2020년 7월 27일 월요일

삼각 함수 항등식(Trigonometric Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수
2. 삼각 함수의 합차 공식


   1. 기본(basics)   

기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수(sine and cosine functions)의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다.

[기본 관계식]

                       (1.1)


             (1.2a)

             (1.2b)

   (1.3)

             (1.4)

                       (1.5)

                       (1.6)

                       (1.7)

[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 변수 치환을 적용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 증명할 수 있다. 식 (1.6)에 $y = x$를 대입한 후 정리해서 식 (1.7)을 유도한다.
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[기본 항등식]

                       (1.8)

                       (1.9)

[증명]
탄젠트와 코탄젠트 함수를 통분해서 정리하면 식 (1.8)이 증명된다.
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   2. 미분(differentiation)   

[기본 함수]

                        (2.1)

                        (2.2)

[증명]
미분 공식을 활용하여 다음처럼 증명한다.

                        (2.3)
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[역함수]

                        (2.4)

[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

                        (2.5)

                        (2.6)
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                        (2.7)

[증명]
역함수의 미분 공식과 함께 식 (2.2)와 (1.9)를 사용한다.

                        (2.8)
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   3. 적분(integration)   

[역함수]

                        (3.1)

여기서 $a > 0$, $C$는 적분 상수이다.

[증명]
식 (2.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

                        (3.2)
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                        (3.3)

[증명]
변수 치환과 식 (1.9), (2.2)를 이용해서 증명한다.

                        (3.4)
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[거듭제곱]

                        (3.5)

[증명]
식 (3.5)는 베타 함수(beta function)의 적분 표현식으로 유도한다.
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베타 함수 $B(x, y)$는 감마 함수(gamma function) $\Gamma(x)$의 곱과 나누기로 표현되는 특수 함수이다.


   4. 테일러 급수(Taylor series)   

삼각 함수의 미분이 간단해지므로 삼각 함수의 테일러 급수(級數, Taylor series)도 아래와 같이 쉽게 표현된다.

[기본 함수]

                         (4.1)

                         (4.2)

[역함수]

                         (4.3)

[증명]
식 (2.7)을 적분하고 피적분 함수는 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)로 전개해서 증명한다.

                         (4.4)
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탄젠트 역함수에 대한 무한 급수인 식 (4.3)은 그레고리의 급수(Gregory's series)라고 부른다. 그레고리의 급수는 수학자 그레고리James Gregory(1638–1675)가 1668년그레고리 30세, 조선 현종 시절에 발견했다. 식 (4.3)에 $x$ = $1$을 대입하면, 식 (4.3)의 우변은 $\pi/4$에 수렴한다.

[베르누이 수]

                         (4.5)

                         (4.6)

                         (4.7)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]
쌍곡선 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수의 테일러 급수를 이용해 식 (4.5)를 증명한다. 식 (1.7)을 바꾸면 $\tan x$ = $\cot x - 2 \cot(2x)$이다. 이 결과에 식 (4.5)를 넣어서 정리하면 식 (4.6)을 얻는다. 다음으로 식 (1.8)에서 $\csc (2x)$ = $(\tan x + \cot x)/2$을 만들어서 식 (4.5)와 (4.6)을 대입하면, 식 (4.7)이 유도된다.
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   5. 복소 지수 함수(complex exponential function)   

[합과 차]

                         (5.1)


   6. 부등식(inequality)   

[조르당의 부등식(Jordan's inequality): 사인 함수와 각도]

                         (6.1)

여기서 $0 \le x \le \pi/2$이다.

[증명]
함수 $f(x)$ = $\sin x - 2 x / \pi$를 새롭게 정의한다. 이 함수는 구간의 양끝에서 $f(0)$ = $f(\pi/2)$ = $0$을 만족한다. 함수의 미분은 $df(x)/dx$ = $\cos x - 2 / \pi$이다. 따라서 $f(x)$는 ↗↘과 같은 모양이다. 비슷하게 $g(x)$ = $x - \sin x$라 놓고 미분하면 $dg(x)/dx$ = $1 - \cos x$이다. 따라서 $g(x)$는 $g(0)$ = $0$부터 항상 증가하는 음이 아닌 함수이다. 그래서 식 (6.1)이 항상 성립한다.
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[삼각 함수 제곱의 최대와 최소]

             (6.2)

여기서 $-\pi/2 \le \phi_0 \le \pi/2$이다.

[증명]
삼각 함수를 다음처럼 변형해서 식 (6.2)의 첫째식을 유도한다.

                         (6.3)

식 (6.2)의 둘째식도 식 (6.3)처럼 증명한다.
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식 (6.2)에 의해 삼각 함수 제곱의 최대와 최소는 두 삼각 함수의 위상이 0˚ 혹은 90˚를 기준으로 동일하게 벌어질 때 생긴다.

[코사인 함수와 2배각]

                         (6.4)

[증명]
코사인 함수를 제곱한 후, 다음처럼 정리해서 증명한다.

                         (6.5)
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