조금은 느리게 살자: 삼각 함수 항등식(Trigonometric Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수
2. 삼각 함수의 합차 공식

3. 테일러 급수

4. 베르누이 수

5. 시컨트 수와 오일러 수

1. 기본(basics)

기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수(sine and cosine functions)의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.

[기본 관계식]

(1.1)

[삼각 함수의 합차 공식]

(1.2a)

(1.2b)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

[증명]

삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 변수 치환을 적용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 증명할 수 있다. 식 (1.6)에 $y = x$를 대입한 후 정리해서 식 (1.7)을 유도한다.
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[기본 항등식]

(1.8)

(1.9)

[증명]
탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
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(1.10)

(1.11)

[증명]
식 (10)의 좌변을 정리한 후, 식 (1.6)을 적용해서 식 (1.10)으로 간략화한다.

(1.12)

식 (1.11)의 증명을 위해, 좌변을 통분해 $(1-\cos^2)/\cos x$ = $\sin^2 x / \cos x$로 정리한다.

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2. 미분(differentiation)

[기본 함수]

(2.1)

(2.2)

[증명]

미분 공식을 활용하여 다음처럼 증명한다.

(2.3)

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[역함수]

(2.4)

[증명]

역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

(2.5)

(2.6)

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(2.7)

[증명]

역함수의 미분 공식과 함께 식 (2.2)와 (1.9)를 사용한다.

(2.8)

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3. 부정적분(indefinite integral)

[역함수]

(3.1)

여기서 $a > 0$, $C$는 적분 상수이다.

[증명]

식 (2.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

(3.2)

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(3.3)

[증명]

변수 치환과 식 (1.9), (2.2)를 이용해서 증명한다.

(3.4)

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[삼각 함수 곱]

(3.5)

4. 정적분(definite integral)

[삼각 함수 곱]

(4.1)

여기서 $a_m$ = $m \pi \mathbin{/} (2a)$, $\delta_{}ml$은 크로네커 델타(Kronecker delta), $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$은 노이만 수(Neumann number)이다.

(4.2)

[거듭제곱]

(4.3)

[증명]

식 (4.3)은 베타 함수(beta function)의 적분 표현식으로 유도한다.

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베타 함수 $B(x, y)$는 감마 함수(gamma function) $\Gamma(x)$의 곱과 나누기로 표현되는 특수 함수이다.

5. 이상 적분(improper integral)

[로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)]

(5.1)

여기서 $\sigma > 0$이다.

[증명]

로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)와 푸리에 변환의 쌍대성(duality)에 의해 다음 푸리에 변환이 성립한다.

(5.2)

식 (5.2)에서 적분 구간을 바꾸어서 식 (5.1)을 얻는다.

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6. 테일러 급수(Taylor series)

삼각 함수의 미분이 간단해지므로 삼각 함수의 테일러 급수(級數, Taylor series)도 아래와 같이 쉽게 표현된다.

[기본 함수]

(6.1)

(6.2)

[역함수]

(6.3)

[증명]

식 (2.7)을 적분하고 피적분 함수는 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)로 전개해서 증명한다.

(6.4)

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탄젠트 역함수에 대한 무한 급수인 식 (6.3)은 그레고리의 급수(Gregory's series)라고 부른다. 그레고리의 급수는 수학자 그레고리James Gregory(1638–1675)가 1668년그레고리 30세, 조선 현종 시절에 발견했다. 식 (6.3)에 $x$ = $1$을 대입하면, 식 (6.3)의 우변은 $\pi/4$에 수렴한다.

[베르누이 수]

(6.5)

(6.6)

(6.7)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 테일러 급수를 이용해 식 (6.5)를 증명한다. 식 (1.7)을 바꾸면 $\tan x$ = $\cot x - 2 \cot(2x)$이다. 이 결과에 식 (6.5)를 넣어서 정리하면 식 (6.6)을 얻는다. 다음으로 식 (1.8)에서 $\csc (2x)$ = $(\tan x + \cot x)/2$을 만들어서 식 (6.5)와 (6.6)을 대입하면, 식 (6.7)이 유도된다.

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[표 6.1] 홀수번 탄젠트 수의 실제값, $T_{2m-1}$

탄젠트 수, $T_{2m-1}$	탄젠트 수의 자연수값
$T_1$	1
$T_3$	2
$T_5$	16
$T_7$	272
$T_9$	7936
$T_{11}$	353792
$T_{13}$	22368256
$T_{15}$	1903757312
$T_{2m-1}$
생성 함수

[탄젠트 수의 정의]

자주 쓰는 탄젠트 함수는 탄젠트 수(tangent number)를 정의해서 식 (6.6)에 유도한 무한 급수의 항을 간략화하기도 한다. 간단하게 보면, 탄젠트 함수를 직접 미분해서 테일러 급수를 얻고 다시 항별 비교를 통해 탄젠트 수를 계산할 수 있다. 하지만 $\tan x$의 고차 미분을 몇 번 하면 지쳐서 더 이상 진행하기 어렵다. 이때는 수학의 도움을 받아야 한다. 베르누이 수라는 좋은 도구가 있으므로, 베르누이 수를 바탕으로 탄젠트 함수에 있는 탄젠트 수를 만들어낸다. 탄젠트 수의 실제값은 [표 6.1]에 자세히 소개한다[1].

(6.8)

여기서 $T_{2m}$ = $0$이다. 탄젠트 수의 정의식은 다음과 같다.

(6.9)

여기서 짝수번 베르누이 수의 부호는 $(-1)^{m+1}$이다. 식 (6.9)에 의해 탄젠트 수는 항상 $0$이거나 양수이며, 절대 음수가 될 수 없다. 즉, 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)의 일종이다. 이에 반해 베르누이 수 $B_{2m}$은 부호가 바뀌는 정수열(整數列, integer sequence)이 된다.

[탄젠트 수의 성질]

(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.

(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.

(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.

(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.

시컨트 수(secant number) $S_{2m}$과 $T_{2m-1}$을 연결하면, 위처럼 탄젠트 수의 다양한 성질을 증명할 수 있다.

[시컨트 수]

(6.10)

여기서 $S_{2m}$은 시컨트 수이다. 스컨트 수는 주로 재귀 관계를 이용해서 계산한다.

7. 복소 지수 함수(complex exponential function)

[합과 차]

(7.1)

8. 부등식(inequality)

[조르당의 부등식(Jordan's inequality): 사인 함수와 각도]

(8.1)

여기서 $0 \le x \le \pi/2$이다.

[증명]

함수 $f(x)$ = $\sin x - 2 x / \pi$를 새롭게 정의한다. 이 함수는 구간의 양끝에서 $f(0)$ = $f(\pi/2)$ = $0$을 만족한다. 함수의 미분은 $df(x)/dx$ = $\cos x - 2 / \pi$이다. 따라서 $f(x)$는 ↗↘과 같은 모양이다. 비슷하게 $g(x)$ = $x - \sin x$라 놓고 미분하면 $dg(x)/dx$ = $1 - \cos x$이다. 따라서 $g(x)$는 $g(0)$ = $0$부터 항상 증가하는 음이 아닌 함수이다. 그래서 식 (8.1)이 항상 성립한다.

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[삼각 함수 제곱의 최대와 최소]

(8.2)