^{-1} x$모든 실수$0 < y < \pi$

삼각 함수는 주기 함수라서 역함수를 정의하기는 불가능하다. 하지만 워낙 삼각 함수가 많이 쓰이므로, 삼각 함수의 정의역을 제한해서 삼각 함수의 $x, y$를 일대일 대응시킨다. 그러면 제한된 영역에 한해서 삼각 함수는 역함수를 가지고, 이를 역삼각 함수(inverse trigonometric function)라 명한다. 역함수가 존재하는 범위를 통상적으로 역삼각 함수의 주치(主値, principal value)라 부른다. 역삼각 함수 중에서 탄젠트와 코탄젠트 역함수는 주치의 범위가 $\pi$밖에 되지 않아 조금 불만이다. 그래서 함수 입력을 단일 변수가 아닌 2차원 $xy$-평면 전체로 만들어서 주치의 범위를 $2 \pi$로 확장한 2변수 탄젠트 역함수(2-variable arctangent function) $\operatorname{atan2}(y, x)$가 빈번하게 쓰인다. 여기서 $x$ = $\rho \cos \theta$, $y$ = $\rho \sin \theta$, $\rho$는 반지름이다. 2변수 탄젠트 역함수는 $x, y$의 부호를 모두 고려함으로써 주치를 $(-\pi, \pi]$로 만들어서 주치의 범위를 $\tan^{-1} x$보다 2배 키운다. 상대적으로 2변수 코탄젠트 역함수(2-variable arccotangent function) $\operatorname{acot2}(x, y)$는 잘 쓰이지 않지만 정의는 가능하다. 2변수 코탄젠트 역함수의 주치는 보통 $(-\pi/2, 3\pi/2]$로 선택한다. 역삼각 함수의 주치를 도입해서 미분도 편리하게 정의한다.

                        (24a)

                        (24b)

                        (24c)

여기서 증명에는 역함수의 미분 공식을 사용, 미분 부호는 주치 혹은 [그림 10–12]로 선택한다.

댓글 73개 :

  1. 헐 정말 대박이네요..좋은정보 감사합니다

    답글삭제
  2. 정말 깜짝 놀랐습니다!! 제가 진짜 인터넷 보고 댓글 다는게 처음 입니다!!!
    좋은 자료 감사하게 잘 보겠습니다!!!!

    답글삭제
    답글
    1. 제 블로그 때문에 댓글을 처음 다셨다니 영광이네요. 자주 놀러와서 조언해주십시오. ^^

      삭제
  3. 거북이님... 보다가 이해 안가는 부분이 있어서 질문드립니다. (4) (5) 번 식을 대수기하학으로 증명하는 과정에서 갑자기 x_1,2 = b1,2/h1,2 와 y_1,2 = a1,2/h1,2 를 이용해 x_1^2+y_1^2=1 을 유도하고 있는데, x_1,2 의 정의가 무엇인지와 어떻게 원의 방정식이 유도되었는지 많은 내용이 생략되어 이해하기 힘드네요... 대수기하학이 뭔지 몰라 위키피디아를 살펴보아도 x1,2 와 같은 정의는 없네요... 바쁘시겠지만 간략하게 보충설명해주시면 감사하겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 귀찮아서 많이 생략하기는 했네요. 본문 수정했습니다.
      혹시 부족하면 또 지적해주십시오.

      식 (6)에서 x_(1,2)와 y_(1,2)는 x_1, x_2, y_1, y_2를 줄여서 위와 같이 표현했습니다.

      삭제
  4. 아... 정말 감사합니다.ㅎㅎ 출처가 궁금합니다.ㅎㅎ

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다, CRIS님. ^^
      삼각 함수는 왠만한 책에 다 나오니 출처를 달지 않았습니다.

      삭제
  5. 식(19)에서요 180(degree)=pi(radian) 이므로 1(degree)=pi/180(radian)
    이죠... 식(19) 바로 위에 그림에도 나와 있네요.. 제가 뭔가를 잘못 해석한 건가요?

