2020년 7월 27일 월요일

삼각 함수 항등식(Trigonometric Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수
2. 삼각 함수의 합차 공식


   1. 기본(basics)   

기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수(sine and cosine functions)의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.

[기본 관계식]

                       (1.1)


             (1.2a)

             (1.2b)

   (1.3)

             (1.4)

                       (1.5)

                       (1.6)

                       (1.7)

[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 변수 치환을 적용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 증명할 수 있다. 식 (1.6)에 $y = x$를 대입한 후 정리해서 식 (1.7)을 유도한다.
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[기본 항등식]

                       (1.8)

                       (1.9)

[증명]
탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
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   2. 미분(differentiation)   

[기본 함수]

                        (2.1)

                        (2.2)

[증명]
미분 공식을 활용하여 다음처럼 증명한다.

                        (2.3)
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[역함수]

                        (2.4)

[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

                        (2.5)

                        (2.6)
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   3. 적분(integration)   

[역함수]

                        (3.1)

여기서 $a > 0$, $C$는 적분 상수이다.

[증명]
식 (2.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

                        (3.2)
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   4. 테일러 급수(Taylor series)   

삼각 함수의 미분이 간단해지므로 삼각 함수의 테일러 급수(級數, Taylor series)도 아래와 같이 쉽게 표현된다.

[기본 함수]

                         (4.1)

                         (4.2)

[베르누이 수]

                         (4.3)

                         (4.4)

                         (4.5)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]
쌍곡선 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 테일러 급수를 이용해 식 (4.3)을 증명한다. 식 (1.7)을 바꾸면 $\tan x$ = $\cot x - 2 \cot(2x)$이다. 이 결과에 식 (4.3)을 넣어서 정리하면 식 (4.4)를 얻는다. 다음으로 식 (1.8)에서 $\csc (2x)$ = $(\tan x + \cot x)/2$을 만들어서 식 (4.3)과 (4.4)를 대입하면 식 (4.5)가 유도된다.
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   5. 복소 지수 함수(complex exponential function)   

[합과 차]

                         (5.1)

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