조금은 느리게 살자: 삼각 함수 항등식(Trigonometric Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수
2. 삼각 함수의 합차 공식

[그림 1] 단위 원에 출현하는 여러 가지 삼각 함수(출처: wikipedia.org)

1. 기본(basics)

기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수(sine and cosine functions)의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.

[기본 관계식]

(1.1a)

(1.1b)

[삼각 함수의 합차 공식]

(1.2a)

(1.2b)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6a)

(1.6b)

(1.7)

[증명]

삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 변수 치환을 적용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 증명할 수 있다. 식 (1.6a)에 $y = x$를 대입한 후 정리해서 식 (1.7)을 유도한다.
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[기본 항등식]

(1.8)

(1.9)

[증명]
탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
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(1.10)

(1.11)

[증명]
식 (10)의 좌변을 정리한 후, 식 (1.6a)를 적용해서 식 (1.10)으로 간략화한다.

(1.12)

식 (1.11)의 증명을 위해, 좌변을 통분해 $(1-\cos^2)/\cos x$ = $\sin^2 x / \cos x$로 정리한다.

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[역함수]

(1.13)

(1.14)

[증명]
식 (1.6b)에 $\cot x$ = $a$, $\cot y$ = $1/a$를 넣으면 $\cot (x + y)$ = $0$이 된다. 이때 $x + y$ = $\pi/2$가 되어서 식 (1.14)가 증명된다.
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[복소 지수 함수의 합과 차]

(1.15)

[기수 함수(cardinal function)]

(1.16a: 싱크 함수(sinc function) 혹은 정규화 싱크 함수)

(1.16b: 탱크 함수(tanc function))

기수 함수는 $x$가 변할 때, 세는 수인 기수(基數, cardinal number)를 선택한다. 싱크 함수는 $x$ = $0$을 제외한 모든 기수를 영점(zero) 관점에서 선택한다. 탱크 함수(tanc function)는 기수 함수가 아니지만, 싱크 함수와 닮아서 함수명을 탱크(tanc: tangent cardinal)로 부른다.

2. 급수 표현식(series representation)

삼각 함수의 미분이 간단해지므로 삼각 함수의 테일러 급수(級數, Taylor series)도 아래와 같이 쉽게 표현된다.

[기본 함수]

(2.1)

(2.2)

[역함수]

(2.3a)

(2.3b)

여기서 $x$ = $\tan \theta$, $|x| \le 1$이다.

[증명]

식 (3.7)을 적분하고 피적분 함수는 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)로 전개해서 증명한다.

(2.4)

여기서 이항 정리의 수렴 조건으로 인해 $t^2 < 1$ 혹은 $|x| < 1$이다. 또한 $x$ = $\pm 1$에서 식 (2.4)의 마지막식은 감소하는 교대 급수(alternating series)라서 수렴한다.

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탄젠트 역함수에 대한 무한 급수인 식 (2.3)은 그레고리의 급수(Gregory's series)라고 부른다. 그레고리의 급수는 수학자 그레고리James Gregory(1638–1675)가 1668년그레고리 30세, 조선 현종 시절에 발견했다. 이외에도 그레고리는 1663년에 발명한 최초의 반사 망원경인 그레고리 망원경(Gregorian telescope)으로도 유명하다. 식 (2.3)에 $x$ = $1$을 대입하면, 식 (2.3)의 우변은 $\pi/4$에 수렴한다.

[베르누이 수]

(2.5)

(2.6)

(2.7)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 테일러 급수를 이용해 식 (2.5)를 증명한다. 식 (1.7)을 바꾸면 $\tan x$ = $\cot x - 2 \cot(2x)$이다. 이 결과에 식 (2.5)를 넣어서 정리하면 식 (2.6)을 얻는다. 다음으로 식 (1.8)에서 $\csc (2x)$ = $(\tan x + \cot x)/2$을 만들어서 식 (2.5)와 (2.6)을 대입하면, 식 (2.7)이 유도된다.