    답글삭제
    답글
    1. 맞는데요. ^^

      식 (19)는 Radian값을 넣어 Degree값을 구하는 공식입니다. 익명님은 Degree값를 넣어 Radian값을 구했네요. 식 (19)에서 Degree = 1을 대입해서 Radian에 대해 풀면 똑같은 결과 나옵니다.

      삭제
  6. 우연히 보게 되서 처음부터 보네요. 잘 보겠습니다~

    답글삭제
    답글
    1. 우연한 방문 감사드립니다, 익명님. ^^

      삭제
  7. 여러 수학블로그를 보았지만 가장 자세한 곳입니다. 처음 감마함수에 대한 글을 이해할려고 이곳 저곳 떠돌다가 결국 고등학생이라 이해는 못했지만 이 곳을 발견하였습니다.
    궁금한 것은 직업은 무엇인가요? 어느 대학의 교수라도 되시는지요?

    답글삭제
  8. 아..이걸 이렇게 증명할 수 있군요. 전 그냥 직각삼각형들은 닮았다는 걸로 대충 넘어갔는데..

    답글삭제
    답글
    1. 당연하다고 생각하는게 수학에서는 더 중요하고 의미있는 것 같습니다. 계속 의심하고 고민해야 발전이 있겠지요, Ingyer Kim님. ^o^

      삭제
  9. 이부분이 이해 잘 안되요 그럼 라디안대신 각도를 사용하면 미분형태는 어떻게 되지요
    ----
    그런데, 편리한 각도 개념을 두고 라디안은 왜 사용하는 것일까? 이 개념을 이해하려면 삼각 함수의 미분을 공부해야 한다. 라디안으로 정의하면 삼각 함수의 미분이 식 (20)처럼 매우 간단해진다.

    답글삭제
    답글
    1. 식 (19)처럼 각도를 라디안으로 바꾸면 됩니다. 그러면 관련된 비례 상수 $180/\pi$를 단순 상수로 두고 미분하면 됩니다.

      삭제
  10. 말머리 말 처럼 정말 바보처럼 느껴지네요. 그럼 sin x 를 미분하면 x의 단위가 라디언이면 cos x가 되고 그냥 도이면 상수*cos x가 되는것인가요 ? 이것은 어떤 의미가 있지요. .? 각도를 조금 증가시켰으때와 원주를 조금증가시켰을때 sin x의 변화량 각각 의미하나요?

    답글삭제
    답글
    1. 삼각 함수 미분은 라디안으로 해야 합니다. 예를 들면 $u$가 각도인 사인 함수는 $\sin u = \sin (180/\pi \cdot x)$가 됩니다. 여기서 $x$는 라디안으로 표시됩니다.
      그러면 이 함수의 미분은 $d/dx \sin u = \cos (180/\pi \cdot x) \frac{180}{\pi}$가 됩니다.

      삭제
  11. 삼각함수 미분은 라디언으로해야한다 그냥 약속으로 받아드리면 되는것인지요?

    답글삭제
    답글
    1. 네이버링과 구글링과 함께 방황하다보니 이해할것도 같네요. 육십분법대신에 라디언을 사용하니 각이 아주 작을때 x와 sin x간 비례상수가 1이 되네요.

      삭제
    2. 맞습니다, 딘가님. ^^
      라디안 정의는 미분과 밀접한 관계가 있습니다. 로피탈 정리를 이용해 $x=0$ 근방에서 $\sin x/x$를 구하면 1이 나옵니다.

      삭제
  12. 이런 좋은 자료를 포스팅 해주셔서 감사합니다. 푸리에 변환에 대해 알고싶어서 넘어넘어 오다보니 여기까지 왔는데요.
    사고하는데 오류가 생겼는지 (3)식이 이해가 가질않네요..
    (a2-a1)^2 + (b2-b1)^2 = (h2-h1)^2 이 식이 a2*a1 + b2*b1 = h2*h1으로 도출되는 과정이 궁금합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 다른 분들께 부끄러워서 익명으로 질문합니다...^^

      삭제
    2. 칭찬 감사합니다, 익명님. ^^ 사소한 것도 질문하는 것이 좋습니다.

      식 (3) 아래쪽에 내용을 추가했으니 다시 보세요.