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[표 2.1] 홀수번 탄젠트 수의 실제값, $T_{2m-1}$

탄젠트 수, $T_{2m-1}$	탄젠트 수의 자연수값
$T_1$	1
$T_3$	2
$T_5$	16
$T_7$	272
$T_9$	7936
$T_{11}$	353792
$T_{13}$	22368256
$T_{15}$	1903757312
$T_{2m-1}$
생성 함수

[탄젠트 수의 정의]

자주 쓰는 탄젠트 함수는 탄젠트 수(tangent number)를 정의해서 식 (2.6)에 유도한 무한 급수의 항을 간략화하기도 한다. 간단하게 보면, 탄젠트 함수를 직접 미분해서 테일러 급수를 얻고 다시 항별 비교를 통해 탄젠트 수를 계산할 수 있다. 하지만 $\tan x$의 고계 미분을 몇 번 하면 지쳐서 더 이상 진행하기 어렵다. 이때는 수학의 도움을 받아야 한다. 베르누이 수라는 좋은 도구가 있으므로, 베르누이 수를 바탕으로 탄젠트 함수에 있는 탄젠트 수를 만들어낸다. 탄젠트 수의 실제값은 [표 2.1]에 자세히 소개한다[1].

(2.8)

여기서 $T_{2m}$ = $0$이다. 탄젠트 수의 정의식은 다음과 같다.

(2.9)

여기서 짝수번 베르누이 수의 부호는 $(-1)^{m+1}$이다. 식 (2.9)에 의해 탄젠트 수는 항상 $0$이거나 양수이며, 절대 음수가 될 수 없다. 즉, 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)의 일종이다. 이에 반해 베르누이 수 $B_{2m}$은 부호가 바뀌는 정수열(整數列, integer sequence)이 된다.

[탄젠트 수의 성질]

(a) 탄젠트 수는 자연수열(自然數列, sequence of natural numbers)이다.

(b) 짝수번 탄젠트 수 $T_{2m}$은 항상 $0$이다.

(c) 홀수번 탄젠트 수는 $T_{2m+1} \ge 1$이고, $m$이 커지면 $T_{2m+1}$도 함께 커진다.

(d) 모든 $m \ge 1$에 대해, $S_{2m} < T_{2m+1} < S_{2m+2}$이 성립한다.

시컨트 수(secant number) $S_{2m}$과 $T_{2m-1}$을 연결하면, 위처럼 탄젠트 수의 다양한 성질을 증명할 수 있다.

[시컨트 수]

(2.10)

여기서 $S_{2m}$은 시컨트 수이다. 시컨트 수는 주로 재귀 관계를 이용해서 계산한다.

3. 미분(differentiation)

[기본 함수]

(3.1)

(3.2a)

(3.2b)

[증명]

미분 공식을 활용하여 식 (3.2a)를 증명한다.

(3.3)

식 (3.2b)도 식 (3.3)과 거의 동일한 과정으로 유도된다.

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[역함수]

(3.4)

[증명]

역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

(3.5)

(3.6)

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(3.7)

[증명]

역함수의 미분 공식과 함께 식 (3.2)와 (1.9)를 사용한다.

(3.8)

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4. 부정적분(indefinite integral)

[역함수]

(4.1)

여기서 $a > 0$, $C$는 적분 상수이다.

[증명]

식 (3.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

(4.2)

여기서 사인 역함수의 주치를 고려해 $-\pi/2 \le t \le \pi/2$이다.

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(4.3)

[증명]

변수 치환과 식 (1.9), (3.2)를 이용해서 증명한다.

(4.4)

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[삼각 함수 곱]

(4.5)

[삼각 함수의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)]

(4.6)

[증명]

식 (1.8)을 이용해서 $\csc(2x)$를 탄젠트와 코탄젠트 함수로 바꾼 후에 그대로 적분한다.

(4.7)

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(4.8a)

(4.8b)

여기서 $|a| > |b|$이다.

[증명]

분모와 분자에 $a-b \cos x$를 곱한 후에 기본적인 적분 절차대로 진행하여 식 (4.8a)를 유도한다.

(4.9)

그 다음에 식 (4.8b)는 변수를 $x$ = $t + \pi/2$로 치환해서 분모를 식 (4.8a)처럼 바꾸면 손쉽게 증명된다.

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(4.10)

[증명]

어려워 보이지만 변수 치환만 제대로 하면 쉽게 결과가 나온다.

(4.11)

여기서 $c$ = $\cos (ax)$, $s$ = $\sin (ax)$이다.

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식 (10)과 비슷한 식 (4.8a)를 쓸 수도 있지만, $a$ = $0$이 되면 식 (4.8a)는 복소수 연산을 도입해야 한다.