      삭제
    3. 정말 빠른 수정 감사합니다!
      좋은 자료로 열심히 공부하겠습니다 감사합니다^^

      삭제
  13. 대수 기하학적 증명 부분에서 이해안되는 부분이 있어 질문 드립니다 ㅠㅠ

    '식 (7)과 같은 직선의 방정식이라는 것을 뜻한다.'

    '식 (7)을 보면 고정점 (x 2 ,y 2 ) 를 지나면서 반지름이 1인 원에 접하는 접선의 방정식(tangent equation: [그림 4]에서 빨간선)이다.'

    두 문장에서 첫번째 문장의 식 (7) 은 밑 부분의 식 (7)을 뜻하고 두번째 문장 식 (7) 은 위에 부분 fixed point (x2,y2)를 뜻하는게 맞는건가요??

    그리고 이어서
    '따라서, 식 (6)의 세가지식을 동시에 만족하기 위해서는 (x 1 ,y 1 )=(x 2 ,y 2 ) 가 되어야 한다.'
    이문장이 갑자기 나온 이유를 이해 못하겠네요..

    마지막으로.. '접선의 방정식(식 (6)의 세째식)' 이부분에서 (x1x2 + y1y2 = 1) 이식이 왜 접선의 방정식인지 모르겠습니다.

    전체적으로 식(7) 이라고 써있는 부분이 위부분이랑 연관이 잘안되는것 같네요 ㅠㅠ
    답변 주시면 감사드리겠습니다ㅠㅠ

    답글삭제
    답글
    1. 문장이 애매한 부분이 있어 약간 다듬었습니다.

      증명의 핵심은 식 (6)의 둘째식과 셋째식입니다. 식 (7)에 의해 미분으로 보면(기하학으로 증명할 수는 있겠지만) 식 (6)의 셋째식은 원의 접선식입니다. 따라서, 식 (6)의 둘째식과 셋째식을 동시 만족하는 유일한 경우는 $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$가 되어야 합니다.

      삭제
  14. 주인장의 지식에 탄복하고 갑니다.

    답글삭제
    답글
    1. 과분한 칭찬이네요, 방문과 칭찬 모두 감사드립니다, 익명님. ^^

      삭제
  15. 상세한 설명에 감명받고 갑니다.

    답글삭제
  16. "위의 증명은 직각삼각형이 아닌 임의의 삼각형으로 쉽게 확장할 수 있다"->어떻게 해야할지 조금만 더 힌트 주시면 안될까요ㅠ
    "임의의 삼각형은 하나혹은 두개의 직각 삼각형으로 생각할수있기 때문이다"->이부분 임의의 각에서 그각의 빗변의로 수직하게 내리면 직각삼각형 두개로 쪼갤수 있어서 두개의 직각삼각형으로 생각할 수 있다라고 생각했는데 다르게 생각하는건가요?

    답글삭제
    답글
    1. 말씀하신 부분처럼 저도 생각했습니다. ^^

      삭제
  17. 안녕하세요. 질문입니다.

    2가지 증명 중에서 '대수 기하학(代數幾何學, algebraic geometry)적인 접근'을 통한 증명부분이 이해하기에 난이도가 좀 있는 것 같은데요.

    이해하는데 참고할만한 기초/기본 서적같은게 없을까요?

    답글삭제
    답글
    1. 안녕하세요, chris yoo님. ^^
      자명한 것을 증명한 것이라 참고할 만한 자료는 찾기 어려울겁니다. 아마 스스로 유도해보셔야 할듯.

      삭제
  18. 지성과 노고에 감사드립니다.

    답글삭제
  19. 슈뢰딩거 방정식을 이해하기 위해서 맨 처음 삼각함수의 개념부터 다시 공부해야겠다고 생각이 들어서 들르게 되었습니다. 수학적인 지식이 많이 얇은터라...몇 가지 질문이 생겨서 질문드리려고 합니다.

    1. 사인, 코사인, 탄젠트 증명하는 처음부분에서 식 (3)의 마지막 결과와 식 (2)를 서로 빼주면 항등식 (4)를 얻을 수 있다. 고 했는데요 식 (3)의 마지막 결과는 알겠는데 식 (2)는 둘 중 어느걸 빼는거죠?? 그리고 (3), (2)식을 뺀다는 걸 어떻게...빼는건지...도 모르겠네요.ㅠㅠ

    2. 식 (4)에서 a2 b2,h2는 고정된 값이라는 건 어떻게 알 수 있는건가요?ㅠ

    3. 식 (6) 첫번째 식에서 x=b_1,2/h_1,2 y=a_1,2/h_1,2라는 건 어떻게 알 수 있나요??

    답글삭제
    답글
    1. 좋은 방법입니다, John님. ^^ 어려운 방정식을 이해하려면 기초적인 부분부터 시작하는 게 좋아요.

      1. 식 (2)의 첫째 식입니다. 이 과정이 어려우면 기초적인 대수학을 한 번 더 보셔야 합니다.

      2. 직각 삼각형의 길이($a_2, b_2, h_2$)는 주어졌다고 가정합니다.

      3. $x, y$를 $b/h, a/h$로 놓자는 정의입니다. 어떤 과정으로 유도한 것이 아닙니다.

      삭제
  20. 기초적인 대수학이면 어느 부분을 말씀하시는건가요???

    답글삭제
  21. 와 정말 지식에 감탄하고 갑니다..
    감사합니다

    답글삭제
  22. 저 위상이라는 것이 이해가 잘 가지 않아서 질문드리는데요.
    위상이라는 것이 현재 위치의 모양이라면 삼각함수의 출력값이 되어야 하지 않나요?
    위상에 대해서 조금 더 자세한 설명을 해 주실수 있나요?

    답글삭제
    답글
    1. 익명님, 그렇게 생각할 수도 있겠지만, 위상은 반복되는 주기 함수의 $x$축 특성을 표현하기 위한 개념입니다.

      삭제
  23. 좋은글 감사합니다.
    한가지 여쭙고 싶은게 있습니다.
    삼각함수의 단위를 60분법이 아닌 호도법? 으로 택한 이유를 삼각함수 그래프 관점으로 보면,
    라디안 관점은 변수의 증가량에 따른 함숫값 증가량의 비가 그렇게 큰 차이가 없는듯 합니다.
    그러나 60분법을 사용하면 아주 완만한 경사를 가진 그래프가 나오기 때문에 호도법? 을 택했다고 생각해도 괜찮을 까요??

    답글삭제
    답글
    1. 저는 아니라고 생각합니다, 익명님. 호도법은 삼각 함수 미분과 연결하는 것이 맞습니다.

      삭제
    2. 답변 감사합니다.

      삭제
  24. 자료를 찾다 우연히 발견한 글 내용에 감탄했습니다.
    그런데 사진 5의 정확한 출처를 알 수 있을까요?

    답글삭제
    답글
    1. 지금 정확한 출처를 알 수 없지만, Wikipedia에서 얻은 그림입니다.

      삭제
  25. 정석을 열심히 돌리고 있는 현 대한민국의 고등학생으로서 제 수학실력이 얼마나 얕은지 깨닫는 계기가 되었습니다. 처음부터 시작해서 시간날때마다 좋은 블로그의 글을 차근차근 정리해보겠습니다. 보석같은 글 써주셔서 감사합니다!

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 공부가 바쁘겠지만 틈틈이 수학의 원리도 고민을 하세요. 대학때 관련 분야로 진출하게 되면 수학적 지식이 큰 도움이 될 거예요.

      삭제
  26. 좋은 글 감사합니다.
    지금 해외에서 Specialist Math라는 과목을 공부 중인 학생인데 이걸 보고 정말 공부가 많이 되었어요. 제가 한국에서 배웠던 것에서는 안 나왔던 부분이라서 막막해 하고 있었는데 상세히 설명해 주신 걸 보고 많이 알게 되었습니다. 정말로 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. Unknown님, 좋은 결과 있기를 바랍니다. ^^

      삭제
  27. 그림1~3 까진 끄덕끄덕 4이후에는 으잉??!! ㅠㅠㅠ 저는 바보인가봅니다...