[지수 함수와 삼각 함수의 곱]

(4.12)

[증명]

지수 함수가 피적분 함수로 있는 경우는 오일러의 공식(Euler's formula)으로 쉽게 증명한다.

(4.13)

식 (4.13)의 실수부와 허수부는 각각 식 (4.12)의 둘째식과 첫째식이 된다.

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식 (4.12)의 두 식을 더해서 매운 간단한 적분 공식을 추가적으로 얻는다.

(4.14)

물론 식 (4.14)의 우변을 미분하거나 좌변의 첫째 항[= $ae^{ax} \sin (bx)$ = $(e^{ax})' \sin (bx)$]에 부분 적분을 사용해서 결과를 유도할 수도 있다.

[푸리에 급수(Fourier series)]

(4.15a)

(4.15b)

여기서 정수 $m$은 $m \ge 1$이다.

[증명]

등비 급수의 합 공식을 써서 식 (4.15a)의 분자를 변형한다.

(4.16)

식 (4.15b)의 증명에는 식 (4.15a)를 이용한다. 분모를 사인 함수로 바꾸고 $t$ = $x+1$로 치환해서 마지막식을 정리한다.

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식 (4.15)에서 $m < 0$인 경우는 식 (4.15)의 결과에 켤레 복소수를 적용한다. 만약 $m$ = $0$이라면 식 (4.15)에서 유한 급수만 제거하면 된다.

5. 정적분(definite integral)

[삼각 함수 곱]

(5.1)

여기서 $a_m$ = $m \pi \mathbin{/} (2a)$, $\delta_{}ml$은 크로네커 델타(Kronecker delta), $\varepsilon_m$ = $2 - \delta_{m0}$은 노이만 수(Neumann number)이다.

(5.2)

[거듭제곱]

(5.3)

[증명]

식 (5.3)은 베타 함수(beta function)의 적분 표현식으로 유도한다.

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베타 함수 $B(x, y)$는 감마 함수(gamma function) $\Gamma(x)$의 곱과 나누기로 표현되는 특수 함수이다.

[삼각 함수와 로그 함수의 합성]

(5.4)

여기서 $\delta_{ml}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[증명]

식 (5.4)에서 $u$ = $\log(x/a) \mathbin{/} \log(b/a)$로 변수 치환해서 적분한다.

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식 (5.4)는 정전장(靜電場, electrostatics)을 원통 좌표계에서 풀 때 등장한다.

[삼각 함수의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)]

(5.5)

여기서 $a > 0$, $|a| > |b|$이다.

[증명]

식 (5.5)의 부정적분 결과인 식 (4.8a)에는 $x$ = $\pi/2$에서 불연속인 탄젠트 함수가 있어서 적분 구간을 분리해서 계산한다.

(4.6)

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식 (5.5)는 특이하게도 르장드르 함수(Legendre function)를 정의하기 위해 사용한다.

6. 이상 적분(improper integral)

[로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)]

(6.1)

여기서 $\sigma > 0$이다.

[증명]

로렌츠–코쉬 함수(Lorentz–Cauchy function)와 푸리에 변환의 쌍대성(duality)에 의해 다음 푸리에 변환이 성립한다.

(6.2)

식 (6.2)의 적분 구간을 바꾸어서 식 (6.1)을 얻는다.

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7. 부등식(inequality)

[조르당의 부등식(Jordan's inequality): 사인 함수와 각도]

(7.1)

여기서 $0 \le x \le \pi/2$이다.

[증명]

함수 $f(x)$ = $\sin x - 2 x / \pi$를 새롭게 정의한다. 이 함수는 구간의 양끝에서 $f(0)$ = $f(\pi/2)$ = $0$을 만족한다. 함수의 미분은 $df(x)/dx$ = $\cos x - 2 / \pi$이다. 따라서 $f(x)$는 ↗↘과 같은 모양이다. 비슷하게 $g(x)$ = $x - \sin x$라 놓고 미분하면 $dg(x)/dx$ = $1 - \cos x$이다. 따라서 $g(x)$는 $g(0)$ = $0$부터 항상 증가하는 음이 아닌 함수이다. 그래서 식 (7.1)이 항상 성립한다.

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[삼각 함수 제곱의 최대와 최소]