    답글삭제
  28. 식(4)에서 만약에 sin이 0도일때 a1이 0이되니까
    a2/h2 이 a1/h1이랑 같지않아도 식이성립되지않나요???
    또, cos이 90일때 b1 = 0이므로 b2/h2가 b1/h1이랑 같지않아도 성립하지 않나요??
    이 두경우에 sin혹은 cos값이 유일하지않게되는 문제가 발생하는데 이경우는 어떻게 생각해야하나요???

    답글삭제
    답글
    1. 아... 다시생각해보니까 제대로 되네용.. 죄송합니다

      삭제
  29. 여쭤보고 싶은 것이 있습니다!

    식7에서 두번째 미분 개념를 적용한 풀이에서 원의 방정식을 왜 x에 대하여 미분한 꼴의 식을 가져왔는지 모르겠습니다. 그 옆의 식은 분명 접선의 기울기를 나타낸 식인데 말이지요 ㅠ

    늘 빠른 답변 감사합니다

    답글삭제
    답글
    1. 비례식에서 유도한 식 (6)이 가지는 기하학적 의미를 보기 위해서입니다. 계산해보면 원의 접선 조건을 만족해야 하기 때문에 $(x_1, y1) = (x_2, y_2)$이 되어서 비례식이 성립한다는 뜻입니다.

      삭제
  30. 맥스웰 방정식 글을 읽다가 링크를 따라 여기까지 왔네요. sec의 '자른다'는 어원적인 의미, 그리고 원에서의 접선과 x축 방향의 교점까지의 거리로서 자른다는 기하학적인 의미를 배울 수 있어서 좋았습니다. 감사합니다!

    답글삭제
  31. 정말 자세한 설명 감사합니다. 부대업무를 수행면서 시야각(anguler size)에 대해 고민하다가.... 도대체 탄젠트란 무엇인가?라는 철학적(?) 질문으로 검색을 하다하다 여기까지 왔습니다. 비록 제가 얻고자 하는 해답을 명확하게 얻진 못했지만... 정말 정성어린 사이트라는걸 다시한번 알수 있겠네요. 혹시 주인장님께서 알고계시다면 탄젠트의 어원과 실제 적용사례에 대해 알고싶습니다.
    (사인은 천문학에서 별과 별 사이의 거리(현의 길이)를 측정하기위해 사용했다 알고있습니다)

    저도 대전에 있는데,,, 혹시 나중에라도 시간되시면 찾아뵙고 수학에 대해 가르침도 받고싶네요^^
    답글 꼭! 부탁드립니다 (다시와서 확인하겠습니다!)

    답글삭제
    답글
    1. 오민택님, 방문 감사합니다.
      탄젠트 어원은 라틴어 탕겐스입니다. 탕겐스는 접선이란 뜻이며, 탄젠트 함수는 미분의 중요한 출발점입니다.
      계속 증진하시길 바래요. ^^

      삭제
  32. 동역학 공부하면서 여기까지 오게 되었습니다. 정말 좋은 글이네요

    답글삭제
    답글
    1. 먼 곳까지 오셨네요, 지나가는공대생입니다님 👍

      삭제
  33. 삼각함수가 원 방정식이 되고, 주기를 가진 sin, cos 함수로 나타내는 과정이 글로는 이해가 되는데 확 와닿질 않는데... 저만 그럴까요?ㅠㅠ

    답글삭제
    답글
    1. [그림 5] 밑에 내용을 조금 더 추가했어요. [그림 5]를 보면서 고민해보세요.

      삭제
  34. 그림7 원으로 정의한 삼각함수.. 아름답네요. 멋진 글 잘 보고 갑니다.

    답글삭제
    답글
    1. Unknown님, 아름답게 공부하시길 바래요~~

      삭제
  35. 역삼각 함수의 주치 부분이 새롭게 추가되었네요.
    안그래도 역삼각함수 적분할 때 구간에 대해서 고민이 많았는데 큰 도움이 됐습니다!
    지속적인 업데이트 감사드립니다 거북님!

    답글삭제
    답글
    1. 필요한 부분이 생기면 계속 추가하고 있어요 ^^

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.